David Hilbert

David Hilbert (; tedesco: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 gennaio 1862 – 14 febbraio 1943) è stato un eminente matematico e filosofo della matematica tedesco, ampiamente riconosciuto come una delle figure più influenti nel campo durante la sua epoca.

David Hilbert (; tedesco: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23 gennaio 1862 – 14 febbraio 1943) è stato un matematico e filosofo della matematica tedesco e uno dei matematici più influenti del suo tempo.

Contributi di Hilbert comprendeva la scoperta e lo sviluppo di numerosi concetti fondamentali, tra cui la teoria degli invarianti, il calcolo delle variazioni, l'algebra commutativa, la teoria algebrica dei numeri, i fondamenti della geometria, la teoria spettrale degli operatori con le sue applicazioni alle equazioni integrali, la fisica matematica e i fondamenti della matematica, in particolare la teoria della dimostrazione. Era un convinto sostenitore della teoria degli insiemi e dei numeri transfiniti di Georg Cantor. La sua presentazione di una raccolta fondamentale di problemi nel 1900 ha plasmato in modo significativo la traiettoria della ricerca matematica nel corso del XX secolo.

Insieme ai suoi studenti, Hilbert ha svolto un ruolo cruciale nello stabilire il rigore matematico e nell'ideare strumenti essenziali utilizzati nella fisica matematica contemporanea. È anche riconosciuto come cofondatore sia della teoria della dimostrazione che della logica matematica.

Vita

Primi anni di vita e istruzione

David Hilbert, il maggiore di due figli e l'unico figlio maschio di Otto, un giudice di contea, e Maria Therese Hilbert (nata Erdtmann), figlia di un commerciante, nacque nella provincia di Prussia, nel Regno di Prussia. Il suo luogo di nascita è registrato come Königsberg (l'attuale Kaliningrad), sulla base del racconto personale di Hilbert, o Wehlau (conosciuto come Znamensk dal 1946), situato vicino a Königsberg, dove suo padre lavorava al momento della sua nascita. Suo nonno paterno, anch'egli chiamato David Hilbert, ricopriva incarichi come giudice e Geheimrat. Maria, sua madre, coltivava interessi per la filosofia, l'astronomia e i numeri primi, mentre suo padre Otto gli instillava le virtù prussiane. Dopo la nomina di suo padre a giudice cittadino, la famiglia si trasferì a Königsberg. Sua sorella, Elise, è nata quando lui aveva sei anni. Hilbert iniziò la sua istruzione formale all'età di otto anni, due anni oltre l'età tipica di inizio.

Alla fine del 1872, Hilbert si iscrisse al Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum), una scuola precedentemente frequentata da Immanuel Kant 140 anni prima. Tuttavia, dopo un periodo insoddisfacente, si trasferì alla fine del 1879 e successivamente si diplomò all'inizio del 1880 al Wilhelm Gymnasium, che offriva un curriculum più incentrato sulle scienze. Dopo la laurea nell'autunno del 1880, Hilbert si iscrisse all'Università di Königsberg, conosciuta come "Albertina". All'inizio del 1882, Hermann Minkowski, che era due anni più giovane di Hilbert e anche lui originario di Königsberg (sebbene avesse trascorso tre semestri a Berlino), tornò in città e si unì all'università. Successivamente Hilbert strinse un'amicizia permanente con il riservato ma talentuoso Minkowski.

Carriera

Nel 1884, Adolf Hurwitz entrò a far parte della facoltà di Gottinga come Extraordinarius, equivalente a un professore associato. Ciò segnò l'inizio di un'intensa e produttiva collaborazione scientifica tra i tre studiosi, con Minkowski e Hilbert, in particolare, che esercitarono un'influenza reciproca nel corso delle rispettive carriere scientifiche. Hilbert difese con successo la sua tesi di dottorato nel 1885, sotto la supervisione di Ferdinand von Lindemann. La tesi era intitolata Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, che si traduce in "Sulle proprietà invarianti di speciali forme binarie, in particolare le funzioni armoniche sferiche."

Hilbert prestò servizio come Privatdozent (docente senior) presso l'Università di Königsberg dal 1886 al 1895. Nel 1895, grazie al patrocinio di Felix Klein, si assicurò la posizione di professore di matematica all'Università di Gottinga. Il periodo durante il quale Klein e Hilbert furono attivi trasformò Gottinga nella principale istituzione della comunità matematica globale. Ha continuato la sua permanenza lì per il resto della sua vita.

