David Hilbert

David Hilbert (; Almanca: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 Ocak 1862 - 14 Şubat 1943), kendi döneminde bu alandaki en etkili figürlerden biri olarak tanınan tanınmış bir Alman matematikçi ve matematik filozofuydu.

David Hilbert (; Almanca: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23 Ocak 1862 - 14 Şubat 1943) bir Alman matematikçi ve matematik filozofu ve döneminin en etkili matematikçilerinden biriydi.

Hilbert'in katkıları; değişmez teori, varyasyonlar hesabı, değişmeli cebir, cebirsel sayı teorisi, geometrinin temelleri, integral denklemlere uygulamaları ile operatörlerin spektral teorisi, matematiksel fizik ve matematiğin temelleri, özellikle de ispat teorisi dahil olmak üzere çok sayıda temel kavramın keşfini ve geliştirilmesini kapsıyordu. Georg Cantor'un küme teorisinin ve sonlu ötesi sayıların sadık bir savunucusuydu. 1900 yılında ufuk açıcı bir problem koleksiyonu sunması, 20. yüzyıl boyunca matematiksel araştırmanın gidişatını önemli ölçüde şekillendirdi.

Hilbert, öğrencileriyle birlikte, matematiksel kesinliğin oluşturulmasında ve çağdaş matematiksel fizikte kullanılan temel araçların tasarlanmasında çok önemli bir rol oynadı. Aynı zamanda hem kanıt teorisinin hem de matematiksel mantığın kurucu ortağı olarak tanınmaktadır.

Hayat

Erken yaşam ve eğitim

İlçe hakimi Otto ile bir tüccarın kızı olan Maria Therese Hilbert'in (kızlık soyadı Erdtmann) iki çocuğundan en büyüğü ve tek oğlu olan David Hilbert, Prusya Krallığı'nın Prusya Eyaleti'nde doğdu. Doğum yeri, Hilbert'in kişisel hesabına göre Königsberg (bugünkü Kaliningrad) veya babasının doğduğu sırada çalıştığı Königsberg yakınında bulunan Wehlau (1946'dan beri Znamensk olarak biliniyor) olarak kaydedildi. Babasının büyükbabası (aynı zamanda David Hilbert) yargıç ve Geheimrat olarak görev yapıyordu. Annesi Maria felsefe, astronomi ve asal sayılara ilgi duyarken, babası Otto ona Prusya erdemlerini aşıladı. Babasının şehir hakimi olarak atanmasının ardından aile Königsberg'e taşındı. Altı yaşındayken kız kardeşi Elise doğdu. Hilbert örgün eğitimine sekiz yaşında, yani tipik başlangıç ​​yaşının iki yıl ötesinde başladı.

1872 sonlarında Hilbert, 140 yıl önce Immanuel Kant'ın da gittiği bir okul olan Friedrichskolleg Gymnasium'a (Collegium fridericianum) kaydoldu. Ancak tatmin edici olmayan bir dönemin ardından 1879'un sonlarında transfer oldu ve ardından 1880'in başlarında daha bilim odaklı bir müfredat sunan Wilhelm Gymnasium'dan mezun oldu. Hilbert, 1880 sonbaharındaki mezuniyetinin ardından "Albertina" olarak bilinen Königsberg Üniversitesi'ne kaydoldu. Hilbert'ten iki yaş küçük olan ve aynı zamanda Königsberg yerlisi olan (Berlin'de üç dönem geçirmiş olmasına rağmen) Hermann Minkowski, 1882'nin başlarında şehre döndü ve üniversiteye katıldı. Hilbert daha sonra çekingen ama yetenekli Minkowski ile ömür boyu sürecek bir dostluk kurdu.

Kariyer

1884 yılında, Adolf Hurwitz Göttingen'deki fakülteye Olağanüstü, yani doçentliğe eşdeğer olarak katıldı. Bu, üç akademisyen arasında, özellikle Minkowski ve Hilbert'in ilgili bilimsel kariyerleri boyunca karşılıklı etkide bulunduğu yoğun ve verimli bir bilimsel işbirliğinin başlangıcını işaret ediyordu. Hilbert, 1885 yılında Ferdinand von Lindemann'ın danışmanlığında doktora tezini başarıyla savundu. Tezin başlığı Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen idi; bu, "Özel ikili formların değişmez özellikleri, özellikle de küresel harmonik fonksiyonlar üzerine" anlamına gelir.

Hilbert, 1970'lerden itibaren Königsberg Üniversitesi'nde Privatdozent (kıdemli öğretim görevlisi) olarak görev yaptı. 1886'dan 1895'e. 1895'te Felix Klein'ın desteğiyle Göttingen Üniversitesi'nde Matematik Profesörü pozisyonunu güvence altına aldı. Klein ve Hilbert'in aktif olduğu dönem, Göttingen'i küresel matematik topluluğunun önde gelen kurumuna dönüştürdü. Hayatının geri kalanında görevine orada devam etti.

