David Hilbert

David Hilbert (23 Çile 1862 – 14 Sibat 1943) matematîknasekî Alman ê navdar û fîlozofekî matematîkê bû, ku di dema mîlada xwe de wekî yek ji kesayetiyên herî bibandor di vê qadê de bi awayekî berfireh dihat nasîn.

David Hilbert (; Almanî: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23 Çile 1862 – 14 Sibat 1943) matematîknasekî Alman û fîlozofekî matematîkê bû û yek ji matematîknasên herî bibandor ên dema xwe bû.

Beşdariyên Hilbert keşf û pêşxistina gelek têgehên bingehîn dihewand, di nav de teorîya învaryantê, hesabê varyasyonan, cebîra komutatîf, teorîya hejmarên cebîrî, bingehên geometriyê, teorîya spektral a operatoran bi serîlêdanên wê yên li ser hevkêşeyên întegral, fîzîka matematîkî, û bingehên matematîkê, bi taybetî teorîya îsbatê. Ew parêzvanekî xurt ê teorîya komê ya Georg Cantor û hejmarên transfinîte bû. Pêşkêşkirina wî ya berhevokek pirsgirêkên bingehîn di sala 1900an de, rêgeha lêkolînên matematîkî di tevahiya sedsala 20an de bi awayekî girîng şekil da.

Bi xwendekarên xwe re, Hilbert roleke JGirîng di damezrandina hişkiya matematîkî û pêşxistina amûrên bingehîn ên ku di fîzîka matematîkî ya hemdem de têne bikaranîn de lîst. Ew her weha wekî hev-damezrênerê hem teorîya îsbatê û hem jî mantiqa matematîkî tê nasîn.

Jiyan

Jiyana destpêkê û perwerdehî

David Hilbert, yê mezin ji du zarokan û kurê yekane yê Otto, dadwerekî navçeyê, û Maria Therese Hilbert (Erdtmann), keça bazirganekî, li Parêzgeha Prûsyayê, di nav Qraliyeta Prûsyayê de ji dayik bû. Cihê jidayikbûna wî wekî Königsberg (Kaliningrada Niha), li gorî gotina Hilbert bi xwe, an jî Wehlau (ji sala 1946an ve wekî Znamensk tê zanîn), ku Nêzîkî Königsbergê ye û bavê wî di dema jidayikbûna wî de li wir dixebitî, hatiye qeyd kirin. Bapîrê wî yê bavî, ku navê wî jî David Hilbert bû, wekî dadwer û Geheimrat kar kiribû. Maria, diya wî, eleqeyên xwe di felsefe, astronomî û hejmarên seretayî de pêş xist, dema ku bavê wî, Otto, fezîletên Prûsî di wî de çandin. Piştî tayînkirina bavê wî wekî dadwerê bajêr, malbat çû Königsbergê. Xwişka wî, Elise, dema ku ew şeş salî bû ji dayik bû. Hilbert perwerdehiya xwe ya fermî di heşt saliya xwe de, du sal Wêdetirî temenê destpêkê yê asayî, dest pê kir.

Di dawiya sala 1872an de, Hilbert li Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum) qeyd kir, dibistanek ku 140 sal berê ji aliyê Immanuel Kant ve hatibû xwendin. Lê belê, piştî demekê nebaş, wî di dawiya sala 1879an de veguherî û paşê di destpêka sala 1880an de ji Wilhelm Gymnasiumê mezûn bû, ku bernameyek perwerdehiyê ya bêtir li ser zanistê pêşkêş dikir. Piştî mezûnbûna xwe di Payîza sala 1880an de, Hilbert li Zanîngeha Königsbergê, ku wekî "Albertina" dihat zanîn, qeyd kir. Di destpêka sala 1882an de, Hermann Minkowski, ku du sal ji Hilbert biçûktir bû û her weha Xwecihîyekî Königsbergê bû (her çend wî sê semestr li Berlînê derbas kiribûn), vegeriya bajêr û tevlî zanîngehê bû. Hilbert paşê bi Minkowski yê bixwebûn û jêhatî re hevaltiyek heta hetayê ava kir.

Kar

Di sala 1884an de, Adolf Hurwitz ji Göttingenê wekî Extraordinarius, ku wekî profesorê alîkar tê hesibandin, tevlî fakulteyê bû. Ev bû destpêka hevkariyeke zanistî ya xurt û berhemdar di navbera her sê zanyaran de, bi taybetî Minkowski û Hilbert, ku di tevahiya kariyera xwe ya zanistî de bandorek hevdu li ser hev kirin. Hilbert di sala 1885an de, di bin çavdêriya Ferdinand von Lindemann de, teza xwe ya doktorayê bi serkeftî parast. Navê tezê Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen bû, ku tê wateya "Li ser taybetmendiyên neguherbar ên formên binary yên taybetî, bi taybetî fonksiyonên harmonîk ên qada."

Hilbert ji sala 1886an heta 1895an li Zanîngeha Königsbergê wekî Privatdozent (mamosteyê payebilind) xebitî. Di sala 1895an de, bi piştgiriya Felix Klein, wî li Zanîngeha Göttingenê wezîfeya Profesorê Matematîkê bi dest xist. Serdema di dema ku Klein û Hilbert çalak bûn, Göttingen veguherand saziya herî pêşîn di civaka matematîkî ya cîhanî de. Wî heta dawiya jiyana xwe li wir wezîfeya xwe domand.

