David Hilbert

دیوید هیلبرت (به آلمانی: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]؛ 23 ژانویه 1862 - 14 فوریه 1943) یک ریاضیدان و فیلسوف برجسته آلمانی بود که به طور گسترده ای در رشته ریاضیات به عنوان یکی از مشهورترین افراد در این زمینه شناخته شد. دوران.

دیوید هیلبرت (; آلمانی: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]؛ 23 ژانویه 1862 - 14 فوریه 1943) ریاضیدان و ریاضیدان آلمانی بود. ریاضیدانان زمان خود.

مشارکت های هیلبرت شامل کشف و توسعه مفاهیم بنیادی متعدد، از جمله نظریه ثابت، حساب تغییرات، جبر جابجایی، نظریه اعداد جبری، مبانی هندسه، نظریه طیفی عملگرها با کاربردهای آن در انتگرال و انتگرال های ریاضی بود. ریاضیات، به ویژه نظریه اثبات. او مدافع سرسخت نظریه مجموعه و اعداد متقابل جورج کانتور بود. ارائه مجموعه ای اساسی از مسائل او در سال 1900 به طور قابل توجهی مسیر تحقیقات ریاضی را در سراسر قرن بیستم شکل داد.

هیلبرت همراه با شاگردانش نقش مهمی در ایجاد دقت ریاضی و ابداع ابزارهای اساسی مورد استفاده در فیزیک ریاضی معاصر ایفا کرد. او همچنین به عنوان یکی از بنیانگذاران نظریه اثبات و منطق ریاضی شناخته می شود.

زندگی

زندگی اولیه و تحصیل

دیوید هیلبرت، بزرگتر از دو فرزند و تنها پسر اتو، قاضی شهرستان، و ماریا ترز هیلبرت (با نام خانوادگی Erdtmann)، دختر یک تاجر، در استان پروس، در قلمرو پادشاهی پروس به دنیا آمد. محل تولد او به عنوان کونیگزبرگ (کالینینگراد کنونی)، بر اساس گزارش شخصی هیلبرت، یا وهلاو (از سال 1946 به عنوان Znamensk شناخته می شود)، در نزدیکی Königsberg، جایی که پدرش در زمان تولدش در آنجا مشغول به کار بود، ثبت شده است. پدربزرگ پدری او که دیوید هیلبرت نیز نام داشت، سمت‌هایی به عنوان قاضی و Geheimrat داشت. ماریا، مادرش، به فلسفه، نجوم و اعداد اول علاقه داشت، در حالی که پدرش، اتو، فضایل پروسی را به او القا کرد. پس از انتصاب پدرش به عنوان قاضی شهر، خانواده به کونیگزبرگ نقل مکان کردند. خواهرش الیز در شش سالگی به دنیا آمد. هیلبرت تحصیلات رسمی خود را در سن هشت سالگی، دو سال فراتر از سن شروع معمولی آغاز کرد.

در اواخر سال 1872، هیلبرت در مدرسه ورزشی Friedrichskolleg (Collegium fridericianum)، مدرسه ای که قبلا ایمانوئل کانت 140 سال قبل در آن تحصیل می کرد، ثبت نام کرد. با این حال، پس از یک دوره نامطلوب، او در اواخر سال 1879 منتقل شد و متعاقباً در اوایل سال 1880 از ورزشگاه ویلهلم فارغ‌التحصیل شد، که برنامه درسی علمی متمرکزتری ارائه می‌داد. هیلبرت پس از فارغ التحصیلی خود در پاییز 1880، در دانشگاه کونیگزبرگ، معروف به "آلبرتینا" تحصیل کرد. در اوایل سال 1882، هرمان مینکوفسکی، که دو سال از هیلبرت کوچکتر بود و همچنین بومی کونیگزبرگ بود (اگرچه سه ترم را در برلین گذرانده بود)، به شهر بازگشت و به دانشگاه پیوست. هیلبرت متعاقباً با مینکوفسکی محتاط و در عین حال مستعد دوستی مادام العمر برقرار کرد.

حرفه

در سال 1884، آدولف هورویتز به عنوان یک فوق‌العاده، معادل استادیار، از گوتینگن به دانشکده پیوست. این شروع یک همکاری علمی شدید و سازنده بین این سه محقق بود، به ویژه مینکوفسکی و هیلبرت که در طول حرفه علمی مربوطه خود تأثیر متقابل داشتند. هیلبرت در سال 1885 با نظارت فردیناند فون لیندمان از رساله دکتری خود با موفقیت دفاع کرد. عنوان پایان نامه Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen بود که به "در مورد ویژگی های ثابت فرم های باینری خاص، به ویژه توابع هارمونیک کروی" ترجمه می شود. دانشگاه کونیگزبرگ از سال 1886 تا 1895. در سال 1895، از طریق حمایت فلیکس کلاین، او موقعیت پروفسور ریاضیات در دانشگاه گوتینگن را به دست آورد. دوره ای که در طی آن کلاین و هیلبرت فعال بودند، گوتینگن را به برجسته ترین مؤسسه در جامعه جهانی ریاضی تبدیل کرد. او تا پایان عمر در آنجا ادامه داد.

