Archimedes

Arquimedes de Siracusa ( AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 aC), um polímata da Grécia Antiga originário de Siracusa, Sicília, distinguiu-se como matemático, físico, engenheiro, astrônomo e inventor. Apesar da escassez de informações biográficas, seus trabalhos existentes o estabelecem firmemente como um cientista proeminente da antiguidade clássica e um dos matemáticos mais importantes da história. Arquimedes prenunciou notavelmente o cálculo e a análise modernos por meio de sua aplicação inovadora de infinitesimais e do método de exaustão, que lhe permitiu derivar e provar rigorosamente numerosos teoremas geométricos, incluindo a área de um círculo, a área de superfície e volume de uma esfera, a área de uma elipse, a área abaixo de uma parábola, o volume de um segmento de parabolóide de revolução, o volume de um hiperbolóide de segmento de revolução e a área de uma espiral.

Arquimedes de Siracusa ( AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 aC) foi um matemático grego antigo, físico, engenheiro, astrônomo e inventor da cidade de Siracusa, na Sicília. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, com base em seu trabalho sobrevivente, ele é considerado um dos principais cientistas da antiguidade clássica e um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Arquimedes antecipou o cálculo e a análise modernos aplicando o conceito de infinitesimais e o método de exaustão para derivar e provar rigorosamente muitos teoremas geométricos, incluindo a área de um círculo, a área de superfície e o volume de uma esfera, a área de uma elipse, a área sob uma parábola, o volume de um segmento de um parabolóide de revolução, o volume de um segmento de um hiperbolóide de revolução e a área de uma espiral. Arquimedes abrange a derivação de uma aproximação para pi (π), a definição e exploração da espiral arquimediana e a criação de um sistema exponencial para representar números excepcionalmente grandes. Ele também foi um dos primeiros estudiosos a aplicar princípios matemáticos aos fenômenos físicos, particularmente nas áreas de estática e hidrostática. Suas contribuições neste domínio incluem uma prova rigorosa da lei da alavanca, a adoção generalizada do conceito do centro de gravidade e a articulação da lei da flutuabilidade, conhecida como princípio de Arquimedes. Na astronomia, ele realizou medições do diâmetro aparente do Sol e estimativas da escala do universo. A tradição também atribui a ele a construção de um planetário que simulava os movimentos de corpos celestes conhecidos, servindo potencialmente como antecedente do mecanismo de Anticítera. Além disso, ele é creditado por projetar dispositivos mecânicos inovadores, como sua bomba helicoidal, polias compostas e máquinas de guerra defensivas projetadas para proteger Siracusa de incursões militares.

Arquimedes morreu durante o cerco de Siracusa, morto por um soldado romano, apesar das diretrizes explícitas para garantir sua segurança. Cícero mais tarde contou sua história. Em contraste com a fama de suas invenções, os tratados matemáticos de Arquimedes receberam reconhecimento limitado durante a antiguidade. Embora os matemáticos alexandrinos se envolvessem e citassem seu trabalho, a compilação abrangente inicial não ocorreu até c. 530AD, realizada por Isidoro de Mileto na Constantinopla bizantina. Ao mesmo tempo, os comentários de Eutócio sobre as obras de Arquimedes durante o mesmo século ampliaram significativamente a sua acessibilidade. Ao longo da Idade Média, os seus escritos foram traduzidos para o árabe no século IX e posteriormente para o latim no século XII, tornando-se um recurso intelectual fundamental para os estudiosos durante o Renascimento e a Revolução Científica. A descoberta, em 1906, dos textos de Arquimedes no Palimpsesto de Arquimedes, desde então, ofereceu insights sem precedentes sobre suas metodologias para alcançar resultados matemáticos.

Biografia

As especificidades da vida de Arquimedes permanecem em grande parte enigmáticas. Embora Eutócio tenha referenciado uma biografia supostamente de autoria do associado de Arquimedes, Heráclides Lembus, este trabalho não existe mais, e os estudos contemporâneos questionam sua atribuição original a Heráclides.

Com base na afirmação do estudioso grego bizantino John Tzetzes de que Arquimedes viveu 75 anos antes de sua morte em 212 AC, estima-se que seu nascimento tenha ocorrido c. 287 AC em Siracusa, Sicília, então uma colônia autônoma dentro da Magna Grécia. Em seu tratado, Sand-Reckoner, Arquimedes identifica seu pai como Fídias, um astrônomo sobre o qual não há mais informações disponíveis. Enquanto Plutarco, em suas Vidas Paralelas, sugeriu uma conexão familiar entre Arquimedes e o Rei Hierão II de Siracusa, Cícero e Sílio Itálico sugerem uma origem mais modesta. Detalhes sobre seu estado civil, descendência ou qualquer potencial estada em Alexandria, Egito, durante seus anos de formação permanecem não confirmados. No entanto, a sua correspondência existente, dirigida a Dositeu de Pelusium (um aluno do astrónomo alexandrino Conon de Samos) e ao bibliotecário-chefe Eratóstenes de Cirene, indica relações colegiais sustentadas com estudiosos em Alexandria. Especificamente, no prefácio de On Spirals, dedicado a Dositeu, Arquimedes afirma que "muitos anos se passaram desde a morte de Conon", com Conon de Samos tendo vivido aproximadamente entre 280-220 a.C., sugerindo que Arquimedes pode ter tido idade avançada ao compor certas obras.

