Archimedes

Archimède de Syracuse ( AR-kih-MEE-deez ; c. 287 – c. 212 avant JC), un mathématicien grec ancien originaire de Syracuse, en Sicile, s'est distingué en tant que mathématicien, physicien, ingénieur, astronome et inventeur. Malgré la rareté des informations biographiques, ses travaux existants l'établissent fermement comme un scientifique prééminent de l'Antiquité classique et l'un des mathématiciens les plus importants de l'histoire. Archimède a notamment préfiguré le calcul et l'analyse modernes grâce à son application innovante des infinitésimaux et de la méthode d'épuisement, qui lui ont permis de dériver et de prouver rigoureusement de nombreux théorèmes géométriques, notamment l'aire d'un cercle, l'aire et le volume d'une sphère, l'aire d'une ellipse, l'aire sous une parabole, le volume d'un paraboloïde de segment de révolution, le volume d'un hyperboloïde de segment de révolution et l'aire d'une spirale.

Archimède de Syracuse ( AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 avant JC) était un mathématicien grec ancien, physicien, ingénieur, astronome et inventeur de la ville de Syracuse en Sicile. Bien que peu de détails sur sa vie soient connus, sur la base de ses travaux survivants, il est considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique et l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Archimède a anticipé le calcul et l'analyse modernes en appliquant le concept des infinitésimaux et la méthode d'épuisement pour dériver et prouver rigoureusement de nombreux théorèmes géométriques, notamment l'aire d'un cercle, l'aire et le volume d'une sphère, l'aire d'une ellipse, l'aire sous une parabole, le volume d'un segment d'un paraboloïde de révolution, le volume d'un segment d'un hyperboloïde de révolution et l'aire d'une spirale.

En outre les réalisations mathématiques d'Archimède comprennent la dérivation d'une approximation pour pi (π), la définition et l'exploration de la spirale d'Archimède et la création d'un système exponentiel pour représenter des nombres exceptionnellement grands. Il fut également l'un des premiers chercheurs à appliquer les principes mathématiques aux phénomènes physiques, notamment dans les domaines de la statique et de l'hydrostatique. Ses contributions dans ce domaine comprennent une preuve rigoureuse de la loi du levier, l'adoption généralisée du concept de centre de gravité et l'articulation de la loi de la flottabilité, connue sous le nom de principe d'Archimède. En astronomie, il a entrepris des mesures du diamètre apparent du Soleil et des estimations de l'échelle de l'univers. La tradition lui attribue également la construction d'un planétarium simulant les mouvements de corps célestes connus, pouvant servir d'antécédent au mécanisme d'Anticythère. De plus, on lui attribue la conception de dispositifs mécaniques révolutionnaires, tels que sa pompe à vis, ses poulies composées et ses machines de guerre défensives conçues pour protéger Syracuse des incursions militaires.

Archimède a connu sa disparition pendant le siège de Syracuse, tué par un soldat romain malgré des directives explicites pour assurer sa sécurité. Cicéron a raconté plus tard son

Contrairement à la renommée de ses inventions, les traités mathématiques d'Archimède ont reçu une reconnaissance limitée au cours de l'Antiquité. Alors que les mathématiciens alexandrins ont étudié et cité ses travaux, la compilation globale initiale n'a eu lieu qu' c. 530AD, entreprise par Isidore de Milet à Constantinople byzantine. Parallèlement, les commentaires d'Eutocius sur les œuvres d'Archimède au cours du même siècle ont considérablement élargi leur accessibilité. Tout au long du Moyen Âge, ses écrits furent traduits en arabe au IXe siècle, puis en latin au XIIe siècle, devenant ainsi une ressource intellectuelle essentielle pour les érudits de la Renaissance et de la Révolution scientifique. La découverte en 1906 des textes d'Archimède dans le Palimpseste d'Archimède a depuis offert un aperçu sans précédent de ses méthodologies pour obtenir des résultats mathématiques.

Biographie

Les détails de la vie d'Archimède restent largement énigmatiques. Bien qu'Eutocius ait fait référence à une biographie prétendument rédigée par l'associé d'Archimède, Héraclide Lembus, cet ouvrage n'existe plus et les études contemporaines remettent en question son attribution originale à Héraclide.

S'appuyant sur l'affirmation de l'érudit grec byzantin Jean Tzetzès selon laquelle Archimède a vécu 75 ans avant sa mort en 212 avant JC, on estime que sa naissance a eu lieu c. 287 avant JC à Syracuse, en Sicile, alors colonie autonome au sein de la Grande Grèce. Dans son traité Sand-Reckoner, Archimède identifie son père comme étant Phidias, un astronome sur lequel aucune autre information n'est disponible. Alors que Plutarque, dans ses Vies parallèles, suggérait un lien familial entre Archimède et le roi Hiéron II de Syracuse, Cicéron et Silius Italicus impliquent un passé plus modeste. Les détails concernant son état civil, sa progéniture ou tout séjour potentiel à Alexandrie, en Égypte, au cours de ses années de formation restent non confirmés. Néanmoins, sa correspondance existante, adressée à Dositheus de Pélusium (un élève de l'astronome alexandrin Conon de Samos) et au bibliothécaire en chef Eratosthène de Cyrène, indique des relations collégiales soutenues avec les savants d'Alexandrie. Plus précisément, dans la préface de On Spirals, dédiée à Dositheus, Archimède déclare que « de nombreuses années se sont écoulées depuis la mort de Conon », Conon de Samos ayant vécu environ 280-220 avant JC, ce qui suggère qu'Archimède était peut-être d'un âge avancé lors de la composition de certaines œuvres.