مدرسه گوتینگن

افراد قابل توجه در میان شاگردان هیلبرت عبارتند از: هرمان ویل، قهرمان شطرنج امانوئل لاسکر، ارنست زرملو و کارل گوستاو همپل. جان فون نویمان به عنوان دستیار او خدمت کرد. در دانشگاه گوتینگن، هیلبرت بخشی از یک جامعه روشنفکر برجسته بود که شامل تعدادی از ریاضیدانان برجسته قرن بیستم، از جمله امی نوتر و آلونزو چرچ بود.

از 69 دانشجوی دکترای او در گوتینگن، بسیاری از آنها متعاقباً به عنوان ریاضیدانان مشهور شدند: (1898)، فلیکس برنشتاین (1901)، هرمان ویل (1908)، ریچارد کورانت (1910)، اریش هکه (1910)، هوگو اشتاینهاوس (1911)، و ویلهلم آکرمان (1925). از سال 1902 تا 1939، هیلبرت سمت سردبیر Mathematische Annalen را بر عهده داشت، که در آن زمان مهمترین مجله ریاضی بود. در سال 1907، او به عنوان عضو بین المللی آکادمی ملی علوم ایالات متحده انتخاب شد.

زندگی شخصی

در سال 1892، هیلبرت با کته جروش (1864-1945)، دختر یک تاجر کونیگزبرگ، که به عنوان "بانوی جوانی رک و صریح با استقلال ذهنی مطابق با [هیلبرت]) شناخته می شد، ازدواج کرد. در طول مدت اقامت خود در کونیگزبرگ، آنها صاحب یک پسر به نام فرانتس هیلبرت (1893-1969) شدند. فرانتس مادام‌العمر بیماری روانی را تجربه کرد و هیلبرت پس از پذیرش در کلینیک روان‌پزشکی اظهار داشت: «از این به بعد باید خود را به‌عنوان پسر نداشتن بدانم». این موضع عمیقاً کته را ناراحت کرد.

هیلبرت، ریاضی‌دان هرمان مینکوفسکی را نزدیک‌ترین و مورد اعتمادترین دوست خود می‌دانست.

هیلبرت در کلیسای انجیلی پروس تعمید داده و به عنوان یک کالوینیست بزرگ شد. او متعاقباً از کلیسا خارج شد و یک جهان بینی آگنوستیک اتخاذ کرد. او همچنین ادعا کرد که حقیقت ریاضی مستقل از وجود الهی یا دیگر پیش فرض های پیشینی وجود دارد. هیلبرت در پاسخ به انتقاداتی که از گالیله گالیله به دلیل عدم پایبندی به عقاید خورشیدمرکزی خود داشت، اظهار داشت: "اما [گالیله] احمق نبود. فقط یک احمق می توانست باور کند که حقیقت علمی به شهادت نیاز دارد؛ این ممکن است در دین ضروری باشد، اما نتایج علمی در زمان مناسب خود را ثابت می کند."

زندگی بعدی

هیلبرت مانند آلبرت انیشتین، ارتباط نزدیکی با گروه برلین داشت، که بنیانگذاران اصلی آن، از جمله کورت گرلینگ، هانس رایشن باخ و والتر دوبیسلاو، شاگردان او در گوتینگن بودند.

تقریباً در سال 1925، هیلبرت به کم خونی خطرناک مبتلا شد و به‌عنوان یک کم‌خونی غیرقابل تظاهر، دچار کمبود ویتامین شد. فرسودگی دستیار او، یوجین ویگنر، هیلبرت را به عنوان تجربه "خستگی شدید" و "بسیار پیر" توصیف کرد. ویگنر همچنین خاطرنشان کرد که حتی پس از تشخیص و درمان بعدی، هیلبرت "بعد از سال 1925 به سختی یک دانشمند بود، و مطمئناً هیلبرت نبود."

در سال 1932، هیلبرت به عنوان عضوی از انجمن فلسفی آمریکا انتخاب شد.

هیلبرت شاهد تعداد زیادی از اعضای دانشگاه رژیم نازی بود. در سال 1933. در میان کسانی که از کار برکنار شدند، هرمان ویل بودند، که پس از بازنشستگی هیلبرت در سال 1930، صندلی هیلبرت را بر عهده گرفت. امی نوتر; و ادموند لاندو پل برنیز، فرد دیگری که مجبور به ترک آلمان شد، با هیلبرت در زمینه منطق ریاضی همکاری کرده بود و اثر مهم Grundlagen der Mathematik را که در نهایت در دو جلد در سال‌های 1934 و 1939 منتشر شد. منطق (1928). هلموت هاسه جانشین هرمان ویل شد.