Dibistana Göttingenê

Di nav xwendekarên Hilbert ên navdar de Hermann Weyl, şampiyonê şetrencê Emanuel Lasker, Ernst Zermelo, û Carl Gustav Hempel hebûn. John von Neumann wekî alîkarê wî xebitî. Li Zanîngeha Göttingenê, Hilbert beşek ji civakeke rewşenbîrî ya hêja bû ku çend matematîkzanên herî girîng ên sedsala 20an, di nav de Emmy Noether û Alonzo Church, dihewand.

Ji 69 xwendekarên wî yên doktorayê yên li Göttingenê, gelek ji wan paşê wekî matematîkzan navdar bûn, di nav de (bi sala qedandina tezê): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), û Wilhelm Ackermann (1925). Ji sala 1902an heta 1939an, Hilbert wekî edîtorê Mathematische Annalen xebitî, ku wê demê kovara matematîkî ya herî pêşîn bû. Di sala 1907an de, ew wekî Endamê Navneteweyî yê Akademiya Zanistî ya Neteweyî ya Dewletên Yekbûyî hate hilbijartin.

Jiyana kesane

Di sala 1892an de, Hilbert bi Käthe Jerosch (1864–1945), keça bazirganekî Königsbergê re zewicî, ku wekî "jineke ciwan a vekirî bi serxwebûna hişê ku bi ya [Hilbert] re li hev dihat" hate binavkirin. Di dema wan a li Königsbergê de, kurê wan ê yekane, Franz Hilbert (1893–1969), çêbû. Franz bi nexweşiyeke derûnî ya tevahiya jiyana xwe re rû bi rû ma, û piştî ku ew li klînîkek psîkiyatrîkî hate qebûlkirin, Hilbert ragihand ku gotiye, "Ji niha û pê ve, divê ez xwe wekî kesekî bê kur bihesibînim." Ev helwestê Käthe pir xemgîn kir.

Hilbert matematîkzan Hermann Minkowski wekî hevalê xwe yê herî nêzîk û herî pêbawer dihesiband.

Hilbert di nav de Dêra Evangelîst a Prûsyayê de wekî Kalvînîst hate imadkirin û mezin kirin. Paşê, wî dev ji Dêrê berda û nêrînek agnostîk pejirand. Wî herwiha îdia kir ku heqîqeta matematîkî ji hebûna xwedayî an pêşbîniyên din ên Berî Ceribandinê a priori bi serxwebûn hebû. Di bersiva rexneyên li ser Galileo Galilei de ku baweriyên xwe yên heliocentric neparastibû, Hilbert got: "Lê [Galileo] ne ehmeq bû. Tenê ehmeqek dikare bawer bike ku heqîqeta zanistî hewcedarê şehadetê ye; dibe ku ev di dîn de pêwîst be, lê encamên zanistî di wextê xwe de xwe selmandin."

Jiyana Paşîn

Mîna Albert Einstein, Hilbert têkiliyên nêzîk bi Koma Berlînê re domand, ku damezrênerên wê yên Bingehîn, di nav de Kurt Grelling, Hans Reichenbach, û Walter Dubislav, li Göttingenê xwendekarên wî bûn.

Nêzîkî sala 1925, Hilbert bi anemiya perniyoz ket, ku kêmasiyek vîtamînê bû ku wê demê nedihate tedawîkirin û bi giranî wekî westandinê diyar dibû. Alîkarê wî, Eugene Wigner, Hilbert wekî kesek ku "westandineke mezin" dikişîne û "pir pîr" xuya dike, binav kir. Wigner herwiha destnîşan kir ku tewra piştî teşxîs û tedawiya paşîn jî, Hilbert "piştî sala 1925an bi zor zanyar bû, û bê guman ne Hilbertek bû."

Di sala 1932an de, Hilbert wekî endamê Civata Felsefî ya Amerîkî hate hilbijartin.

Hilbert şahidî kir ku rejîma Nazî di sala 1933an de gelek endamên hêja yên fakulteya Zanîngeha Göttingenê paqij kir. Di nav wan kesên ku hatin dûrxistin de Hermann Weyl hebû, ku piştî teqawidbûna Hilbert di sala 1930an de cihê wî girtibû; Emmy Noether; û Edmund Landau. Paul Bernays, kesek din ku neçar ma ji Almanya derkeve, bi Hilbert re li ser mantiqa matematîkî hevkarî kiribû û hev-nivîskarê karê girîng Grundlagen der Mathematik bû, ku di dawiyê de di du qebareyan de di salên 1934 û 1939an de hate weşandin. Ev weşan wekî berdewamiya qebareya Hilbert–Ackermann, Principles of Mathematical Logic (1928) xizmet kir. Helmut Hasse li şûna Hermann Weyl derbas bû.

Nêzîkî salek piştî paqijkirinê, Hilbert beşdarî ziyafetekê bû ku li wir li kêleka Bernhard Rust, Wezîrê Perwerdehiyê yê nû hatibû tayînkirin, rûniştibû. Rust pirsî gelo "Enstîtuya Matematîkê ji ber çûyîna Cihûyan bi rastî ewqas zirar dîtibû." Bersiva dilşewat a Hilbert ev bû: "Zirar dît? Êdî tune ye, ne wisa?"

