John von Neumann

جون فون نيومان ( von NOY -mən ؛ المجرية: Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ؛ 28 ديسمبر 1903 - 8 فبراير 1957) كان كاتبًا مجريًا وأمريكيًا.

جون فون نيومان ( von NOY-mən؛ بالمجرية: Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ]؛ 28 ديسمبر 1903 - 8 فبراير 1957) كان عالم رياضيات وفيزيائي وكمبيوتر مجري أمريكي بارز. عالم، ومهندس. كان اتساعه الفكري لا مثيل له بين معاصريه، حيث شمل العلوم البحتة والتطبيقية، وقدم مساهمات مؤثرة في العديد من التخصصات، مثل الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والحوسبة والإحصاء. لقد كان رائدًا في الأسس الرياضية لفيزياء الكم، والتحليل الوظيفي المتقدم، ونظرية الألعاب المتقدمة بشكل كبير، حيث قدم أو أضفى طابعًا رسميًا على مفاهيم مثل الأوتوماتا الخلوية، والمنشئ العالمي، والكمبيوتر الرقمي. والجدير بالذكر أن عمله النظري حول التكاثر الذاتي سبق توضيح بنية الحمض النووي.

جون فون نيومان ( von NOY-mən; المجرية: Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒnˈjaːnoʃˈlɒjoʃ]; 28 ديسمبر 1903 - 8 فبراير 1957) كان عالم رياضيات وفيزياء وعالم كمبيوتر ومهندسًا مجريًا وأمريكيًا. ربما كان فون نيومان يتمتع بتغطية أوسع من أي عالم رياضيات في عصره، حيث قام بدمج العلوم البحتة والتطبيقية وقدم مساهمات كبيرة في العديد من المجالات، بما في ذلك الرياضيات والفيزياء والاقتصاد والحوسبة والإحصاء. كان رائدًا في بناء الإطار الرياضي لفيزياء الكم، وفي تطوير التحليل الوظيفي، وفي نظرية الألعاب، حيث قدم أو تدوين المفاهيم بما في ذلك الأوتوماتا الخلوية، والمنشئ العالمي والكمبيوتر الرقمي. وقد سبق تحليله لبنية التكاثر الذاتي اكتشاف بنية الحمض النووي.

خلال الحرب العالمية الثانية، كان فون نيومان مساهمًا رئيسيًا في مشروع مانهاتن. وقام بصياغة النماذج الرياضية التي تقوم عليها العدسات المتفجرة المهمة للأسلحة النووية من النوع الانفجاري. امتدت أدواره الاستشارية، قبل الحرب وبعدها، إلى العديد من المنظمات، بما في ذلك مكتب البحث العلمي والتطوير، ومختبر أبحاث الصواريخ الباليستية التابع لجيش الولايات المتحدة، ومشروع الأسلحة الخاصة للقوات المسلحة، ومختبر أوك ريدج الوطني. وفي الخمسينيات، وفي ذروة نفوذه، ترأس العديد من لجان وزارة الدفاع، ولا سيما لجنة تقييم الصواريخ الاستراتيجية واللجنة الاستشارية العلمية للصواريخ الباليستية العابرة للقارات. بالإضافة إلى ذلك، شغل منصب عضو في لجنة الطاقة الذرية ذات النفوذ، والتي أشرفت على تطوير الطاقة الذرية الوطنية. إلى جانب برنارد شريفر وتريفور جاردنر، لعب دورًا محوريًا في تصميم وتطوير برامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات الأمريكية (ICBM) الافتتاحية. خلال هذه الفترة، تم الاعتراف به باعتباره المرجع البارز في البلاد فيما يتعلق بالأسلحة النووية وعالم الدفاع الرائد داخل وزارة الدفاع الأمريكية.

وقد نالت مساهمات فون نيومان العميقة وبراعته الفكرية الاستثنائية استحسانًا واسع النطاق من أقرانه في الفيزياء والرياضيات وغيرها من التخصصات. تشمل الأوسمة المميزة التي حصل عليها وسام الحرية وتسمية الحفرة القمرية تقديرًا له.

نظرة عامة على السيرة الذاتية والتعليم

نسب العائلة

ولد جون فون نيومان في 28 ديسمبر 1903 في بودابست، مملكة المجر (التي كانت آنذاك جزءًا من النمسا والمجر)، لعائلة يهودية علمانية ثرية. كان اسمه الأصلي نيومان يانوس لاجوس. في التسميات المجرية، يسبق اللقب الأسماء المعطاة، والتي تُترجم إلى جون لويس باللغة الإنجليزية.

كان الأكبر بين ثلاثة إخوة، وكان ميهالي (مايكل) وميكلوس (نيكولاس) إخوته الأصغر. كان والده، نيومان ميكسا (المعروف أيضًا باسم ماكس فون نيومان)، مصرفيًا حاصلًا على درجة الدكتوراه في القانون. انتقل ميكسا إلى بودابست من بيكس في أواخر ثمانينيات القرن التاسع عشر. نشأ جده لأبيه وجده الأكبر من أوند (حاليًا جزء من Szerencs) في مقاطعة زيمبلين، شمال المجر. كانت والدة جون كان مارجيت (مارجريت كان)، وكان والداها كان جاكاب ومايسيلز كاتالين، أفراد عائلة ميسيلز. أقامت ثلاثة أجيال من عائلة كان في شقق واسعة تقع فوق مكاتب Kann-Heller في بودابست. احتلت عائلة فون نيومان المباشرة شقة مكونة من 18 غرفة في الطابق العلوي.

في 20 فبراير 1913، منح الإمبراطور فرانز جوزيف النبلاء المجري لوالد جون تقديرًا لخدمته المتميزة للإمبراطورية النمساوية المجرية. ونتيجة لذلك، حصلت عائلة نيومان على اللقب الوراثي مارجيتاي، والذي يعني "مارجيتا" (مارجيتا حاليًا، رومانيا). على الرغم من عدم وجود روابط عائلية بالمدينة، فقد تم اختيار هذه التسمية تكريمًا لمارغريت، وهو شعور تردد صدى في شعار النبالة الذي اختاروه، والذي يضم ثلاثة مارغريت. تبنى نيومان يانوس لاحقًا اسم مارجيتاي نيومان يانوس (جون نيومان دي مارجيتا)، والذي حوله لاحقًا إلى اللغة الألمانية إلى يوهان فون نيومان.

الطفل المعجزة

أظهر جون فون نيومان قدرات مذهلة منذ سن مبكرة. تلقى هو وإخوته وأبناء عمومته تعليمات من المربيات. إدراكًا لأهمية تعدد اللغات، حرص والد فون نيومان على تعليم الأطفال اللغات الإنجليزية والفرنسية والألمانية والإيطالية، بالإضافة إلى لغتهم الأم المجرية. تشير الروايات المتناقلة إلى أنه في سن الثامنة، كان فون نيومان قد أتقن حساب التفاضل والتكامل، وفي سن الثانية عشرة، قيل إنه قرأ عمل بوريل الأساسي، La Théorie des Fonctions. امتد فضوله الفكري أيضًا إلى التاريخ، ويتجلى ذلك في قراءته لسلسلة تاريخ العالم المؤلفة من 46 مجلدًا لويلهلم أونكين، Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (التاريخ العام في الدراسات). تم تحويل غرفة مخصصة داخل الشقة العائلية إلى مكتبة ومساحة للقراءة.

في عام 1914، التحق فون نيومان بمدرسة فاسوري إيفانجيليكوس جيمنازيوم اللوثرية. وسرعان ما أصبح يوجين فيغنر، الذي كان يكبره في المؤسسة بعام، أحد معارفه المقربين.

على الرغم من إصرار والده على الالتحاق بالمدرسة في مستوى صفي مناسب لعمره، تلقى فون نيومان تعليمات متقدمة من مدرسين خاصين. في سن الخامسة عشرة، بدأ دراسة حساب التفاضل والتكامل المتقدم تحت وصاية المحلل غابور زيجو. وبحسب ما ورد كان Szegő مندهشًا جدًا من كفاءة فون نيومان الرياضية وفهمه السريع خلال لقاءهما الأولي، وفقًا لزوجة Szegő، عاد إلى المنزل عاطفيًا بشكل واضح. بحلول سن التاسعة عشرة، قام فون نيومان بتأليف ورقتين رياضيتين مهمتين، حيث قدمت الثانية تعريفًا معاصرًا للأعداد الترتيبية التي حلت محل صياغة جورج كانتور السابقة. عند الانتهاء من تعليمه في صالة الألعاب الرياضية، نجح في التقدم بطلب للحصول على جائزة Eötvös، وهي جائزة وطنية مرموقة في الرياضيات، وحصل عليها.

الدراسات الجامعية

روى ثيودور فون كارمان، وهو صديق فون نيومان، أن والد فون نيومان كان يرغب في أن يتابع ابنه مهنة في الصناعة وطلب من فون كارمان أن يثنيه عن الرياضيات. وبالتالي، قرر فون نيومان ووالده أن الهندسة الكيميائية تمثل المسار الوظيفي الأكثر ملاءمة. نظرًا لافتقاره إلى المعرفة الواسعة في هذا المجال، التحق فون نيومان بدورة دراسية في الكيمياء لمدة عامين بدون درجة جامعية في جامعة برلين. بعد ذلك، نجح في اجتياز امتحان القبول في ETH Zurich في سبتمبر 1923. وفي الوقت نفسه، التحق فون نيومان بجامعة بازماني بيتر، التي كانت تُعرف آنذاك باسم جامعة بودابست، كمرشح للدكتوراه في الرياضيات. تضمنت أطروحته تحديدًا بديهيًا لنظرية مجموعة كانتور. بحلول عام 1926، كان قد أكمل درجة الهندسة الكيميائية في المعهد الفدرالي للتكنولوجيا في زيورخ واجتاز في الوقت نفسه اختبارات الدكتوراه النهائية بامتياز مع مرتبة الشرف في الرياضيات، مع تخصصات فرعية في الفيزياء التجريبية والكيمياء، في جامعة بودابست.

وبعد ذلك، انتقل فون نيومان إلى جامعة غوتنغن، بدعم من منحة مؤسسة روكفلر، لمتابعة الدراسات الرياضية تحت إشراف ديفيد هيلبرت. يتذكر هيرمان فايل أنه خلال شتاء 1926-1927، كان هو وفون نيومان وإيمي نويثر يسيرون كثيرًا في شوارع غوتنغن "الباردة والرطبة والمبللة بالمطر"، وينخرطون في مناقشات حول أنظمة الأعداد فائقة التعقيد وتمثيلاتها.

المهنة والحياة الخاصة

تم الانتهاء من تأهيل فون نيومان في 13 ديسمبر 1927، مما أدى إلى تعيينه مدرسًا خاصًا في جامعة برلين عام 1928، حيث بدأ بإلقاء المحاضرات. ومن الجدير بالذكر أنه كان أصغر فرد يتم انتخابه موظفًا خاصًا في تاريخ الجامعة. خلال هذه الفترة، حافظ على إنتاج غزير، حيث قام بتأليف ورقة رياضية مهمة واحدة تقريبًا كل شهر. في عام 1929، شغل لفترة وجيزة منصب Privatdozent في جامعة هامبورغ، ساعيًا إلى تحسين فرص الحصول على منصب أستاذي ثابت، قبل أن ينتقل إلى جامعة برينستون في أكتوبر من نفس العام كمحاضر زائر في الفيزياء الرياضية.

في عام 1930، تم تعميد فون نيومان في العقيدة الكاثوليكية. وبعد فترة وجيزة، تزوج من ماريتا كوفيسي، خريجة الاقتصاد في جامعة بودابست. ولدت ابنتهما مارينا عام 1935 ثم تابعت مسيرتها الأكاديمية كأستاذة. انتهى زواج الزوجين بالطلاق في 2 نوفمبر 1937. وبعد ذلك، في 17 نوفمبر 1938، تزوج فون نيومان من كلارا دان.

في عام 1933، قبل فون نيومان منصب أستاذ ثابت في معهد الدراسات المتقدمة في نيوجيرسي، بعد الفشل الواضح لخطة المؤسسة لتعيين هيرمان ويل. قام بعد ذلك بتحويل اسمه الأول إلى جون، مع الاحتفاظ باللقب الألماني الأرستقراطي فون نيومان. أصبح فون نيومان مواطنًا أمريكيًا متجنسًا في عام 1937 وسعى على الفور للانضمام إلى فيلق ضباط الاحتياط بالجيش الأمريكي برتبة ملازم. وعلى الرغم من اجتيازه الامتحانات المطلوبة، إلا أن طلبه رُفض بسبب عمره. في عام 1939، هاجرت والدته وإخوته وأصهاره إلى الولايات المتحدة للانضمام إليه.

حافظ كلارا وجون فون نيومان على وجود اجتماعي نشط داخل المجتمع الأكاديمي في برينستون. تم التعرف على مسكنهم ذو اللوح الأبيض الواقع على طريق ويستكوت كواحد من أهم المنازل الخاصة في برينستون. كان جون فون نيومان يرتدي البدلات الرسمية باستمرار وكان معروفًا بتقديره للروح الدعابية والفكاهة "غير الملونة". غالبًا ما كان يؤدي أهم أعماله في أماكن صاخبة وغير منظمة. أثناء إقامته في برينستون، ورد أنه تلقى شكاوى بخصوص ممارسته لعزف موسيقى المسيرة الألمانية بمستويات صوت مرتفعة. وأشار تشرشل أيزنهارت إلى أن فون نيومان كان قادرًا على حضور التجمعات الاجتماعية حتى ساعات الصباح الباكر ومن ثم إلقاء محاضرة في الساعة 8:30 صباحًا.

كان فون نيومان معروفًا على نطاق واسع لاستعداده لتقديم التوجيه العلمي والرياضي للأفراد عبر جميع مستويات الكفاءة. وفقًا لفينر، أشرف فون نيومان بشكل غير رسمي على حجم عمل أكبر من أي عالم رياضيات معاصر آخر. أشارت ابنته إلى اهتمامه العميق بإرثه، الذي يشمل حياته الشخصية والتأثير الدائم لمساهماته الفكرية.

كان يُنظر إليه على نطاق واسع على أنه رئيس لجنة استثنائي، حيث أظهر المرونة في القضايا الشخصية أو التنظيمية مع الحفاظ على الحزم في المواضيع الفنية. وصف هربرت يورك "لجان فون نيومان" العديدة التي شارك فيها بأنها جديرة بالملاحظة من حيث منهجيتها التشغيلية وإنتاجيتها. أدى التعاون المباشر والوثيق بين اللجان التي قادها فون نيومان والمنظمات العسكرية أو الشركات ذات الصلة إلى إنشاء نموذج تأسيسي لجميع مبادرات الصواريخ بعيدة المدى للقوات الجوية. أعرب العديد من معارف فون نيومان عن حيرتهم بشأن تعامله مع الشؤون العسكرية وهياكل السلطة الأوسع. افترض ستانيسلاف أولام أن فون نيومان يكن إعجابًا غير معترف به للأفراد أو الكيانات القادرة على تشكيل آراء وقرارات الآخرين.

حافظ فون نيومان بجد على كفاءاته اللغوية التي اكتسبها خلال سنوات تكوينه. كان يتقن اللغات المجرية والفرنسية والألمانية والإنجليزية، ويمتلك كفاءة في المحادثة باللغات الإيطالية واليديشية واللاتينية واليونانية القديمة. كان إجادته للغة الإسبانية أقل كفاءة نسبيًا. لقد أظهر شغفًا عميقًا وفهمًا موسوعيًا للتاريخ القديم، مستمدًا المتعة من قراءة المؤرخين اليونانيين القدماء بلغتهم الأصلية. افترض أولام أن هذه الاهتمامات ربما أثرت على وجهات نظره حول مسار الأحداث المستقبلية والآليات الأساسية للطبيعة البشرية والوظيفة المجتمعية.

في الولايات المتحدة، كان أقرب المقربين لفون نيومان هو عالم الرياضيات ستانيسواف أولام. افترض فون نيومان أن جزءًا كبيرًا من تفكيره الرياضي ظهر بشكل حدسي؛ كثيرًا ما كان يتقاعد بسبب مشكلة لم يتم حلها ويستيقظ على حلها. لاحظ أولام أن العملية المعرفية لفون نيومان تبدو سمعية أكثر منها بصرية. روى أولام: "إلى جانب ميله إلى الذكاء المجرد، كان يمتلك تقديرًا عميقًا - يقترب من الشهية - لأشكال أكثر رسوخًا من الكوميديا والفكاهة."

