David Hilbert

David Hilbert (allemand : [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt] ; 23 janvier 1862 – 14 février 1943) était un éminent mathématicien et philosophe des mathématiques allemand, largement reconnu comme l'une des figures les plus influentes dans le domaine de son époque.

David Hilbert (; Allemand: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt] ; 23 janvier 1862 - 14 février 1943) était un mathématicien et philosophe des mathématiques allemand et l'un des mathématiciens les plus influents de son époque. temps.

Les contributions de Hilbert englobent la découverte et le développement de nombreux concepts fondamentaux, notamment la théorie des invariants, le calcul des variations, l'algèbre commutative, la théorie algébrique des nombres, les fondements de la géométrie, la théorie spectrale des opérateurs avec ses applications aux équations intégrales, la physique mathématique et les fondements des mathématiques, en particulier la théorie de la preuve. Il était un ardent défenseur de la théorie des ensembles et des nombres transfinis de Georg Cantor. Sa présentation d'un ensemble de problèmes fondateurs en 1900 a façonné de manière significative la trajectoire de la recherche mathématique tout au long du 20e siècle.

Avec ses étudiants, Hilbert a joué un rôle crucial dans l'établissement de la rigueur mathématique et la conception d'outils essentiels utilisés dans la physique mathématique contemporaine. Il est également reconnu comme co-fondateur de la théorie de la preuve et de la logique mathématique.

Vie

Petite enfance et éducation

David Hilbert, aîné de deux enfants et fils unique d'Otto, juge du comté, et de Maria Therese Hilbert (née Erdtmann), fille d'un marchand, est né dans la province de Prusse, au sein du royaume de Prusse. Son lieu de naissance est enregistré comme étant soit Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad), d'après le récit personnel de Hilbert, soit Wehlau (connu sous le nom de Znamensk depuis 1946), situé près de Königsberg, où son père travaillait au moment de sa naissance. Son grand-père paternel, également nommé David Hilbert, a occupé des postes de juge et de Geheimrat. Maria, sa mère, cultivait des intérêts pour la philosophie, l'astronomie et les nombres premiers, tandis que son père, Otto, lui inculquait les vertus prussiennes. Suite à la nomination de son père comme juge municipal, la famille déménage à Königsberg. Sa sœur Elise est née quand il avait six ans. Hilbert a commencé ses études formelles à l'âge de huit ans, deux ans au-delà de l'âge habituel.

À la fin de 1872, Hilbert s'est inscrit au gymnase Friedrichskolleg (Collegium fridericianum), une école fréquentée par Emmanuel Kant 140 ans auparavant. Cependant, après une période insatisfaisante, il fut transféré à la fin de 1879 et obtint son diplôme au début de 1880 du Wilhelm Gymnasium, qui proposait un programme plus axé sur les sciences. Après avoir obtenu son diplôme à l'automne 1880, Hilbert s'inscrit à l'Université de Königsberg, connue sous le nom d'« Albertina ». Au début de 1882, Hermann Minkowski, qui était de deux ans le cadet de Hilbert et également originaire de Königsberg (bien qu'il ait passé trois semestres à Berlin), retourna en ville et rejoignit l'université. Hilbert a ensuite noué une amitié durable avec Minkowski, réservé mais talentueux.

Carrière

En 1884, Adolf Hurwitz rejoint la faculté de Göttingen en tant qu'Extraordinarius, équivalent à un professeur associé. Cela a marqué le début d’une collaboration scientifique intense et productive entre les trois chercheurs, Minkowski et Hilbert, en particulier, exerçant une influence mutuelle tout au long de leurs carrières scientifiques respectives. Hilbert a soutenu avec succès sa thèse de doctorat en 1885, sous la direction de Ferdinand von Lindemann. La thèse était intitulée Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, qui se traduit par "Sur les propriétés invariantes des formes binaires spéciales, en particulier les fonctions harmoniques sphériques."

Hilbert a été Privatdozent (professeur principal) à l'Université de Königsberg à partir de 1886. jusqu'en 1895. En 1895, grâce au plaidoyer de Felix Klein, il obtient le poste de professeur de mathématiques à l'Université de Göttingen. La période pendant laquelle Klein et Hilbert étaient actifs a transformé Göttingen en l’institution la plus importante de la communauté mathématique mondiale. Il y poursuivit son mandat pour le reste de sa vie.

