John von Neumann

John von Neumann ( von NOY-mən ; hongrois : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 28 décembre 1903 – 8 février 1957) était un éminent mathématicien, physicien, informaticien et ingénieur hongro-américain. Son étendue intellectuelle était sans précédent parmi ses contemporains, englobant à la fois les sciences pures et appliquées, et il a apporté des contributions fondamentales dans de nombreuses disciplines, telles que les mathématiques, la physique, l'économie, l'informatique et les statistiques. Il a été le pionnier des fondements mathématiques de la physique quantique, de l'analyse fonctionnelle avancée et de la théorie des jeux considérablement développée, introduisant ou formalisant des concepts tels que les automates cellulaires, le constructeur universel et l'ordinateur numérique. Notamment, ses travaux théoriques sur l'auto-réplication sont antérieurs à l'élucidation de la structure de l'ADN.

John von Neumann ( von NOY-mən ; hongrois : Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒnˈjaːnoʃˈlɒjoʃ] ; décembre Né le 28 novembre 1903 - 8 février 1957) était un mathématicien, physicien, informaticien et ingénieur hongrois et américain. Von Neumann avait peut-être la couverture la plus large de tous les mathématiciens de son époque, intégrant les sciences pures et appliquées et apportant des contributions majeures à de nombreux domaines, notamment les mathématiques, la physique, l'économie, l'informatique et les statistiques. Il a été un pionnier dans la construction du cadre mathématique de la physique quantique, dans le développement de l'analyse fonctionnelle et dans la théorie des jeux, introduisant ou codifiant des concepts tels que les automates cellulaires, le constructeur universel et l'ordinateur numérique. Son analyse de la structure de l'auto-réplication a précédé la découverte de la structure de l'ADN.

Pendant la Seconde Guerre mondiale, von Neumann a été un contributeur clé au projet Manhattan. Il a formulé les modèles mathématiques qui sous-tendent les lentilles explosives essentielles aux armes nucléaires à implosion. Ses rôles consultatifs, avant et après la guerre, se sont étendus à de nombreuses organisations, notamment le Bureau de recherche et de développement scientifique, le laboratoire de recherche balistique de l'armée américaine, le projet d'armes spéciales des forces armées et le laboratoire national d'Oak Ridge. Dans les années 1950, au zénith de son influence, il présida plusieurs comités du ministère de la Défense, notamment le Comité d'évaluation des missiles stratégiques et le Comité consultatif scientifique de l'ICBM. De plus, il a été membre de l’influente Commission de l’énergie atomique, qui supervisait tout le développement national de l’énergie atomique. Aux côtés de Bernard Schriever et Trevor Gardner, il a joué un rôle central dans la conception et le développement des premiers programmes américains de missiles balistiques intercontinentaux (ICBM). Au cours de cette période, il a été reconnu comme l'autorité prééminente du pays en matière d'armes nucléaires et comme le principal scientifique de la défense au sein du département américain de la Défense.

Les profondes contributions de Von Neumann et ses prouesses intellectuelles exceptionnelles ont été largement acclamées par ses pairs en physique, en mathématiques et dans d'autres disciplines. Ses honneurs distingués incluent la Médaille de la Liberté et la nomination d'un cratère lunaire en sa reconnaissance.

Aperçu biographique et éducation

Lignée familiale

John von Neumann est né le 28 décembre 1903 à Budapest, Royaume de Hongrie (qui faisait alors partie de l'Autriche-Hongrie), dans une famille juive laïque et aisée. Son nom d'origine était Neumann János Lajos. Dans la nomenclature hongroise, le nom de famille précède les prénoms, qui se traduisent par John Louis en anglais.

Il était l'aîné de trois frères, Mihály (Michael) et Miklós (Nicholas) étant ses plus jeunes frères et sœurs. Son père, Neumann Miksa (également connu sous le nom de Max von Neumann), était un banquier titulaire d'un doctorat en droit. Miksa avait quitté Pécs pour s'installer à Budapest à la fin des années 1880. Son grand-père et son arrière-grand-père paternels sont originaires d'Ond (qui fait actuellement partie de Szerencs) dans le comté de Zemplén, au nord de la Hongrie. La mère de John était Kann Margit (Margaret Kann), dont les parents étaient Kann Jákab et Meisels Katalin, membres de la famille Meisels. Trois générations de la famille Kann ont résidé dans de vastes appartements situés au-dessus des bureaux de Kann-Heller à Budapest ; La famille immédiate de von Neumann occupait un appartement de 18 pièces au dernier étage.

Le 20 février 1913, l'empereur François-Joseph confère la noblesse hongroise au père de Jean en reconnaissance de ses services distingués au sein de l'Empire austro-hongrois. Par conséquent, la famille Neumann reçut l'appellation héréditaire Margittai, signifiant « de Margitta » (actuellement Marghita, Roumanie). Malgré l'absence de liens familiaux avec la ville, cette appellation a été choisie en hommage à Marguerite, un sentiment qui se retrouve dans les armoiries choisies, qui représentaient trois marguerites. Neumann János a ensuite adopté le nom margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), qu'il a ensuite germanisé en Johann von Neumann.

Un enfant prodige

John von Neumann a fait preuve de capacités prodigieuses dès son plus jeune âge. Lui, ainsi que ses frères et cousins, recevaient des instructions de gouvernantes. Conscient de l'importance du multilinguisme, le père de von Neumann a veillé à ce que les enfants reçoivent un enseignement scolaire en anglais, français, allemand et italien, en plus de leur hongrois natal. Des récits anecdotiques suggèrent qu'à l'âge de huit ans, von Neumann maîtrisait le calcul différentiel et intégral et qu'à douze ans, il aurait lu l'ouvrage fondateur de Borel, La Théorie des Fonctions. Sa curiosité intellectuelle s'est également étendue à l'histoire, comme en témoigne sa lecture de la série de 46 volumes sur l'histoire mondiale de Wilhelm Oncken, Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (Histoire générale dans les monographies). Une pièce dédiée au sein de l'appartement familial a été transformée en bibliothèque et espace de lecture.

En 1914, von Neumann s'inscrit au Lutheran Fasori Evangélikus Gimnázium. Eugene Wigner, qui était d'un an son aîné dans l'établissement, est rapidement devenu une connaissance proche.

Malgré l'insistance de son père pour qu'il fréquente une école à un niveau adapté à son âge, von Neumann a reçu un enseignement avancé auprès de tuteurs privés. À l'âge de 15 ans, il a commencé à étudier le calcul avancé sous la tutelle de l'analyste Gábor Szegő. Szegő aurait été tellement étonné par les aptitudes mathématiques et la compréhension rapide de von Neumann lors de leur première rencontre que, selon l'épouse de Szegő, il est rentré chez lui visiblement ému. À l'âge de 19 ans, von Neumann était l'auteur de deux articles mathématiques importants, le second proposant une définition contemporaine des nombres ordinaux qui remplaçait la formulation antérieure de Georg Cantor. Après avoir terminé ses études au gymnase, il a postulé avec succès et a reçu le prix Eötvös, un prestigieux prix national de mathématiques.

Études universitaires

Theodore von Kármán, un ami de von Neumann, a raconté que le père de von Neumann souhaitait que son fils poursuive une carrière dans l'industrie et avait demandé à von Kármán de le dissuader d'étudier les mathématiques. Par conséquent, von Neumann et son père ont déterminé que le génie chimique représentait la trajectoire de carrière la plus appropriée. Manquant de connaissances approfondies dans ce domaine, von Neumann a suivi un cours de chimie de deux ans sans diplôme à l'Université de Berlin. Par la suite, il réussit l'examen d'entrée à l'ETH Zurich en septembre 1923. Parallèlement, von Neumann s'inscrit à l'Université Pázmány Péter, alors connue sous le nom d'Université de Budapest, en tant que doctorant en mathématiques. Sa thèse impliquait une axiomatisation de la théorie des ensembles de Cantor. En 1926, il avait obtenu son diplôme d'ingénieur chimiste à l'ETH Zurich et avait simultanément réussi ses examens finaux de doctorat summa cum laude en mathématiques, avec une mineure en physique et chimie expérimentales, à l'Université de Budapest.

Par la suite, von Neumann s'est rendu à l'Université de Göttingen, soutenu par une bourse de la Fondation Rockefeller, pour poursuivre des études mathématiques auprès de David Hilbert. Hermann Weyl a rappelé qu'au cours de l'hiver 1926-1927, lui, von Neumann et Emmy Noether se promenaient fréquemment dans les "rues froides, humides et pluvieuses de Göttingen" après les cours, s'engageant dans des discussions sur les systèmes numériques hypercomplexes et leurs représentations.

Carrière et vie privée

L'habilitation de Von Neumann fut finalisée le 13 décembre 1927, conduisant à sa nomination comme Privatdozent à l'Université de Berlin en 1928, où il commença à enseigner. Il a notamment été le plus jeune individu jamais élu Privatdozent dans l'histoire de l'université. Au cours de cette période, il a maintenu une production prolifique, rédigeant environ un article important sur les mathématiques chaque mois. En 1929, il occupa brièvement un poste de Privatdozent à l'Université de Hambourg, cherchant de meilleures perspectives d'obtention d'un poste de professeur titulaire, avant de déménager à l'Université de Princeton en octobre de la même année en tant que maître de conférences invité en physique mathématique.

En 1930, von Neumann fut baptisé dans la foi catholique. Peu de temps après, il épousa Marietta Kövesi, une ancienne élève en économie de l'Université de Budapest. Leur fille, Marina, est née en 1935 et a ensuite poursuivi une carrière universitaire en tant que professeur. Le mariage du couple s'est conclu par un divorce le 2 novembre 1937. Par la suite, le 17 novembre 1938, von Neumann épousa Klára Dán.

En 1933, von Neumann accepta un poste de professeur titulaire à l'Institute for Advanced Study du New Jersey, suite à l'échec apparent du projet de l'institution de nommer Hermann Weyl. Il a ensuite anglicisé son prénom en John, tout en conservant le nom de famille aristocratique allemand von Neumann. Von Neumann est devenu citoyen américain naturalisé en 1937 et a rapidement cherché à rejoindre le corps de réserve des officiers de l'armée américaine en tant que lieutenant. Bien qu’il ait réussi les examens requis, sa candidature a été refusée en raison de son âge. En 1939, sa mère, ses frères et sa belle-famille émigrent aux États-Unis pour le rejoindre.

Klára et John von Neumann maintiennent une présence sociale active au sein de la communauté universitaire de Princeton. Leur résidence en planches blanches sur Westcott Road a été reconnue comme l'une des résidences privées les plus importantes de Princeton. John von Neumann portait toujours des costumes formels et était connu pour son appréciation du yiddish et de l'humour « décalé ». Il a souvent réalisé ses œuvres les plus significatives dans des environnements bruyants et non structurés. Alors qu'il résidait à Princeton, il aurait reçu des plaintes concernant sa pratique consistant à jouer de la musique de marche allemande à des volumes excessifs. Churchill Eisenhart a noté que von Neumann était capable d'assister à des réunions sociales jusqu'aux petites heures du matin et de donner ensuite une conférence à 8h30.

Von Neumann était largement reconnu pour sa volonté d'offrir des conseils scientifiques et mathématiques aux individus de tous niveaux de compétence. Selon Wigner, von Neumann a supervisé de manière informelle un plus grand volume de travail que tout autre mathématicien contemporain. Sa fille a souligné sa profonde préoccupation pour son héritage, englobant à la fois sa vie personnelle et l'impact durable de ses contributions intellectuelles.

Il était largement considéré comme un président de comité exceptionnel, faisant preuve de flexibilité sur les questions personnelles ou organisationnelles tout en restant ferme sur les sujets techniques. Herbert York a qualifié les nombreux « Comités Von Neumann » auxquels il a participé de remarquables tant pour leur méthodologie opérationnelle que pour leur productivité. La collaboration directe et étroite entre les comités dirigés par von Neumann et les organisations militaires ou commerciales compétentes a établi un modèle fondamental pour toutes les initiatives de missiles à longue portée de l’Armée de l’Air. De nombreuses connaissances de von Neumann ont exprimé leur perplexité quant à son engagement dans les affaires militaires et dans les structures de pouvoir plus larges. Stanisław Ulam a postulé que von Neumann nourrissait une admiration inavouée pour les individus ou les entités capables de façonner les opinions et les décisions des autres.

Von Neumann a soigneusement préservé ses compétences linguistiques acquises au cours de ses années de formation. Il parlait couramment le hongrois, le français, l'allemand et l'anglais et possédait des compétences conversationnelles en italien, yiddish, latin et grec ancien. Sa maîtrise de l’espagnol était comparativement moins bonne. Il a démontré une profonde passion et une compréhension encyclopédique de l’histoire ancienne, prenant plaisir à lire les historiens de la Grèce antique dans leur langue originale. Ulam a émis l'hypothèse que ces intérêts pourraient avoir influencé ses perspectives sur la trajectoire des événements futurs et les mécanismes fondamentaux de la nature humaine et du fonctionnement sociétal.

Aux États-Unis, le plus proche confident de von Neumann était le mathématicien Stanisław Ulam. Von Neumann a postulé qu'une partie importante de son raisonnement mathématique s'est déroulée de manière intuitive ; il se retirait souvent avec un problème non résolu et se réveillait avec sa solution. Ulam a observé que le processus cognitif de von Neumann semblait être plus auditif que visuel. Ulam a raconté : « Au-delà de son penchant pour l'esprit abstrait, il possédait une profonde appréciation – proche d'un appétit – pour des formes plus fondées de comédie et d'humour. »

Maladie et décès

En 1955, une masse découverte près de la clavicule de von Neumann a été diagnostiquée comme un cancer, provenant potentiellement du squelette, du pancréas ou de la prostate. Bien qu'il existe un consensus sur le fait que la tumeur avait métastasé, la localisation précise du cancer primitif reste un sujet de controverse. L'étiologie de la tumeur maligne pourrait avoir été liée à une exposition aux radiations au laboratoire national de Los Alamos. A l'approche de sa mort, il demanda un prêtre ; cependant, l'ecclésiastique a raconté plus tard que von Neumann tirait un réconfort minime de l'administration des derniers rites, restant profondément inquiet de la mort et incapable de l'accepter. Concernant ses perspectives religieuses, von Neumann aurait déclaré : « Étant donné le potentiel de damnation éternelle pour les non-croyants, il est plus rationnel d'adopter la croyance en fin de compte », une déclaration faisant référence au pari de Pascal. Il confia à sa mère : "Une entité divine existe probablement. De nombreux phénomènes sont plus facilement explicables avec une telle existence que sans elle."

