Emmy Noether

آمالی امی نوتر (23 مارس 1882 - 14 آوریل 1935) یک ریاضیدان آلمانی بود که به دلیل مشارکت قابل توجه خود در جبر انتزاعی مشهور است. او همچنین قضایای اول و دوم نوتر را پایه گذاری کرد که در فیزیک ریاضی بنیادی هستند. ریاضیدانان برجسته از جمله پاول الکساندروف، آلبرت انیشتین، ژان دیودونه، هرمان ویل و نوربرت وینر، نوتر را محوری ترین شخصیت زن در تاریخ ریاضیات توصیف کردند. او به عنوان یک ریاضیدان برجسته عصر خود، نظریه هایی در مورد حلقه ها، میدان ها و جبرها تدوین کرد. در حوزه فیزیک، قضیه نوتر رابطه ذاتی بین تقارن و قوانین بقا را روشن می کند.

آمالی امی نوتر (زاده ۲۳ مارس ۱۸۸۲ – درگذشته ۱۴ آوریل ۱۹۳۵) یک ریاضی‌دان آلمانی بود که کمک‌های مهمی به جبر انتزاعی کرد. او همچنین قضایای اول و دوم نوتر را که در فیزیک ریاضی اساسی هستند، اثبات کرد. نوتر توسط پاول الکساندروف، آلبرت اینشتین، ژان دیودونه، هرمان ویل و نوربرت وینر به عنوان مهمترین زن در تاریخ ریاضیات توصیف شد. او به عنوان یکی از ریاضیدانان برجسته زمان خود، تئوری های حلقه ها، میدان ها و جبرها را توسعه داد. در فیزیک، قضیه نوتر ارتباط بین تقارن و قوانین حفاظت را توضیح می دهد. پدرش، مکس نوتر، نیز یک ریاضیدان بود. در ابتدا، او قصد داشت با گذراندن امتحانات لازم به تدریس زبان فرانسه و انگلیسی ادامه دهد. با این حال، او در نهایت تحصیل در رشته ریاضیات را در دانشگاه ارلانگن-نورنبرگ انتخاب کرد، جایی که پدرش سمت سخنرانی داشت. پس از اتمام دوره دکترای خود در سال 1907، تحت نظارت پل گوردان، او هفت سال بدون حقوق در موسسه ریاضی ارلانگن کار کرد. در این دوره عموماً زنان از برگزاری انتصابات علمی منع می شدند. در سال 1915، دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از او دعوت کردند تا به بخش ریاضیات دانشگاه گوتینگن بپیوندد، یک مرکز شناخته شده جهانی برای تحقیقات ریاضی. دانشکده فلسفه مخالفت هایی را مطرح کرد و باعث شد که او به مدت چهار سال به نام هیلبرت سخنرانی کند. مهارت او در سال 1919 تأیید شد، که او را قادر ساخت تا به رتبه Privatdozent دست یابد.

Noether تا سال 1933 نقش برجسته ای را در بخش ریاضیات گوتینگن حفظ کرد. شاگردان او گهگاه به عنوان "پسران نه" نامیده می شدند. در سال 1924، ریاضیدان هلندی B. L. van der Waerden بخشی از گروه دانشگاهی او شد و به سرعت به عنوان مفسر اصلی مفاهیم نوتر ظاهر شد. تحقیقات او مبنای جلد دوم کتاب درسی تأثیرگذار او در سال 1931، جبر مدرن بود. تخصص جبری او در زمان سخنرانی عمومی او در کنگره بین المللی ریاضیدانان در زوریخ در سال 1932 به رسمیت شناخته شد. در سال بعد، دولت نازی آلمان، دانشگاهیان یهودی را از پست های دانشگاه اخراج کرد، که نوتر را واداشت تا برای سمتی در کالج برین ماور در پنسیلوانیا به ایالات متحده نقل مکان کند. در برین ماور، او به دانشجویان دختر فارغ التحصیل و فوق دکترا، به ویژه ماری یوهانا وایس و اولگا تاوسکی تاد، آموزش داد. همزمان، او در مؤسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون، نیوجرسی به ایراد سخنرانی و تحقیق پرداخت.

مشارکت های ریاضی نوتر به سه "دوره" مجزا طبقه بندی می شوند. در طول دوره اول (1908-1919)، او تئوری های متغیرهای جبری و میدان های اعداد را پیش برد. تحقیقات او در مورد متغیرهای دیفرانسیل در حساب تغییرات، معروف به قضیه نوتر، به عنوان "یکی از مهم ترین قضایای ریاضی که تاکنون در جهت دهی به تکامل فیزیک مدرن ایجاد شده است" ستایش شده است. در دوره دوم (1920-1926)، او کاری را آغاز کرد که "چشم انداز جبر [انتزاعی] را تغییر داد." نوتر در مقاله مهم خود در سال 1921، Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains)، نوتر نظریه ایده آل ها را در حلقه های جابجایی پیش برد و آن را به ابزاری بسیار کاربردی تبدیل کرد. او به طرز ماهرانه‌ای از شرط زنجیره صعودی استفاده کرد و اشیاء ریاضی که این شرط را برآورده می‌کنند در ادای احترام به او به عنوان Noetherian تعیین می‌شوند. در طول دوره سوم (1927-1935)، او تحقیقاتی را در مورد جبرهای غیر جابجایی و اعداد ابرمجموعه منتشر کرد و نظریه بازنمایی گروه ها را با نظریه ماژول ها و ایده آل ها ادغام کرد. نوتر فراتر از انتشارات شخصی خود، سخاوتمندانه بینش های خود را به اشتراک گذاشت و به دلیل الهام بخشیدن به چندین جهت تحقیقاتی که توسط ریاضیدانان دیگر دنبال می شود، حتی در مناطق دور از تمرکز اصلی او، مانند توپولوژی جبری، شناخته شده است.