École de Göttingen

Parmi les étudiants de Hilbert figuraient Hermann Weyl, le champion d'échecs Emanuel Lasker, Ernst Zermelo et Carl Gustav Hempel. John von Neumann lui a servi d'assistant. À l'Université de Göttingen, Hilbert faisait partie d'une communauté intellectuelle distinguée qui comprenait plusieurs des mathématiciens les plus importants du XXe siècle, dont Emmy Noether et Alonzo Church.

Parmi ses 69 doctorants à Göttingen, beaucoup ont par la suite acquis une renommée en tant que mathématiciens, notamment (avec l'année de fin de thèse) : Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl. (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) et Wilhelm Ackermann (1925). De 1902 à 1939, Hilbert a occupé le poste de rédacteur en chef du Mathematische Annalen, qui était alors la principale revue mathématique. En 1907, il fut élu membre international de l'Académie nationale des sciences des États-Unis.

Vie personnelle

En 1892, Hilbert épousa Käthe Jerosch (1864-1945), la fille d'un marchand de Königsberg, décrit comme « une jeune femme au franc-parler avec une indépendance d'esprit qui correspondait à celle de [Hilbert] ». Pendant leur séjour à Königsberg, ils eurent un fils, Franz Hilbert (1893-1969). Franz a souffert d'une maladie mentale toute sa vie et, après son admission dans une clinique psychiatrique, Hilbert aurait déclaré : « À partir de maintenant, je dois me considérer comme n'ayant pas de fils. » Cette position a profondément affligé Käthe.

Hilbert considérait le mathématicien Hermann Minkowski comme son ami le plus proche et le plus fiable.

Hilbert a été baptisé et élevé comme calviniste au sein de l'Église évangélique prussienne. Il a ensuite quitté l’Église et a adopté une vision du monde agnostique. Il affirmait en outre que la vérité mathématique existait indépendamment de l'existence divine ou d'autres présupposés a priori. Répondant aux critiques de Galilée pour ne pas avoir soutenu ses convictions héliocentriques, Hilbert affirma : « Mais [Galileo] n'était pas un idiot. Seul un idiot pouvait croire que la vérité scientifique a besoin du martyre ; cela peut être nécessaire en religion, mais les résultats scientifiques font leurs preuves en temps voulu. »

Vie plus tard

Semblable à Albert Einstein, Hilbert entretenait des relations étroites avec le Groupe de Berlin, dont les principaux fondateurs, dont Kurt Grelling, Hans Reichenbach et Walter Dubislav, avaient été ses étudiants à Göttingen.

Environ 1925, Hilbert contracta une anémie pernicieuse, une carence en vitamines qui était alors incurable et se manifestait principalement par un épuisement. Son assistant, Eugene Wigner, a caractérisé Hilbert comme éprouvant une « énorme fatigue » et paraissant « assez vieux ». Wigner a en outre noté que même après un diagnostic et un traitement ultérieur, Hilbert « n'était guère un scientifique après 1925, et certainement pas un Hilbert. »

En 1932, Hilbert a été élu membre de l'American Philosophical Society.

Hilbert a été témoin de la purge par le régime nazi de nombreux membres distingués du corps professoral de l'Université de Göttingen en 1933. Parmi les personnes licenciées se trouvait Hermann Weyl, qui avait assumé la chaire de Hilbert lors de son mandat. retraite en 1930; Emmy Noether ; et Edmond Landau. Paul Bernays, une autre personne contrainte de quitter l'Allemagne, avait collaboré avec Hilbert sur la logique mathématique et co-écrit l'ouvrage important Grundlagen der Mathematik, qui fut finalement publié en deux volumes en 1934 et 1939. Cette publication faisait suite au volume de Hilbert-Ackermann, Principes de logique mathématique (1928). Helmut Hasse succéda à Hermann Weyl.

