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Leonhard Euler (OY -lər; 15 de abril de 1707 – 18 de septiembre de 1783) fue un erudito suizo que trabajó como matemático, físico, astrónomo, lógico,…

Leonhard Euler (OY-lər; 15 de abril de 1707 - 18 de septiembre de 1783) fue un erudito suizo cuya experiencia abarcaba matemáticas, física, astronomía, lógica, geografía, teoría musical e ingeniería. Fue pionero en los campos de la teoría de grafos y la topología, e hizo importantes contribuciones en muchas otras disciplinas matemáticas, incluida la teoría analítica de números, el análisis complejo y el cálculo infinitesimal. Además, Euler estableció una parte sustancial de la terminología y notación matemática contemporánea, en particular conceptualizando la función matemática. Su extenso trabajo también abarcó la mecánica, la dinámica de fluidos, la óptica, la astronomía y la teoría musical. Euler ha sido elogiado como un "genio universal", que posee "poderes de imaginación casi ilimitados, dotes intelectuales y una memoria extraordinaria". La mayor parte de su vida adulta la pasó en San Petersburgo, Rusia, y en Berlín, que era la capital de Prusia en ese momento.

Leonhard Euler (OY-lər; 15 de abril de 1707 -18 de septiembre de 1783) fue un erudito suizo que trabajó como matemático, físico, astrónomo, lógico, geógrafo, teórico de la música e ingeniero. Fundó los estudios de teoría de grafos y topología e hizo descubrimientos influyentes en muchas otras ramas de las matemáticas, como la teoría analítica de números, el análisis complejo y el cálculo infinitesimal. También introdujo gran parte de la terminología y notación matemática moderna, incluida la noción de función matemática. Es conocido por su trabajo en mecánica, dinámica de fluidos, óptica, astronomía y teoría musical. Euler ha sido llamado un "genio universal" que "estaba totalmente equipado con poderes de imaginación casi ilimitados, dotes intelectuales y una memoria extraordinaria". Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo, Rusia, y en Berlín, entonces capital de Prusia.

A Euler se le atribuye la popularización de la letra griega π {\displaystyle \pi } (pi minúscula) para indicar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. También fue pionero en el uso de la notación f ( x ) {\displaystyle f(x)} para valores de función, la letra yo {\displaystyle i} para la unidad imaginaria − §6667§ {\displaystyle {\sqrt {-1}}} , la letra griega Σ {\displaystyle \Sigma } (sigma mayúscula) para sumas y la letra griega Δ {\displaystyle \Delta } (delta de capital) para diferencias finitas. Además, estableció la convención de utilizar letras minúsculas para los lados de los triángulos y letras mayúsculas para los ángulos. También proporcionó la definición contemporánea de la constante e {\displaystyle e} , que sirve como base del logaritmo natural y ahora se conoce como número de Euler. Las contribuciones de Euler se extendieron a las matemáticas aplicadas y la ingeniería, en particular a través de sus investigaciones sobre los barcos, que ayudaban a la navegación; su obra en tres volúmenes sobre óptica, fundamental en el desarrollo de microscopios y telescopios; y sus investigaciones sobre flexión de vigas y cargas críticas de columnas.

Euler es reconocido como el creador de la teoría de grafos, un campo que desarrolló en parte para resolver el problema de los Siete Puentes de Königsberg, que también se considera como la aplicación práctica inaugural de la topología. Entre sus numerosos logros, ganó renombre por resolver varios problemas previamente intratables en teoría y análisis de números, en particular el célebre problema de Basilea. Además, a Euler se le atribuye el descubrimiento de que, para cualquier poliedro sin agujeros, la suma de sus vértices y caras, menos sus aristas, es consistentemente igual a 2; este valor ahora se reconoce ampliamente como la característica de Euler. Dentro de la física, Euler rearticulaba las leyes del movimiento de Isaac Newton en un nuevo conjunto de principios en su tratado de dos volúmenes, Mechanica, proporcionando así una explicación más completa de la dinámica de los cuerpos rígidos. También avanzó en el estudio de las deformaciones elásticas en objetos sólidos. Además, Euler formuló las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el movimiento de fluidos no viscosos y estableció los fundamentos matemáticos de la teoría potencial.

Euler es ampliamente considerado como posiblemente el contribuyente más prolífico en los anales de las matemáticas y la ciencia, y es reconocido como el matemático más destacado del siglo XVIII. Su extensa obra, que comprende 866 publicaciones y su vasta correspondencia, fue recopilada en la Opera Omnia Leonhard Euler. Póstumamente, varios matemáticos eminentes reconocieron su profunda importancia en la disciplina: Pierre-Simon Laplace declaró: "Lea a Euler, lea a Euler, él es el maestro de todos nosotros"; De manera similar, Carl Friedrich Gauss afirmó: "El estudio de las obras de Euler seguirá siendo la mejor escuela para los diferentes campos de las matemáticas, y nada más puede reemplazarla".