Scuola di Gottinga

Tra gli studenti di Hilbert figurano Hermann Weyl, il campione di scacchi Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann fu suo assistente. All'Università di Gottinga, Hilbert faceva parte di una illustre comunità intellettuale che comprendeva molti dei matematici più importanti del XX secolo, tra cui Emmy Noether e Alonzo Church.

Dei suoi 69 studenti di dottorato a Gottinga, molti successivamente raggiunsero la fama come matematici, tra cui (con l'anno di completamento della tesi): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). Dal 1902 al 1939 Hilbert ricoprì la carica di redattore del Mathematische Annalen, che all'epoca era la principale rivista di matematica. Nel 1907 fu eletto membro internazionale dell'Accademia nazionale delle scienze degli Stati Uniti.

Vita personale

Nel 1892, Hilbert sposò Käthe Jerosch (1864-1945), la figlia di un commerciante di Königsberg, che era caratterizzata come "una giovane donna schietta con un'indipendenza di mente che eguagliava [quella di Hilbert]". Durante la loro permanenza a Königsberg ebbero un figlio, Franz Hilbert (1893–1969). Franz soffrì di una malattia mentale per tutta la vita e, dopo il suo ricovero in una clinica psichiatrica, Hilbert avrebbe dichiarato: "D'ora in poi, devo considerarmi come se non avessi un figlio maschio". Questa posizione angosciava profondamente Käthe.

Hilbert considerava il matematico Hermann Minkowski come il suo amico più intimo e fidato.

Hilbert fu battezzato e crebbe come calvinista all'interno della Chiesa evangelica prussiana. Successivamente si allontanò dalla Chiesa e adottò una visione del mondo agnostica. Sosteneva inoltre che la verità matematica esisteva indipendentemente dall'esistenza divina o da altri presupposti a priori. Rispondendo alle critiche mosse a Galileo Galilei per non aver sostenuto le sue convinzioni eliocentriche, Hilbert affermò: "Ma [Galileo] non era un idiota. Solo un idiota poteva credere che la verità scientifica abbia bisogno del martirio; ciò può essere necessario nella religione, ma i risultati scientifici si dimostrano a tempo debito."

Vita successiva

Similmente ad Albert Einstein, Hilbert mantenne stretti legami con il Gruppo di Berlino, i cui principali fondatori, tra cui Kurt Grelling, Hans Reichenbach e Walter Dubislav, erano stati suoi studenti a Gottinga.

Circa nel 1925, Hilbert contrasse l'anemia perniciosa, una carenza vitaminica che allora era incurabile e si manifestava principalmente come esaurimento. Il suo assistente, Eugene Wigner, descrisse Hilbert come "un'enorme stanchezza" e come "piuttosto vecchio". Wigner notò inoltre che, anche dopo una diagnosi e un successivo trattamento, Hilbert "non era certo uno scienziato dopo il 1925, e certamente non un Hilbert".

Nel 1932, Hilbert fu eletto membro dell'American Philosophical Society.

Hilbert fu testimone dell'epurazione da parte del regime nazista di numerosi illustri docenti dell'Università di Gottinga nel 1933. Tra quelli licenziati c'erano Hermann Weyl, che aveva assunto la cattedra di Hilbert al suo posto. pensionamento nel 1930; Emmy Noether; e Edmund Landau. Paul Bernays, un altro individuo costretto a lasciare la Germania, aveva collaborato con Hilbert sulla logica matematica ed era coautore dell'opera significativa Grundlagen der Mathematik, che fu infine pubblicata in due volumi nel 1934 e nel 1939. Questa pubblicazione servì come continuazione del volume di Hilbert-Ackermann, Principles of Mathematical Logic (1928). Helmut Hasse succedette a Hermann Weyl.

Circa un anno dopo l'epurazione, Hilbert partecipò a un banchetto dove era seduto accanto a Bernhard Rust, il nuovo ministro dell'Istruzione. Rust chiese se "l'Istituto di Matematica soffrì davvero così tanto a causa della partenza degli ebrei". La toccante risposta di Hilbert fu: "Soffrito? Non esiste più, vero?"