تقریبا یک سال پس از پاکسازی، هیلبرت در ضیافتی شرکت کرد که در آن در کنار برنهارد رست، وزیر آموزش و پرورش تازه منصوب شده نشسته بود. راست از او پرسید که آیا واقعاً مؤسسه ریاضیات به دلیل خروج یهودیان این همه رنج را متحمل شده است؟ پاسخ کوبنده هیلبرت این بود: "رنج کشیدی؟ دیگر وجود ندارد، نه؟"

مرگ

با مرگ هیلبرت در سال 1943، رژیم نازی تقریباً به طور کامل جای هیئت علمی دانشگاه را گرفته بود، عمدتاً به دلیل اخراج افرادی که یهودی بودند یا با یهودیان ازدواج کرده بودند. تشییع جنازه او با حضور کم برگزار شد و کمتر از دوازده نفر از جمله تنها دو دانشگاه دیگر حضور داشتند که یکی از آنها آرنولد سامرفلد، فیزیکدان نظری و بومی کونیگزبرگ بود. آگاهی عمومی از درگذشت او تنها چند ماه پس از مرگ او پدیدار شد.

نقشه حک شده بر روی سنگ قبر هیلبرت در گوتینگن بیانیه‌های معروفی را نشان می‌دهد که او در اوج سخنرانی بازنشستگی خود در انجمن دانشمندان و پزشکان آلمانی در ۸ سپتامبر ۱۹۳۰ بیان کرد. "Ignoramus et ignorabimus" که به "ما نمی دانیم و نخواهیم دانیم" ترجمه می شود:

در روز قبل از بیان این عبارات توسط هیلبرت در نشست سالانه انجمن دانشمندان و پزشکان آلمانی در سال 1930، کورت گودل، طی یک میزگرد در کنفرانس معرفت شناسی که همزمان با جلسات انجمن برگزار شد، به طور موقت فرمول اولیه قضیه ناقص خود را ارائه کرد. قضایای ناتمامی گودل نشان می‌دهد که حتی سیستم‌های بدیهی بنیادی، مانند محاسبات پیانو، یا ذاتاً متناقض با خود هستند یا شامل گزاره‌های منطقی می‌شوند که نمی‌توان آنها را در محدوده آن سیستم اثبات یا رد کرد.

مشارکت در ریاضیات و فیزیک

حل مشکل گوردان

تحقیق اولیه هیلبرت در مورد توابع ثابت در سال 1888 با ارائه قضیه تناهی معروف او به اوج خود رسید. دو دهه قبل، پل گوردان با استفاده از یک روش محاسباتی پیچیده، قضیه محدود بودن مولدها را برای اشکال باینری ایجاد کرده بود. تلاش برای گسترش رویکرد گوردان به توابع شامل بیش از دو متغیر به دلیل پیچیدگی محاسباتی بسیار ناموفق بود. هیلبرت برای پرداختن به آنچه در محافل دانشگاهی خاص به عنوان مشکل گوردان شناخته شد، ضرورت اتخاذ یک استراتژی کاملاً متفاوت را تشخیص داد. در نتیجه، او قضیه پایه هیلبرت را فرموله کرد، که وجود مجموعه ای محدود از مولدها را برای متغیرهای کوانتیک در هر تعداد متغیر نشان داد. با این حال، این برهان انتزاعی بود و وجود را بدون ارائه روشی سازنده برای شناسایی چنین مجموعه ای تثبیت می کرد. آن بر قانون وسط حذف شده در یک پسوند بی نهایت تکیه داشت.

هیلبرت یافته های خود را به مجله Mathematische Annalen ارسال کرد. گوردان، که به عنوان مرجع مقیم مجله در مورد نظریه ثابت برای Mathematische Annalen خدمت می کرد، نتوانست ماهیت پیشگامانه قضیه هیلبرت را درک کند و متعاقباً با استناد به توضیح ناکافی جامع، نسخه خطی را رد کرد. در تفسیر او آمده است:

در مقابل، کلاین اهمیت کار را تصدیق کرد و انتشار آن را بدون هیچ گونه تجدیدنظری تضمین کرد. هیلبرت با تشویق کلاین، روش شناسی خود را در مقاله بعدی گسترش داد و تخمین هایی را برای حداکثر درجه حداقل مجموعه ژنراتورها ارائه کرد و دوباره آن را به Annalen ارسال کرد. پس از بررسی نسخه خطی، کلاین به هیلبرت گفت:

بدون شک این مهمترین اثری است که Annalen تا کنون در مورد جبر عمومی منتشر کرده است.

متعاقبا، پس از اینکه کاربرد روش هیلبرت مورد قبول جهانی قرار گرفت، خود گوردان اظهار داشت:

خودم را متقاعد کرده ام که حتی الهیات نیز محاسن خود را دارد.