المرض والوفاة

في عام 1955، تم تشخيص كتلة تم اكتشافها بالقرب من ترقوة فون نيومان على أنها سرطان، ومن المحتمل أن يكون مصدرها الهيكل العظمي، أو البنكرياس، أو البروستاتا. على الرغم من وجود إجماع على أن الورم قد انتشر، إلا أن الموقع الدقيق للسرطان الأولي يظل موضوعًا لتفسيرات مختلفة. ربما تم ربط مسببات الورم الخبيث بالتعرض للإشعاع في مختبر لوس ألاموس الوطني. ولما اقتربت من وفاته طلب كاهنًا؛ ومع ذلك، روى رجل الدين لاحقًا أن فون نيومان استمد الحد الأدنى من العزاء من إدارة الطقوس الأخيرة، وظل متخوفًا بشدة من الموت وغير قادر على قبوله. فيما يتعلق بوجهات نظره الدينية، يُقال إن فون نيومان قال: "نظرًا لاحتمال اللعنة الأبدية على غير المؤمنين، فمن الأكثر عقلانية اعتناق الإيمان في نهاية المطاف"، وهو بيان يشير إلى رهان باسكال. لقد أسر لوالدته قائلاً: "من المحتمل وجود كيان إلهي. العديد من الظواهر يمكن تفسيرها بسهولة مع مثل هذا الوجود أكثر من عدمه."

توفي باعتباره كاثوليكيًا رومانيًا في 8 فبراير 1957، عن عمر يناهز 53 عامًا، في مستشفى والتر ريد الطبي العسكري، ودُفن في مقبرة برينستون.

الرياضيات

نظرية المجموعة

واجهت المساعي في أوائل القرن العشرين لتأسيس الرياضيات على نظرية المجموعات الساذجة عائقًا كبيرًا مع مفارقة راسل، والتي تتعلق بمجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها. تمت معالجة التحدي المتمثل في صياغة بديهية شاملة لنظرية المجموعات ضمنيًا بعد عقدين تقريبًا من قبل إرنست زيرميلو وأبراهام فرانكل. قدمت نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل إطارًا من المبادئ التي تسهل بناء المجموعات المستخدمة بشكل شائع في الممارسة الرياضية، لكنها لم تمنع صراحةً الوجود المحتمل لمجموعة تحتوي على نفسها. في أطروحته للدكتوراه عام 1925، قدم فون نيومان منهجيتين لاستبعاد مثل هذه المجموعات: بديهية الأساس ومفهوم الطبقة.

تفترض بديهية الأساس أن جميع المجموعات مبنية بشكل هرمي، وفقًا لمبادئ زيرميلو-فرانكل. وهذا يعني أنه إذا كانت المجموعة عنصرًا لعنصر آخر، فيجب أن تسبق الأخير في التسلسل الهرمي التأسيسي، وبالتالي تمنع المجموعة من أن تكون عنصرًا في نفسها. ولإثبات اتساق هذه البديهية الجديدة مع البديهيات الموجودة، طور فون نيومان طريقة النماذج الداخلية، والتي أصبحت فيما بعد أداة حاسمة في نظرية المجموعات.

تعتمد الإستراتيجية الثانية لمعالجة مسألة المجموعات التي تحتوي على نفسها على مفهوم الفئة. ضمن هذا الإطار، يتم تعريف المجموعة على أنها فئة تمثل عنصرًا في فئات أخرى، بينما يتم تعريف الفئة المناسبة على أنها فئة ليست عنصرًا في أي فئة أخرى. ضمن نظام زيرميلو-فرانكل البديهي، يتم منع بناء مجموعة تحتوي على جميع المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها من خلال البديهيات. على العكس من ذلك، يسمح إطار فون نيومان ببناء مثل هذه المجموعة، ولكن يتم تصنيفها على أنها فئة مناسبة بدلاً من مجموعة.

بشكل عام، تضمن الإنجاز الأساسي لفون نيومان في نظرية المجموعات "إضفاء الطابع البديهي على نظرية المجموعات والنظرية الأنيقة للأعداد الترتيبية والأصلية (المرتبطة بذلك) بالإضافة إلى أول صياغة صارمة لمبادئ التعريفات عن طريق الاستقراء العابر للحدود".

مفارقة فون نيومان

توسيعًا لمفارقة هوسدورف لعام 1914 لفيليكس هاوسدورف، أوضح ستيفان باناخ وألفريد تارسكي في عام 1924 كيف يمكن تقسيم كرة ثلاثية الأبعاد إلى مجموعات منفصلة، والتي يمكن بعد ذلك ترجمتها وتدويرها لإنشاء نسختين متطابقتين من الكرة الأصلية؛ تُعرف هذه الظاهرة باسم مفارقة باناخ-تارسكي. لقد أثبتوا أيضًا أن القرص ثنائي الأبعاد لا يسمح بمثل هذا التحلل المتناقض. ومع ذلك، في عام 1929، حقق فون نيومان نتيجة مماثلة للقرص عن طريق تقسيمه إلى عدد محدود من القطع وإعادة تجميعها في قرصين، مستخدمًا التحويلات المتقاربة التي تحافظ على المساحة بدلاً من الترجمات والتدوير. اعتمدت هذه النتيجة على تحديد المجموعات الحرة من التحولات التقاربية، وهي منهجية مهمة أوضحها فون نيومان لاحقًا في بحثه حول نظرية القياس.

نظرية الإثبات

لقد مكنت مساهمات فون نيومان في نظرية المجموعات نظامها البديهي من التغلب على التناقضات الموجودة في الأنظمة السابقة، وبالتالي تأسيسها كأساس قابل للتطبيق للرياضيات، على الرغم من عدم وجود دليل على الاتساق. كان الاستفسار اللاحق يتعلق بما إذا كان هذا النظام يقدم حلولاً قاطعة لجميع المشكلات الرياضية التي يمكن التعبير عنها في إطاره، أو ما إذا كان من الممكن تعزيزه من خلال دمج بديهيات أكثر قوة لتسهيل إثبات نطاق أوسع من النظريات.

بحلول عام 1927، شارك فون نيومان بنشاط في المناقشات في غوتنغن فيما يتعلق باشتقاق الرياضيات الأولية من بديهيات البيانو. وبالاعتماد على أبحاث أكرمان، بدأ الجهود لإثبات اتساق العمليات الحسابية من الدرجة الأولى، وذلك باستخدام المنهجيات النهائية المميزة لمدرسة هيلبرت. لقد نجح في إثبات اتساق جزء معين من حساب الأعداد الطبيعية من خلال فرض قيود على الاستقراء. بعد ذلك، سعى للحصول على دليل أكثر شمولاً لاتساق الرياضيات الكلاسيكية، وذلك باستخدام تقنيات من نظرية الإثبات.

ظهرت استجابة سلبية قاطعة لمسألة الاكتمال في سبتمبر 1930 في المؤتمر الثاني لنظرية المعرفة في العلوم الدقيقة، حيث قدم كيرت جودل أول نظرية لعدم الاكتمال. أكدت هذه النظرية أن الأنظمة البديهية التقليدية غير مكتملة بطبيعتها، مما يعني أنها لا تستطيع إثبات كل عبارة صحيحة يمكن التعبير عنها بلغتها الرسمية. علاوة على ذلك، فإن أي توسع متسق لهذه الأنظمة يحافظ حتماً على هذا النقص. خلال المؤتمر، اقترح فون نيومان على جودل أن يسعى لتكييف نتائجه مع الافتراضات غير القابلة للحسم فيما يتعلق بالأعداد الصحيحة.

في غضون شهر، أبلغ فون نيومان جودل بأهمية ضمنية لنظريته: تفتقر الأنظمة البديهية القياسية بطبيعتها إلى القدرة على إثبات اتساقها. رد جودل قائلاً إنه حدد هذه النتيجة بشكل مستقل، والتي تم الاعتراف بها الآن على أنها نظرية عدم الاكتمال الثانية، ويعتزم إرسال نسخة أولية من مقالته القادمة التي تشمل كلا النتائج، على الرغم من أن هذا المنشور لم يتحقق أبدًا. بعد ذلك، اعترف فون نيومان بأسبقية جودل في مراسلاتهما. ومع ذلك، فإن منهج فون نيومان التوضيحي انحرف عن منهج جودل، وأكد أن نظرية عدم الاكتمال الثانية أحدثت تأثيرًا أعمق على برنامج هيلبرت مما تصوره جودل في البداية. أدى هذا الكشف إلى تغيير جذري في وجهة نظر فون نيومان بشأن الدقة الرياضية، مما دفعه إلى التوقف عن البحث في الجوانب الأساسية للرياضيات وما وراء الرياضيات، وإعادة توجيه جهوده نحو المشكلات التطبيقية.

نظرية أرجوديك

خلال عام 1932، نشر فون نيومان سلسلة من الأبحاث التي أسست مساهمات أساسية في نظرية الإرغوديك، وهو نظام رياضي يهتم بحالات الأنظمة الديناميكية التي تمتلك مقياسًا ثابتًا. فيما يتعلق بمنشورات عام 1932 حول نظرية الإرغوديك، أكد بول هالموس أنها وحدها "كانت كافية لضمان الخلود الرياضي له"، حتى لو لم يقم فون نيومان بأي عمل آخر. في تلك المرحلة، كان فون نيومان قد قام بالفعل بتأليف أعماله الأساسية حول نظرية المشغل، وأثبتت المبادئ المستمدة من هذا البحث أهميتها في صياغة نظريته المتوسطة للإرغوديك.

تتعلق هذه النظرية بالمجموعات الوحدوية العشوائية ذات المعلمة الواحدة ${\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}$ ويؤكد ذلك لكل متجه $\phi$ داخل فضاء هيلبرت، الحد ${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ 75§ T ∫ §8586§ T V t ( ϕ ) d t {\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt} موجود وفقًا للمقياس المحدد بواسطة قاعدة هيلبرت. هذا الحد عبارة عن متجه $\psi$ بحيث $V_{t}(\psi )=\psi$ لجميع $t$ . تم إنشاء هذه النتيجة في المنشور الأولي. ضمن الورقة اللاحقة، أكد فون نيومان أن هذه النتائج توفر أساسًا مناسبًا للتطبيقات الفيزيائية ذات الصلة بفرضية بولتزمان أرجودية. علاوة على ذلك، أشار إلى أن الطاقة الحرارية الكاملة ظلت غير منجزة وحدد هذا كمجال للبحث اللاحق.

في وقت لاحق من ذلك العام، أصدر ورقة بحثية أخرى، وبدأ التحقيق المنهجي في الطاقة الحرارية. في هذا العمل، قدم وأظهر نظرية التحلل، موضحًا أن إجراءات الحفاظ على القياس على الخط الحقيقي تشكل العناصر الأساسية التي يمكن من خلالها بناء جميع إجراءات الحفاظ على القياس. بالإضافة إلى ذلك، تم تقديم العديد من النظريات الحاسمة الأخرى وإثباتها بدقة. النتائج الواردة في هذه الورقة، إلى جانب تلك التي تم الحصول عليها من عمل تعاوني آخر مع بول هالموس، لها آثار جوهرية عبر مختلف المجالات الرياضية.

نظرية القياس

في نظرية القياس، تتعلق "مشكلة القياس" للفضاء الإقليدي n Rⁿ بوجود دالة مجموعة إيجابية ومطبيعية وثابتة ومضافة تنطبق على جميع مجموعات Rⁿ. أشار بحث فيليكس هاوسدورف وستيفان باناخ إلى حل إيجابي لهذه المشكلة عند n = 1 أو n = 2، ولكنه حل سلبي في جميع السيناريوهات الأخرى، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى مفارقة باناخ-تارسكي. أكد فون نيومان أن "المشكلة هي في الأساس ذات طبيعة نظرية جماعية"، مما يشير إلى أنه يمكن التحقق من وجود مقياس من خلال فحص خصائص مجموعة التحويل المرتبطة بمساحة محددة. النتيجة الإيجابية للمساحات ذات بعدين على الأكثر والنتيجة السلبية للأبعاد الأعلى تنبع من قابلية المجموعة الإقليدية للحل في الحالة الأولى وعدم قابليتها للحل في الحالة الأخيرة. وبالتالي، افترض فون نيومان أن العامل الحاسم هو تغيير المجموعة، وليس تعديل الفضاء نفسه. في عام 1942 تقريبًا، أرسل إلى دوروثي ماهارام طريقة لإثبات أن كل مساحة قياس σ محدودة كاملة تمتلك رفعًا مضاعفًا؛ ومع ذلك، فهو لم ينشر هذا الدليل، وقامت لاحقًا بتطوير بديل.

في العديد من منشورات فون نيومان، غالبًا ما يُنظر إلى المنهجيات التي استخدمها على أنها أكثر تأثيرًا من النتائج الفعلية. قبل تحقيقاته اللاحقة في نظرية الأبعاد ضمن الجبر المشغل، طبق فون نيومان مبادئ التكافؤ من خلال التحلل المحدود، وبالتالي إعادة صياغة مشكلة القياس بمصطلحات وظيفية. مساهمة كبيرة من فون نيومان لقياس النظرية نشأت من ورقة تناولت استفسار هار حول وجود جبر يشمل جميع الدوال المحدودة على خط الأعداد الحقيقي، والذي من شأنه أن يشكل "نظامًا كاملاً لممثلي فئات الدوال المحدودة القابلة للقياس في كل مكان تقريبًا." لقد أثبت هذا الوجود بشكل مؤكد، وفي تعاونات لاحقة مع ستون، استكشف التعميمات المختلفة والجوانب الجبرية للمشكلة. علاوة على ذلك، أثبت وجود تفككات لأنواع مختلفة من المقاييس العامة باستخدام منهجيات جديدة. بالإضافة إلى ذلك، قدم فون نيومان دليلاً جديدًا على تفرد مقاييس هار، وذلك باستخدام القيم المتوسطة للوظائف؛ ومع ذلك، كان هذا النهج يقتصر على المجموعات المدمجة. ولتوسيع نطاق ذلك ليشمل المجموعات المدمجة محليًا، اضطر إلى ابتكار تقنيات جديدة تمامًا. كما قدم أيضًا برهانًا مبتكرًا ومبتكرًا لنظرية الرادون-نيكوديم. كانت ملاحظات محاضراته حول نظرية القياس، التي ألقيها في معهد الدراسات المتقدمة، بمثابة مصدر مهم للمعرفة حول هذا الموضوع في أمريكا خلال تلك الحقبة وتم نشرها لاحقًا.

المجموعات الطوبولوجية

من خلال الاستفادة من أبحاثه السابقة في نظرية القياس، قام فون نيومان بتطوير نظرية الزمر الطوبولوجية بشكل ملحوظ، بدءًا من منشور حول الدوال الدورية تقريبًا على الزمر، حيث قام بتوسيع نظرية بور لتشمل الزمر العشوائية. كما قام بتطوير هذا المجال من خلال ورقة بحثية تعاونية مع بوشنر، والتي قامت بتحسين نظرية الدورية تقريبًا لدمج الوظائف التي كانت قيمها عبارة عن عناصر للمسافات الخطية، بدلاً من الأعداد العددية. في عام 1938، حصل على جائزة بوش التذكارية تقديرًا لمساهماته التحليلية المتعلقة بهذه المنشورات.

في منشور عام 1933، طبق فون نيومان مقياس هار الذي تم تقديمه مؤخرًا لحل مشكلة هيلبرت الخامسة خصيصًا للمجموعات المدمجة. ظهر المفهوم الأساسي الذي يقوم عليه هذا الحل قبل عدة سنوات، عندما كشفت ورقة فون نيومان حول الخصائص التحليلية لمجموعات التحولات الخطية أن المجموعات الفرعية المغلقة لمجموعة خطية عامة هي بالفعل مجموعات لي. تم تعميم هذه النتيجة لاحقًا بواسطة كارتان على مجموعات Lie العشوائية، والتي تم صياغتها رسميًا باسم نظرية المجموعة الفرعية المغلقة.

التحليل الوظيفي

كان جون فون نيومان رائدًا في التعريف البديهي لفضاء هيلبرت المجرد، ووصفه بأنه فضاء متجه معقد يتمتع بمنتج سلمي هرمي، حيث تُظهر القاعدة المقابلة كلا من قابلية الانفصال والاكتمال. وفي نفس المنشورات، أسس أيضًا الشكل العام لعدم المساواة بين كوشي وشوارتز، والذي لم يتم التعرف عليه سابقًا إلا من خلال حالات محددة. امتدت مساهماته إلى تطوير النظرية الطيفية للمشغلين في فضاء هيلبرت، والتي تم تفصيلها عبر ثلاث أوراق بحثية مؤثرة نُشرت بين عامي 1929 و1932. وبلغ هذا العمل التأسيسي ذروته في أطروحته، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم، والتي، إلى جانب الأعمال المعاصرة لستون وبناخ، مثلت الدراسات الافتتاحية عن نظرية هلبرت الفضائية. إدراكًا للقيود المفروضة على التسلسلات في تطوير نظرية الطوبولوجيات الضعيفة، بدأ فون نيومان برنامجًا لمعالجة هذه التحديات، مما أدى إلى تعريفاته الرائدة للمساحات المحدبة محليًا والمساحات المتجهة الطوبولوجية. علاوة على ذلك، فإن العديد من الخصائص الطوبولوجية الأخرى التي قدمها خلال هذه الفترة، مثل الحدود والحدود الكلية - مما يعكس تطبيقه المبكر لمفاهيم هاوسدورف الطوبولوجية من الفضاءات الإقليدية إلى فضاءات هيلبرت - تظل أساسية اليوم. لمدة عقدين من الزمن، كان يُنظر إلى فون نيومان على نطاق واسع باعتباره السلطة البارزة في هذا المجال. كانت هذه التطورات مدفوعة في المقام الأول بمتطلبات ميكانيكا الكم، حيث حدد فون نيومان ضرورة توسيع النظرية الطيفية للمشغلين الهرميين من الحالات المحدودة إلى الحالات غير المحدودة. تشمل الإنجازات الهامة الأخرى المفصلة في هذه الأوراق توضيحًا شاملاً للنظرية الطيفية للمشغلين العاديين، والصياغة المجردة الأولية لأثر العامل الإيجابي، وتعميم عرض ريسز المعاصر لنظريات هيلبرت الطيفية، والتمييز الحاسم بين المشغلين الهرميتيين والمشتركين ذاتيًا في فضاء هيلبرت. وقد مكنه هذا التمييز من تمييز جميع العوامل الهرمسية التي تمتد إلى عامل هرمي معين. كما قام بتأليف ورقة بحثية توضح عدم كفاية المصفوفات اللانهائية، التي كانت آنذاك أداة شائعة في النظرية الطيفية، لتمثيل العوامل الهرمسية. أدى عمله المكثف في نظرية العوامل في نهاية المطاف إلى مساهمته الأكثر عمقًا في الرياضيات البحتة: الدراسة المنهجية لجبر فون نيومان، وعلى نطاق أوسع، جبر العوامل.

