David Hilbert

David Hilbert (; alemán: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943) fue un destacado matemático y filósofo de las matemáticas alemán, ampliamente reconocido como una de las figuras más influyentes en este campo durante su época.

David Hilbert (; alemán: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943) fue un matemático y filósofo de las matemáticas alemán y uno de los matemáticos más influyentes de su tiempo.

Las contribuciones de Hilbert abarcaron el descubrimiento y desarrollo de numerosos conceptos fundamentales, incluida la teoría invariante, el cálculo de variaciones, el álgebra conmutativa, la teoría algebraica de números, los fundamentos de la geometría, la teoría espectral de operadores con sus aplicaciones a ecuaciones integrales, la física matemática y los fundamentos de las matemáticas, particularmente la teoría de la prueba. Fue un firme defensor de la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Georg Cantor. Su presentación de una colección fundamental de problemas en 1900 moldeó significativamente la trayectoria de la investigación matemática a lo largo del siglo XX.

Junto con sus estudiantes, Hilbert jugó un papel crucial en el establecimiento del rigor matemático y el diseño de herramientas esenciales utilizadas en la física matemática contemporánea. También es reconocido como cofundador de la teoría de la prueba y de la lógica matemática.

Vida

Vida temprana y educación

David Hilbert, el mayor de dos hijos y el único hijo de Otto, un juez del condado, y Maria Therese Hilbert (de soltera Erdtmann), hija de un comerciante, nació en la Provincia de Prusia, dentro del Reino de Prusia. Su lugar de nacimiento está registrado como Königsberg (actual Kaliningrado), según el relato personal de Hilbert, o Wehlau (conocido como Znamensk desde 1946), ubicado cerca de Königsberg, donde trabajaba su padre en el momento de su nacimiento. Su abuelo paterno, también llamado David Hilbert, ocupó cargos de juez y Geheimrat. María, su madre, cultivó intereses por la filosofía, la astronomía y los números primos, mientras que su padre, Otón, le inculcó las virtudes prusianas. Tras el nombramiento de su padre como juez municipal, la familia se trasladó a Königsberg. Su hermana, Elise, nació cuando él tenía seis años. Hilbert comenzó su educación formal a la edad de ocho años, dos años más que la edad inicial habitual.

A finales de 1872, Hilbert se matriculó en el Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum), una escuela a la que ya había asistido Immanuel Kant 140 años antes. Sin embargo, después de un período insatisfactorio, se trasladó a finales de 1879 y posteriormente se graduó a principios de 1880 en el Wilhelm Gymnasium, que ofrecía un plan de estudios más centrado en la ciencia. Tras graduarse en otoño de 1880, Hilbert se matriculó en la Universidad de Königsberg, conocida como la "Albertina". A principios de 1882, Hermann Minkowski, que era dos años menor que Hilbert y también nativo de Königsberg (aunque había pasado tres semestres en Berlín), regresó a la ciudad y se unió a la universidad. Posteriormente, Hilbert formó una amistad para toda la vida con el reservado pero talentoso Minkowski.

Carrera

En 1884, Adolf Hurwitz se unió a la facultad de Göttingen como Extraordinarius, equivalente a un profesor asociado. Esto marcó el comienzo de una intensa y productiva colaboración científica entre los tres académicos, en la que Minkowski y Hilbert, en particular, ejercieron influencia mutua a lo largo de sus respectivas carreras científicas. Hilbert defendió con éxito su tesis doctoral en 1885, supervisada por Ferdinand von Lindemann. La tesis se tituló Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, que se traduce como "Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones armónicas esféricas".

Hilbert se desempeñó como Privatdozent (profesor titular) en la Universidad de Königsberg desde 1886 a 1895. En 1895, gracias a la defensa de Felix Klein, consiguió el puesto de profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen. El período durante el cual Klein y Hilbert estuvieron activos transformó a Göttingen en la institución más importante de la comunidad matemática global. Continuó su mandato allí por el resto de su vida.

Escuela de Gotinga

Individuos notables entre los estudiantes de Hilbert incluyeron a Hermann Weyl, el campeón de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Göttingen, Hilbert formó parte de una distinguida comunidad intelectual que incluía a varios de los matemáticos más importantes del siglo XX, incluidos Emmy Noether y Alonzo Church.