Environ un an après la purge, Hilbert assista à un banquet où il était assis à côté de Bernhard Rust, le nouveau ministre de l'Éducation. Rust demanda si « l'Institut de Mathématiques avait vraiment autant souffert du départ des Juifs ». La réponse poignante de Hilbert fut : "Souffré ? Cela n'existe plus, n'est-ce pas ?"

Mort

À la mort de Hilbert en 1943, le régime nazi avait presque entièrement remplacé le corps professoral de l'université, en grande partie à cause du licenciement des personnes juives ou mariées à des Juifs. Ses funérailles ont été peu fréquentées, avec moins d'une douzaine de personnes présentes, dont seulement deux collègues universitaires, dont Arnold Sommerfeld, physicien théoricien et originaire de Königsberg. Le public a pris conscience de son décès quelques mois seulement après sa mort.

L'épitaphe inscrite sur la pierre tombale de Hilbert à Göttingen présente les déclarations célèbres qu'il a prononcées au point culminant de son discours de retraite devant la Société des scientifiques et médecins allemands le 8 septembre 1930. Ces mots ont été offerts en réponse à la maxime latine : "Ignoramus et ignorabimus", qui se traduit par "Nous ne savons pas et nous je ne le saurai pas :

La veille de la déclaration de ces phrases par Hilbert lors de la réunion annuelle de 1930 de la Société des scientifiques et médecins allemands, Kurt Gödel, lors d'une table ronde à la Conférence d'épistémologie tenue en même temps que les réunions de la Société, a présenté provisoirement la formulation initiale de son théorème d'incomplétude. Les théorèmes d'incomplétude de Gödel démontrent que même les systèmes axiomatiques fondamentaux, tels que l'arithmétique de Peano, sont soit intrinsèquement contradictoires, soit englobent des propositions logiques qui ne peuvent être prouvées ou réfutées dans les limites de ce système.

Contributions aux mathématiques et à la physique

Résolution du problème de Gordan

Les premières recherches de Hilbert sur les fonctions invariantes ont culminé en 1888 avec la présentation de son célèbre théorème de finitude. Deux décennies auparavant, Paul Gordan avait établi le théorème concernant la finitude des générateurs de formes binaires, en employant une méthodologie informatique complexe. Les tentatives visant à étendre l'approche de Gordan aux fonctions impliquant plus de deux variables se sont révélées infructueuses en raison de l'immense complexité informatique. Pour résoudre ce qui est devenu connu dans certains cercles universitaires sous le nom de Problème de Gordan, Hilbert a reconnu la nécessité d'adopter une stratégie entièrement différente. Par conséquent, il a formulé le théorème de base de Hilbert, qui démontrait l'existence d'un ensemble fini de générateurs pour les invariants des quantiques pour un nombre quelconque de variables. Cependant, cette preuve était abstraite, établissant l'existence sans fournir de méthode constructive pour identifier un tel ensemble ; il s'appuyait sur la loi du tiers exclu dans une extension infinie.

Hilbert a soumis ses découvertes à la revue Mathematische Annalen. Gordan, qui était l'autorité résidente de la revue sur la théorie des invariants pour Mathematische Annalen, n'a pas réussi à saisir la nature révolutionnaire du théorème de Hilbert et a par la suite rejeté le manuscrit, citant un exposé insuffisamment complet. Son commentaire disait :

En revanche, Klein a reconnu l'importance de l'ouvrage et a garanti sa publication sans aucune révision. Encouragé par Klein, Hilbert a élargi sa méthodologie dans un article ultérieur, proposant des estimations pour le degré maximum de l'ensemble minimal de générateurs, et l'a soumis à nouveau aux Annalen. Après avoir examiné le manuscrit, Klein a transmis à Hilbert :

Il s'agit sans aucun doute de l'ouvrage le plus important sur l'algèbre générale jamais publié par Annalen.

Par la suite, après que l'utilité de la méthode de Hilbert ait été universellement acceptée, Gordan lui-même a fait remarquer :

Je me suis convaincu que même la théologie a ses mérites.