دفعت الأبحاث اللاحقة حول حلقات العوامل فون نيومان إلى إعادة فحص نظريته الطيفية، وتقديم نهج جديد لتحليل جوانبها الهندسية من خلال تطبيق التكاملات المباشرة لمساحات هيلبرت. وعلى غرار مساهماته في نظرية القياس، أسس العديد من النظريات التي ظلت غير منشورة بسبب ضيق الوقت. أبلغ نحمان أرونزاجن وكيه تي سميث أنه خلال أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، أثناء تعامله مع مشكلة الفضاء الجزئي الثابت، أثبت وجود مساحات فرعية ثابتة مناسبة لعوامل مستمرة تمامًا داخل فضاء هيلبرت.

بالتعاون مع آي جي شوينبيرج، قام فون نيومان بتأليف العديد من الأعمال التي تستكشف مقاييس هيلبرتية غير المتغيرة على خط الأعداد الحقيقي، وبلغت ذروتها في تصنيفها الشامل. نشأ الدافع لهذا البحث من مختلف الاستفسارات المتعلقة بدمج الفضاءات المترية في فضاءات هيلبرت.

بالتعاون مع باسكوال جوردان، شارك فون نيومان في تأليف ورقة موجزة قدمت الاشتقاق الأولي لمعيار من منتج داخلي باستخدام هوية متوازي الأضلاع. تمثل متباينته الأثرية نتيجة محورية في نظرية المصفوفات، والتي يتم تطبيقها بشكل متكرر في مشاكل تقريب المصفوفات. علاوة على ذلك، كان أول من قدم المفهوم القائل بأن ازدواجية القاعدة المسبقة تشكل قاعدة، والتي تم تقديمها في ورقة بحثية حول نظرية المعايير الوحدوية الثابتة ووظائف القياس المتماثل، والتي يتم التعرف عليها الآن كمعايير مطلقة متماثلة. مهد هذا المنشور بشكل طبيعي الطريق للتحقيق في مُثُل المشغل المتماثل ويعمل بمثابة النص التأسيسي للبحث المعاصر في مساحات المشغل المتماثل.

بالتعاون مع روبرت شاتن، كان رائدًا في التحقيق في المشغلين النوويين داخل فضاءات هيلبرت ومنتجات الشد في فضاءات باناخ. تضمن عملهم تقديم وتحليل مشغلي فئة التتبع، والمثل المرتبطة بهم، وعلاقاتهم المزدوجة مع المشغلين المدمجين، بالإضافة إلى تفضيلهم مع المشغلين المحدودين. وتضمنت إنجازات ألكسندر جروتينديك المبكرة توسيع هذا المفهوم ليشمل المشغلين النوويين في مساحات باناخ. قبل ذلك، في عام 1937، نشر فون نيومان بالفعل نتائج مهمة في هذا المجال، مثل إنشاء مقياس ذي معلمة واحدة للمعايير المتقاطعة المتميزة في ${\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}$ ، وإظهار العديد من النتائج الأخرى ذات الصلة بما يُعرف الآن باسم مُثُل شاتن-فون نيومان.

جبر العوامل

أسس فون نيومان مجال حلقات التشغيل، وتحديدًا من خلال تطوير جبر فون نيومان، الذي كان يُطلق عليه في البداية جبر W*. على الرغم من أن مفاهيمه الأساسية لحلقات المشغلين ظهرت في عام 1930، إلا أن بحثه المكثف فيها لم يبدأ إلا بعد لقائه اللاحق مع إف جيه موراي. يتم تعريف جبر فون نيومان رسميًا على أنه جبر * للعوامل المقيدة في فضاء هيلبرت، ويتميز بإغلاقه في طوبولوجيا المشغل الضعيف وإدراجه لمشغل الهوية. توضح نظرية فون نيومان التكافؤ الثنائي بين هذا التعريف التحليلي والتعريف الجبري البحت، مؤكدة أنه يساوي المتغير الثنائي الخاص به. بعد توضيحه لسيناريو الجبر التبادلي، بدأ فون نيومان، بالتعاون الجزئي مع موراي، التحقيق في الحالة غير التبادلية في عام 1936، مع التركيز على الدراسة العامة للعوامل وتصنيف جبر فون نيومان. وتعتبر الأوراق البحثية الست التي ألفها بين عامي 1936 و1940، والتي تناولت هذه النظرية بالتفصيل، "من روائع التحليل في القرن العشرين". جمعت هذه الأعمال العديد من النتائج التأسيسية وافتتحت العديد من البرامج البحثية في نظرية الجبر التشغيلي والتي أشركت علماء الرياضيات لعدة عقود. ومن الأمثلة البارزة على ذلك تصنيف العوامل. علاوة على ذلك، في عام 1938، أثبت أن كل جبر فون نيومان في فضاء هيلبرت المنفصل يمكن التعبير عنه كتكامل مباشر للعوامل؛ ومع ذلك، لم يتم نشر هذه النتيجة حتى عام 1949. يرتبط جبر فون نيومان ارتباطًا وثيقًا بنظرية التكامل غير التبادلي، وهو مفهوم ألمح إليه فون نيومان في عمله ولكنه لم يضعه بشكل رسمي. وتم نشر مساهمة هامة أخرى تتعلق بالتحلل القطبي في عام 1932.

نظرية الشبكة

من عام 1935 إلى عام 1937، كرّس فون نيومان جهوده لنظرية الشبكة، التي تدرس المجموعات المرتبة جزئيًا حيث يمتلك أي عنصرين الحد الأدنى الأكبر والحد الأعلى الأدنى. لاحظ غاريت بيركوف بشكل خاص أن "عقل جون فون نيومان اللامع اشتعلت فيه النيران في نظرية الشبكة مثل النيزك." قام فون نيومان بدمج الهندسة الإسقاطية الكلاسيكية مع الهياكل الجبرية المعاصرة، بما في ذلك الجبر الخطي ونظرية الحلقة ونظرية الشبكة. سمح هذا التوليف بإعادة تفسير العديد من النتائج الهندسية السابقة في سياق الوحدات العامة على الحلقات. وكانت مساهماته أساسية للتطورات اللاحقة في الهندسة الإسقاطية الحديثة.

كانت أهم مساهماته هي تأسيس الهندسة المستمرة كمجال رياضي متميز. نشأ هذا التطور من بحثه الرائد حول حلقات المشغلين. في الرياضيات، الهندسة المستمرة هي بمثابة بديل للهندسة الإسقاطية المعقدة. على عكس الهندسة الإسقاطية المعقدة، حيث ينتمي بُعد الفضاء الفرعي إلى مجموعة منفصلة، مثل $0,1,...,{\mathit {n}}$ 7§ <مو>، §1011§ <مو>، <مو>. <مو>. <مو>. <مو>، n {\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}} ، في الهندسة المستمرة، يمكن أن يكون البعد أي عنصر ضمن فترة الوحدة $[0,1]$ 45§ <مو>، §4849§ ] {\displaystyle [0,1]} . في السابق، أنشأ مينجر وبيركوف إطارًا بديهيًا للهندسة الإسقاطية المعقدة استنادًا إلى خصائص شبكتها من الفضاءات الفرعية الخطية. بناءً على عمله المتعلق بحلقات العوامل، قام فون نيومان بعد ذلك بتحسين هذه البديهيات لتحديد فئة أكثر اتساعًا من الشبكات، والتي أطلق عليها اسم الهندسة المستمرة.

على النقيض من الهندسة الإسقاطية، حيث تشكل أبعاد الفضاء الجزئي مجموعة منفصلة (على وجه التحديد، الأعداد الصحيحة غير السالبة)، يمكن أن تختلف أبعاد العناصر داخل الهندسة المستمرة بشكل مستمر عبر فترة الوحدة $[0,1]$ 9§ <مو>، §1213§ ] {\displaystyle [0,1]} . نبع دافع فون نيومان من تحديده لجبر فون نيومان الذي يمتلك دالة البعد التي أسفرت عن طيف مستمر من الأبعاد. ومن الجدير بالذكر أنه تمت ملاحظة المثيل الأولي للهندسة المستمرة المتميزة عن الفضاء الإسقاطي في إسقاطات العامل فائق التحديد من النوع الثاني.

في عمله الأكثر تجريدًا حول نظرية الشبكة، نجح فون نيومان في معالجة التحدي المعقد المتمثل في تعريف فئة ${\mathit {CG(F)}}$ . تمثل هذه الفئة هندسة إسقاطية متصلة الأبعاد على حلقة تقسيم عشوائية ${\mathit {F}}\,$ ، تم توضيحها باستخدام الشكليات المجردة لنظرية الشبكة. كما قدم أيضًا بحثًا مجردًا عن البعد ضمن الشبكات الطوبولوجية المعيارية المكتملة، وهي خصائص متأصلة في شبكات المساحات الفرعية لمساحات المنتج الداخلية.

يتم تعريف البعد بشكل فريد، مما يسمح بالتحول الخطي الإيجابي، من خلال خاصيتين أساسيتين. ويظل ثابتًا في ظل تعيينات المنظور، والمعروفة أيضًا باسم المنظورات، ويحافظ على النظام من خلال التضمين. الجانب الأكثر تعقيدًا من الإثبات هو التكافؤ بين المنظور و"الإسقاطية عن طريق التحلل"، والتي تتبعها متعدية المنظور مباشرة كنتيجة طبيعية.

لأي عدد صحيح $n>3$ ، كل ${\mathit {n}}$ الهندسة الإسقاطية المجردة ذات الأبعاد متماثلة مع شبكة الفضاء الجزئي لـ ${\mathit {n}}$ -مساحة متجهة ذات أبعاد $V_{n}(F)$ على حلقة قسمة مقابلة فريدة $F$ . يُعرف هذا المبدأ رسميًا باسم نظرية فيبلين-يونغ. بعد ذلك، قام فون نيومان بتوسيع هذه النتيجة التأسيسية في الهندسة الإسقاطية لتشمل مجال الأبعاد المستمر. أدت نظرية التنسيق هذه إلى تقدم كبير في الأبحاث في الهندسة الإسقاطية المجردة ونظرية الشبكة، مع الكثير من الأعمال اللاحقة التي استخدمت منهجيات فون نيومان. صاغ بيركوف هذه النظرية على النحو التالي:

أي شبكة معيارية مكملة L تمتلك "أساس" n ≥ 4 عناصر منظور زوجية تكون متماثلة للشبكة ℛ(R) التي تشتمل على جميع المثل العليا الرئيسية للحلقة المنتظمة المناسبة R. تمثل هذه النظرية ذروة 140 صفحة من الأعمال الجبرية الرائعة والثاقبة بشكل استثنائي، والتي قدمت أسسًا بديهية جديدة تمامًا. لفهم البراعة الفكرية غير العادية لفون نيومان، لا يحتاج المرء إلا إلى محاولة متابعة هذا التقدم المنطقي الدقيق، مع الأخذ في الاعتبار أنه قام في كثير من الأحيان بتأليف خمس صفحات من هذه المواد قبل الإفطار، بينما كان جالسًا على طاولة الكتابة في غرفة معيشته.

لقد استلزم تطور هذه النظرية إدخال الحلقات المنتظمة. على وجه التحديد، يتم تعريف حلقة فون نيومان العادية على أنها حلقة فيها، لكل عنصر $a$ ، يوجد عنصر $x$ استيفاء الشرط $axa=a$ . نشأت هذه الحلقات من أبحاثه حول جبر فون نيومان وترتبط ارتباطًا وثيقًا بها، بالإضافة إلى جبر AW* وفئات مختلفة من جبر C*.

أثناء صياغة وعرض النظريات المذكورة أعلاه، تم إنشاء العديد من النتائج التقنية المساعدة، لا سيما فيما يتعلق بالتوزيع، بما في ذلك التوزيع اللانهائي، الذي طوره فون نيومان خصيصًا. علاوة على ذلك، قام بصياغة نظرية التقييمات داخل الشبكات وساهم في تقدم النظرية العامة للشبكات المترية.

لاحظ بيركوف في منشوره بعد وفاته بخصوص فون نيومان أن غالبية هذه النتائج ظهرت من فترة بحث مكثفة استمرت عامين. على الرغم من أن فون نيومان حافظ على اهتمامه بنظرية الشبكة بعد عام 1937، إلا أن هذا الارتباط أصبح ثانويًا، ويتجلى في المقام الأول في المراسلات مع علماء الرياضيات الآخرين. تضمنت المساهمة الختامية في عام 1940 ندوة تعاونية مع بيركوف في معهد الدراسات المتقدمة، حيث طور فون نيومان نظرية الحلقات ذات الترتيب الشبكي الكامل. ومع ذلك، لم يتم إعداد هذا العمل رسميًا للنشر.

الإحصائيات الرياضية

لقد حقق فون نيومان تقدمًا ملحوظًا في مجال الإحصاء الرياضي. وفي عام 1941، حدد بدقة توزيع النسبة بين متوسط مربع الاختلافات المتعاقبة وتباين العينة للمتغيرات المستقلة والموزعة بشكل طبيعي متماثل. تم تطبيق هذه النسبة المحددة لاحقًا على بقايا نماذج الانحدار، وهي معروفة الآن على نطاق واسع باسم إحصائية دوربين-واتسون، المستخدمة لتقييم الفرضية الصفرية للأخطاء المستقلة التسلسلية مقابل الفرضية البديلة للأخطاء التي تتبع الانحدار الذاتي الثابت من الدرجة الأولى.

وبعد ذلك، قام دينيس سارجان وألوك بهارجافا بتوسيع هذه النتائج لتطوير اختبارات تحدد ما إذا كانت مصطلحات الخطأ في نموذج الانحدار تظهر مسيرة عشوائية غاوسية (أي، مما يشير إلى وجود جذر الوحدة)، على عكس الفرضية البديلة القائلة بأنها تشكل عملية انحدار ذاتي ثابتة من الدرجة الأولى.

المساعي البحثية الإضافية

خلال بداية حياته المهنية، قام فون نيومان بتأليف العديد من المنشورات المتعلقة بالتحليل الحقيقي لنظرية المجموعات ونظرية الأعداد. قدمت ورقة بحثية عام 1925 برهانًا يوضح أن أي تسلسل كثيف للنقاط ضمن الفاصل الزمني $[0,1]$ 9§ , §1213§ ] {\displaystyle [0,1] يمكن إعادة ترتيبها لتحقيق توزيع موحد. ركز منشوره الوحيد في عام 1926 على نظرية بروفر عن الأعداد الجبرية المثالية، حيث قدم طريقة بناء جديدة. أدى هذا العمل إلى توسيع نظرية بروفر لتشمل كامل مجال الأعداد الجبرية وتوضيح علاقتها بالأرقام p-adic. وفي عام 1928، أصدر ورقتين إضافيتين تناولتا بالتفصيل هذه المفاهيم الرياضية. تناولت الورقة الأولية مشكلة تقسيم الفاصل الزمني إلى مجموعة لا تعد ولا تحصى من المجموعات الفرعية المتطابقة. قام هذا البحث بحل سؤال طرحه هوغو ستاينهاوس، وتحديدًا ما إذا كانت الفترة الزمنية $\aleph _{0}$ 36§ {\displaystyle \aleph _{0}} - قابل للقسمة. أثبت فون نيومان بشكل قاطع أن جميع أنواع الفواصل الزمنية - نصف مفتوحة، ومفتوحة، ومغلقة - هي بالفعل $\aleph _{0}$ 59§ {\displaystyle \aleph _{0}} - قابلة للقسمة من خلال الترجمات، مما يعني أنه يمكن تقسيمها إلى $\aleph _{0}$ 82§ {\displaystyle \aleph _{0}} المجموعات الفرعية متطابقة عبر الترجمة. قدمت الورقة اللاحقة برهانًا بناءًا، مستقلاً عن بديهية الاختيار، يثبت وجود $2^{\aleph _{0}}$ 109§ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} أعداد حقيقية مستقلة جبريًا.لقد أثبت أن القيم $A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}$ 149§ ∞ §158 $[0,1]$ / §188 $[0,1]$ {\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}} تكون مستقلة جبريًا عندما $r>0$ 227§ {\displaystyle r>0} . وهذا يعني وجود مجموعة كاملة ومستقلة جبريًا من الأعداد الحقيقية، أي ما يعادل السلسلة المتصلة. تشمل المساهمات الإضافية الأقل بروزًا من بداية حياته المهنية إثباتًا للمبدأ الأقصى لتدرج دالة التصغير ضمن حساب التفاضل والتكامل للتغيرات، إلى جانب تبسيط بسيط لنظرية هيرمان مينكوفسكي المتعلقة بالأشكال الخطية في نظرية الأعداد الهندسية. وبعد ذلك، وبالتعاون مع باسكوال جوردان ويوجين فيغنر، شارك في تأليف ورقة بحثية أساسية. صنف هذا العمل جميع الجبر الأردني الحقيقي ذي الأبعاد المحدودة وأدى إلى اكتشاف جبر ألبرت، الذي انبثق من سعيهم إلى إطار رياضي محسّن لنظرية الكم. في عام 1936، سعى فون نيومان إلى تعزيز مبادرة استبدال بديهيات برنامجه الفضائي السابق هيلبرت ببديهيات الجبر الأردني، كما تم استكشافه في ورقة بحثية تفحص سيناريو الأبعاد اللانهائية. وعلى الرغم من أنه كان ينوي نشر ورقة بحثية أخرى على الأقل حول هذا الموضوع، إلا أنها ظلت غير مكتوبة. ومع ذلك، كانت هذه البديهيات الأساسية بمثابة الأساس لمزيد من الأبحاث في ميكانيكا الكم الجبرية، والتي بدأها إيرفينغ سيغال.