Vida temprana

Nacido en Basilea el 15 de abril de 1707, Leonhard Euler era hijo de Pablo III Euler, un pastor de la Iglesia Reformada, y Marguerite (de soltera Brucker), cuyo linaje incluía a varios destacados eruditos clásicos. Como mayor de cuatro hermanos, tenía dos hermanas menores, Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. Poco después del nacimiento de Euler, su familia se mudó de Basilea a Riehen, Suiza, donde su padre se convirtió en pastor de la iglesia local y Leonhard pasó la mayor parte de su infancia. La educación matemática temprana de Euler estuvo a cargo de su padre, quien anteriormente había estudiado con Jacob Bernoulli en la Universidad de Basilea. Aproximadamente a los ocho años, Euler se mudó a la residencia de su abuela materna y se matriculó en la escuela de latín de Basilea. Al mismo tiempo, recibió instrucción privada de Johannes Burckhardt, un joven teólogo con un profundo interés en las matemáticas.

En 1720, a la edad de trece años, Euler se matriculó en la Universidad de Basilea, una inscripción temprana no infrecuente en la época. Su curso de matemáticas elemental fue impartido por Johann Bernoulli, el hermano menor del fallecido Jacob Bernoulli, quien anteriormente había instruido al padre de Euler. Posteriormente, Johann Bernoulli y Euler se conocieron más estrechamente, y Euler relata más tarde en su autobiografía:

El célebre profesor Johann Bernoulli [...] encontró una satisfacción particular al guiar mi avance en las ciencias matemáticas. Sin embargo, rechazó las clases privadas alegando su apretada agenda. Sin embargo, me dio un consejo mucho más beneficioso: conseguir de forma independiente y trabajar con diligencia libros de matemáticas más desafiantes. Si encontraba alguna objeción o dificultad, me ofrecía acceso abierto todos los sábados por la tarde, comentando amablemente mis problemas recopilados. Este enfoque produjo tal ventaja deseada que, al resolver una objeción, otras diez se disiparon inmediatamente, lo que sin duda es el método óptimo para lograr un progreso exitoso en las ciencias matemáticas.

Con el apoyo de Bernoulli, Euler obtuvo la aprobación de su padre para seguir una carrera como matemático en lugar de ingresar al clero.

En 1723, Euler obtuvo una Maestría en Filosofía por una disertación que comparaba los principios filosóficos de René Descartes e Isaac Newton. Posteriormente, se matriculó en la facultad de teología de la Universidad de Basilea.

En 1726, Euler completó su disertación, titulada De Sono, que se centró en la propagación del sonido; sin embargo, su intento de conseguir un puesto en la Universidad de Basilea con este trabajo fracasó. El año siguiente, 1727, marcó su entrada inicial en el concurso de premios de la Academia de París, un evento anual (más tarde bienal) establecido en 1720. El desafío de ese año consistía en determinar la ubicación óptima de los mástiles de los barcos. Pierre Bouguer, posteriormente reconocido como "el padre de la arquitectura naval", obtuvo el primer premio, mientras que Euler consiguió el segundo. A lo largo de su carrera, Euler participó en esta competición quince veces, logrando la victoria en doce ocasiones.

Carrera

Primer período de San Petersburgo (1727–1741)

En 1725, los hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus, comenzaron su servicio en la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo, habiendo asegurado a Euler una recomendación para un puesto futuro. Trágicamente, el 31 de julio de 1726, Nicolás sucumbió a la apendicitis después de menos de un año en Rusia. Cuando Daniel asumió el papel de su hermano en la división de matemáticas y física, abogó por que su amigo Euler ocupara el puesto de fisiología que él había dejado vacante. Euler aceptó rápidamente la oferta en noviembre de 1726, aunque pospuso su viaje a San Petersburgo mientras buscaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea.

Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727. Posteriormente fue ascendido de un puesto junior en el departamento médico de la academia a un puesto dentro del departamento de matemáticas. Residiendo con Daniel Bernoulli, participó en un estrecho trabajo colaborativo. Euler rápidamente adquirió conocimientos de ruso, se asimiló a la vida en San Petersburgo y asumió un papel adicional como médico en la Armada rusa.

La Academia de San Petersburgo, fundada por Pedro el Grande, tenía como objetivo promover la educación rusa y cerrar la disparidad científica con Europa occidental. En consecuencia, ofreció un atractivo significativo para los académicos internacionales, incluido Euler. Sin embargo, Catalina I, patrocinadora de la academia y sucesora de la agenda progresista de su marido, falleció antes de la llegada de Euler a San Petersburgo. Posteriormente, la nobleza rusa conservadora ascendió al poder con Pedro II, de doce años. Esta nobleza, desconfiada de los científicos extranjeros de la academia, redujo el apoyo financiero a Euler y sus asociados, restringiendo simultáneamente el acceso al Gymnasium y a las universidades para estudiantes extranjeros y no aristocráticos.

Tras la muerte de Pedro II en 1730, las condiciones experimentaron una modesta mejora cuando Anna de Rusia, de influencia alemana, asumió el trono. Euler avanzó rápidamente dentro de la academia y consiguió una cátedra de física en 1731. También renunció a la Armada rusa y rechazó un ascenso a teniente. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, frustrado por la censura y el antagonismo encontrados en San Petersburgo, partió hacia Basilea. Posteriormente, Euler asumió la dirección del departamento de matemáticas. En enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell. Federico II intentó reclutar a Euler para su naciente Academia de Berlín en 1740, pero Euler inicialmente favoreció permanecer en San Petersburgo. Sin embargo, después de la muerte de la emperatriz Ana y el acuerdo de Federico II de igualar el salario ruso de Euler de 1600 ecus, Euler consintió en trasladarse a Berlín. En 1741, solicitó formalmente permiso para trasladarse a Berlín, citando la necesidad de un clima más templado para su deteriorada vista. La academia rusa accedió a su petición y acordó compensarle con 200 rublos anuales como miembro activo.