بیوگرافی

زندگی اولیه

آمالی امی نوتر در 23 مارس 1882 در ارلانگن، بایرن به دنیا آمد. او بزرگ‌ترین فرزند از چهار فرزند ریاضیدان ماکس نوتر و آیدا آمالیا کافمن بود که هر دو از خانواده‌های تجاری مرفه یهودی سرچشمه می‌گرفتند. اگرچه نام کوچک او "آمالی" بود، اما او از کودکی نام میانی خود را برگزید و به طور مداوم در طول زندگی بزرگسالی و در آثار منتشر شده خود از آن استفاده کرد.

نوتر در جوانی به درجه علمی دست نیافت، اما به خاطر عقل و خلق و خوی مهربانش شناخته شد. او در دوران کودکی خود نزدیک بینی و یک لجبازی جزئی را تجربه کرد. بعدها یکی از آشنایان خانواده حکایتی از دوران جوانی نوتر را بازگو کرد که هوش منطقی اولیه او را از طریق حل سریع یک معمای فکری در یک گردهمایی کودکان نشان داد. او آموزش مهارت های خانگی را دریافت کرد، تمرینی که برای دختران دوران او رایج بود، و در کلاس های پیانو شرکت کرد. در حالی که او هیچ یک از این فعالیت ها را با اشتیاق خاصی دنبال نکرد، علاقه شدیدی به رقص نشان داد.

Noether سه برادر کوچکتر داشت. بزرگترین آنها، آلفرد نوتر، متولد 1883، در سال 1909 دکترای شیمی را از ارلانگن گرفت اما نه سال بعد درگذشت. فریتز نوتر، متولد 1884، در مونیخ تحصیل کرد و در زمینه ریاضیات کاربردی مشارکت داشت. او احتمالاً در سال 1941 در طول جنگ جهانی دوم در اتحاد جماهیر شوروی اعدام شد. جوانترین آنها، گوستاو رابرت نوتر، متولد 1889، از بیماری مزمن رنج می برد و در سال 1928 درگذشت. جزئیات در مورد زندگی او کمیاب است.

آموزش

Noether استعداد اولیه خود را در هر دو زبان فرانسوی و انگلیسی نشان داد. در اوایل سال 1900، او برای امتحان معلمان زبان شرکت کرد و به یک ارزیابی کلی از sehr gut (بسیار خوب) دست یافت. اگرچه این اجرا او را واجد شرایط آموزش زبان در مدارس دخترانه کرد، اما در عوض تصمیم گرفت که تلاش‌های آکادمیک بیشتری را در دانشگاه ارلانگن-نورنبرگ، جایی که پدرش کرسی استادی داشت، دنبال کند.

این یک انتخاب غیرمتعارف بود. دو سال قبل، سنای دانشگاهی تاکید کرده بود که آموزش مختلط "کلیه نظم دانشگاهی را برانداز خواهد کرد." نوتر به‌عنوان یکی از تنها دو زن در بین 986 دانشجو، فقط اجازه داشت در دوره‌های ممیزی شرکت کند، و شرکت کامل را ممانعت می‌کرد و نیاز به کسب رضایت فردی از اساتیدی داشت که می‌خواست در سخنرانی‌هایشان شرکت کند. با وجود این موانع، او در 14 ژوئیه 1903 امتحان فارغ التحصیلی را در یک Realgymnasium در نورنبرگ با موفقیت گذراند.

در طول ترم زمستانی 1903-1904، او تحصیلات خود را در دانشگاه Göttingen انجام داد و در سخنرانی‌های Scholmaticians و استادان دانشگاه علوم پزشکی دانشگاه Göttingen شرکت کرد. هرمان مینکوفسکی، اتو بلومنتال، فلیکس کلاین و دیوید هیلبرت.

در سال 1903، محدودیت‌های تحصیلی کامل زنان در دانشگاه‌های باواریا برداشته شد. نوتر به ارلانگن بازگشت و در اکتبر 1904 مجدداً در دانشگاه ثبت نام کرد و تعهد انحصاری خود را به ریاضیات بیان کرد. او یکی از شش زن در گروه خود (شامل دو ممیز) و تنها زن در بخش دانشگاهی انتخابی خود بود. او تحت نظارت پل گوردان، پایان نامه دکترای خود را در سال 1907 با عنوان Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (درباره سیستم های کامل ثابت برای فرم های سه تایی دوگانه)، در سال 1907 به پایان رساند، و در همان سال به پایان رسید. گوردان، یکی از طرفداران مکتب «محاسباتی» تئوری تغییر ناپذیر، بر پایان نامه ای نظارت کرد که با شمارش بیش از 300 ثابت مشتق شده به صراحت به پایان رسید. متعاقباً این رویکرد به متغیرها جایگزین روش انتزاعی تر و تعمیم یافته تر هیلبرت شد. اگرچه نوتر در آن زمان مورد استقبال قرار گرفت، اما بعداً پایان نامه خود و انتشارات مرتبط بعدی خود را "چرند" توصیف کرد. تلاش‌های تحقیقاتی بعدی او کاملاً به یک حوزه مجزا منحرف شد.

دانشگاه ارلانگن–نورنبرگ

در حالی که در ارلانگن بود، نوتر به دو نامزد دکترا، هانس فالکنبرگ و فریتز سیدلمان، که با موفقیت از پایان‌نامه‌های خود در سال 1916 و 1911 با موفقیت دفاع کردند، راهنمایی کرد. با وجود مشارکت قابل توجه نوتر، هر دو دانش آموز به طور رسمی توسط پدرش نظارت می شدند. فالکنبرگ پس از اخذ مدرک دکترا، قبل از انتصاب به عنوان استاد در دانشگاه گیسن، در براونشوایگ و کونیگزبرگ سمت هایی داشت، در حالی که سیدلمان در مونیخ به مقام استادی رسید.