علی‌رغم موفقیت‌های او، ماهیت ذاتی اثبات هیلبرت باعث ایجاد چالش‌های پیش‌بینی نشده‌ای شد. اگرچه کرونکر در نهایت پذیرفت، هیلبرت بعداً با بیان این که «بسیاری از ساختارهای مختلف تحت یک ایده اساسی قرار می‌گیرند» - یا همانطور که رید بیان می‌کند، «هیلبرت از طریق اثبات وجود، توانسته بود به یک ساختار دست یابد» به انتقادات مشابهی پرداخت. بنابراین، "اثبات" (یعنی نمادهای نوشته شده) ش "شیء" بود. این دیدگاه به طور جهانی متقاعد نشد. در حالی که مرگ کرونکر بلافاصله پس از آن دنبال شد، فلسفه ساخت‌گرای او از طریق "مکتب شهودگرا" در حال ظهور به رهبری بروور جوان ادامه یافت و باعث ناراحتی قابل توجهی برای هیلبرت در سال‌های آخر عمرش شد. در واقع، هیلبرت شاهد بود که «شاگرد تیزهوش» ویل، شهودگرایی را پذیرفت، پیشرفتی که «هیلبرت را به دلیل شیفتگی شاگرد سابقش به ایده‌های بروور، که خاطره کرونکر را در هیلبرت برانگیخت، آشفته کرد». بروور، به عنوان یک شهودگرا، به طور خاص با استفاده از قانون میانه حذف شده در مجموعه های بی نهایت مخالف بود، اصلی که هیلبرت از آن استفاده کرده بود. پاسخ هیلبرت این بود:

گرفتن اصل میانه حذف شده از ریاضیدان ... مانند ... منع استفاده از مشت بوکسور است.

Nullstellensatz

در جبر، اگر هر چند جمله‌ای تعریف شده روی آن یک ریشه در آن فیلد داشته باشد، به عنوان جبری بسته تعریف می‌شود. هیلبرت با تکیه بر این مفهوم، معیاری را برای تعیین اینکه چه زمانی مجموعه ای از چندجمله‌ای در ${\displaystyle n}$pan. این شرط دقیقاً زمانی برقرار است که هیچ چند جمله‌ای وجود نداشته باشد ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ و شاخص‌ها scriptlevel="_--mi>" §108109§ ، … ، λ {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}} موارد زیر را برآورده می کند

7§ = ∑ <2> k p λ λ ( x →-> ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=_\sum _{laj _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

این یافته مهم به طور رسمی به عنوان قضیه ریشه هیلبرت شناخته می شود که با نام آلمانی آن، "Hilberts Nullstellensatz" نیز شناخته می شود. علاوه بر این، هیلبرت یک مطابقت دوجانبه بین ایده‌آل‌های در حال ناپدید شدن و مجموعه‌های در حال ناپدید شدن مرتبط با آن‌ها را نشان داد، به‌ویژه گونه‌های وابسته را با ایده‌آل‌های رادیکال در ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

منحنی

در سال 1890، جوزپه پیانو در مقاله ای که در Mathematische Annalen منتشر شد، اولین منحنی مستند تاریخی پر کردن فضا را معرفی کرد. پس از آن، هیلبرت نوع خود را از این منحنی توسعه داد که در حال حاضر به عنوان منحنی هیلبرت شناخته می شود. تقریب های تکراری این منحنی بر اساس قوانین جایگزینی نشان داده شده در شکل اولیه این بخش تولید می شود. خود منحنی به عنوان حد نقطه ای این تقریب ها تعریف می شود.

Axiomatization هندسه

در سال 1899، هیلبرت Grundlagen der Geometrie را منتشر کرد که به عنوان مبانی هندسه ترجمه شد، که مجموعه‌ای رسمی از بدیهیات، معروف به بدیهیات هیلبرت را برای جایگزینی اصول سنتی اقلیدس پیشنهاد کرد. این بدیهیات جدید نقاط ضعف شناسایی شده در آثار اقلیدس را که در آن زمان هنوز به طور گسترده به عنوان کتاب درسی مورد استفاده قرار می گرفت، برطرف می کرد. تعریف دقیق بدیهیات هیلبرت مستلزم ارجاع به تاریخچه انتشار Grundlagen است، همانطور که هیلبرت چندین بار آنها را اصلاح و اصلاح کرده است. تک نگاری اولیه به سرعت با یک ترجمه فرانسوی دنبال شد که هیلبرت V.2، اصل کامل بودن را به آن ضمیمه کرد. ترجمه ای انگلیسی که توسط هیلبرت تأیید شده و در سال 1902 توسط E.J. تاونسند، تغییرات را از نسخه فرانسوی ادغام کرد و بنابراین ترجمه‌ای از ویرایش دوم محسوب می‌شود. هیلبرت به ایجاد تغییراتی در متن ادامه داد که منجر به چندین نسخه آلمانی شد که هفتمین آخرین چاپ در طول زندگی او بود. ویرایش های بعدی بعد از نسخه هفتم ظاهر شد، اگرچه متن اصلی تا حد زیادی اصلاح نشده باقی ماند.

