Euclid

Euclides, un antiguo matemático griego, fue un destacado geómetra y lógico, que floreció alrededor del año 300 a.C. A menudo reconocido como el "padre de la geometría", se le celebra principalmente por su obra fundamental, el tratado Elementos, que estableció principios geométricos que siguieron siendo fundamentales hasta principios del siglo XIX. Este sistema, ahora denominado geometría euclidiana, integraba conceptos novedosos con una síntesis integral de teorías matemáticas griegas anteriores, a partir de figuras como Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quíos, Tales y Teeteto. Junto a Arquímedes y Apolonio de Perga, Euclides es ampliamente considerado como uno de los matemáticos más importantes de la antigüedad y una figura profundamente influyente en los anales de la historia de las matemáticas.

Euclides (; griego antiguo: Εὐκλείδης; fl. 300 a. C.) fue un antiguo matemático griego activo como geómetra y lógico. Considerado el "padre de la geometría", es conocido principalmente por el tratado Elementos, que estableció las bases de la geometría que dominó en gran medida este campo hasta principios del siglo XIX. Su sistema, ahora conocido como geometría euclidiana, implicó innovaciones en combinación con una síntesis de teorías de matemáticos griegos anteriores, incluidos Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quíos, Tales y Teeteto. Junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, Euclides es generalmente considerado uno de los más grandes matemáticos de la antigüedad y uno de los más influyentes en la historia de las matemáticas.

Los detalles biográficos sobre Euclides son escasos, y la mayoría de la información se deriva de los relatos posteriores de los eruditos Proclo y Pappus de Alejandría, siglos después de su vida. Durante el período medieval, los matemáticos islámicos fabricaron biografías elaboradas, mientras que los eruditos bizantinos y del primer Renacimiento lo combinaron erróneamente con el anterior filósofo Euclides de Megara. El consenso académico contemporáneo sitúa su carrera activa en Alejandría alrededor del año 300 a. C., posterior a los discípulos de Platón y antes de Arquímedes. La especulación sugiere que Euclides pudo haber estudiado en la Academia Platónica y posteriormente enseñó en el Museo, sirviendo así como un vínculo crucial entre la tradición platónica ateniense y el posterior movimiento intelectual alejandrino.

Dentro de los Elementos, Euclides derivó sistemáticamente teoremas a partir de un conjunto conciso de axiomas. Su producción literaria también abarcó tratados sobre perspectiva, secciones cónicas, geometría esférica, teoría de números y principios de rigor matemático. Más allá de los Elementos, Euclides fue autor de un texto temprano fundacional en óptica, titulado Óptica, junto con otras obras menos destacadas como Datos y Phaenomena. Sin embargo, la atribución de Sobre divisiones de figuras y Catoptrics a Euclides sigue siendo un tema de debate académico. Además, se cree que compuso numerosas obras que hoy se encuentran perdidas.

Vida

Narrativa tradicional

La denominación inglesa 'Euclides' representa la forma inglesa del nombre griego antiguo Eukleídes (Εὐκλείδης). Este nombre se origina de 'eu-' (εὖ; 'bien') y 'klês' (-κλῆς; 'fama'), que colectivamente significan 'reconocido' o 'glorioso', con la adición del sufijo '-ides' (-ίδης, 'hijo de'). Metonímicamente, en el uso inglés, 'Euclid' puede referirse a su tratado más célebre, los Elementos de Euclides, o una reproducción del mismo, y ocasionalmente se emplea como sinónimo de 'geometría'.

En consonancia con la escasez biográfica que rodea a muchos matemáticos griegos antiguos, los detalles específicos de la vida de Euclides siguen siendo en gran medida oscuros. Si bien definitivamente se le atribuye la autoría de cuatro tratados en gran parte existentes (los Elementos, la Óptica, los Datos y los Phaenomena), la información concreta sobre su vida personal es inexistente. El relato biográfico convencional se basa principalmente en la narrativa del siglo V d. C. proporcionada por Proclo en su Comentario al primer libro de los elementos de Euclides, complementada con anécdotas seleccionadas de Pappus de Alejandría que datan de principios del siglo IV.