دانشگاه گوتینگن

هابیلیتیشن و توسعه قضیه نوتر

در اوایل سال 1915، دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین از نوتر برای پیوستن مجدد به دانشگاه گوتینگن دعوت کردند. تلاش آنها برای انتصاب او با مقاومت اولیه فیلسوفان و مورخان در دانشکده فلسفه مواجه شد که معتقد بودند زنان برای موقعیت privatdozenten مناسب نیستند. در جلسه دپارتمان که برای بررسی این موضوع تشکیل شده بود، یکی از اعضای هیئت علمی مخالفت خود را اعلام کرد و گفت: سربازان ما وقتی به دانشگاه برگردند و ببینند که موظفند در پای یک زن بیاموزند، چه فکری خواهند کرد؟ هیلبرت، با بیان اینکه صلاحیت‌های نوتر تنها عامل مرتبط است و جنسیت نامزد بی‌اهمیت است، شدیداً مخالفت کرد و مخالفان تطبیق او را توبیخ کرد. اگرچه سخنان دقیق او در دست نیست، اما بارها گزارش شده است که اعتراض او شامل این ادعا است که دانشگاه "حمام نبود". خاطرات پاول الکساندروف نشان می دهد که مخالفت اعضای هیئت علمی با نوتر نه تنها به دلیل تبعیض جنسیتی، بلکه به دلیل عدم تایید اعتقادات سیاسی سوسیال دمکراتیک و میراث یهودی او سرچشمه می گیرد.

Noether در اواخر آوریل به گوتینگن نقل مکان کرد. دو هفته بعد، مادرش به طور غیرمنتظره ای در ارلانگن درگذشت. در حالی که او قبلاً تحت درمان پزشکی برای یک بیماری چشمی قرار گرفته بود، ماهیت خاص و تأثیر آن بر مرگ او مشخص نشده است. همزمان، پدر نوتر بازنشسته شد و برادرش برای خدمت در جنگ جهانی اول در ارتش آلمان نام نویسی کرد. او متعاقباً برای یک دوره چند هفته ای به ارلانگن بازگشت، عمدتاً برای مراقبت از پدر پیرش.

در سال های اولیه آموزش در گوتینگن، او هیچ وقت ملاقات رسمی دریافت نکرد. سخنرانی‌های او اغلب تحت نام هیلبرت منتشر می‌شد، و نوتر «کمک» ارائه می‌کرد.

مدتی پس از ورودش به گوتینگن، او با فرمول‌بندی آنچه که اکنون به عنوان قضیه نوتر شناخته می‌شود، که ارتباطی اساسی بین قوانین حفاظت و تقارن‌های فیزیکی قابل تمایز برقرار می‌کند، مهارت فکری خود را نشان داد. مقاله اصلی او، با عنوان مشکل تغییرات تغییرناپذیر، توسط همکارش، فلیکس کلاین، در 26 ژوئیه 1918، طی جلسه ای از انجمن سلطنتی علوم در گوتینگن ارائه شد. نوتر احتمالاً به دلیل عدم عضویت در جامعه، کار را شخصاً ارائه نکرده است. فیزیکدانان آمریکایی، لئون ام. لدرمن و کریستوفر تی هیل، در نشریه خود تقارن و کیهان زیبا ادعا می کنند که قضیه نوتر به عنوان "مسلماً یکی از مهم ترین قضایای ریاضی است که تا به حال در هدایت توسعه فیزیک مدرن، احتمالاً با نظریات فرضی، اثبات شده است".

پایان جنگ جهانی اول و متعاقب آن انقلاب آلمان 1918-1919 تغییرات اساسی را در هنجارهای اجتماعی ایجاد کرد که شامل گسترش حقوق زنان می شود. در نتیجه، در سال 1919، دانشگاه گوتینگن به نوتر اجازه داد تا توانایی خود را که پیش نیازی برای تصدی وی بود، دنبال کند. امتحان شفاهی او در اواخر ماه مه انجام شد و به دنبال آن سخنرانی توانایی او در ژوئن 1919 با موفقیت ارائه شد. نوتر متعاقباً به وضعیت privatdozent دست یافت و در طول ترم پاییز بعدی، سخنرانی های افتتاحیه را که رسماً به او نسبت داده شده بود ارائه کرد. علی‌رغم این پیشرفت‌ها، او همچنان هیچ غرامتی برای کمک‌های تحصیلی‌اش دریافت نمی‌کند.

سه سال پس از آن، اتو بوئلیتز، وزیر علوم، هنر و آموزش عمومی پروس، رسماً عنوان nicht beamteter ausserordentlicher Professor را به او اعطا کرد که به معنای یک استاد بی سرپرست با مسئولیت های اداری داخلی محدود است. این نامگذاری نشان‌دهنده یک استادی «فوق‌العاده» بدون دستمزد، متمایز از استادی ارشد «معمولی» بود که یک انتصاب در خدمات کشوری را تشکیل می‌داد. با اذعان به اهمیت مشارکت های او، این نقش شامل دستمزد نمی شد. سخنرانی‌های نوتر تا زمان انتصاب او به نقش تخصصی Lehrbeauftragte für Algebra (مدرس جبر) در سال بعد بدون دستمزد باقی ماند.

مشارکت در جبر انتزاعی

قضیه نوتر عمیقاً بر مکانیک کلاسیک و کوانتومی تأثیر گذاشت. با این حال، در جامعه ریاضی، او در درجه اول به دلیل مشارکت اصلی خود در جبر انتزاعی شناخته شده است. ناتان جاکوبسون، در مقدمه‌ای بر مقالات جمع‌آوری شده نوتر، بیان کرد که:

توسعه جبر انتزاعی، یک نوآوری منحصر به فرد در ریاضیات قرن بیستم، عمدتاً به آثار و آثار شخصی او قابل انتساب است که در مقالات منتشر شده او قابل انتساب است. معاصران.

نوتر تحقیقات جبری خود را در سال 1920 آغاز کرد و به همراه شاگردش ورنر اشمیدلر مقاله ای را نوشت. این نشریه بر نظریه ایده‌آل‌ها تمرکز داشت، جایی که آنها تعاریفی را برای ایده‌آل‌های چپ و راست در ساختار حلقه ایجاد کردند.

