Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauß (deutsch: Gauß; [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs]; lateinisch: Carolus Fridericus Gauss; 30. April 1777 – 23. Februar 1855) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker leistete wesentliche Beiträge in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften. Seine mathematischen Bemühungen umfassten Zahlentheorie, Algebra, Analysis, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeit. Von 1807 bis zu seinem Tod im Jahr 1855 war Gauß Direktor der Göttinger Sternwarte in Deutschland und Professor für Astronomie.

Johann Carl Friedrich Gauss ( ; Deutsch: Gauß; [kaʁlˈfʁiːdʁɪçˈɡaʊs]; Latein: Carolus Fridericus Gauss; 30. April 1777 – 23. Februar 1855) war ein deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker, der zu vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften beitrug. Seine mathematischen Beiträge umfassten die Bereiche Zahlentheorie, Algebra, Analysis, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeit. Gauß war von 1807 bis zu seinem Tod im Jahr 1855 Direktor der Göttinger Sternwarte in Deutschland und Professor für Astronomie.

Schon in jungen Jahren galt Gauß als mathematisches Wunderkind. Während seines Studiums an der Universität Göttingen stellte er mehrere mathematische Theoreme auf. Als unabhängiger Gelehrter verfasste er die Meisterwerke Disquisitiones Arithmeticae und Theoria motus corporum coelestium. Gauß lieferte den zweiten und dritten vollständigen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und führte das dreifache Balkensymbol (≡) für Kongruenz ein. Zu seinen zahlreichen Beiträgen zur Zahlentheorie gehören das Kompositionsgesetz, das Gesetz der quadratischen Reziprozität und der Beweis des Dreiecksfalls des Fermat-Polygonalzahlsatzes. Er entwickelte auch die Theorien binärer und ternärer quadratischer Formen und hypergeometrischer Reihen weiter. Im Alter von 19 Jahren bewies Gauß die Konstruktion des Siebenecks und stellte damit den ersten Fortschritt in der Konstruktion regelmäßiger Polygone seit über 2000 Jahren dar. Er führte das Konzept der Gaußschen Krümmung weiter ein und demonstrierte ihre wichtigsten Eigenschaften, insbesondere mit seinem Theorema Egregium. Gauß bewies als erster die Gaußsche Ungleichung und war maßgeblich an der Entwicklung des arithmetisch-geometrischen Mittels beteiligt. Aufgrund seiner umfangreichen und grundlegenden Beiträge zu Naturwissenschaften und Mathematik sind ihm zu Ehren mehr als 100 mathematische und wissenschaftliche Konzepte benannt.

Gauss war maßgeblich an der Identifizierung von Ceres als Zwergplanet beteiligt. Seine Untersuchungen zur Bewegung von Planetoiden, die durch große Planeten gestört werden, führten zur Einführung der Gaußschen Gravitationskonstante und der Methode der kleinsten Quadrate, eine Technik, die er vor ihrer Veröffentlichung durch Adrien-Marie Legendre entdeckte. Gauß führte auch den Algorithmus der rekursiven kleinsten Quadrate ein. Von 1820 bis 1844 leitete er die geodätische Vermessung des Königreichs Hannover sowie ein Bogenvermessungsprojekt. Gauß gilt als einer der Begründer der Geophysik und formulierte die Grundprinzipien des Magnetismus. Im Jahr 1832 lieferte er die erste absolute Messung des Erdmagnetfelds und wandte später seine Erfindung der sphärischen harmonischen Analyse an, um zu zeigen, dass der größte Teil des Erdmagnetfelds im Inneren lag. Er war der erste, der die nichteuklidische Geometrie entdeckte und untersuchte, ein Gebiet, das er auch benannte. Gauß entwickelte etwa 160 Jahre vor John Tukey und James Cooley eine schnelle Fourier-Transformation. Seine praktische Arbeit führte 1821 zur Erfindung des Heliotrops, 1833 zu einem Magnetometer und 1833 in Zusammenarbeit mit Wilhelm Eduard Weber zum ersten elektromagnetischen Telegraphen.

Gauss erhielt 1809 den Lalande-Preis für seine Arbeiten zur Planetentheorie und Bahnbestimmung und 1838 die Copley-Medaille für seine mathematischen Forschungen zum Magnetismus. Er war für seine Politik bekannt, unvollständige Werke nicht zu veröffentlichen, was dazu führte, dass mehrere seiner Entdeckungen posthum verbreitet wurden und ihre weitere Verbreitung verzögerte. Gauß glaubte, dass der Akt des Lernens und nicht der bloße Besitz von Wissen den größten Spaß bereite. Obwohl er kein engagierter oder enthusiastischer Lehrer war und sich im Allgemeinen lieber auf seine eigene Forschung konzentrierte, wurden einige seiner Schüler, wie Richard Dedekind und Bernhard Riemann, zu angesehenen und einflussreichen Mathematikern. Er heiratete zweimal und hatte sechs Kinder, von denen einige später in die Vereinigten Staaten auswanderten.

Biografie

Jugend und Bildung

Carl Friedrich Gauß wurde am 30. April 1777 in Braunschweig im Herzogtum Braunschweig-Wolfenbüttel geboren, einem Gebiet, das heute zum deutschen Bundesland Niedersachsen gehört. Seine Familie hatte eine bescheidene soziale Stellung. Sein Vater, Gebhard Dietrich Gauß (1744–1808), übte verschiedene Berufe aus, unter anderem als Metzger, Maurer, Gärtner und Schatzmeister einer Sterbegeldkasse. Gauß charakterisierte seinen Vater als ehrenhaft und respektiert, im eigenen Land jedoch streng und autoritär. Während sein Vater lesen und schreiben und rechnen konnte, war seine zweite Frau, Dorothea, Carl Friedrichs Mutter, weitgehend ungebildet. Gauß hatte auch einen älteren Bruder aus der ersten Ehe seines Vaters.

Gauß zeigte schon in jungen Jahren außergewöhnliche mathematische Fähigkeiten. Als seine Grundschullehrer seine intellektuellen Fähigkeiten erkannten, benachrichtigten sie den Herzog von Braunschweig, der daraufhin seine Einschreibung am örtlichen Collegium Carolinum veranlasste. Gauß besuchte diese Einrichtung von 1792 bis 1795, wo Eberhard August Wilhelm von Zimmermann zu seinen Lehrern gehörte. Anschließend finanzierte der Herzog bis 1798 sein Studium der Mathematik, Naturwissenschaften und klassischen Sprachen an der Universität Göttingen. Sein Mathematikprofessor war Abraham Gotthelf Kästner, den Gauß aufgrund seines epigrammatischen Stils als „den führenden Mathematiker unter den Dichtern und den führenden Dichter unter den Mathematikern“ bezeichnete. Karl Felix Seyffer lehrte Astronomie, und Gauß unterhielt nach seinem Abschluss einen Briefwechsel mit ihm, obwohl Olbers und Gauß Seyffer in ihrem Austausch insgeheim verspotteten. Umgekehrt schätzte Gauß Georg Christoph Lichtenberg, seinen Physiklehrer, und Christian Gottlob Heyne, dessen klassische Vorlesungen Gauß mit großer Freude besuchte, sehr. Bemerkenswerte Kommilitonen dieser Zeit waren Johann Friedrich Benzenberg, Farkas Bolyai und Heinrich Wilhelm Brandes.

Gauss scheint weitgehend Autodidakt in Mathematik gewesen zu sein, wie seine unabhängige Ableitung zahlreicher Theoreme beweist. Im Jahr 1796 löste er ein geometrisches Problem, das Mathematiker seit der Antike vor Herausforderungen stellte, indem er bestimmte, welche regelmäßigen Polygone nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden konnten. Diese entscheidende Entdeckung war ausschlaggebend für seine Entscheidung, Mathematik statt Philologie zu berufen. Gauß‘ mathematisches Tagebuch, eine Zusammenstellung präziser Beobachtungen zu seinen Erkenntnissen von 1796 bis 1814, weist darauf hin, dass viele grundlegende Ideen für sein mathematisches Hauptwerk, Disquisitiones Arithmeticae (1801), in dieser Zeit entstanden.

Ein anekdotischer Bericht legt nahe, dass Gauß und seine Klassenkameraden während seiner Grundschulzeit von ihrem Lehrer J.G. Büttner, um die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100 zu berechnen. Zu Büttners großem Erstaunen lieferte Gauß die richtige Antwort von 5050 in deutlich kürzerer Zeit als erwartet. Gauss hatte offensichtlich erkannt, dass die Summe in 50 Paare mit jeweils 101 Einheiten gegliedert werden konnte (z. B. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101). Folglich multiplizierte er einfach 50 mit 101.

Privatgelehrter

Im Jahr 1799 erwarb Gauß seinen Doktortitel in Philosophie an der Universität Helmstedt, der einzigen staatlichen Universität des Herzogtums, im Gegensatz zu einigen Behauptungen, die seinen Abschluss in Göttingen ansiedeln. Johann Friedrich Pfaff bewertete seine Doktorarbeit und Gauß erhielt den Abschluss in Abwesenheit, ohne dass eine mündliche Verteidigung erforderlich war. Anschließend gewährte ihm der Herzog ein Stipendium für den Lebensunterhalt als Privatgelehrter in Braunschweig. Gauss lehnte Einladungen sowohl der Russischen Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg als auch der Universität Landshut ab. Später, im Jahr 1804, versprach der Herzog, in Braunschweig ein Observatorium zu errichten. Der Architekt Peter Joseph Krahe entwickelte Vorentwürfe, doch die Napoleonischen Kriege vereitelten diese Pläne; Der Herzog kam während der Schlacht von Jena im Jahr 1806 ums Leben. Das Herzogtum wurde im folgenden Jahr aufgelöst und Gauß‘ finanzielle Schirmherrschaft endete.

Während des frühen 19. Jahrhunderts knüpfte Gauß bei der Berechnung von Asteroidenbahnen Verbindungen zu den astronomischen Gemeinschaften von Bremen und Lilienthal, insbesondere zu Wilhelm Olbers, Karl Ludwig Harding und Friedrich Wilhelm Bessel, und wurde so Teil des informellen astronomischen Kollektivs, das als Himmelspolizei bekannt ist. Ein Hauptziel dieser Gruppe war die Identifizierung weiterer Planeten. Sie sammelten Daten über Asteroiden und Kometen, die als Grundlage für Gauß‘ Orbitalforschung dienten. Diese Forschung wurde anschließend in seinem astronomischen Hauptwerk Theoria motus corporum coelestium (1809) veröffentlicht.

Professor in Göttingen

Im November 1807 begann Carl Friedrich Gauß seine Amtszeit an der Universität Göttingen, damals Teil des kürzlich gegründeten Königreichs Westphalen unter Jérôme Bonaparte. Er wurde zum ordentlichen Professor und Direktor des astronomischen Observatoriums ernannt, eine Position, die er bis zu seinem Tod im Jahr 1855 innehatte. Kurz darauf erhob die westfälische Regierung eine Kriegskontribution von zweitausend Francs, eine Summe, die Gauß nicht abführen konnte. Trotz der finanziellen Unterstützungsangebote von Olbers und Laplace lehnte Gauss ihre Hilfe ab. Letztendlich beglich ein anonymer Wohltäter aus Frankfurt, der später als Fürstprimas Dalberg identifiziert wurde, die Schulden.

Gauss übernahm die Leitung des sechzig Jahre alten Observatoriums, das ursprünglich 1748 von Kurfürst Georg II. in einem umgebauten Befestigungsturm errichtet wurde. Die Anlage verfügte über eine funktionsfähige, wenn auch teilweise veraltete Instrumentierung. Obwohl der Bau einer neuen Sternwarte bereits 1802 die grundsätzliche Genehmigung von Kurfürst Georg III. erhalten hatte und die Planungen unter der westfälischen Regierung weitergeführt wurden, konnte Gauß die neue Anlage erst im September 1816 beziehen. Bei seinem Umzug erwarb er moderne Instrumente, insbesondere zwei Meridiankreise von Repsold und Reichenbach sowie ein Heliometer von Fraunhofer.

Über seine Beiträge zur reinen Mathematik hinaus war Gauß' wissenschaftliches Werk Die Bemühungen lassen sich grob in drei verschiedene Perioden einteilen: Der Schwerpunkt lag in den ersten zwei Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts auf der Astronomie, gefolgt von der Geodäsie im dritten Jahrzehnt und anschließend der Physik, insbesondere dem Magnetismus, im vierten Jahrzehnt.