Le problème de la couronne d'or

Parmi les problèmes qu'Archimède est censé avoir résolu pour Hiéron II se trouve le célèbre « problème de la couronne ». Vitruve, écrivant environ deux siècles après la disparition d'Archimède, raconte que le roi Hiéron II de Syracuse a commandé une couronne d'or pour un temple divin, fournissant à l'orfèvre de l'or pur pour sa création. Le roi, cependant, se méfia du fait que l'orfèvre avait illégalement remplacé une partie de l'or par de l'argent moins cher et conservé une partie du métal pur. Incapable d'obtenir des aveux, Hiéron II chargea Archimède de l'enquête. Par la suite, en entrant dans un bain, Archimède aurait observé que le niveau de l'eau dans la baignoire augmentait proportionnellement à son immersion. Reconnaissant que ce phénomène pouvait déterminer le volume de la couronne d'or, il aurait été si heureux qu'il aurait couru nu dans les rues en criant « Eurêka ! (qui signifie « Je l'ai trouvé ! »), ayant oublié de s'habiller. Vitruve déclare en outre qu'Archimède a procédé à la prise d'une masse d'or et d'une masse d'argent, chacune équivalente en poids à la couronne. En les plongeant chacun dans la baignoire, il démontra que la couronne déplaçait plus d'eau que l'or pur mais moins que l'argent pur, prouvant ainsi que la couronne était un alliage d'or et d'argent.

Un récit alternatif apparaît dans le Carmen de Ponderibus, un poème didactique latin anonyme du Ve siècle concernant les poids et mesures, autrefois attribué au grammairien Priscien. Selon ce poème, des masses d’or et d’argent étaient disposées sur les plateaux d’une balance, et l’ensemble était ensuite immergé dans l’eau. La densité différentielle entre l'or et l'argent, ou entre l'or et la couronne, ferait donc pencher la balance. Contrairement à l'anecdote plus connue de Vitruve sur la baignoire, cette interprétation poétique utilise le principe hydrostatique désormais reconnu comme le principe d'Archimède. Ce principe, détaillé dans son traité Sur les corps flottants, postule qu'un corps immergé dans un fluide subit une force de poussée ascendante équivalente au poids du fluide qu'il déplace. Galileo Galilei, qui en 1586 a conçu une balance hydrostatique influencée par les contributions d'Archimède, a jugé "probable que cette méthode soit la même que celle suivie par Archimède, car, en plus d'être très précise, elle est basée sur des démonstrations trouvées par Archimède lui-même."

Lancement du Syracusia

Une grande partie des efforts d'ingénierie d'Archimède découlaient probablement de la réponse aux exigences de sa ville natale, Syracuse. Athénée de Naucratis, dans son ouvrage Deipnosophistae, cite la description par Moschion de la commission du roi Hiéron II pour la conception d'un immense vaisseau, le Syracusia. Ce navire est réputé pour avoir été le plus grand construit dans l'Antiquité classique et, selon le récit de Moschion, a été lancé par Archimède. Plutarque présente un récit quelque peu divergent, racontant la vantardise d'Archimède à Hiéron selon laquelle il possédait la capacité de déplacer n'importe quel poids substantiel, ce qui a incité Hiéron à le mettre au défi de déplacer un navire. Ces récits incorporent cependant de nombreux détails fantastiques et historiquement improbables. En outre, les auteurs proposent des explications contradictoires sur la manière dont cet exploit a été réalisé : Plutarque affirme qu'Archimède a conçu un système de poulie à poulies, tandis que Héros d'Alexandrie a attribué la même affirmation à l'invention par Archimède du baroulkos, un type de guindeau. Pappus d'Alexandrie, à l'inverse, attribuait cette réussite à l'application par Archimède de l'avantage mécanique, en particulier du principe du levier, pour soulever des objets qui autrement auraient été immobiles et lourds. Il attribua à Archimède la déclaration fréquemment citée : "Donnez-moi un endroit où me tenir debout, et je déplacerai la Terre."

Athénée, interprétant peut-être mal les détails de la description du baroulkos par Héros, rapporte également l'utilisation par Archimède d'une "vis" pour extraire toute eau pouvant s'infiltrer dans la coque du Syracusia. Bien que cet appareil soit parfois appelé vis d'Archimède, il est très probablement bien antérieur à lui. Notamment, aucun de ses contemporains immédiats qui ont documenté son application (y compris Philon de Byzance, Strabon et Vitruve) ne lui attribue son invention ou son utilisation principale.