Malgré ses succès, la nature inhérente de la preuve de Hilbert a généré des défis imprévus. Bien que Kronecker ait finalement admis, Hilbert a ensuite répondu à des critiques similaires en affirmant que « de nombreuses constructions différentes sont regroupées sous une seule idée fondamentale » – ou, comme l'a expliqué Reid, « Grâce à une preuve d'existence, Hilbert avait pu obtenir une construction » ; ainsi, « la preuve » (c'est-à-dire les symboles écrits) était « l'objet ». Cette perspective n’a pas convaincu tout le monde. Bien que la mort de Kronecker ait suivi peu de temps après, sa philosophie constructiviste a persisté à travers l'émergence de « l'école » intuitionniste dirigée par le jeune Brouwer, causant une détresse considérable à Hilbert dans ses dernières années. En effet, Hilbert a vu son « élève doué » Weyl adopter l'intuitionnisme, une évolution qui « a perturbé Hilbert par la fascination de son ancien élève pour les idées de Brouwer, qui a réveillé chez Hilbert le souvenir de Kronecker ». Brouwer, en tant qu'intuitionniste, s'opposait spécifiquement à l'application de la loi du milieu exclu à des ensembles infinis, principe employé par Hilbert. La réplique de Hilbert était :

Reprendre le principe du milieu exclu du mathématicien... revient à... interdire au boxeur d'utiliser ses poings.

Nullstellensatz

En algèbre, un champ est défini comme algébriquement fermé si chaque polynôme défini dessus possède une racine dans ce champ. S'appuyant sur ce concept, Hilbert a établi un critère pour déterminer quand un ensemble de ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }>$ polynômes en ${\displaystyle n}$ les variables partagent une racine commune. Cette condition est vraie précisément lorsqu'il n'y a pas de polynômes ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ et indices ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ satisfaisant l'équation suivante :

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

Cette découverte importante est formellement reconnue sous le nom de Théorème racine de Hilbert, également connu sous sa désignation allemande "Hilberts Nullstellensatz". De plus, Hilbert a démontré une correspondance bijective entre les idéaux en voie de disparition et leurs ensembles de disparition associés, liant spécifiquement les variétés affines aux idéaux radicaux au sein de ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Courbe

En 1890, Giuseppe Peano a présenté la première courbe de remplissage d'espace historiquement documentée dans un article publié dans les Mathematische Annalen. Par la suite, Hilbert a développé sa propre variante de cette courbe, actuellement connue sous le nom de Courbe de Hilbert. Des approximations itératives de cette courbe sont générées sur la base des règles de remplacement illustrées dans la figure initiale de cette section. La courbe elle-même est définie comme la limite ponctuelle de ces approximations.

Axiomatisation de la géométrie

En 1899, Hilbert a publié Grundlagen der Geometrie, traduit par Fondements de la géométrie, qui proposait un ensemble formel d'axiomes, connus sous le nom d'axiomes de Hilbert, pour remplacer les postulats traditionnels d'Euclide. Ces nouveaux axiomes répondaient aux faiblesses identifiées dans les travaux d'Euclide, qui étaient encore largement utilisés comme manuel à l'époque. Définir avec précision les axiomes de Hilbert nécessite de faire référence à l'historique des publications de Grundlagen, car Hilbert les a révisés et modifiés à plusieurs reprises. La monographie initiale a été rapidement suivie d'une traduction française, à laquelle Hilbert a annexé le V.2, l'axiome de complétude. Une traduction anglaise, autorisée par Hilbert et protégée par copyright en 1902 par E.J. Townsend, a incorporé les modifications de l'édition française et est donc considérée comme une traduction de la deuxième édition. Hilbert a continué à introduire des modifications dans le texte, ce qui a donné lieu à plusieurs éditions allemandes, la septième étant la dernière publiée de son vivant. Les éditions suivantes sont parues après la septième, bien que le texte de base soit resté en grande partie non révisé.

La méthodologie de Hilbert a marqué un tournant décisif vers l'approche axiomatique moderne, un développement anticipé par les travaux de Moritz Pasch en 1882. Dans ce paradigme, les axiomes ne sont pas considérés comme des vérités évidentes. Même si la géométrie peut s'intéresser à des choses qui évoquent de fortes intuitions, il n'est pas essentiel d'attribuer une signification explicite à des concepts indéfinis. Des éléments tels que des points, des lignes et des plans, entre autres, pourraient, comme Hilbert l'aurait suggéré à Schoenflies et Kötter, être remplacés par des objets comme des tables, des chaises ou des verres de bière. L'accent est plutôt mis sur leurs relations définies.

