Georg Friedrich Bernhard Riemann (; Deutsch: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman]; 17. September 1826 – 20. Juli 1866) war ein bekannter deutscher Mathematiker, der die Bereiche Analysis, Zahlentheorie und Differentialgeometrie maßgeblich vorangebracht hat. Zu seinen bemerkenswertesten Errungenschaften im Bereich der Realanalyse zählen die anfängliche strenge Formulierung des Integrals, das heute als Riemann-Integral bekannt ist, und seine umfangreichen Arbeiten zu Fourier-Reihen. In der komplexen Analyse ist er besonders für die Einführung der Riemannschen Flächen bekannt, die den Weg für eine natürliche, geometrische Herangehensweise an das Thema bereiteten. Seine bahnbrechende Veröffentlichung aus dem Jahr 1859 über die Primzahlzählfunktion, die die erste Formulierung der Riemann-Hypothese vorstellte, gilt als Eckpfeiler der analytischen Zahlentheorie. Riemanns bahnbrechende Arbeit in der Differentialgeometrie legte die mathematischen Grundlagen für die allgemeine Relativitätstheorie fest. Er gilt weithin als einer der einflussreichsten Mathematiker der Geschichte.
Frühes Leben
Riemann wurde am 17. September 1826 geboren und stammte aus Breselenz, einem Dorf in der Nähe von Dannenberg im Königreich Hannover. Sein Vater, Friedrich Bernhard Riemann, diente als verarmter lutherischer Pfarrer in Breselenz und war ein Veteran der Napoleonischen Kriege. Seine Mutter, Charlotte Ebell, starb 1846. Er war das zweite von sechs Kindern. Schon in jungen Jahren zeigte Riemann außergewöhnliche mathematische Begabung, insbesondere in rechnerischen Fähigkeiten, doch er kämpfte mit großer Schüchternheit, Glossophobie und einem anfälligen Gesundheitszustand.
Akademische Aktivitäten
Im Jahr 1840 zog Riemann nach Hannover, um bei seiner Großmutter zu wohnen und sich an einem Lyzeum einzuschreiben, da diese Bildungseinrichtung in seinem Heimatdorf nicht verfügbar war. Nach dem Tod seiner Großmutter im Jahr 1842 wechselte er an das Johanneum Lüneburg, eine weiterführende Schule in Lüneburg. Dort beschäftigte sich Riemann intensiv mit der Bibel, wobei sich sein Schwerpunkt häufig auf die Mathematik verlagerte. Seine Lehrer waren erstaunt über seine Fähigkeit zu komplexen mathematischen Berechnungen, die oft ihr eigenes Fachwissen übertrafen. Im Alter von 19 Jahren begann er 1846 ein Studium der Philologie und christlichen Theologie mit der Absicht, Pfarrer zu werden und zur finanziellen Stabilität seiner Familie beizutragen.
Im Frühjahr 1846, nachdem sein Vater über ausreichende Mittel verfügte, wurde Riemann an die Universität Göttingen geschickt, mit der Absicht, ein Theologiestudium zu absolvieren. Dennoch begann er nach seiner Ankunft ein Mathematikstudium bei Carl Friedrich Gauß und besuchte insbesondere Vorlesungen über die Methode der kleinsten Quadrate. Gauß riet Riemann daraufhin, die Theologie zugunsten der Mathematik aufzugeben; Mit Zustimmung seines Vaters wechselte Riemann 1847 an die Universität Berlin. Während seiner Amtszeit dort gehörten zu den namhaften Lehrkräften Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner und Gotthold Eisenstein. Nach zwei Jahren in Berlin kehrte er 1849 nach Göttingen zurück.
Akademische Karriere
Im Jahr 1854 hielt Riemann seine Antrittsvorlesungen, in denen er die Grundprinzipien der Riemannschen Geometrie festlegte und damit den Grundstein für Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie legte. Im Jahr 1857 wurde versucht, Riemann zum außerordentlichen Professor an der Universität Göttingen zu ernennen. Diese Beförderung blieb zwar erfolglos, sicherte ihm jedoch ein gleichbleibendes Gehalt. Anschließend, im Jahr 1859, nach dem Tod von Dirichlet, der Gauß‘ angesehenen Lehrstuhl an der Universität Göttingen innehatte, wurde Riemann zum Leiter der Mathematikabteilung der Universität ernannt. Darüber hinaus war er der Erste, der die Nutzung von Dimensionen jenseits von drei oder vier zur Beschreibung der physischen Realität vorschlug.