Mirin

Heta mirina Hilbert di sala 1943an de, rejîma Nazî hema hema bi tevahî fakulteya zanîngehê guhertibû, bi giranî ji ber dûrxistina kesên Cihû an jî yên ku bi Cihûyan re zewicî bûn. Cenazeyê wî bi kêm kesan hate lidarxistin, kêmtirî deh kes amade bûn, di nav de tenê du akademîsyenên heval, yek ji wan Arnold Sommerfeld bû, fîzîknasekî teorîk û Xwecihî yê Königsbergê. Raya giştî tenê çend meh piştî mirina wî ji çûyîna wî agahdar bû.

Nivîsa ser kevirê gora Hilbert li Göttingenê, gotinên wî yên navdar ên ku wî di dawiya axaftina xwe ya teqawidbûnê de ji Civata Zanyar û Bijîşkên Alman re di 8ê Îlona 1930an de pêşkêş kiribû, dihewîne. Van gotinan wekî bersivek ji gotina Latînî re hatin pêşkêşkirin: "Ignoramus et ignorabimus," ku tê wateya "Em nizanin û em ê nizanin":

Roja berî ku Hilbert van hevokan di civîna salane ya 1930an a Civata Zanyar û Bijîşkên Alman de bîne ziman, Kurt Gödel, di dema nîqaşek maseya dor de li Konferansa Epîstemolojîyê ku hevdem bi civînên Civatê re dihat lidarxistin, bi awayekî demkî formulekirina destpêkê ya teorema xwe ya netemamiyê pêşkêş kir. Teoremên netemamiyê yên Gödel destnîşan dikin ku tewra pergalên aksiyomatîk ên Bingehîn jî, wekî aritmetîka Peano, an bi xweber nakok in an jî pêşniyarên mantiqî dihewînin ku di nav sînorên wê pergalê de nayên îspatkirin an redkirin.

Beşdarî di Matematîk û Fîzîkê de

Çareseriya Pirsgirêka Gordan

Lêkolîna destpêkê ya Hilbert li ser fonksiyonên neguherbar di sala 1888an de bi pêşkêşkirina teorema wî ya dawîbûnê ya navdar bi encam bû. Du dehsal berê, Paul Gordan teoremeke derbarê dawîbûna jeneratorên ji bo formên bînar de damezrandibû, bi karanîna metodolojiyeke hesabkerî ya tevlihev. Hewldanên ji bo berfirehkirina nêzîkatiya Gordan li ser fonksiyonên ku zêdetirî du guhêrbaran dihewînin, ji ber tevliheviya hesabkerî ya mezin, bêencam man. Ji bo çareserkirina tiştê ku di hin derdorên akademîk de wekî Pirsgirêka Gordan dihat zanîn, Hilbert pêwîstiya pejirandina stratejiyeke bi tevahî cuda nas kir. Wekî encam, wî teorema bingehîn a Hilbert formule kir, ku Hebûna komek dawî ya jeneratoran ji bo neguherbarên quantîkan li ser her hejmarek guhêrbaran nîşan da. Lê belê, ev îspat razber bû, Hebûnê damezrand bêyî ku rêbazeke avaker ji bo naskirina komeke wusa peyda bike; ew li ser qanûna navîn a derxistî di nav berfirehbûneke Bêdawî de disekinî.

Hilbert encamên xwe ji kovara Mathematische Annalen re şand. Gordan, ku wekî otorîteya niştecîh a kovarê li ser Teorîya neguherbar ji bo Mathematische Annalen kar dikir, nikarîbû cewhera şoreşgerî ya teorema Hilbert fêm bike û paşê destnivîs red kir, bi hinceta ravekirineke ne têra xwe berfireh. Şîroveya wî wiha got:

Berevajî, Klein girîngiya Kar nas kir û weşandina wê bêyî tu guhertinan garantî kir. Bi teşwîqkirina Klein, Hilbert metodolojiya xwe di gotareke paşîn de berfireh kir, texmînên ji bo pileya herî zêde ya koma herî kêm a jeneratoran pêşkêş kir, û ew ji Annalen re ji nû ve şand. Piştî vekolîna destnivîsê, Klein ji Hilbert re ragihand:

Bê guman ev Karê herî girîng e li ser cebîra giştî ku Annalen heta niha weşandiye.

Paşê, piştî ku kêrhatîbûna rêbaza Hilbert pejirandina gerdûnî bi dest xist, Gordan bi xwe got:

Min xwe îqna kir ku tewra teolojî jî xwedî qîmetên xwe ye.

Tevî serkeftinên wî, xwezaya bingehîn a îspata Hilbert pirsgirêkên nedîtî derxistin holê. Her çend Kronecker di dawiyê de li hev kir jî, Hilbert paşê bersiva rexneyên bi vî rengî da û got ku "gelek avahiyên cuda di bin yek fikra bingehîn de têne berhev kirin"—an jî, wekî ku Reid anî ziman, "Bi îspateke hebûnê, Hilbert karîbû avahiyekê bi dest bixe"; bi vî awayî, "îspat" (ango, sembolên nivîskî) bû "tişt". Ev perspektîf bi giştî nehat qebûlkirin. Her çend mirina Kronecker zû piştî wê bû jî, felsefeya wî ya avakerî bi riya "dibistana" înstîtûsyonîst a nûjen ku ji hêla Brouwerê ciwan ve dihat rêvebirin berdewam kir, û ev yek di salên wî yên paşîn de bû sedema xemgîniyek mezin ji bo Hilbert. Bi rastî, Hilbert şahidî kir ku "xwendekarê wî yê jêhatî" Weyl înstîtûsyonîzmê hembêz kir, pêşveçûnek ku "Hilbert ji ber dilxwaziya xwendekarê wî yê berê bi ramanên Brouwer aciz kir, û ev yek bîranîna Kronecker di Hilbert de zindî kir." Brouwer, wekî înstîtûsyonîstek, bi taybetî li dijî sepandina Qanûna Navîn a Derxistî li ser komên bêdawî derket, prensîbek ku Hilbert bikar anîbû. Bersiva Hilbert ev bû:

Girtina Prensîba Navîn a Derxistî ji matematîkzanekî ... wekî ... qedexekirina bikaranîna kulmên wî ji boksorekî ye.

Nullstellensatz

Di cebîrê de, qadek wekî bi cebîrî girtî tê pênasekirin ger her polînomek ku li ser wê hatî pênasekirin, rehek di nav wê qadê de hebe. Li ser vê têgehê ava kirin, Hilbert krîterek saz kir da ku diyar bike kengê komek polînomên ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ di guherbarên ${\displaystyle n}$ de rehek berbelav parve dikin. Ev merc bi rastî dema ku tu polînomên ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ û îndeksên ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ tune bin ku hevkêşeya jêrîn bicîh bînin:

6 = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

Ev vedîtina girîng bi fermî wekî teorema rehê Hilbert tê nasîn, ku bi navê wê yê Almanî, "Hilberts Nullstellensatz," jî tê zanîn. Herwiha, Hilbert pêwendiyeke bijektîv di navbera îdealên windabûyî û komên wan ên windabûyî de nîşan da, bi taybetî cureyên afîn bi îdealên radîkal ve di nav ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ de girêda.

Xêz

Di sala 1890an de, Giuseppe Peano yekem xêza dagirtina feza ya dîrokî belgekirî di gotarekê de ku di Mathematische Annalen de hatibû weşandin, pêşkêş kir. Paşê, Hilbert guhertoya xwe ya vê xêzê pêş xist, ku niha wekî xêza Hilbert tê zanîn. Nêzîkatiyên dubarekirî yên vê xêzê li ser bingeha qaîdeyên guhertinê yên ku di wêneya destpêkê ya vê beşê de hatine nîşandan, têne çêkirin. Xêz bi xwe wekî sînora xalî ya van nêzîkatiyan tê pênasekirin.

Aksiyomatîzasyona Geometrîyê

Di sala 1899an de, Hilbert Grundlagen der Geometrie weşand, ku wekî Bingehên Geometrîyê hate wergerandin, û komek aksiyomên fermî, ku wekî aksiyomên Hilbert têne zanîn, pêşniyar kir da ku postulatên kevneşopî yên Euclid biguhezîne. Van aksiyomên nû kêmasiyên ku di karê Euclid de hatibûn nasîn çareser kirin, ku di wê demê de hîn jî wekî pirtûkek dersê bi berfirehî dihat bikar anîn. Bi rastî pênasekirina aksiyomên Hilbert hewce dike ku meriv serî li dîroka weşanê ya Grundlagen bide, ji ber ku Hilbert wan gelek caran sererast kir û guherand. Monografiya destpêkê zû bi wergera Frensî hate şopandin, ku Hilbert V.2, Aksiyoma Temamkirinê, pê ve kir. Wergera Îngilîzî, ku ji hêla Hilbert ve hatibû destûrdayîn û di sala 1902an de ji hêla E.J. Townsend ve hatibû parastin, guhertinên ji çapa Frensî tê de bûn û ji ber vê yekê wekî wergera çapa duyemîn tê hesibandin. Hilbert berdewam kir ku guhertinan li nivîsê bike, di encamê de çend çapên Almanî derketin, ku ya heftemîn ya dawîn bû ku di dema jiyana wî de hate weşandin. Çapên paşîn piştî ya heftemîn derketin, her çend nivîsa navik bi giranî nehatibû sererastkirin.

Metodolojiya Hilbert guhertinek bingehîn ber bi nêzîkatiya aksiyomatîk a nûjen ve nîşan da, pêşveçûnek ku ji hêla karê Moritz Pasch ve di sala 1882an de hatibû pêşbînîkirin. Di bin vê paradîgmayê de, aksiyom wekî rastiyên xwe-eşkere nayên hesibandin. Her çend geometrî dibe ku bi tiştan re eleqedar bibe ku hestên xurt derdixin holê, lê ne girîng e ku meriv wateyek eşkere bide têgehên nediyar. Hêmanên wekî xal, xêz û balafir, di nav yên din de, dikarin, wekî ku Hilbert tê gotin ji Schoenflies û Kötter re pêşniyar kir, bi tiştên wekî mase, kursî, an qedehên bîrayê werin guhertin. Balkêşî, li şûna wê, li ser têkiliyên wan ên pênasekirî ye.

Di destpêkê de, Hilbert têgehên nediyar jimartin: xal, xêz, balafir, têkiliya "li ser razanê" (ku di navbera xal û xêzan, xal û balafiran, û xêz û balafiran de derbas dibe), navberî, lihevhatina cotên xalan (parçeyên xêzan), û lihevhatina goşeyan. Van aksiyoman hem geometriya balafirê ya Euclidî û hem jî geometriya hişk di nav pergalek yekbûyî de yek dikin.