O problema da coroa de ouro

Entre os problemas que Arquimedes é responsável por resolver para Hierão II está o famoso "problema da coroa". Vitrúvio, escrevendo aproximadamente dois séculos após a morte de Arquimedes, conta que o rei Hierão II de Siracusa encomendou uma coroa de ouro para um templo divino, fornecendo ao ourives ouro puro para sua criação. O rei, porém, começou a suspeitar que o ourives tivesse substituído ilicitamente parte do ouro por prata mais barata e retido uma parte do metal puro. Incapaz de obter uma confissão, Hierão II encarregou Arquimedes da investigação. Posteriormente, ao entrar no banho, Arquimedes supostamente observou que o nível da água na banheira subia proporcionalmente à sua imersão. Reconhecendo que esse fenômeno poderia determinar o volume da coroa de ouro, ele teria ficado tão exultante que correu nu pelas ruas, exclamando "Eureka!" (que significa "Eu encontrei!"), tendo esquecido de se vestir. Vitrúvio afirma ainda que Arquimedes passou a pegar uma massa de ouro e uma massa de prata, cada uma equivalente em peso à coroa. Ao mergulhar cada um na banheira, ele demonstrou que a coroa deslocava mais água do que o ouro puro, mas menos do que a prata pura, provando assim que a coroa era uma liga de ouro e prata.

Uma narrativa alternativa aparece no Carmen de Ponderibus, um poema didático anônimo em latim do século V sobre pesos e medidas, que foi anteriormente atribuído ao gramático Prisciano. Segundo esse poema, massas de ouro e prata foram posicionadas nos pratos de uma balança e todo o conjunto foi submerso em água. A densidade diferencial entre o ouro e a prata, ou entre o ouro e a coroa, faria conseqüentemente inclinar a balança. Em contraste com a anedota da banheira de Vitrúvio, mais conhecida, esta versão poética emprega o princípio hidrostático agora reconhecido como princípio de Arquimedes. Este princípio, detalhado em seu tratado Sobre Corpos Flutuantes, postula que um corpo submerso em um fluido experimenta uma força de empuxo ascendente equivalente ao peso do fluido que ele desloca. Galileu Galilei, que em 1586 idealizou uma balança hidrostática influenciada pelas contribuições de Arquimedes, considerou "provável que este método seja o mesmo que Arquimedes seguiu, pois, além de muito preciso, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes".

Lançamento da Siracusia

Muitos dos esforços de engenharia de Arquimedes provavelmente resultaram do atendimento às necessidades de sua cidade natal, Siracusa. Ateneu de Naucratis, em sua obra Deipnosophistae, cita a descrição de Moschion da encomenda do rei Hierão II para o projeto de um imenso navio, o Siracusia. Este navio tem a fama de ter sido o maior construído na antiguidade clássica e, segundo a narrativa de Moschion, foi lançado por Arquimedes. Plutarco apresenta um relato um tanto divergente, recontando o orgulho de Arquimedes a Hierão de que ele possuía a capacidade de mover qualquer peso substancial, o que levou Hierão a desafiá-lo a mover um navio. Essas narrativas, no entanto, incorporam numerosos detalhes fantásticos e historicamente improváveis. Além disso, os autores oferecem explicações conflitantes sobre como esse feito foi alcançado: Plutarco afirma que Arquimedes inventou um sistema de polias de bloqueio e equipamento, enquanto Herói de Alexandria atribuiu a mesma afirmação à invenção do baroulkos, um tipo de molinete por Arquimedes. Pappus de Alexandria, por outro lado, atribuiu essa conquista à aplicação da vantagem mecânica por Arquimedes, especificamente o princípio da alavancagem, para levantar objetos que de outra forma seriam inamovíveis. Ele atribuiu a Arquimedes a declaração frequentemente citada: "Dê-me um lugar para me apoiar e moverei a Terra." Ateneu, possivelmente interpretando mal os detalhes da descrição de Hero dos baroulkos, também registra o uso de um "parafuso" por Arquimedes para extrair qualquer água potencialmente vazando para o casco do Siracusia. Embora este aparelho seja ocasionalmente denominado parafuso de Arquimedes, provavelmente é consideravelmente anterior a ele. Notavelmente, nenhum de seus contemporâneos imediatos que documentaram sua aplicação (incluindo Fílon de Bizâncio, Estrabão e Vitrúvio) atribui a ele sua invenção ou uso primário.