Il est décédé catholique le 8 février 1957, à l'âge de 53 ans, à l'hôpital médical militaire Walter Reed, et a été enterré au cimetière de Princeton.

Mathématiques

Théorie des ensembles

Les tentatives du début du XXe siècle visant à établir les mathématiques sur la théorie naïve des ensembles se sont heurtées à un obstacle important avec le paradoxe de Russell, qui concernait l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Le défi de formuler une axiomatisation complète pour la théorie des ensembles a été implicitement abordé environ deux décennies plus tard par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel. La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel a introduit un cadre de principes facilitant la construction d'ensembles couramment utilisés dans la pratique mathématique, mais elle n'a pas explicitement exclu l'existence potentielle d'un ensemble se contenant lui-même. Dans sa thèse de doctorat de 1925, von Neumann a présenté deux méthodologies pour exclure de tels ensembles : l'axiome de fondation et le concept de classe.

L'axiome de fondation postule que tous les ensembles sont construits hiérarchiquement, suivant les principes de Zermelo-Fraenkel. Cela implique que si un ensemble est un élément d’un autre, il doit précéder ce dernier dans la hiérarchie fondamentale, empêchant ainsi un ensemble d’être un élément de lui-même. Pour établir la cohérence de ce nouvel axiome avec les axiomes existants, von Neumann a développé la méthode des modèles internes, qui est devenue par la suite un outil crucial dans la théorie des ensembles.

Une deuxième stratégie pour aborder la question des ensembles se contenant eux-mêmes est basée sur le concept de classe. Dans ce cadre, un ensemble est défini comme une classe qui est un élément d'autres classes, tandis qu'une classe appropriée est définie comme une classe qui n'est un élément d'aucune autre classe. Dans le système axiomatique de Zermelo-Fraenkel, la construction d'un ensemble contenant tous les ensembles qui ne s'appartiennent pas est empêchée par les axiomes. À l'inverse, le cadre de von Neumann permet la construction d'une telle collection, mais elle est classée comme une classe propre plutôt que comme un ensemble.

Dans l'ensemble, la principale réalisation de von Neumann en théorie des ensembles impliquait « l'axiomatisation de la théorie des ensembles et (liée à cela) la théorie élégante des nombres ordinaux et cardinaux ainsi que la première formulation stricte des principes de définitions par l'induction transfinie ».

Le paradoxe de Von Neumann

En s'appuyant sur le paradoxe de Felix Hausdorff de 1914, Stefan Banach et Alfred Tarski ont démontré en 1924 comment une boule tridimensionnelle pouvait être divisée en ensembles disjoints, qui pouvaient ensuite être translatés et tournés pour construire deux copies identiques de la boule originale ; ce phénomène est connu sous le nom de paradoxe Banach-Tarski. Ils ont en outre établi qu’un disque bidimensionnel n’admet pas une décomposition aussi paradoxale. Cependant, en 1929, von Neumann obtint un résultat similaire pour un disque en le subdivisant en un nombre fini de morceaux et en les réassemblant en deux disques, en utilisant des transformations affines préservant la surface plutôt que des traductions et des rotations. Ce résultat reposait sur l'identification de groupes libres de transformations affines, une méthodologie importante que von Neumann a ensuite élaborée dans ses recherches sur la théorie de la mesure.

Théorie de la preuve

Les contributions de Von Neumann à la théorie des ensembles ont permis à son système axiomatique de surmonter les incohérences présentes dans les systèmes antérieurs, l'établissant ainsi comme une base viable pour les mathématiques, malgré l'absence de preuve de cohérence. L'enquête ultérieure visait à savoir si ce système offrait des solutions concluantes à tous les problèmes mathématiques exprimables dans son cadre, ou s'il pouvait être amélioré en incorporant des axiomes plus robustes pour faciliter la preuve d'un plus large éventail de théorèmes.

En 1927, von Neumann participa activement aux discussions à Göttingen concernant la dérivation de l'arithmétique élémentaire à partir des axiomes de Peano. S'appuyant sur les recherches d'Ackermann, il a lancé des efforts pour démontrer la cohérence de l'arithmétique du premier ordre, en employant les méthodologies finistes caractéristiques de l'école de Hilbert. Il a réussi à établir la cohérence d'un fragment spécifique de l'arithmétique des nombres naturels en imposant des restrictions sur l'induction. Par la suite, il chercha une preuve plus complète de la cohérence des mathématiques classiques, en utilisant des techniques de la théorie de la preuve.

Une réponse négative définitive à la question de l'exhaustivité apparut en septembre 1930 lors de la deuxième conférence sur l'épistémologie des sciences exactes, où Kurt Gödel présenta son premier théorème d'incomplétude. Ce théorème affirmait que les systèmes axiomatiques conventionnels sont intrinsèquement incomplets, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas prouver toutes les affirmations vraies exprimables dans leur langage formel. De plus, toute extension cohérente de ces systèmes conserve inévitablement ce caractère incomplet. Au cours de la conférence, von Neumann a proposé à Gödel de s'efforcer d'adapter ses découvertes aux propositions indécidables concernant les nombres entiers.

En moins d'un mois, von Neumann informa Gödel d'une implication significative de son théorème : les systèmes axiomatiques standards n'ont pas intrinsèquement la capacité de prouver leur propre cohérence. Gödel a répondu, déclarant qu'il avait identifié de manière indépendante ce résultat, désormais reconnu comme son deuxième théorème d'incomplétude, et qu'il avait l'intention d'envoyer une prépublication de son prochain article englobant les deux découvertes, bien que cette publication ne se soit jamais concrétisée. Par la suite, von Neumann a reconnu la préséance de Gödel dans leur correspondance. Néanmoins, l'approche démonstrative de von Neumann divergeait de celle de Gödel, et il soutenait que le deuxième théorème d'incomplétude avait un impact plus profond sur le programme de Hilbert que ce que Gödel avait initialement perçu. Cette révélation a fondamentalement modifié la perspective de von Neumann sur la rigueur mathématique, l'incitant à interrompre ses recherches sur les aspects fondamentaux des mathématiques et des métamathématiques, réorientant ses efforts vers des problèmes appliqués.

Théorie ergodique

En 1932, von Neumann a publié une série d'articles qui ont établi des contributions fondamentales à la théorie ergodique, une discipline mathématique concernée par les états des systèmes dynamiques possédant une mesure invariante. À propos de ces publications de 1932 sur la théorie ergodique, Paul Halmos affirmait qu'elles seules « auraient suffi à lui garantir l'immortalité mathématique », même si von Neumann n'avait entrepris aucun autre travail. À cette époque, von Neumann était déjà l'auteur de ses travaux fondateurs sur la théorie des opérateurs, et les principes dérivés de ces recherches se sont révélés cruciaux dans la formulation de son théorème ergodique moyen.

Ce théorème concerne les groupes unitaires arbitraires à un paramètre ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$ et affirme que pour chaque vecteur ${\displaystyle \phi }$ dans l'espace de Hilbert, la limite lim T →<!-- → --> ∞<!-- ∞ --> §7475§ T ∫ §8586§ T V t ( ϕ ) d t {\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt} existe selon la métrique définie par la norme Hilbert. Cette limite est un vecteur ${\displaystyle \psi }$ tel que ${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$ pour tous ${\displaystyle t}$. Ce résultat a été établi dans la publication initiale. Dans l'article suivant, von Neumann a soutenu que ces résultats fournissaient une base adéquate pour des applications physiques pertinentes à l'hypothèse ergodique de Boltzmann. En outre, il a noté que l'ergodicité complète restait inatteignable et a identifié cela comme un domaine de recherche ultérieur.

Plus tard cette année-là, il a publié un autre article fondateur, lançant l'enquête systématique sur l'ergodicité. Dans ce travail, il a présenté et démontré un théorème de décomposition, illustrant que les actions ergodiques préservant la mesure sur la ligne réelle constituent les éléments fondamentaux à partir desquels toutes les actions préservant la mesure peuvent être construites. De plus, plusieurs autres théorèmes cruciaux ont été introduits et rigoureusement prouvés. Les résultats présentés dans cet article, ainsi que ceux d'un autre travail collaboratif avec Paul Halmos, possèdent des implications substantielles dans divers domaines mathématiques.

Théorie de la mesure

Dans la théorie de la mesure, le « problème de mesure » pour un espace euclidien ndimensionnel Rⁿ concerne l'existence d'une fonction d'ensemble positive, normalisée, invariante et additive applicable à tous les sous-ensembles de Rⁿ. Les recherches de Felix Hausdorff et Stefan Banach ont indiqué une résolution positive de ce problème lorsque n = 1 ou n = 2, mais négative dans tous les autres scénarios, principalement en raison du paradoxe Banach-Tarski. Von Neumann a soutenu que « le problème est essentiellement de caractère théorique des groupes », suggérant que l'existence d'une mesure pourrait être vérifiée en examinant les propriétés du groupe de transformation associé à l'espace spécifique. Le résultat positif pour les espaces à deux dimensions au plus et le résultat négatif pour les dimensions supérieures proviennent de la solvabilité du groupe euclidien dans le premier cas et de son insolvabilité dans le second. Par conséquent, von Neumann a postulé que le facteur critique était l’altération du groupe plutôt que la modification de l’espace lui-même. Vers 1942, il communiqua à Dorothy Maharam une méthode pour démontrer que tout espace de mesure σ-fini complet possède une levée multiplicative ; cependant, il n'a pas publié cette preuve et elle a ensuite développé une alternative.

Dans plusieurs publications de von Neumann, les méthodologies qu'il a utilisées sont souvent considérées comme plus percutantes que les résultats réels. Avant ses recherches ultérieures sur la théorie des dimensions au sein des algèbres d'opérateurs, von Neumann a appliqué les principes d'équivalence par décomposition finie, reformulant ainsi le problème de la mesure en termes fonctionnels. Une contribution significative de von Neumann à la théorie de la mesure provient d'un article traitant de l'enquête de Haar sur l'existence d'une algèbre comprenant toutes les fonctions bornées sur la droite numérique réelle, qui constituerait « un système complet de représentants des classes de fonctions bornées mesurables presque partout égales ». Il a démontré affirmativement cette existence et, dans des collaborations ultérieures avec Stone, a exploré diverses généralisations et facettes algébriques du problème. En outre, il a établi l’existence de désintégrations pour divers types de mesures générales en utilisant de nouvelles méthodologies. Von Neumann a en outre fourni une nouvelle preuve du caractère unique des mesures de Haar, en utilisant les valeurs moyennes des fonctions ; cependant, cette approche était limitée aux groupes compacts. Pour étendre cela à des groupes compacts localement, il fut obligé de concevoir des techniques entièrement nouvelles. Il a également présenté une preuve innovante et ingénieuse du théorème de Radon-Nikodym. Ses notes de cours sur la théorie de la mesure, délivrées à l'Institute for Advanced Study, ont constitué une ressource cruciale pour les connaissances sur le sujet en Amérique à cette époque et ont ensuite été publiées.

Groupes topologiques

S'appuyant sur ses recherches antérieures en théorie de la mesure, von Neumann a fait progresser de manière significative la théorie des groupes topologiques, en commençant par une publication sur les fonctions presque périodiques sur les groupes, dans laquelle il a élargi la théorie de Bohr pour englober les groupes arbitraires. Il a développé ce domaine grâce à un article collaboratif avec Bochner, qui a affiné la théorie de la quasi-périodicité pour incorporer des fonctions dont les valeurs étaient des éléments d'espaces linéaires plutôt que des nombres scalaires. En 1938, il reçut le Bôcher Memorial Prize en reconnaissance de ses contributions analytiques liées à ces publications.

Dans une publication de 1933, von Neumann appliqua la mesure de Haar récemment introduite pour résoudre le cinquième problème de Hilbert spécifiquement pour les groupes compacts. Le concept fondamental qui sous-tend cette solution est apparu plusieurs années auparavant, lorsque l'article de von Neumann sur les propriétés analytiques des groupes de transformations linéaires a révélé que les sous-groupes fermés d'un groupe linéaire général sont effectivement des groupes de Lie. Cette découverte a ensuite été généralisée par Cartan aux groupes de Lie arbitraires, formalisé sous le nom de théorème des sous-groupes fermés.