Bîst û Sê Pirsgirêk

Di Kongreya Navneteweyî ya Matematîkzanan de li Parîsê di sala 1900an de, Hilbert lîsteyek pir bi bandor a 23 pirsgirêkên çaresernebûyî pêşkêş kir. Ev berhevkirin bi berfirehî wekî berhevoka herî serkeftî û kûr-ramandî ya pirsgirêkên vekirî tê dîtin ku heta niha ji aliyê matematîkzanekî ferdî ve hatiye formulekirin.

Li dû karê wî yê bingehîn di geometriya klasîk de, Hilbert dikaribû nêzîkatiya xwe berfireh bikira ser tevahiya matematîkê. Metodolojiya wî ji nêrînên paşîn ên "bingehparêz" ên Russell–Whitehead û nêzîkatiya "ansîklopedîst" a Nicolas Bourbaki, herwiha ji hemdemê wî Giuseppe Peano, cuda bû. Pirsgirêkên Hilbert hatibûn sêwirandin ku civaka matematîkî ya berfireh di aliyên JGirîng ên warên matematîkî yên girîng de tevlî bikin.

Koma pirsgirêkan di dema dersdanek bi sernavê "Pirsgirêkên Matematîkê" de hate pêşkêşkirin, ku di Kongreya Duyemîn a Navneteweyî ya Matematîkzanan de li Parîsê hatibû dayîn. Gotarên destpêkê yên Hilbert ji bo vê axaftinê wiha digotin:

Kî ji me kêfxweş nabe ku perdeya li pişt ku pêşeroj Veşartî ye rake; ku çavekî bavêje pêşketinên pêşerojê yên zanist me û sirên pêşketina wê di dema sedsalên pêşeroj de? Kîjan armancên taybet dê hebin ku ruhên matematîkî yên pêşeng ên nifşên pêşeroj dê ber bi wan ve bimeşin? Kîjan rêbazên nû û rastiyên nû di qada berfireh û dewlemend a ramana matematîkî de dê sedsalên nû eşkere bikin?

Hilbert kêmtirî nîvê van pirsgirêkan di Kongreyê de pêşkêş kir, û weşana wan a destpêkê di pirtûka Kongreyê de derket. Di weşanek paşîn de, wî ev nêrîn berfireh kir, ku bû sedema formulekirina teqez a 23 Pirsgirêkên Hilbert ên niha-kanonîk. Nivîsa tevahî JGirîng dimîne, ji ber ku Şîrovekirin a van pirsan hîn jî dikare bibe Kirde ya nîqaşê di derbarê hejmara pirsgirêkên ku bi teqezî hatine çareserkirin de.

Hin ji van pirsgirêkan bi lez hatin çareserkirin. Yên din bûne Kirde yên nîqaşên berfireh di dema sedsala 20an de, û çend ji wan niha pir vekirî têne hesibandin ku bigihîjin girtinek teqez. Bine-komek ji van pirsgirêkan hîn jî kêşeyên girîng derdixe holê.

Li jêr sernavên 23 pirsgirêkên Hilbert hene, wekî ku di wergera sala 1902an de ku di Bültena Civaka Matematîkî ya Amerîkî de hatibû weşandin, derketin.

1. Pirsgirêka Cantor a hejmara kardînal a berdewamiyê.

2. Lihevhatina aksiyomên arîtmetîkî.

3. Wekhevî ya qebareyên du tetrahedrayên bi bingehên wekhev û bilindahiyên wekhev.

Pirsgirêka çaremîn têgeha Xêz a rast wekî kurttirîn dûrahî di navbera du xalan de destnîşan dike.

Pirsgirêka pêncemîn bi teoriya Lie ya komên veguherîna berdewam ve girêdayî ye, bi taybetî Bêyî ku cûdahîbûna fonksiyonên ku van koman pênase dikin were texmîn kirin.

Pirsgirêka şeşemîn formalîzasyona matematîkî ya aksiyomên fîzîkî dihewîne.

Pirsgirêka heftemîn taybetmendiyên bêaqilî û transendensiya hejmarên taybetî lêkolîn dike.

Pirsgirêka heştemîn li ser belavbûna hejmarên seretayî disekine, bi taybetî Hîpotez a Riemann dihewîne.

Pirsgirêka nehemîn hewl dide ku îspatek ji bo qanûna herî giştî ya berevajîbûnê di nav de her qada hejmarê de saz bike.

Pirsgirêka dehemîn li ser selmandina çareseriya hevkêşeyên Diophantine ye.

Pirsgirêka yazdehemîn li ser formên kuadratîk e ku tê de koefîsiyentên hejmarî yên cebîrî yên keyfî cih digirin.

Pirsgirêka dozdehemîn dirêjkirina teoréma Kronecker e, ya ku bi zeviyên Abelian ve girêdayî ye, da ku her qada rasyoneliyê ya cebîrî bigire nav xwe.

Pirsgirêka sêzdehemîn ne gengaziya çareserkirina hevkêşeya giştî ya pileya heftan lêkolîn dike, dema ku fonksiyonên bi tenê du argumanan ve sînordar têne bikaranîn.

Pirsgirêka çardehêmîn hewce dike ku sînordariya pergalên fonksiyonên temam ên taybetî were selmandin.