Máquinas de Guerra

A fama antiga mais significativa de Arquimedes resultou de seu papel fundamental na defesa de Siracusa contra as forças romanas durante seu cerco. Plutarco conta que Arquimedes projetou máquinas de guerra formidáveis ​​para Hierão II, embora esses dispositivos tenham permanecido sem uso durante a vida de Hierão. No entanto, em 214 a.C., no meio da Segunda Guerra Púnica, Siracusa mudou a sua lealdade de Roma para Cartago. Quando o exército romano, liderado por Marco Cláudio Marcelo, posteriormente tentou capturar a cidade, Arquimedes supostamente dirigiu a implantação destas máquinas de guerra, impedindo substancialmente o avanço romano. A cidade finalmente caiu somente após um cerco prolongado. Relatos de três historiadores distintos - Plutarco, Lívio e Políbio - corroboram a existência dessas inovações militares, detalhando catapultas e guindastes aprimorados projetados para lançar pesados projéteis de chumbo em navios romanos ou empregar uma garra de ferro para içar navios da água antes de submergi-los.

Uma narrativa consideravelmente menos fundamentada, ausente dos primeiros registros históricos de Plutarco, Políbio ou Lívio, postula que Arquimedes empregou "queima espelhos" para concentrar os raios solares nos navios romanos invasores, acendendo-os assim. A menção inicial de navios incendiados, atribuída ao satírico Luciano de Samósata, do século II dC, não faz referência a espelhos, apenas afirmando que os navios foram acesos através de métodos artificiais, sugerindo potencialmente o uso de projéteis incendiários. Galeno, escrevendo no final do mesmo século, é o primeiro autor a mencionar explicitamente os espelhos neste contexto. Aproximadamente quatro séculos depois de Luciano e Galeno, Antêmio, apesar de expressar ceticismo, esforçou-se por reconstruir a geometria teórica do refletor de Arquimedes. Este suposto aparelho, ocasionalmente denominado "raio de calor de Arquimedes", tem sido objeto de contínuo debate acadêmico sobre sua veracidade desde a Renascença. René Descartes rejeitou o relato como fictício, enquanto os investigadores contemporâneos tentaram replicar o efeito usando apenas tecnologias disponíveis na era de Arquimedes, produzindo resultados inconclusivos.

Morte

As circunstâncias que cercaram a morte de Arquimedes durante o saque romano de Siracusa são detalhadas em vários relatos históricos díspares. A narrativa mais antiga, fornecida por Tito Lívio, afirma que Arquimedes foi morto por um soldado romano, sem saber de sua identidade, enquanto desenhava figuras geométricas na poeira. Plutarco oferece duas versões distintas: em uma, um soldado exigiu que Arquimedes o acompanhasse, mas Arquimedes recusou, insistindo em completar seu problema matemático, e então o soldado o matou com sua espada. No relato alternativo de Plutarco, Arquimedes carregava instrumentos matemáticos quando foi morto por um soldado que os confundiu com bens valiosos. Valerius Maximus, um escritor romano que floresceu por volta de 30 dC, registrou em sua obra Memorable Doings and Sayings que a declaração final de Arquimedes, ao ser morto pelo soldado, foi "... mas protegendo o pó com as mãos, disse: 'Eu imploro, não perturbe isso'". círculos."

Marcelo teria ficado indignado com a morte de Arquimedes, tendo-o considerado um recurso científico inestimável - até mesmo referindo-se a ele como "um Briareus geométrico" - e emitido ordens explícitas para sua proteção. Cícero (106–43 aC) registra que Marcelo transportou dois planetários, construídos por Arquimedes, para Roma. Esses dispositivos representavam os movimentos do Sol, da Lua e de cinco planetas; um foi posteriormente doado ao Templo da Virtude em Roma, enquanto o outro foi supostamente retido por Marcelo como sua única aquisição pessoal de Siracusa. Pappus de Alexandria faz referência a um tratado agora perdido de Arquimedes, intitulado Sobre a Criação de Esferas, que pode ter detalhado a construção de tais mecanismos. A engenharia destes dispositivos complexos teria exigido uma compreensão avançada das engrenagens diferenciais, uma capacidade que se acreditava estar além do âmbito tecnológico da antiguidade. No entanto, a descoberta em 1902 do mecanismo de Anticítera, outro aparelho construído por volta de c. 100 a.C. com uma função comparável, comprovou que tais dispositivos sofisticados eram de facto conhecidos pelos antigos gregos, levando alguns estudiosos a considerar as criações de Arquimedes como precursoras.

Durante seu mandato como questor na Sicília, Cícero localizou o que se acreditava ser o túmulo de Arquimedes perto do Portão Agrigento, em Siracusa, em estado de abandono e obscurecido pela vegetação. Ele providenciou a restauração do túmulo, que revelou uma escultura e versos inscritos legíveis. Notavelmente, a tumba apresentava uma escultura representando a prova matemática preferida de Arquimedes: que o volume e a área de superfície de uma esfera constituem dois terços de um cilindro abrangente, incluindo suas bases.