De sus 69 estudiantes de doctorado en Göttingen, muchos alcanzaron posteriormente renombre como matemáticos, entre ellos (con el año de finalización de la tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) y Wilhelm Ackermann (1925). De 1902 a 1939, Hilbert ocupó el cargo de editor de la Mathematische Annalen, que entonces era la revista matemática más importante. En 1907, fue elegido miembro internacional de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos.

Vida personal

En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch (1864-1945), la hija de un comerciante de Königsberg, que se caracterizaba como "una joven franca con una independencia mental que coincidía con la de Hilbert". Durante su estancia en Königsberg, tuvieron un hijo, Franz Hilbert (1893-1969). Franz experimentó una enfermedad mental de por vida y, tras su ingreso en una clínica psiquiátrica, Hilbert supuestamente declaró: "De ahora en adelante, debo considerar que no tengo un hijo". Esta postura angustió profundamente a Käthe.

Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski como su amigo más cercano y de mayor confianza.

Hilbert fue bautizado y criado como calvinista dentro de la Iglesia Evangélica Prusiana. Posteriormente se apartó de la Iglesia y adoptó una cosmovisión agnóstica. Sostuvo además que la verdad matemática existía independientemente de la existencia divina u otras presuposiciones a priori. Respondiendo a las críticas a Galileo Galilei por no defender sus convicciones heliocéntricas, Hilbert afirmó: "Pero [Galileo] no era un idiota. Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se demuestran a su debido tiempo".

Vida posterior

Al igual que Albert Einstein, Hilbert mantuvo estrechas asociaciones con el Grupo de Berlín, cuyos principales fundadores, incluidos Kurt Grelling, Hans Reichenbach y Walter Dubislav, habían sido sus alumnos en Göttingen.

Aproximadamente en 1925, Hilbert contrajo anemia perniciosa, una deficiencia de vitaminas que entonces era intratable y se manifestaba principalmente como agotamiento. Su asistente, Eugene Wigner, caracterizó a Hilbert por experimentar una "enorme fatiga" y parecer "bastante mayor". Wigner señaló además que incluso después de un diagnóstico y tratamiento posterior, Hilbert "difícilmente era un científico después de 1925, y ciertamente no un Hilbert".

En 1932, Hilbert fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica Estadounidense.

Hilbert fue testigo de la purga por parte del régimen nazi de numerosos profesores distinguidos de la Universidad de Göttingen en 1933. Entre los despedidos se encontraba Hermann Weyl, quien había asumido la cátedra de Hilbert. tras su jubilación en 1930; Emmy Noether; y Edmundo Landau. Paul Bernays, otro individuo obligado a abandonar Alemania, había colaborado con Hilbert en lógica matemática y era coautor de la importante obra Grundlagen der Mathematik, que finalmente se publicó en dos volúmenes en 1934 y 1939. Esta publicación sirvió como continuación del volumen de Hilbert-Ackermann, Principios de lógica matemática (1928). Helmut Hasse sucedió a Hermann Weyl.

Aproximadamente un año después de la purga, Hilbert asistió a un banquete en el que estuvo sentado junto a Bernhard Rust, el recién nombrado Ministro de Educación. Rust preguntó si "el Instituto de Matemáticas realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". La conmovedora respuesta de Hilbert fue: "¿Sufriste? Ya no existe, ¿verdad?"

Muerte

A la muerte de Hilbert en 1943, el régimen nazi había reemplazado casi por completo el cuerpo docente de la universidad, en gran parte debido al despido de personas que eran judías o estaban casadas con judíos. A su funeral asistieron escasamente, con menos de una docena de personas presentes, incluidos sólo dos colegas académicos, uno de los cuales era Arnold Sommerfeld, un físico teórico y nativo de Königsberg. La conciencia pública de su fallecimiento surgió sólo varios meses después de su muerte.

El epitafio inscrito en la lápida de Hilbert en Göttingen presenta las renombradas declaraciones que pronunció en la culminación de su discurso de jubilación ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Estas palabras se ofrecieron como una réplica a la máxima latina: "Ignoramus et ignorabimus", que se traduce como "No sabemos y no lo sabremos":

El día anterior al pronunciamiento de Hilbert de estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel, durante una mesa redonda en la Conferencia de Epistemología celebrada al mismo tiempo que las reuniones de la Sociedad, presentó provisionalmente la formulación inicial de su teorema de incompletitud. Los teoremas de incompletitud de Gödel demuestran que incluso los sistemas axiomáticos fundamentales, como la aritmética de Peano, son inherentemente contradictorios o abarcan proposiciones lógicas que no se pueden probar ni refutar dentro de los límites de ese sistema.