Hilbert a d'abord énuméré les concepts non définis : point, ligne, plan, la relation de "s'allonger sur" (qui s'applique entre les points et les lignes, les points et les plans, et les lignes et les plans), l'entre-deux, la congruence des paires de points (segments de ligne) et la congruence des angles. Ces axiomes intègrent à la fois la géométrie plane euclidienne et la géométrie solide dans un système unifié.

Vingt-trois problèmes

Lors du Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, Hilbert a présenté une liste très influente de 23 problèmes non résolus. Cette compilation est largement considérée comme l'ensemble de problèmes ouverts le plus abouti et le plus profondément réfléchi jamais formulé par un mathématicien individuel.

Après son travail fondateur en géométrie classique, Hilbert aurait pu étendre son approche à l'ensemble des mathématiques. Sa méthodologie s'écartait des perspectives « fondationnalistes » ultérieures de Russell-Whitehead et de l'approche « encyclopédiste » de Nicolas Bourbaki, ainsi que de son contemporain Giuseppe Peano. Les problèmes de Hilbert ont été conçus pour impliquer la communauté mathématique au sens large dans des aspects cruciaux de domaines mathématiques importants.

L'ensemble de problèmes a été présenté lors d'une conférence intitulée « Les problèmes des mathématiques », prononcée lors du deuxième Congrès international des mathématiciens à Paris. Les remarques introductives de Hilbert pour ce discours déclaraient :

Qui d'entre nous ne serait pas heureux de lever le voile derrière lequel se cache l'avenir ; jeter un coup d'œil sur les prochains progrès de notre science et sur les secrets de son développement au cours des siècles à venir ? Quels objectifs particuliers viseront les principaux esprits mathématiques des générations à venir ? Quelles nouvelles méthodes et quels nouveaux faits dans le domaine vaste et riche de la pensée mathématique les nouveaux siècles révéleront-ils ?

Hilbert a présenté moins de la moitié de ces problèmes au Congrès, leur première publication apparaissant dans les actes du Congrès. Dans une publication ultérieure, il élargit cet aperçu, conduisant à la formulation définitive des désormais canoniques 23 problèmes de Hilbert. Le texte complet reste significatif, car l'interprétation de ces questions peut encore être sujette à débat quant au nombre de problèmes définitivement résolus.

Certains de ces problèmes ont été résolus relativement rapidement. D’autres ont fait l’objet de discussions approfondies tout au long du XXe siècle, quelques-unes étant désormais considérées comme trop ouvertes pour aboutir à une clôture définitive. Un sous-ensemble de ces problèmes continue de poser des défis importants.

Voici les titres des 23 problèmes de Hilbert tels qu'ils apparaissent dans la traduction de 1902 publiée dans le Bulletin de l'American Mathematical Society.

1. Le problème de Cantor du nombre cardinal du continuum.

2. La compatibilité des axiomes arithmétiques. 3. L'égalité des volumes de deux tétraèdres de bases égales et d'altitudes égales.

Le quatrième problème aborde le concept de ligne droite comme la distance la plus courte entre deux points.

Le cinquième problème concerne la théorie de Lie des groupes de transformation continue, sans présumer de la différentiabilité des fonctions qui définissent ces groupes.

Le sixième problème concerne la formalisation mathématique des axiomes physiques.

Le septième problème étudie les propriétés d'irrationalité et de transcendance de nombres spécifiques.

Le huitième problème se concentre sur la distribution des nombres premiers, englobant notamment l'hypothèse de Riemann.

Le neuvième problème cherche à établir une preuve de la loi de réciprocité la plus généralisée dans n'importe quel corps numérique.

Le dixième problème vise à déterminer la solvabilité des équations diophantiennes.

Le onzième problème concerne les formes quadratiques qui incorporent des coefficients numériques algébriques arbitraires.

Le douzième problème consiste à étendre le théorème de Kronecker, qui concerne les champs abéliens, pour englober tout domaine algébrique de rationalité.