Machines de guerre

La renommée antique la plus significative d'Archimède découle de son rôle central dans la défense de Syracuse contre les forces romaines pendant son siège. Plutarque raconte qu'Archimède avait conçu de formidables machines de guerre pour Hiéron II, bien que ces appareils soient restés inutilisés du vivant de Hiéron. Néanmoins, en 214 avant JC, au milieu de la Seconde Guerre punique, Syracuse a transféré son allégeance de Rome à Carthage. Lorsque l'armée romaine, dirigée par Marcus Claudius Marcellus, tenta par la suite de s'emparer de la ville, Archimède aurait dirigé le déploiement de ces machines de guerre, entravant considérablement l'avancée romaine. La ville ne tomba finalement qu'après un siège prolongé. Les récits de trois historiens distincts – Plutarque, Tite-Live et Polybe – corroborent l'existence de ces innovations militaires, détaillant des catapultes et des grues améliorées conçues pour soit larguer de lourds projectiles de plomb sur les navires romains, soit utiliser une griffe de fer pour sortir les navires de l'eau avant de les submerger.

Un récit considérablement moins étayé, absent des premiers documents historiques de Plutarque, Polybe ou Tite-Live, postule qu'Archimède employait « le brûlage miroirs" pour concentrer les rayons solaires sur les navires romains envahisseurs, les enflammant ainsi. La mention initiale de navires incendiés, attribuée au satiriste Lucien de Samosate du IIe siècle de notre ère, ne fait aucune référence aux miroirs, déclarant simplement que les navires ont été allumés par des méthodes artificielles, suggérant potentiellement l'utilisation de projectiles incendiaires. Galien, écrivant plus tard au même siècle, est le premier auteur à mentionner explicitement les miroirs dans ce contexte. Environ quatre siècles après Lucien et Galien, Anthemius, malgré son scepticisme, s'efforça de reconstruire la géométrie théorique du réflecteur d'Archimède. Ce prétendu appareil, parfois appelé « rayon thermique d'Archimède », fait l'objet d'un débat scientifique continu quant à sa véracité depuis la Renaissance. René Descartes a rejeté ce récit, le qualifiant de fictif, alors que les chercheurs contemporains ont tenté de reproduire cet effet en utilisant uniquement les technologies disponibles à l'époque d'Archimède, avec des résultats peu concluants.

Mort

Les circonstances entourant la mort d'Archimède lors du sac romain de Syracuse sont détaillées dans plusieurs récits historiques disparates. Le premier récit, fourni par Tite-Live, déclare qu'Archimède a été tué par un soldat romain, ignorant son identité, alors qu'il était occupé à dessiner des figures géométriques dans la poussière. Plutarque propose deux versions distinctes : dans l'une, un soldat a demandé à Archimède de l'accompagner, mais Archimède a refusé, insistant pour résoudre son problème mathématique, après quoi le soldat l'a tué avec son épée. Dans le récit alternatif de Plutarque, Archimède transportait des instruments mathématiques lorsqu'il fut tué par un soldat qui les prit pour des biens de valeur. Valerius Maximus, un écrivain romain florissant vers 30 après JC, a enregistré dans son ouvrage Memorable Doings and Sayings que la dernière déclaration d'Archimède, alors qu'il était tué par le soldat, était "... mais protégeant la poussière avec ses mains, il dit 'Je vous en supplie, ne dérangez pas cela.'" Cette déclaration ressemble aux derniers mots largement attribués, bien qu'historiquement sans fondement, "Ne dérangez pas mon cercles."

Marcellus aurait été irrité par la disparition d'Archimède, l'ayant considéré comme une ressource scientifique inestimable - le qualifiant même de "Briareus géométrique" - et avait émis des ordres explicites pour sa protection. Cicéron (106-43 avant JC) rapporte que Marcellus transporta à Rome deux planétariums construits par Archimède. Ces appareils représentaient les mouvements du Soleil, de la Lune et de cinq planètes ; l'un a ensuite été donné au Temple de la Vertu à Rome, tandis que l'autre aurait été conservé par Marcellus comme sa seule acquisition personnelle de Syracuse. Pappus d'Alexandrie fait référence à un traité aujourd'hui perdu d'Archimède, intitulé Sur la fabrication de sphères, qui aurait pu détailler la construction de tels mécanismes. L’ingénierie de ces dispositifs complexes aurait nécessité une compréhension avancée de l’engrenage différentiel, une capacité autrefois considérée comme dépassant le cadre technologique de l’Antiquité. Cependant, la découverte en 1902 du mécanisme d'Anticythère, un autre appareil construit vers c. 100 avant JC avec une fonction comparable, a prouvé que de tels dispositifs sophistiqués étaient effectivement connus des Grecs anciens, conduisant certains érudits à considérer les créations d'Archimède comme des précurseurs.

Au cours de son mandat de questeur en Sicile, Cicéron a localisé ce que l'on pensait être le tombeau d'Archimède près de la porte Agrigente à Syracuse, dans un état de délabrement et obscurci par la végétation. Il a organisé la restauration du tombeau, qui a révélé une sculpture et des vers inscrits lisibles. La tombe présentait notamment une sculpture représentant la preuve mathématique préférée d'Archimède : que le volume et la surface d'une sphère constituent les deux tiers d'un cylindre englobant, y compris ses bases.

Mathématiques

Bien que fréquemment reconnu pour ses inventions mécaniques, Archimède a également fait progresser de manière significative le domaine des mathématiques en étendant les méthodologies de ses prédécesseurs pour obtenir de nouveaux résultats et en étant le pionnier de ses propres approches innovantes.