Morte

Con la morte di Hilbert nel 1943, il regime nazista aveva quasi completamente sostituito i docenti dell'università, in gran parte a causa del licenziamento di individui ebrei o sposati con ebrei. Al suo funerale c'era poca partecipazione, con meno di una dozzina di persone presenti, inclusi solo due colleghi accademici, uno dei quali era Arnold Sommerfeld, un fisico teorico originario di Königsberg. La consapevolezza pubblica della sua scomparsa emerse solo diversi mesi dopo la sua morte.

L'epitaffio inciso sulla lapide di Hilbert a Gottinga riporta le famose dichiarazioni che pronunciò al culmine del suo discorso di pensionamento alla Società degli scienziati e dei medici tedeschi l'8 settembre 1930. Queste parole furono offerte come replica alla massima latina: "Ignoramus et ignorabimus", che si traduce in "Non sappiamo e lo faremo" non lo so":

Il giorno precedente la pronuncia di queste frasi da parte di Hilbert all'incontro annuale della Società degli scienziati e dei medici tedeschi del 1930, Kurt Gödel, durante una tavola rotonda alla Conferenza di epistemologia tenutasi in concomitanza con le riunioni della Società, presentò provvisoriamente la formulazione iniziale del suo teorema di incompletezza. I teoremi di incompletezza di Gödel dimostrano che anche i sistemi assiomatici fondamentali, come l'aritmetica di Peano, sono intrinsecamente contraddittori o comprendono proposizioni logiche che non possono essere provate o confutate entro i confini di quel sistema.

Contributi a matematica e fisica

Risoluzione del problema di Gordan

Le ricerche iniziali di Hilbert sulle funzioni invarianti culminarono nel 1888 con la presentazione del suo famoso teorema della finitezza. Due decenni prima, Paul Gordan aveva stabilito il teorema riguardante la finitezza dei generatori di forme binarie, impiegando una complessa metodologia computazionale. I tentativi di estendere l'approccio di Gordan a funzioni che coinvolgono più di due variabili si sono rivelati infruttuosi a causa dell'immensa complessità computazionale. Per affrontare quello che in alcuni ambienti accademici divenne noto come problema di Gordan, Hilbert riconobbe la necessità di adottare una strategia completamente diversa. Di conseguenza, formulò il teorema della base di Hilbert, che dimostrò l'esistenza di un insieme finito di generatori per gli invarianti della quantistica su qualsiasi numero di variabili. Tuttavia, questa prova era astratta, poiché stabiliva l'esistenza senza fornire un metodo costruttivo per identificare tale insieme; si basava sulla legge del terzo escluso entro un'estensione infinita.

Hilbert presentò le sue scoperte alla rivista Mathematische Annalen. Gordan, che era l'autorità residente della rivista sulla teoria degli invarianti per Mathematische Annalen, non riuscì a cogliere la natura innovativa del teorema di Hilbert e successivamente rifiutò il manoscritto, citando un'esposizione non sufficientemente completa. Il suo commento affermava:

Al contrario, Klein ha riconosciuto l'importanza dell'opera e ne ha garantito la pubblicazione senza alcuna revisione. Incoraggiato da Klein, Hilbert ampliò la sua metodologia in un articolo successivo, offrendo stime per il grado massimo dell'insieme minimo di generatori, e lo sottopose agli Annalen. Dopo aver esaminato il manoscritto, Klein comunicò a Hilbert:

Senza dubbio questa è l'opera più importante sull'algebra generale che gli Annalen abbiano mai pubblicato.

Successivamente, dopo che l'utilità del metodo di Hilbert ottenne l'accettazione universale, lo stesso Gordan osservò:

Mi sono convinto che anche la teologia ha i suoi meriti.