Göttingen okulu

Hilbert'in öğrencileri arasındaki önemli kişiler arasında Hermann Weyl, satranç şampiyonu Emanuel Lasker, Ernst Zermelo ve Carl Gustav Hempel vardı. John von Neumann asistanı olarak görev yaptı. Hilbert, Göttingen Üniversitesi'nde, aralarında Emmy Noether ve Alonzo Church'ün de bulunduğu 20. yüzyılın en önemli matematikçilerinden birçoğunu kapsayan seçkin bir entelektüel topluluğun parçasıydı.

Göttingen'deki 69 doktora öğrencisinden birçoğu daha sonra matematikçi olarak ün kazandı; bunlar arasında (tezin tamamlandığı yılla birlikte): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl yer alıyor. (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) ve Wilhelm Ackermann (1925). Hilbert, 1902'den 1939'a kadar o zamanın önde gelen matematik dergisi olan Mathematische Annalen'in editörlüğünü yaptı. 1907'de Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi'nin Uluslararası Üyesi seçildi.

Kişisel yaşam

1892'de Hilbert, Königsbergli bir tüccarın kızı olan Käthe Jerosch (1864–1945) ile evlendi. Jerosch, "[Hilbert'inkiyle] eşleşen özgür düşünceye sahip, açık sözlü bir genç bayan" olarak nitelendiriliyordu. Königsberg'de kaldıkları süre boyunca Franz Hilbert (1893–1969) adında bir oğulları vardı. Franz ömür boyu akıl hastalığı yaşadı ve bir psikiyatri kliniğine kabul edilmesinin ardından Hilbert'in, "Bundan sonra kendimi bir oğlumun olmadığını düşünmeliyim" dediği bildirildi. Bu duruş Käthe'yi derinden üzdü.

Hilbert, matematikçi Hermann Minkowski'yi en yakın ve en güvendiği arkadaşı olarak görüyordu.

Hilbert, Prusya Evanjelist Kilisesi'nde vaftiz edildi ve bir Kalvinist olarak yetiştirildi. Daha sonra Kilise'den ayrıldı ve agnostik bir dünya görüşünü benimsedi. Ayrıca matematiksel doğruluğun ilahi varoluştan veya diğer a priori varsayımlardan bağımsız olarak var olduğunu ileri sürdü. Galileo Galilei'nin güneş merkezli inançlarını desteklemediği yönündeki eleştirilere yanıt veren Hilbert şunu ileri sürdü: "Fakat [Galileo] bir aptal değildi. Bilimsel gerçeğin şehitliğe ihtiyacı olduğuna yalnızca bir aptal inanabilir; bu dinde gerekli olabilir, ancak bilimsel sonuçlar zamanı geldiğinde kendini kanıtlar."

Sonraki Yaşam

Albert Einstein'a benzer şekilde Hilbert, Kurt Grelling, Hans Reichenbach ve Walter Dubislav'ın da aralarında bulunduğu ana kurucuları Göttingen'deki öğrencileri olan Berlin Grubu ile yakın ilişkiler sürdürdü.

Yaklaşık 1925'te Hilbert, o zamanlar tedavi edilemeyen ve öncelikle bitkinlik olarak kendini gösteren bir vitamin eksikliği olan zararlı anemiye yakalandı. Asistanı Eugene Wigner, Hilbert'in "muazzam bir yorgunluk" yaşadığını ve "oldukça yaşlı" göründüğünü belirtti. Wigner ayrıca, teşhis ve ardından gelen tedaviden sonra bile Hilbert'in "1925'ten sonra pek bir bilim adamı olmadığını ve kesinlikle bir Hilbert olmadığını" belirtti.

Hilbert, 1932'de Amerikan Felsefe Derneği'nin bir üyesi olarak seçildi.

Hilbert, Nazi rejiminin 1933'te Göttingen Üniversitesi'nden çok sayıda seçkin öğretim üyesini tasfiye etmesine tanık oldu. Görevden alınanlar arasında, Hilbert'in başkanlığını üstlenen Hermann Weyl de vardı. 1930'da emeklilik; Emmy Noether; ve Edmund Landau. Almanya'yı terk etmek zorunda kalan bir başka kişi olan Paul Bernays, Hilbert'le matematiksel mantık konusunda işbirliği yapmış ve sonunda 1934 ve 1939'da iki cilt halinde yayınlanan Grundlagen der Mathematik adlı önemli çalışmanın ortak yazarlığını yapmıştı. Bu yayın, Hilbert-Ackermann'ın Matematiksel Mantığın Prensipleri (1928) adlı cildin devamı niteliğindeydi. Helmut Hasse, Hermann Weyl'in yerini aldı.

Tasfiyeden yaklaşık bir yıl sonra Hilbert, yeni atanan Eğitim Bakanı Bernhard Rust'un yanında oturduğu bir ziyafete katıldı. Rust, "Matematik Enstitüsü'nün Yahudilerin ayrılışından dolayı gerçekten bu kadar acı çekip çekmediğini" sordu. Hilbert'in dokunaklı yanıtı şu oldu: "Acı çektiniz mi? Artık mevcut değil, değil mi?"