Le treizième problème explore l'impossibilité de résoudre l'équation générale du septième degré en utilisant des fonctions limitées à seulement deux arguments.

Le quatorzième problème nécessite de démontrer la finitude de systèmes complets spécifiques de fonctions.

Le quinzième problème appelle à un cadre fondamental rigoureux pour le calcul énumératif de Schubert.

Le seizième problème concerne la topologie des courbes et surfaces algébriques.

Le dix-septième problème consiste à exprimer des formes définies sous forme de sommes de carrés.

Le dix-huitième problème étudie la construction de l'espace à l'aide de polyèdres congrus.

Le dix-neuvième problème se demande si les solutions aux problèmes réguliers de calcul des variations sont invariablement analytiques.

Le vingtième problème aborde la théorie générale des valeurs limites, en particulier les problèmes de valeurs limites dans les équations aux dérivées partielles.

Le vingt et unième problème cherche à prouver l'existence d'équations différentielles linéaires possédant un groupe de monodromie prédéfini.

Le vingt-deuxième problème implique l'uniformisation des relations analytiques grâce à l'application de fonctions automorphes.

Le vingt-troisième problème propose de faire progresser les méthodologies dans le calcul des variations.

Formalisme

Au milieu du siècle, l'ensemble de problèmes influents de Hilbert était largement reconnu comme un manifeste fondateur, ouvrant la voie à l'émergence de l'école formaliste, une philosophie mathématique importante du 20e siècle. Les formalistes postulent que les mathématiques constituent la manipulation de symboles régis par des règles formelles établies, représentant ainsi un effort intellectuel autonome.

Programme

En 1920, Hilbert a lancé une initiative de recherche métamathématique, appelée plus tard le programme de Hilbert, qui visait à établir les mathématiques sur un cadre logique robuste et complet. Il a émis l'hypothèse que cet objectif pourrait être atteint en démontrant deux principes clés :

1. Premièrement, que l'intégralité des mathématiques pourrait être dérivée d'un système axiomatique fini précisément sélectionné ; et
2. Deuxièmement, un tel système axiomatique pourrait être manifestement cohérent grâce à des méthodes telles que le calcul d'Epsilon.

La formulation de cette proposition par Hilbert semble avoir été motivée par des considérations à la fois techniques et philosophiques. Cela reflétait notamment son opposition au concept connu sous le nom d'"ignorabimus", un débat intellectuel important dans la pensée allemande contemporaine, né avec Emil du Bois-Reymond.

Ce programme reste identifiable au sein de la philosophie prédominante des mathématiques, communément appelée formalisme. Par exemple, le groupe Bourbaki a mis en œuvre une itération modifiée et sélective de ce programme, le jugeant adapté à son double objectif : (a) compiler des textes fondateurs complets et (b) défendre la méthode axiomatique comme instrument de recherche. Même si cette approche s'est avérée fructueuse et percutante en ce qui concerne les contributions de Hilbert à l'algèbre et à l'analyse fonctionnelle, elle n'a pas trouvé de résonance similaire avec ses engagements en physique et en logique.

En 1919, Hilbert a expliqué :

Nous ne discutons d'arbitraire dans aucun contexte. Les mathématiques ne ressemblent pas à un jeu où les tâches sont définies par des règles arbitrairement établies. Au lieu de cela, il constitue un système conceptuel doté d'une nécessité inhérente, qui dicte sa nature et exclut toute alternative.

Les perspectives de Hilbert sur les principes fondamentaux des mathématiques ont été diffusées dans sa publication en deux volumes, *Grundlagen der Mathematik*.

Contributions de Gödel

Hilbert et ses collaborateurs étaient profondément engagés dans cette entreprise ambitieuse. Cependant, sa tentative d'étayer les mathématiques axiomatisées par des principes concluants, destinés à éliminer les ambiguïtés théoriques, s'est finalement révélée infructueuse.

Gödel a démontré de manière concluante que tout système formel cohérent capable d'exprimer l'arithmétique fondamentale ne peut établir sa propre complétude uniquement à travers ses axiomes intrinsèques et ses règles d'inférence. Son théorème d'incomplétude de 1931 révélait que le programme global de Hilbert, tel qu'il avait été conçu à l'origine, était inaccessible. Plus précisément, le deuxième principe du programme de Hilbert ne peut pas être intégré de manière cohérente au premier, à condition que le système axiomatique soit véritablement finitaire.