El período de Berlín (1741-1766)

Motivado por la actual inestabilidad política en Rusia, Euler partió de San Petersburgo en junio de 1741 para aceptar un puesto en la Academia de Berlín, una oferta que le hizo Federico el Grande de Prusia. Residió en Berlín durante 25 años, durante los cuales fue autor de cientos de artículos académicos. Su obra fundamental sobre funciones, titulada Introductio in analysin infinitorum, se publicó en 1748, seguida de un tratado sobre cálculo diferencial, Institutiones calculi diferencialis, en 1755. También en 1755, fue elegido miembro extranjero tanto de la Real Academia Sueca de Ciencias como de la Academia Francesa de Ciencias. Entre los distinguidos estudiantes de Euler en Berlín se encontraba Stepan Rumovsky, posteriormente reconocido como el primer astrónomo de Rusia. En 1748 rechazó una invitación de la Universidad de Basilea para suceder al recientemente fallecido Johann Bernoulli. En 1753, adquirió una residencia en Charlottenburg, donde vivió con su familia y su madre viuda.

Euler asumió el papel de tutor de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt, la princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Federico. A principios de la década de 1760, compuso más de 200 cartas para ella, que posteriormente recopiló en un volumen titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana. Esta publicación presentó las aclaraciones de Euler sobre diversos temas de física y matemáticas, proporcionando al mismo tiempo importantes conocimientos sobre su carácter y sus convicciones teológicas. La obra fue traducida a numerosos idiomas, difundida por Europa y Estados Unidos, y logró mayor número de lectores que cualquiera de sus tratados puramente matemáticos. El atractivo generalizado de las Cartas subraya la capacidad excepcional de Euler para transmitir conceptos científicos complejos a una audiencia general, un atributo poco común para un científico investigador comprometido.

A pesar de las contribuciones sustanciales de Euler a la reputación de la academia y su nominación para su presidencia por Jean le Rond d'Alembert, Federico II se autoproclamó para el cargo. El monarca prusiano, rodeado por un vasto círculo intelectual en su corte, percibía a Euler como poco sofisticado e inadecuadamente informado sobre temas más allá de los dominios numéricos y matemáticos. Euler era un individuo sencillo y profundamente religioso que defendía constantemente el orden social prevaleciente y las doctrinas convencionales. Su temperamento era, en muchos aspectos, antitético al de Voltaire, quien gozaba de un considerable prestigio dentro de la corte de Federico. Euler carecía de competencia en el debate y con frecuencia participaba en discusiones sobre temas sobre los que poseía un conocimiento limitado, lo que lo convertía en un tema recurrente de los comentarios satíricos de Voltaire. Frederick también expresó su insatisfacción con las competencias prácticas de ingeniería de Euler y comentó:

Según se informa, Federico el Grande expresó su deseo de tener un chorro de agua para el jardín, para lo cual Euler calculó la fuerza de la rueda necesaria para elevar el agua a un depósito. Desde este embalse, el agua debía descender a través de canales antes de finalmente brotar en Sanssouci. Sin embargo, el molino construido geométricamente resultó ineficaz y no logró transportar agua a cincuenta pasos del embalse. Este resultado provocó el lamento del rey: "¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de geometría!"

Sin embargo, desde un punto de vista técnico, la decepción probablemente fue infundada. Los cálculos de Euler parecen haber sido precisos, a pesar de las interacciones potencialmente problemáticas entre Euler, Federico y los constructores de la fuente.

Durante su mandato en Berlín, Euler mantuvo una sólida afiliación con la Academia de San Petersburgo, publicando 109 artículos en Rusia. Además, brindó asistencia a estudiantes de la Academia de San Petersburgo y ocasionalmente recibió a académicos rusos en su residencia de Berlín. En 1760, en medio de la Guerra de los Siete Años, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por el avance de las fuerzas rusas. Después de este incidente, el general Ivan Petrovich Saltykov restituyó los daños a la propiedad de Euler, una suma que luego la emperatriz Isabel de Rusia aumentó con 4.000 rublos adicionales, lo que constituyó una cantidad sustancial para el período. En consecuencia, Euler decidió abandonar Berlín en 1766 y trasladarse a Rusia.

De 1741 a 1766, durante su período en Berlín, Euler alcanzó el cenit de su productividad académica. Fue autor de 380 obras, de las cuales 275 se publicaron posteriormente. Se trataba de 125 memorias para la Academia de Berlín y más de 100 memorias enviadas a la Academia de San Petersburgo, que mantenía su membresía y le proporcionaba un estipendio anual. La obra fundamental de Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, apareció en dos volúmenes en 1748. Más allá de sus esfuerzos personales de investigación, Euler supervisó la biblioteca, el observatorio, el jardín botánico y la producción de calendarios y mapas de la academia, que generaron ingresos para la institución. También participó en la planificación arquitectónica de las fuentes de agua de Sanssouci, la residencia de verano del monarca.