سال بعد، او تئوری ایده‌آل را در Ringbereichen منتشر کرد، مقاله‌ای که شرایط زنجیره صعودی مربوط به ایده‌آل‌های ریاضی را تحلیل می‌کرد. در این کار، او اثبات جامعی از قضیه لاسکر-نوتر ارائه کرد. ایروینگ کاپلانسکی جبرشناس برجسته این مشارکت را "انقلابی" توصیف کرد. این انتشار همچنین منجر به ابداع اصطلاح Noetherian برای توصیف اشیاء ریاضی که شرط زنجیره صعودی را برآورده می‌کنند، شد.

در سال 1924، بارتل لندرت ون در واردن، ریاضیدان جوان هلندی، تحصیلات خود را در دانشگاه گوتینگن آغاز کرد. او به سرعت با نوتر همکاری کرد که روش‌های ضروری برای مفهوم‌سازی انتزاعی به او ارائه کرد. ون در واردن متعاقباً خاطرنشان کرد که اصالت او "بیشتر از مقایسه" است. پس از بازگشت به آمستردام، او جبر مدرن را نوشت که یک رساله پایه دو جلدی در این زمینه است. جلد دوم، که در سال 1931 منتشر شد، به طور گسترده ای از تحقیقات نوتر استخراج شد. اگرچه نوتر به طور فعال به رسمیت شناخته نشد، ون در وائردن مشارکت او را در یادداشتی در ویرایش هفتم تصدیق کرد و بیان کرد که کار "تا حدی بر اساس سخنرانی های ای. آرتین و ای. نوتر" است. از سال 1927 به بعد، نوتر با امیل آرتین، ریچارد برائر، و هلموت هاسه در مورد جبرهای غیر جابجایی همکاری نزدیک داشت.

حضور ون در وایردن در گوتینگن با هجوم ریاضیدانان در سطح جهانی همزمان شد، زیرا دانشگاه در زمینه فیزیکی و به یک مرکز آموزشی تبدیل شده بود. ریاضیدانان روسی پاول الکساندروف و پاول اوریسون از جمله بازدیدکنندگان اولیه بین المللی در سال 1923 بودند. الکساندروف از سال 1926 تا 1930 به طور منظم در دانشگاه سخنرانی می کرد و دوستی نزدیک با نوتر را تقویت می کرد. او با محبت از او به عنوان der Noether یاد می کرد و der را به عنوان یک مورد افتخارآمیز به جای استفاده از مقاله مردانه مرسوم آلمانی آن به کار می برد. نوتر تلاش کرد تا انتصاب خود را به عنوان استاد عادی در گوتینگن تسهیل کند، اما در نهایت فقط به او کمک کرد تا بورسیه تحصیلی بنیاد راکفلر را برای سال تحصیلی 1927-1928 در دانشگاه پرینستون به دست آورد.

دانشجویان دکترا

در گوتینگن، نوتر بر مطالعات دکتری بیش از دوازده دانشجو نظارت داشت. با این حال، به دلیل محدودیت‌های سازمانی که او را از نظارت مستقل پایان‌نامه‌ها باز می‌دارد، اکثر آنها با ادموند لاندو و سایر اعضای هیئت علمی تحت نظارت مشترک بودند. اولین دانشجوی دکترای او گرت هرمان بود که با موفقیت از پایان نامه خود در فوریه 1925 دفاع کرد. در حالی که هرمان اساساً به دلیل مشارکتش در مبانی مکانیک کوانتومی شناخته می شود، پایان نامه او خود به عنوان یک پیشرفت قابل توجه در نظریه ایده آل تلقی می شد. هرمان متعاقباً از نوتر با احترام به عنوان "مادر پایان نامه" خود یاد کرد.

همزمان، هاینریش گرل و رودولف هولزر پایان نامه های خود را تحت راهنمایی نوتر تکمیل کردند. به طرز غم انگیزی، هولزر اندکی قبل از دفاع برنامه ریزی شده خود به بیماری سل تسلیم شد. گرل در سال 1926 با موفقیت از پایان نامه خود دفاع کرد و متعاقباً در دانشگاه ینا و دانشگاه هال سمتی داشت. در سال 1935، او مجوز تدریس خود را به دلیل اتهامات مربوط به همجنس گرایی از دست داد، اما بعداً دوباره به کار خود بازگردانده شد و در نهایت در سال 1948 به عنوان استاد دانشگاه هومبولت مشغول به کار شد.

امی نوتر متعاقباً به ورنر وبر و یاکوب لویتزکی، که هر دو با موفقیت از تز دکترای خود در سال 1929 دفاع کردند، مشاوره داد. برعکس، لویتزکی، قبل از پیوستن به دانشگاه عبری اورشلیم در فلسطین اجباری تحت حاکمیت بریتانیا، در دانشگاه ییل منصب داشت، جایی که او کمک های قابل توجهی به نظریه حلقه کرد، به ویژه از طریق قضیه لویتزکی و قضیه هاپکینز-لویتزکی. دیورینگ، هانس فیتینگ، ارنست ویت، چیونگ تسه سی. تسن و اتو شیلینگ. دیورینگ، که به طور گسترده ای امیدبخش ترین شاگرد نوتر در نظر گرفته می شود، دکترای خود را در سال 1930 به دست آورد. شغل او شامل کار در هامبورگ، ماردن، و گوتینگن بود، جایی که او به دلیل مشارکت قابل توجه خود در هندسه حسابی شناخته شد. فیتینگ فارغ التحصیلی خود را در سال 1931 با پایان نامه ای متمرکز بر گروه های آبلی به پایان رساند و به خاطر کار بنیادی خود در نظریه گروه، به ویژه قضیه فیتینگ و لم فیتینگ به یادگار مانده است. او در 31 سالگی به دلیل بیماری استخوانی درگذشت. با این حال، موقعیت آکادمیک او در آوریل 1933 لغو شد و منجر به انتصاب مجدد او به گوستاو هرگلوتز شد. ویت دکترای خود را در ژوئیه 1933 به دست آورد و پایان نامه ای را در مورد قضیه ریمان-روخ و توابع زتا ارائه کرد و متعاقباً چندین مشارکت قابل توجه انجام داد که اکنون به همین نام با وی مرتبط است. چیونگ تسه سی. تسن، که در درجه اول برای ایجاد قضیه تسن شناخته شده بود، در دسامبر همان سال دکترای خود را دریافت کرد. او در سال 1935 به چین بازگشت و کار تدریس خود را در دانشگاه ملی چکیانگ آغاز کرد، اما تنها پنج سال بعد درگذشت. اتو شیلینگ نیز تحصیلات دکترا خود را با نوتر آغاز کرد، اما پس از مهاجرت او مجبور شد به دنبال یک سرپرست جدید باشد. او دکترای خود را در سال 1934 در دانشگاه ماربورگ تحت نظر هلموت هاسه به پایان رساند. متعاقباً، قبل از نقل مکان به ایالات متحده، در کالج ترینیتی، کمبریج، تحقیقات پسا دکتری را انجام داد.