1862 heiratete er Elise Koch, mit der sie später eine Tochter bekamen.
Späteres Leben und Untergang
Im Jahr 1866 verließ Riemann Göttingen inmitten des Konflikts zwischen den Armeen Hannovers und Preußens. Während seiner dritten Italienreise erkrankte er an Tuberkulose und verstarb in Selasca, dem heutigen Ortsteil von Verbania am Lago Maggiore, wo er auf dem Friedhof von Biganzolo (Verbania) beigesetzt wurde.
Riemann war ein gläubiger Christ, der Sohn eines protestantischen Pfarrers, und betrachtete seine mathematischen Aktivitäten als eine Form des Gottesdienstes. Er hielt sein ganzes Leben lang an einem festen christlichen Glauben fest und betrachtete ihn als das wichtigste Element seiner Existenz. Er verstarb, während er mit seiner Frau das Vaterunser rezitierte, bevor es vollendet war. Gleichzeitig entsorgte seine Haushälterin in Göttingen versehentlich zahlreiche Dokumente aus seinem Arbeitszimmer, darunter eine beträchtliche Menge unveröffentlichten Materials. Angesichts der Zurückhaltung Riemanns, unvollendete Werke zu veröffentlichen, ist es plausibel, dass einige tiefgreifende Erkenntnisse unwiederbringlich verloren gingen.
Riemannsche Geometrie
Riemanns veröffentlichte Arbeiten waren Vorreiter für neue Forschungsbereiche an der Schnittstelle von Analysis und Geometrie. Diese grundlegenden Beiträge entwickelten sich später zu zentralen Grundsätzen der Riemannschen Geometrie, der algebraischen Geometrie und der Theorie der komplexen Mannigfaltigkeit. Der konzeptionelle Rahmen der Riemannschen Flächen wurde von Felix Klein und insbesondere Adolf Hurwitz weiterentwickelt. Diese mathematische Disziplin stellt einen grundlegenden Bestandteil der Topologie dar und findet weiterhin innovative Anwendungen in der mathematischen Physik.
Im Jahr 1853 beauftragte Gauß seinen Schüler Riemann, eine Habilitationsschrift zu verfassen, die sich mit den Grundprinzipien der Geometrie befasst. Riemann widmete mehrere Monate der Formulierung seiner Theorie höherer Dimensionen und gipfelte in einer Vorlesung am 10. Juni 1854 in Göttingen mit dem Titel Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Dieses bahnbrechende Werk blieb bis 1868 unveröffentlicht, zwölf Jahre später, als es von Dedekind veröffentlicht wurde, zwei Jahre nach Riemanns Tod. Auch wenn die anfängliche Resonanz Berichten zufolge gedämpft war, gilt es heute allgemein als einer der bedeutendsten Beiträge auf dem Gebiet der Geometrie.
Diese grundlegende Abhandlung begründete die Disziplin, die als Riemannsche Geometrie bekannt ist. Riemann entwickelte erfolgreich eine Methode zur Verallgemeinerung der Differentialgeometrie von Oberflächen – ein Konzept, das Gauß selbst in seinem theorema egregium erläuterte – auf n Dimensionen. Zu den Schlüsselkomponenten dieses Rahmenwerks gehören die Riemannsche Metrik und der Riemannsche Krümmungstensor. Im zweidimensionalen Fall einer Oberfläche kann die Krümmung an einem beliebigen Punkt auf einen Skalarwert vereinfacht werden, wobei Oberflächen mit konstanter positiver oder negativer Krümmung als Beispiele für nichteuklidische Geometrien dienen.
Die Riemann-Metrik, ein Tensor, der an jedem Raumpunkt aus einer Reihe von Zahlen besteht, erleichtert die Messung der Geschwindigkeit entlang jeder Flugbahn; Sein Integral ergibt den Abstand zwischen den Endpunkten der Flugbahn. Riemann hat beispielsweise gezeigt, dass in einem vierdimensionalen räumlichen Kontext an jedem Punkt zehn verschiedene numerische Werte erforderlich sind, um Abstände und Krümmungen auf einer Mannigfaltigkeit zu charakterisieren, unabhängig von ihrer Verformung.