Segundo mandato de San Petersburgo (1766-1783)

Tras la ascensión al trono de Catalina la Grande, el clima político de Rusia se estabilizó, lo que llevó a Euler a aceptar una invitación para reincorporarse a la Academia de San Petersburgo en 1766. Las condiciones estipuladas eran notablemente exigentes, incluido un salario anual de 3.000 rublos, una pensión para su esposa y garantías de puestos destacados para sus hijos. En la universidad, recibió ayuda de su alumno, Anders Johan Lexell. En 1771, durante su residencia en San Petersburgo, un incendio consumió trágicamente su casa.

Vida personal

El 7 de enero de 1734, Euler se casó con Katharina Gsell, hija de Georg Gsell, un pintor afiliado a la Academia Gimnasio de San Petersburgo. Posteriormente, la pareja adquirió una residencia junto al río Neva. En 1776, tres años después del fallecimiento de su esposa, Euler se casó con su media hermana, Salomé Abigail Gsell. Esta unión persistió hasta su muerte en 1783. De sus trece hijos, cinco (tres hijos y dos hijas) sobrevivieron hasta la edad adulta. Su hijo mayor, Johann Albrecht Euler, tuvo como padrino a Christian Goldbach. El hermano de Euler, Johann Heinrich, se estableció en San Petersburgo en 1735 y consiguió empleo como pintor en la academia.

En su juventud, Euler memorizó la Eneida de Virgilio y, en sus últimos años, era capaz de recitar el poema épico e identificar las frases iniciales y finales en cada página de la edición que había estudiado. Poseía conocimiento de los cien números primos iniciales y podía articular cada una de sus potencias hasta el sexto grado. Euler se caracterizó por ser un individuo benévolo y amable, desprovisto de las tendencias neuróticas que a veces se observan en intelectos prodigiosos, manteniendo su temperamento agradable incluso después de experimentar una ceguera total.

Progresión de la discapacidad visual

La visión de Euler se fue deteriorando progresivamente a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de una fiebre casi mortal, se había quedado casi completamente ciego del ojo derecho. Euler atribuyó este deterioro al trabajo cartográfico que realizó para la Academia de San Petersburgo, aunque la etiología precisa de su ceguera sigue siendo tema de conjeturas académicas. Su visión en ese ojo continuó empeorando durante su estancia en Alemania, lo que llevó a Federico II a referirse a él como "cíclope". Según los informes, Euler comentó sobre su discapacidad visual y afirmó: "Ahora tendré menos distracciones". En 1766 se le identificó una catarata en el ojo izquierdo. Aunque un procedimiento de sofá mejoró temporalmente su vista, las complicaciones posteriores también provocaron una ceguera casi total en ese ojo. Sorprendentemente, esta profunda discapacidad visual tuvo un impacto mínimo perceptible en su productividad académica. Con la ayuda de escribas, la producción de Euler en numerosos campos de estudio de hecho se intensificó; en 1775, según se informa, generaba un promedio de un artículo matemático por semana.

Muerte

Leonhard Euler falleció en San Petersburgo el 18 de septiembre de 1783. Después de un almuerzo familiar, estaba enfrascado en una discusión con Anders Johan Lexell sobre el recientemente descubierto planeta Urano y su mecánica orbital cuando de repente colapsó debido a una hemorragia cerebral. Jacob von Staehlin compuso un obituario conciso para la Academia de Ciencias de Rusia, mientras que Nicolas Fuss, matemático ruso y uno de los discípulos de Euler, presentó un elogio más completo en una reunión conmemorativa. Además, el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet escribió un panegírico para la Academia Francesa, afirmando:

...dejó de calcular y de vivir.

...dejó de calcular y de vivir.

Euler fue enterrado inicialmente junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk en la isla Vasilievsky. En 1837, la Academia Rusa de Ciencias erigió un nuevo monumento, reemplazando su lápida previamente cubierta de maleza. Posteriormente, en 1957, para conmemorar el 250 aniversario de su nacimiento, sus restos fueron trasladados al cementerio Lazarevskoe dentro del Monasterio Alexander Nevsky.

Contribuciones a la ciencia

Los esfuerzos intelectuales de Euler abarcaron casi todos los dominios de las matemáticas, abarcando la geometría, el cálculo infinitesimal, la trigonometría, el álgebra y la teoría de números, además de la física del continuo, la teoría lunar y varias otras ramas de la física. Es una figura fundamental en los anales de las matemáticas; Se estima que sus obras completas, muchas de las cuales poseen un significado fundamental, llenarían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto si se publican. De 1725 a 1783, la producción académica de Euler promedió 800 páginas al año. Además, fue autor de más de 4.500 cartas y cientos de manuscritos. Las estimaciones sugieren que Leonhard Euler fue responsable de aproximadamente una cuarta parte de la producción académica total en matemáticas, física, mecánica, astronomía y navegación durante el siglo XVIII, y algunos investigadores le atribuyen hasta un tercio de la producción matemática únicamente durante ese período.

Notación matemática

A través de sus extensos y ampliamente difundidos libros de texto, Euler jugó un papel decisivo en la introducción y popularización de numerosas convenciones de notación. Una contribución particularmente significativa fue su formalización del concepto de función y su uso pionero de la notación f(x) para representar la función f aplicada al argumento x. Además, estableció la notación contemporánea para funciones trigonométricas, designó la letra e para la base del logaritmo natural (ahora frecuentemente denominado número de Euler), empleó la letra griega Σ para las sumas e introdujo la letra i para indicar la unidad imaginaria. Si bien la letra griega π para la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo fue propuesta inicialmente por el matemático galés William Jones, su adopción generalizada se atribuye en gran medida a la influencia de Euler.