روش شناسی هیلبرت تغییری اساسی را به سمت رویکرد بدیهیات مدرن نشان داد، پیشرفتی که در کار موریتز پاسچ در سال 1882 پیش بینی شده بود. تحت این پارادایم، بدیهیات به عنوان حقایق بدیهی در نظر گرفته نمی شوند. در حالی که هندسه ممکن است خود را با چیزهایی که شهود قوی را برمی انگیزد، ربط دهد، اختصاص دادن معنای صریح به مفاهیم تعریف نشده ضروری نیست. عناصری مانند نقاط، خطوط و هواپیماها، از جمله، می‌توانند، همانطور که هیلبرت به شوئنفلیس و کوتر پیشنهاد کرده است، با اشیایی مانند میز، صندلی یا لیوان‌های آبجو جایگزین شوند. در عوض، تمرکز بر روابط تعریف شده آنها است.

هیلبرت در ابتدا مفاهیم تعریف نشده را برشمرده است: نقطه، خط، صفحه، رابطه "دراز کشیدن روی" (که بین نقاط و خطوط، نقاط و سطوح، و خطوط و صفحات اعمال می شود)، بین بودن، تطابق جفت نقطه (قطعات خط خطی) و همخوانی زاویه ها. این بدیهیات هم هندسه صفحه اقلیدسی و هم هندسه جامد را در یک سیستم یکپارچه ادغام می کنند.

بیست و سه مشکل

در کنگره بین المللی ریاضیدانان در پاریس در سال 1900، هیلبرت فهرستی بسیار تأثیرگذار از 23 مسئله حل نشده ارائه کرد. این مجموعه به طور گسترده‌ای به عنوان موفق‌ترین و عمیق‌ترین مجموعه مسائل باز که تا به حال توسط یک ریاضیدان فرمول‌بندی شده است، در نظر گرفته می‌شود.

هیلبرت به دنبال کار اساسی خود در هندسه کلاسیک، می‌توانست رویکرد خود را به کل ریاضیات بسط دهد. روش‌شناسی او از دیدگاه‌های «بنیادگرایانه» بعدی راسل وایتهد و رویکرد «دایره‌المعارف‌گرایانه» نیکلاس بورباکی، و همچنین از جوزپه پیانو معاصرش متفاوت بود. مسائل هیلبرت برای درگیر کردن جامعه ریاضی گسترده‌تر در جنبه‌های مهم حوزه‌های ریاضی مهم طراحی شده‌اند.

این مجموعه مسائل در طی یک سخنرانی با عنوان «مسائل ریاضیات» که در دومین کنگره بین‌المللی ریاضیدانان در پاریس ارائه شد، معرفی شد. در سخنان مقدماتی هیلبرت برای این سخنرانی آمده است:

چه کسی از ما خوشحال نیست که پرده ای را که آینده در پشت آن پنهان شده است، برداریم. نگاهی به پیشرفت های بعدی علم خود و اسرار توسعه آن در قرون آینده بیندازیم؟ چه اهداف خاصی وجود خواهد داشت که ارواح ریاضی پیشرو نسل های آینده برای رسیدن به آن تلاش خواهند کرد؟ قرون جدید چه روش‌ها و حقایق جدیدی را در حوزه گسترده و غنی تفکر ریاضی آشکار خواهد کرد؟

هیلبرت کمتر از نیمی از این مشکلات را در کنگره ارائه کرد و انتشار اولیه آنها در جلسات کنگره ظاهر شد. در انتشار بعدی، او این بررسی اجمالی را گسترش داد و منجر به فرمول بندی قطعی 23 مسئله هیلبرت شد که اکنون متعارف است. متن کامل همچنان قابل توجه است، زیرا تفسیر این سؤالات همچنان می تواند موضوع بحث در مورد تعداد مشکلاتی باشد که به طور قطعی حل شده اند.

برخی از این مشکلات نسبتاً سریع حل شدند. برخی دیگر در طول قرن بیستم موضوع بحث های گسترده ای بوده اند که اکنون تعداد کمی از آنها برای دستیابی به بسته شدن قطعی بیش از حد باز هستند. زیرمجموعه‌ای از این مسائل همچنان چالش‌های مهمی را ایجاد می‌کنند.

در زیر عناوین 23 مسئله هیلبرت همانطور که در ترجمه سال 1902 در بولتن انجمن ریاضی آمریکا منتشر شد، آمده است.

1. مشکل کانتور در مورد عدد اصلی پیوستار.

2. سازگاری بدیهیات حسابی.

3. برابری حجم های دو چهار وجهی قاعده های مساوی و ارتفاعات مساوی.

مسئله چهارم به مفهوم خط مستقیم به عنوان کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه می پردازد.

مسئله پنجم به نظریه Lie در مورد گروه‌های تبدیل پیوسته مربوط می‌شود، به‌ویژه بدون فرض تفاوت‌پذیری توابعی که این گروه‌ها را تعریف می‌کنند.

مسئله ششم شامل رسمی‌سازی ریاضی بدیهیات فیزیکی است.

مسئله هفتم خصوصیات غیرمنطقی و ماورایی اعداد خاص را بررسی می کند.

مسئله هشتم بر توزیع اعداد اول متمرکز است، به ویژه فرضیه ریمان را در بر می گیرد.