Méthode d'épuisement

Dans Quadrature de la parabole, Archimède fait référence à une proposition des Éléments d'Euclide, qui établit que l'aire d'un cercle est proportionnelle à son diamètre. Cette proposition a été démontrée à l’aide d’un lemme maintenant appelé propriété d’Archimède : « l’excès par lequel la plus grande de deux régions inégales dépasse la moindre, s’il s’ajoute à lui-même, peut dépasser n’importe quelle région délimitée donnée ». Avant Archimède, Eudoxe de Cnide et d'autres mathématiciens anciens utilisaient ce lemme, une technique connue par la suite sous le nom de « méthode d'épuisement », pour déterminer les volumes de divers solides géométriques, notamment le tétraèdre, le cylindre, le cône et la sphère. Les preuves de ces calculs sont détaillées dans le livre XII des Éléments d'Euclide.

Dans Mesure d'un cercle, Archimède a utilisé cette méthode pour démontrer que l'aire d'un cercle est équivalente à celle d'un triangle rectangle avec une base égale au rayon du cercle et une hauteur égale à sa circonférence. Il a ensuite approximé le rapport entre le rayon et la circonférence, représenté par π, en inscrivant un hexagone régulier dans un cercle et en circonscrivant un autre hexagone régulier autour de lui. Il a ensuite doublé de manière itérative le nombre de côtés de chaque polygone régulier, calculant méticuleusement la longueur des côtés de chaque polygone à chaque étape. Ce processus itératif, augmentant le nombre de côtés, a donné des approximations progressivement plus précises du cercle. Après quatre de ces itérations, lorsque les polygones atteignaient 96 côtés, il a établi que la valeur de π était limitée entre 3⁠§89§/§1213§⁠ (environ 3,1429) et 3⁠§1819§/71⁠ (environ 3,1408), une plage cohérente avec la valeur réelle d'environ 3,1416. De plus, dans le même ouvrage, il a postulé que la racine carrée de 3 se situe entre ⁠265/153⁠ (environ 1,7320261) et ⁠1 351/780⁠ (environ 1,7320512), probablement dérivé d'une méthodologie analogue.

Dans la Quadrature de la parabole, Archimède a appliqué cette méthode pour démontrer que l'aire délimitée par une parabole et une ligne droite est ⁠4/§89§⁠ fois l'aire d'un triangle inscrit équivalent, comme le montre la figure ci-jointe. Il a articulé cette solution comme une série géométrique infinie avec une raison commune de ⁠§1415§/§1819§⁠ :

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2526§ − n = §3738§ + §4243§ − §4849§ + §5556§ − §6162§ + §6869§ − §7475§ + ⋯ = §8788§ §8990§ . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}

Le premier terme de cette série représente l'aire du triangle initial, tandis que le deuxième terme correspond à la somme des aires de deux triangles plus petits. Ces triangles plus petits ont des bases formées par les deux lignes sécantes plus petites, et leur troisième sommet est situé à l'intersection de la parabole avec une ligne parallèle à son axe, passant par le milieu de la base. Ce processus itératif se poursuit. La preuve utilise une variation de la série géométrique 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, qui converge vers ⁠§45§/§89§⁠.

Archimède a ensuite appliqué cette technique pour déterminer les surfaces des sphères et des cônes, calculer l'aire des ellipses et déterminer la région entourée d'une spirale d'Archimède.

Méthode mécanique

Il est plus pratique de fournir une preuve quand on possède déjà une certaine compréhension du sujet, acquise grâce à la méthode, que d'entreprendre une enquête sans aucune connaissance préalable.

Au-delà du perfectionnement de la méthode d'épuisement, qui s'appuie sur les contributions des mathématiciens précédents, Archimède a innové une technique distincte qui utilisait le principe du levier pour déterminer physiquement les aires et les volumes des figures géométriques. Un premier aperçu de cette preuve apparaît dans Quadrature de la parabole, présenté parallèlement à la démonstration géométrique, mais une exposition plus complète est fournie dans La méthode des théorèmes mécaniques. Archimède lui-même a déclaré qu'il avait d'abord obtenu des résultats dans ses travaux mathématiques en utilisant cette méthode mécanique, puis qu'il avait travaillé à l'envers pour appliquer la méthode d'épuisement seulement après qu'une valeur approximative de la solution ait été établie.

Grands nombres

Archimède a également conçu des méthodologies pour la représentation de nombres exceptionnellement grands.

Dans son traité The Sand Reckoner, Archimède a développé un système numérique fondé sur la myriade (le terme grec pour 10 000) pour quantifier un nombre dépassant l'estimation des grains de sable nécessaires pour remplir le cosmos. Il a proposé un système numérique employant des puissances d'une myriade de myriades (équivalentes à 100 millions, ou 10 000 × 10 000) et a déterminé que la quantité de grains de sable nécessaire pour remplir l'univers serait de 8 vigintillions, ou 8×10⁶³. Grâce à cette entreprise, il a illustré efficacement la capacité des mathématiques à représenter des quantités arbitrairement vastes.

Le Problème du bétail présente un défi d'Archimède aux mathématiciens de la Bibliothèque d'Alexandrie, les chargeant de dénombrer le bétail dans le troupeau du Soleil, une tâche nécessitant la solution de plusieurs équations diophantiennes simultanées. Une variante plus complexe de ce problème exige que certaines solutions soient des carrés parfaits, donnant une réponse numérique exceptionnellement grande, environ 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Solide archimédien

Dans un traité aujourd'hui perdu, documenté par Pappus d'Alexandrie, Archimède a démontré l'existence de treize polyèdres semi-réguliers précisément.