Contribuciones a las Matemáticas y la Física

Resolución del problema de Gordan

La investigación inicial de Hilbert sobre funciones invariantes culminó en 1888 con la presentación de su renombrado teorema de finitud. Dos décadas antes, Paul Gordan había establecido el teorema sobre la finitud de los generadores de formas binarias, empleando una intrincada metodología computacional. Los intentos de extender el enfoque de Gordon a funciones que involucran más de dos variables resultaron infructuosos debido a la inmensa complejidad computacional. Para abordar lo que se conoció en ciertos círculos académicos como el problema de Gordon, Hilbert reconoció la necesidad de adoptar una estrategia completamente diferente. En consecuencia, formuló el teorema de base de Hilbert, que demostró la existencia de un conjunto finito de generadores para las invariantes de la cuántica en cualquier número de variables. Sin embargo, esta prueba era abstracta y establecía la existencia sin proporcionar un método constructivo para identificar dicho conjunto; se basó en la ley del tercero excluido dentro de una extensión infinita.

Hilbert presentó sus hallazgos a la revista Mathematische Annalen. Gordan, quien se desempeñó como autoridad residente de la revista en teoría invariante para Mathematische Annalen, no logró captar la naturaleza innovadora del teorema de Hilbert y posteriormente rechazó el manuscrito, citando una exposición insuficientemente completa. Su comentario decía:

Por el contrario, Klein reconoció la importancia del trabajo y garantizó su publicación sin ninguna revisión. Animado por Klein, Hilbert amplió su metodología en un artículo posterior, ofreciendo estimaciones para el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y la volvió a presentar a los Annalen. Al revisar el manuscrito, Klein le transmitió a Hilbert:

Sin duda, este es el trabajo más importante sobre álgebra general que los Annalen hayan publicado.

Posteriormente, después de que la utilidad del método de Hilbert ganara aceptación universal, el propio Gordan comentó:

Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos.

A pesar de sus éxitos, la naturaleza inherente de la prueba de Hilbert generó desafíos imprevistos. Aunque Kronecker finalmente aceptó, Hilbert luego abordó críticas similares afirmando que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental" o, como expresó Reid, "A través de una prueba de existencia, Hilbert había podido obtener una construcción"; por lo tanto, "la prueba" (es decir, los símbolos escritos) era "el objeto". Esta perspectiva no convenció universalmente. Si bien la muerte de Kronecker se produjo poco después, su filosofía constructivista persistió a través de la emergente "escuela" intuicionista dirigida por el joven Brouwer, causando considerable angustia a Hilbert en sus últimos años. De hecho, Hilbert fue testigo de cómo su "alumno superdotado" Weyl abrazaba el intuicionismo, un desarrollo que "perturbó a Hilbert por la fascinación de su antiguo alumno por las ideas de Brouwer, que despertaron en Hilbert el recuerdo de Kronecker". Brouwer, como intuicionista, se opuso específicamente a la aplicación de la Ley del Medio Excluido a conjuntos infinitos, un principio que Hilbert había empleado. La respuesta de Hilbert fue:

Tomar el principio del medio excluido del matemático... es lo mismo que... prohibir al boxeador el uso de sus puños.

Nullstellensatz

En álgebra, un campo se define como algebraicamente cerrado si cada polinomio definido sobre él posee una raíz dentro de ese campo. Basándose en este concepto, Hilbert estableció un criterio para determinar cuándo un conjunto de ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ polinomios en ${\displaystyle n}$ comparten una raíz común. Esta condición se cumple precisamente cuando no hay polinomios. q §7071§ , … , q k {\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}} e índices ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ que satisface la siguiente ecuación:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

Este importante hallazgo se reconoce formalmente como el teorema de la raíz de Hilbert, también conocido por su designación alemana, "Hilberts Nullstellensatz". Además, Hilbert demostró una correspondencia biyectiva entre ideales evanescentes y sus conjuntos evanescentes asociados, vinculando específicamente variedades afines con ideales radicales dentro de ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Curva

En 1890, Giuseppe Peano introdujo la primera curva de llenado de espacio históricamente documentada en un artículo publicado en el Mathematische Annalen. Posteriormente, Hilbert desarrolló su propia variante de esta curva, que actualmente se conoce como curva de Hilbert. Las aproximaciones iterativas de esta curva se generan con base en las reglas de reemplazo ilustradas en la figura inicial de esta sección. La curva misma se define como el límite puntual de estas aproximaciones.