Gauss brachte offen seine Abneigung gegen das Halten akademischer Vorlesungen zum Ausdruck. Dennoch hielt er vom Beginn seiner akademischen Laufbahn in Göttingen bis 1854 regelmäßig Vorlesungen. Er äußerte häufig Unzufriedenheit mit den Anforderungen des Unterrichts und empfand diese als ineffiziente Nutzung seiner Zeit. Umgekehrt würdigte er gelegentlich die Begabung bestimmter Schüler. Die meisten seiner Vorlesungen betrafen Astronomie, Geodäsie und angewandte Mathematik, nur drei waren Themen der reinen Mathematik gewidmet. Mehrere von Gauß‘ Schülern gelangten später zu herausragenden Mathematikern, Physikern und Astronomen, darunter Moritz Cantor, Dedekind, Dirksen, Encke, Gould, Heine, Klinkerfues, Kupffer, Listing, Möbius, Nicolai, Riemann, Ritter, Schering, Scherk, Schumacher, von Staudt, Stern und Ursin. Darüber hinaus haben sich Sartorius von Waltershausen und Wappäus als Geowissenschaftler hervorgetan.

Gauß verfasste keine Lehrbücher und hatte eine Abneigung gegen die Popularisierung wissenschaftlicher Themen. Zu seinen einzigen Popularisierungsversuchen gehörten seine Abhandlungen über die Berechnung des Osterdatums (1800/1802) und der Aufsatz von 1836 mit dem Titel Erdmagnetismus und Magnetometer. Gauß veröffentlichte seine wissenschaftlichen Artikel und Bücher ausschließlich in lateinischer oder deutscher Sprache. Während seine lateinische Prosa einem klassischen Stil folgte, enthielt sie bestimmte konventionelle Modifikationen, die von seinen zeitgenössischen Mathematikern übernommen wurden.

Gauss hielt 1808 seine Antrittsvorlesung an der Universität Göttingen. Er charakterisierte seine astronomische Methodik als auf verlässlichen Beobachtungen und präzisen Berechnungen beruhend, ohne sich auf bloße Überzeugungen oder unbegründete Hypothesen zu verlassen. An der Universität wurde sein Bildungsprogramm durch eine Kohorte von Dozenten verwandter Disziplinen ergänzt, darunter der Mathematiker Thibaut, der Physiker Mayer (bekannt für seine Lehrbücher), sein Nachfolger Weber (ab 1831) und Harding an der Sternwarte, der vor allem Vorlesungen in praktischer Astronomie hielt. Nach der Fertigstellung des Observatoriums bewohnte Gauß den Westflügel, während Harding im Ostteil residierte. Obwohl ihre Beziehung zunächst freundschaftlich war, verschlechterte sie sich mit der Zeit, was möglicherweise auf Gauss‘ mutmaßlichen Wunsch zurückzuführen war, dass Harding trotz ihres gleichen Ranges lediglich als sein Assistent oder Beobachter fungierte. Gauß nutzte fast ausschließlich die neuen Meridiankreise und beschränkte Hardings Zugang zu ihnen, abgesehen von seltenen gemeinsamen Beobachtungen.

Brendel kategorisiert Gauß' astronomische Bemühungen chronologisch in sieben verschiedene Perioden und bezeichnet die Jahre ab 1820 als „Periode geringerer astronomischer Aktivität“. Trotz seiner modernen Ausstattung funktionierte die neue Sternwarte nicht mit der gleichen Effizienz wie vergleichbare Einrichtungen. Die astronomische Forschung von Gauß war größtenteils ein Einzelunternehmen, dem ein nachhaltiges Beobachtungsprogramm fehlte, und die Universität richtete erst nach Hardings Tod im Jahr 1834 eine Assistentenstelle ein.

Gauss lehnte mehrere prestigeträchtige Angebote ab, darunter die Vollmitgliedschaft in der Preußischen Akademie in Berlin in den Jahren 1810 und 1825, die ihn von der Dozentenpflicht befreit hätte. Er lehnte auch Vorschläge der Universität Leipzig im Jahr 1810 und der Universität Wien im Jahr 1842 ab, möglicherweise aufgrund der schwierigen Umstände seiner Familie. Seine Vergütung stieg deutlich von 1000 Reichstalern im Jahr 1810 auf 2500 Reichstaler im Jahr 1824 und positionierte ihn in seiner späteren Karriere als einen der bestbezahlten Universitätsprofessoren.

Als sein Kollege und Freund Friedrich Wilhelm Bessel 1810 an der Königsberger Universität aufgrund des Fehlens eines akademischen Titels in Schwierigkeiten geriet, intervenierte Gauß. Er sorgte dafür, dass Bessel im März 1811 die Ehrendoktorwürde der Philosophischen Fakultät Göttingen erhielt. Gauß setzte sich auch für die Ehrendoktorwürde für Sophie Germain ein, obwohl diese Empfehlung kurz vor ihrem Tod erfolgte und sie daran gehindert wurde, sie zu erhalten. Darüber hinaus unterstützte er erfolgreich den Mathematiker Gotthold Eisenstein in Berlin.

Gauss blieb dem Haus Hannover treu. Nach dem Tod von König Wilhelm IV. im Jahr 1837 hob der neue hannoversche Monarch, König Ernest Augustus, die Verfassung von 1833 auf. Diese Aktion löste einen Protest von sieben Professoren aus, die später als „Göttinger Sieben“ bekannt wurden, darunter Gauß‘ Freund und Mitarbeiter Wilhelm Weber und sein Schwiegersohn Heinrich Ewald. Alle sieben wurden ihres Amtes enthoben, drei drohte die Ausweisung, Ewald und Weber durften jedoch in Göttingen bleiben. Gauß war über diesen Konflikt zutiefst betrübt, konnte ihnen jedoch nicht helfen.

Gauß beteiligte sich aktiv an der akademischen Leitung und war drei Amtszeiten lang Dekan der Philosophischen Fakultät. Zu seinen Aufgaben gehörte die Verwaltung des Witwenpensionsfonds der Universität, wozu auch die Anwendung versicherungsmathematischer Wissenschaften und die Erstellung eines Berichts über Strategien zur Leistungsstabilisierung gehörten. Darüber hinaus hatte er neun Jahre lang die Leitung der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Göttingen inne.

Gauss behielt trotz seiner Gichterkrankung und einem allgegenwärtigen Gefühl des Unglücks seine intellektuelle Schärfe bis ins hohe Alter. Er verstarb am 23. Februar 1855 in Göttingen an einem Herzinfarkt und wurde anschließend auf dem Albani-Friedhof beigesetzt. Bei seiner Beerdigung hielten Heinrich Ewald, sein Schwiegersohn, und Wolfgang Sartorius von Waltershausen, sein enger Freund und Biograph, Lobreden.

Gauß erwies sich als kluger Investor, der durch Aktien und Wertpapiere beträchtliche Reichtümer anhäufte, die 150.000 Thaler überstiegen. Nach seinem Tod wurden etwa 18.000 Thaler in seinen Privaträumen versteckt entdeckt.

Gauss' Gehirn

Am Tag nach Gauß‘ Tod wurde sein Gehirn entnommen, konserviert und anschließend von Rudolf Wagner untersucht, der seine Masse mit 1.492 Gramm (3,29 Pfund) auf eine leicht überdurchschnittliche Masse feststellte. Hermann Wagner, Rudolfs Sohn und Geograph, schätzte in seiner Doktorarbeit die Gehirnfläche auf 219.588 Quadratmillimeter. Doch 2013 stellte ein Neurobiologe am Max-Planck-Institut für biophysikalische Chemie in Göttingen fest, dass kurz nach den ersten Untersuchungen das Gehirn von Gauß aufgrund einer falschen Beschriftung fälschlicherweise mit dem des Arztes Conrad Heinrich Fuchs vertauscht worden war, der wenige Monate nach Gauß ebenfalls in Göttingen starb. Nachfolgende Untersuchungen ergaben keine signifikanten Anomalien in beiden Gehirnen. Folglich beziehen sich alle bis 1998 durchgeführten Studien zum „Gauss-Gehirn“, mit Ausnahme der ersten Analysen von Rudolf und Hermann Wagner, tatsächlich auf das Gehirn von Fuchs.

Familie

Gauss heiratete Johanna Osthoff am 9. Oktober 1805 in der St.-Katharinen-Kirche in Braunschweig. Aus ihrer Verbindung gingen zwei Söhne und eine Tochter hervor: Joseph (1806–1873), Wilhelmina (1808–1840) und Louis (1809–1810). Johanna verstarb am 11. Oktober 1809, nur einen Monat nach Ludwigs Geburt; Louis selbst starb einige Monate später. Gauß wählte die Vornamen seiner Kinder zu Ehren von Giuseppe Piazzi, Wilhelm Olbers und Karl Ludwig Harding, den Entdeckern der ersten Asteroiden.

Am 4. August 1810 ging Gauß eine zweite Ehe mit Wilhelmine (Minna) Waldeck ein, einer Freundin seiner ersten Frau. Zusammen hatten sie drei weitere Kinder: Eugen (später Eugene) (1811–1896), Wilhelm (später William) (1813–1879) und Therese (1816–1864). Minna Gauss erlag am 12. September 1831 einer längeren Krankheit, die mehr als ein Jahrzehnt andauerte. Anschließend übernahm Therese die Verantwortung für den Haushalt und kümmerte sich während seiner verbleibenden Lebensjahre um Gauss; nach dem Tod ihres Vaters heiratete sie den Schauspieler Constantin Staufenau. Ihre Schwester Wilhelmina heiratete den Orientalisten Heinrich Ewald. Gauß‘ Mutter, Dorothea, lebte von 1817 bis zu ihrem Tod im Jahr 1839 in seinem Haus.

Joseph, der älteste Sohn, assistierte seinem Vater als Schüler während einer Vermessungskampagne im Sommer 1821. Nach einer kurzen Zeit an der Universität trat Joseph 1824 in die hannoversche Armee ein und beteiligte sich 1829 erneut an Vermessungsbemühungen. In den 1830er Jahren überwachte er die Ausweitung des Vermessungsnetzwerks auf die westlichen Regionen des Königreichs. Anschließend schied er mit seinem geodätischen Fachwissen aus dem Militärdienst aus und wurde Direktor der Königlich Hannoverschen Staatseisenbahnen, wo er am Bau des Eisenbahnnetzes beteiligt war. Im Jahr 1836 verbrachte er mehrere Monate damit, das Eisenbahnsystem in den Vereinigten Staaten zu studieren.

Eugen verließ Göttingen im September 1830 und emigrierte in die Vereinigten Staaten, wo er fünf Jahre lang in der Armee diente. Anschließend war er bei der American Fur Company im Mittleren Westen angestellt, bevor er nach Missouri zog und sich als wohlhabender Geschäftsmann etablierte. Wilhelm heiratete eine Nichte des Astronomen Bessel, zog dann nach Missouri, wo er zunächst als Bauer arbeitete, bevor er in seinen späteren Jahren in der Schuhindustrie in St. Louis Reichtum anhäufte. Während Eugen und William zahlreiche Nachkommen in Amerika haben, führen alle in Deutschland verbliebenen Gauß-Nachkommen ihre Abstammung auf Joseph zurück, da die Töchter keine Kinder hatten.

Persönlichkeit

Wissenschaftliche Beiträge

In den ersten zwei Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts war Gauß Deutschlands einziger herausragender Mathematiker, dessen Statur mit dem der führenden französischen Mathematiker konkurrierte. Sein bahnbrechendes Werk, Disquisitiones Arithmeticae, war die erste aus Deutschland stammende mathematische Abhandlung, die ins Französische übersetzt wurde.

Gauss leistete Pionierarbeit bei neuen Entwicklungen, was durch seine dokumentierten Forschungen aus dem Jahr 1799, seine produktive Generierung neuartiger Konzepte und seinen rigorosen Demonstrationsansatz belegt wird. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern wie Leonhard Euler, der den Leser häufig durch seine Argumentation führte, gelegentlich auch mit fehlerhaften Umwegen, etablierte Gauß einen eigenen Stil, der sich durch eine direkte und umfassende Darlegung auszeichnete, wobei er den internen Denkprozess des Autors bewusst außer Acht ließ.

Gauss war maßgeblich an der Wiederherstellung der Strenge der Demonstration beteiligt, einer Qualität, die in der antiken Wissenschaft bewundert wurde, die durch die ausschließliche Beschäftigung mit neuen Fortschritten der vorangegangenen Ära übermäßig an den Rand gedrängt worden war.