Komplexe Analyse
In seiner Dissertation legte Riemann eine geometrische Grundlage für die komplexe Analyse unter Verwendung von Riemannschen Flächen und wandelte dabei mehrwertige Funktionen – wie den Logarithmus (charakterisiert durch unendlich viele Blätter) oder die Quadratwurzel (mit zwei Blättern) – in einwertige Funktionen um. Auf diesen Oberflächen manifestieren sich komplexe Funktionen als harmonische Funktionen (d. h. sie folgen der Laplace-Gleichung und folglich den Cauchy-Riemann-Gleichungen), wobei ihre Eigenschaften durch die Positionen ihrer Singularitäten und die inhärente Topologie der Oberflächen definiert werden. Die topologische Gattung der Riemannschen Flächen wird mathematisch ausgedrückt als , wobei die Oberfläche verlässt die Konvergenz bei Verzweigungspunkte. Wenn , die Riemannsche Oberfläche besitzt Parameter, sogenannte Module.
Seine Beiträge zu diesem Bereich sind umfangreich. Der berühmte Abbildungssatz von Riemann geht davon aus, dass jede einfach zusammenhängende Domäne innerhalb der komplexen Ebene biholomorph äquivalent ist – das heißt, es gibt eine holomorphe Bijektion mit einer holomorphen Umkehrung – zu entweder oder das Innere des Einheitskreises. Die Verallgemeinerung dieses Satzes auf Riemannsche Flächen ist als Uniformisierungssatz bekannt, ein bedeutendes Ergebnis, das im 19. Jahrhundert von Henri Poincaré und Felix Klein aufgestellt wurde. In ähnlicher Weise wurden strenge Beweise für diese Verallgemeinerung erst nach der Entwicklung ausgefeilterer mathematischer Werkzeuge, insbesondere der Topologie, entwickelt. Beim Nachweis der Existenz von Funktionen auf Riemannschen Flächen verwendete Riemann eine Minimalitätsbedingung, die er Dirichlet-Prinzip nannte. Allerdings erkannte Karl Weierstrass einen kritischen Fehler in diesem Beweis: Riemann hatte die potenzielle Ungültigkeit seiner zugrunde liegenden Annahme bezüglich der Existenz eines Minimums übersehen, da der Funktionenraum möglicherweise nicht vollständig sei und dadurch ein garantiertes Minimum ausgeschlossen sei. Letztendlich wurde das Dirichlet-Prinzip durch David Hilberts spätere Arbeit in der Variationsrechnung rigoros etabliert. Dennoch schätzte Weierstrass Riemann sehr und bewunderte insbesondere seine Theorie der abelschen Funktionen. Nach der Veröffentlichung von Riemanns Werk zog Weierstrass seinen eigenen Aufsatz aus Crelles Journal zurück und entschied sich, ihn nicht zu veröffentlichen. Während Riemanns Weierstraß entwickelte sich zwischen ihnen ein starkes gegenseitiges Verständnis. Anschließend ermutigte er seinen Schüler Hermann Amandus Schwarz, innerhalb der komplexen Analyse alternative Ansätze zum Dirichlet-Prinzip zu entwickeln, ein Unterfangen, bei dem Schwarz Erfolg hatte. Eine von Arnold Sommerfeld erzählte Anekdote veranschaulicht die Herausforderungen, mit denen zeitgenössische Mathematiker beim Verständnis von Riemanns neuartigen Konzepten konfrontiert waren. Berichten zufolge nahm Weierstrass 1870 Riemanns Dissertation mit auf einen Urlaub nach Rigi und äußerte seine Schwierigkeiten beim Verständnis. Der Physiker Hermann von Helmholtz unterstützte ihn über Nacht und bemerkte anschließend, dass die Arbeit sowohl „natürlich“ als auch „sehr verständlich“ sei.