Écrits

Archimède a diffusé ses découvertes mathématiques par correspondance avec des érudits d'Alexandrie, avec ces communications originales composées en grec dorique, le dialecte répandu dans l'ancienne Syracuse.

Œuvres survivantes

La liste suivante est classée chronologiquement, en respectant les critères terminologiques et historiques mis à jour établis par Knorr (1978) et Sato (1986).

Mesure d'un cercle

Ce traité concis comprend trois propositions. Il est structuré comme une correspondance adressée à Dositheus de Pélusium, élève de Conon de Samos. Dans la Proposition II, Archimède fournit une approximation de la valeur de pi (π), démontrant qu'elle se situe entre ⁠223/71⁠ (environ 3,1408) et ⁠22/§1819§⁠ (environ 3,1428).

Le calculateur de sable

Dans ce traité, également appelé Psammites, Archimède calcule un nombre dépassant la quantité estimée de grains de sable nécessaire pour remplir l'univers. L'ouvrage fait référence au modèle héliocentrique du système solaire, tel qu'avancé par Aristarque de Samos, aux côtés des théories dominantes concernant les dimensions de la Terre, les distances entre les objets célestes et les efforts visant à déterminer le diamètre apparent du Soleil. Utilisant un système numérique fondé sur les puissances de la myriade, Archimède en déduit que le nombre total de grains de sable nécessaires pour remplir l'univers s'élève à 8×10⁶³ dans la notation scientifique contemporaine. L'épître d'introduction identifie le père d'Archimède comme étant Phidias, un astronome. Notamment, The Sand Reckoner est la seule œuvre existante dans laquelle Archimède exprime ses perspectives astronomiques.

Dans Sand-Reckoner, Archimède examine les mesures astronomiques relatives à la Terre, au Soleil et à la Lune, aux côtés du modèle héliocentrique de l'univers d'Aristarque. Faute de trigonométrie ou de table d'accords, Archimède a déterminé le diamètre apparent du Soleil en détaillant d'abord la méthodologie et l'instrumentation d'observation (une tige droite avec des chevilles ou des rainures), en appliquant ensuite des facteurs correctifs à ces données empiriques, et enfin en présentant le résultat comme une plage définie par des limites supérieure et inférieure, s'adaptant ainsi aux inexactitudes d'observation potentielles.

Ptolémée, citant Hipparque, fait également allusion au solstice d'Archimède. observations dans l'Almageste. Par conséquent, Archimède est reconnu comme le premier érudit grec à documenter plusieurs dates et heures de solstice au cours des années successives.

Sur l'équilibre des avions

Le traité De l'équilibre des plans comprend deux volumes : le volume initial présente sept postulats et quinze propositions, tandis que le volume suivant comprend dix propositions. Dans le premier volume, Archimède démontre rigoureusement la loi du levier, qui stipule que :

Les grandeurs sont en équilibre à des distances réciproquement proportionnelles à leurs poids.

Des formulations précédentes du principe du levier apparaissent dans un ouvrage d'Euclide et dans les Problèmes mécaniques, un texte associé à l'école péripatéticienne, adeptes d'Aristote, dont la paternité est parfois attribuée à Archytas.

Archimède applique ces principes dérivés pour déterminer les aires et les centres de gravité de diverses configurations géométriques, telles que les triangles, les parallélogrammes et les paraboles.

Quadrature de la Parabole

Comprenant 24 propositions et dédié à Dositheus, ce traité démontre à travers deux méthodologies distinctes que la région délimitée par une parabole et une ligne sécante constitue les quatre tiers de l'aire d'un triangle possédant une base et une hauteur équivalentes. Cet objectif est réalisé à travers deux approches : dans un premier temps, en utilisant le principe du levier, et ensuite, en calculant la somme d'une série géométrique infinie de raison 1/4.

Sur la sphère et le cylindre

Dans ce traité en deux volumes, également dédié à Dositheus, Archimède tire sa découverte la plus célèbre : la relation fondamentale entre une sphère et son cylindre circonscrit, à condition qu'ils partagent une hauteur et un diamètre identiques. Plus précisément, le volume de la sphère est calculé comme ⁠4/§67§⁠πr§1617§, tandis que le volume du cylindre est 2πr§2425§. La surface de la sphère est déterminée comme étant 4πr§3233§, et pour le cylindre (y compris ses deux bases), elle est de 6πr§4041§, où r désigne le rayon commun de à la fois la sphère et le cylindre.

Sur les spirales

Comprenant 28 propositions, ce traité est également dédié à Dositheus. Il introduit formellement la courbe désormais reconnue comme la spirale d'Archimède. Cette spirale est caractérisée comme le lieu des points générés par un point qui s'éloigne uniformément d'une origine fixe le long d'une ligne tournant simultanément à une vitesse angulaire constante. En coordonnées polaires contemporaines (r, θ), sa représentation mathématique est donnée par l'équation ${\displaystyle \,r=a+b\theta }$, où a et b sont des constantes réelles.

Cela représente une première instance d'une courbe mécanique (définie comme une courbe générée par un point en mouvement) étudiée par un mathématicien hellénique.