Ölüm

Hilbert'in 1943'teki ölümüyle birlikte, Nazi rejimi, büyük ölçüde Yahudi olan veya Yahudilerle evli kişilerin işten çıkarılması nedeniyle, üniversitenin öğretim kadrosunun neredeyse tamamını değiştirmişti. Cenazesine çok az katılım oldu; aralarında yalnızca iki akademisyen arkadaşının da bulunduğu bir düzineden az kişi vardı; bunlardan biri teorik fizikçi ve Königsberg yerlisi olan Arnold Sommerfeld'di. Ölümüne dair kamuoyunun farkındalığı, ölümünden yalnızca birkaç ay sonra ortaya çıktı.

Hilbert'in Göttingen'deki mezar taşına yazılan kitabede, Hilbert'in 8 Eylül 1930'da Alman Bilim Adamları ve Hekimler Derneği'ne yaptığı emeklilik konuşmasının sonunda yaptığı ünlü açıklamalar yer alıyor. Bu sözler, "Bilmiyoruz" anlamına gelen "Ignoramus et ignorabimus" Latince özdeyişine yanıt olarak kullanılmıştı. ve biz bunu bilemeyeceğiz":

Hilbert'in Alman Bilim Adamları ve Hekimler Derneği'nin 1930'daki yıllık toplantısında bu cümleleri söylemesinden önceki gün, Kurt Gödel, Dernek toplantılarıyla eşzamanlı olarak düzenlenen Epistemoloji Konferansı'ndaki yuvarlak masa tartışması sırasında, eksiklik teoreminin ilk formülasyonunu geçici olarak sundu. Gödel'in eksiklik teoremleri, Peano aritmetiği gibi temel aksiyomatik sistemlerin bile ya doğası gereği kendi kendisiyle çelişkili olduğunu ya da o sistemin sınırları içinde kanıtlanamayan ya da çürütülmesi mümkün olmayan mantıksal önermeleri kapsadığını göstermektedir.

Matematik ve Fiziğe Katkılar

Gordan Sorununun Çözümü

Hilbert'in değişmez fonksiyonlar üzerine ilk araştırması 1888'de ünlü sonluluk teoreminin sunumuyla doruğa ulaştı. Yirmi yıl önce Paul Gordan, karmaşık bir hesaplama metodolojisi kullanarak, ikili formlar için üreteçlerin sonluluğuna ilişkin teoremi oluşturmuştu. Gordan'ın yaklaşımını ikiden fazla değişken içeren fonksiyonlara genişletme girişimleri, muazzam hesaplama karmaşıklığı nedeniyle başarısız oldu. Hilbert, bazı akademik çevrelerde Gordan'ın Sorunu olarak bilinen sorunu ele almak için tamamen farklı bir strateji benimsemenin gerekliliğini fark etti. Sonuç olarak, herhangi bir sayıda değişken boyunca kuantiğin değişmezleri için sonlu bir üreteç kümesinin varlığını gösteren Hilbert'in temel teoremini formüle etti. Ancak bu kanıt soyuttu ve böyle bir kümeyi tanımlamak için yapıcı bir yöntem sağlamadan varoluşu tesis ediyordu; sonsuz bir genişleme içinde ortanın hariç tutulması yasasına dayanıyordu.

Hilbert bulgularını Mathematische Annalen dergisine sundu. Mathematische Annalen için değişmez teori konusunda derginin yerleşik otoritesi olarak görev yapan Gordan, Hilbert teoreminin çığır açan doğasını kavrayamadı ve ardından yeterince kapsamlı bir açıklamayı gerekçe göstererek taslağı reddetti. Yorumunda şunlar belirtildi:

Buna karşılık Klein, çalışmanın önemini kabul etti ve herhangi bir düzeltme yapılmadan yayınlanacağını garanti etti. Klein'dan cesaret alan Hilbert, daha sonraki bir makalede metodolojisini genişleterek minimum jeneratör grubunun maksimum derecesi için tahminler sundu ve bunu Annalen'e yeniden sundu. Taslağı inceledikten sonra Klein, Hilbert'e şunları aktardı:

Kuşkusuz bu, Annalen'in şimdiye kadar yayınladığı genel cebir üzerine en önemli çalışmadır.

Hilbert'in yönteminin kullanımının evrensel kabul görmesinin ardından Gordan şunları söyledi:

Kendimi teolojinin bile yararları olduğuna ikna ettim.