Analyse fonctionnelle

John von Neumann a été le pionnier de la définition axiomatique d'un espace de Hilbert abstrait, le caractérisant comme un espace vectoriel complexe doté d'un produit scalaire hermitien, où la norme correspondante présente à la fois la séparabilité et l'exhaustivité. Dans les mêmes publications, il établit également la forme générale de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, qui n’avait été reconnue auparavant que par des cas spécifiques. Ses contributions s'étendent au développement de la théorie spectrale des opérateurs dans l'espace de Hilbert, détaillées dans trois articles influents publiés entre 1929 et 1932. Ce travail fondateur a culminé dans son traité, Fondements mathématiques de la mécanique quantique, qui, aux côtés des travaux contemporains de Stone et Banach, représentait les monographies inaugurales sur la théorie de l'espace de Hilbert. Reconnaissant les limites des séquences dans le développement d'une théorie des topologies faibles, von Neumann a lancé un programme pour relever ces défis, conduisant à ses définitions révolutionnaires des espaces localement convexes et des espaces vectoriels topologiques. En outre, plusieurs autres propriétés topologiques qu'il a introduites au cours de cette période, telles que la limite et la limite totale - reflétant ses premières applications des concepts topologiques de Hausdorff, des espaces euclidiens aux espaces de Hilbert - restent fondamentales aujourd'hui. Pendant deux décennies, von Neumann a été largement considéré comme l’autorité prééminente dans ce domaine. Ces progrès étaient principalement motivés par les exigences de la mécanique quantique, où von Neumann a identifié la nécessité d'étendre la théorie spectrale des opérateurs hermitiens des cas limités aux cas illimités. D'autres réalisations importantes détaillées dans ces articles incluent une élucidation complète de la théorie spectrale pour les opérateurs normaux, la formulation abstraite initiale de la trace d'un opérateur positif, une généralisation de la présentation contemporaine par Riesz des théorèmes spectraux de Hilbert et la distinction cruciale entre les opérateurs hermitiens et auto-adjoints dans un espace de Hilbert. Cette distinction lui a permis de caractériser tous les opérateurs hermitiens qui prolongent un opérateur hermitien donné. Il est également l'auteur d'un article démontrant l'insuffisance des matrices infinies, alors outil courant en théorie spectrale, pour représenter les opérateurs hermitiens. Ses travaux approfondis sur la théorie des opérateurs ont finalement conduit à sa contribution la plus profonde aux mathématiques pures : l'étude systématique des algèbres de von Neumann et, plus largement, des algèbres d'opérateurs.

Des recherches ultérieures sur les anneaux d'opérateurs ont incité von Neumann à réexaminer sa théorie spectrale, en introduisant une nouvelle approche pour analyser ses aspects géométriques grâce à l'application d'intégrales directes des espaces de Hilbert. Semblable à ses contributions à la théorie de la mesure, il a établi plusieurs théorèmes qui sont restés inédits en raison de contraintes de temps. Il a informé Nachman Aronszajn et K. T. Smith qu'au début des années 1930, alors qu'il s'occupait du problème des sous-espaces invariants, il avait démontré l'existence de sous-espaces invariants appropriés pour des opérateurs complètement continus au sein d'un espace de Hilbert.

En collaboration avec I. J. Schoenberg, von Neumann est l'auteur de plusieurs ouvrages explorant les métriques hilbertiennes invariantes par traduction sur la droite numérique réelle, aboutissant à leur classification complète. L'impulsion de cette recherche est venue de diverses recherches concernant l'intégration d'espaces métriques dans les espaces de Hilbert.

En collaboration avec Pascual Jordan, von Neumann a co-écrit un article concis qui fournissait la dérivation initiale d'une norme à partir d'un produit interne en utilisant l'identité du parallélogramme. Son inégalité de trace constitue un résultat essentiel de la théorie des matrices, fréquemment appliquée aux problèmes d'approximation matricielle. En outre, il a été le premier à introduire le concept selon lequel le dual d'une pré-norme constitue une norme, présenté dans un article fondateur sur la théorie des normes unitairement invariantes et des fonctions de jauge symétriques, désormais reconnues comme des normes absolues symétriques. Cette publication particulière a naturellement ouvert la voie à l'étude des idéaux des opérateurs symétriques et sert de texte fondateur pour la recherche contemporaine sur les espaces d'opérateurs symétriques.

En collaboration avec Robert Schatten, il a été le pionnier de l'investigation des opérateurs nucléaires dans les espaces de Hilbert et des produits tensoriels des espaces de Banach. Leur travail consistait à introduire et à analyser les opérateurs de classe trace, leurs idéaux associés et leurs doubles relations avec les opérateurs compacts, ainsi que leur prédualité avec les opérateurs limités. Les premières réalisations d'Alexander Grothendieck comprenaient l'extension de ce concept aux opérateurs nucléaires des espaces Banach. Avant cela, en 1937, von Neumann avait déjà publié des résultats importants dans ce domaine, tels que l'établissement d'une échelle à un paramètre de normes croisées distinctes sur ${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$, et démontrant divers autres résultats pertinents par rapport à ce qui est maintenant reconnu comme les idéaux de Schatten-von Neumann.

Algèbres d'opérateurs

Von Neumann a établi le domaine des anneaux d'opérateurs, notamment grâce au développement des algèbres de von Neumann, initialement appelées algèbres W*. Bien que ses concepts fondamentaux pour les anneaux d'opérateur aient émergé en 1930, ses recherches intensives sur ces anneaux n'ont commencé qu'après sa rencontre ultérieure avec F. J. Murray. Une algèbre de von Neumann est formellement définie comme une *-algèbre d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert, caractérisée par sa fermeture dans la topologie des opérateurs faibles et son inclusion de l'opérateur d'identité. Le théorème bicommutant de von Neumann démontre l'équivalence entre cette définition analytique et une définition purement algébrique, affirmant qu'elle est égale à son bicommutant. Suite à sa clarification du scénario de l'algèbre commutative, von Neumann, avec la collaboration partielle de Murray, a lancé l'enquête sur le cas non commutatif en 1936, en se concentrant sur l'étude générale des facteurs et la classification des algèbres de von Neumann. Les six articles fondateurs qu'il a rédigés entre 1936 et 1940 et qui ont élaboré cette théorie, sont considérés comme des « chefs-d'œuvre de l'analyse du XXe siècle ». Ces travaux ont compilé de nombreux résultats fondamentaux et inauguré plusieurs programmes de recherche en théorie de l’algèbre des opérateurs qui ont engagé les mathématiciens pendant de nombreuses décennies. Un exemple notable est la classification des facteurs. De plus, en 1938, il démontra que toute algèbre de von Neumann sur un espace de Hilbert séparable peut être exprimée comme une intégrale directe de facteurs ; cependant, cette découverte n'a été publiée qu'en 1949. Les algèbres de Von Neumann sont intimement liées à une théorie de l'intégration non commutative, un concept auquel von Neumann a fait allusion dans son travail mais n'a pas explicitement formalisé. Une autre contribution importante, concernant la décomposition polaire, fut publiée en 1932.

Théorie des réseaux

De 1935 à 1937, von Neumann a consacré ses efforts à la théorie des réseaux, qui examine les ensembles partiellement ordonnés dans lesquels deux éléments quelconques possèdent à la fois une plus grande limite inférieure et une plus petite limite supérieure. Garrett Birkhoff a notamment fait remarquer que « l'esprit brillant de John von Neumann a brillé sur la théorie des réseaux comme un météore ». Von Neumann a intégré la géométrie projective classique aux structures algébriques contemporaines, notamment l'algèbre linéaire, la théorie des anneaux et la théorie du réseau. Cette synthèse a permis la réinterprétation de nombreuses découvertes géométriques antérieures dans le contexte de modules généraux sur les anneaux. Ses contributions ont été fondamentales pour les développements ultérieurs de la géométrie projective moderne.

Sa contribution la plus significative a été l'établissement de la géométrie continue en tant que domaine mathématique distinct. Ce développement est né de ses recherches pionnières sur les anneaux d’opérateurs. En mathématiques, la géométrie continue sert d'alternative à la géométrie projective complexe. Contrairement à la géométrie projective complexe, où la dimension d'un sous-espace appartient à un ensemble discret, tel que §67§ , §1011§ , . . . , n {\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}} , en géométrie continue, la dimension peut être n'importe quel élément dans l'intervalle unitaire [ §4445§ , §4849§ ] {\displaystyle [0,1]} . Auparavant, Menger et Birkhoff avaient établi un cadre axiomatique pour la géométrie projective complexe basé sur les caractéristiques de son réseau de sous-espaces linéaires. S'appuyant sur ses travaux sur les anneaux d'opérateurs, von Neumann a ensuite affiné ces axiomes pour délimiter une catégorie plus large de réseaux, qu'il a appelé géométries continues.

Contrairement aux géométries projectives, où les dimensions du sous-espace constituent un ensemble discret (en particulier, les entiers non négatifs), les dimensions des éléments au sein d'une géométrie continue peuvent varier de façon continue sur l'intervalle unitaire [ §89§ , §1213§ ] {\displaystyle [0,1]} . La motivation de Von Neumann provenait de son identification des algèbres de von Neumann possédant une fonction dimensionnelle qui donnait un spectre continu de dimensions. Notamment, l'instance initiale d'une géométrie continue distincte de l'espace projectif a été observée dans les projections du facteur hyperfini de type II.

Dans son travail plus abstrait sur la théorie des réseaux, von Neumann a relevé avec succès le défi complexe de la définition de la classe de ${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$. Cette classe représente une géométrie projective de dimension continue sur un anneau de division arbitraire ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$, articulé en utilisant le formalisme abstrait de la théorie des réseaux. Il a en outre présenté une enquête abstraite sur la dimension au sein de réseaux topologiques modulaires complétés et complétés, qui sont des propriétés inhérentes aux réseaux de sous-espaces d'espaces de produits internes.

La dimension est définie de manière unique, permettant une transformation linéaire positive, par deux propriétés fondamentales. Il reste invariant sous les mappages de perspective, également appelés perspectivités, et maintient l'ordre grâce à l'inclusion. L'aspect le plus complexe de la preuve établit l'équivalence entre la perspective et la « projectivité par décomposition », dont découle directement la transitivité de la perspective.

Pour tout entier ${\displaystyle n>3}$, tous les ${\displaystyle {\mathit {n}}}$-la géométrie projective abstraite dimensionnelle est isomorphe au sous-réseau d'un ${\displaystyle {\mathit {n}}}$espace vectoriel dimensionnel ${\displaystyle V_{n}(F)>$ sur un anneau de division correspondant unique ${\displaystyle F}$. Ce principe est formellement reconnu sous le nom de théorème de Veblen-Young. Par la suite, von Neumann a étendu ce résultat fondamental de la géométrie projective pour englober le domaine dimensionnel continu. Ce théorème de coordination a considérablement fait progresser la recherche en géométrie projective abstraite et en théorie du réseau, une grande partie des travaux ultérieurs employant les méthodologies de von Neumann. Birkhoff a articulé ce théorème comme suit :

Tout réseau modulaire complémenté L possédant une "base" de n ≥ 4 éléments de perspective par paires est isomorphe au réseau ℛ(R) comprenant tous les principaux idéaux droits d'un anneau régulier approprié. R. Ce théorème représente l'apogée de 140 pages d'un travail algébrique exceptionnellement brillant et pénétrant, qui a introduit des fondements axiomatiques entièrement nouveaux. Pour vraiment saisir l'extraordinaire acuité intellectuelle de von Neumann, il suffit d'essayer de suivre cette progression logique précise, sachant qu'il composait fréquemment cinq pages de ce type de matériel avant le petit-déjeuner, alors qu'il était assis à une table d'écriture dans son salon.

Le développement de cette théorie a nécessité l'introduction d'anneaux réguliers. Plus précisément, un anneau régulier de von Neumann est défini comme un anneau dans lequel, pour chaque élément ${\displaystyle a}$, il existe un élément ${\displaystyle x>$ satisfaisant la condition ${\displaystyle axa=a>$. Ces anneaux proviennent et sont intrinsèquement liés à ses recherches sur les algèbres de von Neumann, en plus des algèbres AW* et de diverses catégories d'algèbres C*.

Au cours de la formulation et de la démonstration des théorèmes susmentionnés, de nombreux résultats techniques auxiliaires ont été établis, notamment concernant la distributivité, y compris la distributivité infinie, que von Neumann a développée ad hoc. En outre, il a formulé une théorie des évaluations au sein des réseaux et a contribué à l'avancement de la théorie générale des réseaux métriques.

Birkhoff a observé dans sa publication posthume concernant von Neumann que la majorité de ces résultats ont émergé d'une période de recherche intensive de deux ans. Bien que von Neumann ait maintenu un intérêt pour la théorie des réseaux au-delà de 1937, cet engagement est devenu secondaire, se manifestant principalement dans la correspondance avec d'autres mathématiciens. Une contribution finale en 1940 impliquait un séminaire collaboratif avec Birkhoff à l'Institute for Advanced Study, au cours duquel von Neumann a élaboré une théorie des anneaux ordonnés en réseau σ-complet. Cependant, cet ouvrage n'a jamais été officiellement préparé pour publication.

Statistiques mathématiques

Von Neumann a considérablement fait progresser le domaine des statistiques mathématiques. En 1941, il détermine avec précision la distribution du rapport entre le carré moyen des différences successives et la variance de l'échantillon pour des variables indépendantes et identiquement distribuées normalement. Ce rapport spécifique a ensuite été appliqué aux résidus des modèles de régression et est maintenant largement reconnu comme la statistique de Durbin-Watson, utilisée pour évaluer l'hypothèse nulle d'erreurs indépendantes en série par rapport à l'hypothèse alternative d'erreurs suite à une autorégression stationnaire de premier ordre.

Par la suite, Denis Sargan et Alok Bhargava ont développé ces résultats pour développer des tests déterminant si les termes d'erreur dans un modèle de régression présentent une marche aléatoire gaussienne (c'est-à-dire, indiquant la présence d'une racine unitaire), par opposition à l'hypothèse alternative selon laquelle ils constituent un processus autorégressif stationnaire de premier ordre.