Proclo indica que la vida de Euclides abarcó un período inmediatamente posterior a varios discípulos de Platón (m. 347 aC) y anterior al matemático Arquímedes (c. 287 – c. 212 aC); específicamente, Proclo situó a Euclides durante el reinado de Ptolomeo I (r. 305/304–282 a.C.). La fecha exacta de nacimiento de Euclides sigue sin establecerse; mientras que algunos estudiosos proponen estimaciones alrededor del 330 o 325 a. C., otros se abstienen de hacer tales conjeturas. Aunque se presume que es de origen griego, se desconoce su lugar de nacimiento. Proclo, un neoplatónico, afirmó la adhesión de Euclides a la tradición platónica, aunque esta afirmación carece de una corroboración definitiva. Dada la improbabilidad de que fuera contemporáneo de Platón, con frecuencia se postula que recibió su educación de los discípulos de Platón en la Academia Platónica de Atenas. El historiador Thomas Heath respaldó esta hipótesis y observó que Atenas fue el hogar de los geómetras más competentes, incluidos muchos cuyo trabajo desarrolló posteriormente Euclides; sin embargo, el historiador Michalis Sialaros descarta esto como una mera conjetura. Sin embargo, la sustancia de la obra de Euclides demuestra inequívocamente una profunda familiaridad con la tradición platónica de la geometría.

En su Colección, Pappus registra que Apolonio recibió instrucción de los estudiantes de Euclides en Alejandría, lo que sugiere que Euclides estableció y contribuyó a una tradición matemática dentro de la ciudad. Alejandría fue fundada por Alejandro Magno en 331 a. C., y su estabilidad posterior bajo Ptolomeo I, que comenzó en 306 a. C., fue excepcional en medio de los tumultuosos conflictos que siguieron a la división del imperio de Alejandro. Ptolomeo inició un programa de helenización y supervisó extensos proyectos de construcción, incluido el monumental Museo, que se convirtió en una destacada institución educativa. Se supone que Euclides estuvo entre los primeros eruditos del Museo. Si bien se desconoce la fecha exacta de muerte de Euclides, se conjetura que falleció alrededor del c. 270 a.C..

Cuentas islámicas medievales

Aunque en fuentes biográficas islámicas aparecen numerosos relatos detallados sobre la vida de Euclides, estos relatos generalmente se consideran tardíos y carentes de corroboración. Ali Ibn Yusuf al-Qifti, por ejemplo, conserva una de esas narrativas, afirmando:

"Euclid, el ingeniero, el carpintero de Tiro, hijo de Naucrates hijo de Berenice, el que manifestaba la geometría y se destacaba en ella, conocido como el señor de la Geometría. El nombre de su libro de geometría en griego es Stoicheia, que significa Los elementos de la geometría. Era un sabio antiguo, griego de origen, sirio de residencia, tirio de ciudad y carpintero de oficio. Poseía una mano poderosa en la ciencia de la geometría. Su famoso libro, conocido como El Libro de los Elementos, es el nombre con el que era conocido entre los sabios de los griegos. Los romanos después de él lo llamaron Las Investigaciones, y los musulmanes lo llamaron Los Principios."