Weitere bedeutende Beiträge umfassen seine Forschungen zu abelschen Funktionen und Theta-Funktionen, insbesondere im Zusammenhang mit Riemannschen Flächen. Seit 1857 war Riemann mit Weierstrass an einem Wettbewerb zur Lösung der Jacobi-Inversprobleme für abelsche Integrale beteiligt, die eine Verallgemeinerung elliptischer Integrale darstellen. Riemann ging dies an, indem er Theta-Funktionen mehrerer Variablen verwendete und so das Problem auf die Identifizierung der Nullstellen dieser Funktionen reduzierte. Er untersuchte auch Periodenmatrizen und charakterisierte sie anhand der „Riemannschen Periodenbeziehungen“, die Symmetrie und einen negativen Realteil vorschreiben. Ferdinand Georg Frobenius und Solomon Lefschetz zeigten später, dass die Gültigkeit dieser Beziehung gleichbedeutend mit der Einbettung von – wobei bezeichnet das Gitter der Periodenmatrix – in einen projektiven Raum unter Verwendung von Theta-Funktionen. Für bestimmte Werte von , diese Konstruktion ergibt die Jacobi-Variante der Riemannschen Fläche, die eine abelsche Mannigfaltigkeit darstellt.
Zahlreiche Mathematiker, darunter Alfred Clebsch, haben anschließend Riemanns grundlegende Arbeit über algebraische Kurven weiterentwickelt. Diese theoretischen Rahmenbedingungen basierten auf den Eigenschaften von Funktionen, die über Riemann-Oberflächen definiert wurden. Beispielsweise beschreibt das Riemann-Roch-Theorem – teilweise benannt nach Roch, einem Schüler Riemanns – die Anzahl der linear unabhängigen Differentiale auf einer Riemannschen Fläche, vorbehaltlich bestimmter Bedingungen hinsichtlich ihrer Nullstellen und Pole.
Detlef Laugwitz geht davon aus, dass automorphe Funktionen ursprünglich in einem Aufsatz über die Anwendung der Laplace-Gleichung auf elektrisch geladene Zylinder entstanden sind. Allerdings nutzte Riemann selbst diese Funktionen für konforme Abbildungen – zum Beispiel die Transformation topologischer Dreiecke in einen Kreis – in seiner Vorlesung über hypergeometrische Funktionen von 1859 und in seiner Abhandlung über Minimalflächen.
Echte Analyse
In der Realanalysis führte Riemann während seiner Habilitation das Riemannsche Integral ein und zeigte damit, dass alle stückweise stetigen Funktionen integrierbar sind. Das Stieltjes-Integral wird auch dem Göttinger Mathematiker zugeschrieben, was zu ihrer gemeinsamen Bezeichnung als Riemann-Stieltjes-Integral führte.
In seiner Habilitationsschrift über Fourier-Reihen stellte Riemann aufbauend auf der Arbeit seines Mentors Dirichlet fest, dass Riemann-integrierbare Funktionen durch Fourier-Reihen dargestellt werden können. Während Dirichlet dies für kontinuierliche, stückweise differenzierbare Funktionen (charakterisiert durch eine abzählbare Anzahl nicht differenzierbarer Punkte) demonstriert hatte, erweiterte Riemann dies, indem er ein Beispiel einer Fourier-Reihe lieferte, die eine kontinuierliche, fast nirgends differenzierbare Funktion darstellt, ein Szenario, das von Dirichlet nicht behandelt wurde. Darüber hinaus bewies er das Riemann-Lebesgue-Lemma, das besagt, dass, wenn eine Funktion durch eine Fourier-Reihe darstellbar ist, ihre Fourier-Koeffizienten gegen Null gehen, wenn n groß wird.
Riemanns bahnbrechender Aufsatz diente auch als grundlegende Grundlage für Georg Cantors Untersuchungen zu Fourier-Reihen, die später die Entwicklung der Mengenlehre katalysierten.
Im Jahr 1857 wandte Riemann komplexe analytische Methoden auf hypergeometrische Differentialgleichungen an und veranschaulichte deren Lösungen durch das Verhalten geschlossener Pfade um Singularitäten, charakterisiert durch die Monodromiematrix. Der Nachweis der Existenz solcher Differentialgleichungen bei vorgegebenen Monodromiematrizen stellt eines von Hilberts Problemen dar.