الفيزياء

ميكانيكا الكم

كان جون فون نيومان رائدًا في إنشاء إطار رياضي صارم لميكانيكا الكم، والذي تم صياغته رسميًا باسم بديهيات ديراك-فون نيومان، في منشوره الأساسي عام 1932، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم. بعد عمله على بديهية نظرية المجموعات، وجه فون نيومان جهوده نحو بديهية ميكانيكا الكم. بحلول عام 1926، كان قد تصور أن حالة النظام الكمي يمكن تمثيلها كنقطة داخل فضاء هيلبرت المعقد، والذي يمكن أن يكون لانهائي الأبعاد حتى بالنسبة لجسيم منفرد. ضمن هذه الشكلية الميكانيكية الكمومية، يتم تصوير الكميات التي يمكن ملاحظتها، مثل الموضع أو الزخم، على أنها عوامل خطية تعمل على فضاء هيلبرت المرتبط بالنظام الكمي.

وبالتالي، تم تحويل فيزياء ميكانيكا الكم بشكل فعال إلى رياضيات فضاءات هيلبرت والعوامل الخطية المرتبطة بها. على سبيل المثال، مبدأ عدم اليقين، الذي يفترض أن التحديد الدقيق لموضع الجسيم يحول دون التحديد الدقيق المتزامن لزخمه، والعكس بالعكس، يتم التعبير عنه رياضيًا على أنه عدم التبادلية لمشغليهما. يشمل هذا الإطار الرياضي المبتكر صيغ هايزنبرج وشرودنجر كمثالين محددين.

لقد مكنه النهج التجريدي الذي اتبعه فون نيومان من معالجة الجدل الأساسي بين الحتمية وعدم الحتمية. قدم في كتابه دليلاً يؤكد أن النتائج الإحصائية لميكانيكا الكم لا يمكن أن تنشأ من متوسطات مجموعة أساسية من "المتغيرات الخفية" المحددة، على عكس الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية. ومع ذلك، في عام 1935، نشرت جريت هيرمان مقالًا يؤكد أن دليل فون نيومان يحتوي على خلل مفاهيمي، مما يجعله غير صالح. بقي نقد هيرمان دون أن يلاحظه أحد إلى حد كبير حتى قدم جون س. بيل بشكل مستقل حجة مماثلة في عام 1966. وفي الآونة الأخيرة، في عام 2010، جادل جيفري بوب بأن بيل قد أساء تفسير دليل فون نيومان الأصلي، موضحًا أنه في حين أن الدليل قد لا يبطل جميع نظريات المتغير الخفية، فإنه يستبعد بشكل فعال مجموعة فرعية محددة وهامة. افترض بوب أيضًا أن فون نيومان نفسه كان على دراية بهذا القيد ولم يدعي أن دليله يدحض نظريات المتغير الخفية عالميًا. ومع ذلك، فإن صحة تفسير بوب تخضع للنقاش أيضًا. بعد ذلك، قدمت نظرية جليسون في عام 1957 حجة بديلة ضد المتغيرات الخفية، تتماشى مع الاتجاه العام لفون نيومان ولكن بناءً على افتراضات تعتبر أكثر قوة وذات صلة فيزيائيًا.

بدأ برهان فون نيومان مسارًا بحثيًا مهمًا، من خلال التطوير اللاحق لنظرية بيل وتجارب آلان أسبكت في عام 1982، أثبت في النهاية أن فيزياء الكم تتطلب إما مفهوم الواقع يختلف بشكل أساسي عن الفيزياء الكلاسيكية أو تضمين اللامكانية، والذي يبدو أنه يتعارض مع النسبية الخاصة.

في فصل من كتاب الأسس الرياضية لميكانيكا الكم، أجرى فون نيومان تحليلًا موسعًا لمشكلة القياس. لقد افترض أن الكون المادي بأكمله يمكن أن يشمله دالة موجية عالمية. نظرًا لضرورة وجود عامل خارجي للحث على انهيار الدالة الموجية، استنتج فون نيومان أن هذا الانهيار تم التحريض عليه من خلال وعي المجرب. وأكد أن الإطار الرياضي لميكانيكا الكم يسمح بتحديد موقع انهيار الدالة الموجية في أي نقطة ضمن التسلسل السببي، ويمتد من جهاز القياس إلى "الوعي الذاتي" للمراقب البشري. بشكل أساسي، في حين أن الحدود بين المراقب والمرصود يمكن وضعها بمرونة، فإن النظرية تحتفظ بالتماسك فقط في حالة وجود مراقب في مكان ما. وعلى الرغم من قبول يوجين فيجنر له، إلا أن هذا التفسير، الذي يعزو الانهيار إلى الوعي، لم يحقق قبولًا واسع النطاق بين مجتمع الفيزياء الأوسع.

بينما تستمر نظريات ميكانيكا الكم في التقدم، فإن الشكلية الرياضية الأساسية لمعالجة مشاكل ميكانيكا الكم، والتي تدعم معظم المناهج المعاصرة، تنبع من الشكليات والتقنيات التي ابتكرها فون نيومان. وبالتالي، فإن المناقشات الجارية بشأن تفسير النظرية وامتداداتها تعتمد إلى حد كبير على افتراضات رياضية أساسية مشتركة.

أكد آرثر ويتمان، عالم الفيزياء الرياضية، في عام 1974 أن بديهية فون نيومان لنظرية الكم، والتي تعتبر مساهمة في حل مشكلة هيلبرت السادسة، تمثل أهم بديهية محتملة للنظرية الفيزيائية التي تم تحقيقها في ذلك الوقت. من خلال منشوره عام 1932، تطورت ميكانيكا الكم إلى نظرية ناضجة، تتميز بصيغة رياضية دقيقة سهلت الحلول الواضحة للتحديات المفاهيمية. على الرغم من هذه الإنجازات، أعرب فون نيومان لاحقًا عن تصوره بعدم النجاح الكامل في هذا المسعى العلمي، مشيرًا إلى أنه على الرغم من الأجهزة الرياضية الواسعة التي ابتكرها، فإنه لم يؤسس إطارًا رياضيًا شاملاً ومرضيًا لنظرية الكم في مجملها.

إنتروبيا فون نيومان

في إطار نظرية المعلومات الكمومية، تجد إنتروبيا فون نيومان تطبيقًا واسع النطاق في صيغ مختلفة، بما في ذلك الإنتروبيا المشروطة والإنتروبيا النسبية. يتم اشتقاق مقاييس التشابك من الكميات المرتبطة مباشرة مع إنتروبيا فون نيومان. لمجموعة إحصائية من أنظمة ميكانيكا الكم التي تتميز بمصفوفة الكثافة $\rho$ ، يتم تعريف إنتروبيا فون نيومان على أنها $S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,$ العديد من مقاييس الإنتروبيا من نظرية المعلومات الكلاسيكية، مثل إنتروبيا هوليفو والإنتروبيا الكمومية المشروطة، قابلة للتكيف مع المجال الكمي. تركز نظرية المعلومات الكمومية في المقام الأول على تفسير وتطبيقات إنتروبيا فون نيومان، والتي تعمل كعنصر أساسي في تطورها، في حين أن إنتروبيا شانون تتعلق بنظرية المعلومات الكلاسيكية.

مصفوفة الكثافة

كان فون نيومان رائدًا في الشكلية التي تشمل عوامل ومصفوفات الكثافة في عام 1927، وبشكل مستقل، وإن كان مع تطوير أقل منهجية، من قبل ليف لانداو في عام 1927 وفيليكس بلوخ في عام 1946. تتيح مصفوفة الكثافة تمثيل التراكبات الاحتمالية للحالات الكمومية، المعروفة باسم الحالات المختلطة، على عكس الدوال الموجية، التي تقتصر على وصف الحالات النقية.

مخطط قياس فون نيومان

إن مخطط قياس فون نيومان، المعروف بأنه مقدمة لنظرية فك الترابط الكمي، يضع تصورًا للقياسات بشكل إسقاطي من خلال دمج جهاز القياس، والذي تم تصميمه في حد ذاته على أنه كيان كمي. إطار "القياس الإسقاطي" هذا، الذي قدمه فون نيومان في البداية، أدى لاحقًا إلى ظهور نظريات فك الترابط الكمي.

المنطق الكمي

قدم جون فون نيومان في البداية مفهوم المنطق الكمي في أطروحته عام 1932، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم، حيث افترض أن الإسقاطات داخل فضاء هيلبرت يمكن أن تمثل افتراضات تتعلق بالأشياء الفيزيائية التي يمكن ملاحظتها. تم إنشاء الانضباط الرسمي للمنطق الكمي لاحقًا في منشور عام 1936 الذي شارك في تأليفه فون نيومان وغاريت بيركوف. لم تقدم هذه الورقة البحثية منطقًا كميًا فحسب، بل قدمت أيضًا دليلًا أوليًا صارمًا على أن ميكانيكا الكم تتطلب حسابًا افتراضيًا متميزًا بشكل أساسي عن الأنظمة المنطقية الكلاسيكية، وبالتالي تحديد بنية جبرية جديدة لمنطق الكم. في حين تم تقديم الفكرة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل الافتراضي المصمم خصيصًا للمنطق الكمي لفترة وجيزة في منشور فون نيومان عام 1932، فقد تم إثبات المتطلبات المقنعة لحساب التفاضل والتكامل الجديد هذا من خلال براهين متعددة في عام 1936. بشكل توضيحي، الفوتونات غير قادرة على اجتياز مرشحين موضوعين بشكل تسلسلي مستقطبين بشكل عمودي (على سبيل المثال، أفقيًا وعموديًا). وبالتالي، من باب أولى، لا يمكن تمريرهما إذا تم إدخال مرشح ثالث مستقطب قطريًا قبل هذين المرشّحين أو بعدهما. ومع ذلك، إذا تم إدخال هذا المرشح الثالث بين الأولين، فسيتم إرسال الفوتونات بنجاح. تُترجم هذه الملاحظة التجريبية منطقيًا إلى عدم التبادلية في أدوات الاقتران، والتي يتم التعبير عنها بـ ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)$ .علاوة على ذلك، فقد ثبت أن قوانين التوزيع في المنطق الكلاسيكي، وتحديدًا $P\lor (Q\land R)={}$ ${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)$ و $P\land (Q\lor R)={}$ ${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)$ ، لا تنطبق على نظرية الكم.

ينشأ هذا التناقض لأنه، على النقيض من الانفصالات الكلاسيكية، يمكن أن يكون الانفصال الكمي صالحًا حتى عندما يكون كلا الانفصالين الأساسيين خاطئين. غالبًا ما تُعزى هذه الظاهرة إلى الحدوث المتكرر في ميكانيكا الكم حيث تمتلك مجموعة من البدائل تحديدًا دلاليًا، ومع ذلك يظل كل بديل فرديًا غير محدد بطبيعته. وبالتالي، يجب استبدال قانون التوزيع المنطقي الكلاسيكي بشرط أقل صرامة. بدلاً من تشكيل شبكة توزيع، تشكل الافتراضات المتعلقة بالنظام الكمي شبكة متعامدة، وهي متماثلة لشبكة الفضاءات الفرعية داخل فضاء هيلبرت المقابلة لذلك النظام.

على الرغم من هذه المساهمات، ظل فون نيومان غير راضٍ عن التقدم الذي أحرزه في منطق الكم. كان طموحه هو تحقيق توليفة موحدة من المنطق الرسمي ونظرية الاحتمالات. ومع ذلك، عندما حاول إعداد ورقة بحثية لمحاضرة هنري جوزيف، التي ألقيت في جمعية واشنطن الفلسفية عام 1945، لم يتمكن من إكمالها، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى مشاركته الواسعة في الأبحاث في زمن الحرب. وفي خطابه في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات عام 1954، سلط الضوء على هذا التحدي الخاص باعتباره أحد المشكلات التي لم يتم حلها في البحث الرياضي المستقبلي.

ديناميكيات الموائع

خلال الحرب العالمية الثانية، ساهم فون نيومان بشكل كبير في ديناميكيات الموائع، بما في ذلك حل التدفق المنوي لموجات الانفجار، والتي تُعرف الآن بموجة انفجار تايلور-فون نيومان-سيدوف، تقديرًا للعلماء الثلاثة الذين طوروها بشكل مستقل، والاكتشاف المشترك المستقل، جنبًا إلى جنب مع ياكوف بوريسوفيتش زيلدوفيتش وفيرنر دورينج، لنموذج تفجير ZND للمتفجرات. طوال ثلاثينيات القرن العشرين، اكتسب فون نيومان خبرة في المبادئ الرياضية التي تحكم الشحنات المتشكلة.

وبعد ذلك، وبالتعاون مع روبرت د. ريشتمير، ابتكر فون نيومان خوارزمية قدمت اللزوجة الاصطناعية، وبالتالي تعزيز فهم ظواهر موجة الصدمة. كثيرًا ما تخصص عمليات المحاكاة الحسابية للتحديات الهيدروديناميكية أو الهوائية عددًا كبيرًا من نقاط الشبكة للمناطق التي تتميز بانقطاعات مفاجئة، مثل موجات الصدمة. أدى تطبيق اللزوجة الاصطناعية إلى التخفيف رياضيًا من هذه التحولات الصادمة الحادة مع الحفاظ على المبادئ الفيزيائية الأساسية.

ووسع فون نيومان بسرعة النمذجة الحاسوبية لتشمل هذا المجال، حيث أنشأ برامج مخصصة لتحقيقاته في مجال المقذوفات. خلال الحرب العالمية الثانية، قدم لـ R. H. Kent، مدير مختبر أبحاث الصواريخ الباليستية التابع للجيش الأمريكي، برنامجًا حسابيًا مصممًا لمحاكاة موجة الصدمة باستخدام نموذج أحادي البعد مكون من 100 جزيء. ألقى فون نيومان بعد ذلك ندوة حول هذا البرنامج لجمهور ضم زميله ثيودور فون كارمان. بعد العرض الذي قدمه فون نيومان، قال فون كارمان: "أنت، بالطبع، تدرك أن لاغرانج استخدم بالمثل نماذج رقمية لمحاكاة ميكانيكا الاستمرارية." ومع ذلك، لم يكن فون نيومان على دراية بـ التحليل الميكانيكي الخاص بـ Lagrange.