Matemática

Embora frequentemente reconhecido pelas suas invenções mecânicas, Arquimedes também avançou significativamente no campo da matemática, tanto ao alargar as metodologias dos seus antecessores para obter novos resultados como ao ser pioneiro nas suas próprias abordagens inovadoras.

Método de exaustão

Em Quadratura da Parábola, Arquimedes faz referência a uma proposição dos Elementos de Euclides, que estabelece que a área de um círculo é proporcional ao seu diâmetro. Esta proposição foi demonstrada utilizando um lema agora denominado propriedade de Arquimedes: “o excesso pelo qual a maior de duas regiões desiguais excede a menor, se adicionado a si mesmo, pode exceder qualquer região limitada”. Antes de Arquimedes, Eudoxo de Cnido e outros matemáticos antigos utilizavam este lema, uma técnica posteriormente conhecida como "método da exaustão", para determinar os volumes de vários sólidos geométricos, incluindo o tetraedro, o cilindro, o cone e a esfera. As provas desses cálculos estão detalhadas no Livro XII dos Elementos de Euclides.

Em Medição de um Círculo, Arquimedes utilizou esse método para demonstrar que a área de um círculo é equivalente à de um triângulo retângulo com base igual ao raio do círculo e altura igual à sua circunferência. Posteriormente, ele aproximou a razão entre o raio e a circunferência, representada por π, inscrevendo um hexágono regular dentro de um círculo e circunscrevendo outro hexágono regular ao seu redor. Ele então dobrou iterativamente o número de lados de cada polígono regular, calculando meticulosamente o comprimento lateral de cada polígono em cada estágio. Este processo iterativo, aumentando o número de lados, rendeu aproximações progressivamente mais precisas do círculo. Após quatro dessas iterações, quando os polígonos atingiram 96 lados, ele estabeleceu que o valor de π estava limitado entre 3⁠§89§/§1213§⁠ (aproximadamente 3,1429) e 3⁠§1819§/71⁠ (aproximadamente 3,1408), um intervalo consistente com o valor real de aproximadamente 3,1416. Além disso, no mesmo trabalho, ele postulou que a raiz quadrada de 3 fica entre ⁠265/153⁠ (aproximadamente 1,7320261) e ⁠1351/780⁠ (aproximadamente 1,7320512), provavelmente derivado de uma metodologia análoga.

Na Quadratura da Parábola, Arquimedes aplicou este método para demonstrar que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é ⁠4/§89§⁠ vezes a área de um triângulo inscrito equivalente, conforme representado na figura a seguir. Ele articulou esta solução como uma série geométrica infinita com uma proporção comum de ⁠§1415§/§1819§⁠:

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2526§ − n = §3738§ + §4243§ − §4849§ + §5556§ − §6162§ + §6869§ − §7475§ + ⋯ = §8788§ §8990§ . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}

O primeiro termo desta série representa a área do triângulo inicial, enquanto o segundo termo corresponde à soma das áreas de dois triângulos menores. Esses triângulos menores possuem bases formadas pelas duas retas secantes menores, e seu terceiro vértice está localizado na intersecção da parábola com uma reta paralela ao seu eixo, passando pelo ponto médio da base. Este processo iterativo continua. A prova utiliza uma variação da série geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, que converge para ⁠§45§/§89§⁠.

Arquimedes aplicou ainda mais esta técnica para determinar as áreas de superfície de esferas e cones, calcular a área de elipses e determinar a região delimitada por uma espiral de Arquimedes.

Método Mecânico

É mais prático fornecer uma prova quando já se possui algum conhecimento do assunto, adquirido através do método, do que empreender uma investigação sem conhecimento prévio.

Além de refinar o método da exaustão, baseado nas contribuições de matemáticos anteriores, Arquimedes inovou uma técnica distinta que empregava o princípio da alavanca para determinar fisicamente as áreas e volumes de figuras geométricas. Um esboço inicial desta prova aparece em Quadratura da Parábola, apresentado junto com a demonstração geométrica, mas uma exposição mais abrangente é fornecida em O Método dos Teoremas Mecânicos. O próprio Arquimedes afirmou que inicialmente derivou resultados em seus trabalhos matemáticos usando esse método mecânico, posteriormente trabalhando ao contrário para aplicar o método da exaustão somente após ter sido estabelecido um valor aproximado para a solução.

Números grandes

Arquimedes também desenvolveu metodologias para a representação de números excepcionalmente grandes.

Em seu tratado The Sand Reckoner, Arquimedes desenvolveu um sistema numérico baseado na miríade (o termo grego para 10.000) para quantificar um número que excede os grãos de areia estimados necessários para preencher o cosmos. Ele postulou um sistema numérico empregando potências de uma miríade de miríades (equivalente a 100 milhões, ou 10.000 × 10.000) e determinou que a quantidade de grãos de areia necessários para preencher o universo seria 8 vigintilhões, ou 8×10⁶³. Através deste esforço, ele ilustrou eficazmente a capacidade da matemática de representar quantidades arbitrariamente vastas.