مسئله نهم به دنبال ایجاد دلیلی برای تعمیم‌یافته‌ترین قانون متقابل در هر فیلد عددی است.

مسئله دهم با هدف تعیین حل پذیری معادلات دیوفانتین است.

مسئله یازدهم به اشکال درجه دوم می پردازد که ضرایب عددی جبری دلخواه را در خود جای داده اند.

مسئله دوازدهم شامل بسط قضیه کرونکر است که مربوط به میدان های آبلی است تا هر حوزه جبری عقلانیت را در بر گیرد.

مسئله سیزدهم عدم امکان حل معادله کلی درجه هفتم را با استفاده از توابعی محدود به دو آرگومان بررسی می کند.

مسئله چهاردهم مستلزم نشان دادن محدود بودن سیستم های کامل توابع خاص است.

مسئله پانزدهم مستلزم یک چارچوب بنیادی دقیق برای محاسبات شمارشی شوبرت است.

مسئله شانزدهم مربوط به توپولوژی منحنی ها و سطوح جبری است.

مسئله هفدهم شامل بیان اشکال معین به صورت مجموع مربعات است.

مسئله هجدهم به بررسی ساخت فضا با استفاده از چند وجهی متجانس می پردازد.

مسئله نوزدهم این سوال را مطرح می‌کند که آیا راه‌حل‌های مسائل منظم در حساب تغییرات همواره تحلیلی هستند یا خیر.

مسئله بیستم به نظریه کلی مقادیر مرزی، به ویژه مسائل ارزش مرزی در معادلات دیفرانسیل جزئی می پردازد.

مسئله بیست و یکم به دنبال اثبات وجود معادلات دیفرانسیل خطی دارای یک گروه مونودرومی از پیش تعریف شده است.

مسئله بیست و دوم شامل یکسان سازی روابط تحلیلی از طریق اعمال توابع خودکار است.

مسئله بیست و سوم، پیشرفت بیشتر روش‌شناسی را در حساب تغییرات پیشنهاد می‌کند.

فرمالیسم

در اواسط قرن، مجموعه مسائل تأثیرگذار هیلبرت به طور گسترده به عنوان یک مانیفست اساسی شناخته شد و راه را برای ظهور مکتب فرمالیستی، یک فلسفه ریاضی برجسته قرن بیستم، هموار کرد. فرمالیست ها معتقدند که ریاضیات شامل دستکاری نمادهایی است که توسط قوانین رسمی تثبیت شده اداره می شود و در نتیجه نشان دهنده یک تلاش فکری مستقل است.

برنامه

در سال 1920، هیلبرت یک ابتکار تحقیق فرا ریاضی را معرفی کرد که متعاقباً برنامه هیلبرت نامیده شد، که هدف آن ایجاد ریاضیات بر اساس یک چارچوب منطقی قوی و جامع بود. او این نظریه را مطرح کرد که با نشان دادن دو اصل کلیدی می توان به این هدف دست یافت:

1. اول، اینکه کل ریاضیات را می توان از یک سیستم بدیهی متناهی دقیقاً انتخاب شده به دست آورد. و
2. دوم، این که چنین سیستم بدیهی می‌تواند از طریق روش‌هایی مانند حساب اپسیلون سازگار باشد.

به نظر می‌رسد که فرمول‌بندی هیلبرت از این پیشنهاد به دلیل ملاحظات فنی و فلسفی انجام شده است. این امر به‌ویژه نشان‌دهنده مخالفت او با مفهومی است که به نام «ignorabimus» شناخته می‌شود، یک بحث روشنفکری مهم در تفکر معاصر آلمان، که از Emil du Bois-Reymond سرچشمه می‌گیرد.

این برنامه در فلسفه غالب ریاضیات که معمولاً فرمالیسم نامیده می شود، قابل شناسایی است. به عنوان مثال، گروه بوربکی یک تکرار اصلاح شده و انتخابی از این برنامه را اجرا کرد و آن را برای اهداف دوگانه خود مناسب تشخیص داد: (الف) تدوین متون بنیادی جامع، و (ب) حمایت از روش بدیهی به عنوان ابزار تحقیق. در حالی که این رویکرد در رابطه با مشارکت هیلبرت در جبر و تجزیه و تحلیل عملکردی موفقیت‌آمیز و تأثیرگذار بود، اما به طور مشابه با مشارکت او در فیزیک و منطق طنین انداز نشد.

در سال 1919، هیلبرت بیان کرد:

ما در مورد خودسری در هیچ زمینه ای بحث نمی کنیم. ریاضیات شبیه بازی‌هایی نیست که در آن وظایف با قوانین خودسرانه تعیین شده تعریف می‌شوند. در عوض، یک سیستم مفهومی را تشکیل می دهد که دارای یک ضرورت ذاتی است، که ماهیت آن را دیکته می کند و از هر جایگزینی جلوگیری می کند.