از دیگر دانشجویان دکتری نوتر، ویلهلم دورنته بودند که در سال 1927 با پایان نامه ای درباره گروه ها، دکترای خود را به دست آورد. ورنر ووربک که دکترای خود را در سال 1935 با پایان نامه ای در زمینه تقسیم رشته ها به پایان رساند. و ولفگانگ ویچمن که دکترای او در سال 1936 بر نظریه p-adic متمرکز بود. در حالی که جزئیات در مورد Dörnte و Vorbeck در دسترس نیست، مستند شده است که Wichmann فعالانه از یک ابتکار دانشجویی حمایت می کند که ناموفق در تلاش برای لغو اخراج Noether بود. او متعاقباً به عنوان یک سرباز در جبهه شرقی در طول جنگ جهانی دوم درگذشت.

مدرسه نوتر

به‌جز هوش عمیق ریاضی‌اش، نوتر به دلیل ملاحظات بین‌فردی‌اش مورد احترام بود. اگرچه او گهگاه نسبت به همکاران مخالف خود بی‌رحمانه رفتار می‌کرد، اما به خاطر کمک‌رسانی و راهنمایی صبورانه دانش‌آموزان تازه‌کار، شهرت داشت. تعهد تزلزل ناپذیر او به دقت ریاضی، یکی از همکارانش را بر آن داشت تا او را "یک منتقد جدی" توصیف کند، با این حال او این تقاضای دقیق برای دقت را با رفتار حمایتی و پرورش دهنده هماهنگ کرد. در آگهی ترحیم نوتر، ون در واردن شرح زیر را ارائه کرد:

او کاملاً عاری از منیت و غرور بود، هرگز به دنبال شناسایی شخصی نبود، بلکه دستاوردهای شاگردانش را بیش از هر چیز در اولویت قرار داد و از آن دفاع کرد.

Noether فداکاری استثنایی هم به رشته خود و هم به دانش آموزانش نشان داد که فراتر از ساعات آکادمیک معمولی بود. در یک مورد، زمانی که ساختمان دانشگاه به دلیل تعطیلات دولتی غیرقابل دسترس بود، کلاس خود را روی پله های بیرونی تشکیل داد، آنها را در یک منطقه جنگلی راهنمایی کرد و در قهوه خانه ای در همان نزدیکی سخنرانی کرد. متعاقباً، پس از اخراج او از تدریس توسط آلمان نازی، او از دانش آموزان دعوت به اقامت خود کرد، جایی که آنها در مورد برنامه های آینده خود و مفاهیم مختلف ریاضی بحث کردند.

سخنرانی تاثیرگذار

در ابتدا، سبک زندگی سخت نوتر ناشی از امتناع دانشگاه از پرداخت غرامت برای کمک‌های دانشگاهی‌اش بود. حتی پس از اینکه دانشگاه شروع به پرداخت حقوق متوسطی به او در سال 1923 کرد، او زندگی ساده و بی‌احترامی را حفظ کرد. اگرچه دستمزد او بعداً در زندگی‌اش افزایش یافت، او پیوسته نیمی از درآمد خود را به قصد وصیت به برادرزاده‌اش، گوتفرید ای. نوتر، پس‌انداز کرد.

بیوگرافی‌نویسان نشان می‌دهند که امی نوتر فعالیت‌های آکادمیک خود را بر نگرانی‌های مربوط به ظاهر شخصی و آداب معاشرت در اولویت قرار می‌دهد. اولگا تاوسکی تاد، جبری‌دان برجسته‌ای که زیر نظر نوتر درس می‌خواند، نمونه‌ای را در یک ناهار بازگو کرد که در آن نوتر، عمیقاً غرق در یک بحث ریاضی بود، در حین غذا خوردن، «غذاهای وحشیانه می‌کرد»، «غذای خود را دائماً می‌ریخت» و «آن را کاملاً بدون مزاحمت از روی لباسش پاک می‌کرد». طبق گزارش‌ها، دانشجویانی که به آراستگی اهمیت می‌دادند از بیرون آوردن دستمال از بلوزش و بی‌اعتنایی او به موهای ژولیده‌اش در طول سخنرانی‌ها ناراحت شدند. در یک مورد، دو دانش آموز دختر در یک استراحت در یک کلاس دو ساعته تلاش کردند تا نگرانی های خود را بیان کنند، اما متوجه شدند که نمی توانند گفتمان ریاضی متحرک او را با دانش آموزان دیگر قطع کنند.