Başarılarına rağmen Hilbert'in ispatının doğası, öngörülemeyen zorluklara yol açtı. Kronecker sonunda kabul etse de, Hilbert daha sonra benzer eleştirilere "birçok farklı yapının tek bir temel fikir altında toplandığını" veya Reid'in ifade ettiği gibi "Varlık kanıtı aracılığıyla Hilbert bir yapı elde edebildiğini" ileri sürerek yanıt verdi; dolayısıyla "kanıt" (yani yazılı semboller) "nesne"ydi. Bu bakış açısı evrensel olarak ikna edici olmadı. Kısa bir süre sonra Kronecker'in ölümü gerçekleşirken, onun yapılandırmacı felsefesi, genç Brouwer'in önderlik ettiği, ortaya çıkan sezgici "okul" aracılığıyla varlığını sürdürdü ve Hilbert'in sonraki yıllarında ciddi sıkıntı yaşamasına neden oldu. Gerçekten de Hilbert, "yetenekli öğrencisi" Weyl'in sezgiciliği benimsediğine tanık oldu; bu, "eski öğrencisinin Brouwer'in fikirlerine olan hayranlığından Hilbert'i rahatsız eden ve Hilbert'te Kronecker'in anısını uyandıran" bir gelişme. Brouwer, bir sezgici olarak, Hilbert'in kullandığı bir ilke olan Dışlanmış Orta Yasasının sonsuz kümelere uygulanmasına özellikle karşı çıktı. Hilbert'in cevabı şuydu:

Matematikçiden Hariç Tutulan Orta Prensibini almak... boksörün yumruklarını kullanmasını yasaklamakla aynı şeydir.

Nullstellensatz

Cebirde, bir alan, üzerinde tanımlanan her polinomun o alan içinde bir köke sahip olması durumunda cebirsel olarak kapalı olarak tanımlanır. Bu kavramı temel alarak Hilbert, bir ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \ in \Lambda }$ polinomlar ${\displaystyle n}$ değişkenleri ortak bir kökü paylaşır. Bu durum tam olarak polinom olmadığında geçerlidir ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}$ ve indeksler ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ aşağıdaki denklemi sağlıyor:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}}) .

Bu önemli bulgu resmi olarak Hilbert kök teoremi olarak tanınmaktadır ve Almanca adı "Hilberts Nullstellensatz" olarak da bilinmektedir. Dahası Hilbert, kaybolan idealler ve bunlarla ilişkili yok olan kümeler arasında, özellikle afin çeşitleri ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$.

Eğri

1890'da Giuseppe Peano, Mathematische Annalen'de yayınlanan bir makalede tarihsel olarak belgelenen ilk uzay doldurma eğrisini tanıttı. Daha sonra Hilbert, şu anda Hilbert eğrisi olarak bilinen bu eğrinin kendi varyantını geliştirdi. Bu eğrinin yinelemeli yaklaşımları, bu bölümün ilk şeklinde gösterilen değiştirme kurallarına dayalı olarak oluşturulur. Eğrinin kendisi bu yaklaşımların noktasal sınırı olarak tanımlanır.

Geometrinin aksiyomatizasyonu

1899'da Hilbert, Öklid'in geleneksel önermelerinin yerine Hilbert aksiyomları olarak bilinen resmi bir aksiyomlar dizisi öneren, Geometrinin Temelleri olarak çevrilen Grundlagen der Geometrie'yi yayınladı. Bu yeni aksiyomlar, o zamanlar hala yaygın bir şekilde ders kitabı olarak kullanılan Öklid'in çalışmasında belirlenen zayıflıkları ele alıyordu. Hilbert'in aksiyomlarını tam olarak tanımlamak, Grundlagen'in yayın geçmişine atıfta bulunmayı gerektirir; çünkü Hilbert bunları birçok kez gözden geçirip değiştirmiştir. İlk monografın hemen ardından Hilbert'in Tamlık Aksiyomu V.2'yi eklediği Fransızca çevirisi geldi. Hilbert tarafından yetkilendirilmiş ve 1902'de E.J. tarafından telif hakkı alınmış bir İngilizce çeviri. Townsend, Fransızca baskıdaki değişiklikleri birleştirdi ve bu nedenle ikinci baskının çevirisi olarak kabul edildi. Hilbert metinde değişiklikler yapmaya devam etti ve bunun sonucunda birkaç Almanca baskı ortaya çıktı; yedincisi yaşamı boyunca yayınlanan son baskıydı. Sonraki baskılar yedinciden sonra çıktı, ancak ana metin büyük ölçüde değiştirilmeden kaldı.

Hilbert'in metodolojisi, Moritz Pasch'ın 1882'deki çalışmasında öngörülen bir gelişme olan, modern aksiyomatik yaklaşıma doğru çok önemli bir değişime işaret ediyordu. Bu paradigma altında aksiyomlar, apaçık gerçekler olarak görülmüyor. Geometri, güçlü sezgileri uyandıran şeylerle ilgilense de, tanımlanmamış kavramlara açık bir anlam vermek şart değildir. Hilbert'in Schoenflies ve Kötter'e önerdiği gibi, diğerlerinin yanı sıra noktalar, çizgiler ve düzlemler gibi unsurların yerine masa, sandalye veya bira bardakları gibi nesneler konabilir. Bunun yerine odak noktası, bunların tanımlanmış ilişkilerinde yatıyor.

Hilbert başlangıçta tanımlanmamış kavramları sıraladı: nokta, doğru, düzlem, "üzerinde durma" ilişkisi (noktalar ve çizgiler, noktalar ve düzlemler ve çizgiler ve düzlemler arasında geçerlidir), arasındalık, nokta çiftlerinin uyumu (doğru parçaları) ve açıların uyumu. Bu aksiyomlar hem Öklid düzlem geometrisini hem de katı geometriyi birleşik bir sistemde birleştirir.

Yirmi Üç Sorun

1900 yılında Paris'teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Hilbert, çözülmemiş 23 problemden oluşan son derece etkili bir liste sundu. Bu derleme, geniş kesimlerce, şimdiye kadar tek bir matematikçi tarafından formüle edilen açık problemlerin en başarılı ve derinlemesine düşünülmüş derlemesi olarak kabul edilmektedir.

Klasik geometrideki temel çalışmasının ardından Hilbert, yaklaşımını matematiğin tamamına genişletebilirdi. Metodolojisi, Russell-Whitehead'in daha sonraki "temelci" perspektiflerinden ve Nicolas Bourbaki'nin "ansiklopedist" yaklaşımından ve aynı zamanda çağdaşı Giuseppe Peano'dan farklıydı. Hilbert'in problemleri, daha geniş matematik camiasını önemli matematik alanlarının önemli yönlerine dahil etmek için tasarlandı.

Problem seti, Paris'teki İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde verilen "Matematiğin Problemleri" başlıklı bir konferans sırasında tanıtıldı. Hilbert'in bu konuşmaya ilişkin giriş konuşmasında şunlar belirtildi:

Hangimiz arkasında geleceğin saklı olduğu perdeyi kaldırmaktan memnuniyet duymaz ki; bilimimizin sonraki ilerlemelerine ve gelecek yüzyıllardaki gelişiminin sırlarına bir göz atmak ister misiniz? Gelecek nesillerin önde gelen matematik ruhlarının ulaşmak için çabalayacağı hangi özel hedefler olacak? Yeni yüzyıllar matematiksel düşüncenin geniş ve zengin alanında hangi yeni yöntemleri ve yeni gerçekleri ortaya çıkaracak?

Hilbert bu sorunların yarısından azını Kongre'de sundu ve bunların ilk yayınları Kongre tutanaklarında yer aldı. Daha sonraki bir yayında, bu genel bakışı genişleterek artık kanonik hale gelen Hilbert'in 23 Sorunu'nun kesin formülasyonuna yol açtı. Kesin olarak çözülen sorunların sayısına ilişkin olarak bu soruların yorumlanması hâlâ tartışma konusu olabileceğinden metnin tamamı önemini koruyor.

Bu sorunlardan bazıları nispeten hızlı bir şekilde çözüldü. Diğerleri 20. yüzyıl boyunca kapsamlı tartışmaların konusu olmuştur; birkaçının artık kesin bir sonuç elde edemeyecek kadar açık uçlu olduğu düşünülmektedir. Bu problemlerin bir alt kümesi önemli zorluklar yaratmaya devam ediyor.

Aşağıda, Amerikan Matematik Derneği Bülteni'nde yayınlanan 1902 çevirisinde yer alan Hilbert'in 23 probleminin başlıkları yer almaktadır.

1. Cantor'un sürekliliğin asal sayısı sorunu.

2. Aritmetik aksiyomların uyumluluğu.

3. Tabanları ve yükseklikleri eşit olan iki tetrahedranın hacimlerinin eşitliği.

Dördüncü problem, iki nokta arasındaki en kısa mesafe olan düz çizgi kavramını ele alıyor.

Beşinci sorun, özellikle bu grupları tanımlayan fonksiyonların türevlenebilirliğini varsaymadan, Lie'nin sürekli dönüşüm grupları teorisiyle ilgilidir.

Altıncı problem, fiziksel aksiyomların matematiksel olarak formüle edilmesini içerir.

Yedinci problem, belirli sayıların irrasyonellik ve aşkınlık özelliklerini araştırıyor.

Sekizinci problem, özellikle Riemann Hipotezini kapsayan asal sayı dağılımına odaklanıyor.

Dokuzuncu problem, herhangi bir sayı alanı içindeki en genelleştirilmiş karşılıklılık yasası için bir kanıt oluşturmayı amaçlamaktadır.

Onuncu problem Diophantine denklemlerinin çözülebilirliğini belirlemeyi amaçlamaktadır.

Onbirinci problem, rastgele cebirsel sayısal katsayıları içeren ikinci dereceden formları ele alır.

On ikinci problem, Abel alanlarıyla ilgili olan Kronecker teoreminin herhangi bir cebirsel rasyonalite alanını kapsayacak şekilde genişletilmesini içerir.

On üçüncü problem, yalnızca iki argümanla sınırlı fonksiyonları kullanarak genel yedinci derece denklemi çözmenin imkansızlığını araştırıyor.

On dördüncü problem, spesifik tam fonksiyon sistemlerinin sonluluğunu göstermeyi gerektirir.

On beşinci problem, Schubert'in sayım hesabı için sağlam bir temel çerçeve gerektirmektedir.