Axiomatización de la Geometría

En 1899, Hilbert publicó Grundlagen der Geometrie, traducido como Fundamentos de la geometría, que proponía un conjunto formal de axiomas, conocidos como axiomas de Hilbert, para reemplazar los postulados tradicionales de Euclides. Estos nuevos axiomas abordaron las debilidades identificadas en el trabajo de Euclides, que todavía se usaba ampliamente como libro de texto en ese momento. Para definir con precisión los axiomas de Hilbert es necesario hacer referencia al historial de publicaciones de Grundlagen, ya que Hilbert los revisó y modificó varias veces. La monografía inicial fue seguida rápidamente por una traducción francesa, a la que Hilbert añadió el V.2, el Axioma de la Completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert y protegida por derechos de autor en 1902 por E.J. Townsend, incorporó los cambios de la edición francesa y, por tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó introduciendo modificaciones en el texto, lo que dio lugar a varias ediciones en alemán, siendo la séptima la última publicada durante su vida. Las ediciones posteriores aparecieron después de la séptima, aunque el texto principal permaneció prácticamente sin revisar.

La metodología de Hilbert marcó un cambio fundamental hacia el enfoque axiomático moderno, un desarrollo anticipado por el trabajo de Moritz Pasch en 1882. Bajo este paradigma, los axiomas no se consideran verdades evidentes por sí mismas. Si bien la geometría puede ocuparse de cosas que evocan fuertes intuiciones, no es esencial asignar un significado explícito a conceptos indefinidos. Elementos como puntos, líneas y planos, entre otros, podrían, como supuestamente Hilbert sugirió a Schoenflies y Kötter, sustituirse por objetos como mesas, sillas o vasos de cerveza. En cambio, la atención se centra en sus relaciones definidas.

Hilbert inicialmente enumeró los conceptos no definidos: punto, línea, plano, la relación de "acostarse" (que se aplica entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos), intermediación, congruencia de pares de puntos (segmentos de línea) y congruencia de ángulos. Estos axiomas integran tanto la geometría plana euclidiana como la geometría sólida en un sistema unificado.

Veintitrés problemas

En el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver. Esta compilación es ampliamente considerada como la colección de problemas abiertos más exitosa y profundamente considerada jamás formulada por un matemático individual.

Tras su trabajo fundamental en geometría clásica, Hilbert podría haber extendido su enfoque a la totalidad de las matemáticas. Su metodología divergió de las perspectivas "fundacionalistas" posteriores de Russell-Whitehead y del enfoque "enciclopedista" de Nicolas Bourbaki, así como de su contemporáneo Giuseppe Peano. Los problemas de Hilbert fueron diseñados para involucrar a la comunidad matemática en general en aspectos cruciales de dominios matemáticos importantes.

El conjunto de problemas se presentó durante una conferencia titulada "Los problemas de las matemáticas", pronunciada en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. Las palabras introductorias de Hilbert para este discurso decían:

¿Quién de nosotros no estaría feliz de levantar el velo detrás del cual se esconde el futuro? ¿Echar un vistazo a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros? ¿Qué objetivos concretos habrá por los que se esforzarán los principales espíritus matemáticos de las generaciones venideras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos en el amplio y rico campo del pensamiento matemático revelarán los nuevos siglos?

Hilbert presentó menos de la mitad de estos problemas en el Congreso, y su publicación inicial apareció en las actas del Congreso. En una publicación posterior, amplió esta visión general, conduciendo a la formulación definitiva de los ahora canónicos 23 Problemas de Hilbert. El texto completo sigue siendo significativo, ya que la interpretación de estas cuestiones aún puede ser objeto de debate en cuanto al número de problemas que se han resuelto definitivamente.

Algunos de estos problemas se resolvieron con relativa rapidez. Otros han sido objeto de extensos debates a lo largo del siglo XX, y algunos ahora se consideran demasiado abiertos para lograr un cierre definitivo. Un subconjunto de estos problemas continúa planteando desafíos importantes.

Los siguientes son los títulos de los 23 problemas de Hilbert tal como aparecieron en la traducción de 1902 publicada en el Bulletin of the American Mathematical Society.