Nonostante i suoi successi, la natura intrinseca della dimostrazione di Hilbert ha generato sfide impreviste. Sebbene Kronecker alla fine ammise, Hilbert in seguito affrontò critiche simili affermando che "molte costruzioni diverse sono sussunte sotto un'unica idea fondamentale" - o, come articolò Reid, "Attraverso una prova dell'esistenza, Hilbert era stato in grado di ottenere una costruzione"; quindi, "la prova" (cioè i simboli scritti) era "l'oggetto". Questa prospettiva non convinceva universalmente. Anche se la morte di Kronecker seguì poco dopo, la sua filosofia costruttivista persistette attraverso l'emergente "scuola" intuizionista guidata dal giovane Brouwer, causando notevole disagio a Hilbert nei suoi ultimi anni. In effetti, Hilbert fu testimone del suo "allievo dotato" Weyl abbracciare l'intuizionismo, uno sviluppo che "disturbò Hilbert a causa del fascino del suo ex studente per le idee di Brouwer, che suscitò in Hilbert il ricordo di Kronecker". Brouwer, in quanto intuizionista, si oppose specificamente all'applicazione della legge del medio escluso agli insiemi infiniti, un principio utilizzato da Hilbert. La replica di Hilbert fu:

Togliere al matematico il Principio del Medio Escluso... equivale a... vietare al pugile l'uso dei pugni.

Nullstellensatz

In algebra, un campo è definito come algebricamente chiuso se ogni polinomio definito su di esso possiede una radice all'interno di quel campo. Basandosi su questo concetto, Hilbert stabilì un criterio per determinare quando un insieme di ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ polinomi in ${\displaystyle n}$ condividono una radice comune. Questa condizione vale esattamente quando non ci sono polinomi ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ e indici ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ che soddisfa la seguente equazione:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

Questa scoperta significativa è formalmente riconosciuta come il teorema della radice di Hilbert, noto anche con la sua designazione tedesca, "Hilberts Nullstellensatz". Inoltre, Hilbert ha dimostrato una corrispondenza biunivoca tra gli ideali evanescenti e i loro insiemi evanescenti associati, collegando in particolare varietà affini con ideali radicali all'interno di ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Curva

Nel 1890, Giuseppe Peano introdusse la prima curva di riempimento dello spazio storicamente documentata in un articolo pubblicato sui Mathematische Annalen. Successivamente Hilbert sviluppò una propria variante di questa curva, attualmente conosciuta come curva di Hilbert. Approssimazioni iterative di questa curva vengono generate in base alle regole di sostituzione illustrate nella figura iniziale di questa sezione. La curva stessa è definita come il limite puntuale di queste approssimazioni.

Axiomatizzazione della geometria

Nel 1899, Hilbert pubblicò Grundlagen der Geometrie, tradotto come Fondamenti di geometria, che proponeva un insieme formale di assiomi, noti come assiomi di Hilbert, per sostituire i tradizionali postulati di Euclide. Questi nuovi assiomi affrontavano i punti deboli identificati nell'opera di Euclide, che all'epoca era ancora ampiamente utilizzata come libro di testo. Per definire con precisione gli assiomi di Hilbert è necessario fare riferimento alla storia delle pubblicazioni dei Grundlagen, poiché Hilbert li ha rivisti e modificati più volte. La monografia iniziale fu rapidamente seguita da una traduzione francese, alla quale Hilbert aggiunse V.2, l'Assioma della Completezza. Una traduzione inglese, autorizzata da Hilbert e protetta da copyright nel 1902 da E.J. Townsend, incorporò le modifiche rispetto all'edizione francese ed è quindi considerata una traduzione della seconda edizione. Hilbert continuò a introdurre modifiche al testo, dando vita a diverse edizioni tedesche, di cui la settima fu l'ultima pubblicata durante la sua vita. Le edizioni successive apparvero dopo la settima, sebbene il testo principale rimase in gran parte non rivisto.

La metodologia di Hilbert segnò un passaggio fondamentale verso il moderno approccio assiomatico, uno sviluppo anticipato dal lavoro di Moritz Pasch nel 1882. Secondo questo paradigma, gli assiomi non sono considerati verità evidenti. Sebbene la geometria possa occuparsi di cose che evocano forti intuizioni, non è essenziale assegnare un significato esplicito a concetti indefiniti. Elementi come punti, linee e piani, tra gli altri, potrebbero, come suggerito da Hilbert a Schoenflies e Kötter, essere sostituiti da oggetti come tavoli, sedie o bicchieri di birra. L'attenzione, invece, si concentra sulle loro relazioni definite.

Hilbert inizialmente enumerò i concetti non definiti: punto, linea, piano, la relazione di "giacere su" (che si applica tra punti e linee, punti e piani e linee e piani), interezza, congruenza di coppie di punti (segmenti di linea) e congruenza di angoli. Questi assiomi integrano sia la geometria piana euclidea che la geometria solida in un sistema unificato.