Sur les conoïdes et les sphéroïdes

Ce traité, comprenant 32 propositions, est dédié à Dositheus. Dans ce texte, Archimède calcule les surfaces et les volumes de diverses sections dérivées de cônes, de sphères et de paraboloïdes.

Sur les corps flottants

L'ouvrage Sur les corps flottants est divisé en deux livres. Dans le volume initial, Archimède articule les principes régissant l'équilibre des fluides et démontre que l'eau prend naturellement une configuration sphérique autour de son centre de gravité.

Ce traité présente le principe de flottabilité d'Archimède, articulé comme suit :

Tout corps totalement ou partiellement immergé dans un fluide subit une poussée ascendante égale, mais dans la direction opposée, au poids du fluide déplacé.

La deuxième partie implique le calcul des positions d'équilibre pour différentes sections de paraboloïdes. Cette analyse a probablement servi d'idéalisation des formes des coques de navires. Certaines sections sont représentées flottant avec leur base immergée et leur sommet au-dessus de l'eau, analogue à la flottabilité observée dans les icebergs.

Ostomachion

Alternativement appelé Loculus d'Archimède ou Boîte d'Archimède, cela constitue un puzzle de dissection ressemblant à un Tangram. Le traité associé a été découvert dans un état plus complet au sein du Palimpseste d'Archimède. Archimède a calculé les aires de ses 14 pièces constitutives, qui peuvent être disposées pour construire un carré. En 2003, Reviel Netz de l'Université de Stanford a affirmé que l'objectif d'Archimède était de déterminer le nombre total de configurations dans lesquelles ces pièces pouvaient être assemblées pour former un carré. Les calculs de Netz indiquent que 17 152 arrangements distincts de pièces peuvent donner lieu à un carré. En excluant les solutions jugées équivalentes par rotation et réflexion, le nombre total d'arrangements uniques est de 536. Ce puzzle illustre un des premiers défis dans le domaine de la combinatoire.

L'étymologie de la désignation du puzzle reste ambiguë ; cependant, il a été proposé que sa dérivation provienne du terme grec ancien pour « gorge » ou « œsophage », stomachos (στόμαχος). Ausonius a qualifié le puzzle de Ostomachion, un terme composé grec construit à partir des racines lexicales de osteon (ὀστέον, 'os') et machē (μάχη, 'combat').

Le problème du bétail

Dans ce traité, destiné à Ératosthène et aux mathématiciens alexandrins, Archimède leur a présenté le défi de dénombrer le bétail au sein du troupeau du Soleil, une tâche nécessitant la résolution de plusieurs équations diophantiennes simultanées. En 1773, Gotthold Ephraim Lessing a identifié cette œuvre dans un manuscrit grec, comprenant un poème de 44 vers, conservé à la bibliothèque Herzog August de Wolfenbüttel, en Allemagne. Il existe une variante plus complexe du problème, dans laquelle certaines solutions doivent être des carrés parfaits. A. Amthor a fourni la solution initiale à cette version particulière du problème en 1880, donnant un résultat numérique exceptionnellement grand, environ 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

La méthode des théorèmes mécaniques

Semblable au Problème du bétail, La Méthode des théorèmes mécaniques a été composée comme une communication épistolaire adressée à Ératosthène à Alexandrie.

Dans ce traité, Archimède emploie une méthodologie innovante, manifestation naissante du principe de Cavalieri, pour rétablir les conclusions des traités envoyés à Dositheus (Quadrature du principe de Cavalieri). Parabole, Sur la sphère et le cylindre, Sur les spirales, Sur les conoïdes et les sphéroïdes), qu'il avait préalablement étayé par la méthode de l'épuisement. Cela impliquait d'appliquer la loi du levier, telle que détaillée dans Sur l'équilibre des avions, initialement pour déterminer le centre de gravité d'un objet, puis d'employer un raisonnement géométrique pour faciliter la dérivation de son volume. Archimède indique explicitement qu'il a utilisé cette approche pour déduire les résultats présentés dans les traités envoyés à Dositheus avant leur preuve plus rigoureuse via la méthode d'épuisement, affirmant l'utilité de connaître la véracité d'un résultat avant d'entreprendre sa démonstration rigoureuse. Ceci est analogue à la façon dont Eudoxe de Cnide a été aidé à démontrer que le volume d'un cône est un tiers de celui d'un cylindre, en vertu du fait que Démocrite avait déjà affirmé cette vérité, sur la base de l'argument selon lequel le volume d'une pyramide est un tiers de celui d'un prisme rectangulaire avec une base identique.

Ce traité était présumé perdu jusqu'à la découverte en 1906 du Palimpseste d'Archimède.

Œuvres apocryphes

Le Livre des Lemmes d'Archimède, également connu sous le nom de Liber Assumptorum, comprend un traité contenant 15 propositions concernant les propriétés des cercles. Le plus ancien manuscrit existant de ce texte est en arabe. T. L. Heath et Marshall Clagett ont soutenu que sa forme actuelle exclut la paternité archimédienne, étant donné qu'elle cite Archimède, impliquant ainsi une modification ultérieure par un auteur différent. Il est plausible que les Lemmes soient dérivés d'une œuvre antérieure d'Archimède, aujourd'hui perdue.