سخنرانی های نوتر بر اساس یک طرح درس رسمی تنظیم نشده بود. تحویل سریع او باعث شد که درک ارائه‌های او برای بسیاری از جمله ریاضیدانان برجسته کارل لودویگ سیگل و پل دوبریل چالش برانگیز باشد. دانش‌آموزانی که رویکرد آموزشی او را نامناسب می‌دانستند، اغلب احساس جدایی می‌کردند. بازدید از «بیگانه‌ها» که در سخنرانی‌های نوتر شرکت می‌کردند، اغلب در عرض 30 دقیقه به دلیل سرخوردگی یا سردرگمی انجام می‌شد. یک دانش آموز عادی یک بار به چنین اتفاقی اشاره کرد و اظهار داشت: "دشمن شکست خورده است؛ او پاک شده است."

Noether از سخنرانی های او به عنوان یک انجمن تعاملی برای بحث های خودجوش با دانش آموزانش استفاده کرد و کاوش و روشن کردن مسائل مهم ریاضی را تسهیل کرد. چندین مورد از حیاتی‌ترین یافته‌های او از این جلسات سخنرانی پدیدار شد، و یادداشت‌های جمع‌آوری‌شده توسط دانش‌آموزان او متعاقباً به‌عنوان ماده اساسی برای کتاب‌های درسی تأثیرگذار، از جمله کتاب‌هایی که توسط ون در وائردن و دیورینگ تألیف شده بودند، استفاده شد. او شور ریاضی مسری را در متعهدترین دانش‌آموزانش القا کرد، آنها برای تبادلات فکری پویا با او ارزش زیادی قائل بودند.

بسیاری از همکاران نوتر در سخنرانی‌های او شرکت می‌کردند، و او گهگاه به دیگران، از جمله دانش‌آموزانش، اجازه می‌داد تا برای مفاهیمش اسنادی دریافت کنند، که باعث می‌شد نام او در عموم به نمایش در نیاید. سوابق نشان می دهد که نوتر حداقل پنج دوره ترم طولانی را در گوتینگن ارائه کرده است:

• زمستان 1924–1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [نظریه گروه و اعداد ابرمجموعه]
• زمستان 1927-1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [تئوری نمایش و کمیت های ابرمجموعه]
• تابستان 1928: جبر Nichtkommutative [جبر غیر جابجایی]
• تابستان 1929: Nichtkommutative Arithmetik [Noncommutative Arithmetic]
• زمستان 1929–1930: Algebra der hyperkomplexen Grössen [جبر مقادیر بیش از حد مختلط]

دانشگاه دولتی مسکو

در طول سال تحصیلی 1928-1929، نوتر دعوت به دانشگاه دولتی مسکو را پذیرفت و در آنجا همکاری خود را با P. S. Alexandrov از سر گرفت. او فراتر از تحقیقات مداوم خود، دوره هایی را در زمینه جبر انتزاعی و هندسه جبری ارائه کرد. او همچنین با توپولوژیست های برجسته لو پونتریاگین و نیکولای چبوتاریوف که هر دو متعاقباً از کمک های قابل توجه او در پیشرفت نظریه گالوا تمجید کردند، درگیر شد.

در حالی که سیاست محور اصلی زندگی او نبود، نوتر علاقه شدیدی به امور سیاسی نشان داد و همانطور که الکساندروف اشاره کرد، حمایت قابل توجهی از انقلاب روسیه ابراز کرد. او به‌ویژه از پیشرفت‌های شوروی در علم و ریاضیات استقبال کرد و آنها را به عنوان شواهدی از احتمالات جدیدی که توسط ابتکار بلشویک‌ها ایجاد شده بود، تلقی کرد. این دیدگاه منجر به مشکلاتی برای او در آلمان شد که به اخراج او از یک اقامتگاه بازنشستگی پس از شکایت رهبران دانشجو در مورد اقامت نزد "یهودی متمایل به مارکسیست" منجر شد. هرمان ویل نقل می‌کند که «در دوران وحشی پس از انقلاب 1918، نوتر «کم و بیش با سوسیال دموکرات‌ها طرف شد». او از سال 1919 تا 1922 به سوسیال دموکرات های مستقل وابسته بود، یک حزب انشعاب کوتاه مدت. کالین مک لارتی، منطق دان و مورخ، موضع او را این گونه توصیف کرد: "او بلشویست نبود، اما از اینکه او را یکی نامید نمی ترسید."

نوتر قصد داشت با تلاشی الکساندرف به مسکو بازگردد. پس از خروج او از آلمان در سال 1933، الکساندروف تلاش کرد تا از طریق وزارت آموزش شوروی، انتصاب او را در کرسی استادی در دانشگاه دولتی مسکو تسهیل کند. اگرچه این تلاش ناموفق بود، آنها مکاتبات مکرری را در طول دهه 1930 انجام دادند و تا سال 1935، او برنامه هایی را برای بازگشت به اتحاد جماهیر شوروی تنظیم کرد.

تشخیص

در سال 1932، امی نوتر و امیل آرتین به دلیل کمک های ریاضی قابل توجهشان با جایزه یادبود آکرمن-توبنر مفتخر شدند. این جایزه که شامل جایزه نقدی 500 ℛ︁ℳ︁ بود، به طور گسترده به عنوان یک قدردانی رسمی دیرهنگام از دستاوردهای قابل توجه او در این رشته تلقی شد. علی‌رغم این شناخت، همسالانش از اینکه او به آکادمی علوم Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (آکادمی علوم) انتخاب نشده است و هرگز به رتبه پروفسور Ordentlicher (پروفسور کامل، پروفسور شماره 19 سال گذشته) نرسیده است، ابراز نارضایتی کردند. همکارانش به روشی که مشخصه ریاضیدانان است. هلموت هاس مقاله‌ای را در Mathematische Annalen به او اختصاص داد، جایی که او فرضیه‌اش را مبنی بر اینکه برخی از جنبه‌های جبر غیرتقابلی پیچیده‌تر از همتایان جابجایی خود هستند، از طریق نشان دادن یک قانون متقابل غیر تعویضی اثبات کرد. این کشف رضایت قابل توجهی را برای او به ارمغان آورد. بعلاوه، هاس یک معمای ریاضی را به او ارائه کرد، به نام «م_μν-معمای هجاها،» که او به سرعت آن را حل کرد. با این حال، خود معما دیگر موجود نیست.