Ventitré problemi

Al Congresso internazionale dei matematici di Parigi nel 1900, Hilbert presentò un elenco molto influente di 23 problemi irrisolti. Questa raccolta è ampiamente considerata come la raccolta di problemi aperti di maggior successo e profondamente considerata mai formulata da un singolo matematico.

Seguendo il suo lavoro fondamentale nella geometria classica, Hilbert avrebbe potuto estendere il suo approccio all'intera matematica. La sua metodologia divergeva dalle successive prospettive "fondazionaliste" di Russell-Whitehead e dall'approccio "enciclopedista" di Nicolas Bourbaki, così come dal suo contemporaneo Giuseppe Peano. I problemi di Hilbert furono progettati per coinvolgere la comunità matematica più ampia su aspetti cruciali di importanti domini matematici.

La serie di problemi fu introdotta durante una conferenza intitolata "I problemi della matematica", tenuta al Secondo Congresso internazionale dei matematici a Parigi. Le osservazioni introduttive di Hilbert per questo discorso affermavano:

Chi di noi non sarebbe felice di sollevare il velo dietro il quale si nasconde il futuro; gettare uno sguardo ai prossimi progressi della nostra scienza e ai segreti del suo sviluppo nei secoli futuri? Quali saranno gli obiettivi particolari verso i quali si sforzeranno i principali spiriti matematici delle generazioni future? Quali nuovi metodi e nuovi fatti nell'ampio e ricco campo del pensiero matematico sveleranno i nuovi secoli?

Hilbert presentò meno della metà di questi problemi al Congresso, e la loro prima pubblicazione apparve negli atti del Congresso. In una pubblicazione successiva ampliò questo quadro d'insieme, portando alla formulazione definitiva degli ormai canonici 23 Problemi di Hilbert. Il testo completo rimane significativo, poiché l'interpretazione di queste domande può ancora essere oggetto di dibattito riguardo al numero di problemi che sono stati definitivamente risolti.

Alcuni di questi problemi sono stati risolti in tempi relativamente brevi. Altri sono stati oggetto di ampie discussioni nel corso del XX secolo, e alcuni sono ora considerati troppo aperti per raggiungere una conclusione definitiva. Un sottoinsieme di questi problemi continua a porre sfide significative.

Di seguito sono riportati i titoli dei 23 problemi di Hilbert così come apparivano nella traduzione del 1902 pubblicata nel Bulletin of the American Mathematical Society.

1. Il problema di Cantor dei numeri cardinali del continuo.

2. La compatibilità degli assiomi aritmetici.

3. L'uguaglianza dei volumi di due tetraedri di uguali basi e uguali altezze.

Il quarto problema affronta il concetto di linea retta come la distanza più breve tra due punti.

Il quinto problema riguarda la teoria di Lie dei gruppi a trasformazione continua, in particolare senza presumere la differenziabilità delle funzioni che definiscono questi gruppi.

Il sesto problema riguarda la formalizzazione matematica di assiomi fisici.

Il settimo problema indaga le proprietà di irrazionalità e trascendenza di numeri specifici.

L'ottavo problema si concentra sulla distribuzione dei numeri primi, comprendendo in particolare l'ipotesi di Riemann.

Il nono problema cerca di stabilire una prova per la legge di reciprocità più generalizzata all'interno di qualsiasi campo numerico.

Il decimo problema mira a determinare la risolubilità delle equazioni diofantee.

L'undicesimo problema affronta le forme quadratiche che incorporano coefficienti numerici algebrici arbitrari.

Il dodicesimo problema riguarda l'estensione del teorema di Kronecker, che riguarda i campi abeliani, per comprendere qualsiasi dominio algebrico della razionalità.

Il tredicesimo problema esplora l'impossibilità di risolvere l'equazione generale di settimo grado utilizzando funzioni limitate a soli due argomenti.

Il quattordicesimo problema richiede di dimostrare la finitezza di specifici sistemi completi di funzioni.

Il quindicesimo problema richiede un rigoroso quadro fondazionale per il calcolo enumerativo di Schubert.

Il sedicesimo problema riguarda la topologia delle curve e delle superfici algebriche.