Trotzdem stellte seine persönliche Philosophie, die er in einem Brief an Farkas Bolyai zum Ausdruck brachte, ein deutlich anderes Ideal dar:

Die tiefste Zufriedenheit entsteht nicht durch das Wissen selbst, sondern durch den Prozess des Lernens; nicht aus Besitz, sondern aus der Reise des Erwerbs. Sobald ein Thema gründlich geklärt und erschöpft ist, gehe ich unweigerlich weiter und suche nach neuen intellektuellen Herausforderungen.

Seine posthumen Schriften, sein wissenschaftliches Tagebuch und Randbemerkungen in seinen Lehrbüchern zeigen eine erhebliche Abhängigkeit von empirischen Methoden. Gauß war sein ganzes Leben lang ein stets aktiver und eifriger Rechner, der Berechnungen mit bemerkenswerter Geschwindigkeit durchführte und Ergebnisse durch Schätzungen überprüfte. Trotz seiner Sorgfalt waren seine Berechnungen nicht ganz fehlerfrei. Er bewältigte sein beträchtliches Arbeitspensum durch den Einsatz hochentwickelter Werkzeuge, darunter zahlreiche mathematische Tabellen, die er sorgfältig auf ihre Genauigkeit überprüfte und durch neue Tabellen für die persönliche Anwendung in verschiedenen Bereichen ergänzte. Er entwickelte auch innovative Rechentechniken wie die Gaußsche Eliminierung. Bemerkenswert ist, dass Gauß‘ Berechnungen und die von ihm zusammengestellten Tabellen häufig das in der Praxis erforderliche Maß an Präzision übertrafen, eine Akribie, die ihm wahrscheinlich zusätzliche Daten für seine theoretischen Bemühungen lieferte.

Gauss hielt sich an einen strengen Veröffentlichungsstandard und veröffentlichte Werke nur dann, wenn er sie für vollständig und unempfindlich gegen Kritik hielt. Dieses Streben nach Perfektion wurde durch das Motto auf seinem persönlichen Siegel zum Ausdruck gebracht: Pauca sed Matura („Wenige, aber reif“). Während viele Kollegen ihn ermutigten, neuartige Ideen zu verbreiten, und ihn gelegentlich wegen vermeintlicher Verzögerungen ermahnten, behauptete Gauss, dass die anfängliche Konzeption von Ideen unkompliziert gewesen sei, wohingegen sich die Ausarbeitung einer vorzeigbaren Ausarbeitung aufgrund von Zeitmangel oder „Gelassenheit des Geistes“ als schwierig erwies. Dennoch veröffentlichte er zahlreiche prägnante Mitteilungen zu drängenden Themen in verschiedenen Zeitschriften, hinterließ aber auch einen umfangreichen literarischen Nachlass. Gauß bezeichnete die Mathematik bekanntermaßen als „Königin der Wissenschaften“ und die Arithmetik als „Königin der Mathematik“ und soll einmal behauptet haben, dass ein unmittelbares Verständnis von Eulers Identität als entscheidender Maßstab für angehende erstklassige Mathematiker diente.

Gauss behauptete gelegentlich, dass er bereits im Besitz von Ideen war, die anderen Gelehrten zugeschrieben wurden. Folglich unterschied sich sein Verständnis der wissenschaftlichen Priorität, definiert als „der Erste, der entdeckt, nicht der Erste, der veröffentlicht“, deutlich von dem seiner Zeitgenossen. Trotz seiner Akribie bei der mathematischen Darstellung wurden seine Zitierpraktiken wegen ihrer wahrgenommenen Nachlässigkeit kritisiert. Er verteidigte diesen Ansatz mit der Aussage, dass er umfassende Referenzen nur für wegweisende Autoren bereitstellen würde, deren Beiträge allgemein anerkannt seien, und argumentierte, dass eine umfassendere Zitierpraxis historische wissenschaftliche Kenntnisse und Zeitaufwand erfordern würde, den er nicht aufwenden wollte.

Persönliches Leben

Kurz nach Gauß‘ Tod veröffentlichte sein Freund Sartorius 1856 die von einem enthusiastischen Ton geprägte Eröffnungsbiographie. Sartorius beschrieb Gauß als einen gefassten und fortschrittlichen Menschen mit kindlicher Bescheidenheit, aber auch als „eisernen Charakter“ mit unerschütterlicher geistiger Stärke. Über seine unmittelbaren Mitarbeiter hinaus galt Gauß weithin als zurückhaltend und unzugänglich und wurde mit „einem Olympioniken verglichen, der auf dem Gipfel der Wissenschaft thront“. Seine Zeitgenossen waren sich im Allgemeinen einig, dass Gauß eine herausfordernde Persönlichkeit besaß. Komplimente lehnte er häufig ab und seine Besucher waren manchmal über sein gereiztes Verhalten verärgert; Allerdings konnte sich sein Gemüt schnell ändern und ihn in einen liebenswürdigen und umgänglichen Gastgeber verwandeln. Gauß hegte eine Abneigung gegen streitsüchtige Persönlichkeiten; Insbesondere lehnten er und sein Kollege Hausmann die Berufung von Justus Liebig auf eine Professur in Göttingen ab und verwiesen auf Liebigs ständige Beteiligung an Polemiken.

Das Privatleben von Gauß wurde erheblich durch tiefgreifende familiäre Schwierigkeiten beeinträchtigt. Der plötzliche Tod seiner ersten Frau Johanna kurz nach der Geburt ihres dritten Kindes veranlasste ihn, seine tiefe Trauer in einem letzten Brief an sie zum Ausdruck zu bringen, der im Stil einer antiken Threnodie verfasst war und zu seinen intimsten erhaltenen Dokumenten gehört. Anschließend erkrankten seine zweite Frau und seine beiden Töchter an Tuberkulose. In einem Brief an Bessel im Dezember 1831 spielte Gauß auf seine Not an und bezeichnete sich selbst als „Opfer schlimmster häuslicher Leiden“.

Aufgrund der Krankheit seiner Frau erhielten die beiden jüngeren Söhne von Gauß ihre Ausbildung mehrere Jahre lang in Celle, einer Stadt weit entfernt von Göttingen. Sein ältester Sohn Joseph beendete eine mehr als zwei Jahrzehnte dauernde Militärkarriere im unzureichend entlohnten Rang eines Oberleutnants, obwohl er über umfangreiche Kenntnisse in der Geodäsie verfügte. Auch nach der Heirat war er auf finanzielle Unterstützung seines Vaters angewiesen. Der zweite Sohn, Eugen, erbte einen erheblichen Teil der Rechen- und Sprachbegabung seines Vaters, besaß jedoch ein temperamentvolles und gelegentlich trotziges Wesen. Er wollte Philologie studieren, während Gauß vorhatte, dass er Anwalt werden würde. Nachdem Eugen Schulden gemacht und einen öffentlichen Skandal ausgelöst hatte, verließ er Göttingen im September 1830 unter dramatischen Umständen abrupt und emigrierte über Bremen in die USA. Er verschwendete seine anfänglichen Mittel, was dazu führte, dass sein Vater weitere finanzielle Unterstützung zurückhielt. Der jüngste Sohn, Wilhelm, wollte sich für den landwirtschaftlichen Verwaltungsdienst qualifizieren, hatte jedoch Schwierigkeiten, eine entsprechende Ausbildung zu erhalten, und emigrierte schließlich ebenfalls. Nur Gauß‘ jüngste Tochter, Therese, blieb während seiner letzten Lebensjahre bei ihm.

In seinem späteren Leben sammelte Gauß regelmäßig verschiedene numerische Daten, die sowohl praktische als auch scheinbar triviale Informationen umfassten, wie etwa die Anzahl der Routen von seinem Wohnort zu bestimmten Orten in Göttingen oder das in Tagen ausgedrückte Alter einzelner Personen. Im Dezember 1851 gratulierte er Humboldt insbesondere dazu, dass er zum Zeitpunkt von Newtons Tod das gleiche Alter erreicht hatte wie Isaac Newton, berechnet in Tagen.

Zusätzlich zu seinen profunden Lateinkenntnissen verfügte Gauß über Kenntnisse in modernen Sprachen. Er beschäftigte sich sowohl mit klassischer als auch mit zeitgenössischer Literatur und las englische und französische Werke in ihren Originaltexten. Sein bevorzugter englischer Autor war Walter Scott und sein liebster deutscher Autor war Jean Paul. Im Alter von 62 Jahren begann er mit dem Selbststudium der russischen Sprache, wahrscheinlich motiviert durch den Wunsch, russische wissenschaftliche Literatur zu verstehen, einschließlich der Werke Lobatschewskis über nichteuklidische Geometrie. Gauß sang gern und besuchte Konzerte. Er war ein begeisterter Zeitungsleser und besuchte in seinen letzten Jahren jeden Mittag einen akademischen Pressesalon an der Universität. Gauß hatte wenig Wert auf Philosophie und verspottete oft die „Haarspalterei der sogenannten Metaphysiker“, ein Begriff, den er auf Befürworter der zeitgenössischen Denkschule der Naturphilosophie verwendete.

Gauss besaß eine von Natur aus aristokratische und zutiefst konservative Gesinnung, zeigte nur minimale Rücksicht auf den Intellekt und die Moral anderer und hielt oft an der Maxime „mundus vult decipi“ (die Welt will getäuscht werden) fest. Er hegte eine Abneigung gegen Napoleon und sein politisches System und drückte sein tiefes Abscheu vor allen Formen von Gewalt und Revolution aus. Infolgedessen verurteilte er die während der Revolutionen von 1848 angewandten Methoden, obwohl er bestimmten Zielen zustimmte, beispielsweise der Vereinigung Deutschlands. Darüber hinaus hatte er eine geringe Meinung von der Verfassungsführung und kritisierte häufig zeitgenössische Parlamentarier wegen ihrer Ignoranz und logischen Irrtümer.

Biographen von Gauß haben sich mit Spekulationen über seine religiösen Überzeugungen beschäftigt. Gelegentlich äußerte er Gefühle wie „Gott rechnet“ und „Es ist mir gelungen – nicht aufgrund meiner harten Bemühungen, sondern durch die Gnade des Herrn.“ Obwohl Gauß der lutherischen Kirche angehörte, was in der Bevölkerung Norddeutschlands üblich war, deuten die Beweise darauf hin, dass er sich nicht allen lutherischen Dogmen vollständig anschloss oder die Bibel nicht vollständig wörtlich interpretierte. Sartorius postulierte, dass die religiösen Überzeugungen von Gauß seine bemerkenswerte religiöse Toleranz, seinen „unstillbaren Durst nach Wahrheit“ und seinen tiefen Sinn für Gerechtigkeit untermauerten.

Mathematik

Algebra und Zahlentheorie

Grundsatz der Algebra

In seiner Doktorarbeit von 1799 stellte Gauß einen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra auf, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom mit einer Variablen und komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Wurzel besitzt. Vor Gauß hatten Mathematiker, darunter Jean le Rond d'Alembert, fehlerhafte Beweise vorgelegt; Die Dissertation von Gauß enthält insbesondere eine Kritik der Beiträge von d'Alembert. Anschließend entwickelte Gauß drei weitere Beweise, von denen der letzte, 1849 vorgelegte, allgemein als streng angesehen wurde. Seine Bemühungen haben das konzeptionelle Verständnis komplexer Zahlen erheblich vorangetrieben.

Disquisitiones Arithmeticae

Im Vorwort zu den Disquisitiones gibt Gauß an, dass seine Beschäftigung mit der Zahlentheorie im Jahr 1795 begann. Durch eine Untersuchung der Werke von Vorgängern wie Fermat, Euler, Lagrange und Legendre stellte er fest, dass diese Gelehrten unabhängig voneinander zu vielen seiner Entdeckungen gelangt waren. Das bahnbrechende Werk Disquisitiones Arithmeticae, das 1798 verfasst und 1801 veröffentlicht wurde, trug maßgeblich dazu bei, die Zahlentheorie als eigenständige akademische Disziplin zu etablieren, die sowohl elementare als auch algebraische Aspekte umfasste. In dieser Abhandlung führte Gauß das dreifache Balkensymbol (≡) zur Kennzeichnung der Kongruenz ein und verwendete es, um eine klare Darstellung der modularen Arithmetik zu liefern. Die Arbeit befasst sich mit dem Satz der eindeutigen Faktorisierung und dem Konzept der Primitivwurzeln modulo n. Darüber hinaus präsentiert Gauß in seinen Hauptabschnitten die ersten beiden Beweise für das Gesetz der quadratischen Reziprozität und geht auf die Theorien im Zusammenhang mit binären und ternären quadratischen Formen ein.