Efforts de recherche supplémentaires

Au début de sa carrière, von Neumann est l'auteur de plusieurs publications sur l'analyse réelle de la théorie des ensembles et la théorie des nombres. Un article de 1925 a présenté sa preuve démontrant que toute séquence dense de points dans l'intervalle [ §89§ , §1213§ ] {\displaystyle [0,1]> pourrait être réorganisé pour obtenir une distribution uniforme. Sa seule publication en 1926 portait sur la théorie des nombres algébriques idéaux de Prüfer, où il introduisit une nouvelle méthode de construction. Ce travail a élargi la théorie de Prüfer pour englober l'ensemble du domaine des nombres algébriques et a élucidé leur relation avec les nombres p-adiques. En 1928, il publia deux autres articles développant ces concepts mathématiques. L'article initial abordait le problème de la partition d'un intervalle en une collection dénombrable de sous-ensembles congruents. Cette recherche a résolu une question posée par Hugo Steinhaus, à savoir spécifiquement si un intervalle est ℵ<!-- ℵ --> §3536§ {\displaystyle \aleph _{0}} -divisible. Von Neumann a démontré de manière concluante que tous les types d'intervalles – semi-ouverts, ouverts et fermés – sont effectivement ℵ<!-- ℵ --> §5859§ {\displaystyle \aleph _{0}} -divisibles à travers les traductions, ce qui signifie qu'elles peuvent être décomposées en ℵ<!-- ℵ --> §8182§ {\displaystyle \aleph _{0}} sous-ensembles congrus via la traduction. L'article suivant a présenté une preuve constructive, indépendante de l'axiome de choix, établissant l'existence de §100101§ ℵ<!-- ℵ --> §108109§ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} nombres réels algébriquement indépendants.Il a démontré que les valeurs A r = ∑<!-- ∑ --> n = §148149§ ∞ §158159§ §162163§ [ n r ] / §188189§ §192193§ n §199200§ {\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}> sont algébriquement indépendants lorsque 227§ {\displaystyle r>0} . Cela implique l'existence d'un ensemble parfait et algébriquement indépendant de nombres réels, équivalent en cardinalité au continuum. Des contributions supplémentaires, moins importantes de son début de carrière, comprennent une preuve d'un principe maximum pour le gradient d'une fonction minimisante dans le calcul des variations, ainsi qu'une simplification mineure du théorème de Hermann Minkowski concernant les formes linéaires dans la théorie géométrique des nombres. Par la suite, en collaboration avec Pascual Jordan et Eugene Wigner, il a co-écrit un article fondateur. Ce travail a classé toutes les algèbres de Jordan formellement réelles de dimension finie et a conduit à la découverte des algèbres d'Albert, émergeant de leur recherche d'un cadre mathématique amélioré pour la théorie quantique. En 1936, von Neumann s'est efforcé de faire avancer l'initiative consistant à remplacer les axiomes de son précédent programme spatial Hilbert par ceux des algèbres de Jordan, comme l'explore un article examinant le scénario de dimension infinie. Bien qu’il ait l’intention de publier au moins un autre article sur ce sujet, celui-ci n’est pas écrit. Néanmoins, ces axiomes fondamentaux ont ensuite servi de base à de nouvelles recherches sur la mécanique quantique algébrique, initiées par Irving Segal.

Physique

Mécanique quantique

John von Neumann a été le pionnier de l'établissement d'un cadre mathématique rigoureux pour la mécanique quantique, formalisé sous la forme des axiomes Dirac-von Neumann, dans sa publication phare de 1932, Fondements mathématiques de la mécanique quantique. Suite à ses travaux sur l'axiomatisation de la théorie des ensembles, von Neumann a orienté ses efforts vers l'axiomatisation de la mécanique quantique. En 1926, il avait conceptualisé que l'état d'un système quantique pouvait être représenté comme un point dans un espace de Hilbert complexe, qui pouvait être de dimension infinie même pour une particule solitaire. Dans ce formalisme de la mécanique quantique, les quantités observables, telles que la position ou l'impulsion, sont représentées comme des opérateurs linéaires agissant sur l'espace de Hilbert lié au système quantique.

Par conséquent, la physique de la mécanique quantique a été effectivement transformée en mathématiques des espaces de Hilbert et de leurs opérateurs linéaires associés. Par exemple, le principe d'incertitude, qui postule que la détermination précise de la position d'une particule exclut la détermination précise simultanée de sa quantité de mouvement, et vice versa, est mathématiquement exprimé par la non-commutativité de leurs opérateurs respectifs. Ce cadre mathématique innovant englobait à la fois les formulations de Heisenberg et de Schrödinger en tant qu'instances spécifiques.

L'approche abstraite de Von Neumann lui a permis d'aborder le débat fondamental entre déterminisme et non-déterminisme. Dans son livre, il présente une preuve affirmant que les résultats statistiques de la mécanique quantique ne peuvent pas provenir des moyennes d'un ensemble sous-jacent de « variables cachées » déterminées, contrairement à la mécanique statistique classique. Cependant, en 1935, Grete Hermann publia un article affirmant que la preuve de von Neumann contenait un défaut conceptuel, la rendant invalide. La critique d'Hermann est restée largement inaperçue jusqu'à ce que John S. Bell avance indépendamment un argument similaire en 1966. Plus récemment, en 2010, Jeffrey Bub a soutenu que Bell avait mal interprété la preuve originale de von Neumann, précisant que même si la preuve n'invalidait pas toutes les théories des variables cachées, elle excluait effectivement un sous-ensemble spécifique et significatif. Bub a en outre postulé que von Neumann lui-même était conscient de cette limitation et ne prétendait pas que sa preuve réfutait universellement les théories des variables cachées. Cependant, la véracité de l’interprétation de Bub est également sujette à débat. Par la suite, le théorème de Gleason en 1957 a proposé un argument alternatif contre les variables cachées, s'alignant sur l'orientation générale de von Neumann mais basé sur des hypothèses considérées comme plus robustes et physiquement pertinentes.

La preuve de Von Neumann a lancé une trajectoire de recherche importante qui, grâce au développement ultérieur du théorème de Bell et des expériences d'Alain Aspect en 1982, a finalement démontré que la physique quantique nécessite soit une notion de réalité fondamentalement distinct de la physique classique ou de l'inclusion de la non-localité, qui contrevient apparemment à la relativité restreinte.

Dans un chapitre de Les fondements mathématiques de la mécanique quantique, von Neumann a mené une analyse approfondie du problème de mesure. Il a postulé que la totalité de l’univers physique pourrait être englobée par une fonction d’onde universelle. Étant donné la nécessité d'un facteur externe pour provoquer l'effondrement de la fonction d'onde, von Neumann en a déduit que cet effondrement était provoqué par la conscience de l'expérimentateur. Il soutenait que le cadre mathématique de la mécanique quantique permettait de localiser l'effondrement de la fonction d'onde en tout point de la séquence causale, s'étendant de l'appareil de mesure à la « conscience subjective » de l'observateur humain. Essentiellement, même si la démarcation entre observateur et observé peut être positionnée de manière flexible, la théorie ne conserve sa cohérence que si un observateur est présent quelque part. Malgré son acceptation par Eugene Wigner, cette interprétation, attribuant l'effondrement à la conscience, n'a pas été largement acceptée au sein de la communauté physique au sens large.

Alors que les théories de la mécanique quantique continuent de progresser, le formalisme mathématique fondamental pour résoudre les problèmes de mécanique quantique, qui sous-tend la plupart des approches contemporaines, provient des formalismes et des techniques mis au point par von Neumann. Par conséquent, les discussions en cours concernant l'interprétation de la théorie et ses extensions reposent en grande partie sur des hypothèses mathématiques fondamentales communes.

Arthur Wightman, physicien mathématicien, affirmait en 1974 que l'axiomisation de la théorie quantique de von Neumann, considérée comme une contribution à la résolution du sixième problème de Hilbert, représentait potentiellement l'axiomisation la plus significative d'une théorie physique réalisée à cette époque. Grâce à sa publication de 1932, la mécanique quantique a évolué vers une théorie mature, caractérisée par une formulation mathématique précise qui a facilité la résolution sans ambiguïté des défis conceptuels. Malgré ces réalisations, von Neumann a exprimé plus tard une perception de succès incomplet dans cette entreprise scientifique, notant que, malgré le vaste appareil mathématique qu'il a conçu, il n'avait pas établi un cadre mathématique complet et satisfaisant pour la théorie quantique dans son intégralité.

Entropie de Von Neumann

Dans le cadre de la théorie de l'information quantique, l'entropie de von Neumann trouve de nombreuses applications dans diverses formulations, notamment l'entropie conditionnelle et l'entropie relative. Les mesures d'intrication sont dérivées de quantités directement corrélées à l'entropie de von Neumann. Pour un ensemble statistique de systèmes de mécanique quantique caractérisé par la matrice de densité ${\displaystyle \rho }$, l'entropie de von Neumann est définie comme ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$ De nombreuses mesures d'entropie issues de la théorie classique de l'information, telles que l'entropie Holevo et l'entropie quantique conditionnelle, sont adaptables au domaine quantique. La théorie de l'information quantique se concentre principalement sur l'interprétation et les applications de l'entropie de von Neumann, servant d'élément fondamental dans son évolution, tandis que l'entropie de Shannon appartient à la théorie de l'information classique.

Matrice de densité

Le formalisme englobant les opérateurs et les matrices de densité a été lancé par von Neumann en 1927, et indépendamment, quoique avec un développement moins systématique, par Lev Landau en 1927 et Felix Bloch en 1946. La matrice de densité permet la représentation de superpositions probabilistes d'états quantiques, appelés états mixtes, contrairement aux fonctions d'onde, qui se limitent à décrire des états purs.

Schéma de mesure de Von Neumann

Le schéma de mesure de von Neumann, reconnu comme le précurseur de la théorie de la décohérence quantique, conceptualise les mesures de manière projective en incorporant l'appareil de mesure, lui-même modélisé comme une entité quantique. Ce cadre de « mesure projective », initialement introduit par von Neumann, a ensuite déclenché l'émergence des théories de la décohérence quantique.

Logique quantique

John von Neumann a initialement introduit le concept de logique quantique dans son traité de 1932, Fondements mathématiques de la mécanique quantique, dans lequel il postulait que les projections dans un espace de Hilbert pouvaient représenter des propositions concernant des observables physiques. La discipline formelle de la logique quantique a ensuite été établie dans une publication de 1936 co-écrite par von Neumann et Garrett Birkhoff. Cet article fondateur a non seulement introduit la logique quantique, mais a également fourni la première preuve rigoureuse que la mécanique quantique nécessite un calcul propositionnel fondamentalement distinct des systèmes logiques classiques, identifiant ainsi une nouvelle structure algébrique pour la logique quantique. Alors que l'idée fondamentale d'un calcul propositionnel adapté à la logique quantique a été brièvement présentée dans la publication de von Neumann de 1932, l'exigence impérieuse de ce nouveau calcul a été étayée par de multiples preuves en 1936. À titre d'illustration, les photons sont incapables de traverser deux filtres placés séquentiellement et polarisés perpendiculairement (par exemple horizontalement et verticalement). Par conséquent, a fortiori, ils ne peuvent pas passer si un troisième filtre polarisé en diagonale est introduit soit avant, soit après ces deux-là. Cependant, si ce troisième filtre est inséré entre les deux premiers, les photons transmettent avec succès. Cette observation empirique se traduit logiquement par la non-commutativité de la conjonction, exprimée par ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)>$.De plus, il a été établi que les lois distributives de la logique classique, en particulier ${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)>$ et ${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)>$, ne sont pas valables dans la théorie quantique.

Cette divergence se produit parce que, contrairement aux disjonctions classiques, une disjonction quantique peut être valide même lorsque les deux disjonctions constitutives sont fausses. Ce phénomène est souvent attribué à l'occurrence fréquente en mécanique quantique où un ensemble d'alternatives possède une détermination sémantique, mais chaque alternative individuelle reste intrinsèquement indéterminée. Par conséquent, la loi distributive logique classique doit être remplacée par une condition moins stricte. Plutôt que de former un réseau distributif, les propositions relatives à un système quantique constituent un réseau orthomodulaire, isomorphe au réseau de sous-espaces de l'espace de Hilbert correspondant à ce système.

Malgré ces contributions, von Neumann est resté insatisfait de ses progrès en logique quantique. Son ambition était de réaliser une synthèse unifiée de la logique formelle et de la théorie des probabilités. Cependant, lorsqu'il tenta de préparer un article pour la conférence Henry Joseph, prononcée à la Washington Philosophical Society en 1945, il fut incapable de le terminer, principalement en raison de sa forte implication dans la recherche en temps de guerre. Dans son discours au Congrès international des mathématiciens de 1954, il a souligné ce défi particulier comme l'un des problèmes non résolus de la future recherche mathématique.

Dynamique des fluides

Pendant la Seconde Guerre mondiale, von Neumann a contribué de manière significative à la dynamique des fluides, y compris la solution d'écoulement séminal pour les ondes de souffle, désormais appelée onde de souffle Taylor-von Neumann-Sedov, en reconnaissance des trois scientifiques qui l'ont développée indépendamment, et de la co-découverte indépendante, aux côtés de Yakov Borisovich Zel'dovich et Werner Döring, du modèle de détonation ZND pour les explosifs. Tout au long des années 1930, von Neumann a acquis une expertise dans les principes mathématiques régissant les charges creuses.

Par la suite, en collaboration avec Robert D. Richtmyer, von Neumann a conçu un algorithme qui a introduit la viscosité artificielle, améliorant ainsi la compréhension des phénomènes d'ondes de choc. Les simulations informatiques de défis hydrodynamiques ou aérodynamiques attribuaient fréquemment un nombre excessif de points de grille à des zones caractérisées par des discontinuités abruptes, telles que des ondes de choc. L'application d'une viscosité artificielle a atténué mathématiquement ces transitions brusques de choc tout en préservant les principes physiques fondamentaux.

Von Neumann a rapidement étendu la modélisation informatique à ce domaine, en créant un logiciel spécifiquement pour ses enquêtes balistiques. Pendant la Seconde Guerre mondiale, il a présenté à R. H. Kent, alors directeur du laboratoire de recherche balistique de l'armée américaine, un programme informatique conçu pour simuler une onde de choc à l'aide d'un modèle unidimensionnel de 100 molécules. Von Neumann a ensuite donné un séminaire sur ce programme à un public qui comprenait son collègue Theodore von Kármán. Suite à la présentation de von Neumann, von Kármán a fait remarquer : « Vous savez, bien sûr, que Lagrange a également utilisé des modèles numériques pour simuler la mécanique des milieux continus. » Von Neumann, cependant, n'était pas familier avec la Mécanique analytique de Lagrange.