Il diciassettesimo problema riguarda l'espressione di forme definite come somme di quadrati.

Il diciottesimo problema indaga la costruzione dello spazio utilizzando poliedri congruenti.

Il diciannovesimo problema chiede se le soluzioni a problemi regolari nel calcolo delle variazioni siano invariabilmente analitiche.

Il ventesimo problema affronta la teoria generale dei valori al contorno, in particolare i problemi dei valori al contorno nelle equazioni alle derivate parziali.

Il ventunesimo problema cerca di dimostrare l'esistenza di equazioni differenziali lineari che possiedono un gruppo monodromico predefinito.

Il ventiduesimo problema riguarda l'uniformizzazione delle relazioni analitiche attraverso l'applicazione di funzioni automorfe.

Il ventitreesimo problema propone l'ulteriore avanzamento delle metodologie nell'ambito del calcolo delle variazioni.

Formalismo

Entro la metà del secolo, l'influente serie di problemi di Hilbert fu ampiamente riconosciuta come un manifesto fondamentale, aprendo la strada all'emergere della scuola formalista, un'importante filosofia matematica del XX secolo. I formalisti presuppongono che la matematica costituisca la manipolazione di simboli governati da regole formali stabilite, rappresentando quindi uno sforzo intellettuale autonomo.

Programma

Nel 1920, Hilbert introdusse un'iniziativa di ricerca metamatematica, successivamente denominata programma di Hilbert, che mirava a fondare la matematica su una struttura logica solida e completa. Ha teorizzato che questo obiettivo potrebbe essere raggiunto dimostrando due principi chiave:

1. In primo luogo, che l'intera matematica potrebbe essere derivata da un sistema assiomatico finito accuratamente selezionato; e
2. In secondo luogo, che un tale sistema assiomatico potrebbe essere dimostrabilmente coerente attraverso metodi come il calcolo epsilon.

La formulazione di questa proposta da parte di Hilbert sembra essere stata motivata da considerazioni sia tecniche che filosofiche. Rifletteva in particolare la sua opposizione al concetto noto come "ignorabimus", un dibattito intellettuale significativo nel pensiero tedesco contemporaneo, che ebbe origine con Emil du Bois-Reymond.

Questo programma rimane identificabile all'interno della filosofia predominante della matematica, comunemente chiamata formalismo. Ad esempio, il gruppo Bourbaki ha implementato un'iterazione modificata e selettiva di questo programma, ritenendolo adatto al suo duplice obiettivo: (a) compilare testi fondamentali completi e (b) sostenere il metodo assiomatico come strumento di ricerca. Sebbene questo approccio si sia rivelato efficace e di grande impatto per quanto riguarda i contributi di Hilbert all'algebra e all'analisi funzionale, non ha avuto altrettanto risonanza con i suoi impegni in fisica e logica.

Nel 1919, Hilbert articolò:

Non stiamo discutendo di arbitrarietà in nessun contesto. La matematica non assomiglia a un gioco in cui i compiti sono definiti da regole stabilite arbitrariamente. Costituisce invece un sistema concettuale dotato di una necessità intrinseca, che ne detta la natura e preclude qualsiasi alternativa.

Le prospettive di Hilbert sui principi fondamentali della matematica furono divulgate nella sua pubblicazione in due volumi, *Grundlagen der Mathematik*.

Contributi di Gödel

Hilbert e i suoi collaboratori erano profondamente impegnati in questa ambiziosa impresa. Tuttavia, il suo tentativo di sostenere la matematica assiomatizzata con principi conclusivi, intesi a eliminare le ambiguità teoriche, alla fine si rivelò infruttuoso.

Gödel dimostrò in modo conclusivo che qualsiasi sistema formale coerente in grado di esprimere l'aritmetica fondamentale non può stabilire la propria completezza esclusivamente attraverso i suoi assiomi intrinseci e le sue regole di inferenza. Il suo teorema di incompletezza del 1931 rivelò che il programma completo di Hilbert, come originariamente concepito, era irraggiungibile. Nello specifico, il secondo principio del programma di Hilbert non può essere coerentemente integrato con il primo, a patto che il sistema assiomatico sia autenticamente finitario.