Pirsgirêka panzdehemîn pêdiviya çarçoveyek bingehîn a hişk ji bo hesabê jimartinê yê Schubert destnîşan dike.

Pirsgirêka şazdehemîn li ser topolojiya kêşeyên cebîrî û rûberan e.

Pirsgirêka hevdehemîn îfadekirina formên diyarkirî wekî berhevoka çargoşeyan dihewîne.

Pirsgirêka hejdehemîn avakirina feza bi karanîna polîhedronên hevgirtî lêkolîn dike.

Pirsgirêka nozdehemîn dipirse gelo çareseriyên pirsgirêkên birêkûpêk di hesabê varyasyonan de her gav analîtîk in.

Pirsgirêka bîstemîn li ser teorîya giştî ya nirxên sînor e, bi taybetî pirsgirêkên nirxên sînor di hevkêşeyên diferensiyel ên qismî de.

Pirsgirêka bîst û yekemîn dixwaze ku hebûna hevkêşeyên diferensiyel ên xêzî yên ku komek monodromî ya pêşwext diyarkirî hene, selmandin.

Pirsgirêka bîst û duyemîn yekrengkirina têkiliyên analîtîk bi rêya sepandina fonksiyonên otomorfîk dihewîne.

Pirsgirêka bîst û sêyemîn pêşveçûna zêdetir a metodolojiyan di nav hesabê varyasyonan de pêşniyar dike.

Formalîzm

Di nîvê sedsalê de, koma pirsgirêkên Hilbert ên bi bandor bi berfirehî wekî manîfestoyek bingehîn hate nasîn, ku rê li ber derketina dibistana formalîst vekir, ku felsefeyek matematîkî ya girîng a sedsala 20an bû. Formalîst dipejirînin ku matematîk ji manîpulasyona sembolan pêk tê ku ji hêla rêgezên fermî yên sazkirî ve tê rêvebirin, bi vî rengî hewldanek rewşenbîrî ya otonom temsîl dike.

Bername

Di sala 1920an de, Hilbert însiyatîfek lêkolînê ya metamatematîkî destnîşan kir, ku paşê wekî bernameya Hilbert hate binavkirin. Armanca vê însiyatîfê ew bû ku matematîkê li ser çarçoveyek mentiqî ya zexm û berfireh ava bike. Wî teorîze kir ku ev armanc dikare bi selmandina du prensîbên sereke were bidestxistin:

1. Ya yekem, ku tevahiya matematîkê dikare ji pergalek aksiyomatîk a sînordar a bi rastî hilbijartî were derxistin; û
2. Ya duyemîn, ku pergalek aksiyomatîk a wusa dikare bi rêbazên mîna hesabê epsilon bi awayekî selmandî hevgirtî be.

Formûlasyona Hilbert a vê pêşniyarê xuya ye ku ji hêla ramanên teknîkî û felsefî ve hatî motîvekirin. Bi taybetî, wê dijberiya wî ya li hember têgeha bi navê "ignorabimus" nîşan da, ku di ramana Almanî ya hemdem de nîqaşek rewşenbîrî ya girîng bû û bi Emil du Bois-Reymond dest pê kiribû.

Ev bername hîn jî di nav felsefeya matematîkê ya serdest de, ku bi gelemperî wekî formalîzm tê zanîn, tê nasîn. Mînak, koma Bourbaki guhertoyek guhertî û bijartî ya vê bernameyê pêk anî, ku ew ji bo du armancên xwe guncan dîtin: (a) berhevkirina nivîsarên bingehîn ên berfireh, û (b) parêzvaniya rêbaza aksiyomatîk wekî amûrek lêkolînê. Her çend ev nêzîkatî di derbarê beşdariyên Hilbert di cebîr û analîza fonksiyonel de serketî û bi bandor bû jî, lê bi heman rengî bi karên wî yên di fîzîk û mantiqê de nehat qebûlkirin.

Di sala 1919an de, Hilbert ev tişt anî ziman:

Em di tu çarçoveyekê de li ser keyfîtiyê nîqaş nakin. Matematîk ne mîna lîstikekê ye ku tê de kar bi rêzikên keyfî hatine danîn. Berevajî vê, ew pergalek têgînî ye ku bi pêwîstiyek xwerû ve hatiye xemilandin, ku sirûşta wê diyar dike û tu alternatîfek din qebûl nake.

Nêrînên Hilbert ên li ser prensîbên bingehîn ên matematîkê di weşana wî ya du-qebareyî, *Grundlagen der Mathematik*, de hatin belavkirin.

Beşdariyên Gödel

Hilbert û hevkarên wî bi kûrahî bi vê xebata mezin ve girêdayî bûn. Lê belê, hewldana wî ya ku matematîka aksiyomatîk bi prensîbên teqez ve girêbide, ku armanc jê rakirina nezelaliyên teorîk bû, di encamê de serneket.

Gödel bi awayekî teqez nîşan da ku tu pergalek fermî ya hevgirtî ku bikaribe arîtmetîka bingehîn îfade bike, nikare temamiya xwe tenê bi aksiyomên xwe yên xwerû û rêzikên encamanî ve saz bike. Teorema wî ya netemamiyê ya sala 1931an eşkere kir ku bernameya berfireh a Hilbert, wekî ku di destpêkê de hatibû fikirîn, ne pêkan bû. Bi taybetî, prensîba duyemîn a bernameya Hilbert nikare bi ya yekem re bi awayekî hevgirtî were yekkirin, bi şertê ku pergala aksiyomatîk bi rastî sînordar be.