1. El problema de Cantor del número cardinal del continuo.

2. La compatibilidad de los axiomas aritméticos.

3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de iguales bases e iguales altitudes.

El cuarto problema aborda el concepto de línea recta como la distancia más corta entre dos puntos.

El quinto problema se refiere a la teoría de Lie de los grupos de transformación continua, específicamente sin presumir la diferenciabilidad de las funciones que definen estos grupos.

El sexto problema implica la formalización matemática de axiomas físicos.

El séptimo problema investiga las propiedades de irracionalidad y trascendencia de números específicos.

El octavo problema se centra en la distribución de números primos, y abarca en particular la hipótesis de Riemann.

El noveno problema busca establecer una prueba de la ley de reciprocidad más generalizada dentro de cualquier campo numérico.

El décimo problema tiene como objetivo determinar la solubilidad de las ecuaciones diofánticas.

El undécimo problema aborda formas cuadráticas que incorporan coeficientes numéricos algebraicos arbitrarios.

El duodécimo problema implica extender el teorema de Kronecker, que pertenece a los campos abelianos, para abarcar cualquier dominio algebraico de racionalidad.

El decimotercer problema explora la imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado usando funciones restringidas a solo dos argumentos.

El decimocuarto problema requiere demostrar la finitud de sistemas de funciones completos específicos.

El decimoquinto problema exige un marco fundacional riguroso para el cálculo enumerativo de Schubert.

El decimosexto problema se refiere a la topología de curvas y superficies algebraicas.

El decimoséptimo problema implica expresar formas definidas como sumas de cuadrados.

El decimoctavo problema investiga la construcción del espacio utilizando poliedros congruentes.

El decimonoveno problema cuestiona si las soluciones a problemas regulares en el cálculo de variaciones son invariablemente analíticas.

El vigésimo problema aborda la teoría general de los valores límite, específicamente los problemas de valores límite en ecuaciones diferenciales parciales.

El vigésimo primer problema busca demostrar la existencia de ecuaciones diferenciales lineales que poseen un grupo de monodromía predefinido.

El vigésimo segundo problema implica la uniformización de relaciones analíticas mediante la aplicación de funciones automórficas.

El problema vigésimo tercero propone un mayor avance de las metodologías dentro del cálculo de variaciones.

Formalismo

A mediados de siglo, el influyente conjunto de problemas de Hilbert fue ampliamente reconocido como un manifiesto fundacional, allanando el camino para el surgimiento de la escuela formalista, una filosofía matemática prominente del siglo XX. Los formalistas postulan que las matemáticas constituyen la manipulación de símbolos regidos por reglas formales establecidas, representando así un esfuerzo intelectual autónomo.

Programa

En 1920, Hilbert introdujo una iniciativa de investigación metamatemática, posteriormente denominada programa de Hilbert, cuyo objetivo era establecer las matemáticas sobre un marco lógico sólido y completo. Teorizó que este objetivo podría lograrse demostrando dos principios clave:

1. Primero, que la totalidad de las matemáticas podría derivarse de un sistema axiomático finito seleccionado con precisión; y
2. En segundo lugar, que dicho sistema axiomático podría ser demostrablemente consistente mediante métodos como el cálculo épsilon.

La formulación de esta propuesta por parte de Hilbert parece haber estado motivada por consideraciones tanto técnicas como filosóficas. Reflejó notablemente su oposición al concepto conocido como "ignorabimus", un importante debate intelectual en el pensamiento alemán contemporáneo, que se originó con Emil du Bois-Reymond.

Este programa sigue siendo identificable dentro de la filosofía predominante de las matemáticas, comúnmente conocida como formalismo. Por ejemplo, el grupo Bourbaki implementó una iteración modificada y selectiva de este programa, considerándolo adecuado para sus objetivos duales: (a) compilar textos fundacionales integrales y (b) defender el método axiomático como instrumento de investigación. Si bien este enfoque resultó exitoso e impactante en relación con las contribuciones de Hilbert al álgebra y el análisis funcional, no resonó de manera similar con sus compromisos con la física y la lógica.

En 1919, Hilbert articuló:

No estamos hablando de arbitrariedad en ningún contexto. Las matemáticas no se parecen a un juego en el que las tareas se definen mediante reglas establecidas arbitrariamente. Más bien, constituye un sistema conceptual dotado de una necesidad inherente, que dicta su naturaleza y excluye cualquier alternativa.