Die Disquisitiones enthalten das Gaußsche Kompositionsgesetz für binäre quadratische Formen und beschreiben detailliert die Anzahl der Möglichkeiten, wie eine ganze Zahl als Summe dreier Quadrate dargestellt werden kann. Als direkte Folge seines Theorems über drei Quadrate demonstriert Gauß die dreieckige Instanz des Polygonzahlsatzes von Fermat für n = 3. Basierend auf mehreren analytischen Erkenntnissen zu Klassenzahlen, die Gauß am Ende des fünften Abschnitts ohne formalen Beweis vorlegt, wird gefolgert, dass ihm die Formel für Klassenzahlen bereits im Jahr 1801 bekannt war.

Im abschließenden Abschnitt liefert Gauß einen Beweis für die Konstruierbarkeit eines regelmäßigen Siebenecks (ein 17-seitiges Polygon) nur mit Lineal und Zirkel, indem er diese geometrische Herausforderung in eine algebraische umwandelt. Dies stellte den ersten bedeutenden Fortschritt in der Konstruktion regelmäßiger Polygone seit mehr als zwei Jahrtausenden dar. Er zeigt, dass ein regelmäßiges Polygon konstruierbar ist, wenn seine Seitenzahl entweder eine Zweierpotenz oder das Produkt einer Zweierpotenz und einer beliebigen Anzahl unterschiedlicher Fermat-Primzahlen ist. Im selben Abschnitt präsentiert er einen Befund bezüglich der Anzahl von Lösungen für bestimmte kubische Polynome mit Koeffizienten in endlichen Körpern, was der Aufzählung ganzzahliger Punkte auf einer elliptischen Kurve entspricht. Später wurde in seinen posthumen Nachlässen ein unvollständiges Kapitel entdeckt, das Arbeiten aus den Jahren 1797 bis 1799 umfasste.

Weitere Untersuchungen

Zu den ersten Erkenntnissen von Gauß gehörte die empirisch abgeleitete Vermutung von 1792, die später als Primzahlsatz bezeichnet wurde und eine Schätzung der Menge an Primzahlen durch die Anwendung des ganzzahligen Logarithmus ermöglicht.

Im Jahr 1816 drängte Olbers Gauß, sich um einen Preis der französischen Akademie zu bewerben, indem er einen Beweis für Fermats letzten Satz lieferte; Gauss lehnte jedoch ab, da er das Thema für uninteressant hielt. Posthum wurde ein undatiertes Manuskript entdeckt, das Beweise des Theorems für die spezifischen Fälle enthält, in denen n = 3 und n = 5 ist. Während Leonhard Euler zuvor den Fall von n = 3 demonstriert hatte, entwickelte Gauß einen eleganteren Beweis unter Verwendung von Eisenstein-Ganzzahlen. Dieser Ansatz bot trotz seiner größeren Allgemeingültigkeit eine einfachere Lösung im Vergleich zu Methoden mit reellen ganzen Zahlen.

Im Jahr 1831 verbesserte Gauß die Auflösung der Kepler-Vermutung, indem er zeigte, dass die maximale Packungsdichte von Kugeln im dreidimensionalen Raum erreicht wird, wenn ihre Zentren eine kubisch-flächenzentrierte Anordnung bilden. Dieser Beitrag entstand während seiner Rezension von Ludwig August Seebers Buch über die Theorie der Reduktion positiver ternärer quadratischer Formen. Gauß identifizierte Mängel in Seebers Originalbeweis, rationalisierte zahlreiche Argumente, begründete die Kernvermutung und verwies auf ihre Äquivalenz zur Kepler-Vermutung für reguläre Konfigurationen.

In zwei Veröffentlichungen über biquadratische Reste (1828, 1832) präsentierte Gauß den Ring der Gaußschen ganzen Zahlen Z [ ich ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}. Er etablierte seine Eigenschaft als einzigartige Faktorisierungsdomäne und erweiterte grundlegende arithmetische Prinzipien, darunter den Kleinen Satz von Fermat und das Lemma von Gauß. Der Hauptanstoß für die Einführung dieses Rings war die Formulierung des Gesetzes der biquadratischen Reziprozität, da Gauß erkannte, dass Ringe aus komplexen ganzen Zahlen den inhärenten Rahmen für solch erweiterte Reziprozitätsgesetze bilden.

In der zweiten Arbeit formulierte Gauß das allgemeine Gesetz der biquadratischen Reziprozität und begründete mehrere spezifische Beispiele. Zuvor hatte er in einer Veröffentlichung aus dem Jahr 1818 mit seinem fünften und sechsten Beweis der quadratischen Reziprozität behauptet, dass die in diesen Beweisen verwendeten Methoden, insbesondere Gauß-Summen, zur Aufstellung höherer Reziprozitätsgesetze anpassbar seien.

Analyse

Zu den ersten Entdeckungen von Gauß gehörte das Konzept des arithmetisch-geometrischen Mittels (AGM) für zwei positive reelle Zahlen. Zwischen 1798 und 1799 identifizierte er seine Beziehung zu elliptischen Integralen mithilfe der Landen-Transformation. Ein Tagebucheintrag dokumentierte außerdem die Entdeckung eines Zusammenhangs zwischen der Gaußschen Konstante und den lemniskatischen elliptischen Funktionen, ein Befund, von dem er erklärte, dass er „sicherlich ein völlig neues Feld der Analyse eröffnen wird“. Darüber hinaus initiierte er Untersuchungen zu den strengeren Aspekten der Grundprinzipien der komplexen Analyse. Die Korrespondenz mit Bessel im Jahr 1811 zeigt, dass er sich des „Fundamentalsatzes der komplexen Analysis“, insbesondere des Integralsatzes von Cauchy, bewusst war und dass er komplexe Residuen bei der Integration um Pole versteht.

Eulers Satz über die fünfeckigen Zahlen sowie seine Untersuchungen zum AGM und zu lemniskatischen Funktionen führten Gauß zu zahlreichen Erkenntnissen über Jacobi-Theta-Funktionen. Dies gipfelte 1808 in seiner Entdeckung dessen, was später als Jacobi-Dreifachproduktidentität bezeichnet wurde und den Satz von Euler als spezifisches Beispiel umfasst. Seine Schriften zeigen, dass er bereits seit 1808 mit Modultransformationen der Ordnungen 3, 5 und 7 für elliptische Funktionen vertraut war.

Verschiedene mathematische Fragmente in Gauß' Nachlass deuten darauf hin, dass er mit Elementen der zeitgenössischen Theorie modularer Formen vertraut war. Durch seine Forschungen zum mehrwertigen arithmetisch-geometrischen Mittel (AGM) zweier komplexer Zahlen deckte er eine tiefgreifende Beziehung zwischen der unendlichen Wertemenge des AGM und seinen beiden „einfachsten Werten“ auf. Seine unveröffentlichten Manuskripte offenbaren seine Anerkennung und vorläufige Darstellung des entscheidenden Konzepts eines grundlegenden Bereichs für die modulare Gruppe. Ein Beispiel einer solchen Skizze von Gauß veranschaulicht eine Tessellation der Einheitsscheibe unter Verwendung „gleichseitiger“ hyperbolischer Dreiecke, die jeweils Winkel besitzen, die äquivalent sind zu π<!-- π --> / §1314§ {\displaystyle \pi /4}.

Gauss‘ analytischer Scharfsinn wird durch seine rätselhafte Beobachtung veranschaulicht, dass die Prinzipien der Kreisteilung durch Zirkel und Lineal auch auf die Teilung der Lemniskate-Kurve angewendet werden könnten, eine Bemerkung, die später Abels bahnbrechenden Satz über die Lemniskate-Teilung inspirierte. Ein weiteres bemerkenswertes Beispiel ist seine Veröffentlichung „Summatio quarundam serierum singularium“ aus dem Jahr 1811, in der es um die Bestimmung des Vorzeichens quadratischer Gauß-Summen ging. In dieser Arbeit löste er das zentrale Problem, indem er q-Analoga von Binomialkoeffizienten einführte und sie durch mehrere ursprüngliche Identitäten manipulierte, die offenbar aus seinen Forschungen zur Theorie elliptischer Funktionen stammen. Allerdings präsentierte Gauß sein Argument formal, ohne seine Wurzeln in der Theorie der elliptischen Funktionen preiszugeben; Erst spätere Untersuchungen von Mathematikern wie Jacobi und Hermite klärten die zugrunde liegenden Prinzipien seiner Argumentation vollständig auf.

In „Disquisitiones generales circa series infinitam...“ (1813) lieferte Gauß die erste systematische Behandlung der allgemeinen hypergeometrischen Funktion F ( α<!-- α --> , β<!-- β --> , γ<!-- γ --> , x ) {\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)}, was zeigt, dass zahlreiche damals bekannte Funktionen spezifische Instanzen dieser umfassenderen Funktion waren. Diese Abhandlung stellt die erste gründliche Untersuchung der Konvergenz unendlicher Reihen in der Geschichte der Mathematik dar. Darüber hinaus werden unendliche Kettenbrüche untersucht, die aus Verhältnissen hypergeometrischer Funktionen abgeleitet werden und heute als Gauß-Kettenbrüche bekannt sind.

Im Jahr 1823 erhielt Gauß den Preis der Dänischen Gesellschaft für einen Aufsatz über konforme Abbildungen, der mehrere für das Gebiet der komplexen Analyse relevante Fortschritte enthielt. Gauß ging davon aus, dass winkelerhaltende Abbildungen innerhalb der komplexen Ebene komplexe analytische Funktionen sein müssen, und nutzte die später als Beltrami-Gleichung bezeichnete Gleichung, um die Existenz isothermer Koordinaten auf analytischen Oberflächen nachzuweisen. Der Aufsatz endete mit anschaulichen Beispielen konformer Abbildungen auf einer Kugel und einem Rotationsellipsoid.

Numerische Analyse

Gauss leitete Theoreme häufig induktiv aus empirischen numerischen Daten ab. Folglich war die Anwendung effizienter Algorithmen zur Erleichterung von Berechnungen von entscheidender Bedeutung für seine Forschung und führte zu zahlreichen Beiträgen zur numerischen Analyse, wie beispielsweise der 1816 veröffentlichten Methode der Gaußschen Quadratur.

In einer privaten Korrespondenz mit Gerling im Jahr 1823 beschrieb Gauß eine Lösung für ein 4x4-System linearer Gleichungen unter Verwendung der Gauß-Seidel-Methode – einem „indirekten“ iterativen Ansatz zur Lösung linearer Systeme – und befürwortete deren Verwendung gegenüber dem herkömmlichen Methode der „direkten Eliminierung“ für Systeme mit mehr als zwei Gleichungen.

Gauss entwickelte einen Algorithmus zur Berechnung dessen, was heute als diskrete Fourier-Transformationen bekannt ist, während er 1805 die Umlaufbahnen von Pallas und Juno berechnete und damit 160 Jahre älter war als der ähnliche Cooley-Tukey-Algorithmus von Cooley und Tukey. Er entwickelte dies als trigonometrische Interpolationsmethode, aber die Arbeit Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata wurde erst 1876 posthum und deutlich nach Joseph Fouriers Einführung des Themas im Jahr 1807 veröffentlicht.

Geometrie

Differentialgeometrie

Die geodätische Vermessung von Hannover weckte Gauß‘ Interesse an Differentialgeometrie und Topologie, mathematischen Disziplinen, die sich mit Kurven und Flächen befassen. Dieses Engagement gipfelte in seiner Veröffentlichung von 1828, einem Werk, das die Entstehung der modernen Differentialgeometrie von Oberflächen markiert. Es unterschied sich von traditionellen Ansätzen, die Oberflächen als kartesische Graphen von Funktionen zweier Variablen behandelten, und begann mit der Erforschung von Oberflächen aus der „intrinsischen“ Perspektive einer zweidimensionalen Einheit, die darauf beschränkt ist, sich auf ihnen zu bewegen. Als Ergebnis wurde mit dem Theorema Egregium (bemerkenswertes Theorem) eine grundlegende Eigenschaft der Gaußschen Krümmung festgelegt. Informell besagt dieser Satz, dass die Krümmung einer Oberfläche vollständig durch die Messung von Winkeln und Abständen ausschließlich auf der Oberfläche bestimmt werden kann, unabhängig von ihrer Einbettung in den dreidimensionalen oder zweidimensionalen Raum.