مساهمات بحثية إضافية

على الرغم من أن إنتاجه في الفيزياء لم يكن واسع النطاق كما هو الحال في الرياضيات، إلا أن فون نيومان قدم العديد من المساهمات المهمة في هذا المجال. وقد اعتُبرت أبحاثه التعاونية الرائدة مع سوبراهمانيان شاندراسيخار، والتي تناولت إحصائيات مجالات الجاذبية المتقلبة التي تنتجها النجوم الموزعة عشوائيًا، بمثابة جولة في القوة. ضمن هذه الأعمال، قاموا بصياغة نظرية استرخاء الجسمين واستخدموا توزيع هولتسمارك لنمذجة الديناميكيات المعقدة للأنظمة النجمية. كما قام أيضًا بتأليف العديد من المخطوطات الأخرى غير المنشورة المتعلقة بالبنية النجمية، والتي تم دمج أجزاء منها لاحقًا في منشورات شاندراسيخار اللاحقة. في بحث سابق، تحت إشراف أوزوالد فيبلين، ساهم فون نيومان في تطوير المفاهيم الأساسية المتعلقة بالمغزل، والتي شكلت فيما بعد نظرية الإلتواء لروجر بنروز. نشأ جزء كبير من هذا العمل من الندوات التي عقدت في معهد الدراسات المتقدمة (IAS) طوال ثلاثينيات القرن العشرين. وانطلاقًا من هذا الجهد التعاوني، شارك في تأليف ورقة بحثية مع A. H. Taub وVeblen، والتي وسّعت معادلة ديراك لتشمل النسبية الإسقاطية. ركز هذا البحث، الذي أجري في ثلاثينيات القرن العشرين، في المقام الأول على الحفاظ على الثبات فيما يتعلق بتحولات الإحداثيات والدوران والمقياس، وهو ما يمثل استكشافًا مبكرًا للنظريات المحتملة للجاذبية الكمية. في الوقت نفسه، قدم عدة مقترحات لزملائه تتناول التحديات في نظرية المجال الكمي الناشئة وفيما يتعلق بتكميم الزمكان. ومع ذلك، لم تعتبر هذه المفاهيم منتجة من قبله أو من قبل معاونيه، وبالتالي لم يتم متابعتها. ومع ذلك، فقد احتفظ بدرجة معينة من الاهتمام، كما يتضح من مخطوطة كتبها عام 1940 حول معادلة ديراك داخل فضاء دي سيتر.

الاقتصاد

نظرية اللعبة

أسس فون نيومان نظرية اللعبة باعتبارها نظامًا رياضيًا متميزًا. وفي عام 1928، أثبت رسميًا مبرهنة الحد الأدنى الأقصى. توضح هذه النظرية أنه في الألعاب ذات المحصلة الصفرية والتي تتميز بالمعلومات المثالية (حيث يمتلك اللاعبون معرفة كاملة بجميع التحركات السابقة في أي لحظة معينة)، يوجد زوج من الاستراتيجيات لكلا المشاركين، مما يمكّن كل منهما من تقليل الحد الأقصى من الخسائر المحتملة. تم تصنيف هذه الاستراتيجيات على أنها مثالية. كما أثبت فون نيومان أن الحد الأدنى لهذه الاستراتيجيات متكافئ في القيمة المطلقة ولكن معاكس في الإشارة. قام بعد ذلك بتحسين وتوسيع نظرية الحد الأدنى لتشمل الألعاب ذات المعلومات غير الكاملة وتلك التي تتضمن أكثر من لاعبين، ونشر هذه التطورات في عمله الذي صدر عام 1944، نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي، والذي شارك في تأليفه مع أوسكار مورجنسترن. وقد تم التأكيد على الاهتمام العام العميق الذي ولّده هذا المنشور من خلال مقال على الصفحة الأولى في نيويورك تايمز. ضمن هذه الأطروحة، أكد فون نيومان أن النظرية الاقتصادية استلزمت تطبيق التحليل الوظيفي، ولا سيما المجموعات المحدبة ونظرية النقطة الثابتة الطوبولوجية، بدلاً من الاعتماد على حساب التفاضل والتكامل التقليدي، نظرًا لأن المشغل الأقصى لا يحتفظ بطبيعته بالوظائف القابلة للتفاضل. وفصل الطائرات المفرطة والمجموعات المحدبة، ونظرية النقطة الثابتة، ظلت أدوات أساسية في الاقتصاد الرياضي.

الاقتصاد الرياضي

لقد نجح جون فون نيومان في تطوير الدقة الرياضية للاقتصاد بشكل كبير من خلال سلسلة من المنشورات المؤثرة. في نموذجه الأساسي للاقتصاد المتوسع، أثبت وجود وتفرد حالة التوازن من خلال استخدام نظرية بروير المعممة للنقطة الثابتة. يتضمن هذا النموذج قلم المصفوفة A − οB، والذي يشتمل على مصفوفات غير سالبة A وB. كان هدف فون نيومان هو تحديد متجهات الاحتمالية p و q، جنبًا إلى جنب مع العددية الموجبة lect، والتي من شأنها تلبية معادلة التكامل $p^{T}(A-\lambda B)q=0$ 49§ {\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0} ، بالاشتراك مع نظامين من عدم المساواة يمثلان الكفاءة الاقتصادية. ضمن هذا الإطار، يشير متجه الاحتمال المنقول p إلى أسعار السلع الأساسية، في حين يشير متجه الاحتمال q إلى الكثافة التشغيلية لعملية الإنتاج. يتوافق الحل المفرد π مع عامل النمو، الذي يُعرف بأنه واحد زائد معدل النمو الاقتصادي، حيث يعادل معدل النمو هذا سعر الفائدة.

غالبًا ما يُنظر إلى النتائج التي توصل إليها فون نيومان كمثال محدد للبرمجة الخطية، خاصة وأن نموذجه يستخدم بشكل حصري مصفوفات غير سالبة. يظل نموذجه للاقتصاد المتوسع موضوع اهتمام مستمر بين الاقتصاديين الرياضيين. وقد أشاد العديد من العلماء بهذه الورقة بالذات باعتبارها المساهمة الأكثر أهمية في الاقتصاد الرياضي، مستشهدين بتقديمها الرائد لنظريات النقطة الثابتة، والمتباينات الخطية، والتراخي التكميلي، وازدواجية نقطة السرج. خلال مؤتمر مخصص لنموذج النمو الذي وضعه فون نيومان، لاحظ بول سامويلسون أنه في حين ابتكر العديد من علماء الرياضيات منهجيات مفيدة للاقتصاديين، فقد تميز فون نيومان بتقديم مساهمات جوهرية مباشرة في النظرية الاقتصادية. تم تسليط الضوء على الأهمية الدائمة لهذا العمل، وخاصة فيما يتعلق بالتوازنات العامة وتطبيق نظريات النقطة الثابتة، من خلال منح جوائز نوبل لاحقًا: كينيث أرو في عام 1972، وجيرارد ديبرو في عام 1983، وجون ناش في عام 1994. استخدم ناش بشكل خاص نظريات النقطة الثابتة في أطروحته للدكتوراه لتحديد التوازنات للألعاب غير التعاونية وسيناريوهات المساومة. قام كل من أرو ودبرو، جنبًا إلى جنب مع زملائهم الحائزين على جائزة نوبل، تجالينج كوبمانز، وليونيد كانتوروفيتش، وفاسيلي ليونتيف، وبول سامويلسون، وروبرت دورفمان، وروبرت سولو، وليونيد هورفيتش، بدمج البرمجة الخطية في أبحاثهم.

نشأ اهتمام جون فون نيومان بهذا الموضوع خلال محاضراته في برلين بين عامي 1928 و1929. وخلال فصول الصيف، أقام في بودابست، حيث التقى بالخبير الاقتصادي نيكولاس كالدور. بعد ذلك نصح كالدور فون نيومان باستشارة عمل الاقتصادي الرياضي ليون والراس. لاحظ فون نيومان أن نظرية التوازن العام لفالراس وقانون فالراس، اللذين يعتمدان على أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة، يمكن أن يشيرا بشكل متناقض إلى أن تعظيم الربح يمكن تحقيقه من خلال إنتاج وبيع كمية سلبية من السلعة. ونتيجة لذلك، استبدل هذه المعادلات بعدم المساواة، وأدخل التوازنات الديناميكية، من بين ابتكارات أخرى، وبلغت ذروتها في نهاية المطاف بنشر ورقته البحثية الأساسية.

البرمجة الخطية

من خلال الاستفادة من عمله السابق في ألعاب المصفوفة ونموذجه للاقتصاد المتوسع، طور فون نيومان نظرية الازدواجية في البرمجة الخطية. حدث هذا عندما قدم جورج دانتزيج بحثه بإيجاز، مما دفع فون نيومان الذي نفد صبره إلى طلب تفسير أكثر مباشرة. استمع دانتزيغ بعد ذلك بدهشة عندما ألقى فون نيومان خطابًا مدته ساعة حول المجموعات المحدبة، ونظرية النقاط الثابتة، والازدواجية، وافترض في النهاية التكافؤ الأساسي بين ألعاب المصفوفات والبرمجة الخطية.

وبعد ذلك، اقترح فون نيومان منهجية برمجة خطية مبتكرة، بالاعتماد على النظام الخطي المتجانس لبول جوردان من عام 1873، وهو مفهوم انتشر لاحقًا على نطاق واسع من خلال خوارزمية كارماركار. استخدم نهجه خوارزمية التمحور التي تعمل بين البساطات، حيث تم إنشاء معيار التمحور من خلال مشكلة فرعية غير سالبة للمربعات الصغرى تخضع لقيود التحدب (على وجه التحديد، إسقاط المتجه الصفري على الهيكل المحدب للبسيط الحالي). والجدير بالذكر أن خوارزمية فون نيومان تعتبر طريقة رائدة للنقطة الداخلية في البرمجة الخطية.

علوم الكمبيوتر

كان جون فون نيومان شخصية أساسية في مجال الحوسبة، حيث قدم مساهمات كبيرة في العديد من المجالات، بما في ذلك تصميم الأجهزة، وعلوم الكمبيوتر النظرية، والحوسبة العلمية، وفلسفة علوم الكمبيوتر.

الأجهزة

عمل فون نيومان كمستشار لمختبر أبحاث الصواريخ الباليستية التابع للجيش، وساهم بشكل أساسي في مشروع ENIAC كعضو في لجنته الاستشارية العلمية. في حين أن بنية الذاكرة الواحدة والبرنامج المخزن تُعرف على نطاق واسع باسم بنية فون نيومان، فقد نشأت مبادئها الأساسية من أعمال جي بريسبر إيكرت وجون ماوكلي، اللذين كانا مخترعي ENIAC ونموذجه اللاحق، EDVAC. أثناء عمله الاستشاري لمشروع EDVAC في جامعة بنسلفانيا، قام فون نيومان بتأليف وثيقة غير مكتملة بعنوان المسودة الأولى لتقرير حول EDVAC. أدى النشر المبكر لهذه الورقة إلى إبطال مطالبات براءات الاختراع الخاصة بإكيرت وموشلي. لقد قام بتفصيل تصميم كمبيوتر حيث توجد كل من البيانات والبرامج ضمن مساحة عنوان موحدة، وهو خروج عن أجهزة الكمبيوتر السابقة التي كانت تخزن البرامج بشكل منفصل على الوسائط مثل الشريط الورقي أو لوحات التوصيل. شكل هذا النموذج المعماري فيما بعد حجر الأساس لغالبية تصميمات الكمبيوتر الرقمية المعاصرة.

وبعد ذلك، تولى فون نيومان تصميم جهاز IAS في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي. حصل على التمويل، وتم تطوير المكونات الضرورية وتصنيعها في مختبر أبحاث RCA المجاور. دعا فون نيومان إلى تضمين الأسطوانة المغناطيسية في جهاز IBM 701، المعروف بالعامية باسم كمبيوتر الدفاع. يمثل هذا الجهاز تكرارًا أكثر سرعة لجهاز IAS وكان بمثابة الأساس لجهاز IBM 704 التجاري الناجح للغاية.

الخوارزميات

في عام 1945، طور فون نيومان خوارزمية الفرز المدمج، وهي طريقة يتم من خلالها تقسيم المصفوفة بشكل متكرر إلى نصفين، يتم فرز كل منهما بشكل مستقل، ثم يتم دمجهما لاحقًا.

في سياق عمله على القنبلة الهيدروجينية، تعاون فون نيومان مع ستانيسواف أولام لإنشاء عمليات محاكاة للحسابات الهيدروديناميكية. علاوة على ذلك، لعب دورًا في تطوير طريقة مونت كارلو، وهو نهج يستخدم أرقامًا عشوائية لتقدير حلول المشكلات المعقدة.

تجد خوارزمية فون نيومان، المصممة لمحاكاة عملة عادلة باستخدام عملة متحيزة، تطبيقًا في مرحلة "تبييض البرامج" لبعض مولدات الأرقام العشوائية للأجهزة. وإدراكًا لعدم جدوى توليد أرقام عشوائية "حقيقية"، ابتكر فون نيومان شكلاً من أشكال العشوائية الزائفة من خلال طريقة المربع الأوسط. وقد برر هذه التقنية البدائية من خلال التأكيد على سرعتها الفائقة مقارنة بالطرق الأخرى المتاحة، حيث قال مقولته الشهيرة: "أي شخص يفكر في الطرق الحسابية لإنتاج أرقام عشوائية فهو بالطبع في حالة خطيئة". ولاحظ أيضًا أن حالات الفشل في هذه الطريقة كانت واضحة بشكل واضح، على النقيض من التقنيات الأخرى حيث يمكن إخفاء الأخطاء بمهارة.

قدم فون نيومان الحوسبة العشوائية في عام 1953، على الرغم من أن تطبيقها العملي لم يكن ممكنًا إلا بعد ظهور التطورات الحسابية في ستينيات القرن العشرين. وفي عام 1950 تقريبًا، كان أيضًا رائدًا في مناقشة التعقيد الزمني للحسابات، وهو المفهوم الذي تطور في النهاية إلى تخصص نظرية التعقيد الحسابي.

الأتمتة الخلوية، والحمض النووي، والمنشئ العالمي

إن الأبحاث الرياضية التي أجراها فون نيومان في آليات التضاعف الذاتي سبقت توضيح بنية الحمض النووي. يُعرف ستانيسلاف أولام وفون نيومان على نطاق واسع بتأسيسهما مجال الأتوماتا الخلوية، بدءًا من أربعينيات القرن العشرين، كإطار رياضي مبسط لنمذجة الأنظمة البيولوجية.

خلال المحاضرات التي ألقيت في عامي 1948 و1949، قدم فون نيومان مفهوم الأتوماتا الحركية ذاتية التكاثر. وبحلول عام 1952، أصبح نهجه في التعامل مع هذه المشكلة أكثر تجريدًا. لقد ابتكر آلة خلوية معقدة ثنائية الأبعاد قادرة على تكرار تكوينها الخلوي الأولي بشكل مستقل. تم تفصيل المنشئ الشامل لفون نيومان، المشتق من الآلة الخلوية فون نيومان، بشكل شامل في عمله المنشور بعد وفاته، نظرية التشغيل الآلي الذاتي التكاثر. حي فون نيومان، الذي يحدد كل خلية في شبكة ثنائية الأبعاد بأنها تحتوي على أربع خلايا شبكية متجاورة بشكل متعامد كجيران، يظل تكوينًا قياسيًا في العديد من الأجهزة الخلوية الأخرى.

الحوسبة العلمية والتحليل العددي

يُنظر إليه على نطاق واسع على أنه "الباحث الأكثر تأثيرًا في مجال الحوسبة العلمية على الإطلاق"، وقد ساهم فون نيومان بشكل كبير في هذا المجال من خلال الابتكارات التقنية والقيادة الإدارية. لقد ابتكر إجراء تحليل استقرار فون نيومان، وهي طريقة لا تزال تستخدم بشكل شائع لمنع تراكم الأخطاء في التقنيات الرقمية للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية. قدمت ورقته البحثية عام 1947 مع هيرمان جولدستين ضمنيًا تحليل الخطأ العكسي، مما يمثل أول وصف لها. علاوة على ذلك، فهو من رواد توثيق الطريقة اليعقوبية. أثناء وجوده في لوس ألاموس، قام فون نيومان بتأليف العديد من التقارير السرية التي توضح بالتفصيل الحلول العددية لمشاكل ديناميكيات الغاز. ومع ذلك، فإن إحباطه من التقدم المحدود في الأساليب التحليلية لهذه التحديات غير الخطية دفعه إلى التحول نحو الأساليب الحسابية. وبالتالي، وتحت إشرافه، برزت لوس ألاموس كمركز بارز للعلوم الحسابية خلال الخمسينيات وأوائل الستينيات من القرن الماضي.

قاد هذا العمل فون نيومان إلى إدراك أن الحساب تجاوز دوره كمجرد أداة لحل المشكلات عدديًا من خلال القوة الغاشمة؛ ويمكن أن تسفر أيضًا عن رؤى تحليلية. لقد فهم أيضًا أن مجموعة واسعة من المشكلات العلمية والهندسية، وخاصة تلك غير الخطية، يمكن أن تستفيد من تطبيقات الكمبيوتر. في يونيو 1945، في المؤتمر الرياضي الكندي الأول، ألقى عرضه الافتتاحي حول الاستراتيجيات العامة لحل المشكلات، مع التركيز بشكل خاص على الجوانب العددية لديناميكا الموائع. وأوضح أيضًا كيف تعمل أنفاق الرياح كأجهزة كمبيوتر تناظرية، وتوقع أن تحل أجهزة الكمبيوتر الرقمية محلها، مما يبشر بعصر جديد لديناميكيات السوائل. وصف غاريت بيركوف هذا العرض التقديمي بأنه "عرض مبيعات لا يُنسى". بعد ذلك، قام فون نيومان بتوسيع محادثته مع غولدستين إلى مخطوطة "حول مبادئ آلات الحوسبة واسعة النطاق"، والتي استخدمها للدفاع عن تقدم الحوسبة العلمية. كما تقدم منشوراته أيضًا مفاهيم متقدمة مثل انعكاس المصفوفات، والمصفوفات العشوائية، وطرق الاسترخاء الآلية لمعالجة مشكلات قيمة الحدود الإهليلجية.