Las perspectivas de Hilbert sobre los principios fundamentales de las matemáticas se difundieron en su publicación de dos volúmenes, *Grundlagen der Mathematik*.

Las contribuciones de Gödel

Hilbert y sus colaboradores estaban profundamente comprometidos con esta ambiciosa empresa. Sin embargo, su esfuerzo por apuntalar las matemáticas axiomatizadas con principios concluyentes, destinados a eliminar ambigüedades teóricas, finalmente resultó infructuoso.

Gödel demostró de manera concluyente que cualquier sistema formal consistente capaz de expresar la aritmética fundamental no puede establecer su propia integridad únicamente a través de sus axiomas y reglas de inferencia intrínsecos. Su teorema de incompletitud de 1931 reveló que el programa integral de Hilbert, tal como se concibió originalmente, era inalcanzable. Específicamente, el segundo principio del programa de Hilbert no puede integrarse coherentemente con el primero, siempre que el sistema axiomático sea genuinamente finito.

Sin embargo, los avances posteriores en la teoría de la prueba aclararon significativamente el concepto de coherencia, particularmente en lo que respecta a las teorías centrales para la investigación matemática. El trabajo fundacional de Hilbert inició esta trayectoria de clarificación de la lógica. Posteriormente, el imperativo de comprender las contribuciones de Gödel impulsó la evolución de la teoría de la recursión, que luego estableció la lógica matemática como una disciplina académica autónoma en la década de 1930. Además, los principios fundacionales de la informática teórica posterior, en particular a través de las contribuciones de Alonzo Church y Alan Turing, surgieron directamente de este discurso intelectual.

Análisis funcional

Aproximadamente en 1909, Hilbert dedicó sus esfuerzos a investigar ecuaciones diferenciales e integrales, lo que produjo implicaciones directas para áreas importantes dentro del análisis funcional moderno. Para facilitar estas investigaciones, Hilbert conceptualizó un espacio euclidiano de dimensión infinita, posteriormente denominado espacio de Hilbert. Sus esfuerzos en este dominio analítico proporcionaron una base crucial para contribuciones sustanciales a las matemáticas de la física durante las dos décadas siguientes, aunque desde una perspectiva imprevista. Posteriormente, Stefan Banach amplió este concepto definiendo los espacios de Banach. Los espacios de Hilbert constituyen una clase fundamental de entidades dentro del análisis funcional, particularmente relevante para la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos, un campo que se desarrolló en torno a ellos a lo largo del siglo XX.

Física

Antes de 1912, Hilbert se desempeñaba principalmente como un matemático puro. Cuando Hermann Minkowski, un compañero matemático y amigo, planeó un Indeed, Minkowski parece haber jugado un papel decisivo en la mayoría de las exploraciones físicas de Hilbert antes de 1912, incluido su seminario colaborativo sobre el tema en 1905.

En 1912, tres años después de la muerte de Minkowski, Hilbert cambió su enfoque académico casi exclusivamente a la física. Consiguió un "tutor de física" personal y comenzó estudios en teoría cinética de gases, progresando hacia la teoría elemental de la radiación y la teoría molecular de la materia. Incluso después del estallido de la guerra en 1914, mantuvo seminarios y clases que examinaban meticulosamente los trabajos de Albert Einstein y otros físicos contemporáneos.

En 1907, Einstein había articulado los principios fundamentales de la teoría de la gravedad, pero posteriormente trabajó durante casi ocho años para finalizar su formulación completa. Su encuentro con Emmy Noether en Göttingen resultó fundamental para este avance. A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert por la física había convergido en la relatividad general, lo que le impulsó a invitar a Einstein a Göttingen para una serie de conferencias de una semana de duración sobre el tema. Einstein fue recibido con entusiasmo. Durante el verano, Einstein se enteró del trabajo paralelo de Hilbert sobre las ecuaciones de campo, lo que intensificó sus propios esfuerzos de investigación. En noviembre de 1915, Einstein publicó varios artículos que culminaron con Las ecuaciones de campo de la gravitación. Casi al mismo tiempo, Hilbert publicó "Los fundamentos de la física", que presentaba una derivación axiomática de las ecuaciones de campo. Hilbert reconoció constantemente a Einstein como el conceptualizador original de la teoría, y nunca surgió ninguna disputa pública sobre la prioridad de las ecuaciones de campo entre los dos académicos durante sus vidas.