Tuttavia, i successivi progressi nella teoria della dimostrazione chiarirono in modo significativo il concetto di coerenza, in particolare per quanto riguarda le teorie centrali nell'indagine matematica. Il lavoro fondamentale di Hilbert ha avviato questa traiettoria di chiarificazione nella logica. Successivamente, l’imperativo di comprendere i contributi di Gödel stimolò l’evoluzione della teoria della ricorsione, che poi stabilì la logica matematica come disciplina accademica autonoma negli anni ’30. Inoltre, i principi fondamentali per la successiva informatica teorica, in particolare attraverso i contributi di Alonzo Church e Alan Turing, emersero direttamente da questo discorso intellettuale.

Analisi funzionale

Circa nel 1909, Hilbert dedicò i suoi sforzi allo studio delle equazioni differenziali e integrali, ottenendo implicazioni dirette per aree significative dell'analisi funzionale moderna. Per facilitare queste indagini, Hilbert concettualizzò uno spazio euclideo a dimensione infinita, successivamente designato come spazio di Hilbert. I suoi sforzi in questo ambito analitico fornirono una base cruciale per contributi sostanziali alla matematica della fisica nei due decenni successivi, anche se da una prospettiva imprevista. Successivamente, Stefan Banach ha ampliato questo concetto definendo gli spazi Banach. Gli spazi di Hilbert costituiscono una classe fondamentale di entità all'interno dell'analisi funzionale, particolarmente rilevante per la teoria spettrale degli operatori lineari autoaggiunti, un campo che si è sviluppato attorno ad essi nel corso del XX secolo.

Fisica

Prima del 1912, Hilbert operava principalmente come matematico puro. Quando Hermann Minkowski, un collega matematico e amico, progettò un Effettivamente, Minkowski sembra essere stato determinante nella maggior parte delle esplorazioni di fisica di Hilbert prima del 1912, compreso il seminario di collaborazione sull'argomento nel 1905.

Nel 1912, tre anni dopo la morte di Minkowski, Hilbert spostò la sua attenzione accademica quasi esclusivamente alla fisica. Trovò un "tutor fisico" personale e iniziò gli studi sulla teoria cinetica dei gas, passando alla teoria delle radiazioni elementari e alla teoria molecolare della materia. Anche dopo lo scoppio della guerra nel 1914, tenne seminari e lezioni in cui esaminava meticolosamente le opere di Albert Einstein e di altri fisici contemporanei.

Nel 1907, Einstein aveva articolato i principi fondamentali della teoria della gravità, ma successivamente lavorò per quasi otto anni per finalizzare la sua formulazione completa. Il suo incontro con Emmy Noether a Gottinga si è rivelato fondamentale per questa svolta. All'inizio dell'estate 1915, l'interesse di Hilbert per la fisica era confluito verso la relatività generale, spingendolo a invitare Einstein a Gottinga per una serie di conferenze di una settimana sull'argomento. Einstein fu accolto con entusiasmo. Durante l'estate Einstein venne a conoscenza del lavoro parallelo di Hilbert sulle equazioni di campo, che intensificò i suoi sforzi di ricerca. Nel novembre 1915, Einstein pubblicò diversi articoli che culminarono in Le equazioni di campo della gravitazione. Quasi contemporaneamente, Hilbert pubblicò "I fondamenti della fisica", che presentava una derivazione assiomatica delle equazioni di campo. Hilbert riconobbe costantemente Einstein come il concettualizzatore originale della teoria, e tra i due studiosi non sorse mai alcuna disputa pubblica sulla priorità delle equazioni di campo durante la loro vita.

Inoltre, la ricerca di Hilbert anticipò e facilitò diversi progressi nella formalizzazione matematica della meccanica quantistica. I suoi contributi furono fondamentali per il lavoro di Hermann Weyl e John von Neumann sulla dimostrazione dell'equivalenza matematica tra la meccanica delle matrici di Werner Heisenberg e l'equazione d'onda di Erwin Schrödinger. Inoltre, l'omonimo spazio di Hilbert ricopre un ruolo significativo nella teoria quantistica. Nel 1926, von Neumann dimostrò in modo conclusivo che se gli stati quantistici fossero stati concettualizzati come vettori all'interno dello spazio di Hilbert, si sarebbero allineati sia con la teoria della funzione d'onda di Schrödinger che con le matrici di Heisenberg.