Das Theorema Egregium erleichtert die Konzeptualisierung von Oberflächen als doppelt ausgedehnte Mannigfaltigkeiten und verdeutlicht so die Unterscheidung zwischen den intrinsischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit (ihrer Metrik) und ihrer physischen Manifestation im umgebenden Raum. Eine direkte Implikation dieses Theorems ist die Unmöglichkeit einer isometrischen Transformation zwischen Flächen mit unterschiedlichen Gaußschen Krümmungen. Praktisch bedeutet dies, dass eine Kugel oder ein Ellipsoid nicht ohne Verzerrung auf eine Ebene projiziert werden kann, eine Herausforderung, die für die Gestaltung geografischer Kartenprojektionen von grundlegender Bedeutung ist. Ein Abschnitt dieser Arbeit ist einer eingehenden Untersuchung der Geodäten gewidmet. Insbesondere etablierte Gauß den lokalen Gauß-Bonnet-Satz für geodätische Dreiecke und erweiterte den Satz von Legendre für sphärische Dreiecke, um geodätische Dreiecke auf jeder Oberfläche mit kontinuierlicher Krümmung einzubeziehen. Er stellte fest, dass die Winkelabweichung eines „ausreichend kleinen“ geodätischen Dreiecks von einem ebenen Dreieck mit identischen Seitenlängen ausschließlich von den Oberflächenkrümmungswerten an den Eckpunkten des Dreiecks abhängt, unabhängig vom Verhalten der Oberfläche im Inneren des Dreiecks.

Gauss‘ Memoiren von 1828 enthielten das Konzept der geodätischen Krümmung nicht. Dennoch prägte er in einem früheren, unveröffentlichten Manuskript, das wahrscheinlich zwischen 1822 und 1825 verfasst wurde, den Begriff „Seitenkrümmung“ und demonstrierte dessen Invarianz unter isometrischen Transformationen. Dieser Befund wurde später unabhängig abgeleitet und 1830 von Ferdinand Minding veröffentlicht. Diese besondere Arbeit von Gauß enthält die grundlegenden Elemente seines Lemmas zur Gesamtkrümmung sowie seine umfassendere Verallgemeinerung, die später von Pierre Ossian Bonnet im Jahr 1848 entdeckt und bewiesen wurde und heute als Gauß-Bonnet-Theorem anerkannt ist.

Nichteuklidische Geometrie

Während Gauß‘ Lebzeiten war das Parallelpostulat der euklidischen Geometrie Gegenstand intensiver wissenschaftlicher Debatten. Während sich viele Bemühungen darauf konzentrierten, dieses Postulat im Rahmen der euklidischen Axiome zu beweisen, erforschten andere Mathematiker das Potenzial geometrischer Systeme, die darauf verzichten. Gauß selbst beschäftigte sich ab den 1790er Jahren mit den Grundprinzipien der Geometrie, doch erst in den 1810er Jahren erkannte er das Potenzial einer nichteuklidischen Geometrie ohne Parallelenpostulat zur Lösung dieses seit langem bestehenden Problems. In einem Brief an Franz Taurinus aus dem Jahr 1824 lieferte Gauß einen prägnanten und verständlichen Überblick über das, was er „nichteuklidische Geometrie“ nannte, obwohl er Taurinus ausdrücklich untersagte, diese Informationen zu verbreiten oder zu nutzen. Gauß gilt weithin als der Pionier, der den Begriff für nichteuklidische Geometrie als Erster entdeckte, erforschte und sogar prägte.

Die ersten veröffentlichten Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie in der mathematischen Geschichte wurden 1829 von Nikolai Lobatschewski und 1832 von Janos Bolyai verfasst. In den folgenden Jahren dokumentierte Gauß seine eigenen Konzeptualisierungen zu diesem Thema, verzichtete jedoch auf deren Veröffentlichung und vermied damit bewusst jeglichen Einfluss auf die fortlaufender wissenschaftlicher Diskurs der Zeit. Gauß drückte in einem Brief an seinen Vater und Universitätskollegen Farkas Bolyai seine Bewunderung für Janos Bolyais Ideen aus und behauptete, dass diese Konzepte mit seinen eigenen Überlegungen aus mehreren Jahrzehnten zuvor übereinstimmten. Dennoch bleibt das genaue Ausmaß von Gauß‘ Vorrang vor Lobatschewski und Bolyai unklar, angesichts der vagen und unklaren Natur seiner schriftlichen Beobachtungen.

Sartorius verwies erstmals 1856 auf Gauß‘ Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie. Allerdings wurden Gauß‘ umfassende Ideen zu diesem Thema erst mit der posthumen Veröffentlichung seines Nachlasses in Band VIII der Gesammelten Werke vollständig offenbart (1900), eine Zeit, in der die nichteuklidische Geometrie weiterhin ein Thema erheblicher akademischer Kontroversen war.

Frühe Topologie

Gauss erwies sich auch als früher Pionier auf dem Gebiet der Topologie, oder Geometria Situs, wie es zu seiner Zeit genannt wurde. Sein erster Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra im Jahr 1799 beinhaltete ein grundsätzlich topologisches Argument. Fünf Jahrzehnte später verfeinerte er diese topologische Argumentation in seiner vierten Demonstration desselben Theorems weiter.

Eine spätere Auseinandersetzung mit topologischen Konzepten entstand während seiner astronomischen Forschungen im Jahr 1804. Zu dieser Zeit definierte Gauß die Grenzen der Region auf der Himmelssphäre, in der sich Kometen und Asteroiden möglicherweise manifestieren könnten, eine Region, die er als „Zodiacus“ bezeichnete. Er stellte fest, dass der Zodiacus die gesamte Himmelssphäre umfassen würde, wenn die Umlaufbahnen der Erde und eines Kometen topologisch miteinander verbunden wären. Im Jahr 1848 veröffentlichte er, angeregt durch die Entdeckung des Asteroiden 7 Iris, eine zusätzliche qualitative Analyse zum Zodiacus.

Gauss beschäftigte sich zwischen 1820 und 1830 ausführlich mit Themen im Zusammenhang mit Geometria Situs und erkannte nach und nach die diesem Bereich innewohnende semantische Komplexität. Erhaltene Fragmente aus dieser Zeit weisen auf seine Bemühungen hin, „Traktfiguren“ zu kategorisieren, definiert als geschlossene ebene Kurven mit einer endlichen Anzahl transversaler Selbstüberschneidungen, die auch ebene Projektionen von Knoten darstellen können. Für diese Klassifizierung entwickelte er ein symbolisches System, den sogenannten Gauß-Code, der die charakteristischen Merkmale dieser Traktfiguren effektiv zusammenfasste.

In einem Fragment von 1833 ermittelte Gauß die Verknüpfungszahl für zwei Raumkurven mithilfe eines spezifischen Doppelintegrals und präsentierte damit die erste analytische Formulierung eines topologischen Phänomens. Gleichzeitig äußerte er seine Unzufriedenheit mit den begrenzten Fortschritten in Geometria Situs und wies darauf hin, dass eine Hauptherausforderung darin bestünde, „die Verflechtungen zweier geschlossener oder unendlicher Kurven zu zählen“. Aus seinen zeitgenössischen Notizbüchern geht außerdem hervor, dass er sich mit anderen topologischen Einheiten beschäftigte, darunter Zöpfe und Knäuel.

Gauss‘ späterer Einfluss auf das entstehende Gebiet der Topologie, eine Disziplin, die er hoch schätzte, beruhte hauptsächlich auf sporadischen Beobachtungen und verbalen Austauschen mit Möbius und Listing.

Geringere mathematische Beiträge

Gauss nutzte komplexe Zahlen, um etablierte mathematische Probleme mit neuartiger Prägnanz zu lösen. Beispielsweise formulierte er in einer Notiz aus dem Jahr 1836, in der er sich mit den geometrischen Eigenschaften ternärer Formen und ihren kristallographischen Anwendungen befasste, den Grundsatz der Axonometrie. Dieser Satz erläutert die genaue Darstellung eines dreidimensionalen Würfels auf einer zweidimensionalen Ebene durch die Anwendung komplexer Zahlen. Er charakterisierte Rotationen dieser Kugel als die Auswirkung spezifischer linearer Bruchtransformationen auf der erweiterten komplexen Ebene und lieferte einen Beweis für den geometrischen Satz, der besagt, dass sich die Höhen eines Dreiecks immer in einem einzigen Orthozentrum schneiden.

Mehrere Jahrzehnte lang untersuchte Gauß John Napiers „Pentagramma mirificum“, ein spezifisches sphärisches Pentagramm. Er untersuchte dieses Gebilde aus mehreren Perspektiven und erlangte nach und nach ein umfassendes Verständnis seiner geometrischen, algebraischen und analytischen Eigenschaften. Insbesondere formulierte und demonstrierte er 1843 mehrere Theoreme, die elliptische Funktionen, sphärische Fünfecke von Napier und Fünfecke von Poncelet im planaren Bereich miteinander verbanden.

Darüber hinaus lieferte er eine Lösung für die Herausforderung, die Ellipse mit maximaler Fläche innerhalb eines bestimmten Vierecks zu konstruieren, und machte eine unerwartete Entdeckung bezüglich der Berechnung von Fünfeckflächen.

Wissenschaftliche Beiträge

Astronomie

Am 1. Januar 1801 identifizierte der italienische Astronom Giuseppe Piazzi einen neuartigen Himmelskörper, bei dem es sich seiner Hypothese zufolge um den lang gesuchten Planeten zwischen Mars und Jupiter handelte, der im Einklang mit dem Titius-Bode-Gesetz steht, und nannte ihn Ceres. Piazzi konnte das Objekt nur kurze Zeit beobachten, bevor es durch Sonnenlicht verdeckt wurde. Zeitgenössische mathematische Methoden erwiesen sich als unzureichend, um anhand der begrenzten verfügbaren Daten den Ort seines Wiederauftauchens vorherzusagen. Gauß nahm sich dieser Herausforderung an und prognostizierte eine mögliche Wiederentdeckungsposition für Dezember 1801. Diese Vorhersage zeigte eine Genauigkeit von bis zu einem halben Grad, als Franz Die gewünschte Lösung wird anschließend durch Anwendung physikalischer Randbedingungen von den übrigen sechs isoliert. Für dieses Unterfangen entwickelte und nutzte Gauß umfangreiche Näherungstechniken.

Die Identifizierung von Ceres veranlasste Gauß, eine Theorie über die Bewegung von Planetoiden, die durch größere Planeten gestört werden, zu formulieren, die schließlich 1809 unter dem Titel Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum veröffentlicht wurde. Diese Arbeit führte auch die Gaußsche Gravitationskonstante ein.

Nach der Entdeckung neuer Asteroiden widmete Gauß seine Bemühungen der Analyse der Störungen ihrer Orbitalelemente. Zunächst untersuchte er Ceres mit analytischen Techniken, die denen von Laplace ähnelten. Allerdings wurde Pallas aufgrund seiner erheblichen Exzentrizität und Orbitalneigung zu seinem Hauptaugenmerk, was die Methodik von Laplace unwirksam machte. Folglich nutzte Gauß seine einzigartigen mathematischen Instrumente, darunter das arithmetisch-geometrische Mittel, die hypergeometrische Funktion und seine Interpolationsmethode. Im Jahr 1812 identifizierte er eine 18:7-Orbitalresonanz mit Jupiter, eine Entdeckung, die Gauß zunächst in verschlüsselter Form vorlegte und deren explizite Bedeutung allein durch Korrespondenz mit Olbers und Bessel enthüllt wurde. Trotz jahrelanger intensiver Forschung schloss er diese Arbeit 1816 ab und hielt das Ergebnis für unbefriedigend. Diese Zeit markierte das Ende seiner Beschäftigung mit der theoretischen Astronomie.

Ein bedeutendes Ergebnis von Gauß‘ Untersuchungen zu Pallas‘ Störungen war die Veröffentlichung Determinatio Attractionis... aus dem Jahr 1818, in der eine theoretische astronomische Methode beschrieben wurde, die später als „Methode des elliptischen Rings“ bezeichnet wurde. Mit dieser Methode wurde ein Mittelungskonzept eingeführt, bei dem ein umlaufender Planet durch einen hypothetischen Ring ersetzt wird, dessen Massendichte direkt proportional zur Zeit ist, die der Planet für die Durchquerung seiner jeweiligen Umlaufbögen verbringt. Gauß erläuterte ein mehrstufiges Verfahren zur Bewertung der von einem solchen elliptischen Ring ausgeübten Gravitationsanziehung, das insbesondere eine direkte Anwendung des Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels (AGM) zur Berechnung elliptischer Integrale beinhaltete.