Zahlentheorie
Riemann leistete einen wesentlichen Beitrag zur modernen analytischen Zahlentheorie. In seiner einzigen, prägnanten Veröffentlichung zur Zahlentheorie untersuchte er die nun nach ihm benannte Zeta-Funktion und stellte damit ihre entscheidende Rolle für das Verständnis der Verteilung von Primzahlen dar. Die Riemann-Hypothese entstand als eine von mehreren Vermutungen, die er hinsichtlich der Eigenschaften der Funktion vorschlug.
Riemanns Werk umfasst zahlreiche weitere bemerkenswerte Fortschritte. Er demonstrierte die Funktionsgleichung für die Zeta-Funktion, eine zuvor von Leonhard Euler identifizierte Beziehung, die durch eine Theta-Funktion untermauert wird. Indem er diese Näherungsfunktion über die nichttrivialen Nullstellen auf der Geraden mit einem Realteil von 1/2 summierte, leitete er eine exakte, „explizite Formel“ für .
Riemann war sich der Forschungen von Pafnuty Chebyshev zum Primzahlsatz bewusst, da Chebyshev Dirichlet 1852 besucht hatte.
Veröffentlichungen
Zu Riemanns veröffentlichten Werken gehören:
- 1851 – Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer variablen komplexen Größe (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer variablen komplexen Größe), Inauguraldissertation, Göttingen, 1851.
- 1857 – Theorie der Abelschen Functionen, Zeitschrift für reine und angewandte Mathematik, Bd. 54, S. 101–155.
- 1859 – Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Größe), in: Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. Berlin, November 1859, S. 671ff. Diese Arbeit beinhaltet Riemanns Vermutung. Über die Anzahl der Primzahlen unter einer bestimmten Größe. (Wikisource), Faksimile des Manuskripts, archiviert am 03.03.2016 auf der Wayback Machine mit Clay Mathematics.
- 1861 – Commentatio mathematica, quarespondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Mathematischer Kommentar, in dem versucht wird, eine von der berühmten Pariser Akademie vorgeschlagene Frage zu beantworten), eingereicht bei der Pariser Akademie für einen Preiswettbewerb.
- 1867 – Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe (On the Representability of a Function by a Trigonometrische Reihe), aus dem dreizehnten Band der Proceedings der Royal Society of Sciences in Göttingen.
- 1868 – Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen (Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen). Abhandlungen der Royal Society of Sciences, Göttingen 1868. Eine englische Übersetzung, Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen, von W.K. Clifford erschien in Nature 8 (1873): 183 und wurde anschließend in Clifford's Collected Mathematical Papers (London: MacMillan, 1882; New York: Chelsea, 1968) nachgedruckt. Dieses Werk ist auch in Ewald, William B., Hrsg., 1996, „From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics“, 2 Bände, enthalten. (Oxford University Press: 652–61).
- 1876 – Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftliche Arbeiten, herausgegeben von Heinrich Weber unter Mitarbeit von Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2. Auflage 1892, Nachdruck bei Dover 1953 (mit Beiträgen von Max Noether und Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Spätere Ausgaben umfassen The Collected Works of Bernhard Riemann: The Complete German Texts. Herausgegeben von Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
- 1876 – Gravitation, Elektrizität und Magnetismus, Hannover: Karl Hattendorff.
- 1882 – Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen, 3. Auflage. Braunschweig 1882.
- 1901 – Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik nach Riemanns Vorlesungen. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (Hrsg.). „Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik nach Riemanns Vorlesungen“. Friedrich Vieweg und Sohn.
- 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected Papers, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Liste der nach Bernhard Riemann benannten Entitäten.
- Liste der nach Bernhard Riemann benannten Dinge
- Nichteuklidische Geometrie.
- Über die Anzahl der Primzahlen kleiner als eine gegebene Größe, Riemanns Aufsatz von 1859 zur Einführung der komplexen Zeta-Funktion.
Referenzen
Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.
- Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topology and Physics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, Hrsg. (2017). Von Riemann zur Differentialgeometrie und Relativitätstheorie. Springer. ISBN 9783319600390.Bernhard Riemanns akademische Abstammung beim Mathematics Genealogy Project.
- Bernhard Riemann beim Mathematics Genealogy Project
- Die gesammelten mathematischen Arbeiten von Georg Friedrich Bernhard Riemann.
- Riemanns Veröffentlichungen.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Bernhard Riemann“, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews