Archimedes

Arquímedes de Siracusa (AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 a.C.), un erudito griego antiguo originario de Siracusa, Sicilia, se distinguió como matemático, físico, ingeniero, astrónomo e inventor. A pesar de la escasez de información biográfica, sus obras existentes lo establecen firmemente como un científico preeminente de la antigüedad clásica y uno de los matemáticos más importantes de la historia. Arquímedes anticipó notablemente el cálculo y el análisis modernos a través de su innovadora aplicación de los infinitesimales y el método de agotamiento, que le permitió derivar y probar rigurosamente numerosos teoremas geométricos, incluido el área de un círculo, el área de la superficie y el volumen de una esfera, el área de una elipse, el área debajo de una parábola, el volumen de un paraboloide de segmento de revolución, el volumen de un hiperboloide de segmento de revolución y el área de una espiral.

Arquímedes de Siracusa ( AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 a.C.) fue un matemático griego antiguo, Físico, ingeniero, astrónomo e inventor de la ciudad de Siracusa en Sicilia. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, según el trabajo que se conserva, se le considera uno de los principales científicos de la antigüedad clásica y uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Arquímedes anticipó el cálculo y el análisis modernos aplicando el concepto de los infinitesimales y el método de agotamiento para derivar y probar rigurosamente muchos teoremas geométricos, incluido el área de un círculo, el área de la superficie y el volumen de una esfera, el área de una elipse, el área bajo una parábola, el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral.

Otros logros matemáticos de Arquímedes abarca la derivación de una aproximación para pi (π), la definición y exploración de la espiral de Arquímedes y la creación de un sistema exponencial para representar números excepcionalmente grandes. También fue uno de los primeros eruditos en aplicar principios matemáticos a los fenómenos físicos, particularmente en los campos de la estática y la hidrostática. Sus contribuciones en este ámbito incluyen una prueba rigurosa de la ley de la palanca, la adopción generalizada del concepto del centro de gravedad y la articulación de la ley de flotabilidad, conocida como principio de Arquímedes. En astronomía, realizó mediciones del diámetro aparente del Sol y estimaciones de la escala del universo. La tradición también le atribuye la construcción de un planetario que simulaba los movimientos de los cuerpos celestes conocidos, sirviendo potencialmente como antecedente del mecanismo de Antikythera. Además, se le atribuye el diseño de dispositivos mecánicos innovadores, como su bomba de tornillo, poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas diseñadas para proteger a Siracusa de incursiones militares.

Arquímedes murió durante el asedio de Siracusa, asesinado por un soldado romano a pesar de las directivas explícitas de garantizar su seguridad. Cicerón relató más tarde sus

En contraste con el renombre de sus inventos, los tratados matemáticos de Arquímedes recibieron un reconocimiento limitado durante la antigüedad. Si bien los matemáticos alejandrinos estudiaron y citaron su trabajo, la compilación exhaustiva inicial no se produjo hasta c. 530 d.C., realizada por Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina. Al mismo tiempo, los comentarios de Eutocio sobre las obras de Arquímedes durante el mismo siglo ampliaron significativamente su accesibilidad. A lo largo de la Edad Media, sus escritos fueron traducidos al árabe en el siglo IX y posteriormente al latín en el siglo XII, convirtiéndose en un recurso intelectual fundamental para los estudiosos durante el Renacimiento y la Revolución Científica. Desde entonces, el descubrimiento en 1906 de los textos de Arquímedes dentro del Palimpsesto de Arquímedes ha ofrecido conocimientos sin precedentes sobre sus metodologías para lograr resultados matemáticos.

Biografía

Los detalles específicos de la vida de Arquímedes siguen siendo en gran medida enigmáticos. Aunque Eutocio hizo referencia a una biografía supuestamente escrita por el asociado de Arquímedes, Heráclides Lembus, esta obra ya no existe y los estudiosos contemporáneos cuestionan su atribución original a Heráclides.

Basándose en la afirmación del erudito griego bizantino Juan Tzetzes de que Arquímedes vivió durante 75 años antes de su muerte en el año 212 a.C., se estima que su nacimiento ocurrió c. 287 a.C. en Siracusa, Sicilia, entonces una colonia autónoma dentro de Magna Grecia. En su tratado, Sand-Reckoner, Arquímedes identifica a su padre como Fidias, un astrónomo sobre el que no hay más información disponible. Mientras que Plutarco, en sus Vidas paralelas, sugirió una conexión familiar entre Arquímedes y el rey Hierón II de Siracusa, Cicerón y Silio Itálico implican un trasfondo más modesto. Los detalles sobre su estado civil, descendencia o cualquier posible estancia en Alejandría, Egipto, durante sus años de formación siguen sin confirmarse. Sin embargo, su correspondencia existente, dirigida a Dositeo de Pelusio (un alumno del astrónomo alejandrino Conón de Samos) y al bibliotecario jefe Eratóstenes de Cirene, indica relaciones colegiadas sostenidas con eruditos de Alejandría. Específicamente, en el prefacio de Sobre espirales, dedicado a Dositeo, Arquímedes afirma que "han transcurrido muchos años desde la muerte de Conón", habiendo vivido Conón de Samos aproximadamente entre el 280 y el 220 a.C., lo que sugiere que Arquímedes pudo haber tenido una edad avanzada cuando compuso ciertas obras.