أنظمة الطقس والاحتباس الحراري

كجزء من استكشافه لتطبيقات الكمبيوتر المحتملة، طور فون نيومان اهتمامًا بالتنبؤ بالطقس، ولاحظ أوجه التشابه بين التحديات في هذا المجال وتلك التي واجهها خلال مشروع مانهاتن. في عام 1946، أنشأ فون نيومان "مشروع الأرصاد الجوية" في معهد الدراسات المتقدمة، وحصل على التمويل من مكتب الطقس، والقوات الجوية الأمريكية، وخدمات الطقس التابعة للبحرية الأمريكية. وبالتعاون مع كارل غوستاف روسبي، الذي كان يُعتبر آنذاك أبرز خبراء الأرصاد الجوية النظرية، قام بتجميع فريق من عشرين خبيرًا في الأرصاد الجوية لمعالجة قضايا مختلفة في هذا المجال. ومع ذلك، وبسبب التزاماته الأخرى بعد الحرب، لم يتمكن من تخصيص الوقت الكافي لقيادة المشروع بفعالية، مما أدى إلى إنجازات محدودة.

تغير هذا الوضع عندما تولى جولي جريجوري تشارني القيادة المشتركة للمشروع من روسبي. بحلول عام 1950، شارك فون نيومان وتشارني في تطوير أول برنامج لنمذجة المناخ في العالم، والذي استخدموه لاحقًا لإنشاء أول تنبؤات جوية رقمية على مستوى العالم، باستخدام كمبيوتر ENIAC الذي رتب فون نيومان الوصول إليه. نشر فون نيومان وفريقه هذه النتائج تحت عنوان التكامل العددي لمعادلة الدوامة الباروتروبية. لقد لعبوا معًا دورًا محوريًا في دمج تبادل طاقة هواء البحر والرطوبة في دراسات المناخ. على الرغم من طبيعتها البدائية، انتشرت أخبار تنبؤات ENIAC بسرعة في جميع أنحاء العالم، مما أدى إلى بدء العديد من المشاريع الموازية في مواقع أخرى.

في عام 1955، نجح فون نيومان وتشارني ومعاونوهم في إقناع مموليهم بإنشاء وحدة التنبؤ العددي بالطقس المشتركة (JNWPU) في سوتلاند بولاية ماريلاند، والتي بدأت بعد ذلك عمليات التنبؤ بالطقس الروتينية في الوقت الفعلي. بعد ذلك، اقترح فون نيومان برنامجًا بحثيًا شاملاً لنمذجة المناخ:

تتضمن المنهجية في البداية متابعة تنبؤات قصيرة المدى، تليها تنبؤات طويلة المدى لخصائص الدورة الدموية القادرة على الاستدامة الذاتية على مدى فترات ممتدة بشكل تعسفي. عندها فقط سيتم بذل محاولات للتنبؤ بالأطر الزمنية المتوسطة والطويلة، والتي تكون طويلة للغاية بحيث لا يمكن معالجتها من خلال نظرية هيدروديناميكية بسيطة ولكنها مختصرة للغاية بحيث لا يمكن تحليلها باستخدام المبدأ العام لنظرية التوازن.

إن النتائج الإيجابية التي أعلن عنها نورمان أ. فيليبس في عام 1955 حفزت استجابة فورية، مما دفع فون نيومان إلى تنظيم مؤتمر في برينستون حول "تطبيق تقنيات التكامل العددي على مشكلة الدورة العامة". لقد قام بتنظيم البرنامج بشكل استراتيجي مع توجه تنبؤي لتأمين الدعم المستمر من مكتب الطقس والجيش. وتُوجت هذه المبادرة بإنشاء قسم أبحاث الدورة العامة (المعروف حاليًا باسم مختبر ديناميكيات الموائع الجيوفيزيائية) المجاور لوحدة JNWPU. انخرط فون نيومان باستمرار في كل من التعقيدات التقنية للنمذجة والمهمة الحاسمة المتمثلة في تأمين الدعم المالي المستمر لهذه المشاريع. في أواخر القرن التاسع عشر، اقترح سفانتي أرينيوس أن الأنشطة البشرية قد تؤدي إلى ظاهرة الاحتباس الحراري من خلال إدخال ثاني أكسيد الكربون إلى الغلاف الجوي. بحلول عام 1955، أشار فون نيومان إلى أن هذه العملية ربما تكون جارية بالفعل، قائلاً: "ربما يكون ثاني أكسيد الكربون المنطلق في الغلاف الجوي عن طريق حرق الفحم والنفط في الصناعة - أكثر من نصفه خلال الجيل الأخير - قد غيَّر تكوين الغلاف الجوي بما يكفي لتفسير الاحترار العام في العالم بحوالي درجة واحدة فهرنهايت". دفعته تحقيقاته في أنظمة الطقس والتنبؤ بالأرصاد الجوية إلى اقتراح التلاعب البيئي، وتحديدًا عن طريق نشر الملونات على القمم الجليدية القطبية لزيادة امتصاص الإشعاع الشمسي، وبالتالي تقليل البياض. ومع ذلك، فقد نصح بشدة بالحذر فيما يتعلق بأي برامج لتعديل الغلاف الجوي:

ما يمكن فعله، بالطبع، ليس مؤشرًا لما يجب فعله... في الواقع، تقييم العواقب النهائية للتبريد العام أو التسخين العام سيكون أمرًا معقدًا. ستؤثر التغييرات على مستوى البحار، وبالتالي على صلاحية الجرف الساحلي القاري للسكن؛ وتبخر البحار، وبالتالي مستويات هطول الأمطار والتجلد بشكل عام؛ وما إلى ذلك... ولكن ليس هناك شك في أنه يمكن إجراء التحليلات اللازمة للتنبؤ بالنتائج، والتدخل على أي نطاق مرغوب، وتحقيق نتائج رائعة في نهاية المطاف.

وحذر فون نيومان بالإضافة إلى ذلك من إمكانية استغلال التلاعب بالطقس والمناخ لأغراض عسكرية، وأبلغ الكونجرس في عام 1956 أن مثل هذه القدرات قد تشكل خطرًا أكبر من الصواريخ الباليستية العابرة للقارات (ICBMs).

فرضية التفرد التكنولوجي

يُنسب التطبيق الأولي لمفهوم التفرد ضمن الإطار التكنولوجي إلى فون نيومان. وفقًا لأولام، تحدث فون نيومان عن "التقدم المتسارع للتكنولوجيا والتغيرات في نمط الحياة البشرية، مما يعطي مظهر الاقتراب من بعض التفرد الأساسي في تاريخ الجنس الذي لا يمكن أن تستمر بعده الشؤون الإنسانية، كما نعرفها". وقد تم تفصيل هذه الفكرة لاحقًا في منشور ألفين توفلر عام 1970 بعنوان صدمة المستقبل.

مساهمات الدفاع

مشروع مانهاتن

بدءًا من أواخر ثلاثينيات القرن العشرين، اكتسب فون نيومان معرفة متخصصة في الانفجارات، وهي ظواهر صعبة بطبيعتها في تصميم نماذج رياضية. خلال هذه الحقبة، برز باعتباره المرجع الأول في رياضيات الشحنات المشكلة. أدت هذه الخبرة إلى العديد من الاستشارات العسكرية، وبالتالي مشاركته في مشروع مانهاتن. وشملت مشاركته زيارات منتظمة إلى منشآت البحث السرية للمشروع في مختبر لوس ألاموس في نيو مكسيكو.

تضمنت مساهمة فون نيومان الأساسية في القنبلة الذرية وضع تصور وتصميم العدسات المتفجرة الضرورية لضغط نواة البلوتونيوم لسلاح الرجل السمين، والذي تم نشره لاحقًا فوق ناغازاكي. على الرغم من أن فون نيومان لم يبتكر مفهوم "الانفجار الداخلي"، إلا أنه كان من بين أكثر المدافعين عنه ثباتًا، وشجع على تحسينه المستمر على الرغم من تحفظات العديد من الزملاء الذين اعتبروا مثل هذا التصميم غير عملي. علاوة على ذلك، فقد تصور في نهاية المطاف استراتيجية استخدام شحنات ذات شكل أكثر قوة وتقليل كميات المواد الانشطارية لتسريع عملية "التجميع" بشكل كبير.

إن ندرة اليورانيوم 235 لصنع قنابل متعددة وعدم ملاءمة البلوتونيوم 239 لتصميم "الرجل النحيف" استلزم التوسع الكبير في مشروع العدسات المتفجرة، مما أدى إلى تنفيذ مفهوم فون نيومان. ظهر الانفجار الداخلي باعتباره الطريقة الوحيدة القابلة للتطبيق لاستخدام البلوتونيوم 239 الذي تم الحصول عليه من موقع هانفورد. حدد فون نيومان تصميم العدسة المتفجرة المطلوب، على الرغم من المخاوف المستمرة بشأن "تأثيرات الحافة" وعيوب المواد المتفجرة. أشارت حساباته إلى أن الانفجار الداخلي سيكون ناجحًا بشرط الحفاظ على التماثل الكروي ضمن انحراف قدره 5%. بعد العديد من التجارب النموذجية غير الناجحة، حقق جورج كيستياكوسكي هذا الاختراق الحاسم، وبلغ ذروته في الانتهاء من بناء قنبلة الثالوث في يوليو 1945.

خلال سبتمبر 1944، أثبتت هذه النتيجة أن تفجير قنبلة ذرية على بعد عدة كيلومترات فوق الهدف، وليس على مستوى الأرض، من شأنه أن يزيد بشكل كبير من فعاليتها التدميرية.

شارك فون نيومان في لجنة اختيار الأهداف المكلفة بتحديد هيروشيما وناجازاكي كأول مدينتين يابانيتين لنشر القنبلة الذرية. وأشرف على الحسابات المتعلقة بالحجم المتوقع لانفجارات القنابل، والوفيات المتوقعة، وارتفاع التفجير الأمثل لتعظيم انتشار موجة الصدمة. كانت كيوتو، وهي مركز ثقافي مهم، هي الخيار المفضل لفون نيومان، وهو اختيار دعمه الجنرال ليزلي جروفز، قائد مشروع مانهاتن. ومع ذلك، رفض وزير الحرب هنري إل. ستيمسون هذا الهدف في نهاية المطاف.

في 16 يوليو 1945، شهد فون نيومان، إلى جانب العديد من موظفي مشروع مانهاتن الآخرين، الاختبار الافتتاحي لتفجير القنبلة الذرية، الذي أطلق عليه اسم ترينيتي. وقع هذا الحدث، المصمم لتقييم جهاز طريقة الانفجار الداخلي، في منطقة ألاموغوردو للقصف في نيو مكسيكو. بناءً على ملاحظاته فقط، قدّر فون نيومان قوة الانفجار بـ 5 كيلو طن من مادة تي إن تي (21 تيراجول). في المقابل، استنتج إنريكو فيرمي تقديرًا أكثر دقة يبلغ 10 كيلوطن من خلال ملاحظة تشتت قصاصات الورق الممزقة أثناء عبور موجة الصدمة موقعه. وتراوحت القوة الانفجارية الفعلية بين 20 و22 كيلوطن. ومن الجدير بالذكر أن مصطلح "الكيلوتون" تم تقديمه لأول مرة في أوراق فون نيومان منذ عام 1944.

تابع فون نيومان أبحاثه بثبات، وأصبح، إلى جانب إدوارد تيلر، شخصية محورية في تقدم مشروع القنبلة الهيدروجينية. وبالتعاون مع كلاوس فوكس، ساهم في تطوير القنبلة لاحقًا. في عام 1946، قدموا بشكل مشترك براءة اختراع سرية توضح بالتفصيل آلية استخدام قنبلة انشطارية لضغط الوقود الاندماجي، وبالتالي بدء الاندماج النووي. في حين أن براءة اختراع فوكس-فون نيومان تضمنت الانفجار الإشعاعي الداخلي، إلا أن منهجيتها تختلف عن تلك المعتمدة في النهاية في التصميم النهائي للقنبلة الهيدروجينية تيلر-أولام. ومع ذلك، تم دمج بحثهم في لقطة "جورج" لعملية Greenhouse، مما يوفر رؤى مهمة للتصميم النهائي. قام فوكس بعد ذلك بنقل أعمال فوكس-فون نيومان إلى الاتحاد السوفيتي كجزء من أنشطته التجسسية النووية؛ ومع ذلك، لم يتم استخدامه في التطوير السوفييتي المستقل لتصميم تيلر-أولام. لاحظ المؤرخ جيريمي بيرنشتاين المفارقة المتمثلة في أن "جون فون نيومان وكلاوس فوكس، أنتجا اختراعًا رائعًا في عام 1946 كان من الممكن أن يغير المسار الكامل لتطوير القنبلة الهيدروجينية، ولكن لم يتم فهمه بالكامل إلا بعد تصنيع القنبلة بنجاح." 1946.

مساعي ما بعد الحرب.

في عام 1950، بدأ فون نيومان دوره كمستشار لمجموعة تقييم أنظمة الأسلحة، وهي كيان مكلف بتقديم المشورة لرؤساء الأركان المشتركة ووزير دفاع الولايات المتحدة فيما يتعلق بالتقدم وتطبيق التقنيات الناشئة. وفي الوقت نفسه، عمل مستشارًا لمشروع الأسلحة الخاصة للقوات المسلحة، الذي أشرف على الأبعاد العسكرية للأسلحة النووية. وعلى مدار العامين التاليين، توسعت أنشطته الاستشارية لتشمل مختلف فروع الحكومة الأمريكية. وشملت هذه التعاقدات أدوارًا مع وكالة الاستخبارات المركزية (CIA)، وعضوية اللجنة الاستشارية العامة المؤثرة التابعة لهيئة الطاقة الذرية، والاستشارات لمختبر لورانس ليفرمور الوطني الذي تم إنشاؤه مؤخرًا، والمشاركة في المجموعة الاستشارية العلمية للقوات الجوية للولايات المتحدة. خلال هذه الفترة، حصل على مكانة عالم دفاع بارز داخل البنتاغون، حيث اعتبرت خبرته لا يرقى إليها الشك من قبل أعلى المستويات في الحكومة الأمريكية والجيش.

خلال جلسات متعددة للمجلس الاستشاري للقوات الجوية الأمريكية، توقع فون نيومان، إلى جانب إدوارد تيلر، أنه بحلول عام 1960، ستمتلك الولايات المتحدة القدرة على بناء قنبلة هيدروجينية مدمجة بما يكفي لنشر الصواريخ. في عام 1953، قام برنارد شريفر، الذي حضر هذه الاجتماعات، بزيارة فون نيومان شخصيًا في برينستون لتأكيد هذه الإمكانية. بعد ذلك، تواصل شريفر مع تريفور جاردنر، الذي استشار أيضًا فون نيومان بعد عدة أسابيع لفهم التداعيات المحتملة بدقة قبل البدء في دعوته لنظام الأسلحة هذا في واشنطن. في هذه المرحلة، قام فون نيومان، إما برئاسة أو المشاركة في العديد من اللجان التي تركز على الصواريخ الاستراتيجية والأسلحة النووية، بدمج الحجج النقدية بشكل استراتيجي بشأن التقدم السوفييتي المحتمل في هذه المجالات وفي الدفاعات الاستراتيجية ضد القاذفات الأمريكية في التقارير الحكومية. وقد ساعدت هذه التقارير في تعزيز قضية تطوير الصواريخ الباليستية العابرة للقارات. قام جاردنر في كثير من الأحيان بتسهيل حضور فون نيومان للاجتماعات مع وزارة الدفاع الأمريكية، حيث قدم النتائج التي توصل إليها إلى العديد من كبار المسؤولين. أصبحت عناصر التصميم الرئيسية المبينة في هذه التقارير، مثل آليات التوجيه بالقصور الذاتي، فيما بعد أساسية لجميع الصواريخ الباليستية العابرة للقارات في المستقبل. بحلول عام 1954، قدم فون نيومان باستمرار شهاداته إلى مختلف اللجان الفرعية العسكرية التابعة للكونغرس، بهدف تأمين التأييد المستمر لبرنامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات.

وعلى الرغم من هذه الجهود، فقد اعتبر أن المزيد من الزخم ضروري. ولتسريع برنامج الصواريخ الباليستية العابرة للقارات إلى أقصى إمكاناته، تم طلب التدخل الرئاسي المباشر. نجح اجتماع مباشر في يوليو 1955 في إقناع الرئيس أيزنهاور، وبلغ ذروته بتوجيه رئاسي صدر في 13 سبتمبر 1955. وأكد هذا التوجيه أن تطوير الاتحاد السوفييتي لصاروخ باليستي عابر للقارات قبل الولايات المتحدة سوف يستلزم "أخطر التداعيات على الأمن القومي وعلى تماسك العالم الحر". ونتيجة لذلك، فقد تم تصنيف مشروع الصاروخ الباليستي العابر للقارات على أنه "برنامج بحث وتطوير ذو أولوية قصوى فوق كل البرامج الأخرى"، وتم تكليف وزير الدفاع بالبدء فيه "بأقصى درجة من الإلحاح". وأكدت الأدلة اللاحقة أن السوفييت كانوا، في الواقع، يجرون بالفعل اختبارات لصواريخهم الباليستية متوسطة المدى خلال هذه الفترة. حافظ فون نيومان على دوره كمستشار محوري في مجال الصواريخ الباليستية العابرة للقارات، واستمر في الاجتماع بالرئيس، بما في ذلك في مقر إقامته في جيتيسبيرغ بولاية بنسلفانيا، وغيره من كبار المسؤولين الحكوميين حتى وفاته.