Identidad y contexto histórico

Para distinguirlo del filósofo anterior Euclides de Megara, un alumno socrático que aparece en los diálogos platónicos con quien históricamente se confundió, Euclides es frecuentemente identificado como "Euclid de Alejandría". Valerio Máximo, compilador romano de anécdotas del siglo I d.C., sustituyó erróneamente el nombre de Euclides por Eudoxo (siglo IV a.C.) al relatar al matemático al que Platón dirigió sus consultas sobre la duplicación del cubo. Esta temprana mención de un Euclides matemático, aproximadamente un siglo antes, probablemente contribuyó a la fusión de Euclides con Euclides de Megara en fuentes bizantinas medievales (ahora perdidas). En consecuencia, a Euclides el matemático se le atribuyeron detalles biográficos de ambos individuos y se le llamó Megarensis (lit.'de Megara'). El erudito bizantino Teodoro Metoquita (c. 1300) fusionó explícitamente a los dos Euclides, una combinación también evidente en la editio princeps del impresor Erhard Ratdolt de 1482 de la traducción latina de Campanus de Novara de la Elementos. Esta identificación se propagó aún más en publicaciones posteriores después de que el matemático Bartolomeo Zamberti añadiera la mayoría de los fragmentos biográficos disponibles sobre Euclides al prefacio de su traducción de 1505 de los Elementos. Una fuente adicional de confusión, que postula que el lugar de nacimiento de Euclides es Gela, Sicilia, surge de la afirmación ocasional de que Euclides de Megara nació allí. Sin embargo, eruditos del Renacimiento posteriores, en particular Peter Ramus, reevaluaron esta afirmación y la refutaron destacando inconsistencias y contradicciones cronológicas en los primeros registros históricos.

Las fuentes árabes medievales proporcionan amplios detalles sobre la vida de Euclides, pero estos relatos son completamente imposibles de verificar. Por ejemplo, Euclides supuestamente era un griego nacido en Tiro y residente en Damasco, y decía ser hijo de Naucrates. La mayoría de los estudiosos consideran que estas narrativas son de autenticidad cuestionable. Heath, específicamente, sostiene que dicha ficcionalización tenía como objetivo reforzar una conexión entre un matemático muy estimado y el mundo árabe. Además, existen numerosas historias anecdóticas sobre Euclides, todas ellas de historicidad incierta, que lo retratan como "un anciano amable y gentil". El más famoso de ellos es el relato de Proclo sobre Ptolomeo preguntando si existía un método más rápido para aprender geometría que estudiar los Elementos de Euclides, a lo que Euclides respondió: "no existe un camino real hacia la geometría". Sin embargo, la veracidad de esta anécdota es discutible, dado que Estobeo registra un intercambio notablemente similar entre Menecmo y Alejandro Magno. Ambos relatos datan del siglo V d. C., ninguno especifica su fuente original y ninguno se encuentra en la literatura griega antigua.

La datación precisa del período activo de Euclides, aproximadamente c. 300 a.C., sigue siendo incierta debido a la ausencia de documentación contemporánea. La primera mención principal de Euclides aparece en la carta introductoria de Apolonio a las Cónicas, compuesta a principios del siglo II a.C. Apolonio afirma: "El tercer libro de las Cónicas presenta numerosos teoremas notables, valiosos tanto para la síntesis como para la cuantificación de soluciones para loci sólidos. La mayoría, y de hecho las más refinadas, son contribuciones originales. Tras su descubrimiento, reconocimos que Euclides había abordado sólo parcialmente, y no del todo con éxito, la síntesis del locus en tres y cuatro líneas". Se plantea la hipótesis de que los Elementos se difundieron al menos parcialmente en el siglo III a. C., dado que tanto Arquímedes como Apolonio presuponen varias de sus proposiciones. Sin embargo, Arquímedes utilizó una versión anterior de la teoría de proporciones en comparación con la presentada en los Elementos. Los primeros ejemplos físicos de contenido de los Elementos, que se estima datan aproximadamente del año 100 d.C., consisten en fragmentos de papiro descubiertos en una antigua pila de basura en Oxirrinco, en el Egipto romano. Las primeras referencias directas que se conservan a los Elementos en obras fechadas de forma fiable surgen en el siglo II d. C., atribuidas a Galeno y Alejandro de Afrodisias, momento en el que se había convertido en un texto educativo fundamental. Si bien algunos matemáticos griegos antiguos nombran explícitamente a Euclides, se lo identifica más comúnmente como "ὁ στοιχειώτης" (que significa "el autor de Elementos"). Durante la Edad Media, ciertos eruditos postularon que Euclides no era un individuo histórico, sugiriendo que su nombre se originó a partir de una corrupción lingüística de la terminología matemática griega.