Análisis

El avance del cálculo infinitesimal constituyó un foco principal de la investigación matemática del siglo XVIII. La familia Bernoulli, que conocía estrechamente a Euler, contribuyó significativamente al progreso inicial en este ámbito. Posteriormente, su influencia dirigió los principales esfuerzos de investigación de Euler hacia el estudio del cálculo. Aunque algunas de las demostraciones de Euler no se alinean con los estándares contemporáneos de rigor matemático, particularmente debido a su dependencia del principio de generalidad del álgebra, sus contribuciones conceptuales facilitaron numerosos avances significativos.Dentro del campo del análisis, Euler es particularmente reconocido por su extensa aplicación y desarrollo de series de potencias, que representan funciones como sumas infinitas de términos, ejemplificadas por: e x = ∑ n = §2526§ ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( §7475§ §7778§ ! + x §9192§ ! + x §106107§ §111112§ ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}

La aplicación de series de potencias por parte de Euler facilitó la resolución del problema de Basilea en 1735, una tarea que implicaba la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números naturales. Posteriormente se presentó una demostración más completa de esta solución en 1741. Formulado inicialmente por Pietro Mengoli en 1644, el problema de Basilea se había convertido en un destacado desafío matemático sin resolver en la década de 1730, ganando un amplio reconocimiento gracias a los esfuerzos de Jacob Bernoulli y resistiéndose a las soluciones de muchos matemáticos destacados de esa época. Los hallazgos de Euler establecieron que:

∑ n = §1516§ ∞ §2627§ n §3233§ = lim n → ∞ ( §6061§ §6364§ §6667§ + §7677§ §7980§ §8283§ + §9293§ §9596§ §9899§ + ⋯ + §113114§ n §119120§ ) = π §138139§ §142143§ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Euler introdujo la constante, definida como: γ = lim n → ∞ ( §2930§ + §3536§ §3738§ + §4546§ §4748§ + §5556§ §5758§ + ⋯ + §7071§ n − ln ⁡ ( n ) ) ≈ 0.5772 , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,} Esta constante, ahora designada como constante de Euler o la La constante de Euler-Mascheroni fue posteriormente investigada por sus conexiones con la serie armónica, la función gamma y valores específicos de la función zeta de Riemann.

Euler fue pionero en la integración de funciones exponenciales y logaritmos en pruebas analíticas. Desarrolló métodos para representar diversas funciones logarítmicas a través de series de potencias y amplió con éxito la definición de logaritmos para abarcar números negativos y complejos, ampliando así significativamente su aplicabilidad matemática. Además, definió la función exponencial para números complejos e identificó su relación con funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, expresado en radianes, la fórmula de Euler articula la función exponencial compleja como: e yo φ = porque ⁡ φ + yo pecado ⁡ φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }

Richard Feynman caracterizó esta ecuación como "la fórmula más notable de las matemáticas".

Un ejemplo específico de la fórmula antes mencionada se reconoce como la identidad de Euler: e yo π + §1920§ = §2324§ {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Euler avanzó en la teoría de funciones trascendentales superiores mediante la introducción de la función gamma e ideó un enfoque novedoso para resolver ecuaciones de cuarto grado. Su trabajo sobre el cálculo de integrales con límites complejos anticipó el surgimiento del análisis complejo contemporáneo. Además, creó el cálculo de variaciones y estableció la ecuación de Euler-Lagrange, que transforma los problemas de optimización dentro de este dominio en soluciones de ecuaciones diferenciales.

Euler jugó un papel decisivo en la aplicación de métodos analíticos para abordar problemas de teoría de números. Este esfuerzo fusionó efectivamente dos disciplinas matemáticas distintas e inauguró un nuevo campo: la teoría analítica de números. Sus contribuciones fundamentales a esta área incluyen el desarrollo de series hipergeométricas, series q, funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos aprovechando la divergencia de la serie armónica y empleó técnicas analíticas para dilucidar aspectos de la distribución de los números primos. La investigación de Euler en este ámbito finalmente allanó el camino para el teorema de los números primos.

Teoría de los números

El compromiso de Euler con la teoría de números se originó a partir de la influencia de Christian Goldbach, un colega de la Academia de San Petersburgo. Una parte importante de la investigación inicial de la teoría de números de Euler se basó en los cimientos establecidos por Pierre de Fermat. Euler amplió varios de los conceptos de Fermat y refutó ciertas conjeturas, en particular la afirmación de que todos los números se expresan en la forma §78§ §1112§ n + §2223§ {\textstyle 2^{2^{n}}+1} (conocidos como números de Fermat) son primos.