Digel vê yekê, pêşketinên paşîn ên di teoriya îsbatê de bi awayekî girîng têgîna hevgirtinê ronî kirin, nemaze di derbarê teoriyên ku ji bo lêkolîna matematîkî bingehîn in. Karê bingehîn ê Hilbert ev rêgeha zelalkirinê di mantiqê de da destpêkirin. Dûv re, pêwîstiya têgihîştina beşdariyên Gödel pêşveçûna teoriya rekursiyonê lez kir, ku paşê mantiqa matematîkî di salên 1930an de wekî dîsîplînek akademîk a otonom saz kir. Herwiha, prensîbên bingehîn ji bo zanista komputerê ya teorîk a paşîn, nemaze bi riya beşdariyên Alonzo Church û Alan Turing, rasterast ji vê nîqaşa rewşenbîrî derketin.

Analîza Fonksiyonel

Nêzîkî di sala 1909an de, Hilbert hewldanên xwe ji bo lêkolîna hevkêşeyên dîferensiyel û întegral terxan kir, ku encamên rasterast ji bo qadên girîng di nav analîza fonksiyonel a nûjen de peyda kir. Ji bo hêsankirina van lêkolînan, Hilbert fezayekî Euklîdî ya Bêdawî-dimensiyonî xeyal kir, ku paşê wekî fezaya Hilbert hate binavkirin. Hewldanên wî di vê qada analîtîk de bingehekî JGirîng ji bo beşdariyên mezin di matematîka fîzîkê de di du dehsalên pêş de peyda kir, her çend ji perspektîfekî nedîtî be jî. Paşê, Stefan Banach ev têgeh bi pênasekirina fezayên Banach berfireh kir. Fezayên Hilbert di nav analîza fonksiyonel de çînekî Bingehîn a hebûnan pêk tînin, bi taybetî ji bo teorîya spektral a operatorên xêzî yên xweser-hevgirtî JGirîng in, qadek ku di tevahiya sedsala 20an de li dora wan pêş ket.

Fîzîk

Berî sala 1912an, Hilbert bi giranî wekî matematîkzanekî safî kar dikir. Bi rastî, xuya ye ku Minkowski di piraniya lêkolînên fîzîkê yên Hilbert de berî sala 1912an, di nav de semînera wan a hevkar a li ser kirde di sala 1905an de, rolekî JGirîng lîstiye.

Di sala 1912an de, sê sal piştî mirina Minkowski, Hilbert bala xwe ya akademîk hema hema bi tevahî ber bi fîzîkê ve guhert. Wî ji bo xwe "mamosteyekî fîzîkê" saz kir û dest bi lêkolînên di teorîya gazê ya kînetîk de kir, ber bi teorîya radyasyonê ya bingehîn û teorîya molekuler a madeyê ve pêş ket. Tewra piştî destpêka şer di sala 1914an de jî, wî semîner û dersên ku bi hûrgilî karên Albert Einstein û fîzîknasên din ên hemdem lêkolîn dikirin, domandin.

Heta sala 1907an, Einstein prensîbên Bingehîn ên teorîya Kêşana Erdê vegotibû, lê paşê Nêzîkî heşt salan xebitî da ku formulasyona wê ya tam biqedîne. Hevdîtina wî bi Emmy Noether re li Göttingen ji bo vê pêşketinê JGirîng bû. Heta destpêka havîna sala 1915an, eleqeya Hilbert a di fîzîkê de li ser Îzafîyeta giştî kom bûbû, ku ew teşwîq kir ku Einstein vexwîne Göttingenê ji bo rêze dersên hefteyekê li ser kirde. Einstein bi pêşwaziyekî dilgerm hate pêşwazîkirin. Di dema havînê de, Einstein ji karê paralel ê Hilbert li ser hevkêşeyên qadê agahdar bû, ku ev yek hewldanên wî yên lêkolînê zêde kir. Di Mijdara 1915an de, Einstein çend gotar weşandin ku di Hevkêşeyên Qadê yên Kêşana Erdê de bi dawî bûn. Hema hema di heman demê de, Hilbert "Bingehên Fîzîkê" weşand, ku tê de derxistinekî aksiyomatîk a hevkêşeyên qadê hate pêşkêş kirin. Hilbert bi domdarî Einstein wekî afirînerê orîjînal ê teorîyê nas kir, û ti nîqaşekî giştî di derbarê pêşengiya hevkêşeyên qadê de di navbera her du zanyaran de di dema jiyana wan de çênebû.

Herwiha, lêkolînên Hilbert pêşketinên girîng di fermîkirina matematîkî ya Mekanîka Kuantumê de pêşbînî kirin û hêsan kirin. Beşdariyên wî di karê Hermann Weyl û John von Neumann de bingehîn bûn, ku wan wekheviya matematîkî di navbera mekanîka matrîsê ya Werner Heisenberg û hevkêşeya pêlê ya Erwin Schrödinger de nîşan dan. Herwiha, feza Hilbert a bi navê wî di teoriya kuantumê de roleke girîng dilîze. Di sala 1926an de, von Neumann bi awayekî teqez nîşan da ku heke rewşên kuantumê wekî vektorên di nav feza Hilbert de bêne têgihîştin, ew ê hem bi teoriya fonksiyona pêlê ya Schrödinger û hem jî bi matrîsên Heisenberg re li hev bikin.