Obras principales

Los Elementos

Euclides es reconocido principalmente por su tratado de trece volúmenes, los Elementos (griego antiguo: Στοιχεῖα; Stoicheia), ampliamente considerado. como su obra magna. Una parte importante de su contenido se deriva de las contribuciones de matemáticos anteriores, como Eudoxo, Hipócrates de Quíos, Tales y Teeteto, con teoremas adicionales a los que hacen referencia Platón y Aristóteles. Distinguir las contribuciones originales de Euclides de las de sus predecesores resulta desafiante, particularmente porque los Elementos suplantaron en gran medida y condujeron a la pérdida de gran parte de la erudición matemática griega anterior. El clasicista Markus Asper postula que "el logro de Euclides aparentemente radica en organizar el conocimiento matemático establecido en una estructura coherente e introducir pruebas novedosas para cerrar las brechas existentes", mientras que la historiadora Serafina Cuomo lo caracterizó como un "depósito de resultados". A pesar de estas observaciones, Sialaros sostiene además que "la estructura excepcionalmente rigurosa de los Elementos demuestra un dominio del autor que se extiende más allá del alcance de una mera función editorial".

Contrariamente a una idea errónea común, los Elementos no abordan únicamente principios geométricos. Convencionalmente, el trabajo se clasifica en tres áreas principales: geometría plana (libros 1 a 6), teoría fundamental de números (libros 7 a 10) y geometría sólida (libros 11 a 13), aunque el libro 5 (que se centra en las proporciones) y el libro 10 (que aborda las líneas irracionales) no se ajustan precisamente a esta división tripartita. La contribución intelectual central del texto reside en los teoremas difundidos a lo largo de sus volúmenes. Empleando la nomenclatura aristotélica, estos pueden clasificarse en términos generales en dos categorías distintas: "primeros principios" y "segundos principios". La categoría inicial abarca declaraciones designadas como una "definición" (griego antiguo: ὅρος o ὁρισμός), un "postulado" (αἴτημα), o una "noción común" (κοινὴ ἔννοια); En particular, sólo el primer libro contiene postulados (posteriormente denominados axiomas) y nociones comunes. La última categoría comprende proposiciones, que se presentan acompañadas de pruebas matemáticas y diagramas ilustrativos. Si bien sigue siendo incierto si Euclides concibió los Elementos como un libro de texto pedagógico, su presentación estructurada se presta inherentemente a tal propósito. En general, la perspectiva del autor mantiene un tono generalizado y objetivo.

Tabla de contenidos

El Libro 1 de los Elementos sirve como componente fundamental de todo el trabajo. Comienza con veinte definiciones que describen conceptos geométricos fundamentales, incluidas líneas, ángulos y varios polígonos regulares. Posteriormente, Euclides introduce diez supuestos, categorizados en cinco postulados (axiomas) y cinco nociones comunes. Estos supuestos establecen el marco lógico para todos los teoremas posteriores, funcionando como un sistema axiomático. Las nociones comunes se refieren únicamente a la comparación de magnitudes. Si bien los postulados del uno al cuatro son comparativamente directos, el quinto, conocido como postulado paralelo, tiene especial renombre. El libro 1 abarca además 48 proposiciones, ampliamente categorizadas en secciones que abordan teoremas y construcciones fundamentales en geometría plana y congruencia de triángulos (1–26); líneas paralelas (27–34); el área de triángulos y paralelogramos (35–45); y el teorema de Pitágoras (46-48). Las proposiciones finales presentan la prueba más antigua existente del teorema de Pitágoras, caracterizado por Sialaros como "notablemente delicado".