دیدگاه های هیلبرت در مورد اصول اساسی ریاضیات در نشریه دو جلدی او، *Grundlagen der Mathematik* منتشر شد.

مشارکت های گودل

هیلبرت و همکارانش عمیقاً به این تعهد بلندپروازانه متعهد بودند. با این حال، تلاش او برای تقویت ریاضیات بدیهی شده با اصول قطعی، با هدف از بین بردن ابهامات نظری، در نهایت ناموفق بود.

گودل به طور قاطع نشان داد که هر سیستم رسمی منسجمی که قادر به بیان محاسبات اساسی باشد، نمی تواند قواعد کامل و کامل خود را صرفاً از طریق مفاهمه خود تعیین کند. قضیه ناقص بودن او در سال 1931 نشان داد که برنامه جامع هیلبرت، همانطور که در ابتدا تصور می شد، دست نیافتنی بود. به طور خاص، اصل دوم برنامه هیلبرت نمی تواند به طور منسجم با اولی یکپارچه شود، مشروط بر اینکه سیستم بدیهی واقعاً نهایی باشد.

با این وجود، پیشرفت‌های بعدی در نظریه اثبات به‌طور قابل‌توجهی مفهوم سازگاری را، به‌ویژه در مورد نظریه‌های مرکزی تحقیق ریاضی، روشن کرد. کار بنیادی هیلبرت این مسیر شفاف سازی در منطق را آغاز کرد. متعاقباً، ضرورت درک مشارکت‌های گودل باعث تکامل نظریه بازگشت شد، که سپس منطق ریاضی را به عنوان یک رشته دانشگاهی مستقل در دهه 1930 تأسیس کرد. علاوه بر این، اصول بنیادی علوم کامپیوتر نظری بعدی، به ویژه از طریق مشارکت آلونزو چرچ و آلن تورینگ، مستقیماً از این گفتمان فکری پدیدار شد.

تجزیه و تحلیل عملکرد

تقریباً در سال 1909، هیلبرت تلاش های خود را به بررسی معادلات دیفرانسیل و انتگرال اختصاص داد، که پیامدهای مستقیمی را برای حوزه های قابل توجهی در تحلیل تابعی مدرن به همراه داشت. برای تسهیل این تحقیقات، هیلبرت فضای اقلیدسی بی‌بعدی را مفهوم‌سازی کرد که متعاقباً به عنوان فضای هیلبرت نامگذاری شد. تلاش‌های او در این حوزه تحلیلی، پایه‌ای حیاتی برای کمک‌های اساسی به ریاضیات فیزیک طی دو دهه بعد، هرچند از منظری پیش‌بینی نشده، فراهم کرد. بعدها، استفان باناخ این مفهوم را با تعریف فضاهای Banach گسترش داد. فضاهای هیلبرت یک طبقه محوری از موجودیت ها را در تجزیه و تحلیل عملکردی تشکیل می دهند، به ویژه مربوط به نظریه طیفی عملگرهای خطی خود الحاقی، میدانی که در سراسر قرن بیستم در اطراف آنها توسعه یافت.

فیزیک

قبل از سال 1912، هیلبرت در درجه اول به عنوان یک ریاضیدان محض فعالیت می کرد. هنگامی که هرمان مینکوفسکی، ریاضیدان و دوست همکارش، برنامه‌ای را در نظر گرفت، به نظر می‌رسد که مینکوفسکی در بیشتر کاوش‌های فیزیک هیلبرت قبل از سال 1912، از جمله سمینار مشترک آن‌ها در این زمینه در سال 1905، نقش اساسی داشته است.

در سال 1912، سه سال پس از تمرکز انحصاری مینکوفسکی، به طور انحصاری فیزیک خود را تغییر داد. او برای یک "معلم فیزیک" شخصی ترتیب داد و مطالعاتی را در نظریه گاز جنبشی آغاز کرد و به نظریه تابش اولیه و نظریه مولکولی ماده پیش رفت. حتی پس از شروع جنگ در سال 1914، او سمینارها و کلاس هایی را برگزار کرد که آثار آلبرت انیشتین و دیگر فیزیکدانان معاصر را به دقت بررسی می کرد.

علاوه بر این، تحقیقات هیلبرت چندین پیشرفت را در رسمی‌سازی ریاضی مکانیک کوانتومی پیش‌بینی و تسهیل کرد. مشارکت او در کار هرمان ویل و جان فون نویمان در نشان دادن هم ارزی ریاضی بین مکانیک ماتریس ورنر هایزنبرگ و معادله موجی اروین شرودینگر مرکزی بود. علاوه بر این، فضای هیلبرت همنام نقش مهمی در نظریه کوانتومی دارد. در سال 1926، فون نویمان به طور قطعی نشان داد که اگر حالت‌های کوانتومی به عنوان بردارهایی در فضای هیلبرت مفهوم‌سازی شوند، هم با نظریه تابع موج شرودینگر و هم با ماتریس‌های هایزنبرگ هماهنگ می‌شوند.