O Problema do Gado apresenta um desafio de Arquimedes aos matemáticos da Biblioteca de Alexandria, incumbindo-os de enumerar o gado no Rebanho do Sol, uma tarefa que requer a solução de múltiplas equações diofantinas simultâneas. Uma variante mais complexa deste problema exige que certas soluções sejam quadrados perfeitos, produzindo uma resposta numérica excepcionalmente grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Sólido Arquimediano

Em um tratado agora perdido, documentado por Pappus de Alexandria, Arquimedes demonstrou a existência de precisamente treze poliedros semirregulares.

Escritos

Arquimedes divulgou suas descobertas matemáticas por meio de correspondência com estudiosos em Alexandria, com essas comunicações originais compostas em grego dórico, o dialeto predominante na antiga Siracusa.

Sobreviver funciona

A lista subsequente está organizada cronologicamente, aderindo aos critérios terminológicos e históricos atualizados estabelecidos por Knorr (1978) e Sato (1986).

Medição de um círculo

Este tratado conciso compreende três proposições. Está estruturado como uma correspondência dirigida a Dositeu de Pelusium, aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes fornece uma aproximação para o valor de pi (π), demonstrando que ele está entre ⁠223/71⁠ (aproximadamente 3,1408) e ⁠22/§1819§⁠ (aproximadamente 3,1428).

O Reckoner da Areia

Neste tratado, também conhecido como Psammitas, Arquimedes calcula um número que excede a quantidade estimada de grãos de areia necessários para preencher o universo. A obra faz referência ao modelo heliocêntrico do Sistema Solar, avançado por Aristarco de Samos, juntamente com as teorias predominantes sobre as dimensões da Terra, as distâncias entre os objetos celestes e os esforços para determinar o diâmetro aparente do Sol. Empregando um sistema numérico baseado em potências da miríade, Arquimedes deduz que o número total de grãos de areia necessários para preencher o universo equivale a 8×10⁶³ na notação científica contemporânea. A epístola introdutória identifica o pai de Arquimedes como Fídias, um astrônomo. Notavelmente, The Sand Reckoner permanece como a única obra existente onde Arquimedes articula suas perspectivas astronômicas.

No Sand-Reckoner, Arquimedes examina medições astronômicas relativas à Terra, ao Sol e à Lua, juntamente com o modelo heliocêntrico do universo de Aristarco. Na falta de trigonometria ou de uma tabela de cordas, Arquimedes determinou o diâmetro aparente do Sol detalhando primeiro a metodologia observacional e a instrumentação (uma haste reta com pinos ou ranhuras), posteriormente aplicando fatores corretivos a esses dados empíricos e, finalmente, apresentando o resultado como um intervalo definido por limites superiores e inferiores, acomodando assim possíveis imprecisões observacionais.

Ptolomeu, citando Hiparco, também alude às observações do solstício de Arquimedes em o Almagesto. Consequentemente, Arquimedes é reconhecido como o primeiro estudioso grego a documentar múltiplas datas e horários do solstício em anos sucessivos.

Sobre o equilíbrio dos planos

O tratado Sobre o Equilíbrio dos Planos compreende dois volumes: o volume inicial apresenta sete postulados e quinze proposições, enquanto o volume subsequente inclui dez proposições. No primeiro volume, Arquimedes demonstra rigorosamente a lei da alavanca, que afirma que:

As magnitudes estão em equilíbrio em distâncias reciprocamente proporcionais aos seus pesos.

Formulações anteriores do princípio da alavanca aparecem em uma obra de Euclides e nos Problemas Mecânicos, um texto associado à escola Peripatética, adeptos de Aristóteles, cuja autoria ocasionalmente é atribuída a Arquitas.

Arquimedes aplica esses princípios derivados para determinar as áreas e centros de gravidade de diversas configurações geométricas, como triângulos, paralelogramos e parábolas.

Quadratura da parábola

Composto por 24 proposições e dedicado a Dositeu, este tratado demonstra através de duas metodologias distintas que a região delimitada por uma parábola e uma reta secante constitui quatro terços da área de um triângulo possuindo base e altura equivalentes. Esta conquista é realizada através de duas abordagens: inicialmente, empregando o princípio da alavanca e, posteriormente, calculando a soma de uma série geométrica infinita com uma razão comum de 1/4.

Na esfera e no cilindro

Neste tratado de dois volumes, também dedicado a Dositeu, Arquimedes extrai sua descoberta mais célebre: a relação fundamental entre uma esfera e seu cilindro circunscrito, desde que compartilhem altura e diâmetro idênticos. Especificamente, o volume da esfera é calculado como ⁠4/§67§⁠πr§1617§, enquanto o volume do cilindro é 2πr§2425§. A área da superfície da esfera é determinada como 4πr§3233§, e para o cilindro (incluindo suas duas bases), é 6πr§4041§, onde r denota o raio comum de ambos a esfera e o cilindro.