Contributions supplémentaires à la recherche

Bien que ses travaux en physique ne soient pas aussi étendus qu'en mathématiques, von Neumann a néanmoins apporté plusieurs contributions significatives dans ce domaine. Ses articles fondateurs en collaboration avec Subrahmanyan Chandrasekhar, qui traitaient des statistiques des champs gravitationnels fluctuants produits par des étoiles distribuées de manière aléatoire, ont été considérés comme un tour de force. Dans le cadre de ces travaux, ils ont formulé une théorie de la relaxation à deux corps et utilisé la distribution de Holtsmark pour modéliser la dynamique complexe des systèmes stellaires. Il est également l'auteur de plusieurs autres manuscrits inédits concernant la structure stellaire, dont des parties ont ensuite été incorporées dans les publications ultérieures de Chandrasekhar. Dans des recherches antérieures, sous la direction d'Oswald Veblen, von Neumann a contribué au développement de concepts fondamentaux liés aux spineurs, qui ont ensuite informé la théorie des twisteurs de Roger Penrose. Une partie importante de ce travail provient de séminaires organisés à l'Institute for Advanced Study (IAS) tout au long des années 1930. Issu de cet effort de collaboration, il a co-écrit un article avec A. H. Taub et Veblen, qui a étendu l'équation de Dirac à la relativité projective. Ces recherches, menées dans les années 1930, se concentraient principalement sur la préservation de l'invariance concernant les transformations de coordonnées, de spin et de jauge, représentant une première exploration des théories potentielles de la gravité quantique. Parallèlement, il a présenté plusieurs propositions à ses collègues abordant les défis de la théorie quantique des champs naissante et concernant la quantification de l'espace-temps ; cependant, ces concepts n'ont été jugés productifs ni par lui ni par ses collaborateurs et n'ont donc pas été poursuivis. Néanmoins, il a conservé un certain degré d'intérêt, comme en témoigne un manuscrit de 1940 dont il est l'auteur sur l'équation de Dirac dans l'espace de Sitter.

Économie

Théorie des jeux

Von Neumann a fait de la théorie des jeux une discipline mathématique distincte. En 1928, il prouva formellement son théorème fondateur du minimax. Ce théorème démontre que dans les jeux à somme nulle caractérisés par une information parfaite (où les joueurs possèdent une connaissance complète de tous les mouvements précédents à un moment donné), il existe une paire de stratégies pour les deux participants, permettant à chacun de minimiser ses pertes potentielles maximales. Ces stratégies sont désignées comme optimales. Von Neumann a en outre démontré que les minimax de ces stratégies sont équivalents en valeur absolue mais opposés en signe. Il a ensuite affiné et élargi le théorème du minimax pour englober les jeux avec des informations imparfaites et ceux impliquant plus de deux joueurs, publiant ces avancées dans son ouvrage de 1944, Theory of Games and Economic Behaviour, co-écrit avec Oskar Morgenstern. Le profond intérêt du public suscité par cette publication a été souligné par un article en première page du The New York Times. Dans ce traité, von Neumann affirmait que la théorie économique nécessitait l'application de l'analyse fonctionnelle, en particulier des ensembles convexes et du théorème topologique du point fixe, plutôt que de s'appuyer sur le calcul différentiel conventionnel, étant donné que l'opérateur maximum ne préserve pas intrinsèquement les fonctions différentiables.

Depuis leur introduction, les méthodologies d'analyse fonctionnelle de von Neumann, y compris l'application de paires de dualité d'espaces vectoriels réels pour représenter les prix et les quantités, l'utilisation d'hyperplans de support et de séparation et d'espaces convexes les ensembles et la théorie du point fixe sont restés des instruments fondamentaux en économie mathématique.

Économie mathématique

John von Neumann a considérablement fait progresser la rigueur mathématique de l'économie grâce à une série de publications influentes. Dans son modèle fondateur d’une économie en expansion, il a établi l’existence et le caractère unique d’un état d’équilibre en employant son théorème généralisé du point fixe de Brouwer. Ce modèle incorporait le crayon matriciel A − λB, comprenant les matrices non négatives A et B. L'objectif de Von Neumann était d'identifier les vecteurs de probabilité p et q, ainsi qu'un scalaire positif λ, qui satisferaient l'équation de complémentarité p T ( A −<!-- − --> λ<!-- λ --> B ) q = §4849§ {\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0} , en conjonction avec deux systèmes d'inégalités représentant l'efficacité économique. Dans ce cadre, le vecteur de probabilité transposé p désigne les prix des matières premières, tandis que le vecteur de probabilité q signifie l'intensité opérationnelle du processus de production. La solution singulière λ correspond au facteur de croissance, défini comme un plus le taux de croissance économique, ce taux de croissance étant équivalent au taux d'intérêt.

Les découvertes de Von Neumann sont souvent considérées comme un exemple spécifique de programmation linéaire, notamment parce que son modèle utilise exclusivement des matrices non négatives. Son modèle d’économie en expansion reste un sujet d’intérêt constant parmi les économistes mathématiques. De nombreux chercheurs ont salué cet article comme étant la contribution la plus significative à l’économie mathématique, citant son introduction pionnière des théorèmes du point fixe, des inégalités linéaires, de la lenteur complémentaire et de la dualité en point de selle. Lors d'une conférence consacrée au modèle de croissance de von Neumann, Paul Samuelson a fait remarquer que si de nombreux mathématiciens avaient conçu des méthodologies bénéfiques pour les économistes, von Neumann s'est distingué en apportant des contributions substantielles directement à la théorie économique. L’importance durable de ces travaux, notamment en ce qui concerne les équilibres généraux et l’application des théorèmes du point fixe, est soulignée par l’attribution ultérieure des prix Nobel : Kenneth Arrow en 1972, Gérard Debreu en 1983 et John Nash en 1994. Nash a notamment utilisé les théorèmes du point fixe dans sa thèse de doctorat pour définir les équilibres pour les jeux non coopératifs et les scénarios de négociation. Arrow et Debreu, ainsi que leurs collègues lauréats du prix Nobel Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Wassily Leontief, Paul Samuelson, Robert Dorfman, Robert Solow et Leonid Hurwicz, ont également intégré la programmation linéaire dans leurs recherches.

L'engagement de John von Neumann sur ce sujet est né lors de ses conférences à Berlin entre 1928 et 1929. Durant ses étés, il résidait à Budapest, où il a rencontré l'économiste. Nicolas Kaldor. Kaldor conseilla par la suite à von Neumann de consulter un ouvrage de l'économiste mathématicien Léon Walras. Von Neumann a observé que la théorie de l'équilibre général de Walras et la loi de Walras, qui s'appuient sur des systèmes d'équations linéaires simultanées, pourraient paradoxalement suggérer que la maximisation du profit était réalisable grâce à la production et à la vente d'une quantité négative d'un bien. Par conséquent, il a remplacé ces équations par des inégalités, incorporé des équilibres dynamiques, entre autres innovations, aboutissant finalement à la publication de son article fondateur.

Programmation linéaire

En s'appuyant sur ses travaux antérieurs sur les jeux matriciels et son modèle d'économie en expansion, von Neumann a développé la théorie de la dualité dans la programmation linéaire. Cela s'est produit lorsque George Dantzig a présenté ses recherches de manière concise, ce qui a incité von Neumann, impatient, à demander une explication plus directe. Dantzig a ensuite écouté avec étonnement von Neumann prononcer un discours d'une heure sur les ensembles convexes, la théorie du point fixe et la dualité, émettant finalement l'hypothèse de l'équivalence fondamentale entre les jeux matriciels et la programmation linéaire.

Par la suite, von Neumann a proposé une méthodologie de programmation linéaire innovante, s'appuyant sur le système linéaire homogène de Paul Gordan de 1873, un concept plus tard largement diffusé grâce à l'algorithme de Karmarkar. Son approche utilisait un algorithme de pivotement qui fonctionnait entre simplexes, où le critère de pivotement était établi par un sous-problème des moindres carrés non négatifs soumis à une contrainte de convexité (en particulier, en projetant le vecteur zéro sur l'enveloppe convexe du simplexe actuel). L'algorithme de von Neumann est notamment la méthode pionnière du point intérieur en programmation linéaire.

Informatique

John von Neumann était une figure fondamentale dans le domaine de l'informatique, apportant des contributions substantielles dans plusieurs domaines, notamment la conception de matériel, l'informatique théorique, le calcul scientifique et la philosophie de l'informatique.

Matériel

Von Neumann a été consultant pour le laboratoire de recherche balistique de l'armée, contribuant principalement au projet ENIAC en tant que membre de son comité consultatif scientifique. Bien que l'architecture à mémoire unique et à programme stocké soit largement connue sous le nom d'architecture de von Neumann, ses principes fondamentaux proviennent des travaux de J. Presper Eckert et John Mauchly, inventeurs d'ENIAC et de son modèle ultérieur, EDVAC. Au cours de sa consultation pour le projet EDVAC à l'Université de Pennsylvanie, von Neumann a rédigé un document inachevé intitulé Première ébauche d'un rapport sur l'EDVAC. La diffusion précoce de cet article a invalidé les revendications de brevet d'Eckert et Mauchly. Il détaillait une conception informatique dans laquelle les données et les programmes résidaient dans un espace d'adressage unifié, une différence par rapport aux ordinateurs antérieurs qui stockaient les programmes séparément sur des supports tels que des bandes de papier ou des panneaux de connexion. Ce paradigme architectural a ensuite constitué le fondement de la majorité des conceptions informatiques numériques contemporaines.

Par la suite, von Neumann a entrepris la conception de la machine IAS à l'Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey. Il a obtenu son financement et les composants nécessaires ont été développés et fabriqués au laboratoire de recherche RCA adjacent. Von Neumann a préconisé l'inclusion d'un tambour magnétique dans l'IBM 701, familièrement connu sous le nom d'ordinateur de défense. Cette machine représentait une itération plus rapide de la machine IAS et a servi de base au très populaire IBM 704 commercial.

Algorithmes

En 1945, von Neumann a développé l'algorithme de tri par fusion, une méthode dans laquelle un tableau est divisé de manière récursive en deux moitiés, chacune triée indépendamment, puis fusionnée.

Dans le contexte de ses travaux sur la bombe à hydrogène, von Neumann a collaboré avec Stanisław Ulam pour créer des simulations pour les calculs hydrodynamiques. De plus, il a joué un rôle dans l'avancement de la méthode de Monte Carlo, une approche qui utilise des nombres aléatoires pour estimer des solutions à des problèmes complexes.

L'algorithme de Von Neumann, conçu pour simuler une pièce équitable en utilisant une pièce biaisée, trouve une application dans la phase de « blanchiment logiciel » de certains générateurs matériels de nombres aléatoires. Reconnaissant l'impossibilité de générer des nombres « véritablement » aléatoires, von Neumann a conçu une forme de pseudo-aléatoire grâce à la méthode du carré du milieu. Il a rationalisé cette technique rudimentaire en affirmant sa vitesse supérieure par rapport aux autres méthodes disponibles, en déclarant : « Quiconque considère les méthodes arithmétiques pour produire des chiffres aléatoires est, bien sûr, dans un état de péché. » Il a en outre observé que les échecs de cette méthode étaient évidents, contrairement à d'autres techniques où les erreurs pouvaient être subtilement dissimulées.

Von Neumann a introduit le calcul stochastique en 1953, bien que sa mise en œuvre pratique n'ait pas été réalisable jusqu'à ce que les progrès informatiques apparaissent dans les années 1960. Vers 1950 environ, il fut également un pionnier dans la discussion de la complexité temporelle des calculs, un concept qui devint finalement la discipline de la théorie de la complexité informatique.

Automates cellulaires, ADN et constructeur universel

Les recherches mathématiques de Von Neumann sur les mécanismes de l'auto-réplication sont antérieures à l'élucidation de la structure de l'ADN. Stanisław Ulam et von Neumann sont largement reconnus pour avoir établi le domaine des automates cellulaires, à partir des années 1940, en tant que cadre mathématique simplifié pour la modélisation des systèmes biologiques.

Au cours de conférences données en 1948 et 1949, von Neumann a introduit le concept d'automate cinématique auto-reproducteur. En 1952, son approche de ce problème était devenue plus abstraite. Il a conçu un automate cellulaire bidimensionnel complexe capable de reproduire de manière autonome sa configuration cellulaire initiale. Le constructeur universel de Von Neumann, dérivé de l'automate cellulaire de von Neumann, a été détaillé en détail dans son ouvrage publié à titre posthume, Théorie des automates auto-reproducteurs. Le quartier de von Neumann, qui définit chaque cellule d'une grille bidimensionnelle comme ayant quatre cellules de grille orthogonalement adjacentes comme voisines, reste une configuration standard dans divers autres automates cellulaires.

Calcul scientifique et analyse numérique

Largement considéré comme potentiellement « le chercheur en informatique scientifique le plus influent de tous les temps », von Neumann a contribué de manière significative au domaine grâce à ses innovations techniques et à son leadership administratif. Il a conçu la procédure d'analyse de stabilité de Von Neumann, une méthode encore couramment utilisée pour empêcher l'accumulation d'erreurs dans les techniques numériques des équations aux dérivées partielles linéaires. Son article de 1947 avec Herman Goldstine introduisait implicitement l'analyse des erreurs rétrospectives, marquant sa première description. De plus, il fut parmi les pionniers à documenter la méthode Jacobi. À Los Alamos, von Neumann a rédigé plusieurs rapports classifiés détaillant les solutions numériques aux problèmes de dynamique des gaz. Cependant, sa frustration face aux progrès limités des méthodes analytiques pour ces défis non linéaires l’a amené à se tourner vers des approches informatiques. Par conséquent, sous sa direction, Los Alamos est devenu un centre prééminent pour la science informatique tout au long des années 1950 et au début des années 1960.