Convencionalmente se interpreta que el libro 2 aborda el "álgebra geométrica", una comprensión que ha enfrentado un importante debate académico desde la década de 1970, y los críticos consideran que la caracterización es anacrónica dado que los elementos fundacionales incluso del álgebra incipiente surgieron siglos después. Este segundo libro mantiene un alcance más concentrado, proporcionando principalmente teoremas algebraicos pertinentes a diversas figuras geométricas. Su contenido se centra en el área de rectángulos y cuadrados, culminando en un antecedente geométrico de la ley de los cosenos. El Libro 3 está dedicado a los círculos, mientras que el Libro 4 examina los polígonos regulares, con especial énfasis en el pentágono. El libro 5 es una de las secciones más cruciales de la obra, ya que presenta lo que comúnmente se conoce como la "teoría general de la proporción". El libro 6 aplica la "teoría de las proporciones" dentro del dominio de la geometría plana. Su estructura se basa casi por completo en su proposición inicial: "Los triángulos y paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases".

Comenzando con el Libro 7, el matemático Benno Artmann observa que "Euclides comienza de nuevo. No se utiliza nada de los libros anteriores". La teoría de números constituye el tema de los libros 7 a 10, y el libro 7 inicia este segmento proporcionando 22 definiciones de conceptos como paridad, números primos y otros términos relacionados con la aritmética. El libro 7 presenta el algoritmo euclidiano, un procedimiento para determinar el máximo común divisor de dos números enteros. El libro 8 examina las progresiones geométricas, mientras que el libro 9 contiene la proposición, ahora reconocida como teorema de Euclides, que afirma la infinidad de los números primos. Entre los volúmenes de los Elementos, el Libro 10 es claramente el más extenso e intrincado, y aborda los números irracionales dentro del marco de las magnitudes.

Los tres libros finales (11-13) están dedicados principalmente a la geometría sólida. El libro 11 establece el contexto para los dos volúmenes siguientes al presentar una lista de 37 definiciones. A pesar de su naturaleza fundamental, que es paralela al Libro 1, carece notablemente de un sistema axiomático o de postulados. El libro 11 está estructurado en tres secciones, que cubren geometría sólida (1 a 19), ángulos sólidos (20 a 23) y sólidos paralelepipédicos (24 a 37).

Obras adicionales

Más allá de los Elementos, un mínimo de otras cinco obras atribuidas a Euclides han persistido hasta la época contemporánea. Estos textos se adhieren al marco lógico idéntico que los Elementos, incorporando definiciones y proposiciones demostradas.

• El tratado Catoptrics aborda los principios matemáticos de los espejos, centrándose específicamente en las imágenes producidas por espejos cóncavos planos y esféricos; sin embargo, en ocasiones se cuestiona su autoría.
• Los Datos (griego antiguo: Δεδομένα) es un texto relativamente conciso que explora el carácter y las ramificaciones de la información "dada" dentro de la resolución de problemas geométricos.
• Sobre divisiones (griego antiguo: Περὶ Διαιρέσεων) existe únicamente en una traducción árabe parcial y aborda la división de figuras geométricas en dos o más segmentos iguales o en segmentos con proporciones específicas. Esta obra comprende treinta y seis proposiciones y guarda semejanza con las Cónicas de Apolonio.
• La Óptica (griego antiguo: Ὀπτικά) representa el tratado griego más antiguo que se conserva dedicado a la perspectiva. Abarca un discurso introductorio sobre la óptica geométrica y los principios fundamentales de la perspectiva.
• Los Phaenomena (griego antiguo: Φαινόμενα), un tratado griego existente sobre astronomía esférica, exhibe similitudes con Sobre la esfera en movimiento de Autolycus de Pitane, que estuvo activo alrededor del 310 a.C.

Tratados perdidos

Cuatro obras adicionales se atribuyen de forma fiable a Euclides, aunque ya no se conservan.