Des œuvres supplémentaires d'attribution douteuse à Archimède comprennent le poème latin du 4e ou 5e siècle Carmen de ponderibus et mensuris, qui détaille l'application d'un équilibre hydrostatique pour résoudre le problème de la couronne, et le texte du 12e siècle Mappae. clavicule, fournissant des instructions pour analyser les métaux grâce au calcul de leur gravité spécifique.

Œuvres perdues

De nombreuses œuvres écrites d'Archimède n'ont pas survécu ou n'existent que sous forme de fragments fortement édités. Par exemple, Pappus d'Alexandrie fait référence à On Sphere-Making, un traité sur les polyèdres semi-réguliers et un autre sur les spirales. De même, Théon d'Alexandrie cite un commentaire sur la réfraction de l'œuvre actuellement perdue, Catoptrica. Le traité Principes, dédié à Zeuxippus, a élucidé le système numérique employé dans The Sand Reckoner. D'autres travaux notables incluent Sur les équilibres et Sur les centres de gravité.

Les érudits islamiques médiévaux ont attribué à Archimède une formule pour déterminer l'aire d'un triangle en fonction de la longueur de ses côtés. Cette formule est maintenant reconnue comme la formule de Héron, attribuée à sa première apparition documentée dans les écrits du 1er siècle après JC de Héron d'Alexandrie. On suppose qu'Archimède aurait pu prouver cette formule dans un traité aujourd'hui perdu.

Le Palimpseste d'Archimède

En 1906, le professeur danois Johan Ludvig Heiberg s'est rendu à Constantinople pour inspecter un parchemin en peau de chèvre de 174 pages contenant des prières du XIIIe siècle. Son Heiberg a vérifié qu'il s'agissait d'un palimpseste, caractérisé par un texte inscrit sur une œuvre antérieure effacée. La création de palimpsestes, impliquant le grattage de l'encre de manuscrits existants pour la réutilisation, était une pratique répandue au Moyen Âge en raison du coût élevé du vélin. Les chercheurs ont ensuite identifié les textes sous-jacents à ce palimpseste comme des copies du Xe siècle des traités d'Archimède précédemment perdus. Le palimpseste contient sept traités, dont notamment la seule copie existante de Sur les corps flottants dans sa version originale en grec. De plus, il représente la seule source connue de La Méthode des Théorèmes Mécaniques, un ouvrage mentionné par Suidas et auparavant présumé irrévocablement perdu. L'Estomac a également été trouvé dans le palimpseste, offrant une analyse plus complète du puzzle que les découvertes textuelles antérieures.

Le Palimpseste d'Archimède contient les traités suivants :

• Sur l'équilibre des avions
• Sur les spirales
• Mesure d'un cercle
• Sur la sphère et le cylindre
• Sur les corps flottants
• La méthode des théorèmes mécaniques
• Estomac
• Discours d'Hypériide, homme politique du IVe siècle avant notre ère
• Un commentaire critique sur les Catégories
d'Aristote
• Travaux supplémentaires

Le parchemin est resté dans une bibliothèque monastique de Constantinople pendant des siècles avant son acquisition par un collectionneur privé dans les années 1920. Le 29 octobre 1998, il a été vendu aux enchères à un acheteur anonyme pour 2,2 millions de dollars. Par la suite, le palimpseste a été conservé au Walters Art Museum de Baltimore, dans le Maryland, où il a subi divers examens avancés, notamment une imagerie aux ultraviolets et aux rayons X, pour déchiffrer le texte sous-jacent. Il a depuis été restitué à son propriétaire anonyme.

Héritage

Souvent considéré comme l'ancêtre des mathématiques et de la physique mathématique, Archimède est presque universellement reconnu par les historiens des sciences et des mathématiques comme le mathématicien prééminent de l'Antiquité.

Antiquité classique

La renommée d'Archimède pour ses innovations mécaniques au cours de l'Antiquité classique est largement documentée. Athénée, dans son Deipnosophistae, détaille la supervision par Archimède de la construction du Syracusia, le plus grand navire connu de l'Antiquité, tandis qu'Apulée discute de ses contributions à la catoptrie. Bien que Plutarque ait affirmé qu'Archimède méprisait la mécanique, privilégiant la géométrie pure, les études contemporaines rejettent largement cela comme une fausse déclaration. On pense que cette perspective a été construite pour renforcer les principes philosophiques platoniciens de Plutarque plutôt que pour décrire avec précision Archimède. De plus, contrairement à ses inventions, les traités mathématiques d'Archimède ont reçu une reconnaissance limitée dans l'Antiquité au-delà des cercles des mathématiciens alexandrins. La compilation initiale complète de ses œuvres n'a été entreprise que vers c. 530AD par Isidore de Milet à Constantinople byzantine. Parallèlement, les commentaires d'Eutocius sur les écrits d'Archimède, produits plus tôt au cours du même siècle, ont considérablement élargi leur accessibilité à un public plus large.

Moyen Âge

Le corpus d'Archimède a été traduit en arabe par Thābit ibn Qurra (836-901 après J.-C.) puis en latin à partir de l'arabe par Gérard de Crémone (vers 1114-1187). Plus tard, des traductions directes du grec vers le latin furent exécutées par Guillaume de Moerbeke (vers 1215-1286) et Iacobus Cremonensis (vers 1400-1453).