Obwohl Gauß' Beschäftigung mit der theoretischen Astronomie abgeschlossen war, blieben seine praktischen Bemühungen in der beobachtenden Astronomie während seiner gesamten Karriere bestehen. Bereits 1799 befasste sich Gauß mit der Bestimmung des Längengrads durch Mondparallaxe und entwickelte Formeln, die praktischer waren als bestehende Methoden. Nach seiner Ernennung zum Observatoriumsdirektor betonte er in seinen Gesprächen mit Bessel die Bedeutung grundlegender astronomischer Konstanten. Gauß hat persönlich Tabellen für Nutation, Aberration, Sonnenkoordinaten und atmosphärische Brechung zusammengestellt. Er leistete auch wesentliche Beiträge zur sphärischen Geometrie und nutzte dieses Wissen, um praktische Herausforderungen in der Himmelsnavigation zu lösen. Darüber hinaus veröffentlichte er zahlreiche Beobachtungen, vor allem zu Kleinplaneten und Kometen, wobei seine letzte aufgezeichnete Beobachtung die Sonnenfinsternis vom 28. Juli 1851 war.

Chronologie

Gauss‘ erste Veröffentlichung im Anschluss an seine im Jahr 1800 erschienene Doktorarbeit befasste sich mit der Bestimmung des Osterdatums, einem Thema der elementaren Mathematik. Sein Ziel war es, einen zugänglichen Algorithmus für Personen bereitzustellen, denen es an Fachkenntnissen in kirchlicher oder astronomischer Chronologie mangelt, wobei Begriffe wie goldene Zahl, Epakt, Sonnenzyklus, inländischer Buchstabe und alle damit verbundenen religiösen Implikationen bewusst weggelassen wurden. Diese besondere Themenwahl wurde wahrscheinlich durch historische Faktoren beeinflusst. Der Übergang vom julianischen zum gregorianischen Kalender hatte seit dem 16. Jahrhundert im Heiligen Römischen Reich für erhebliche Verwirrung gesorgt, und seine Umsetzung in Deutschland wurde erst 1700 abgeschlossen, als die elftägige Diskrepanz behoben wurde. Anschließend wurde Ostern in protestantischen und katholischen Regionen weiterhin zu unterschiedlichen Terminen begangen, bis eine einheitliche Vereinbarung im Jahr 1776 diese Ungleichheit beseitigte. Bemerkenswert ist, dass in protestantischen Staaten wie dem Herzogtum Braunschweig das Ostern 1777, das fünf Wochen vor Gauß' Geburt stattfand, die erste Berechnung darstellte, die nach der neu eingeführten Methode durchgeführt wurde.

Fehlertheorie

Es wird vermutet, dass Gauß die Methode der kleinsten Quadrate verwendet hat, um die Auswirkungen von Messfehlern bei der Berechnung der Umlaufbahn von Ceres zu mildern. Obwohl Adrien-Marie Legendre diese Methode erstmals 1805 veröffentlichte, behauptete Gauß in seinem Werk Theoria motus von 1809, dass er sie seit 1794 oder 1795 verwendet habe. Diese Behauptung ist in der Geschichte der Statistik als „Prioritätsstreit um die Entdeckung der Methode der kleinsten Quadrate“ anerkannt. In seiner zweiteiligen Arbeit Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823) zeigte Gauß, dass die Methode unter der Annahme normalverteilter Fehler die geringste Stichprobenvarianz unter den linearen erwartungstreuen Schätzern aufweist, ein Prinzip, das heute als Gauß-Markov-Theorem bekannt ist.

In seiner ersten Veröffentlichung demonstrierte Gauß die Gaußsche Ungleichung (eine Ungleichung vom Tschebyscheff-Typ) für unimodale Verteilungen und präsentierte, ohne formalen Beweis, eine zusätzliche Ungleichung für Momente vierter Ordnung (ein spezifisches Beispiel der Gauß-Winckler-Ungleichung). Er legte außerdem sowohl Unter- als auch Obergrenzen für die Varianz der Stichprobenvarianz fest. Anschließend erläuterte Gauß in einem zweiten Artikel die rekursiven Methoden der kleinsten Quadrate, die er unabhängig entwickelt hatte. Der Geodäte Friedrich Robert Helmert erweiterte später Gauß‘ grundlegende Arbeit zur Fehlertheorie und führte zur Entwicklung des Gauß-Helmert-Modells.

Über seine Beiträge zur Fehlertheorie hinaus befasste sich Gauß auch mit verschiedenen Problemen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bemerkenswerterweise offenbart ein Tagebucheintrag sein Bestreben, die asymptotische Verteilung von Termen innerhalb der Kettenbruchentwicklung einer gleichmäßig über das Intervall (0,1) verteilten Zufallszahl zu charakterisieren. Diese Verteilung, später Gauß-Kuzmin-Verteilung genannt, entstand als Folge seiner Entdeckung hinsichtlich der Ergodizität der Gauß-Karte für Kettenbrüche. Die Lösung dieses Problems durch Gauß stellt die erste Errungenschaft in der metrischen Theorie der Kettenbrüche dar.

Geodäsie

Gauss‘ Beschäftigung mit geodätischen Problemen begann im Jahr 1799, als er Karl Ludwig von Lecoq bei Rechenaufgaben während einer in Westfalen durchgeführten Vermessung unterstützte. Anschließend eignete er sich ab 1804 während Aufenthalten in Braunschweig und Göttingen selbständig praktische geodätische Fähigkeiten an.

Ab 1816 unternahm Heinrich Christian Schumacher, ein ehemaliger Gauß-Schüler und später Professor in Kopenhagen, der in Altona (Holstein) bei Hamburg eine Sternwarte leitete, eine Triangulationsvermessung der Halbinsel Jütland, die sich von Skagen im Norden bis Lauenburg im Süden erstreckte. Diese Initiative diente als Grundlage für die kartografische Produktion und zielte gleichzeitig darauf ab, den geodätischen Bogen zu ermitteln, der die Endpunkte verbindet. Aus geodätischen Bögen abgeleitete Messungen waren entscheidend für die Bestimmung der Abmessungen des Erdgeoids, wobei längere Bogenabstände zu einer höheren Präzision führten. Anschließend forderte Schumacher Gauß auf, dieses Werk nach Süden auf das Königreich Hannover auszudehnen, ein Vorschlag, dem Gauß nach kurzer Überlegung zustimmte. Im Mai 1820 beauftragte König Georg IV. Gauss schließlich offiziell mit diesem Unterfangen.

Genaue Bogenmessungen erfordern die präzise astronomische Bestimmung von mindestens zwei Punkten innerhalb des geodätischen Netzwerks. Gauß und Schumacher nutzten die zufällige Ausrichtung, dass ihre jeweiligen Observatorien in Göttingen und Altona (in Schumachers Garten gelegen) nahezu identische Längengrade hatten. Breitengradmessungen wurden mit ihrer kombinierten Instrumentierung durchgeführt, ergänzt durch einen Ramsden-Zenitsektor, der zwischen beiden Observatorien transportiert wurde.

Im Oktober 1818 hatten Gauß und Schumacher zuvor mehrere Winkel zwischen Lüneburg, Hamburg und Lauenburg festgelegt, um die geodätische Verbindung zu erleichtern. Von den Sommern 1821 bis 1825 überwachte Gauß persönlich die Triangulationsbemühungen, die sich von Thüringen im Süden bis zur Elbe im Norden erstreckten. Das größte von Gauß gemessene Dreieck, bestehend aus dem Hohen Hagen, dem Großen Inselsberg im Thüringer Wald und dem Brocken im Harz, hatte eine maximale Seitenlänge von 107 km (66,5 Meilen). In der dünn besiedelten Lüneburger Heide, in der es keine markanten natürlichen Erhebungen oder künstlichen Strukturen gab, stieß er auf Schwierigkeiten bei der Identifizierung geeigneter Triangulationspunkte, was gelegentlich das Freimachen von Wegen durch dichte Vegetation erforderlich machte.

Um die Signalausrichtung zu erleichtern, entwickelte Gauß ein neuartiges Instrument, das er Heliotrop nannte und das über bewegliche Spiegel und ein kleines Teleskop verfügte, das Sonnenstrahlen in Richtung von Triangulationspunkten reflektieren sollte. Zu diesem Zweck entwickelte er auch ein ergänzendes Gerät, einen Sextanten mit zusätzlichem Spiegel, den er Vize-Heliotrop nannte. Gauß erhielt Unterstützung von Soldaten der hannoverschen Armee, darunter seinem ältesten Sohn Joseph. Im Jahr 1820 beteiligte sich Gauß an Schumachers Basislinienmessung (der Braak-Basislinie) im Dorf Braak bei Hamburg und nutzte diese Erkenntnisse anschließend zur Beurteilung der Hannoverschen Triangulation.

Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit war ein verfeinerter Wert für die Abflachung des ungefähren Erdellipsoids. Gauß formulierte auch die universelle transversale Mercator-Projektion für die ellipsoide Erde, die er als konforme Projektion bezeichnete, um die Darstellung geodätischer Daten auf planaren Karten zu erleichtern.

Nach Abschluss der Bogenmessung leitete Gauß die Erweiterung des Triangulationsnetzes nach Westen ein, um das gesamte Königreich Hannover zu vermessen. Dies folgte einem königlichen Erlass vom 25. März 1828. Drei Armeeoffiziere, darunter Leutnant Joseph Gauß, überwachten die praktische Umsetzung. Gauß leitete persönlich die umfassende Datenauswertung und nutzte dabei seine mathematischen Innovationen wie die Methode der kleinsten Quadrate und die Eliminationsmethode. Das Projekt wurde 1844 abgeschlossen, als Gauß der Regierung einen Abschlussbericht vorlegte; seine Projektionsmethode wurde jedoch erst 1866 veröffentlicht.

Im Jahr 1828 schlug Gauß bei der Untersuchung von Breitengradschwankungen zunächst eine physikalische Näherung für die Form der Erde vor und charakterisierte sie als die Oberfläche überall senkrecht zur Gravitationsrichtung, ein Konzept, das später von seinem Doktoranden Johann Benedict Listing als Geoid bezeichnet wurde.

Magnetismus und Telegraphie

Geomagnetismus

Gauß‘ Interesse am Magnetismus reichte bis ins Jahr 1803 zurück. Im Anschluss an Alexander von Humboldts Anhörungen nahm Gauß 1828 als Humboldts Gast an der Konferenz der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte in Berlin teil, wo er den Physiker Wilhelm Weber traf.

Im Jahr 1831 wurde Weber auf Empfehlung von Gauß als Nachfolger von Johann Tobias an den Lehrstuhl für Physik in Göttingen berufen Mayer. Diese Ernennung leitete eine produktive Zusammenarbeit zwischen ihnen ein, die das Verständnis des Magnetismus erweiterte und eine durch Masse, Ladung und Zeit definierte Einheit des Magnetismus etablierte. Gemeinsam gründeten sie die Magnetic Association (deutsch: Magnetischer Verein), ein internationales Konsortium von Observatorien, das zwischen 1836 und 1841 an zahlreichen Orten auf der Welt synchronisierte Messungen des Erdmagnetfelds durchführte und dabei standardisierte Methoden anwendete.

Im Jahr 1836 plädierte Humboldt in einem Brief an den Herzog von Sussex, den damaligen Präsidenten der Royal Society, für die Einrichtung eines globalen Netzwerks geomagnetischer Stationen innerhalb britischer Gebiete und schlug vor, magnetische Messungen unter standardisierten Bedingungen unter Verwendung seiner Methoden durchzuführen. Diese Initiative gipfelte zusammen mit den Bemühungen anderer Befürworter in einem weltweiten Unterfangen namens „Magnetischer Kreuzzug“ unter der Leitung von Edward Sabine. Beobachtungsdaten, -zeiten und -intervalle waren vorgegeben, wobei die Göttinger mittlere Zeit als zeitlicher Standard diente. An diesem internationalen Vorhaben beteiligten sich 61 Stationen auf allen fünf Kontinenten. Gauss und Weber waren Mitbegründer einer Publikationsreihe zu den Ergebnissen, die zwischen 1837 und 1843 sechs Bände herausgab. Die Geschäftstätigkeit der Magnetic Association wurde 1843 eingestellt, nachdem Weber als Folge der Göttinger Sieben-Affäre nach Leipzig umgezogen war.