Euler estableció una conexión entre la distribución de los números primos y los conceptos analíticos. Demostró la divergencia de la suma de los recíprocos de números primos. A través de este trabajo, identificó la relación entre la función zeta de Riemann y los números primos, un descubrimiento ahora reconocido como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler desarrolló la función totient, denotada φ(n), que cuantifica el recuento de enteros positivos menores o iguales a un entero n dado que son coprimos de n. Aprovechando las características de esta función, amplió el pequeño teorema de Fermat, dando como resultado lo que ahora se reconoce como el teorema de Euler. Sus contribuciones a la teoría de los números perfectos, tema de interés matemático desde Euclides, fueron sustanciales. Estableció una correspondencia uno a uno entre números pares perfectos y primos de Mersenne, una relación que había demostrado anteriormente y que ahora se denomina teorema de Euclides-Euler. Además, Euler propuso la ley de la reciprocidad cuadrática, un concepto considerado fundamental en la teoría de números, y sus ideas influyeron significativamente en el trabajo posterior de Carl Friedrich Gauss, especialmente en Disquisitiones Arithmeticae. En 1772, Euler había confirmado que 231 − 1 = 2.147.483.647 constituía un primo de Mersenne, potencialmente siendo el número primo más grande conocido hasta 1867.

Euler además hizo avances significativos en la teoría relativa a las particiones de un número entero.

Teoría de grafos

En 1735, Euler proporcionó una resolución al famoso problema de los Siete Puentes de Königsberg. Este problema se originó en la ciudad de Königsberg, Prusia, situada en el río Pregel, donde dos islas importantes estaban unidas entre sí y con el continente por siete puentes. El desafío era determinar si existía una ruta que atravesara cada puente exactamente una vez. Euler demostró la imposibilidad de tal camino, concluyendo que no existía ningún camino euleriano. Esta solución particular es ampliamente considerada como el teorema inaugural de la teoría de grafos.

Euler también formuló la ecuación V − E + F = §1920§ {\displaystyle V-E+F=2} , que establece una relación entre el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo y, en consecuencia, de un gráfico plano. La constante dentro de esta fórmula se identifica actualmente como la característica de Euler para el gráfico u otra entidad matemática, y se correlaciona con el género del objeto. La investigación y la aplicación más amplia de esta fórmula, particularmente por Cauchy y L'Huilier, representan un aspecto fundamental de la topología.

Física, Astronomía e Ingeniería

Una parte importante de los logros de Euler implicó la resolución analítica de problemas prácticos y la elucidación de diversas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los números de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Sintetizó eficazmente el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton, creando así metodologías que facilitaron la aplicación del cálculo a los fenómenos físicos. Avanzó sustancialmente en la aproximación numérica de integrales, técnicas pioneras ahora reconocidas como aproximaciones de Euler, siendo particularmente prominentes el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin.

Euler jugó un papel fundamental en la formulación de la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli, que posteriormente se convirtió en un principio fundamental en ingeniería. Más allá de su exitosa aplicación de métodos analíticos a la mecánica clásica, Euler extendió estas técnicas a los desafíos astronómicos. Sus contribuciones a la astronomía le valieron numerosos premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Los logros notables incluyen la determinación altamente precisa de las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, el conocimiento de las características fundamentales de los cometas y el cálculo del paralaje del Sol. Su trabajo computacional fue fundamental para establecer tablas de longitud precisas.

Euler avanzó significativamente en el campo de la óptica. Desafió la teoría corpuscular de la luz de Newton, que era la visión científica predominante de esa época. Sus tratados de óptica de la década de 1740 fueron fundamentales para establecer la teoría ondulatoria de la luz de Christiaan Huygens como paradigma predominante, una posición que mantuvo hasta el surgimiento de la teoría cuántica de la luz.

Dentro del dominio de la dinámica de fluidos, Euler fue el primero en pronosticar el fenómeno de la cavitación en 1754, antes de su observación inicial a finales del siglo XIX. El número de Euler, empleado en cálculos de flujo de fluidos, tiene su origen en su investigación asociada sobre la eficiencia de las turbinas. En 1757, publicó un conjunto crucial de ecuaciones para el flujo no viscoso en dinámica de fluidos, que actualmente se conocen como ecuaciones de Euler.

En ingeniería estructural, Euler es reconocido por su fórmula que define la carga crítica de Euler, que representa la carga de pandeo crítica para un puntal ideal, determinada únicamente por su longitud y rigidez a la flexión.

Lógica

A Euler se le atribuye el empleo de curvas cerradas para delinear el razonamiento silogístico en 1768, diagramas que posteriormente han sido designados como diagramas de Euler.

Un diagrama de Euler constituye una metodología esquemática para representar conjuntos y sus interrelaciones. Estos diagramas se componen de curvas cerradas simples, típicamente círculos, situadas en un plano para representar conjuntos. Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas" distintas: una zona interior, que denota simbólicamente los elementos que pertenecen al conjunto, y una zona exterior, que representa todos los elementos que no son miembros de ese conjunto. Las dimensiones o configuraciones de estas curvas son intrascendentes; El significado del diagrama reside en la forma en que se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (específicamente, superposición, contención o exclusión mutua) corresponden directamente a relaciones fundamentales de la teoría de conjuntos, como intersección, subconjunto y desunión. Las curvas cuyas zonas interiores no se cruzan significan conjuntos disjuntos. Por el contrario, dos curvas con zonas interiores que se cruzan indican conjuntos que poseen elementos comunes, y la zona compartida representa la intersección de estos conjuntos. Una curva completamente encerrada dentro de la zona interior de otra curva significa que es un subconjunto del conjunto contenedor.