Néanmoins, les progrès ultérieurs de la théorie de la preuve ont considérablement clarifié le concept de cohérence, en particulier en ce qui concerne les théories centrales à la recherche mathématique. Le travail fondateur de Hilbert a initié cette trajectoire de clarification de la logique. Par la suite, l’impératif de comprendre les contributions de Gödel a stimulé l’évolution de la théorie de la récursion, qui a ensuite établi la logique mathématique comme discipline académique autonome dans les années 1930. De plus, les principes fondamentaux de l'informatique théorique ultérieure, notamment grâce aux contributions d'Alonzo Church et d'Alan Turing, ont émergé directement de ce discours intellectuel.

Analyse fonctionnelle

Vers 1909, Hilbert consacra ses efforts à l'étude des équations différentielles et intégrales, ce qui donna des implications directes dans des domaines importants de l'analyse fonctionnelle moderne. Pour faciliter ces investigations, Hilbert a conceptualisé un espace euclidien de dimension infinie, désigné par la suite comme espace de Hilbert. Ses efforts dans ce domaine analytique ont fourni une base cruciale pour des contributions substantielles aux mathématiques de la physique au cours des deux décennies suivantes, bien que dans une perspective imprévue. Plus tard, Stefan Banach a développé ce concept en définissant les espaces Banach. Les espaces de Hilbert constituent une classe essentielle d'entités au sein de l'analyse fonctionnelle, particulièrement pertinente pour la théorie spectrale des opérateurs linéaires auto-adjoints, un domaine qui s'est développé autour d'eux tout au long du 20e siècle.

Physique

Avant 1912, Hilbert travaillait principalement comme un pur mathématicien. Lorsque Hermann Minkowski, un collègue mathématicien et ami, a planifié un Effective, Minkowski semble avoir joué un rôle déterminant dans la plupart des explorations physiques de Hilbert avant 1912, y compris leur séminaire collaboratif sur le sujet en 1905.

En 1912, trois ans après la disparition de Minkowski, Hilbert a réorienté son attention académique presque exclusivement vers la physique. Il s'est arrangé pour avoir un « tuteur de physique » personnel et a commencé des études sur la théorie cinétique des gaz, progressant vers la théorie élémentaire des rayonnements et la théorie moléculaire de la matière. Même après le déclenchement de la guerre en 1914, il a maintenu des séminaires et des cours qui examinaient méticuleusement les travaux d'Albert Einstein et d'autres physiciens contemporains.

En 1907, Einstein avait formulé les principes fondamentaux de la théorie de la gravité, mais il a ensuite travaillé pendant près de huit ans pour finaliser sa formulation complète. Sa rencontre avec Emmy Noether à Göttingen s’est avérée cruciale pour cette avancée. Au début de l'été 1915, l'intérêt de Hilbert pour la physique avait convergé vers la relativité générale, ce qui l'incita à inviter Einstein à Göttingen pour une série de conférences d'une semaine sur le sujet. Einstein a été accueilli avec enthousiasme. Au cours de l'été, Einstein apprit les travaux parallèles de Hilbert sur les équations de champ, ce qui intensifia ses propres efforts de recherche. En novembre 1915, Einstein publia plusieurs articles aboutissant à Les équations de champ de la gravitation. Presque simultanément, Hilbert publiait « Les fondements de la physique », qui présentait une dérivation axiomatique des équations de champ. Hilbert a toujours reconnu Einstein comme le conceptualisateur original de la théorie, et aucune controverse publique concernant la priorité des équations de champ n'a jamais surgi entre les deux chercheurs au cours de leur vie.

De plus, les recherches de Hilbert ont anticipé et facilité plusieurs avancées dans la formalisation mathématique de la mécanique quantique. Ses contributions ont été au cœur des travaux de Hermann Weyl et John von Neumann visant à démontrer l'équivalence mathématique entre la mécanique matricielle de Werner Heisenberg et l'équation d'onde d'Erwin Schrödinger. De plus, l’espace de Hilbert éponyme joue un rôle important dans la théorie quantique. En 1926, von Neumann démontra de manière concluante que si les états quantiques étaient conceptualisés comme des vecteurs dans l'espace de Hilbert, ils s'aligneraient à la fois sur la théorie de la fonction d'onde de Schrödinger et sur les matrices de Heisenberg.