El problema de la corona dorada

Entre los problemas que a Arquímedes se le atribuye haber resuelto para Hierón II se encuentra el renombrado "problema de la corona". Vitruvio, escribiendo aproximadamente dos siglos después de la muerte de Arquímedes, relata que el rey Hierón II de Siracusa encargó una corona de oro para un templo divino, proporcionando al orfebre oro puro para su creación. El rey, sin embargo, empezó a sospechar que el orfebre había sustituido ilícitamente parte del oro por plata más barata y se había quedado con una parte del metal puro. Incapaz de obtener una confesión, Hierón II encargó a Arquímedes la investigación. Posteriormente, al entrar en un baño, Arquímedes supuestamente observó que el nivel del agua en la bañera subía proporcionalmente a su inmersión. Al darse cuenta de que este fenómeno podía determinar el volumen de la corona de oro, se dice que estaba tan eufórico que corrió desnudo por las calles exclamando "¡Eureka!" (que significa "¡Lo he encontrado!"), habiéndose olvidado de vestirse. Vitruvio afirma además que Arquímedes procedió a tomar una masa de oro y una masa de plata, cada una equivalente en peso a la corona. Al sumergir cada uno en la bañera, demostró que la corona desplazaba más agua que el oro puro pero menos que la plata pura, demostrando así que la corona era una aleación de oro y plata.

Una narrativa alternativa aparece en la Carmen de Ponderibus, un poema didáctico latino anónimo del siglo V sobre pesos y medidas, que anteriormente se atribuía al gramático Prisciano. Según este poema, se colocaban masas de oro y plata sobre los platillos de una balanza y luego se sumergía todo el conjunto en agua. La densidad diferencial entre el oro y la plata, o entre el oro y la corona, haría en consecuencia inclinar la balanza. En contraste con la anécdota de la bañera más conocida de Vitruvio, esta interpretación poética emplea el principio hidrostático ahora reconocido como el principio de Arquímedes. Este principio, detallado en su tratado Sobre cuerpos flotantes, postula que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación hacia arriba equivalente al peso del fluido que desplaza. Galileo Galilei, que en 1586 ideó una balanza hidrostática influido por las aportaciones de Arquímedes, consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, se basa en demostraciones encontradas por el propio Arquímedes".

Lanzamiento de Syracusia

Gran parte de los esfuerzos de ingeniería de Arquímedes probablemente surgieron de abordar los requisitos de su ciudad natal, Siracusa. Ateneo de Naucratis, en su obra Deipnosophistae, cita la descripción que hace Moschion del encargo del rey Hierón II para el diseño de una inmensa vasija, la Syracusia. Se dice que este barco fue el más grande construido en la antigüedad clásica y, según la narración de Moschion, fue botado por Arquímedes. Plutarco presenta un relato un tanto divergente, relatando la jactancia de Arquímedes ante Hierón de que poseía la capacidad de mover cualquier peso sustancial, lo que llevó a Hierón a desafiarlo a mover un barco. Estas narrativas, sin embargo, incorporan numerosos detalles fantásticos e históricamente improbables. Además, los autores ofrecen explicaciones contradictorias sobre cómo se logró esta hazaña: Plutarco afirma que Arquímedes ideó un sistema de poleas con aparejos, mientras que Héroe de Alejandría atribuyó la misma afirmación a la invención de Arquímedes del baroulkos, un tipo de torno. Pappus de Alejandría, por el contrario, atribuyó este logro a la aplicación por parte de Arquímedes de la ventaja mecánica, específicamente el principio de palanca, para levantar objetos que de otro modo habrían sido inamovibles. Atribuyó a Arquímedes la declaración frecuentemente citada: "Dadme un lugar donde pararme y moveré la Tierra".

Ateneo, posiblemente malinterpretando detalles de la descripción que hace Hero del baroulkos, también registra el uso de un "tornillo" por parte de Arquímedes para extraer el agua que pudiera filtrarse en el casco del Syracusia. Si bien este aparato se denomina ocasionalmente tornillo de Arquímedes, lo más probable es que sea considerablemente anterior a él. En particular, ninguno de sus contemporáneos inmediatos que documentaron su aplicación (incluidos Filón de Bizancio, Estrabón y Vitruvio) le atribuyen su invención o uso principal.