Hilbert xwe terxan kir ji bo bicîkirina hişkiya matematîkî di nav qada fîzîkê de. Tevî girêdana giran a fîzîkê bi matematîka pêşketî, pisporan gelek caran di sepandina wê de nebûna rastbûnê nîşan didan. Ji bo matematîkzanekî saf mîna Hilbert, ev nerastbûn hem ji aliyê estetîkî ve ne xweş bû û hem jî ji aliyê rewşenbîrî ve ne zelal bû. Gava ku wî têgihîştina xwe ya fîzîkê û rêbazên matematîkî yên ku ji hêla fîzîkzanan ve dihatin bikaranîn kûrtir kir, wî ji bo çavdêriyên xwe, bi taybetî di warê hevkêşeyên întegral de, teoriyeke matematîkî ya hevgirtî formule kir. Dema ku hevalê wî Richard Courant xebata bingehîn Methoden der mathematischen Physik (Rêbazên Fîzîka Matematîkî) nivîsî, ku hin têgehên Hilbert tê de bûn, wî navê Hilbert wekî hev-nivîskar tê de kir, tevî ku Hilbert rasterast beşdarî destnivîsê nebûbû. Hilbert bi nav û deng got, "Fîzîk ji bo fîzîkzanan pir giran e," bi vê yekê diyar kir ku sofîstîkasyona matematîkî ya pêwîst gelek caran ji têgihîştina wan derbas dibû; weşana Courant–Hilbert paşê tevlêbûna wan bi van amûrên matematîkî yên tevlihev re hêsan kir.

Teoriya Jimaran

Hilbert bi awayekî girîng yekkirina teoriya jimaran a cebîrî bi xebata xwe ya zanistî ya sala 1897an, Zahlbericht (bi wateya rastî, "rapora li ser jimaran"), pêş xist. Wî herwiha bi serkeftî pirsgirêkek girîng a teoriya jimaran çareser kir, ku di destpêkê de ji hêla Waring ve di sala 1770an de hatibû pêşniyar kirin. Mîna teorema xwe ya dawîbûnê, Hilbert delîlek hebûnê bikar anî, ku teqezbûna çareseriyan nîşan dide bêyî ku rêbazek avaker ji bo derxistina wan peyda bike. Li dû vê yekê, weşanên wî yên paşîn ên li ser mijarê sînordar bûn; lê belê, derketina formên modular ên Hilbert di teza xwendekarekî de navê wî bi qadeke lêkolînê ya girîngtir ve girêda.

Wî rêzek texmînan pêşniyar kir ku bi teoriya qada çînê ve girêdayî bûn. Van têgehan bi awayekî kûr bibandor derketin, û beşdariyên Hilbert ên mayînde bi navdêrkirina qada çînê ya Hilbert û sembola Hilbert di nav teoriya qada çînê ya herêmî de têne nasîn. Piraniya van encaman heta sala 1930an hatin îsbat kirin, bi giranî ji ber karê Teiji Takagi.

Her çend Hilbert bala xwe nedabû ser navikên sereke yên teorîya hejmarên analîtîk, navê wî bi hîpoteza Hilbert–Pólya ve girêdayî ye, ku ev girêdan ji çavkanîyên anekdotîk derketîye holê. Ernst Hellinger, xwendekarekî berê yê Hilbert, carekê ji André Weil re gotibû ku Hilbert di semînerekê de di destpêka salên 1900î de hêvîya xwe anîbû ziman ku îsbatkirina Hîpoteza Riemann dê wekî encamek ji lêkolînên Fredholm ên li ser hevkêşeyên întegral ên bi navikek sîmetrîk derkeve holê.

Berhem

Berhemên wî yên zanistî yên berhevkirî, bi navê Gesammelte Abhandlungen, gelek caran hatine weşandin. Versîyonên destpêkê yên gotarên wî gelek xeletîyên teknîkî yên bi giranîyên cûda dihewandin. Di dema weşana yekem a berhevokê de, ev xeletî hatin rastkirin, û hat dîtin ku ev rastkirin dikarin bêyî hewcedarîya guhertinên mezin di daxuyanîyên teorîyan de bêne bicîhanîn, bi îstîsnaya yekane ya îsbatekî îdîakirî ji bo hîpoteza kontînuumê. Digel vê yekê, xeletî ew qas berbelav û girîng bûn ku Olga Taussky-Todd sê sal hewce kir ku sererastkirinên pêwîst biqedîne.

Konsept

Concepts

Çavkanî

Citations

Wêjeya Seretayî ya bi Wergera Îngilîzî

Wêjeya seretayî ya bi wergera îngilîzî

• Ewald, William B., ed. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Oxford, UK: Oxford University Press.
• 1922. "Bingehkirina Nû ya Matematîkê: Rapora Yekem," 1115–1133.
• 1923. "Bingehên Mantiqî yên Matematîkê," 1134–1147.
• 1930. "Mantiq û Zanîna Xwezayê," 1157–1165.
• 1931. "Bingehkirina Teorîya Hejmarên Seretayî," 1148–1156.
• 1904. "Li ser Bingehên Mantiq û Aritmetîkê," 129–138.
• 1925. "Li ser Bêdawîyê," 367–392.
• 1927. "Bingehên Matematîkê," bi şîroveya Weyl û Pêveka Bernays, 464–489.