هيئة الطاقة الذرية

في عام 1955، تم تعيين فون نيومان مفوضًا لهيئة الطاقة الذرية (AEC)، وكان حينها يعتبر أعلى منصب رسمي متاح للعلماء داخل الحكومة. على الرغم من أن هذا التعيين استلزم عادة إنهاء جميع الاتفاقيات الاستشارية الأخرى، فقد تم منح استثناء لفون نيومان لمواصلة عمله مع العديد من اللجان العسكرية الحاسمة، في أعقاب المخاوف التي أثارتها القوات الجوية وأعضاء مجلس الشيوخ الرئيسيين. وقد استفاد من هذا الدور المؤثر للمضي قدماً في تصنيع القنابل الهيدروجينية المدمجة، المصممة خصيصًا للنشر عبر الصواريخ الباليستية العابرة للقارات. وتضمنت جهوده معالجة النقص الشديد في التريتيوم والليثيوم 6، وهي مكونات أساسية لهذه الأسلحة. علاوة على ذلك، عارض بشدة اعتماد الصواريخ متوسطة المدى التي يفضلها الجيش، ودعا بدلاً من ذلك إلى الفعالية الفائقة للقنابل الهيدروجينية التي يتم إيصالها إلى عمق أراضي العدو بواسطة الصواريخ الباليستية العابرة للقارات. وأكد أن عدم الدقة المتأصلة في مثل هذه الصواريخ يمكن تخفيفه من خلال القوة التدميرية للقنبلة الهيدروجينية. كما افترض فون نيومان أيضًا أن الاتحاد السوفييتي كان على الأرجح يطور نظام أسلحة مشابهًا، وهو التنبؤ الذي ثبتت دقته لاحقًا. أثناء غياب لويس شتراوس في النصف الأخير من عام 1955، تولى فون نيومان مسؤوليات القائم بأعمال رئيس اللجنة.

خلال سنواته الأخيرة، قبل وفاته بمرض السرطان، ترأس فون نيومان لجنة الصواريخ الباليستية العابرة للقارات (ICBM) السرية للغاية التابعة لحكومة الولايات المتحدة، والتي كانت تجتمع أحيانًا في مقر إقامته. وكان تفويض اللجنة هو تقييم جدوى تطوير صاروخ باليستي عابر للقارات قادر على إيصال سلاح نووي حراري. وأكد فون نيومان باستمرار أنه على الرغم من التحديات التقنية الكبيرة، إلا أنه يمكن التغلب عليها. أكمل SM-65 أطلس بنجاح اختباره الافتتاحي بكامل طاقته في عام 1959، بعد عامين من وفاته. بعد ذلك، تم نشر صواريخ تيتان الأكثر تقدمًا في عام 1962. وقد تم اقتراح كلا النظامين في البداية داخل لجان الصواريخ الباليستية العابرة للقارات التي يرأسها فون نيومان. لا يُعزى التطوير الناجح للصواريخ الباليستية العابرة للقارات إلى التقدم في مجال الصواريخ فحسب، بل أيضًا إلى إنشاء رؤوس حربية محسنة ومصغرة تخفف من مشاكل التوجيه ومقاومة الحرارة؛ إن فهم فون نيومان العميق لتقنيات الرؤوس الحربية هذه جعل من مشورته أمراً لا غنى عنه.

كان انخراط فون نيومان في الخدمة الحكومية ينبع في المقام الأول من اقتناعه بأن الحفاظ على الحرية والحضارة يستلزم انتصار الولايات المتحدة على الإيديولوجيات الشمولية، وعلى وجه التحديد النازية، والفاشية، والشيوعية السوفييتية. خلال جلسة استماع للجنة بمجلس الشيوخ، وصف موقفه السياسي بأنه "مناهض للشيوعية بعنف، وأكثر عسكرية بكثير من المعتاد".

الخصائص الشخصية

الممارسات المهنية

لاحظ هيرمان جولدستين قدرة فون نيومان الرائعة على تحديد الأخطاء الكامنة بشكل بديهي واسترجاع المعلومات المكتسبة سابقًا بشكل لا تشوبه شائبة. وعندما واجه مشاكل معقدة، امتنع عن النضال المطول؛ وبدلاً من ذلك، كان ينسحب، وغالبًا ما يعود لاحقًا بقرار بعد فترة من الراحة. هذا النهج، الذي يوصف بأنه "يسلك الطريق الأقل مقاومة"، قاده أحيانًا إلى اتباع خطوط عرضية في البحث. علاوة على ذلك، إذا كانت المشكلة تمثل تحديات أولية كبيرة، فإنه سيتحول بسهولة إلى مهمة بديلة بدلاً من محاولة تحديد نقاط الضعف لتحقيق اختراق. في بعض الأحيان، أظهر عدم الإلمام بالأدبيات الرياضية القياسية، مفضلاً إعادة استخلاص المعلومات الأساسية حسب الحاجة بدلاً من الرجوع إلى المراجع الموجودة.

بعد اندلاع الحرب العالمية الثانية، أصبح جدول فون نيومان متطلبًا بشكل استثنائي بسبب الالتزامات الأكاديمية والعسكرية الواسعة. وتزايد ميله إلى إهمال التوثيق الرسمي للعروض التقديمية ونشر نتائج البحوث. لقد وجد صعوبة في التعبير رسميًا عن موضوع ما كتابيًا ما لم يتم تطوير المفهوم بالكامل في أفكاره؛ وإلا فقد اعترف بأنه "سيكتسب أسوأ سمات التحذلق وعدم الكفاءة".

الاتساع الرياضي

افترض عالم الرياضيات جان ديودوني أن فون نيومان "ربما كان الممثل الأخير لمجموعة كانت مزدهرة ومتعددة، وهم علماء الرياضيات العظماء الذين كانوا متساوين في الرياضيات البحتة والتطبيقية والذين حافظوا طوال حياتهم المهنية على إنتاج ثابت في كلا الاتجاهين". أكد ديودوني أيضًا أن عبقرية فون نيومان الخاصة تكمن في التحليل و"التوافقيات"، وتفسير الأخير على نطاق واسع ليشمل قدرته على تنظيم وإضفاء بديهية على مجموعات معقدة من الأعمال التي كان يُنظر إليها سابقًا على أنها ذات أهمية رياضية ضئيلة. التزمت منهجيته التحليلية بالمدرسة الألمانية، المرتكزة على مبادئ الجبر الخطي والطوبولوجيا العامة. على الرغم من أن فون نيومان كان يمتلك أساسًا فكريًا موسوعيًا، إلا أن نطاقه في الرياضيات البحتة لم ينافس نطاق بوانكاريه، أو هيلبرت، أو حتى فايل؛ والجدير بالذكر أنه لم يقدم أي مساهمات كبيرة في نظرية الأعداد أو الطوبولوجيا الجبرية أو الهندسة الجبرية أو الهندسة التفاضلية. وعلى العكس من ذلك، كانت إنجازاته في الرياضيات التطبيقية مماثلة لإنجازات غاوس أو كوشي أو بوانكاريه.

صرح يوجين فيغنر قائلاً: "لا أحد يعرف كل العلوم، ولا حتى فون نيومان يعرفها. ولكن بالنسبة للرياضيات، فقد ساهم في كل جزء منها باستثناء نظرية الأعداد والطوبولوجيا. وهذا، في رأيي، شيء فريد من نوعه." لاحظ بول هالموس أنه على الرغم من المعرفة الرياضية الواسعة التي يتمتع بها فون نيومان، إلا أنه توجد ثغرات كبيرة في الطوبولوجيا الجبرية ونظرية الأعداد. روى هالموس حالة لم يحدد فيها فون نيومان التعريف الطوبولوجي للطارة. اعترف فون نيومان لهيرمان جولدستين بافتقاره التام إلى الكفاءة في الطوبولوجيا وانزعاجه المستمر من الموضوع. أشار غولدستين لاحقًا إلى هذا الاعتراف عند المقارنة بين فون نيومان وهيرمان فايل، الذي اعتبره يمتلك عمقًا واتساعًا أكبر.

لاحظ سالومون بوشنر، في تقريره عن السيرة الذاتية لفون نيومان، أن جزءًا كبيرًا من مساهمات فون نيومان في الرياضيات البحتة تركز على الفضاءات المتجهة المحدودة وغير المحدودة الأبعاد، وهو المجال الذي شكل جزءًا كبيرًا من المجال الرياضي خلال تلك الحقبة. ومع ذلك، أبرز بوشنر أن هذا التركيز أغفل مجالات مهمة في المشهد الرياضي، وتحديدًا تلك التي تشمل "الهندسة العالمية"، مثل الطوبولوجيا، والهندسة التفاضلية، والتكاملات التوافقية، والهندسة الجبرية. نادرًا ما انخرط فون نيومان في هذه التخصصات المحددة، وفي تقييم بوشنر، أظهر ميلًا محدودًا نحوها.

في منشور متأخر، أعرب فون نيومان عن قلقه من أن علماء الرياضيات البحتين كانوا غير قادرين على نحو متزايد على اكتساب خبرة عميقة حتى في جزء صغير من تخصصهم. خلال أوائل الأربعينيات من القرن العشرين، ابتكر أولام اختبارًا وهميًا للدكتوراه لفون نيومان لتحديد الثغرات في فهمه للرياضيات؛ كافح فون نيومان لتقديم إجابات مرضية على الأسئلة في الهندسة التفاضلية ونظرية الأعداد والجبر. قادتهم هذه التجربة إلى استنتاج أن اختبارات الدكتوراه قد يكون لها "القليل من المعنى الدائم". على العكس من ذلك، عندما رفض فايل دعوة لتأليف تاريخ الرياضيات في القرن العشرين، مشيرًا إلى استحالة قيام فرد واحد بمثل هذه المهمة، افترض أولام أن فون نيومان ربما كان قادرًا على القيام بمثل هذا المسعى.

المنهجيات المفضلة لحل المشكلات

لاحظ أولام أنه في حين أن العديد من علماء الرياضيات متخصصون عادةً في أسلوب واحد ويطبقونه بشكل متكرر، فقد ميز فون نيومان نفسه من خلال إتقان ثلاثة أساليب متميزة:

إتقان التعامل الرمزي مع العوامل الخطية؛
فهم بديهي للبنية المنطقية المتأصلة في النظريات الرياضية الجديدة؛
فهم بديهي للإطار التوافقي الكامن وراء النظريات الناشئة.

على الرغم من وصفه في كثير من الأحيان بأنه محلل، إلا أن فون نيومان عرف نفسه ذات مرة على أنه عالم جبر، وكثيرًا ما كان منهجه المنهجي يدمج التقنيات الجبرية مع الحدس النظري. لقد أظهر ولعًا بالتفاصيل الدقيقة، دون أن ينزعج من التكرار المكثف أو التدوين الواضح للغاية. تم العثور على توضيح ملحوظ لهذه الخاصية في بحثه عن حلقات العوامل، حيث قام بتوسيع التدوين الوظيفي القياسي، $\phi (x)$ ، إلى $\phi ((x))$ . تم تطبيق هذا التوسع الترميزي بشكل متكرر، وبلغ ذروته في تعبيرات مثل ${\displaystyle (\psi ((((a))))^{2}=\phi ((((a))))$ . وبالتالي، أصبح هذا المنشور الصادر عام 1936 معروفًا بالعامية بين الطلاب باسم "بصلة فون نيومان"، مما يعني أن معادلاته تتطلب "تقشيرًا" للفهم. وعلى الرغم من وضوحها وقوتها الفكرية، إلا أن أعماله المكتوبة لم تتميز بالإيجاز أو الأناقة الجمالية. على الرغم من كونه هائلًا من الناحية الفنية، إلا أن هدفه الأسمى كان التعبير الدقيق والقابل للتنفيذ عن المشكلات والاستفسارات العلمية الأساسية، بدلاً من مجرد حل الألغاز الرياضية المنعزلة.

روى أولام أن فون نيومان كثيرًا ما أذهل الفيزيائيين من خلال إجراء تقديرات أبعاد معقدة وحسابات جبرية عقليًا، مع قدرة مماثلة للعب الشطرنج معصوب العينين. كان تصور أولام هو أن فون نيومان تناول تحليل الظواهر الفيزيائية في المقام الأول من خلال الاستنتاج المنطقي المجرد، بدلاً من التمثيل البصري الملموس.

أسلوب المحاضرة

وصف هيرمان جولدستين محاضرات فون نيومان بأنها "سلسة وواضحة"، مقارنًا إياها بمقالاته العلمية، التي اعتبرها "أكثر قسوة" وتفتقر إلى رؤية مماثلة. وبالمثل، وصف بول هالموس المحاضرات بأنها "مبهرة"، مشيرًا إلى خطاب فون نيومان الواضح والسريع والدقيق والشامل. لاحظ كل من جولدستين وهالموس أنه على الرغم من أن المادة بدت "سهلة وطبيعية للغاية" أثناء المحاضرات، إلا أنها غالبًا ما أصبحت محيرة عند التفكير فيها لاحقًا. شكلت وتيرة التحدث السريعة لفون نيومان تحديات لجمهوره. واجه بانيش هوفمان صعوبة في تدوين الملاحظات حتى بطريقة مختصرة، ويذكر ألبرت تاكر أن المستمعين كانوا يقاطعونه في كثير من الأحيان بأسئلة تدفعه إلى التباطؤ، مما يسمح لهم بمعالجة أفكاره المعقدة. واعترافًا بذلك، أبدى فون نيومان تقديره عندما أشار جمهوره إلى أنه كان يتحدث بسرعة كبيرة. وعلى الرغم من التحضير للمحاضرات، إلا أنه نادرًا ما كان يعتمد على ملاحظات مكثفة، ويفضل تحديد نقاط المناقشة الرئيسية والمدد المخصصة لها.

الذاكرة المثالية

اشتهر فون نيومان بذاكرته المثالية، ولا سيما تجلياتها الرمزية. لاحظ هيرمان جولدستين:

كانت إحدى قدراته الرائعة هي قدرته على الاستذكار المطلق. وبقدر ما أستطيع أن أقول، كان فون نيومان قادرًا بمجرد قراءة كتاب أو مقال على الاقتباس منه حرفيًا؛ علاوة على ذلك، يمكنه أن يفعل ذلك بعد سنوات دون تردد. يمكنه أيضًا ترجمتها دون أي انخفاض في السرعة من لغتها الأصلية إلى الإنجليزية. وفي إحدى المناسبات، اختبرت قدرته عندما طلبت منه أن يخبرني كيف بدأت قصة مدينتين. ومن ثم، ودون أي توقف، بدأ على الفور في قراءة الفصل الأول واستمر حتى طلب منه التوقف بعد حوالي عشر أو خمس عشرة دقيقة.

يقال إن فون نيومان يمتلك القدرة على حفظ أدلة الهاتف بأكملها في الذاكرة. كان يسلي معارفه من خلال مطالبتهم باختيار أرقام الصفحات بشكل عشوائي، ومن ثم قراءة الأسماء والعناوين وأرقام الهواتف المدرجة في تلك الصفحات. افترض ستانيسلاف أولام أن ذاكرة فون نيومان كانت سمعية في المقام الأول، وليست بصرية.

الذكاء الرياضي

لقد اعترف أقران فون نيومان في كثير من الأحيان بطلاقته الرياضية الاستثنائية، وسرعته الحسابية السريعة، وقدرته الشاملة على حل المشكلات. وصف بول هالموس سرعته بأنها "مذهلة"، بينما أعلنه لوثار وولفغانغ نوردهايم "أسرع عقل قابلته على الإطلاق". قال إنريكو فيرمي للفيزيائي هربرت إل أندرسون: "كما تعلم يا هيرب، يستطيع جوني إجراء العمليات الحسابية في رأسه أسرع بعشر مرات مني! ويمكنني القيام بها بأسرع ما يمكن بعشرة أضعاف، يا هيرب، حتى تتمكن من رؤية مدى إعجاب جوني!" اعترف إدوارد تيلر بأنه "لم يتمكن أبدًا من مواكبة فون نيومان"، وشبه إسرائيل هالبرين محاولة مواكبة فون نيومان بـ "دراجة ثلاثية العجلات تطارد سيارة سباق".