Máquinas de guerra

El renombre antiguo más importante de Arquímedes surgió de su papel fundamental en la defensa de Siracusa contra las fuerzas romanas durante su asedio. Plutarco relata que Arquímedes había diseñado formidables máquinas de guerra para Hierón II, aunque estos dispositivos no se utilizaron durante la vida de Hierón. Sin embargo, en 214 a. C., en medio de la Segunda Guerra Púnica, Siracusa cambió su lealtad de Roma a Cartago. Cuando el ejército romano, dirigido por Marco Claudio Marcelo, intentó posteriormente capturar la ciudad, se dice que Arquímedes dirigió el despliegue de estas máquinas de guerra, impidiendo sustancialmente el avance romano. La ciudad finalmente cayó sólo después de un prolongado asedio. Los relatos de tres historiadores distintos (Plutarco, Livio y Polibio) corroboran la existencia de estas innovaciones militares, detallando catapultas mejoradas y grúas diseñadas para lanzar pesados proyectiles de plomo sobre embarcaciones romanas o emplear una garra de hierro para izar los barcos fuera del agua antes de sumergirlos.

Una narrativa considerablemente menos fundamentada, ausente en los primeros registros históricos de Plutarco, Polibio o Livio, postula que Arquímedes empleó "quemar "Espejos" para concentrar los rayos solares en los barcos romanos invasores, encendiéndolos así. La mención inicial de barcos incendiados, atribuida al satírico del siglo II d.C. Luciano de Samosata, no hace referencia a espejos, simplemente afirma que los barcos fueron encendidos mediante métodos artificiales, lo que potencialmente sugiere el uso de proyectiles incendiarios. Galeno, que escribió más tarde en el mismo siglo, es el primer autor que menciona explícitamente los espejos en este contexto. Aproximadamente cuatro siglos después de Luciano y Galeno, Antemio, a pesar de expresar escepticismo, se esforzó por reconstruir la geometría teórica del reflector de Arquímedes. Este supuesto aparato, ocasionalmente denominado "rayo de calor de Arquímedes", ha sido objeto de continuo debate académico sobre su veracidad desde el Renacimiento. René Descartes descartó el relato como ficticio, mientras que los investigadores contemporáneos han intentado replicar el efecto utilizando sólo tecnologías disponibles en la era de Arquímedes, sin obtener resultados concluyentes.

Muerte

Las circunstancias que rodearon la muerte de Arquímedes durante el saqueo romano de Siracusa se detallan en varios relatos históricos dispares. La narración más antigua, proporcionada por Livio, afirma que Arquímedes fue asesinado por un soldado romano, sin saber su identidad, mientras estaba absorto dibujando figuras geométricas en el polvo. Plutarco ofrece dos versiones distintas: en una, un soldado exigió que Arquímedes lo acompañara, pero Arquímedes se negó, insistiendo en completar su problema matemático, tras lo cual el soldado lo mató con su espada. En el relato alternativo de Plutarco, Arquímedes llevaba instrumentos matemáticos cuando fue asesinado por un soldado que los confundió con posesiones valiosas. Valerio Máximo, un escritor romano que floreció alrededor del año 30 d. C., registró en su obra Refranes y hechos memorables que la última expresión de Arquímedes, cuando fue asesinado por el soldado, fue "... pero protegiéndose el polvo con las manos, dijo: 'Te lo ruego, no molestes esto'". círculos."

Se dice que Marcelo estaba indignado por la muerte de Arquímedes, habiéndolo considerado un recurso científico invaluable (incluso refiriéndose a él como "un Briareo geométrico") y había emitido órdenes explícitas para su protección. Cicerón (106-43 a. C.) registra que Marcelo transportó dos planetarios, construidos por Arquímedes, a Roma. Estos dispositivos representaban los movimientos del Sol, la Luna y cinco planetas; Posteriormente, uno fue donado al Templo de la Virtud en Roma, mientras que Marcelo supuestamente retuvo el otro como su única adquisición personal en Siracusa. Pappus de Alejandría hace referencia a un tratado ahora perdido de Arquímedes, titulado Sobre la creación de esferas, que puede haber detallado la construcción de tales mecanismos. La ingeniería de estos intrincados dispositivos habría requerido una comprensión avanzada del engranaje diferencial, una capacidad que alguna vez se creyó que estaba más allá del alcance tecnológico de la antigüedad. Sin embargo, el descubrimiento en 1902 del mecanismo de Anticitera, otro aparato construido alrededor del c. 100 a.C. con una función comparable, ha demostrado que los antiguos griegos conocían dispositivos tan sofisticados, lo que llevó a algunos estudiosos a considerar las creaciones de Arquímedes como precursoras.

Durante su mandato como cuestor en Sicilia, Cicerón localizó lo que se creía que era la tumba de Arquímedes cerca de la Puerta Agrigentina en Siracusa, en estado de deterioro y oscurecida por la vegetación. Hizo arreglos para la restauración de la tumba, que reveló una talla y versos inscritos legibles. En particular, la tumba presentaba una escultura que representaba la prueba matemática preferida de Arquímedes: que el volumen y la superficie de una esfera constituyen dos tercios de un cilindro circundante, incluidas sus bases.

Matemáticas

Aunque es frecuentemente reconocido por sus inventos mecánicos, Arquímedes también avanzó significativamente en el campo de las matemáticas al ampliar las metodologías de sus predecesores para obtener resultados novedosos y al ser pionero en sus propios enfoques innovadores.