Ce travail a amené von Neumann à reconnaître que l'informatique transcendait son rôle de simple outil de résolution numérique de problèmes par la force brute ; cela pourrait également fournir des informations analytiques. Il a en outre compris qu'un large éventail de problèmes scientifiques et techniques, en particulier les problèmes non linéaires, pourraient bénéficier d'applications informatiques. En juin 1945, lors du premier congrès mathématique canadien, il fit sa présentation inaugurale sur les stratégies générales de résolution de problèmes, avec un accent particulier sur les aspects numériques de la dynamique des fluides. Il a également expliqué comment les souffleries fonctionnaient comme des ordinateurs analogiques et a prédit que les ordinateurs numériques les remplaceraient, ouvrant la voie à une nouvelle ère pour la dynamique des fluides. Garrett Birkhoff a qualifié cette présentation de « argumentaire de vente inoubliable ». Par la suite, von Neumann a élargi cette discussion avec Goldstine dans le manuscrit « Sur les principes des machines informatiques à grande échelle », qu'il a utilisé pour plaider en faveur du progrès du calcul scientifique. Ses publications ont également fait progresser des concepts tels que l'inversion matricielle, les matrices aléatoires et les méthodes de relaxation automatisées pour résoudre les problèmes de valeurs limites elliptiques.

Systèmes météorologiques et réchauffement climatique

Dans le cadre de son exploration des applications informatiques potentielles, von Neumann a développé un intérêt pour la prévision météorologique, observant des parallèles entre les défis dans ce domaine et ceux qu'il a rencontrés lors du projet Manhattan. En 1946, von Neumann créa le « Projet météorologique » à l'Institute for Advanced Study, obtenant un financement du Weather Bureau, de l'US Air Force et des services météorologiques de l'US Navy. En collaboration avec Carl-Gustaf Rossby, alors considéré comme le plus grand météorologue théoricien, il a réuni une équipe de vingt météorologues pour aborder diverses questions dans le domaine. Néanmoins, en raison de ses autres engagements d'après-guerre, il n'a pas été en mesure de consacrer suffisamment de temps pour diriger efficacement le projet, ce qui a abouti à des réalisations limitées.

Cette situation a changé lorsque Jule Gregory Charney a assumé la codirection du projet depuis Rossby. En 1950, von Neumann et Charney ont co-développé le premier logiciel de modélisation climatique au monde, qu'ils ont ensuite utilisé pour générer les premières prévisions météorologiques numériques à l'échelle mondiale, en utilisant l'ordinateur ENIAC auquel von Neumann avait accès. Von Neumann et son équipe ont publié ces résultats sous le titre Intégration numérique de l'équation du tourbillon barotropique. Ensemble, ils ont joué un rôle central dans l’intégration des échanges d’énergie et d’humidité entre la mer et l’air dans les études climatiques. Malgré leur caractère primitif, les nouvelles des prévisions ENIAC se sont rapidement diffusées dans le monde entier, incitant au lancement de nombreux projets parallèles dans d'autres endroits.

En 1955, von Neumann, Charney et leurs collaborateurs ont réussi à persuader leurs bailleurs de fonds d'établir la Joint Numerical Weather Prediction Unit (JNWPU) à Suitland, dans le Maryland, qui a ensuite commencé des opérations de routine de prévision météorologique en temps réel. Suite à cela, von Neumann a proposé un programme de recherche complet pour la modélisation du climat :

La méthodologie implique d'abord de poursuivre des prévisions à court terme, suivies par des prévisions à long terme de ces propriétés circulatoires capables de s'auto-perpétuer sur des périodes arbitrairement étendues. Ce n'est qu'alors que l'on tentera de prévoir des périodes de temps moyennement longues, trop longues pour être traitées par une simple théorie hydrodynamique, mais trop brèves pour une analyse utilisant le principe général de la théorie de l'équilibre.

Les résultats favorables rapportés par Norman A. Phillips en 1955 ont suscité une réponse immédiate, conduisant von Neumann à organiser une conférence à Princeton sur « l'application des techniques d'intégration numérique au problème de la circulation générale ». Il a structuré stratégiquement le programme avec une orientation prédictive pour obtenir un soutien soutenu du Bureau météorologique et de l'armée. Cette initiative a abouti à la création de la Section de recherche sur la circulation générale (actuellement connue sous le nom de Laboratoire de dynamique des fluides géophysiques) adjacente au JNWPU. Von Neumann s'est constamment engagé dans les complexités techniques de la modélisation et dans la tâche critique consistant à obtenir un soutien financier continu pour ces projets. À la fin du XIXe siècle, Svante Arrhenius a proposé que les activités anthropiques pourraient provoquer un réchauffement climatique par l'introduction de dioxyde de carbone dans l'atmosphère. En 1955, von Neumann notait que ce processus pourrait déjà être en cours, déclarant : « Le dioxyde de carbone rejeté dans l’atmosphère par la combustion industrielle du charbon et du pétrole – dont plus de la moitié au cours de la dernière génération – pourrait avoir modifié suffisamment la composition de l’atmosphère pour expliquer un réchauffement général de la planète d’environ un degré Fahrenheit. » Ses recherches sur les systèmes météorologiques et les prévisions météorologiques l'ont incité à suggérer une manipulation de l'environnement, notamment en disséminant des colorants sur les calottes glaciaires polaires pour augmenter l'absorption du rayonnement solaire, réduisant ainsi l'albédo. Néanmoins, il recommande fortement la prudence concernant tout programme de modification atmosphérique :

Ce qui pourrait être fait, bien sûr, n'est pas un indice de ce devrait être fait... En fait, évaluer les conséquences ultimes d'un refroidissement général ou d'un réchauffement général serait une question complexe. Les changements affecteraient le niveau des mers, et donc l’habitabilité des plateaux côtiers continentaux ; l'évaporation des mers, et donc les niveaux généraux de précipitations et de glaciations ; et ainsi de suite... Mais il ne fait aucun doute que l'on pourrait effectuer les analyses nécessaires pour prédire les résultats, intervenir à n'importe quelle échelle souhaitée et finalement obtenir des résultats plutôt fantastiques.

Von Neumann a également averti que la manipulation du temps et du climat pourrait être exploitée à des fins militaires, informant le Congrès en 1956 que de telles capacités pourraient présenter un plus grand danger que les missiles balistiques intercontinentaux (ICBM).

Hypothèse de singularité technologique

La première application du concept de singularité dans un cadre technologique est attribuée à von Neumann. Selon Ulam, von Neumann a délibéré sur « les progrès toujours accélérés de la technologie et les changements dans le mode de vie humain, qui donnent l'apparence d'une singularité essentielle dans l'histoire de la race au-delà de laquelle les affaires humaines, telles que nous les connaissons, ne pourraient pas continuer ». Cette notion a ensuite été développée dans la publication d'Alvin Toffler de 1970, Future Shock.

Contributions à la Défense

Le projet Manhattan

À partir de la fin des années 1930, von Neumann a développé des connaissances spécialisées dans les explosions, phénomènes intrinsèquement difficiles à modéliser mathématiquement. À cette époque, il est devenu la principale autorité en matière de mathématiques des charges creuses. Cette expertise l'a conduit à de nombreux conseils militaires et, par la suite, à sa participation au projet Manhattan. Son engagement comprenait des visites régulières des installations de recherche clandestines du projet au laboratoire de Los Alamos au Nouveau-Mexique.

La principale contribution de Von Neumann à la bombe atomique impliquait la conceptualisation et la conception des lentilles explosives essentielles à la compression du noyau de plutonium de l'arme Fat Man, qui a ensuite été déployée au-dessus de Nagasaki. Bien que von Neumann ne soit pas à l'origine du concept « d'implosion », il était l'un de ses plus fervents défenseurs, promouvant son perfectionnement continu malgré les réserves de nombreux collègues qui jugeaient une telle conception peu pratique. De plus, il a finalement conçu la stratégie consistant à utiliser des charges creuses plus puissantes et des quantités réduites de matières fissiles pour accélérer considérablement le processus « d'assemblage ».

La rareté de l'uranium 235 pour les bombes multiples et l'inadéquation du plutonium 239 pour la conception de « Thin Man » ont nécessité une expansion significative du projet de lentille implosive, conduisant à la mise en œuvre du concept de von Neumann. L'implosion est apparue comme la seule méthode viable pour utiliser le plutonium 239 acheté sur le site de Hanford. Von Neumann a défini la conception requise de la lentille explosive, malgré les préoccupations persistantes concernant les « effets de bord » et les imperfections des matériaux explosifs. Ses calculs indiquaient que l'implosion réussirait à condition qu'elle maintienne la symétrie sphérique avec un écart de 5 %. Après plusieurs essais de modèles infructueux, George Kistiakowsky a réalisé cette percée cruciale, aboutissant à l'achèvement de la construction de la bombe Trinity en juillet 1945.

En septembre 1944, cette découverte a établi que faire exploser une bombe atomique à plusieurs kilomètres au-dessus d'une cible, plutôt qu'au niveau du sol, augmenterait considérablement son efficacité destructrice.

Von Neumann a participé au comité de sélection des cibles chargé d'identifier Hiroshima et Nagasaki comme premières villes japonaises pour le déploiement de la bombe atomique. Il a supervisé les calculs relatifs à l'ampleur prévue des explosions de bombes, aux décès projetés et à l'altitude de détonation optimale pour maximiser la propagation des ondes de choc. Kyoto, un centre culturel important, était le choix préféré de von Neumann, un choix soutenu par le général Leslie Groves, le chef du projet Manhattan. Néanmoins, le secrétaire à la Guerre Henry L. Stimson a finalement rejeté cet objectif.

Le 16 juillet 1945, von Neumann, aux côtés de nombreux autres membres du personnel du projet Manhattan, fut témoin du premier essai de détonation de la bombe atomique, baptisé Trinity. Cet événement, conçu pour évaluer le dispositif de méthode d'implosion, s'est produit au champ de tir d'Alamogordo au Nouveau-Mexique. Sur la seule base de ses observations, von Neumann a estimé le rendement de l'explosion à 5 kilotonnes de TNT (21 TJ). En revanche, Enrico Fermi a obtenu une estimation plus précise de 10 kilotonnes en observant la dispersion des morceaux de papier déchirés lorsque l'onde de choc traversait sa position. La puissance explosive réelle variait entre 20 et 22 kilotonnes. Notamment, le terme « kilotonnes » a été introduit pour la première fois dans les articles de von Neumann à partir de 1944.

Von Neumann a poursuivi ses recherches avec détermination, devenant, aux côtés d'Edward Teller, une figure centrale dans l'avancement du projet de bombe à hydrogène. En collaboration avec Klaus Fuchs, il a contribué au développement ultérieur de la bombe. En 1946, ils déposèrent conjointement un brevet classifié détaillant un mécanisme permettant d'utiliser une bombe à fission pour comprimer le combustible de fusion, initiant ainsi la fusion nucléaire. Alors que le brevet Fuchs-von Neumann incorporait l'implosion par rayonnement, sa méthodologie différait de celle finalement adoptée dans la conception finale de la bombe à hydrogène Teller-Ulam. Néanmoins, leurs recherches ont été intégrées dans le plan « George » de l'Opération Greenhouse, fournissant des informations cruciales pour la conception finale. Fuchs a ensuite transmis les travaux de Fuchs-von Neumann à l'Union soviétique dans le cadre de ses activités d'espionnage nucléaire ; cependant, il n'a pas été utilisé dans le développement soviétique indépendant de la conception Teller-Ulam. L'historien Jeremy Bernstein a observé ironiquement que "John von Neumann et Klaus Fuchs ont produit une invention brillante en 1946 qui aurait pu changer tout le cours du développement de la bombe à hydrogène, mais qui n'a été entièrement comprise qu'après que la bombe ait été fabriquée avec succès."

En reconnaissance de ses contributions en temps de guerre, von Neumann a reçu le prix du service civil distingué de la marine en juillet 1946, suivi de la médaille du mérite en octobre 1946.

Efforts d'après-guerre.

En 1950, von Neumann a commencé son rôle de consultant pour le Groupe d'évaluation des systèmes d'armes, une entité chargée de conseiller les chefs d'état-major interarmées et le secrétaire à la Défense des États-Unis concernant l'avancement et l'application des technologies émergentes. Parallèlement, il a été conseiller du projet d'armes spéciales des forces armées, qui supervisait les dimensions militaires des armements nucléaires. Au cours des deux années suivantes, ses activités de conseil se sont étendues à diverses branches du gouvernement américain. Ces engagements comprenaient des rôles au sein de la Central Intelligence Agency (CIA), l'adhésion à l'influent Comité consultatif général de la Commission de l'énergie atomique, des services de conseil pour le laboratoire national Lawrence Livermore récemment créé et la participation au groupe consultatif scientifique de l'armée de l'air des États-Unis. Au cours de cette période, il a atteint le statut d'un scientifique de la défense éminent au sein du Pentagone, avec son expertise considérée comme irréprochable par les plus hauts échelons du gouvernement et de l'armée américains.

Au cours de plusieurs sessions du conseil consultatif de l'US Air Force, von Neumann, aux côtés d'Edward Teller, a projeté que d'ici 1960, les États-Unis posséderaient la capacité de construire une bombe à hydrogène suffisamment compacte pour le déploiement de fusées. En 1953, Bernard Schriever, qui avait assisté à ces réunions, rendit personnellement visite à von Neumann à Princeton pour corroborer ce potentiel. Schriever a ensuite engagé Trevor Gardner, qui, quelques semaines plus tard, a également consulté von Neumann pour bien comprendre les implications potentielles avant de lancer son plaidoyer en faveur d'un tel système d'armes à Washington. À ce stade, von Neumann, présidant ou participant à de nombreux comités axés sur les missiles stratégiques et les armements nucléaires, a incorporé stratégiquement des arguments critiques concernant les progrès potentiels soviétiques dans ces domaines et dans les défenses stratégiques contre les bombardiers américains dans les rapports gouvernementaux. Ces rapports ont servi à renforcer les arguments en faveur du développement de missiles balistiques intercontinentaux (ICBM). Gardner a fréquemment facilité la participation de von Neumann à des réunions avec le département américain de la Défense, où il a présenté ses conclusions à divers hauts fonctionnaires. Les éléments de conception clés décrits dans ces rapports, tels que les mécanismes de guidage inertiel, sont ensuite devenus fondamentaux pour tous les futurs ICBM. En 1954, von Neumann témoigna régulièrement devant divers sous-comités militaires du Congrès, dans le but d'obtenir un soutien durable au programme ICBM.