Renaissance et Europe moderne

L'Editio princeps (première édition) des œuvres d'Archimède, publiée à Bâle en 1544 par Johann Herwagen, présentait ses écrits en grec et en latin. Cette publication a constitué une ressource intellectuelle importante pour les scientifiques tout au long de la Renaissance et jusqu'au XVIIe siècle.

Léonard de Vinci a souvent exprimé son admiration pour Archimède, lui attribuant même l'invention de l'Architonnerre. Galileo Galilei a salué Archimède comme « surhumain » et « mon maître », tandis que Christiaan Huygens a déclaré : « Je pense qu'Archimède n'est comparable à personne », modelant délibérément ses premiers efforts sur lui. Gottfried Wilhelm Leibniz a observé : « Celui qui comprend Archimède et Apollonius admirera moins les réalisations des hommes les plus éminents des temps ultérieurs. »

Le numismate et archéologue italien Filippo Paruta (1552-1629), ainsi que Leonardo Agostini (1593-1676), ont documenté une pièce de monnaie en bronze découverte en Sicile. Cette pièce présentait un portrait d'Archimède sur son avers et un cylindre et une sphère, accompagnés du monogramme latin ARMD, sur son revers. Bien que l'on ignore où se trouve actuellement la pièce et que sa date de frappe précise reste inétablie, Ivo Schneider a caractérisé l'image inversée comme « une sphère reposant sur une base – probablement une image approximative de l'un des planétaires créés par Archimède ». Schneider a en outre émis l'hypothèse que la pièce aurait pu être frappée à Rome pour Marcellus, qui, "selon des rapports anciens, a apporté deux sphères d'Archimède avec lui à Rome".

En mathématiques modernes

Carl Friedrich Gauss tenait Archimède et Isaac Newton en haute estime ; Moritz Cantor, étudiant de Gauss à l'Université de Göttingen, a raconté l'observation de Gauss selon laquelle « il n'y a eu que trois mathématiciens qui ont fait époque : Archimède, Newton et Eisenstein ». De même, Alfred North Whitehead affirmait qu'« en l'an 1500, l'Europe en savait moins qu'Archimède décédé en l'an 212 av. Reviel Netz, historien des mathématiques, a fait écho à la célèbre déclaration de Whitehead concernant Platon et la philosophie en déclarant que « la science occidentale n'est qu'une série de notes de bas de page d'Archimède », le désignant en outre « le scientifique le plus important qui ait jamais vécu ». Eric Temple Bell a également noté que « toute liste des trois « plus grands » mathématiciens de toute l'histoire inclurait le nom d'Archimède. Les deux autres qui lui sont généralement associés sont Newton et Gauss. Certains, considérant la richesse relative – ou la pauvreté – des mathématiques et des sciences physiques à l'époque respective dans laquelle ces géants ont vécu, et estimant leurs réalisations dans le contexte de leur époque, placeraient Archimède en premier. »

La découverte en 1906 des œuvres précédemment perdues d'Archimède. Le Palimpseste d'Archimède a fourni de nouvelles informations sur ses méthodes permettant d'obtenir des résultats mathématiques.

La médaille Fields, décernée pour des réalisations exceptionnelles en mathématiques, présente un portrait d'Archimède ainsi qu'une gravure représentant sa preuve concernant la sphère et le cylindre. Autour de la tête d'Archimède se trouve une inscription latine, attribuée au poète Manilius du 1er siècle après JC, qui déclare : Transire suum pectus mundoque potiri ("S'élever au-dessus de soi et saisir le monde").

Influence culturelle

Le SS Archimède, lancé en 1839, a la particularité d'être le premier navire à vapeur de mer au monde équipé d'une hélice à hélice, nommé en hommage à Archimède et à ses contributions à la compréhension du mécanisme à vis.

Archimède a été présenté sur des timbres-poste émis par divers pays, dont l'Allemagne de l'Est (1973), la Grèce (1983), l'Italie (1983), le Nicaragua. (1971), Saint-Marin (1982) et Espagne (1963).

L'exclamation « Eurêka ! », célèbre attribuée à Archimède, est la devise de l'État de Californie. Dans ce contexte spécifique, le terme désigne la découverte d'or près de Sutter's Mill en 1848, un événement qui a précipité la ruée vers l'or en Californie.

Un cratère lunaire, Archimède (29,7°N 4,0°W / 29,7; -4.0), et une chaîne de montagnes lunaires, les Montes Archimède (25,3°N 4,6°W / 25,3 ; -4.6), sont nommés en son honneur sur la Lune.

Arbelos

• Arbelos
• Pointe Archimédienne
• Numéro d'Archimède
• Paradoxe d'Archimède
• Méthodes de calcul des racines carrées
• Salinon
• Canon à vapeur
• Cercles jumeaux
• Zhang Heng

Remarques

Notes de bas de page

Citations

Références

Témoignage ancien

• Plutarque, *Vie de Marcellus*
• "Athénée, Deipnosophistae". . Consulté le 7 mars 2023.Sources modernes
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    • Œuvres d'Archimède au Projet Gutenberg
    • Archimède au projet d'ontologie de philosophie de l'Indiana
    • Le projet Archimède Palimpseste au Walters Art Museum de Baltimore, Maryland
    • "Archimède sur sphères et cylindres". MathPages.com.Source : Archives de l'Académie TORIma