Em espirais

Composto por 28 proposições, este tratado é igualmente dedicado a Dositeu. Introduz formalmente a curva agora reconhecida como espiral de Arquimedes. Esta espiral é caracterizada como o lugar geométrico dos pontos gerados por um ponto que se afasta uniformemente de uma origem fixa ao longo de uma linha que gira simultaneamente a uma velocidade angular constante. Nas coordenadas polares contemporâneas (r, θ), sua representação matemática é dada pela equação ${\displaystyle \,r=a+b\theta }$, onde a e b são constantes reais.

Isso representa um exemplo inicial de uma curva mecânica (definida como uma curva gerada por um ponto móvel) investigada por um matemático helênico.

Sobre Conoides e Esferoides

Este tratado, composto por 32 proposições, é dedicado a Dositeu. Neste texto, Arquimedes calcula as áreas de superfície e os volumes de várias seções derivadas de cones, esferas e parabolóides.

Em corpos flutuantes

A obra Sobre Corpos Flutuantes está dividida em dois livros. No volume inicial, Arquimedes articula os princípios que regem o equilíbrio dos fluidos e demonstra que a água assume naturalmente uma configuração esférica em torno do seu centro de gravidade.

Este tratado apresenta o princípio da flutuabilidade de Arquimedes, articulado da seguinte forma:

Qualquer corpo total ou parcialmente imerso em fluido experimenta um impulso ascendente igual, mas em direção oposta, ao peso do fluido deslocado.

A segunda parte envolve o cálculo das posições de equilíbrio para várias seções de parabolóides. Esta análise provavelmente serviu de idealização para as formas dos cascos dos navios. Certas seções são representadas flutuando com a base submersa e o ápice acima da água, de forma análoga à flutuabilidade observada nos icebergs.

Ostomachion

Alternativamente referido como Lóculo de Arquimedes ou Caixa de Arquimedes, constitui um quebra-cabeça de dissecação semelhante a um Tangram. O tratado associado foi descoberto em um estado mais abrangente dentro do Palimpsesto de Arquimedes. Arquimedes calculou as áreas das suas 14 peças constituintes, que podem ser organizadas para construir um quadrado. Em 2003, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, postulou que o objetivo de Arquimedes era determinar o número total de configurações nas quais essas peças poderiam ser montadas para formar um quadrado. Os cálculos de Netz indicam que 17.152 arranjos distintos das peças podem resultar em um quadrado. Excluindo soluções consideradas equivalentes através de rotação e reflexão, o número total de arranjos únicos é 536. Este quebra-cabeça exemplifica um desafio inicial no campo da combinatória.

A etimologia da designação do quebra-cabeça permanece ambígua; no entanto, foi proposto que sua derivação deriva do termo grego antigo para "garganta" ou "garganta", stomachos (στόμαχος). Ausônio se referiu ao quebra-cabeça como Ostomachion, um termo composto grego construído a partir das raízes lexicais de osteon (ὀστέον, 'osso') e machē (μάχη, 'luta').

O problema do gado

Neste tratado, dirigido a Eratóstenes e aos matemáticos alexandrinos, Arquimedes apresentou-lhes o desafio de enumerar o gado dentro do Rebanho do Sol, uma tarefa que necessitava da resolução de múltiplas equações diofantinas simultâneas. Em 1773, Gotthold Ephraim Lessing identificou esta obra dentro de um manuscrito grego, compreendendo um poema de 44 versos, guardado na Biblioteca Herzog August em Wolfenbüttel, Alemanha. Existe uma variante mais complexa do problema, em que certas soluções devem ser quadrados perfeitos. A. Amthor forneceu a solução inicial para esta versão específica do problema em 1880, produzindo um resultado numérico excepcionalmente grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

O Método dos Teoremas Mecânicos

Semelhante ao O Problema do Gado, O Método dos Teoremas Mecânicos foi composto como uma comunicação epistolar dirigida a Eratóstenes em Alexandria.

Neste tratado, Arquimedes emprega uma metodologia inovadora, uma manifestação incipiente do princípio de Cavalieri, para restabelecer as conclusões dos tratados enviados a Dositeu (Quadratura da Parábola, Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre Espirais, Sobre Conoides e Esferoides), que ele já havia fundamentado usando o método da exaustão. Isto envolveu a aplicação da lei da alavanca, conforme detalhado em Sobre o Equilíbrio dos Planos, inicialmente para determinar o centro de gravidade de um objeto e, posteriormente, empregando o raciocínio geométrico para facilitar a derivação de seu volume. Arquimedes indica explicitamente que utilizou esta abordagem para deduzir os resultados apresentados nos tratados enviados a Dositeu antes da sua prova mais rigorosa através do método da exaustão, afirmando a utilidade de conhecer a veracidade de um resultado antes de empreender a sua demonstração rigorosa. Isso é análogo a como Eudoxo de Cnido foi auxiliado na demonstração de que o volume de um cone é um terço do volume de um cilindro, em virtude de Demócrito ter afirmado anteriormente essa verdade, com base no argumento de que o volume de uma pirâmide é um terço do volume de um prisma retangular com base idêntica.