Malgré ces efforts, un nouvel élan fut jugé nécessaire. Pour accélérer le programme ICBM et atteindre son potentiel maximum, une intervention présidentielle directe a été recherchée. Une réunion directe en juillet 1955 réussit à convaincre le président Eisenhower, aboutissant à une directive présidentielle publiée le 13 septembre 1955. Cette directive affirmait que le développement d'un ICBM par l'Union soviétique avant les États-Unis entraînerait « les répercussions les plus graves sur la sécurité nationale et sur la cohésion du monde libre ». Par conséquent, le projet ICBM a été désigné « un programme de recherche et de développement de la plus haute priorité par rapport à tous les autres », et le secrétaire à la Défense a été chargé de le lancer avec « la plus grande urgence ». Des preuves ultérieures ont confirmé que les Soviétiques effectuaient déjà des tests de leurs propres missiles balistiques à portée intermédiaire au cours de cette période. Von Neumann a maintenu son rôle de conseiller essentiel sur les ICBM, continuant à rencontrer le président, notamment à sa résidence de Gettysburg, en Pennsylvanie, et d'autres hauts responsables du gouvernement jusqu'à sa disparition.

Commission de l'énergie atomique

En 1955, von Neumann a été nommé commissaire de la Commission de l'énergie atomique (AEC), alors considéré comme le poste officiel le plus élevé accessible aux scientifiques au sein du gouvernement. Bien que cette nomination nécessitait généralement la résiliation de tous les autres accords de consultation, une exception fut accordée à von Neumann pour qu'il puisse persister dans son travail au sein de plusieurs comités militaires cruciaux, à la suite des préoccupations soulevées par l'armée de l'air et des sénateurs clés. Il a tiré parti de ce rôle influent pour faire progresser la fabrication de bombes à hydrogène compactes, spécialement conçues pour être déployées via des missiles balistiques intercontinentaux (ICBM). Ses efforts consistaient notamment à remédier à la pénurie critique de tritium et de lithium-6, composants essentiels de ces armes. En outre, il s’est activement opposé à l’adoption de missiles à portée intermédiaire favorisés par l’armée, plaidant plutôt en faveur de l’efficacité supérieure des bombes H lancées en profondeur dans le territoire adverse par les ICBM. Il affirmait que l’imprécision inhérente à de tels missiles serait atténuée par le pouvoir destructeur d’une bombe H. Von Neumann a également avancé que l’Union soviétique était probablement en train de développer un système d’armes comparable, une prédiction qui s’est avérée exacte par la suite. Pendant l'absence de Lewis Strauss dans la seconde moitié de 1955, von Neumann assuma les responsabilités de président par intérim de la commission.

Au cours de ses dernières années, avant sa mort d'un cancer, von Neumann a présidé le comité hautement classifié des missiles balistiques intercontinentaux (ICBM) du gouvernement américain, qui se réunissait occasionnellement à sa résidence. Le mandat du comité était d'évaluer la viabilité du développement d'un ICBM capable de transporter une arme thermonucléaire. Von Neumann a constamment soutenu que malgré d'importants défis techniques, ceux-ci pouvaient être surmontés. Le SM-65 Atlas a terminé avec succès son premier test entièrement fonctionnel en 1959, deux ans après sa disparition. Par la suite, les fusées Titan, plus avancées, furent déployées en 1962. Les deux systèmes avaient été initialement proposés au sein des comités ICBM présidés par von Neumann. Le développement réussi des ICBM était dû non seulement aux progrès de la fusée, mais également à la création d'ogives améliorées et miniaturisées qui atténuaient les problèmes de guidage et de résistance à la chaleur ; La profonde compréhension de von Neumann de ces technologies d'ogives nucléaires a rendu ses conseils indispensables.

L'engagement de von Neumann au service du gouvernement découlait principalement de sa conviction que la préservation de la liberté et de la civilisation nécessitait le triomphe des États-Unis sur les idéologies totalitaires, en particulier le nazisme, le fascisme et le communisme soviétique. Lors d'une audition devant une commission sénatoriale, il a qualifié sa position politique de « violemment anticommuniste et beaucoup plus militariste que la norme ».

Caractéristiques personnelles

Pratiques professionnelles

Herman Goldstine a observé la capacité remarquable de von Neumann à identifier intuitivement les erreurs latentes et à rappeler parfaitement les informations acquises précédemment. Lorsqu’il était confronté à des problèmes complexes, il s’abstenait de toute lutte prolongée ; au lieu de cela, il se désengageait, revenant souvent plus tard avec une résolution après une période de repos. Cette approche, caractérisée comme « emprunter le chemin de la moindre résistance », l'a parfois amené à poursuivre des lignes d'enquête tangentielles. De plus, si un problème présentait des défis initiaux importants, il se tournerait facilement vers une tâche alternative plutôt que de tenter d'identifier les vulnérabilités pour une avancée décisive. À l'occasion, il a démontré une méconnaissance de la littérature mathématique standard, préférant réextraire les informations fondamentales selon les besoins plutôt que de consulter les références existantes.

Après le déclenchement de la Seconde Guerre mondiale, l'emploi du temps de von Neumann est devenu exceptionnellement exigeant en raison de ses nombreuses obligations académiques et militaires. Sa tendance à négliger la documentation formelle des présentations et la publication des résultats de la recherche s'est intensifiée. Il trouvait difficile d'articuler formellement un sujet par écrit à moins que le concept ne soit pleinement développé dans ses pensées ; sinon, il a admis qu'il "développerait les pires traits de pédantisme et d'inefficacité".

Étendue mathématique

Le mathématicien Jean Dieudonné a avancé que von Neumann « était peut-être le dernier représentant d'un groupe autrefois florissant et nombreux, les grands mathématiciens qui étaient également à l'aise dans les mathématiques pures et appliquées et qui, tout au long de leur carrière, ont maintenu une production constante dans les deux sens ». Dieudonné a en outre affirmé que le génie particulier de von Neumann résidait dans l'analyse et la « combinatoire », interprétant cette dernière au sens large pour englober sa capacité à organiser et à axiomatiser des ensembles de travaux complexes auparavant perçus comme ayant une pertinence mathématique minimale. Sa méthodologie analytique adhérait à l'école allemande, fondée sur les principes de l'algèbre linéaire et de la topologie générale. Bien que von Neumann possédait une base intellectuelle encyclopédique, sa portée dans le domaine des mathématiques pures ne rivalisait pas avec celle de Poincaré, Hilbert ou même Weyl ; notamment, il n'a entrepris aucune contribution significative à la théorie des nombres, à la topologie algébrique, à la géométrie algébrique ou à la géométrie différentielle. À l'inverse, ses réalisations en mathématiques appliquées étaient comparables à celles de Gauss, Cauchy ou Poincaré.

Eugene Wigner a déclaré : "Personne ne connaît toute la science, pas même von Neumann. Mais en ce qui concerne les mathématiques, il a contribué à chaque partie, à l'exception de la théorie des nombres et de la topologie. C'est, je pense, quelque chose d'unique." Paul Halmos a observé que malgré les connaissances mathématiques approfondies de von Neumann, des lacunes importantes existaient dans la topologie algébrique et la théorie des nombres ; Halmos a raconté un cas où von Neumann n'a pas identifié la définition topologique d'un tore. Von Neumann a avoué à Herman Goldstine son manque total d'aptitude pour la topologie et son inconfort persistant avec le sujet. Goldstine a ensuite fait référence à cet aveu en opposant von Neumann à Hermann Weyl, qu'il considérait comme possédant une plus grande profondeur et une plus grande ampleur.

Salomon Bochner, dans son récit biographique de von Neumann, a observé qu'une partie importante des contributions de von Neumann aux mathématiques pures était centrée sur les espaces vectoriels de dimension finie et infinie, un domaine qui constituait un segment substantiel du domaine mathématique à cette époque. Néanmoins, Bochner a souligné que cette approche omettait des domaines cruciaux du paysage mathématique, en particulier ceux englobant la « géométrie globale », tels que la topologie, la géométrie différentielle, les intégrales harmoniques et la géométrie algébrique. Von Neumann s'est rarement engagé dans ces disciplines particulières et, selon l'évaluation de Bochner, a démontré une inclination limitée à leur égard.

Dans une publication tardive, von Neumann a exprimé son inquiétude quant au fait que les mathématiciens purs étaient de plus en plus incapables d'acquérir une expertise approfondie, même dans un petit segment de leur discipline. Au début des années 1940, Ulam a conçu un examen de doctorat simulé pour von Neumann afin d'identifier les lacunes dans sa compréhension mathématique ; von Neumann a eu du mal à fournir des réponses satisfaisantes aux questions de géométrie différentielle, de théorie des nombres et d'algèbre. Cette expérience les a amenés à conclure que les examens de doctorat pourraient avoir « peu de signification permanente ». À l’inverse, lorsque Weyl a décliné une invitation à rédiger une histoire des mathématiques du XXe siècle, invoquant l’impossibilité pour un seul individu d’entreprendre une telle tâche, Ulam a postulé que von Neumann aurait pu être capable d’une telle entreprise.

Méthodologies de résolution de problèmes préférées

Ulam a observé que même si de nombreux mathématiciens se spécialisaient généralement dans une seule technique et l'appliquaient à plusieurs reprises, von Neumann se distinguait en maîtrisant trois approches distinctes :

1. Maîtrise de la manipulation symbolique des opérateurs linéaires ;
2. Une compréhension intuitive de l'architecture logique inhérente aux nouvelles théories mathématiques ;
3. Une compréhension intuitive du cadre combinatoire qui sous-tend les théories émergentes.

Bien qu'il soit souvent qualifié d'analyste, von Neumann s'est un jour identifié comme un algébriste, et son approche méthodologique intégrait souvent des techniques algébriques à l'intuition de la théorie des ensembles. Il montrait une prédilection pour les détails méticuleux, sans être perturbé par de nombreuses répétitions ou des notations trop explicites. Une illustration notable de cette caractéristique se trouve dans son article sur les anneaux d'opérateurs, où il a développé la notation fonctionnelle standard, ${\displaystyle \phi (x)>$, à ${\displaystyle \phi ((x))>$. Cette expansion notationnelle a été appliquée de manière itérative, aboutissant à des expressions telles que ${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$. Par conséquent, cette publication de 1936 est devenue familièrement connue parmi les étudiants sous le nom de « l'oignon de von Neumann », ce qui implique que ses équations nécessitaient d'être « pelées » pour être comprises. Malgré leur clarté et leur force intellectuelle, ses œuvres écrites ne se caractérisent pas par la concision ou l'élégance esthétique. Bien que techniquement formidable, son objectif primordial était l'articulation précise et exploitable de problèmes et d'enquêtes scientifiques fondamentaux, plutôt que de simplement résoudre des énigmes mathématiques isolées.

Ulam a raconté que von Neumann étonnait fréquemment les physiciens en effectuant mentalement des estimations dimensionnelles complexes et des calculs algébriques, avec une facilité comparable à celle de jouer aux échecs avec les yeux bandés. La perception d'Ulam était que von Neumann abordait l'analyse des phénomènes physiques principalement par la déduction logique abstraite, par opposition à la représentation visuelle concrète.

Style de cours

Herman Goldstine a qualifié les conférences de von Neumann de « douces et lucides », les contrastant avec ses articles scientifiques, qu'il percevait comme « plus durs » et manquant de perspicacité comparable. Paul Halmos a également qualifié les conférences de « éblouissantes », soulignant le discours clair, rapide, précis et complet de von Neumann. Goldstine et Halmos ont observé que même si le matériel semblait « si simple et naturel » pendant les cours, il devenait souvent perplexe après une réflexion ultérieure. Le rythme de parole rapide de Von Neumann posait des défis à son auditoire ; Banesh Hoffmann avait du mal à prendre des notes, même en sténographie, et Albert Tucker se souvient que les auditeurs l'interrompaient fréquemment avec des questions pour l'inciter à ralentir, leur permettant ainsi de traiter ses idées complexes. Reconnaissant cela, von Neumann appréciait lorsque son auditoire indiquait qu'il parlait trop vite. Malgré sa préparation aux cours, il s'appuyait rarement sur des notes détaillées, préférant souligner les principaux points de discussion et leurs durées allouées.

Mémoire eidétique

Von Neumann était réputé pour sa mémoire eidétique, en particulier sa manifestation symbolique. Herman Goldstine a observé :

L'une de ses capacités remarquables était son pouvoir de rappel absolu. Pour autant que je sache, von Neumann était capable, une fois en lisant un livre ou un article, de le citer textuellement ; d’ailleurs, il pourrait le faire des années plus tard sans hésitation. Il pouvait également le traduire sans diminution de vitesse de sa langue originale vers l'anglais. À une occasion, j'ai testé ses capacités en lui demandant de me raconter comment Un conte de deux villes a commencé. Sur quoi, sans aucune pause, il a immédiatement commencé à réciter le premier chapitre et a continué jusqu'à ce qu'on lui demande d'arrêter après environ dix ou quinze minutes.

On rapporte que von Neumann possédait la capacité de mémoriser des annuaires téléphoniques entiers. Il amusait ses connaissances en leur demandant de sélectionner au hasard les numéros de page, puis de réciter les noms, adresses et numéros de téléphone indiqués sur ces pages. Stanisław Ulam a postulé que la mémoire de von Neumann était principalement auditive plutôt que visuelle.