هیلبرت خود را وقف القای دقت ریاضی در حوزه فیزیک کرد. علیرغم اتکای شدید فیزیک به ریاضیات پیشرفته، تمرین‌کنندگان اغلب در کاربرد آن دقت کافی نداشتند. برای ریاضیدان خالصی مانند هیلبرت، این عدم دقت هم از نظر زیبایی شناختی ناخوشایند و هم از نظر فکری مبهم بود. همانطور که او درک خود را از فیزیک و روش های ریاضی به کار گرفته شده توسط فیزیکدانان عمیق تر کرد، یک نظریه ریاضی منسجم برای مشاهدات خود، به ویژه در حوزه معادلات انتگرال، فرموله کرد. زمانی که همکارش ریچارد کورانت اثر مهم Methoden der mathematischen Physik (روش های فیزیک ریاضی) را نوشت، که برخی از مفاهیم هیلبرت را در بر می گرفت، علی رغم عدم مشارکت مستقیم هیلبرت در اسکریپت انسانی، نام هیلبرت را به عنوان یکی از نویسندگان نیز درج کرد. هیلبرت اظهار داشت: «فیزیک برای فیزیکدانان خیلی سخت است»، به این معنی که پیچیدگی ریاضی لازم اغلب از درک آنها فراتر رفته است. انتشار Courant-Hilbert متعاقباً تعامل آنها را با این ابزارهای پیچیده ریاضی تسهیل کرد.

تئوری اعداد

هیلبرت به طور قابل توجهی وحدت نظریه اعداد جبری را از طریق رساله 1897 خود، Zahlbericht (به معنای واقعی کلمه، "گزارش در مورد اعداد") پیش برد. او همچنین با موفقیت یک مسئله اساسی در نظریه اعداد را که در ابتدا توسط وارینگ در سال 1770 مطرح شد، حل کرد. هیلبرت مشابه قضیه تناهی خود، از اثبات وجودی استفاده کرد که قطعیت راه‌حل‌ها را بدون ارائه روشی سازنده برای اشتقاق آنها نشان داد. به دنبال آن، انتشارات بعدی او در این زمینه محدود شد. با این حال، ظهور فرم‌های مدولار هیلبرت در پایان‌نامه دانشجویی، نام او را با حوزه‌ی برجسته‌ای از تحقیقات مرتبط می‌کند.

او یک سری حدس‌های مربوط به تئوری میدان کلاس را مطرح کرد. این مفاهیم عمیقاً تأثیرگذار بودند، و مشارکت پایدار هیلبرت از طریق نامگذاری میدان کلاس هیلبرت و نماد هیلبرت در تئوری میدان طبقه محلی شناخته می شود. اکثر این نتایج تا سال 1930 ثابت شد، عمدتاً به دلیل کار تیجی تاکاگی.

اگرچه هیلبرت بر حوزه‌های اصلی نظریه اعداد تحلیلی تمرکز نکرد، نام او با حدس هیلبرت-پولیا مرتبط است، ارتباطی که ریشه در ریشه‌های حکایتی دارد. ارنست هلینگر، شاگرد سابق هیلبرت، زمانی به آندره ویل گفت که هیلبرت در یک سمینار در اوایل دهه 1900 اعلام کرده بود که اثبات فرضیه ریمان در نتیجه تحقیق فردهولم بر روی معادلات انتگرالی دارای یک هسته متقارن ظاهر شود.

کار می کند

آثار علمی گردآوری شده او، با عنوان Gesammelte Abhandlungen، دستخوش انتشارات متعددی شده است. نسخه های اولیه مقالات او حاوی نادرستی های فنی متعددی با شدت های متفاوت بود. پس از انتشار اولین مجموعه، این اشتباهات اصلاح شدند و مشخص شد که چنین اصلاحاتی را می توان بدون نیاز به تغییرات عمده در گزاره های قضایا، به استثنای یک اثبات ادعایی برای فرضیه پیوسته، اجرا کرد. با این وجود، خطاها به اندازه کافی فراگیر و قابل توجه بودند که اولگا تاوسکی تاد به سه سال برای تکمیل بازبینی های لازم نیاز داشت.

مفاهیم

نقل‌ها

ادبیات اولیه در ترجمه انگلیسی

ادبیات اولیه در ترجمه انگلیسی

• Ewald, William B., ed. (1996). از کانت تا هیلبرت: کتاب منبع در مبانی ریاضیات. آکسفورد، انگلستان: انتشارات دانشگاه آکسفورد.
• 1922. "زمینه جدید ریاضیات: اولین گزارش"، 1115-1133.
• 1923. "مبانی منطقی ریاضیات"، 1134-1147.
• 1930. "منطق و دانش طبیعت"، 1157-1165.
• 1931. "پایه بندی نظریه اعداد ابتدایی"، 1148-1156.
• 1904. "در مبانی منطق و حساب"، 129-138.
• 1925. «در بی نهایت»، 367–392.
• 1927. "مبانی ریاضیات" با تفسیر ویل و ضمیمه ای توسط برنیز، 464-489.