در سپتامبر همان سال، نوتر یک سخنرانی عمومی (großer Vortrag) با عنوان "سیستم های بیش از حد پیچیده در روابط آنها با جبر جابجایی و نظریه اعداد" در کنگره بین المللی ریاضیدانان در زوریخ ارائه کرد. این کنگره 800 شرکت کننده را به خود جلب کرد که در میان آنها همکارانش هرمان ویل، ادموند لاندو و ولفگانگ کرول بودند. در این رویداد 420 شرکت کننده رسمی و بیست و یک سخنرانی عمومی حضور داشتند. به نظر می رسد جایگاه برجسته نوتر بر اهمیت مشارکت های ریاضی او تأکید می کند. کنگره 1932 گاهی اوقات به عنوان نقطه اوج مسیر حرفه ای او شناخته می شود.

اخراج از گوتینگن توسط آلمان نازی

پس از انتصاب آدولف هیتلر به عنوان Reichskanzler آلمانی در ژانویه 1933، فعالیت های نازی ها به طور قابل توجهی در سراسر کشور تشدید شد. در دانشگاه گوتینگن، انجمن دانشجویی آلمان کمپینی را علیه "روح غیر آلمانی" مرتبط با افراد یهودی رهبری کرد و از privatdozent و شاگرد سابق نوتر، ورنر وبر، حمایت کرد. این یهودستیزی فراگیر محیطی را ایجاد کرد که آشکارا خصمانه اساتید یهودی بود. بنا بر گزارش ها، یک تظاهرکننده جوان گفته است: "دانش آموزان آریایی خواستار ریاضیات آریایی هستند، نه ریاضیات یهودی."

از جمله اقدامات قانونی اولیه که توسط دولت هیتلر تصویب شد، قانون احیای خدمات عمومی حرفه ای بود. این قانون اخراج افراد یهودی و کارمندان دولتی مظنون سیاسی از جمله استادان دانشگاه را از سمت خود اجباری می کرد، مگر اینکه بتوانند "وفاداری خود به آلمان" را از طریق خدمت در جنگ جهانی اول ثابت کنند. در آوریل 1933، نوتر یک اطلاعیه رسمی از وزارت علوم، هنر و آموزش عمومی پروس دریافت کرد که در آن آمده بود: "براساس بند 3 37 آوریل 1، بند 3 قانون خدمات مدنی 1، بند 3 از 37 آوریل 1، بند 1، بند 3 از 37 آوریل 1، بند 1 قانون خدمات مدنی "وفاداری خود به آلمان" را از طریق خدمت در این قانون قانون این قانون الزامی کرد. بدین وسیله حق تدریس در دانشگاه گوتینگن را از شما سلب می کند." به طور همزمان، چندین نفر از همکاران نوتر، مانند مکس بورن و ریچارد کورانت، لغو قرار ملاقات خود را نیز تجربه کردند.

Noether با خونسردی به این تصمیم پاسخ داد و در میان ناملایمات غالب به دیگران کمک کرد. هرمان ویل متعاقباً اظهار داشت که "امی نوتر - شجاعت او، صراحت او، بی توجهی او به سرنوشت خود، روح آشتی جویانه اش - در میان تمام نفرت و پستی، ناامیدی و اندوهی که ما را احاطه کرده بود، یک آرامش اخلاقی بود." مشخصاً، نوتر تمرکز خود را بر روی فعالیت های ریاضی حفظ کرد و دانش آموزان را در محل سکونت خود دعوت کرد تا در مورد نظریه میدان کلاسی مشورت کنند. به محض ظاهر شدن یکی از شاگردانش در یونیفورم سازمان شبه نظامی نازی Sturmabteilung (SA)، او هیچ نشانه ای از ناراحتی از خود نشان نداد و بر اساس گزارش ها، بعداً حتی در وضعیت شوخی پیدا کرد.

جستجوی پناه در برین ماور و پرینستون

از آنجایی که بسیاری از اساتید اخیراً بیکار به دنبال شغل در خارج از مرزهای آلمان بودند، همتایان آنها در ایالات متحده تلاش کردند تا فرصت‌های پشتیبانی و حرفه‌ای را ارائه دهند. آلبرت انیشتین و هرمان ویل قرار ملاقات هایی را در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون تضمین کردند، در حالی که سایر دانشگاهیان برای شناسایی حامیان ضروری برای مهاجرت قانونی کار کردند. نوتر از نمایندگان دو مؤسسه آکادمیک پیشنهادهایی دریافت کرد: کالج برین ماور در ایالات متحده و کالج سامرویل در دانشگاه آکسفورد در انگلستان. پس از گفتگوهای گسترده با بنیاد راکفلر، کمک هزینه ای برای نوتر تصویب شد تا به برین ماور بپیوندد، جایی که او نقش جدید خود را در اواخر سال 1933 آغاز کرد.

نوتر در طول دوران تصدی خود در برین ماور، با آنا ویلر که قبلاً قبل از ورود نوتر در گوتینگن تحصیل کرده بود، دوستی برقرار کرد. حمایت نهادی بیشتر توسط رئیس Bryn Mawr، ماریون ادواردز پارک، ارائه شد، که به طور فعال ریاضیدانان محلی را تشویق کرد تا کارهای دکتر Noether را مشاهده کنند.