Acuité mathématique

Les pairs de Von Neumann reconnaissaient souvent sa maîtrise exceptionnelle des mathématiques, sa vitesse de calcul rapide et son aptitude globale à résoudre des problèmes. Paul Halmos a qualifié sa vitesse de « impressionnante », tandis que Lothar Wolfgang Nordheim l'a déclaré « l'esprit le plus rapide que j'ai jamais rencontré ». Enrico Fermi a fait la remarque célèbre au physicien Herbert L. Anderson : "Tu sais, Herb, Johnny peut faire des calculs dans sa tête dix fois plus vite que moi ! Et je peux les faire dix fois plus vite que toi, Herb, donc tu peux voir à quel point Johnny est impressionnant !" Edward Teller a avoué qu'il « n'a jamais pu le suivre », et Israel Halperin a comparé la tentative de suivre le rythme de von Neumann à « un tricycle poursuivant une voiture de course ».

Sa capacité à résoudre rapidement de nouveaux problèmes était exceptionnelle. George Pólya, auprès duquel von Neumann a étudié à l'ETH Zürich, a raconté : « Johnny était le seul étudiant dont j'avais toujours peur. Si au cours d'un cours j'énonçais un problème non résolu, il y avait de fortes chances qu'il vienne me voir à la fin du cours avec la solution complète griffonnée sur un bout de papier. De même, George Dantzig a présenté à von Neumann un problème de programmation linéaire non résolu, qu'il a abordé « comme je le ferais pour un mortel ordinaire », notant l'absence de littérature publiée antérieurement sur le sujet. Dantzig fut étonné lorsque von Neumann, en entendant le problème, s'exclama : "Oh, ça !", puis commença à donner une conférence impromptue de plus d'une heure, expliquant sa solution à travers la théorie de la dualité jusqu'alors inarticulée.

Une anecdote concernant la résolution par von Neumann du célèbre « puzzle de la mouche » fait désormais partie du folklore mathématique. Le puzzle décrit deux vélos partant de 20 miles l'un de l'autre, chacun se dirigeant vers l'autre à 10 miles par heure jusqu'à ce qu'ils entrent en collision. Simultanément, une mouche fait des allers-retours continus entre les vélos à une vitesse de 15 miles par heure jusqu'à ce qu'elle soit écrasée lors de la collision. La requête est la distance totale parcourue par la mouche. Le « truc » classique pour une solution rapide consiste à reconnaître que les segments individuels du voyage du vol ne sont pas pertinents ; seul compte son mouvement continu à 25 km/h pendant toute la durée du trajet des vélos (une heure). Selon Eugene Wigner, Max Born a présenté cette énigme à von Neumann. D'autres scientifiques à qui Born avait posé le puzzle avaient minutieusement calculé la distance. Ainsi, lorsque von Neumann a rapidement fourni la bonne réponse de 15 milles, Born a supposé qu'il avait dû en déduire le « truc ». Von Neumann aurait répondu : "Quelle astuce ? Tout ce que j'ai fait, c'est additionner les séries géométriques."

Self-Doute

Gian-Carlo Rota a souligné les « doutes profonds et récurrents » de von Neumann. John L. Kelley, réfléchissant en 1989, a rappelé l'affirmation de von Neumann selon laquelle il serait oublié tandis que Kurt Gödel resterait dans les mémoires aux côtés de Pythagore, un sentiment contrasté par la crainte généralisée dans laquelle ses pairs le tenaient. Stanisław Ulam a postulé qu'une partie du doute créatif de von Neumann pourrait provenir de son incapacité à créer plusieurs concepts importants, tels que les théorèmes d'incomplétude et le théorème ergodique ponctuel de Birkhoff, malgré sa capacité évidente à le faire. Bien que von Neumann possédait une compétence exceptionnelle dans un raisonnement complexe et des idées profondes, il a peut-être perçu un manque d'aptitude pour des preuves, des théorèmes ou des percées intuitives apparemment irrationnelles. Ulam a raconté que pendant une période à Princeton où von Neumann s'occupait des anneaux d'opérateurs, des géométries continues et de la logique quantique, il ne semblait pas convaincu de l'importance de son travail, trouvant sa satisfaction seulement après avoir découvert une solution technique ingénieuse ou une approche nouvelle. Néanmoins, Rota a soutenu que von Neumann possédait une « technique incomparablement plus forte » qu'Ulam, bien qu'il reconnaisse Ulam comme le mathématicien le plus créatif.

Héritage

Récompenses

Hans Bethe, lauréat du prix Nobel, s'est un jour demandé si un esprit comme celui de von Neumann pouvait signifier une espèce supérieure à l'humanité. Edward Teller a observé la capacité de von Neumann à converser avec son fils de trois ans sur un pied d'égalité, ce qui a amené Teller à se demander s'il appliquait le même principe aux autres. Peter Lax a qualifié von Neumann de « accro à la pensée, et en particulier à la réflexion sur les mathématiques ». Eugene Wigner a souligné la compréhension globale de von Neumann des problèmes mathématiques, les appréhendant « non seulement dans leur aspect initial, mais dans toute leur complexité ». Claude Shannon, faisant écho à un sentiment commun, l'a déclaré « la personne la plus intelligente que j'ai jamais rencontrée ». Jacob Bronowski l'a décrit comme « l'homme le plus intelligent que j'ai jamais connu, sans exception », définissant le génie comme un individu doté de deux idées profondes. En 2006, Tom Siegfried a affirmé que von Neumann incarnait le terme polymathe au siècle précédent et que ses contributions à la physique, aux mathématiques, à l'informatique et à l'économie l'ont établi comme l'une des figures intellectuelles prééminentes dans chaque domaine.

Wigner a souligné l'intellect extraordinaire de von Neumann, décrivant son esprit comme étant plus rapide que quiconque qu'il ait jamais rencontré, déclarant :

J'ai connu un grand nombre de personnes intelligentes dans ma vie. J'ai connu Max Planck, Max von Laue et Werner Heisenberg. Paul Dirac était mon beau-frère ; Leo Szilard et Edward Teller comptent parmi mes amis les plus proches ; et Albert Einstein était aussi un bon ami. Et j’ai connu bon nombre des jeunes scientifiques les plus brillants. Mais aucun d’eux n’avait un esprit aussi vif et aussi aigu que Jancsi von Neumann. Je l'ai souvent remarqué en présence de ces hommes, et personne ne m'a jamais contesté.

Miklós Rédei a postulé que « si l'influence d'un scientifique est interprétée de manière suffisamment large pour inclure l'impact sur des domaines allant au-delà de la science proprement dite, alors John von Neumann était probablement le mathématicien le plus influent qui ait jamais vécu. » Lax a suggéré que von Neumann aurait reçu un prix Nobel d'économie s'il avait vécu plus longtemps, et qu'il aurait été de la même manière honoré des prix Nobel d'informatique et de mathématiques, si de tels prix avaient existé. Gian-Carlo Rota a crédité von Neumann comme « le premier à avoir une vision des possibilités illimitées de l'informatique » et pour posséder « la détermination de rassembler les ressources intellectuelles et techniques considérables qui ont conduit à la construction du premier grand ordinateur », concluant qu'« aucun autre mathématicien de ce siècle n'a eu une influence aussi profonde et durable sur le cours de la civilisation ». Il est largement reconnu comme l'un des mathématiciens et scientifiques les plus importants et les plus influents du XXe siècle, et ses nombreuses contributions dans de nombreux domaines ont solidifié sa réputation de mathématicien universel.

Le neurophysiologiste Leon Harmon a également qualifié von Neumann de seul « vrai génie » qu'il ait rencontré, même parmi des sommités comme Einstein, Teller et J. Robert Oppenheimer. Harmon a fait remarquer : « L'esprit de von Neumann était global. Il pouvait résoudre des problèmes dans n'importe quel domaine... Et son esprit travaillait toujours, toujours agité. Dans ses rôles consultatifs pour des projets non universitaires, le mélange exceptionnel de prouesses scientifiques et d'application pragmatique de von Neumann lui a valu une crédibilité sans précédent auprès des officiers militaires, des ingénieurs et des industriels. Herbert York a noté que dans le domaine des missiles nucléaires, von Neumann était considéré comme « la figure consultative clairement dominante ». L'économiste Nicholas Kaldor a affirmé que von Neumann était «sans aucun doute la chose la plus proche d'un génie que j'ai jamais rencontré». De même, Paul Samuelson a expliqué : « Nous, les économistes, sommes reconnaissants pour le génie de von Neumann. Ce n'est pas à nous de calculer s'il était un Gauss, ou un Poincaré, ou un Hilbert. Il était l'incomparable Johnny von Neumann. Il s'est précipité dans notre domaine et il n'a plus jamais été pareil depuis. »

Distinctions et récompenses

En reconnaissance des contributions de von Neumann, plusieurs distinctions et récompenses ont été créées, notamment le prix annuel de théorie John von Neumann de l'Institut de recherche opérationnelle et des sciences de gestion, la médaille John von Neumann de l'IEEE et le prix John von Neumann décerné par la Society for Industrial and Applied Mathematics. De plus, le cratère lunaire von Neumann et l'astéroïde 22824 von Neumann portent son nom.

Von Neumann a reçu de nombreuses distinctions, telles que la Médaille du mérite en 1947, la Médaille de la liberté en 1956 et le Prix Enrico Fermi, également décerné en 1956. Ses distinctions comprenaient en outre l'élection à plusieurs sociétés honoraires, notamment l'Académie américaine des arts et des sciences et la National Academy of Arts. Sciences, ainsi que l'attribution de huit doctorats honorifiques. Le 4 mai 2005, le service postal des États-Unis a publié la série de timbres-poste commémoratifs American Scientists, conçue par l'artiste Victor Stabin et mettant en vedette von Neumann, Barbara McClintock, Josiah Willard Gibbs et Richard Feynman.

L'université John von Neumann a été fondée à Kecskemét, en Hongrie, en 2016, succédant au Kecskemét College.

Œuvres sélectionnées

Le premier article publié de Von Neumann, Sur la position des zéros de certains polynômes minimaux, a été co-écrit avec Michael Fekete et est paru lorsque von Neumann avait 18 ans. À l'âge de 19 ans, son œuvre solo, Sur l'introduction des nombres transfinis, est publiée. Sa thèse de doctorat a été développée à partir d'une extension de son deuxième article solo, Une axiomatisation de la théorie des ensembles. En 1932, son premier livre, Fondements mathématiques de la mécanique quantique, est publié. Par la suite, von Neumann est passé de l’allemand à l’anglais pour ses publications, qui sont devenues plus sélectives et diversifiées au-delà du domaine des mathématiques pures. Son traité de 1942, Theory of Detonation Waves, a contribué de manière significative à la recherche militaire. Son travail de pionnier en informatique a commencé avec le manuscrit non publié de 1946, Sur les principes des machines informatiques à grande échelle, et ses contributions à la prévision météorologique ont commencé avec la publication de 1950, Intégration numérique de l'équation du tourbillon barotrope. En plus de ses articles officiels, il est l'auteur d'essais informels destinés à la fois à ses collègues et au grand public, notamment son article de 1947, Le Mathématicien, qualifié d'« adieu aux mathématiques pures », et son essai de 1955, Pouvons-nous survivre à la technologie ?, qui explorait un avenir sombre englobant la guerre nucléaire et la modification intentionnelle du climat. Son œuvre complète a été compilée dans une collection en six volumes.

Vie personnelle

Il épousa Mariette Kövesi en 1930 ; leur mariage s'est conclu par un divorce en 1937. Ensemble, ils ont eu une fille, Marina von Neumann Whitman. Marina von Neumann Whitman est devenue une économiste universitaire, notamment en tant que première femme au Conseil des conseillers économiques du président (1972-1973), puis en tant que vice-présidente des affaires publiques chez General Motors (1979-1992), un poste qui a fait d'elle la femme la plus haut placée de l'industrie automobile américaine au cours de cette période. De plus, elle détenait le titre de professeur émérite à l'Université du Michigan.

Par la suite, il épousa Klara Dan (1938-1957), qui contribua à la programmation des ordinateurs ENIAC et MANIAC.

• Liste des pionniers de l'informatique
• Le MANIAC, livre de 2023 sur von Neumann
• Remarques

Remarques

Références

• Une bibliographie complète des publications de John von Neumann compilée par Nelson H. F. Beebe est disponible.
• O'Connor, John J. et Edmund F. Robertson. "John von Neumann." Archives d'histoire des mathématiques MacTutor. Université de St Andrews.
• Les entretiens d'histoire orale menés par l'Institut Charles Babbage de l'Université du Minnesota présentent des discussions avec Alice R. Burks, Arthur W. Burks, Eugene P. Wigner et Nicholas C. Metropolis.
• Un profil zbMATH est disponible.
• Le référentiel numérique de l'Institute for Advanced Study contient des documents liés à John von Neumann.
• Une analyse des perspectives de Von Neumann et Dirac sur la théorie quantique et la rigueur mathématique est présentée dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Des discussions sur la logique quantique et la théorie des probabilités sont présentées dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Les fichiers du FBI concernant John von Neumann ont été publiés dans le cadre de la loi sur la liberté de l'information.
• Une vidéo biographique sur John von Neumann a été réalisée par David Brailsford, professeur émérite d'informatique John Dunford à l'université de Nottingham.
• Le documentaire Arte 2013, "John von Neumann : Prophète du 21e siècle", examine sa profonde influence sur le monde moderne et est disponible en allemand et en français avec sous-titres en anglais.
• Un documentaire détaillé de 1966 réalisé par la Mathematical Association of America, intitulé "John von Neumann - A Documentary", comprend des observations de plusieurs de ses collègues, dont Ulam, Wigner, Halmos, Morgenstern, Bethe, Goldstine, Strauss et Teller.