Inspiriert von Humboldt gab Gauß den Bau eines magnetischen Observatoriums im Garten der bestehenden Sternwarte in Auftrag; Allerdings vertraten die Wissenschaftler unterschiedliche Ansichten zur Instrumentierung. Gauß bevorzugte stationäre Instrumente, weil er davon überzeugt war, dass sie eine höhere Präzision ermöglichten, während Humboldt tragbare Geräte bevorzugte. Gauß untersuchte die zeitlichen und räumlichen Variationen der magnetischen Deklination, Neigung und Intensität und unterschied dabei im Gegensatz zu Humboldt zwischen „horizontalen“ und „vertikalen“ Intensitätskomponenten. In Zusammenarbeit mit Weber entwickelte er Methoden zur Messung der Intensitätskomponenten des Magnetfelds und konstruierte ein Magnetometer, das in der Lage ist, absolute Werte der Stärke des Erdmagnetfelds zu bestimmen, und geht dabei über geräteabhängige relative Messungen hinaus. Dieses Magnetometer erreichte im Vergleich zu früheren Instrumenten eine etwa zehnmal höhere Präzision. Durch diese Forschung gelang es Gauß als erster, eine nichtmechanische physikalische Größe unter Verwendung grundlegender mechanischer Größen abzuleiten. Er entwickelte die sphärische harmonische Analyse als Technik zur Beschreibung potenzieller Felder und nutzte sie, um zu zeigen, dass der Großteil des Erdmagnetfelds aus internen Quellen stammt.

Gauss veröffentlichte eine Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (1839), die er als Beschreibung der grundlegenden Natur der magnetischen Kraft betrachtete. Felix Klein charakterisierte dieses Werk jedoch eher als eine sphärische harmonische Darstellung von Beobachtungen denn als eine umfassende physikalische Theorie. Diese Theorie postulierte die Existenz von genau zwei Magnetpolen auf der Erde, machte damit Hansteens Konzept von vier Magnetpolen obsolet und ermöglichte die Bestimmung ihrer Standorte mit beträchtlicher Genauigkeit.

Gauss beeinflusste das entstehende Gebiet der Geophysik in Russland maßgeblich, wie die Errichtung eines magnetischen Observatoriums in St. Petersburg durch seinen ehemaligen Schüler Adolph Theodor Kupffer beweist, das dem Göttinger Observatorium nachempfunden war. Gleichzeitig initiierte Ivan Simonov ein ähnliches Unterfangen in Kasan.

Elektromagnetismus

Gauss‘ Interesse am Elektromagnetismus wurde durch Hans Christian Ørsteds Entdeckungen zum Elektromagnetismus und Michael Faradays Arbeiten zur elektromagnetischen Induktion geweckt. In Zusammenarbeit mit Weber formulierte Gauß Prinzipien für verzweigte Stromkreise, die später Gustav Kirchhoff unabhängig entdeckte, veröffentlichte und Kirchhoffs Stromkreisgesetze nannte. Ihre gemeinsamen Untersuchungen zum Elektromagnetismus führten 1833 zum Bau des ersten elektromechanischen Telegraphen. Anschließend stellte Weber mithilfe dieses Geräts eine Verbindung zwischen der Sternwarte und dem Göttinger Zentralinstitut für Physik her, weitere kommerzielle Anwendungen wurden jedoch nicht verfolgt.

Gauß‘ primäre theoretische Auseinandersetzung mit dem Elektromagnetismus manifestierte sich in seinen Bemühungen, quantitative Gesetze für die elektromagnetische Induktion aufzustellen. Seine Notizbücher aus dieser Zeit enthalten mehrere bahnbrechende Formulierungen, darunter die Entdeckung der Vektorpotentialfunktion, die Franz Ernst Neumann 1845 unabhängig wiederentdeckte. Darüber hinaus dokumentierte Gauß im Januar 1835 ein „Induktionsgesetz“, das dem Faradayschen Gesetz entsprach und behauptete, dass die elektromotorische Kraft an einem bestimmten räumlichen Punkt der augenblicklichen zeitlichen Änderungsrate dieser Funktion entspricht.

Gauss bemühte sich, ein einheitliches Gesetz für die Fernwirkungen von Elektrostatik, Elektrodynamik, Elektromagnetismus und Induktion zu finden, analog zu Newtons Gravitationsgesetz; Dieses ehrgeizige Unterfangen endete jedoch letztendlich mit einem „tragischen Scheitern“, wie er es nannte.

Potentialtheorie

Nachdem Isaac Newton theoretisch nachgewiesen hatte, dass die Erde und rotierende Sterne nicht sphärische Konfigurationen annehmen, wurde das Problem der ellipsoidischen Anziehung zu einem wichtigen Forschungsgebiet in der mathematischen Astronomie. In seiner ersten Veröffentlichung zur Potentialtheorie „Theoria Attractionis...“ (1813) präsentierte Gauß einen geschlossenen Ausdruck für die Gravitationsanziehung, die ein homogenes dreiachsiges Ellipsoid an jedem Raumpunkt ausübt. Im Gegensatz zu den früheren Untersuchungen von Maclaurin, Laplace und Lagrange befasste sich Gauß‘ neuartige Lösung mit der Anziehung direkter über ein elliptisches Integral. Während dieser Arbeit etablierte und wandte er auch spezifische Beispiele dessen an, was heute als Gauß-Theorem in der Vektoranalyse bekannt ist.

In seinem 1840 erschienenen Werk Allgemeine Sätze über die anziehenden und abstoßenden Kräfte, die in reziproken Proportionen quadratischer Abstände wirken entwickelte Gauß eine grundlegende Theorie des magnetischen Potentials, die sich auf die Beiträge von Lagrange, Laplace und Poisson stützte. Es ist unwahrscheinlich, dass ihm George Greens frühere Forschungen zu diesem Thema bekannt waren. Dennoch war Gauß nicht in der Lage, eine grundlegende Erklärung für den Magnetismus oder eine umfassende Theorie des Magnetismus vergleichbar mit Newtons Gravitationsarbeit zu liefern, die die Vorhersage zukünftiger geomagnetischer Phänomene ermöglicht hätte.

Optik

Die Berechnungen von Gauß ermöglichten dem Instrumentenbauer Johann Georg Repsold im Jahr 1810 in Hamburg die Entwicklung eines neuartigen achromatischen Linsensystems. Eine große Herausforderung war unter anderem die ungenaue Kenntnis des Brechungsindex und der Dispersionseigenschaften des verwendeten Glases. In einem prägnanten Artikel aus dem Jahr 1817 befasste sich Gauß mit der Frage der Eliminierung der chromatischen Aberration bei Doppellinsen und berechnete die notwendigen Anpassungen der Linsenform und der Brechungskoeffizienten zur Minimierung. Seine Beiträge wurden vom Optiker Carl August von Steinheil gewürdigt, der 1860 das achromatische Steinheil-Dublett einführte, das teilweise auf den Berechnungen von Gauß beruhte. Zahlreiche Erkenntnisse zur geometrischen Optik sind in Gauß‘ Korrespondenz und persönlichen Notizen verstreut.

In seiner Veröffentlichung Dioptrical Investigations aus dem Jahr 1840 präsentierte Gauß die erste systematische Analyse der Bilderzeugung innerhalb einer paraxialen Näherung, ein Gebiet, das heute als Gaußsche Optik bekannt ist. Er charakterisierte optische Systeme unter dieser Näherung ausschließlich anhand ihrer Himmelsrichtungen und leitete die Gaußsche Linsenformel ab, die unabhängig von der Linsendicke anwendbar bleibt.

Mechanik

Gauss‘ erste Arbeit in der Mechanik konzentrierte sich auf die Erdrotation. Als sein Universitätskollege Benzenberg 1802 Experimente zur Bestimmung der senkrechten Abweichung fallender Massen durchführte – ein Phänomen, das heute als Corioliskraft bekannt ist –, bat er Gauß um theoretische Berechnungen dieser Werte, um den Vergleich mit seinen empirischen Erkenntnissen zu erleichtern. Anschließend entwickelte Gauß ein System grundlegender Gleichungen zur Beschreibung der Bewegung, und die abgeleiteten Ergebnisse zeigten eine ausreichende Übereinstimmung mit Benzenbergs Daten. Folglich nahm Benzenberg die theoretischen Überlegungen von Gauß als Anhang in seine Veröffentlichung über die Fallexperimente auf.

Nachdem Foucault 1851 mit seinem Pendelexperiment die Erdrotation öffentlich demonstriert hatte, bat Gerling um zusätzliche Erklärungen von Gauß. Diese Untersuchung veranlasste Gauß, einen neuartigen Demonstrationsapparat zu entwerfen, der ein deutlich kürzeres Pendel als Foucaults Pendel aufweist. Die Schwingungen des Pendels wurden mit einem Leseteleskop überwacht, das über eine vertikale Skala und einen am Pendel befestigten Spiegel verfügte. Dieser Apparat ist in der Gauß-Gerling-Korrespondenz dokumentiert, und Weber führte 1853 Experimente damit durch, obwohl später keine Daten aus diesen Versuchen veröffentlicht wurden.

Das 1829 formulierte Gaußsche Prinzip der geringsten Beschränkung wurde als allgemeiner konzeptioneller Rahmen etabliert, der die unterschiedlichen Bereiche der Statik und Dynamik in die Mechanik integrieren sollte. Dieses Prinzip synthetisierte das D'Alembert-Prinzip mit Lagranges Prinzip der virtuellen Arbeit und wies methodische Analogien zur Methode der kleinsten Quadrate auf.

Metrologie

Im Jahr 1828 erhielt Gauß eine Ernennung zum Leiter der Behörde für Maße und Gewichte im Königreich Hannover. In dieser Funktion entwickelte er grundlegende Standards für Länge und Messung. Gauß überwachte persönlich die aufwendigen und zeitintensiven Messungen und gab genaue Anweisungen für den mechanischen Aufbau der Instrumente. Sein Briefwechsel mit Schumacher, der ebenfalls messtechnisch tätig war, offenbart seine innovativen Konzepte für hochpräzise Waagen. Bis 1841 hatte er der Regierung die abschließenden Berichte über das hannoversche Fuß- und Pfundwesen vorgelegt. Internationale Bedeutung erlangte dieses Unterfangen durch einen Gesetzesakt von 1836, der die hannoverschen Maße offiziell mit englischen Maßstäben verband.

Ehrungen und Auszeichnungen

Gauß‘ erste Mitgliedschaft in einer wissenschaftlichen Gesellschaft erfolgte 1802 bei der Russischen Akademie der Wissenschaften. Anschließend wurden ihm zahlreiche weitere Mitgliedschaften (kategorisiert als korrespondierende, ausländische oder Vollmitgliedschaft) von renommierten Institutionen verliehen, darunter: der Akademie der Wissenschaften in Göttingen (1802/1807), der Französischen Akademie der Wissenschaften (1804/1820), der Royal Society of London (1804) und der Königlich-Preußischen Akademie in Berlin (1810), die National Academy of Science in Verona (1810), die Royal Society of Edinburgh (1820), die Bayerische Akademie der Wissenschaften in München (1820), die Royal Danish Academy in Kopenhagen (1821), die Royal Astronomical Society in London (1821), die Royal Swedish Academy of Sciences (1821), die American Academy of Arts and Sciences in Boston (1822), die Royal Bohemian Society of Sciences in Prag (1833), die Royal Academy of Science, Letters and Fine Arts of Belgium (1841/1845), die Royal Society of Sciences in Uppsala (1843), die Royal Irish Academy in Dublin (1843), das Royal Institute of the Netherlands (1845/1851), die Spanish Royal Academy of Sciences in Madrid (1850), die Russian Geographical Society (1851), die Imperial Academy of Sciences in Vienna (1848), die American Philosophical Society (1853), die Cambridge Philosophical Society und die Royal Hollandish Society of Sciences in Haarlem.

Im Jahr 1848 verliehen ihm sowohl die Universität Kasan als auch die Philosophische Fakultät der Universität Prag die Auszeichnung eines Ehrenmitglieds.

Gauss erhielt mehrere bedeutende Auszeichnungen, darunter 1809 den Lalande-Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften für seine Theorie der Planeten und Methoden zur Bestimmung ihrer Umlaufbahnen aus nur drei Beobachtungen. 1823 erhielt er für seine Memoiren über konforme Projektion den Preis der Dänischen Akademie der Wissenschaften. Anschließend verlieh ihm die Royal Society im Jahr 1838 die Copley-Medaille in Anerkennung „seiner Erfindungen und mathematischen Forschungen im Bereich Magnetismus“.