Método de agotamiento

En Cuadratura de la parábola, Arquímedes hace referencia a una proposición de los Elementos de Euclides, que establece que el área de un círculo es proporcional a su diámetro. Esta proposición se demostró utilizando un lema que ahora se denomina propiedad de Arquímedes: “el exceso por el cual la mayor de dos regiones desiguales excede a la menor, si se suma a sí misma, puede exceder cualquier región limitada dada”. Antes de Arquímedes, Eudoxo de Cnido y otros matemáticos antiguos utilizaron este lema, una técnica posteriormente conocida como "método de agotamiento", para determinar los volúmenes de varios sólidos geométricos, incluidos el tetraedro, el cilindro, el cono y la esfera. Las pruebas de estos cálculos se detallan en el Libro XII de los Elementos de Euclides.

Dentro de Medición de un círculo, Arquímedes utilizó este método para demostrar que el área de un círculo es equivalente a la de un triángulo rectángulo con una base igual al radio del círculo y una altura igual a su circunferencia. Posteriormente aproxima la relación entre el radio y la circunferencia, representada por π, inscribiendo un hexágono regular dentro de un círculo y circunscribiendo otro hexágono regular a su alrededor. Luego duplicó iterativamente el número de lados de cada polígono regular, calculando meticulosamente la longitud de los lados de cada polígono en cada etapa. Este proceso iterativo, que aumentó el número de lados, produjo aproximaciones progresivamente más precisas del círculo. Después de cuatro iteraciones de este tipo, cuando los polígonos alcanzaron 96 lados, estableció que el valor de π estaba acotado entre 3⁠§89§/§1213§⁠ (aproximadamente 3,1429) y 3⁠§1819§/71⁠ (aproximadamente 3,1408), un rango consistente con el valor real de aproximadamente 3,1416. Además, en el mismo trabajo, postuló que la raíz cuadrada de 3 se encuentra entre ⁠265/153⁠ (aproximadamente 1,7320261) y ⁠1351/780⁠ (aproximadamente 1,7320512), probablemente derivado de una metodología análoga.

Dentro de Cuadratura de la parábola, Arquímedes aplicó este método para demostrar que el área delimitada por una parábola y una línea recta es ⁠4/§89§⁠ veces el área de un triángulo inscrito equivalente, como se muestra en la figura adjunta. Articuló esta solución como una serie geométrica infinita con una proporción común de ⁠§1415§/§1819§⁠:

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2526§ − n = §3738§ + §4243§ − §4849§ + §5556§ − §6162§ + §6869§ − §7475§ + ⋯ = §8788§ §8990§ . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}

El primer término de esta serie representa el área del triángulo inicial, mientras que el segundo término corresponde a la suma de las áreas de dos triángulos más pequeños. Estos triángulos más pequeños tienen bases formadas por las dos rectas secantes más pequeñas, y su tercer vértice se encuentra en la intersección de la parábola con una recta paralela a su eje, que pasa por el punto medio de la base. Este proceso iterativo continúa. La prueba utiliza una variación de la serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, que converge a ⁠§45§/§89§⁠.

Arquímedes aplicó además esta técnica para determinar las áreas de superficie de esferas y conos, calcular el área de elipses y determinar la región encerrada por una espiral de Arquímedes.

Método mecánico

Es más práctico proporcionar una prueba cuando ya se posee cierta comprensión del tema, adquirida a través del método, que emprender una investigación sin conocimientos previos.

Más allá de refinar el método de agotamiento, que se basó en las contribuciones de matemáticos anteriores, Arquímedes innovó una técnica distinta que empleaba el principio de la palanca para determinar físicamente las áreas y volúmenes de figuras geométricas. Un resumen inicial de esta demostración aparece en Cuadratura de la parábola, presentado junto con la demostración geométrica, pero se proporciona una exposición más completa en El método de los teoremas mecánicos. El propio Arquímedes afirmó que inicialmente obtuvo resultados en sus trabajos matemáticos utilizando este método mecánico, y posteriormente trabajó a la inversa para aplicar el método de agotamiento sólo después de que se había establecido un valor aproximado para la solución.

Números grandes

Arquímedes también ideó metodologías para la representación de números excepcionalmente grandes.

En su tratado El contador de arena, Arquímedes desarrolló un sistema numérico basado en la miríada (el término griego para 10.000) para cuantificar un número que excede los granos de arena estimados necesarios para llenar el cosmos. Postuló un sistema numérico que empleaba potencias de una miríada de miríadas (equivalente a 100 millones, o 10.000 × 10.000) y determinó que la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo sería 8 vigintillones, o 8×10⁶³. A través de este esfuerzo, ilustró efectivamente la capacidad de las matemáticas para representar cantidades arbitrariamente vastas.

El Problema del Ganado presenta un desafío de Arquímedes a los matemáticos de la Biblioteca de Alejandría, encomendándoles la tarea de enumerar el ganado en la Manada del Sol, una tarea que requiere la solución de múltiples ecuaciones diofánticas simultáneas. Una variante más compleja de este problema exige que ciertas soluciones deben ser cuadrados perfectos, lo que produce una respuesta numérica excepcionalmente grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Sólido de Arquímedes

En un tratado ahora perdido, documentado por Pappus de Alejandría, Arquímedes demostró la existencia de precisamente trece poliedros semirregulares.

Escritos

Arquímedes difundió sus hallazgos matemáticos a través de correspondencia con eruditos en Alejandría, con estas comunicaciones originales compuestas en griego dórico, el dialecto predominante en la antigua Siracusa.

Obras sobrevivientes

La lista siguiente está ordenada cronológicamente, siguiendo los criterios terminológicos e históricos actualizados establecidos por Knorr (1978) y Sato (1986).

Medición de un círculo

Este conciso tratado comprende tres proposiciones. Está estructurado como una correspondencia dirigida a Dositeo de Pelusio, alumno de Conón de Samos. En la Proposición II, Arquímedes proporciona una aproximación al valor de pi (π), demostrando que se encuentra entre ⁠223/71⁠ (aproximadamente 3,1408) y ⁠22/§1819§⁠ (aproximadamente 3,1428).

El contador de arena

En este tratado, también conocido como Psammitas, Arquímedes calcula un número que excede la cantidad estimada de granos de arena necesarios para llenar el universo. La obra hace referencia al modelo heliocéntrico del Sistema Solar, propuesto por Aristarco de Samos, junto con las teorías predominantes sobre las dimensiones de la Tierra, las distancias entre los objetos celestes y los esfuerzos por determinar el diámetro aparente del Sol. Empleando un sistema numérico basado en potencias de la miríada, Arquímedes deduce que el número total de granos de arena necesarios para llenar el universo asciende a 8×10⁶³ en notación científica contemporánea. La epístola introductoria identifica al padre de Arquímedes como Fidias, un astrónomo. En particular, The Sand Reckoner es la única obra existente en la que Arquímedes articula sus perspectivas astronómicas.

En el Sand-Reckoner, Arquímedes examina mediciones astronómicas relativas a la Tierra, el Sol y la Luna, junto con el modelo heliocéntrico del universo de Aristarco. Al carecer de trigonometría o de una tabla de cuerdas, Arquímedes determinó el diámetro aparente del Sol detallando primero la metodología de observación y la instrumentación (una varilla recta con clavijas o ranuras), aplicando posteriormente factores correctivos a estos datos empíricos y finalmente presentando el resultado como un rango definido por límites superior e inferior, acomodando así posibles imprecisiones de observación.

Ptolomeo, citando a Hiparco, también alude a Arquímedes. observaciones del solsticio en el Almagest. En consecuencia, Arquímedes es reconocido como el primer erudito griego en documentar múltiples fechas y horas de solsticio en años sucesivos.

Sobre el equilibrio de los planos

El tratado Sobre el equilibrio de los planos consta de dos volúmenes: el volumen inicial presenta siete postulados y quince proposiciones, mientras que el volumen posterior incluye diez proposiciones. En el primer volumen, Arquímedes demuestra rigurosamente la ley de la palanca, que establece que:

Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.

Las formulaciones precedentes del principio de palanca aparecen en una obra de Euclides y en los Problemas mecánicos, un texto asociado a la escuela peripatética, adherente de Aristóteles, cuya autoría se atribuye ocasionalmente a Arquitas.

Arquímedes aplica estos principios derivados para determinar las áreas y centros de gravedad de diversas configuraciones geométricas, como triángulos, paralelogramos y parábolas.

Cuadratura de la parábola

Este tratado, que comprende 24 proposiciones y está dedicado a Dositeo, demuestra a través de dos metodologías distintas que la región delimitada por una parábola y una recta secante constituye cuatro tercios del área de un triángulo que posee una base y una altura equivalentes. Este logro se logra mediante dos enfoques: inicialmente, empleando el principio de la palanca y, posteriormente, calculando la suma de una serie geométrica infinita con una proporción común de 1/4.

Sobre la esfera y el cilindro

Dentro de este tratado de dos volúmenes, también dedicado a Dositeo, Arquímedes deriva su hallazgo más célebre: la relación fundamental entre una esfera y su cilindro circunscripto, siempre que compartan altura y diámetro idénticos. Específicamente, el volumen de la esfera se calcula como ⁠4/§67§⁠πr§1617§, mientras que el volumen del cilindro es 2πr§2425§. Se determina que el área de superficie de la esfera es 4πr§3233§, y para el cilindro (incluidas sus dos bases), es 6πr§4041§, donde r denota el radio común tanto de la esfera como del cilindro.

Sobre espirales

Este tratado, que consta de 28 proposiciones, está igualmente dedicado a Dositeo. Introduce formalmente la curva que ahora se reconoce como espiral de Arquímedes. Esta espiral se caracteriza por ser el lugar geométrico de puntos generado por un punto que se aleja uniformemente de un origen fijo a lo largo de una línea que gira simultáneamente a una velocidad angular constante. En coordenadas polares contemporáneas (r, θ), su representación matemática viene dada por la ecuación r = un + b θ<!-- θ --> {\displaystyle \,r=a+b\theta }, donde a y b son constantes reales.

Esto representa un ejemplo temprano de una curva mecánica (definida como una curva generada por un punto en movimiento) investigada por un matemático helénico.

Sobre conoides y esferoides

Este tratado, que comprende 32 proposiciones, está dedicado a Dositeo. En este texto, Arquímedes calcula las áreas de superficie y los volúmenes de varias secciones derivadas de conos, esferas y paraboloides.

Sobre cuerpos flotantes

La obra Sobre los cuerpos flotantes está dividida en dos libros. En el volumen inicial, Arquímedes articula los principios que gobiernan el equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua asume naturalmente una configuración esférica alrededor de su centro de gravedad.

Este tratado presenta el principio de flotabilidad de Arquímedes, articulado de la siguiente manera:

Cualquier cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta un empuje ascendente igual, pero en dirección opuesta, al peso del fluido desplazado.

La segunda parte implica el cálculo de las posiciones de equilibrio para varias secciones de paraboloides. Este análisis probablemente sirvió como una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas secciones se representan flotando con la base sumergida y el vértice sobre el agua, de forma análoga a la flotabilidad que se observa en los icebergs.

Ostomacho

Conocido alternativamente como Lóculo de Arquímedes o Caja de Arquímedes, constituye un rompecabezas de disección que se asemeja a un Tangram. El tratado asociado fue descubierto en un estado más completo dentro del Palimpsesto de Arquímedes. Arquímedes calculó las áreas de sus 14 piezas constituyentes, que pueden disponerse para construir un cuadrado. En 2003, Reviel Netz de la Universidad de Stanford planteó que el objetivo de Arquímedes era conocer el número total de configuraciones en las que estas piezas podían ensamblarse para formar un cuadrado. Los cálculos de Netz indican que 17.152 disposiciones distintas de las piezas pueden dar como resultado un cuadrado. Excluyendo las soluciones consideradas equivalentes mediante rotación y reflexión, el número total de arreglos únicos es 536. Este rompecabezas ejemplifica uno de los primeros desafíos dentro del campo de la combinatoria.

La etimología de la designación del rompecabezas sigue siendo ambigua; sin embargo, se ha propuesto que su derivación proviene del término griego antiguo para "garganta" o "garganta", estomachos (στόμαχος). Ausonio se refirió al rompecabezas como Ostomachion, un término griego compuesto construido a partir de las raíces léxicas de osteon (ὀστέον, 'hueso') y machē (μάχη, 'lucha').

El problema del ganado

Dentro de este tratado, dirigido a Eratóstenes y los matemáticos alejandrinos, Arquímedes les presentó el desafío de enumerar el ganado dentro de la Manada del Sol, una tarea que requería la resolución de múltiples ecuaciones diofánticas simultáneas. En 1773, Gotthold Ephraim Lessing identificó esta obra dentro de un manuscrito griego, que comprende un poema de 44 líneas, que se encuentra en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemania. Existe una variante más compleja del problema, en la que ciertas soluciones deben ser cuadrados perfectos. A. Amthor proporcionó la solución inicial a esta versión particular del problema en 1880, arrojando un resultado numérico excepcionalmente grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

El método de los teoremas mecánicos

Al igual que El problema del ganado, El método de los teoremas mecánicos fue compuesto como una comunicación epistolar dirigida a Eratóstenes en Alejandría.

En este tratado, Arquímedes emplea una metodología innovadora, una manifestación incipiente del principio de Cavalieri, para restablecer los hallazgos de los tratados enviados a Dositeo (Cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre las espirales, Sobre los conoides y los esferoides), que previamente había fundamentado mediante el método del agotamiento. Esto implicó aplicar la ley de la palanca, como se detalla en Sobre el equilibrio de los planos, inicialmente para determinar el centro de gravedad de un objeto y posteriormente emplear razonamiento geométrico para facilitar la derivación de su volumen. Arquímedes indica explícitamente que utilizó este enfoque para deducir los resultados presentados en los tratados enviados a Dositeo antes de su prueba más rigurosa mediante el método de agotamiento, afirmando la utilidad de conocer la veracidad de un resultado antes de emprender su demostración rigurosa. Esto es análogo a cómo se ayudó a Eudoxo de Cnido a demostrar que el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro, en virtud de que Demócrito había afirmado previamente esta verdad, basándose en el argumento de que el volumen de una pirámide es un tercio del de un prisma rectangular con una base idéntica.

Este tratado se supuso perdido hasta el descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906.

Obras apócrifas

El Libro de Lemas de Arquímedes, también conocido como Liber Assumptorum, comprende un tratado que contiene 15 proposiciones relativas a las propiedades de los círculos. El manuscrito más antiguo que se conserva de este texto está en árabe. T. L. Heath y Marshall Clagett sostuvieron que su forma actual excluye la autoría de Arquímedes, dado que cita a Arquímedes, lo que implica una modificación posterior por parte de un autor diferente. Es posible que los Lemas se deriven de una obra anterior ahora perdida de Arquímedes.