Los diagramas de Euler, junto con su posterior refinamiento en diagramas de Venn, se integraron en los planes de estudio pedagógicos para la teoría de conjuntos como parte del movimiento de las "nuevas matemáticas" durante la década de 1960. Desde ese período, han logrado una adopción generalizada como una herramienta valiosa para visualizar combinaciones de características.

Demografía

En su tratado de 1760, Una investigación general sobre la mortalidad y multiplicación de la especie humana, Euler postuló un modelo que demostraba cómo una población caracterizada por tasas constantes de fertilidad y mortalidad podía exhibir una progresión geométrica mediante la aplicación de una ecuación en diferencias. Dentro de este marco de crecimiento geométrico, Euler también aclaró las interrelaciones entre varios índices demográficos, ilustrando su utilidad potencial para generar estimaciones cuando los datos de observación estaban incompletos. Aproximadamente 150 años después, Alfred J. Lotka, en tres artículos distintos (1907, 1911 con F.R. Sharpe y 1922), adoptó una metodología comparable a la de Euler, que culminó con el desarrollo de su modelo de población estable. Estas contribuciones marcaron colectivamente la génesis del modelado demográfico formal en el siglo XX.

Música

Entre los intereses más divergentes de Euler estaba la aplicación de principios matemáticos a la música. En 1739, escribió el Tentamen novae theoriae musicae (Intento de una nueva teoría de la música), con la aspiración de integrar en última instancia la teoría musical en el ámbito más amplio de las matemáticas. Esta faceta particular de su extenso trabajo, sin embargo, obtuvo un reconocimiento académico limitado, ya que se caracterizó como excesivamente matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. Incluso al abordar conceptos musicales, el enfoque de Euler siguió siendo predominantemente matemático, ejemplificado por su introducción de logaritmos binarios como método para delinear numéricamente la subdivisión de octavas en componentes fraccionarios. Si bien sus escritos sobre música no son particularmente voluminosos (comprenden unos pocos cientos de páginas de una producción total de aproximadamente treinta mil páginas), reflejan una preocupación temprana que persistió durante toda su vida.

Un principio fundamental de la teoría musical de Euler implica la definición de "géneros", que representan posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler delinea 18 de estos géneros, caracterizados por la fórmula general 2mA. Aquí, A denota el "exponente" del género, calculado como la suma de los exponentes de 3 y 5, mientras que 2m (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles") significa que la relación se mantiene independientemente del número de octavas involucradas. El género inicial, con La = 1, corresponde a la propia octava o a sus duplicados. El segundo género, 2m.3, representa la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C – G – C). El tercer género es 2m.5, y abarca una tercera mayor + sexta menor (C – E – C). El cuarto es 2m.3§1011§, y comprende dos cuartos y un tono (C–F–B♭–C). El quinto es 2m.3.5 (C–E–G–B–C), y así sucesivamente. Los géneros 12 (2m.3§2021§.5), 13 (2m.3§2425§.5§2627§) y 14 (2m.3.5§3031§) se presentan como versiones corregidas de los antiguos estilos diatónico, cromático, y sistemas enarmónicos, respectivamente. El género 18 (2m.3§3435§.5§3637§) se identifica como el "diatónico-cromático", se describe como "usado generalmente en todas las composiciones" y resulta idéntico al sistema articulado por Johann Mattheson. Posteriormente, Euler contempló la posibilidad de describir géneros que incorporen el número primo 7.

Euler desarrolló un gráfico distinto, el Speculum musicum, para ejemplificar el género diatónico-cromático. Dentro de este gráfico, analizó trayectorias correspondientes a intervalos particulares, lo que refleja su compromiso anterior con el problema de los Siete Puentes de Königsberg. Esta representación gráfica atrajo más tarde una atención renovada como el Tonnetz dentro de la teoría neoriemanniana.

Euler además empleó el principio del "exponente" para proponer un método para derivar el gradus suavitatis (grado de suavidad o amabilidad) de intervalos y acordes musicales en función de sus factores primos. Es crucial señalar que su análisis consideró exclusivamente la entonación justa, específicamente involucrando a los números primos 1, 3 y 5. Se han desarrollado fórmulas posteriores para extender este sistema para incorporar cualquier número de factores primos, ejemplificado por la siguiente forma:   d s = ∑ yo ( k yo ⋅ p yo − k yo ) + §6566§   , {\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,} donde pi representa números primos y ki denota sus respectivos exponentes.

Filosofía personal y convicciones religiosas

Euler mantuvo convicciones religiosas durante toda su vida. Una parte sustancial de sus perspectivas religiosas se puede inferir de sus Cartas a una princesa alemana y de un tratado anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores). Estos textos revelan a Euler como un cristiano devoto que afirmaba la inspiración divina de la Biblia; la Rettung sirvió específicamente como defensa principal del origen divino de las Escrituras.

Euler expresó su oposición tanto al monadismo de Leibniz como a los principios filosóficos de Christian Wolff. Afirmó que el conocimiento se basa fundamentalmente, en parte, en leyes cuantitativas precisas, una base que ni el monadismo ni la ciencia wolffiana podrían proporcionar adecuadamente. En consecuencia, Euler caracterizó los conceptos de Wolff como "paganos y ateos".