• Las Cónicas de Euclides (griego antiguo: Κωνικά) comprendían un examen en cuatro volúmenes de secciones cónicas, posteriormente reemplazadas por el tratado más extenso de Apolonio que lleva el mismo título. El conocimiento de la existencia de esta obra proviene principalmente de Pappus, quien afirmó que los cuatro libros iniciales de las Cónicas de Apolonio se derivaron sustancialmente de la obra anterior de Euclides. Sin embargo, el historiador Alexander Jones ha cuestionado esta afirmación debido a la limitada evidencia que la corrobora y a la ausencia de otros relatos que respalden la afirmación de Pappus.
• La Pseudaria (griego antiguo: Ψευδάρια; lit.'Falacias') fue, según lo documentado por Proclo. (70.1-18), un tratado sobre razonamiento geométrico diseñado para instruir a los principiantes sobre cómo eludir los errores lógicos predominantes. Más allá de su propósito general y algunos fragmentos supervivientes, los detalles específicos sobre su contenido siguen siendo en gran medida desconocidos.
• Basado en informes de Pappus y Proclo, los Porismos (griego antiguo: Πορίσματα; lit.'Corolarios') probablemente constituyeron un Obra en tres volúmenes que contiene aproximadamente 200 proposiciones. Dentro de este contexto específico, el término "porismo" no denota un corolario, sino más bien "un tercer tipo de proposición, un intermedio entre un teorema y un problema, cuyo objetivo es descubrir una característica de una entidad geométrica existente, por ejemplo, encontrar el centro de un círculo". El matemático Michel Chasles planteó la hipótesis de que estas proposiciones perdidas abarcaban material pertinente a las teorías contemporáneas de las transversales y la geometría proyectiva.
• El contenido específico de Surface Loci (griego antiguo: Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) se desconoce en gran medida, y el conocimiento existente se deriva principalmente de inferencias basadas en su título. Relatos posteriores han dado lugar a conjeturas que sugieren que la obra abordaba temas como conos y cilindros, entre otras entidades geométricas.

Legacy

Euclides es ampliamente considerado, junto con Arquímedes y Apolonio de Perga, como uno de los matemáticos más destacados del mundo antiguo. Numerosos estudiosos lo identifican como una figura profundamente influyente en el desarrollo histórico de las matemáticas. El marco geométrico establecido en sus Elementos ejerció una considerable influencia durante siglos; sin embargo, este sistema ahora se denomina comúnmente "geometría euclidiana" para diferenciarlo de las geometrías no euclidianas identificadas a principios del siglo XIX. Varias entidades llevan el nombre de Euclides, incluida la nave espacial Euclides de la Agencia Espacial Europea (ESA), el cráter lunar Euclides y el planeta menor 4354 Euclides.

Los Elementos se consideran con frecuencia como el libro más traducido, publicado y más estudiado de la historia occidental, solo superado por la Biblia. Junto con la Metafísica de Aristóteles, los Elementos se erigen como el texto griego antiguo potencialmente más impactante, sirviendo como el principal libro de texto de matemáticas en las esferas intelectuales árabes y latinas medievales.

La edición inaugural en inglés de los Elementos fue publicada en 1570 por Henry Billingsley y John Dee. En 1847, el matemático Oliver Byrne produjo una notable interpretación de los Elementos, titulada Los primeros seis libros de los elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos coloreados en lugar de letras para mayor facilidad de los estudiantes, que incorporaba diagramas coloreados para mejorar su eficacia instructiva. Posteriormente, David Hilbert desarrolló una formulación axiomática moderna de los Elementos. La poeta Edna St. Vincent Millay observó la famosa frase: "Sólo Euclides ha contemplado la belleza desnuda".

Referencias

Notas

Citas

Fuentes

Libros

Artículos

En línea

Funciona

Obras

• Obras de Euclides disponibles a través del Proyecto Gutenberg
• Obras de Euclides o pertenecientes a él accesibles a través de Internet Archive
• Obras de Euclid disponibles en LibriVox (audiolibros de dominio público)
• La Colección Euclides del University College London, que comprende aproximadamente 500 ediciones de las obras de Euclides, es accesible digitalmente a través de la Biblioteca Digital de la Fundación Stavros Niarchos.
• Escaneos de la edición de Euclides de Johan Heiberg.

Los Elementos

• Una copia en PDF, con el texto original en griego y una traducción al inglés en las páginas opuestas, proporcionada por la Universidad de Texas.
• Los trece libros, presentados en varios idiomas, incluidos español, catalán, inglés, alemán, portugués, árabe, italiano, ruso y chino.