Obras adicionales de dudosa atribución a Arquímedes incluyen el poema latino de los siglos IV o V Carmen de ponderibus et mensuris, que detalla la aplicación de un equilibrio hidrostático para resolver el problema de la corona, y el texto del siglo XII Mappae clavícula, que proporciona instrucciones para analizar metales mediante el cálculo de sus gravedades específicas.

Obras perdidas

Muchas de las obras escritas de Arquímedes no han sobrevivido o existen únicamente como fragmentos muy editados. Por ejemplo, Pappus de Alejandría hace referencia a Sobre la creación de esferas, un tratado sobre poliedros semirregulares y otro sobre espirales. De manera similar, Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción de la obra actualmente perdida, Catoptrica. El tratado Principios, dedicado a Zeuxipo, aclara el sistema numérico empleado en El contador de arena. Otras obras notables incluyen Sobre balanzas y Sobre centros de gravedad.

Los eruditos islámicos medievales atribuyeron a Arquímedes una fórmula para determinar el área de un triángulo en función de la longitud de sus lados. Esta fórmula ahora se reconoce como la fórmula de Herón, atribuida a su aparición documentada inicial en los escritos de Herón de Alejandría del siglo I d.C. Se conjetura que Arquímedes podría haber demostrado esta fórmula en un tratado ahora perdido.

El Palimpsesto de Arquímedes

En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg viajó a Constantinopla para inspeccionar un pergamino de piel de cabra de 174 páginas que contenía oraciones del siglo XIII. Su Heiberg comprobó que el documento era un palimpsesto, caracterizado por un texto inscrito sobre una obra anterior borrada. La creación de palimpsestos, que implicaba raspar tinta de manuscritos existentes para reutilizarla, fue una práctica frecuente durante la Edad Media debido al alto costo de la vitela. Posteriormente, los eruditos identificaron los textos subyacentes dentro de este palimpsesto como copias del siglo X de tratados previamente perdidos de Arquímedes. El palimpsesto contiene siete tratados, entre los que destaca la única copia existente de Sobre los cuerpos flotantes en su griego original. Además, representa la única fuente conocida de El método de los teoremas mecánicos, una obra mencionada por Suidas y que anteriormente se daba por perdida irrevocablemente. El Stomachion también se encontró dentro del palimpsesto, lo que ofrece un análisis más completo del rompecabezas que los descubrimientos textuales anteriores.

El Palimpsesto de Arquímedes contiene los siguientes tratados:

• Sobre el equilibrio de los planos
• Sobre espirales
• Medición de un círculo
• Sobre la esfera y el cilindro
• Sobre cuerpos flotantes
• El método de los teoremas mecánicos
• Estómago
• Discursos del político Hypereides del siglo IV a.C.
• Un comentario crítico sobre las Categorías
de Aristóteles
• Obras adicionales

El pergamino permaneció en una biblioteca monástica de Constantinopla durante siglos antes de ser adquirido por un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998, fue subastado a un comprador no revelado por 2,2 millones de dólares. Posteriormente, el palimpsesto se guardó en el Museo de Arte Walters de Baltimore, Maryland, donde se sometió a varios exámenes avanzados, incluidas imágenes ultravioleta y de rayos X, para descifrar el texto subyacente. Desde entonces ha sido devuelto a su propietario anónimo.

Legacy

A menudo referido como el progenitor de las matemáticas y la física matemática, Arquímedes es casi universalmente reconocido por los historiadores de la ciencia y las matemáticas como el matemático más destacado de la antigüedad.

Antigüedad clásica

El renombre de Arquímedes por sus innovaciones mecánicas durante la antigüedad clásica está ampliamente documentado. Ateneo, en su Deipnosophistae, detalla la supervisión de Arquímedes en la construcción del Siracusia, el barco más grande conocido de la antigüedad, mientras que Apuleyo analiza sus contribuciones a la catóptrica. Aunque Plutarco afirmó que Arquímedes despreciaba la mecánica y priorizaba la geometría pura, los estudiosos contemporáneos descartan en gran medida esto como una tergiversación. Se cree que esta perspectiva se construyó para reforzar los principios filosóficos platónicos de Plutarco en lugar de retratar con precisión a Arquímedes. Además, a diferencia de sus inventos, los tratados matemáticos de Arquímedes recibieron un reconocimiento limitado en la antigüedad más allá de los círculos de los matemáticos alejandrinos. La recopilación exhaustiva inicial de sus obras no se llevó a cabo hasta aproximadamente c. 530 d.C. por Isidoro de Mileto en la Constantinopla bizantina. Al mismo tiempo, los comentarios de Eutocio sobre los escritos de Arquímedes, producidos a principios del mismo siglo, ampliaron significativamente su accesibilidad a un público más amplio.

Edad Media

El corpus de Arquímedes fue traducido al árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.) y posteriormente al latín del árabe por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187). Más tarde, Guillermo de Moerbeke (c. 1215-1286) e Iacobus Cremonensis (c. 1400-1453) realizaron traducciones directas del griego al latín.