Este tratado foi considerado perdido até a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes em 1906.

Obras apócrifas

Obras adicionais de atribuição duvidosa a Arquimedes incluem o poema latino dos séculos IV ou V Carmen de ponderibus et mensuris, que detalha a aplicação de uma balança hidrostática para resolver o problema da coroa, e o texto do século XII Mappae clavicula, fornecendo instruções para avaliar metais através do cálculo de suas gravidades específicas.

Obras perdidas

Muitas das obras escritas de Arquimedes não sobreviveram ou existem apenas como fragmentos fortemente editados. Por exemplo, Pappus de Alexandria faz referência a On Sphere-Making, um tratado sobre poliedros semirregulares e outro sobre espirais. Da mesma forma, Téon de Alexandria cita um comentário sobre a refração da obra atualmente perdida, Catoptrica. O tratado Princípios, dedicado a Zeuxippus, elucidou o sistema numérico empregado em The Sand Reckoner. Outros trabalhos notáveis ​​incluem Sobre Balanças e Sobre Centros de Gravidade.

Estudiosos islâmicos medievais atribuíram a Arquimedes uma fórmula para determinar a área de um triângulo com base no comprimento de seus lados. Esta fórmula é agora reconhecida como a fórmula de Heron, atribuída à sua aparição inicial documentada nos escritos de Heron de Alexandria do século I dC. Conjectura-se que Arquimedes possa ter provado esta fórmula num tratado agora perdido.

O Palimpsesto de Arquimedes

Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg viajou para Constantinopla para inspecionar um pergaminho de pele de cabra de 174 páginas contendo orações do século XIII. Seu Heiberg verificou que o documento era um palimpsesto, caracterizado por texto inscrito sobre uma obra anterior e apagada. A criação de palimpsestos, envolvendo a raspagem de tinta de manuscritos existentes para reutilização, era uma prática predominante durante a Idade Média devido ao alto custo do pergaminho. Os estudiosos posteriormente identificaram os textos subjacentes a este palimpsesto como cópias do século X dos tratados anteriormente perdidos de Arquimedes. O palimpsesto contém sete tratados, incluindo nomeadamente a única cópia existente de Sobre Corpos Flutuantes no seu original grego. Além disso, representa a única fonte conhecida para O Método dos Teoremas Mecânicos, uma obra mencionada por Suidas e anteriormente considerada irrevogavelmente perdida. O Estômago também foi encontrado dentro do palimpsesto, oferecendo uma análise mais abrangente do quebra-cabeça do que as descobertas textuais anteriores.

O Palimpsesto de Arquimedes contém os seguintes tratados:

• Sobre o equilíbrio dos planos
• Em espirais
• Medição de um círculo
• Na esfera e no cilindro
• Sobre corpos flutuantes
• O Método dos Teoremas Mecânicos
• Estômago
• Orações do político Hypereides do século IV a.C.
• Um comentário crítico sobre as Categorias
de Aristóteles
• Trabalhos Adicionais

O pergaminho permaneceu numa biblioteca monástica em Constantinopla durante séculos antes de ser adquirido por um colecionador particular na década de 1920. Em 29 de outubro de 1998, foi leiloado a um comprador não revelado por US$ 2,2 milhões. Posteriormente, o palimpsesto foi alojado no Walters Art Museum em Baltimore, Maryland, onde foi submetido a vários exames avançados, incluindo imagens ultravioleta e de raios X, para decifrar o texto subjacente. Desde então, foi devolvido ao seu proprietário anônimo.

Legado

Muitas vezes referido como o progenitor da matemática e da física matemática, Arquimedes é quase universalmente reconhecido pelos historiadores da ciência e da matemática como o matemático proeminente da antiguidade.

Antiguidade Clássica

A fama de Arquimedes pelas inovações mecânicas durante a antiguidade clássica está amplamente documentada. Ateneu, em seu Deipnosophistae, detalha a supervisão de Arquimedes na construção do Syracusia, o maior navio conhecido da antiguidade, enquanto Apuleio discute suas contribuições para a catóptrica. Embora Plutarco tenha afirmado que Arquimedes desprezava a mecânica, priorizando a geometria pura, os estudos contemporâneos descartam isso como uma deturpação. Acredita-se que esta perspectiva tenha sido construída para reforçar os princípios filosóficos platônicos de Plutarco, em vez de retratar Arquimedes com precisão. Além disso, em contraste com as suas invenções, os tratados matemáticos de Arquimedes receberam reconhecimento limitado na antiguidade, fora dos círculos de matemáticos alexandrinos. A compilação abrangente inicial de suas obras não foi realizada até aproximadamente c. 530 d.C. por Isidoro de Mileto na Constantinopla bizantina. Ao mesmo tempo, os comentários de Eutócio sobre os escritos de Arquimedes, produzidos no início do mesmo século, ampliaram significativamente a sua acessibilidade a um público mais amplo.