Además, la investigación de Hilbert anticipó y facilitó varios avances en la formalización matemática de la mecánica cuántica. Sus contribuciones fueron fundamentales para el trabajo de Hermann Weyl y John von Neumann para demostrar la equivalencia matemática entre la mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger. Además, el espacio de Hilbert del mismo nombre desempeña un papel importante en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann demostró de manera concluyente que si los estados cuánticos se conceptualizaran como vectores dentro del espacio de Hilbert, se alinearían tanto con la teoría de la función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg.

Hilbert se dedicó a inculcar el rigor matemático dentro del campo de la física. A pesar de la gran dependencia de la física de las matemáticas avanzadas, los profesionales a menudo mostraban una falta de precisión en su aplicación. Para un matemático puro como Hilbert, esta imprecisión era estéticamente desagradable e intelectualmente opaca. A medida que profundizó su comprensión de la física y los métodos matemáticos empleados por los físicos, formuló una teoría matemática coherente para sus observaciones, particularmente en el dominio de las ecuaciones integrales. Cuando su colega Richard Courant escribió el trabajo fundamental Methoden der mathematischen Physik (Métodos de física matemática), incorporando algunos de los conceptos de Hilbert, incluyó el nombre de Hilbert como coautor, a pesar de la falta de contribución directa de Hilbert al manuscrito. Hilbert comentó: "La física es demasiado difícil para los físicos", implicando que la sofisticación matemática requerida a menudo excedía su alcance; Posteriormente, la publicación de Courant-Hilbert facilitó su interacción con estas complejas herramientas matemáticas.

Teoría de los números

Hilbert avanzó significativamente en la unificación de la teoría algebraica de números a través de su tratado de 1897, Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). También resolvió con éxito un importante problema de teoría de números planteado inicialmente por Waring en 1770. De manera similar a su teorema de finitud, Hilbert empleó una prueba de existencia, demostrando la certeza de las soluciones sin proporcionar un método constructivo para su derivación. A raíz de esto, sus publicaciones posteriores sobre el tema fueron limitadas; sin embargo, la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante asoció aún más su nombre con un área prominente de investigación.

Propuso una serie de conjeturas relacionadas con la teoría de campos de clases. Estos conceptos resultaron profundamente influyentes, y las contribuciones duraderas de Hilbert se reconocen a través de la nomenclatura del campo de clases de Hilbert y el símbolo de Hilbert dentro de la teoría de campos de clases local. La mayoría de estos resultados fueron corroborados en 1930, en gran parte gracias al trabajo de Teiji Takagi.

Aunque Hilbert no se concentró en las áreas centrales de la teoría analítica de números, su nombre está asociado con la conjetura de Hilbert-Pólya, una conexión arraigada en orígenes anecdóticos. Ernst Hellinger, un antiguo alumno de Hilbert, le contó una vez a André Weil que Hilbert había declarado en un seminario a principios del siglo XX su expectativa de que la prueba de la hipótesis de Riemann surgiría como consecuencia de la investigación de Fredholm sobre ecuaciones integrales con un núcleo simétrico.

Obras

Sus obras académicas completas, tituladas Gesammelte Abhandlungen, han sido objeto de múltiples publicaciones. Las versiones iniciales de sus artículos contenían numerosas imprecisiones técnicas de diversa gravedad. Tras la primera publicación de la colección, estos errores fueron rectificados y se determinó que dichas correcciones podrían implementarse sin necesidad de modificaciones importantes en los enunciados de los teoremas, con la singular excepción de una supuesta prueba de la hipótesis del continuo. Sin embargo, los errores eran lo suficientemente generalizados y significativos como para que Olga Taussky-Todd necesitara tres años para completar las revisiones necesarias.

Conceptos

Citas

Literatura primaria traducida al inglés

Literatura primaria traducida al inglés

• Ewald, William B., ed. (1996). De Kant a Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press.
• 1922. "La nueva base de las matemáticas: primer informe", 1115-1133.
• 1923. "Los fundamentos lógicos de las matemáticas", 1134-1147.
• 1930. "Lógica y conocimiento de la naturaleza", 1157-1165.
• 1931. "Los fundamentos de la teoría elemental de números", 1148-1156.
• 1904. "Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética", 129-138.
• 1925. "Sobre el infinito", 367–392.
• 1927. "Los fundamentos de las matemáticas", con comentario de Weyl y un apéndice de Bernays, 464–489.