On altıncı problem cebirsel eğrilerin ve yüzeylerin topolojisiyle ilgilidir.

On yedinci problem, belirli formların karelerin toplamları olarak ifade edilmesini içerir.

On sekizinci problem, uyumlu çokyüzlüler kullanılarak uzayın inşasını araştırıyor.

On dokuzuncu problem, varyasyonlar hesabındaki düzenli problemlerin çözümlerinin her zaman analitik olup olmadığını sorgular.

Yirminci problem, genel sınır değerleri teorisine, özellikle de kısmi diferansiyel denklemlerdeki sınır değer problemlerine yöneliktir.

Yirmi birinci problem, önceden tanımlanmış bir monodromi grubuna sahip doğrusal diferansiyel denklemlerin varlığını kanıtlamayı amaçlamaktadır.

Yirmi saniye problemi, otomorfik fonksiyonların uygulanması yoluyla analitik ilişkilerin tekdüzeleştirilmesini içerir.

Yirmi üçüncü problem, varyasyonlar hesabındaki metodolojilerin daha da geliştirilmesini önermektedir.

Biçimcilik

Yüzyılın ortalarına gelindiğinde Hilbert'in etkili problem seti, 20. yüzyılın önde gelen matematik felsefesi olan formalist okulun ortaya çıkışının yolunu açan temel bir manifesto olarak geniş çapta kabul edildi. Biçimciler, matematiğin yerleşik biçimsel kurallar tarafından yönetilen sembollerin manipülasyonundan oluştuğunu, dolayısıyla özerk bir entelektüel çabayı temsil ettiğini öne sürerler.

Program

1920'de Hilbert, matematiği sağlam ve kapsamlı bir mantıksal çerçeve üzerine kurmayı amaçlayan, daha sonra Hilbert'in programı olarak adlandırılan bir metamatematik araştırma girişimini başlattı. Bu hedefe iki temel prensibin gösterilmesiyle ulaşılabileceğini teorileştirdi:

1. Birincisi, matematiğin tamamının kesin olarak seçilmiş sonlu bir aksiyomatik sistemden türetilebileceği; ve
2. İkincisi, böyle bir aksiyomatik sistemin epsilon hesabı gibi yöntemlerle kanıtlanabilir şekilde tutarlı olabileceğidir.

Hilbert'in bu öneriye ilişkin formülasyonunun hem teknik hem de felsefi değerlendirmeler tarafından motive edildiği görülüyor. Bu, onun, çağdaş Alman düşüncesinde önemli bir entelektüel tartışma olan ve kökenini Emil du Bois-Reymond'dan alan ve "ignorabimus" olarak bilinen kavrama karşı çıkışını özellikle yansıtıyordu.

Bu program, genel olarak formalizm olarak adlandırılan baskın matematik felsefesi içinde tanımlanabilir olmaya devam etmektedir. Örneğin, Bourbaki grubu bu programın değiştirilmiş ve seçici bir yinelemesini uyguladı ve programın ikili hedeflerine uygun olduğunu düşündü: (a) kapsamlı temel metinler derlemek ve (b) aksiyomatik yöntemi bir araştırma aracı olarak savunmak. Bu yaklaşımın Hilbert'in cebir ve fonksiyonel analize olan katkıları açısından başarılı ve etkili olduğu kanıtlansa da, onun fizik ve mantıkla olan ilgilerinde benzer şekilde yankı uyandırmadı.

1919'da Hilbert şunları ifade etti:

Hiçbir bağlamda keyfiliği tartışmıyoruz. Matematik, görevlerin keyfi olarak belirlenmiş kurallarla tanımlandığı bir oyuna benzemez. Bunun yerine, kendi doğasını belirleyen ve her türlü alternatifi dışlayan, içsel bir zorunlulukla donatılmış kavramsal bir sistem oluşturur.

Hilbert'in matematiğin temel ilkelerine ilişkin bakış açıları, iki ciltlik yayını *Grundlagen der Mathematik*'te yayıldı.

Gödel'in Katkıları

Hilbert ve işbirlikçileri bu iddialı girişime derinden bağlıydılar. Bununla birlikte, teorik belirsizlikleri ortadan kaldırmayı amaçlayan, aksiyomatikleştirilmiş matematiği kesin ilkelerle destekleme çabası sonuçta başarısız oldu.

Gödel, temel aritmetiği ifade edebilen herhangi bir tutarlı biçimsel sistemin kendi tamlığını yalnızca kendi içsel aksiyomları ve çıkarım kuralları yoluyla oluşturamayacağını kesin olarak gösterdi. 1931'deki eksiklik teoremi, Hilbert'in kapsamlı programının başlangıçta tasarlandığı şekliyle ulaşılamaz olduğunu ortaya çıkardı. Spesifik olarak, Hilbert'in programının ikinci ilkesi, aksiyomatik sistemin gerçekten sonlu olması koşuluyla, birincisiyle tutarlı bir şekilde bütünleştirilemez.