Idade Média

O corpus de Arquimedes foi traduzido para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.) e posteriormente do árabe para o latim por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187). Mais tarde, traduções diretas do grego para o latim foram executadas por Guilherme de Moerbeke (c. 1215–1286) e Iacobus Cremonensis (c. 1400–1453).

Renascença e Europa Moderna

A Editio princeps (Primeira Edição) das obras de Arquimedes, publicada em Basileia em 1544 por Johann Herwagen, apresentava seus escritos em grego e latim. Esta publicação serviu como um recurso intelectual significativo para cientistas durante a Renascença e no século XVII.

Leonardo da Vinci expressava frequentemente a sua admiração por Arquimedes, atribuindo-lhe mesmo o crédito pela invenção do Architonnerre. Galileu Galilei elogiou Arquimedes como "sobre-humano" e "meu mestre", enquanto Christiaan Huygens declarou: "Acho que Arquimedes não é comparável a ninguém", modelando deliberadamente seus primeiros esforços depois dele. Gottfried Wilhelm Leibniz observou: "Aquele que entende Arquimedes e Apolônio admirará menos as realizações dos homens mais importantes dos tempos posteriores."

O numismata e arqueólogo italiano Filippo Paruta (1552-1629), junto com Leonardo Agostini (1593-1676), documentou uma moeda de bronze descoberta na Sicília. Esta moeda apresentava no anverso um retrato de Arquimedes e um cilindro e esfera, acompanhados do monograma latino ARMD, no reverso. Embora o paradeiro atual da moeda seja desconhecido e a data precisa de sua cunhagem permaneça não estabelecida, Ivo Schneider caracterizou a imagem reversa como "uma esfera apoiada em uma base - provavelmente uma imagem aproximada de um dos planetários criados por Arquimedes". Schneider levantou ainda a hipótese de que a moeda poderia ter sido cunhada em Roma por Marcelo, que, "de acordo com relatos antigos, trouxe consigo duas esferas de Arquimedes para Roma".

Na Matemática Moderna

Carl Friedrich Gauss tinha Arquimedes e Isaac Newton em alta estima; Moritz Cantor, aluno de Gauss na Universidade de Göttingen, relatou a observação de Gauss de que "houve apenas três matemáticos que marcaram época: Arquimedes, Newton e Eisenstein". Da mesma forma, Alfred North Whitehead afirmou que "no ano 1500 a Europa sabia menos do que Arquimedes que morreu no ano 212 AC." Reviel Netz, um historiador da matemática, repetiu a famosa declaração de Whitehead sobre Platão e a filosofia, declarando que “a ciência ocidental é apenas uma série de notas de rodapé para Arquimedes”, designando-o ainda “o cientista mais importante que já existiu”. Eric Temple Bell também observou que "Qualquer lista dos três 'maiores' matemáticos de toda a história incluiria o nome de Arquimedes. Os outros dois geralmente associados a ele são Newton e Gauss. Alguns, considerando a relativa riqueza - ou pobreza - da matemática e da ciência física nas respectivas épocas em que esses gigantes viveram, e estimando suas realizações em relação ao pano de fundo de sua época, colocariam Arquimedes em primeiro lugar." O Palimpsesto de Arquimedes rendeu novos insights sobre seus métodos para derivar resultados matemáticos.

A Medalha Fields, concedida por realizações excepcionais em matemática, apresenta um retrato de Arquimedes ao lado de uma gravura representando sua prova sobre a esfera e o cilindro. Ao redor da cabeça de Arquimedes há uma inscrição em latim, atribuída ao poeta do século I dC, Manilius, que afirma: Transire suum pectus mundoque potiri ("Elevar-se acima de si mesmo e compreender o mundo").

Influência Cultural

O SS Archimedes, lançado em 1839, tem a distinção de ser o navio a vapor inaugural do mundo equipado com uma hélice de parafuso, nomeado em homenagem a Arquimedes e suas contribuições para a compreensão do mecanismo de parafuso.

Arquimedes apareceu em selos postais emitidos por vários países, incluindo Alemanha Oriental (1973), Grécia (1983), Itália (1983), Nicarágua (1971), San Marino (1982) e Espanha (1963).

A exclamação "Eureka!", famosamente atribuída a Arquimedes, serve como lema do estado da Califórnia. Neste contexto específico, o termo significa a descoberta de ouro perto de Sutter's Mill em 1848, um evento que precipitou a Corrida do Ouro na Califórnia.

Uma cratera lunar, Arquimedes (29,7°N 4,0°W / 29.7; -4.0) e uma cordilheira lunar, os Montes Arquimedes (25,3°N 4,6°W / 25.3; -4,6), são nomeados em sua homenagem na Lua.

Arbelos

• Arbelos
• Ponto Arquimediano
• Número de Arquimedes
• Paradoxo de Arquimedes
• Métodos para calcular raízes quadradas
• Salinón
• Canhão de Vapor
• Círculos Gêmeos
• Zhang Heng

Notas

Notas de rodapé

Citações

Referências

Testemunho Antigo

• Plutarco, *Vida de Marcelo*
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