Una leyenda muy conocida, originada en los debates de Euler con filósofos seculares sobre religión, se sitúa durante su segundo mandato en la Academia de San Petersburgo. Durante este período, el filósofo francés Denis Diderot estaba de visita en Rusia por invitación de Catalina la Grande. La emperatriz empezó a preocuparse de que los argumentos ateos de Diderot estuvieran influyendo en los miembros de su corte, lo que la llevó a pedirle a Euler que lo desafiara. Posteriormente, Diderot fue informado de que un eminente matemático había formulado una prueba de la existencia de Dios y consintió en examinarla durante una presentación ante el tribunal. Euler entonces se acercó a Diderot y, con absoluta convicción, declaró el siguiente non sequitur:

"Señor, un + b n n = x {\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x} ; por lo tanto, Dios existe: ¡responda!"

Según la narración, Diderot, quien supuestamente consideraba incomprensibles todas las matemáticas, permaneció sin palabras mientras el tribunal estalló en carcajadas. Mortificado, pidió permiso para salir de Rusia, que Catalina le concedió posteriormente. A pesar de su carácter entretenido, esta anécdota se considera apócrifa, sobre todo porque el propio Diderot realizó investigaciones matemáticas. Según se informa, la leyenda fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault, y Augustus De Morgan añadió adornos posteriores.

Legacy

Reconocimiento

Euler es ampliamente reconocido como uno de los matemáticos más importantes de la historia y posiblemente el contribuyente más prolífico en los campos de las matemáticas y la ciencia. John von Neumann, un destacado matemático y físico, caracterizó a Euler como "el mayor virtuoso de la época". François Arago, otro matemático, comentó que "Euler calculó sin ningún esfuerzo aparente, tal como los hombres respiran y como las águilas se sostienen en el aire". Por lo general, se le ubica justo debajo de Carl Friedrich Gauss, Isaac Newton y Arquímedes entre los matemáticos más destacados de todos los tiempos, aunque algunos estudiosos lo consideran su igual. Henri Poincaré, físico y matemático, se refirió a Euler como el "dios de las matemáticas".

El matemático francés André Weil observó que Euler superó a sus contemporáneos, estableciéndose como la figura matemática preeminente de su época:

Ningún matemático alcanzó jamás tal posición de liderazgo indiscutible en todas las ramas de las matemáticas, puras y aplicadas, como lo hizo Euler durante la mejor parte del siglo XVIII.

El matemático suizo Nicolas Fuss destacó la memoria excepcional y el amplio conocimiento de Euler, afirmando:

El conocimiento que llamamos erudición no era perjudicial para él. Había leído a los mejores escritores romanos, conocía perfectamente la historia antigua de las matemáticas, conservaba en su memoria los acontecimientos históricos de todos los tiempos y pueblos y podía, sin dudarlo, citar a modo de ejemplo los acontecimientos históricos más insignificantes. Sabía más sobre medicina, botánica y química de lo que se podría esperar de alguien que no había trabajado especialmente en esas ciencias.

Conmemoraciones

La imagen de Euler apareció tanto en la sexta como en la séptima serie del billete de 10 francos suizos, así como en varios sellos postales emitidos por Suiza, Alemania y Rusia. En 1782, fue nombrado miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias. Posteriormente, el asteroide 2002 Euler recibió su nombre en su honor.

Bibliografía seleccionada

La extensa bibliografía de Euler incluye las siguientes obras:

La mayoría de las obras póstumas de Euler no se publicaron individualmente hasta 1830. Posteriormente, Paul Heinrich von Fuss, bisnieto de Euler e hijo de Nicolas Fuss, descubrió una colección adicional de 61 obras inéditas, y la publicó en 1862. El matemático sueco Gustaf Eneström compiló un catálogo cronológico de la obra completa de Euler y se publicó entre 1910 y 1913. Este catálogo, denominado índice de Eneström, asigna números a las obras de Euler que van desde E1 hasta E866. El Archivo Euler se originó en Dartmouth College, luego se trasladó a la Asociación Matemática de América y, más recientemente, se transfirió a la Universidad del Pacífico en 2017.

En 1907, la Academia Suiza de Ciencias estableció la Comisión Euler, encargándole la publicación exhaustiva de las obras completas de Euler. Tras varios aplazamientos durante el siglo XIX, en 1911 se publicó el volumen inaugural de la Opera Omnia. Sin embargo, el continuo descubrimiento de manuscritos adicionales amplió constantemente el alcance de esta empresa. Sorprendentemente, la publicación de la Opera Omnia de Euler ha avanzado consistentemente, con más de 70 volúmenes, cada uno con un promedio de 426 páginas, publicados en 2006, y un total de 80 volúmenes publicados en 2022. Estos volúmenes se clasifican sistemáticamente en cuatro series distintas. La primera serie abarca trabajos sobre análisis, álgebra y teoría de números, comprende 29 volúmenes y supera las 14.000 páginas. La Serie II, que consta de 31 volúmenes y un total de 10.660 páginas, incluye contribuciones a la mecánica, la astronomía y la ingeniería. La Serie III consta de 12 volúmenes dedicados a la física. La Serie IV, que recopila la extensa correspondencia de Euler, manuscritos inéditos y varias notas, comenzó a compilarse recién en 1967. Después de la publicación de 8 volúmenes impresos dentro de la Serie IV, el proyecto decidió en 2022 publicar todos los próximos volúmenes proyectados de la Serie IV exclusivamente en formato en línea.

Referencias