Im Jahr 1837 wurde Gauß zum Ritter der französischen Ehrenlegion ernannt. Darüber hinaus wurde er bei seiner Gründung im Jahr 1842 eines der Gründungsmitglieder des preußischen Ordens Pour le Mérite (Zivilstand). Zu seinen weiteren Auszeichnungen gehörten der Orden der Krone von Westfalen (1810), der dänische Dannebrog-Orden (1817), der hannoversche Königliche Welfen-Orden (1815), der schwedische Polarstern-Orden (1844), der Orden Heinrichs des Löwen (1849) und der Bayerische Maximilian-Orden für Wissenschaft und Kunst (1853).

Die Könige von Hannover verliehen ihm die Ehrentitel „Hofrath“ (1816) und „Geheimer Hofrath“ (1845). Anlässlich seines goldenen Jubiläums als Arzt wurde ihm 1949 sowohl von Braunschweig als auch von Göttingen die Ehrenbürgerwürde verliehen. Nach seinem Tod gab König Georg V. von Hannover eine Medaille in Auftrag, die auf der Rückseite die Inschrift „An den Fürsten der Mathematiker“ trug.

Die „Gauss-Gesellschaft Göttingen“ wurde 1964 gegründet, um die Erforschung des Lebens und Wirkens von Carl Friedrich Gauß und assoziierten Persönlichkeiten zu ermöglichen. Diese Gesellschaft gibt die Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft heraus.

Namen und Gedenken

• Liste der nach Carl Friedrich Gauß benannten Dinge

Ausgewählte Schriften

Mathematik und Astronomie

• 1799: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in Factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse [Neuer Beweis des Satzes, dass jede integrale algebraische Funktion einer Variablen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades aufgelöst werden kann]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen."Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis infactors reales primi vel secundi gradus resolvi posse". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 107–134."Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in Factores Reales Demonstratio Tertia". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathe. 3: 135–142."Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 4: 34–35.Die vier Gaußschen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten und zweiten Grades. (1799–1849) [Die vier Gaußschen Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra]. Übersetzt von Netto. Leipzig: Wilhelm Engelmann.1890."Berechnung des Osterfestes". Monatliche Korrespondenz zur Förderung der Geographie und Himmelswissenschaft (Veröffentlicht auf Deutsch). §34§: 121–130.Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun.Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithmeticae & andere Arbeiten zur Zahlentheorie. Übersetzt von Clarke, Arthur A. (2., korrigierte Ausgabe). New York: Springer. ISBN 978-0-387-96254-2."Berechnung des jüdischen Osterfestes". Monatliche Korrespondenz zur Förderung der Geographie und Himmelswissenschaft (Veröffentlicht auf Deutsch). 5: 435–437."Über die Grenzen der geozentrischen Orte der Planeten". Monatliche Korrespondenz zur Förderung der Geographie und Himmelswissenschaft (Veröffentlicht auf Deutsch).10: 171–193."Theorematis arithmetici demonstratio nova". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math. 16: 69–74.Methodus terribleis heightem poli determinandi (Veröffentlicht in lateinischer Sprache). Göttingen.Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Veröffentlicht in lateinischer Sprache). Hamburg: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser.Theorie der Bewegung von Himmelskörpern, die sich in Kegelschnitten um die Sonne bewegen. Übersetzt von Davis, Charles Henry. Little, Brown & Co. 1857.Theorie der Bewegung der Himmelskörper, die sich in Kegelschnitten um die Sonne bewegen. Nachdruck des Originals von 1809. (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.) (Lateinisch). Cambridge Library Collection – Mathematik. Cambridge University Press. 2011. ISBN 978-1-108-14311-0.Zbl 1234.01016."Disquisitio de elementis ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Mathematik. §34§: 1–26."Summatio quundam serierum singularium". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathe. §34§: 1–40."Disquisitiones generales circa seriem infinitam §78§ + α β γ .1 + etc. {\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}} ". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.§4849§: 1–42."Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 39–76."Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis Demonstrationes et ampliationes novae". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathe. 4: 3–20."Determinatio Attractionis, quam in punctum positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totamorbitam, ratione temporis, quo singulae partes dribuntur, uniformiter esset dispertita". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Klasse. 4: 21–48."Theoria combinationis Observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior“. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathe.5: 33–62."Theoria combinationis Observationum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 5: 63–90."Allgemeine Lösung der Aufgabe, die Teile einer gegebenen Fläche auf einer anderen gegebenen Fläche so darzustellen, dass das Bild den kleinsten Teilen des Dargestellten ähnlich wird.“ Astronomische Abhandlungen. 3. Altona.Bestimmung des Breitengradunterschieds zwischen den Observatorien in Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Zenitsektor von Ramsden [Bestimmung des Breitengradunterschieds zwischen den Observatorien von Göttingen und Altona durch Beobachtungen mit dem Zenitsektor von Ramsden] (auf Deutsch). Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht. 1828.Gauss, Carl Friedrich (1828). „Supplementum theoriae combinationis Observationum erroribus minimis obnoxiae“ [Ergänzung zur Theorie der Kombination von Beobachtungen, die am wenigsten Fehlern unterliegen]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathematik [Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences in Göttingen. Mathematikunterricht.]. 6: 57–98.Bibcode:1828stco.book.....G.Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. (1995). Theorie der Kombination von Beobachtungen, die am wenigsten Fehlern unterliegen. Teil Eins, Teil Zwei, Ergänzung (Klassiker der Angewandten Mathematik). Übersetzt von G. W. Stewart. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-347-3."Disquisitiones generales circa superficies curvas" [Allgemeine Untersuchungen gekrümmter Oberflächen]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathematik [Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences in Göttingen. Mathematikunterricht.]. 6: 99–146.General Investigations of Curve Surfaces. Übersetzt von J. C. Morehead und A. M. Hiltebeitel. The Princeton University Library. 1902."Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima" [Theorie der biquadratischen Reste, Erster Kommentar]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathematik [Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences in Göttingen. Mathematikunterricht.].6: 27–56."Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda" [Theorie der biquadratischen Reste, Zweiter Kommentar]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math [Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences in Göttingen. Mathematische Klasse.]. 7: 89–148."Untersuchungen zu Themen der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung“ [Untersuchungen zu Gegenständen der Höheren Geodäsie. Erste Abhandlung]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen [Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen]. Band Zwei, aus den Jahren 1842–1844: 3–46."Untersuchungen zu Themen der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung“ [Untersuchungen zu Themen der Höheren Geodäsie. Zweite Abhandlung]. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen [Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen]. Dritter Band, aus den Jahren 1845–1847: 3–44.Gauss (1848). „Schreiben des Herrn Geheimen Hofrathes Gauss an den Herausgeber“.Astronomische Nachrichten [Astronomische Notizen] (auf Deutsch). 27: 1–3. Bibcode:1848AN.....27....1G.Klein, Felix, Hrsg. (1903). "Gauß' wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814". Mathematische Annalen [Mathematische Annalen] (in Latein und Deutsch). 57: 1–34.Physik
  • 1804: Fundamental Equations for the Motion of Heavy Bodies on Earth (veröffentlicht im Originalbuch: Benzenberg, Johann Friedrich. Experimente zum Fallgesetz, zum Widerstand der Luft und zur Rotation der Erde [Experimente zum Gesetz fallender Körper, zum Widerstand der Luft und zur Rotation der Erde]. Dortmund: Gebrüder Mallinckrodt S. 363–371."Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum Methodo Nova Tractata" [Theorie der Anziehung homogener elliptischer kugelförmiger Körper, behandelt durch eine neue Methode]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Komm. Klasse. Mathematik [Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences in Göttingen. Mathematikunterricht.]. §3
  4§: 1–24."Über achromatische Doppellinsen unter besonderer Berücksichtigung einer vollständigeren Farbdispersion". Journal of Astronomy and Allied Sciences [Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften] (auf Deutsch). IV: 345–351."Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik". Zeitschrift für reine und angewandte Mathematik [Zeitschrift für reine und angewandte Mathematik]. 1829 (4): 232–235. 1829."Allgemeine Prinzipien der Theorie der Figur von Flüssigkeiten im Gleichgewichtszustand". Neueste Kommentare der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 7: 39–88."Die Intensität der magnetischen Kraft der Erde reduziert auf das absolute Maß". Neueste Kommentare der Royal Society of Sciences zu Göttingen. 8: 3–44.Schumacher, H.C. (Hrsg.). Jahrbuch für 1836.Bd. 1836. Tübingen: J.G. Cottas Buchhandlung. S. 1–47.Allgemeine Sätze über die anziehenden und abstoßenden Kräfte, die in reziproken Proportionen quadratischer Entfernungen wirken. Leipzig: Weidmanns Buchhandlung. 1840."Dioptrische Untersuchungen". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Erster Band: 1–34.Kollaborationen mit Wilhelm Weber
  • 1837–1839: Weber, Wilhelm Eduard; Gauß, Carl Friedrich. Ergebnisse der Beobachtungen der magnetischen Union in den Jahren 1836–1838. Göttingen: Dieterichs Buchhandlung. S. 6 v.Weber, Wilhelm Eduard; Gauß, Carl Friedrich. Ergebnisse der Beobachtungen der magnetischen Union in den Jahren 1839–1841. Leipzig: Weidmanns Verlagsbuchhandlung. S. 6 v.Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Atlas des Erdmagnetismus nach den Elementen der Theorie entworfen. Ergänzung zu den Ergebnissen der Beobachtungen der magnetischen Union. Leipzig: Weidmann's Publishing Bookstore. S.6 v.Werksammlungen
    • Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, hrsg. (1863–1933). Carl Friedrich Gauß. Funktioniert. Bd. 1–12. Göttingen: (verschiedene Verlage).Korrespondenz
      • Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften, hrsg. (1880). Korrespondenz zwischen Gauß und Bessel. Leipzig: Wilhelm Engelmann.Schoenberg, Erich; Perlick, Alfons (1955). Unbekannte Briefe von C. F. Gauss und Fr. W. Bessel. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-nat. Klasse, Neue Folge, Nr. 71. München: Verlag der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. S. 5–21.Schwemin, Friedhelm, Hrsg. (2014). Der Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauß und Johann Elert Bode. Acta Historica Astronomica. Bd. 53. Leipzig: Akademischer Verlag. ISBN 978-3-944913-43-8.Schmidt, Franz; Stäckel, Paul, Hrsg. (1899). Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauß und Wolfgang Bolyai. Leipzig: B.G.Teubner.Wittmann, Axel, Hrsg. (2018). Obwohl und inzwischen. Die Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauss und Johann Franz Encke. Remagen: Kessel Verlag. ISBN 978-3945941379.Bruhns, Karl Christian, Hrsg. (1877). Briefe zwischen A. v. Humboldt und Gauss. Leipzig: Wilhelm Engelmann.Reich, Karin; Roussanova, Elena (2018). Karl Kreil und der Erdmagnetismus: Seine Korrespondenz mit Carl Friedrich Gauß im historischen Kontext. Veröffentlichungen der Kommission für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin, Nr. 68. Wien: Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften.Gerardy, Theo, Hrsg. (1959). Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauss und Carl Ludwig von Lecoq. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Nr. 4. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. S.37–63.Forbes, Eric G. (1971). „Die Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauss und Rev. Nevil Maskelyne (1802–05).“ Annals of Science. 27 (3): 213–237. doi:10.1080/00033797100203767.Cunningham, Clifford (2004). „Entdeckung der fehlenden Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauss und Rev. Nevil Maskelyne (1802–05).“ Annalen der Wissenschaft. 61 (4): 469–481. doi:10.1080/00033790310001660164.Schilling, Carl, Hrsg. (1900). Korrespondenz zwischen Olbers und Gauss: Erster Abschnitt. Wilhelm Olbers: Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer.Schilling, Carl, Hrsg. (1909). Korrespondenz zwischen Olbers und Gauß: Zweiter Abschnitt. Wilhelm Olbers: Sein Leben und seine Werke. Zweiter Band. Berlin: Julius Springer.Peters, Christian August Friedrich, Hrsg. (1860–1865). Korrespondenz zwischen C. F. Gauss und H. C. Schumacher.Altona: Gustav Esch.Poser, Hans, Hrsg. (1987). Korrespondenz zwischen Carl Friedrich Gauß und Eberhard August Zimmermann. Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Reihe 3, Nr. 39. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. ISBN 978-3525821169.

        Notizen

        Quellen