كانت قدرته على حل المشكلات الجديدة بسرعة استثنائية. روى جورج بوليا، الذي درس فون نيومان تحت إشرافه في ETH زيورخ، "كان جوني هو الطالب الوحيد الذي كنت أخاف منه على الإطلاق. إذا ذكرت خلال المحاضرة مشكلة لم يتم حلها، فمن المحتمل أن يأتي إلي في نهاية المحاضرة بالحل الكامل المكتوب على قصاصة من الورق." وبالمثل، قدم جورج دانتزيج لفون نيومان مشكلة برمجة خطية لم يتم حلها، والتي تعامل معها "كما أفعل مع إنسان عادي"، مشيرًا إلى غياب الأدبيات المنشورة مسبقًا حول هذا الموضوع. اندهش دانتزيج عندما صرخ فون نيومان، عند سماعه المشكلة، "أوه، هذا!"، ثم شرع في إلقاء محاضرة مرتجلة استمرت أكثر من ساعة، موضحًا حلها من خلال نظرية الازدواجية التي لم يتم توضيحها سابقًا.

أصبحت الحكاية المتعلقة بحل فون نيومان لـ "لغز الذبابة" الشهير جزءًا من الفولكلور الرياضي. يصف اللغز دراجتين تفصل بينهما مسافة 20 ميلاً، وتتجه كل منهما نحو الأخرى بسرعة 10 أميال في الساعة حتى تصطدما. وفي الوقت نفسه، تتحرك الذبابة بشكل مستمر ذهابًا وإيابًا بين الدراجات بسرعة 15 ميلًا في الساعة حتى يتم سحقها في الاصطدام. الاستعلام هو إجمالي المسافة التي قطعتها الذبابة. تتضمن "الحيلة" التقليدية للتوصل إلى حل سريع إدراك أن أجزاء السفر الفردية للذبابة ليست ذات صلة؛ فقط حركتها المستمرة بسرعة 15 ميلاً في الساعة طوال مدة سفر الدراجات (ساعة واحدة) هي المهمة. وفقًا ليوجين فيجنر، قدم ماكس بورن هذا اللغز لفون نيومان. العلماء الآخرون الذين طرح عليهم بورن اللغز، قاموا بحساب المسافة بعناية شديدة. وهكذا، عندما قدم فون نيومان على الفور الإجابة الصحيحة وهي 15 ميلًا، توقع بورن أنه لا بد أنه استنتج "الحيلة". وبحسب ما ورد أجاب فون نيومان: "ما الحيلة؟ كل ما فعلته هو جمع المتسلسلة الهندسية."

الشك في الذات

وقد أشار جيان كارلو روتا إلى "الشكوك العميقة والمتكررة" لدى فون نيومان. يتذكر جون إل. كيلي، في عام 1989، تأكيد فون نيومان بأنه سوف يُنسى بينما يُذكر كيرت جودل جنبًا إلى جنب مع فيثاغورس، وهو شعور يتناقض مع الرهبة واسعة النطاق التي كان ينظر إليها أقرانه. افترض ستانيسواف أولام أن بعض الشك الذاتي الإبداعي لدى فون نيومان ربما يكون نابعًا من فشله في إنشاء العديد من المفاهيم المهمة، مثل نظريات عدم الاكتمال ونظرية بيركوف النقطية أرجوديك، على الرغم من قدرته الواضحة على القيام بذلك. في حين كان فون نيومان يمتلك مهارة استثنائية في التفكير المعقد والرؤى العميقة، فقد يكون قد لاحظ نقصًا في القدرة على التعامل مع البراهين أو النظريات أو الاختراقات البديهية التي تبدو غير عقلانية. روى أولام أنه خلال الفترة التي قضاها في برينستون عندما كان فون نيومان منخرطًا في حلقات التشغيل، والهندسة المستمرة، والمنطق الكمي، بدا غير مقتنع بأهمية عمله، ولم يجد الرضا إلا عند اكتشاف حل تقني مبتكر أو نهج جديد. ومع ذلك، أكد روتا أن فون نيومان يمتلك "تقنية أقوى بما لا يقاس" من أولام، على الرغم من الاعتراف بأولام باعتباره عالم الرياضيات الأكثر إبداعًا.

تراث

الأوسمة

ذات يوم، تأمل هانز بيث، الحائز على جائزة نوبل، فيما إذا كان عقل مثل عقل فون نيومان قد يشير إلى نوع متفوق على البشرية. لاحظ إدوارد تيلر قدرة فون نيومان على التحدث مع ابنه البالغ من العمر ثلاث سنوات على قدم المساواة، مما دفع تيلر إلى التساؤل عما إذا كان يطبق نفس المبدأ على الآخرين. وصف بيتر لاكس فون نيومان بأنه "مدمن على التفكير، وخاصة التفكير في الرياضيات". علق يوجين ويغنر على فهم فون نيومان الشامل للمسائل الرياضية، حيث استوعبها "ليس فقط في جانبها الأولي، ولكن في تعقيدها الكامل". أعلن كلود شانون، مرددًا شعورًا شائعًا، أنه "أذكى شخص قابلته على الإطلاق". وصفه جاكوب برونوفسكي بأنه "أذكى رجل عرفته على الإطلاق، دون استثناء"، وعرّف العبقرية بأنها فرد لديه فكرتان عميقتان. في عام 2006، أكد توم سيغفريد أن فون نيومان لخص مصطلح متعدد الثقافات في القرن السابق، وأن مساهماته في الفيزياء والرياضيات وعلوم الكمبيوتر والاقتصاد جعلته واحدًا من الشخصيات الفكرية البارزة في كل مجال.

سلط فيجنر الضوء على ذكاء فون نيومان الاستثنائي، واصفًا عقله بأنه أسرع من أي شخص قابله على الإطلاق، قائلًا:

لقد عرفت عددًا كبيرًا من الأشخاص الأذكياء في حياتي. كنت أعرف ماكس بلانك، وماكس فون لاو، وفيرنر هايزنبرغ. كان بول ديراك صهري. كان ليو زيلارد وإدوارد تيلر من بين أصدقائي المقربين؛ وكان ألبرت أينشتاين صديقًا جيدًا أيضًا. ولقد عرفت العديد من ألمع العلماء الشباب. لكن لم يكن لدى أي منهم عقل سريع وحاد مثل جانسي فون نيومان. لقد لاحظت هذا كثيرًا في حضور هؤلاء الرجال، ولم يجادلني أحد أبدًا.

افترض ميكلوس ريدي أنه "إذا تم تفسير تأثير العالم على نطاق واسع بما يكفي ليشمل التأثير على مجالات تتجاوز نطاق العلم، فمن المحتمل أن جون فون نيومان كان عالم الرياضيات الأكثر تأثيرًا على الإطلاق." اقترح لاكس أن فون نيومان كان سيحصل على جائزة نوبل في الاقتصاد لو عاش لفترة أطول، وأنه كان سيتم تكريمه بالمثل بجوائز نوبل في علوم الكمبيوتر والرياضيات، إذا كانت هذه الجوائز موجودة. وقد نسب جيان كارلو روتا الفضل إلى فون نيومان باعتباره «أول من امتلك رؤية للإمكانيات اللامحدودة للحوسبة»، ولامتلاكه «العزم على جمع الموارد الفكرية والهندسية الكبيرة التي أدت إلى بناء أول حاسوب كبير»، وخلص إلى أنه «لم يكن لأي عالم رياضيات آخر في هذا القرن تأثير عميق ودائم على مسار الحضارة». وهو معروف على نطاق واسع كواحد من أهم علماء الرياضيات والعلماء وأكثرهم تأثيرًا في القرن العشرين، وقد عززت مساهماته الواسعة في العديد من المجالات سمعته باعتباره عالمًا متعدد الثقافات.

وبالمثل، وصف عالم الفيزيولوجيا العصبية ليون هارمون فون نيومان بأنه "العبقري الحقيقي" الوحيد الذي واجهه، حتى بين الشخصيات البارزة مثل أينشتاين، وتيلر، وجيه روبرت أوبنهايمر. لاحظ هارمون أن "عقل فون نيومان كان شاملاً. وكان بإمكانه حل المشكلات في أي مجال. ... وكان عقله يعمل دائمًا، ولا يهدأ دائمًا." في أدواره الاستشارية للمساعي غير الأكاديمية، أكسبه مزيج فون نيومان الاستثنائي من البراعة العلمية والتطبيق العملي مصداقية لا مثيل لها بين الضباط العسكريين والمهندسين والصناعيين. وأشار هربرت يورك إلى أنه في مجال الصواريخ النووية، كان فون نيومان يعتبر "الشخصية الاستشارية المهيمنة بشكل واضح". أكد الخبير الاقتصادي نيكولاس كالدور أن فون نيومان كان "بلا شك أقرب شيء إلى العبقري الذي واجهته على الإطلاق". وبالمثل، قال بول سامويلسون: "نحن الاقتصاديين ممتنون لعبقرية فون نيومان. ليس من حقنا أن نحسب ما إذا كان غاوس، أو بوانكاريه، أو هيلبرت. لقد كان جوني فون نيومان الذي لا مثيل له. لقد اندفع لفترة وجيزة في مجالنا ولم يعد الأمر كما كان منذ ذلك الحين".

الأوسمة والجوائز

اعترافًا بمساهمات فون نيومان، تم إنشاء العديد من الأوسمة والجوائز، بما في ذلك جائزة جون فون نيومان النظرية السنوية من معهد أبحاث العمليات وعلوم الإدارة، وميدالية جون فون نيومان من IEEE، وجائزة جون فون نيومان التي تمنحها جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. علاوة على ذلك، يحمل كل من الحفرة القمرية فون نيومان والكويكب 22824 فون نيومان اسمه.

حصل فون نيومان على العديد من الأوسمة، مثل وسام الاستحقاق في عام 1947، وميدالية الحرية في عام 1956، وجائزة إنريكو فيرمي، التي مُنحت أيضًا في عام 1956. وشملت تكريماته أيضًا انتخابه للعديد من الجمعيات الفخرية، ولا سيما الأكاديمية الأمريكية للفنون والآداب. العلوم والأكاديمية الوطنية للعلوم، إلى جانب منح ثماني درجات دكتوراه فخرية. في 4 مايو 2005، أصدرت خدمة بريد الولايات المتحدة سلسلة طوابع بريدية تذكارية للعلماء الأمريكيين، والتي صممها الفنان فيكتور ستابين وضم فون نيومان، وباربرا مكلينتوك، ويوشيا ويلارد جيبس، وريتشارد فاينمان.

تأسست جامعة جون فون نيومان في كيكسكيميت، المجر، في عام 2016، خلفًا لكيسكيميت. الكلية.

الأعمال المختارة

تم تأليف الورقة الافتتاحية لفون نيومان، حول موضع الأصفار في بعض الحد الأدنى من كثيرات الحدود، بالاشتراك مع مايكل فيكيت وظهرت عندما كان فون نيومان يبلغ من العمر 18 عامًا. في سن التاسعة عشرة، نُشر عمله الفردي حول إدخال الأعداد اللامتناهية. تم تطوير أطروحته للدكتوراه من خلال توسيع ورقته البحثية المنفردة الثانية، البديهية لنظرية المجموعات. في عام 1932، صدر كتابه الأول، الأسس الرياضية لميكانيكا الكم. بعد ذلك، انتقل فون نيومان من الألمانية إلى الإنجليزية لمنشوراته، التي أصبحت أكثر انتقائية وتنوعًا خارج نطاق الرياضيات البحتة. ساهمت أطروحته التي كتبها عام 1942، نظرية موجات التفجير، بشكل كبير في الأبحاث العسكرية. بدأ عمله الرائد في مجال الحوسبة بمخطوطة غير منشورة عام 1946، حول مبادئ آلات الحوسبة واسعة النطاق، وبدأت مساهماته في التنبؤ بالطقس بمنشور عام 1950، التكامل العددي لمعادلة الدوامة الباروتروبية. بالإضافة إلى أوراقه الرسمية، قام بتأليف مقالات غير رسمية مخصصة لكل من الزملاء وعامة الناس، بما في ذلك مقالته عام 1947، عالم الرياضيات، والتي وصفت بأنها "وداع للرياضيات البحتة"، ومقالته عام 1955، هل يمكننا النجاة من التكنولوجيا؟، والتي استكشفت مستقبلًا كئيبًا يشمل الحرب النووية والتعديل المتعمد للمناخ. تم تجميع أعماله الشاملة في مجموعة من ستة مجلدات.

الحياة الشخصية

تزوج من مارييت كوفيسي عام 1930؛ انتهى زواجهما بالطلاق في عام 1937. وأنجبا معًا ابنة واحدة، مارينا فون نيومان ويتمان. أصبحت مارينا فون نيومان ويتمان خبيرة اقتصادية أكاديمية، وعملت بشكل ملحوظ كأول امرأة في مجلس المستشارين الاقتصاديين للرئيس (1972-1973) ثم نائبة رئيس الشؤون العامة في جنرال موتورز (1979-1992)، وهو المنصب الذي جعلها المرأة الأعلى رتبة في صناعة السيارات الأمريكية خلال تلك الفترة. بالإضافة إلى ذلك، حصلت على لقب أستاذ فخري في جامعة ميشيغان.

وتزوج بعد ذلك من كلارا دان (1938-1957)، التي ساهمت في برمجة أجهزة الكمبيوتر ENIAC وMANIAC.

قائمة الرواد في علوم الكمبيوتر
المهووس، كتاب 2023 عن فون نيومان
ملاحظات

ملاحظات

المراجع

تتوفر قائمة مرجعية شاملة لمنشورات جون فون نيومان التي قام بتجميعها نيلسون إتش إف بيبي.
أوكونور، جون جيه، وإدموند إف روبرتسون. "جون فون نيومان." أرشيف تاريخ الرياضيات في MacTutor. جامعة سانت أندروز.
مقابلات التاريخ الشفهي التي أجراها معهد تشارلز باباج في جامعة مينيسوتا تتضمن مناقشات مع أليس آر بيركس، وآرثر دبليو بيركس، ويوجين بي ويجنر، ونيكولاس سي متروبوليس.
يتوفر ملف تعريف zbMATH.
يحتوي المستودع الرقمي لمعهد الدراسات المتقدمة على مواد متعلقة بجون فون نيومان.
تم تقديم تحليل لوجهات نظر فون نيومان وديراك حول نظرية الكم والدقة الرياضية في موسوعة ستانفورد للفلسفة.
تظهر المناقشات حول المنطق الكمي ونظرية الاحتمالية في موسوعة ستانفورد للفلسفة.
تم نشر ملفات مكتب التحقيقات الفيدرالي المتعلقة بجون فون نيومان من خلال قانون حرية المعلومات.
تم إنتاج مقطع فيديو عن السيرة الذاتية لجون فون نيومان بواسطة ديفيد برايلسفورد، أستاذ جون دانفورد الفخري لعلوم الكمبيوتر في جامعة نوتنغهام.
يتناول الفيلم الوثائقي Arte لعام 2013، "جون فون نيومان: نبي القرن الحادي والعشرين"، تأثيره العميق على العالم الحديث، وهو متاح باللغتين الألمانية والفرنسية مع ترجمة باللغة الإنجليزية.
فيلم وثائقي مفصل عام 1966 من قبل الجمعية الرياضية الأمريكية، بعنوان "جون فون نيومان - فيلم وثائقي"، يتضمن ملاحظات من العديد من زملائه، بما في ذلك أولام، ويجنر، هالموس، مورجنسترن، بيث، جولدستين، شتراوس، وتيلر.

John von Neumann

John von Neumann

نظرة عامة على السيرة الذاتية والتعليم

نسب العائلة

الطفل المعجزة

الدراسات الجامعية

المهنة والحياة الخاصة

المرض والوفاة

الرياضيات

نظرية المجموعة

مفارقة فون نيومان

نظرية الإثبات

نظرية أرجوديك

نظرية القياس

المجموعات الطوبولوجية

التحليل الوظيفي

جبر العوامل

نظرية الشبكة

الإحصائيات الرياضية

المساعي البحثية الإضافية

الفيزياء

ميكانيكا الكم

إنتروبيا فون نيومان

مصفوفة الكثافة

مخطط قياس فون نيومان

المنطق الكمي

ديناميكيات الموائع

مساهمات بحثية إضافية

الاقتصاد

نظرية اللعبة

الاقتصاد الرياضي

البرمجة الخطية

علوم الكمبيوتر

الأجهزة

الخوارزميات

الأتمتة الخلوية، والحمض النووي، والمنشئ العالمي

الحوسبة العلمية والتحليل العددي

أنظمة الطقس والاحتباس الحراري

فرضية التفرد التكنولوجي

مساهمات الدفاع

مشروع مانهاتن

مساعي ما بعد الحرب.

هيئة الطاقة الذرية

الخصائص الشخصية

الممارسات المهنية

الاتساع الرياضي

المنهجيات المفضلة لحل المشكلات

أسلوب المحاضرة

الذاكرة المثالية

الذكاء الرياضي

الشك في الذات

تراث

الأوسمة

الأوسمة والجوائز

الأعمال المختارة

الحياة الشخصية

ملاحظات

المراجع

معلومات عن John von Neumann

وسوم الموضوع

عمليات بحث شائعة حول هذا الموضوع

أرشيف العلم والمعرفة