Hilbert s'est consacré à inculquer la rigueur mathématique dans le domaine de la physique. Même si la physique s'appuie fortement sur les mathématiques avancées, les praticiens ont souvent fait preuve d'un manque de précision dans leur application. Pour un pur mathématicien comme Hilbert, cette imprécision était à la fois esthétiquement désagréable et intellectuellement opaque. En approfondissant sa compréhension de la physique et des méthodes mathématiques employées par les physiciens, il a formulé une théorie mathématique cohérente pour ses observations, notamment dans le domaine des équations intégrales. Lorsque son collègue Richard Courant a écrit l'ouvrage fondateur Methoden der mathematischen Physik (Méthodes de physique mathématique), incorporant certains des concepts de Hilbert, il a inclus le nom de Hilbert comme co-auteur, malgré le manque de contribution directe de Hilbert au manuscrit. Hilbert a fait remarquer : « La physique est trop difficile pour les physiciens », ce qui implique que la sophistication mathématique requise dépassait souvent leur portée ; la publication Courant-Hilbert a ensuite facilité leur engagement avec ces outils mathématiques complexes.

Théorie des nombres

Hilbert a fait progresser de manière significative l'unification de la théorie algébrique des nombres grâce à son traité de 1897, Zahlbericht (littéralement, « rapport sur les nombres »). Il a également résolu avec succès un problème de théorie des nombres initialement posé par Waring en 1770. Semblable à son théorème de finitude, Hilbert a utilisé une preuve d'existence, démontrant la certitude des solutions sans fournir de méthode constructive pour leur dérivation. Suite à cela, ses publications ultérieures sur le sujet furent limitées ; cependant, l'émergence des formes modulaires de Hilbert dans la thèse d'un étudiant a associé davantage son nom à un domaine de recherche important.

Il a proposé une série de conjectures relatives à la théorie des champs de classes. Ces concepts se sont avérés profondément influents et les contributions durables de Hilbert sont reconnues à travers la nomenclature du champ de classes de Hilbert et le symbole de Hilbert au sein de la théorie locale des champs de classes. La majorité de ces résultats ont été corroborés en 1930, en grande partie grâce aux travaux de Teiji Takagi.

Bien que Hilbert ne se soit pas concentré sur les domaines essentiels de la théorie analytique des nombres, son nom est associé à la conjecture Hilbert-Pólya, une connexion enracinée dans des origines anecdotiques. Ernst Hellinger, un ancien élève de Hilbert, a raconté un jour à André Weil que Hilbert avait déclaré lors d'un séminaire au début des années 1900 son espoir que la preuve de l'hypothèse de Riemann émergerait à la suite des recherches de Fredholm sur les équations intégrales comportant un noyau symétrique.

Travaux

Ses ouvrages scientifiques rassemblés, intitulés Gesammelte Abhandlungen, ont fait l'objet de plusieurs publications. Les versions initiales de ses articles contenaient de nombreuses inexactitudes techniques de gravité variable. Lors de la première publication de la collection, ces erreurs ont été rectifiées et il a été déterminé que de telles corrections pouvaient être mises en œuvre sans nécessiter de modifications majeures aux énoncés des théorèmes, à la singulière exception d'une prétendue preuve de l'hypothèse du continu. Néanmoins, les erreurs étaient suffisamment répandues et significatives pour qu'Olga Taussky-Todd ait eu besoin de trois ans pour achever les révisions nécessaires.

Concepts

Citations

Littérature primaire en traduction anglaise

Littérature primaire en traduction anglaise

• Ewald, William B., éd. (1996). De Kant à Hilbert : un livre source sur les fondements des mathématiques. Oxford, Royaume-Uni : Oxford University Press.
• 1927. "Les fondements des mathématiques", avec un commentaire de Weyl et une annexe de Bernays, 464-489.