Bununla birlikte, kanıt teorisindeki sonraki gelişmeler, özellikle matematiksel sorgulamanın merkezinde yer alan teorilerle ilgili olarak tutarlılık kavramını önemli ölçüde açıklığa kavuşturdu. Hilbert'in temel çalışması mantıktaki bu açıklığa kavuşturma gidişatını başlattı. Daha sonra, Gödel'in katkılarını anlama zorunluluğu, özyineleme teorisinin evrimini teşvik etti ve bu teori, 1930'larda matematiksel mantığı özerk bir akademik disiplin olarak kurdu. Ayrıca, özellikle Alonzo Church ve Alan Turing'in katkılarıyla daha sonraki teorik bilgisayar biliminin temel ilkeleri doğrudan bu entelektüel söylemden ortaya çıktı.

İşlevsel Analiz

Yaklaşık 1909'da Hilbert, çabalarını diferansiyel ve integral denklemleri araştırmaya adadı ve modern fonksiyonel analizdeki önemli alanlar için doğrudan çıkarımlar sağladı. Bu araştırmaları kolaylaştırmak için Hilbert, daha sonra Hilbert uzayı olarak adlandırılan sonsuz boyutlu bir Öklid uzayını kavramsallaştırdı. Onun bu analitik alandaki çabaları, öngörülemeyen bir bakış açısıyla da olsa, takip eden yirmi yıl boyunca fizik matematiğine önemli katkılar için çok önemli bir temel sağladı. Daha sonra Stefan Banach, Banach uzaylarını tanımlayarak bu kavramı genişletti. Hilbert uzayları, işlevsel analiz kapsamında, özellikle 20. yüzyıl boyunca onların etrafında gelişen bir alan olan kendine eşlenik doğrusal operatörlerin spektral teorisiyle alakalı, önemli bir varlık sınıfını oluşturur.

Fizik

1912'den önce Hilbert öncelikle saf bir matematikçi olarak çalışıyordu. Bir matematikçi ve arkadaşı olan Hermann Minkowski, bir Indeed planladığında, Minkowski'nin, 1905'teki konuyla ilgili ortak seminerleri de dahil olmak üzere, Hilbert'in 1912'den önceki fizik keşiflerinin çoğunda etkili olduğu görülüyor.

1912'de, Minkowski'nin ölümünden üç yıl sonra, Hilbert akademik odağını neredeyse tamamen fiziğe kaydırdı. Kişisel bir "fizik öğretmeni" ayarladı ve kinetik gaz teorisi üzerine çalışmalara başladı, temel radyasyon teorisine ve maddenin moleküler teorisine doğru ilerledi. 1914'te savaşın patlak vermesinden sonra bile Albert Einstein ve diğer çağdaş fizikçilerin çalışmalarını titizlikle inceleyen seminer ve derslere devam etti.

1907'ye gelindiğinde Einstein, yerçekimi teorisinin temel ilkelerini açıklamıştı ancak daha sonra bu teorinin tam formülasyonunu tamamlamak için yaklaşık sekiz yıl boyunca çalıştı. Göttingen'de Emmy Noether ile görüşmesi bu atılım için çok önemli oldu. 1915 yazının başlarında Hilbert'in fiziğe olan ilgisi genel göreliliğe yöneldi ve bu durum onu, konuyla ilgili bir haftalık bir dizi ders için Einstein'ı Göttingen'e davet etmeye yöneltti. Einstein coşkulu bir karşılamayla karşılandı. Yaz boyunca Einstein, Hilbert'in alan denklemleri üzerindeki paralel çalışmasını öğrendi ve bu da kendi araştırma çabalarını yoğunlaştırdı. Kasım 1915'te Einstein, Kütle Çekiminin Alan Denklemleri ile sonuçlanan birkaç makale yayınladı. Hemen hemen eş zamanlı olarak Hilbert, alan denklemlerinin aksiyomatik bir türetilmesini sunan "Fiziğin Temelleri"ni yayınladı. Hilbert, sürekli olarak Einstein'ı teorinin orijinal kavramsallaştırıcısı olarak kabul etti ve yaşamları boyunca iki bilim adamı arasında alan denklemlerinin önceliğine ilişkin hiçbir kamuoyu tartışması ortaya çıkmadı.

Ayrıca, Hilbert'in araştırması kuantum mekaniğinin matematiksel formalizasyonunda çeşitli ilerlemeleri öngördü ve kolaylaştırdı. Onun katkıları, Hermann Weyl ve John von Neumann'ın, Werner Heisenberg'in matris mekaniği ile Erwin Schrödinger'in dalga denklemi arasındaki matematiksel eşdeğerliği göstermeye yönelik çalışmalarının merkezinde yer aldı. Dahası, adını taşıyan Hilbert uzayı kuantum teorisinde önemli bir role sahiptir. 1926'da von Neumann, kuantum durumlarının Hilbert uzayındaki vektörler olarak kavramsallaştırılması halinde bunların hem Schrödinger'in dalga fonksiyonu teorisi hem de Heisenberg matrisleriyle uyumlu olacağını kesin olarak gösterdi.