Europa del Renacimiento y la Edad Moderna

La Editio princeps (Primera edición) de las obras de Arquímedes, publicada en Basilea en 1544 por Johann Herwagen, presentaba sus escritos tanto en griego como en latín. Esta publicación sirvió como un importante recurso intelectual para los científicos durante todo el Renacimiento y el siglo XVII.

Leonardo da Vinci expresó con frecuencia su admiración por Arquímedes, e incluso le atribuyó el mérito de la invención del Architonnerre. Galileo Galilei elogió a Arquímedes como "sobrehumano" y "mi maestro", mientras que Christiaan Huygens declaró: "Creo que Arquímedes no es comparable a nadie", modelando deliberadamente sus primeros esfuerzos a partir de él. Gottfried Wilhelm Leibniz observó: "Quien comprende a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más destacados de épocas posteriores".

El numismático y arqueólogo italiano Filippo Paruta (1552-1629), junto con Leonardo Agostini (1593-1676), documentaron una moneda de bronce descubierta en Sicilia. Esta moneda presentaba un retrato de Arquímedes en su anverso y un cilindro y una esfera, acompañados por el monograma latino ARMD, en su reverso. Aunque se desconoce el paradero actual de la moneda y su fecha precisa de acuñación sigue sin establecerse, Ivo Schneider caracterizó las imágenes del reverso como "una esfera que descansa sobre una base, probablemente una imagen aproximada de uno de los planetarios creados por Arquímedes". Schneider planteó además la hipótesis de que la moneda podría haber sido acuñada en Roma para Marcelo, quien, "según informes antiguos, trajo consigo dos esferas de Arquímedes a Roma".

En Matemáticas Modernas

Carl Friedrich Gauss tenía en alta estima a Arquímedes e Isaac Newton; Moritz Cantor, un estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen, relató la observación de Gauss de que "sólo hubo tres matemáticos que hicieron época: Arquímedes, Newton y Eisenstein". De manera similar, Alfred North Whitehead afirmó que "en el año 1500 Europa sabía menos que Arquímedes, que murió en el año 212 a. C.". Reviel Netz, un historiador de las matemáticas, se hizo eco de la famosa declaración de Whitehead sobre Platón y la filosofía al declarar que "la ciencia occidental no es más que una serie de notas a pie de página de Arquímedes", designándolo además como "el científico más importante que jamás haya existido". Eric Temple Bell también señaló que "Cualquier lista de los tres 'más grandes' matemáticos de toda la historia incluiría el nombre de Arquímedes. Los otros dos generalmente asociados con él son Newton y Gauss. Algunos, considerando la relativa riqueza (o pobreza) de las matemáticas y las ciencias físicas en las respectivas épocas en que vivieron estos gigantes, y estimando sus logros en el contexto de sus tiempos, pondrían a Arquímedes en primer lugar".

El descubrimiento en 1906 de las obras de Arquímedes previamente perdidas dentro del Arquímedes Palimpsesto ha aportado conocimientos novedosos sobre sus métodos para derivar resultados matemáticos.

La Medalla Fields, otorgada por logros excepcionales en matemáticas, presenta un retrato de Arquímedes junto con un grabado que representa su prueba sobre la esfera y el cilindro. Alrededor de la cabeza de Arquímedes hay una inscripción en latín, atribuida al poeta Manilio del siglo I d.C., que dice: Transire suum pectus mundoque potiri ("Elévate por encima de ti mismo y comprende el mundo").

Influencia cultural

El SS Arquímedes, botado en 1839, tiene la distinción de ser el primer barco de vapor marítimo del mundo equipado con una hélice de tornillo, llamado así en homenaje a Arquímedes y sus contribuciones a la comprensión del mecanismo de tornillo.

Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por varias naciones, incluidas Alemania Oriental (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963).

La exclamación "¡Eureka!", famosamente atribuida a Arquímedes, sirve como lema del estado de California. En este contexto específico, el término significa el descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, un evento que precipitó la fiebre del oro de California.

Un cráter lunar, Arquímedes (29,7°N 4,0°W / 29,7; -4,0), y una cadena montañosa lunar, los Montes Arquímedes (25,3°N 4,6°W / 25,3; -4.6), reciben su nombre en su honor en la Luna.

Arbelos

• Arbelos
• Punto de Arquímedes
• Número de Arquímedes
• Paradoja de Arquímedes
• Métodos para calcular raíces cuadradas
• Salinón
• Cañón de vapor
• Círculos gemelos
• Zhang Heng

Notas

Notas al pie

Citas

Referencias

Testimonio Antiguo

• Plutarco, *Vida de Marcelo*
• "Ateneo, Deipnosophistae". . Consultado el 7 de marzo de 2023.Fuentes modernas
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    • Obras de Arquímedes en el Proyecto Gutenberg
    • Arquímedes en el Proyecto de Ontología de Filosofía de Indiana
    • El proyecto Palimpsesto de Arquímedes en el Museo de Arte Walters en Baltimore, Maryland
    • "Arquímedes sobre esferas y cilindros". MathPages.com.Fuente: Archivo de la Academia TORIma