Hilbert si dedicò a instillare il rigore matematico nel campo della fisica. Nonostante la forte dipendenza della fisica dalla matematica avanzata, i professionisti spesso mostravano una mancanza di precisione nella sua applicazione. Per un matematico puro come Hilbert, questa imprecisione era sia esteticamente sgradevole che intellettualmente opaca. Mentre approfondiva la sua comprensione della fisica e dei metodi matematici utilizzati dai fisici, formulò una teoria matematica coerente per le sue osservazioni, in particolare nel dominio delle equazioni integrali. Quando il suo collega Richard Courant scrisse l'opera fondamentale Methoden der mathematischen Physik (Metodi di fisica matematica), incorporando alcuni dei concetti di Hilbert, incluse il nome di Hilbert come coautore, nonostante la mancanza di contributo diretto di Hilbert al manoscritto. Hilbert osservò notoriamente: "La fisica è troppo difficile per i fisici", lasciando intendere che la sofisticazione matematica richiesta spesso superava la loro portata; la pubblicazione di Courant-Hilbert ha successivamente facilitato il loro impegno con questi complessi strumenti matematici.

Teoria dei numeri

Hilbert fece avanzare in modo significativo l'unificazione della teoria algebrica dei numeri attraverso il suo trattato del 1897, Zahlbericht (letteralmente, "rapporto sui numeri"). Risolse con successo anche un sostanziale problema di teoria dei numeri inizialmente posto da Waring nel 1770. Similmente al suo teorema di finitezza, Hilbert impiegò una dimostrazione di esistenza, dimostrando la certezza delle soluzioni senza fornire un metodo costruttivo per la loro derivazione. In seguito le sue successive pubblicazioni sull'argomento furono limitate; tuttavia, l'emergere delle forme modulari di Hilbert nella tesi di uno studente associò ulteriormente il suo nome a un'importante area di ricerca.

Egli propose una serie di congetture relative alla teoria dei campi di classe. Questi concetti si sono rivelati profondamente influenti e i contributi duraturi di Hilbert sono riconosciuti attraverso la nomenclatura del campo di classi di Hilbert e il simbolo di Hilbert all'interno della teoria dei campi di classi locali. La maggior parte di questi risultati furono confermati nel 1930, in gran parte grazie al lavoro di Teiji Takagi.

Sebbene Hilbert non si concentrò sulle aree centrali della teoria analitica dei numeri, il suo nome è associato alla congettura di Hilbert-Pólya, una connessione radicata in origini aneddotiche. Ernst Hellinger, un ex studente di Hilbert, una volta raccontò ad André Weil che Hilbert aveva dichiarato in un seminario all'inizio del 1900 la sua aspettativa che la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann sarebbe emersa come conseguenza della ricerca di Fredholm sulle equazioni integrali caratterizzate da un nucleo simmetrico.

Funziona

La sua raccolta di opere accademiche, intitolate Gesammelte Abhandlungen, ha subito numerose pubblicazioni. Le versioni iniziali dei suoi documenti contenevano numerose inesattezze tecniche di varia gravità. Alla prima pubblicazione della raccolta, questi errori furono corretti e fu stabilito che tali correzioni potevano essere implementate senza la necessità di importanti alterazioni alle affermazioni dei teoremi, con la singolare eccezione di una presunta dimostrazione dell'ipotesi del continuo. Tuttavia, gli errori erano sufficientemente pervasivi e significativi da richiedere a Olga Taussky-Todd tre anni per completare le revisioni necessarie.

Concetti

Citazioni

Letteratura primaria nella traduzione inglese

Letteratura primaria in traduzione inglese

• Ewald, William B., ed. (1996). Da Kant a Hilbert: un libro di origine sui fondamenti della matematica. Oxford, Regno Unito: Oxford University Press.
• 1922. "Le nuove basi della matematica: primo rapporto", 1115–1133.
• 1923. "I fondamenti logici della matematica", 1134–1147.
• 1930. "Logica e conoscenza della natura", 1157–1165.
• 1931. "Le basi della teoria dei numeri elementari", 1148–1156.
• 1904. "Sui fondamenti della logica e dell'aritmetica", 129–138.
• 1925. "Sull'infinito", 367–392.
• 1927. "I fondamenti della matematica", con il commento di Weyl e un'appendice di Bernays, 464–489.