Hilbert kendisini fizik alanına matematiksel titizliği aşılamaya adadı. Fiziğin ileri matematiğe büyük ölçüde güvenmesine rağmen, uygulayıcılar sıklıkla bunun uygulanmasında kesinlik eksikliği sergilediler. Hilbert gibi saf bir matematikçi için bu belirsizlik hem estetik açıdan rahatsız edici hem de entelektüel açıdan anlaşılmazdı. Fizik ve fizikçiler tarafından kullanılan matematiksel yöntemlere ilişkin anlayışını derinleştirirken, özellikle integral denklemler alanında gözlemleri için tutarlı bir matematik teorisi formüle etti. Meslektaşı Richard Courant, Hilbert'in bazı kavramlarını içeren ufuk açıcı Methoden der mathematischen Physik (Matematiksel Fizik Yöntemleri) çalışmasını yazdığında, Hilbert'in taslağa doğrudan katkısı olmamasına rağmen ortak yazar olarak Hilbert'in adını dahil etti. Hilbert'in şu ünlü sözü vardı: "Fizik, fizikçiler için çok zordur" ve gerekli matematiksel karmaşıklığın genellikle onların kavrayışlarını aştığını ima ediyordu; Courant-Hilbert yayını daha sonra bu karmaşık matematiksel araçlarla etkileşime geçmelerini kolaylaştırdı.

Sayı Teorisi

Hilbert, 1897 tarihli incelemesi Zahlbericht (kelimenin tam anlamıyla "sayılar üzerine rapor") aracılığıyla cebirsel sayılar teorisinin birleştirilmesini önemli ölçüde ilerletti. Ayrıca, ilk olarak 1770 yılında Waring tarafından ortaya atılan önemli bir sayı teorisi problemini de başarılı bir şekilde çözdü. Hilbert, sonluluk teoremine benzer şekilde, türetilmesi için yapıcı bir yöntem sağlamadan çözümlerin kesinliğini gösteren bir varoluş kanıtı kullandı. Bunu takiben konuyla ilgili sonraki yayınları sınırlı kaldı; ancak bir öğrencinin tezinde Hilbert modüler formlarının ortaya çıkması, onun adını öne çıkan bir araştırma alanıyla daha da ilişkilendirdi.

Sınıf alanı teorisiyle ilgili bir dizi varsayım önerdi. Bu kavramların son derece etkili olduğu kanıtlandı ve Hilbert'in kalıcı katkıları, yerel sınıf alanı teorisi içindeki Hilbert sınıf alanı terminolojisi ve Hilbert sembolü aracılığıyla tanındı. Bu sonuçların çoğunluğu, büyük ölçüde Teiji Takagi'nin çalışması sayesinde 1930'da doğrulandı.

Hilbert analitik sayı teorisinin temel alanlarına odaklanmamış olsa da adı, kökleri anekdotsal kökenlere dayanan bir bağlantı olan Hilbert-Pólya varsayımıyla ilişkilidir. Hilbert'in eski bir öğrencisi olan Ernst Hellinger, André Weil'e, Hilbert'in 1900'lerin başlarında bir seminerde, Riemann Hipotezi'nin kanıtının Fredholm'un simetrik çekirdeğe sahip integral denklemler üzerine yaptığı araştırmanın bir sonucu olarak ortaya çıkacağı yönündeki beklentisini açıkladığını anlatmıştı.

Çalışmalar

Gesammelte Abhandlungen başlıklı toplu bilimsel çalışmaları birçok yayından geçmiştir. Makalelerinin ilk versiyonları, değişen şiddette çok sayıda teknik yanlışlık içeriyordu. Koleksiyonun ilk yayınlanmasının ardından bu hatalar düzeltildi ve bu tür düzeltmelerin, süreklilik hipotezi için sözde bir kanıt dışında, teoremlerin ifadelerinde büyük değişiklikler gerektirmeden uygulanabileceği belirlendi. Ancak hatalar yeterince yaygın ve önemliydi ve Olga Taussky-Todd'un gerekli düzeltmeleri tamamlaması için üç yıl gerekti.

Kavramlar

Alıntılar

İngilizce Çeviride Temel Literatür

İngilizce çevirisinde birincil literatür

• Ewald, William B., ed. (1996). Kant'tan Hilbert'e: Matematiğin Temellerinde Bir Kaynak Kitap. Oxford, Birleşik Krallık: Oxford University Press.
• 1922. "Matematiğin Yeni Temeli: İlk Rapor", 1115–1133.
• 1923. "Matematiğin Mantıksal Temelleri", 1134–1147.
• 1930. "Mantık ve Doğa Bilgisi", 1157–1165.
• 1931. "Temel Sayılar Teorisinin Temeli", 1148–1156.
• 1904. "Mantık ve Aritmetiğin Temelleri Üzerine", 129–138.
• 1925. "Sonsuza Dair", 367–392.
• 1927. "Matematiğin Temelleri", Weyl'in yorumuyla ve Bernays'in ekiyle, 464–489.