در حالی که در Bryn Mawr، نوتر یک گروه تحقیقاتی را پرورش داد که به طور غیررسمی به نام "دختران نوتر" شناخته می‌شد، متشکل از چهار محقق پسادکتری - Mariverhanee, Joeinnae, و Joeinnaiss. تاوسکی تاد، که همه آنها متعاقباً به مشاغل برجسته ای در ریاضیات دست یافتند - و یک دانشجوی دکترا به نام روث استافر. این گروه با پشتکار با جبر مدرن I ون در واردن و منتخبی از Theorie der algebraischen Zahlen اریش هکه (نظریه اعداد جبری) درگیر شدند. روث استافر تنها کاندیدای دکترای نوتر در ایالات متحده بود. با این حال، نوتر اندکی قبل از فارغ التحصیلی استوفر درگذشت. استاوفر با موفقیت امتحان دکتری خود را با ریچارد برائر به پایان رساند و در ژوئن 1935 مدرک خود را با پایان نامه ای در مورد پسوندهای عادی جداشدنی دریافت کرد. پس از دکترای خود، استاوفر پیش از آنکه بیش از سه دهه را به کار به عنوان آمارگیر اختصاص دهد، حرفه ای مختصر را در تدریس دنبال کرد.

در سال 1934، نوتر پس از دعوت آبراهام فلکسنر و اسوالد وبلن، سخنرانی در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون را آغاز کرد. در این دوره، او با آبراهام آلبرت و هری وندیور همکاری کرد. در رابطه با دانشگاه پرینستون، او به ویژه در مورد وضعیت نامطلوب درک شده خود در "دانشگاه مردانه، جایی که هیچ چیز زن پذیرفته نمی شود" اظهار نظر کرد.

دوران تصدی نوتر در ایالات متحده، با محیط آکادمیک حمایت‌کننده و تعامل عمیق با علایق تحقیقاتی اولیه‌اش مشخص شد. در اواسط سال 1934، فریتز نوتر، که از سمت خود در Technische Hochschule Breslau برکنار شده بود، به طور خلاصه اظهار نظر کرد و متعاقباً یک انتصاب در مؤسسه تحقیقاتی ریاضیات و مکانیک در تامسک، واقع در منطقه فدرال سیبری روسیه، پذیرفته بود. مجاز به استفاده از امکانات کتابخانه گوتینگن به عنوان یک "پژوهشگر خارجی" است. متعاقباً، او بدون هیچ حادثه ای به ایالات متحده بازگشت و فعالیت های آکادمیک خود را در Bryn Mawr از سر گرفت.

مرگ

در آوریل 1935، متخصصان پزشکی توموری را در لگن Noether شناسایی کردند. نگرانی در مورد عوارض احتمالی جراحی منجر به یک دوره مقدماتی دو روزه استراحت در بستر شد. در طی عمل بعدی، یک کیست تخمدان که به اندازه یک طالبی بزرگ توصیف می شود، کشف شد. دو تومور رحمی کوچک‌تر خوش‌خیم به نظر می‌رسند و برای جلوگیری از طولانی‌تر شدن مدت جراحی برداشته نشده‌اند. به مدت سه روز پس از عمل، نوتر نقاهت طبیعی را نشان داد و در روز چهارم به سرعت از یک فروپاشی گردش خون بهبود یافت. با این حال، در 14 آوریل، نوتر هوشیاری خود را از دست داد، دمای او به 109 درجه فارنهایت (42.8 درجه سانتیگراد) رسید و تسلیم شد. یکی از پزشکان متذکر می‌گوید: «من نمی‌توانم بگویم چه اتفاقی در دکتر نوتر افتاده است»، با این فرض که «این امکان وجود دارد که نوعی عفونت غیرعادی و بدخیم وجود داشته باشد که به قاعده مغز که قرار است مراکز گرما در آن قرار داشته باشند، ضربه زده است». او در زمان مرگ 53 سال داشت.

روزهای پس از مرگ نوتر، مراسم یادبود خصوصی توسط دوستان و همکاران او در برین ماور برگزار شد که در محل اقامت کالج رئیس پارک برگزار شد. هرمان ویل و ریچارد برائر از پرینستون برای ارائه مداحی سفر کردند. در ماه‌های بعد، ادای احترامات مکتوب متعددی در سطح بین‌المللی پدیدار شد، با شخصیت‌های برجسته‌ای مانند آلبرت انیشتین، ون در واردن، ویل و پاول الکساندروف. بقایای او سوزانده شد و خاکستر زیر گذرگاهی که صومعه‌های کتابخانه قدیمی در برین ماور را احاطه کرده بود، دفن شد.

مشارکت در ریاضیات و فیزیک

مشارکت نوتر در جبر انتزاعی و توپولوژی به طور قابل توجهی بر حوزه ریاضیات تأثیر گذاشت. به طور همزمان، قضیه نوتر مفاهیم گسترده ای برای فیزیک نظری و سیستم های دینامیکی دارد. او استعداد عمیقی برای مفهوم سازی انتزاعی از خود نشان داد و او را قادر ساخت تا رویکردهای بدیع و مبتکرانه ای را برای مسائل ریاضی فرموله کند. همکار و دوست ارجمند او، هرمان ویل، دستاوردهای علمی او را در سه دوره مجزا دسته بندی کرد:

(1) دوره وابستگی نسبی، شامل سالهای 1907-1919.

(2) تحقیقات با محوریت نظریه عمومی آرمانها، که از سال 1920 تا 1926 انجام شد.

(3) بررسی تحلیل‌های بازنمودهای غیرجابه‌جایی، تحلیل‌ها و کاربردهای جبری غیرتبدیلی آن‌ها از طریق خطوط فرعی آنها. فیلدهای اعداد جابجایی و محاسبات مرتبط با آنها.

در دوره دوم خود (1920-1926)، نوتر تلاش های خود را وقف پیشبرد نظریه حلقه های ریاضی کرد. متعاقباً، در دوره سوم (1927-1935)، او بر جبر غیرتعویض، تبدیل‌های خطی و میدان‌های اعداد جابجایی تمرکز کرد. در حالی که نتایج دوره اول نوتر قابل توجه و ارزشمند بود، اهمیت او در میان ریاضیدانان در درجه اول به مشارکت های پیشگامانه ای نسبت داده می شود که در دوران دوم و سوم او انجام شد، همانطور که در آگهی های ترحیم او توسط هرمان ویل و بی. در عوض، او سیستم‌های جدیدی از تعاریف ریاضی را تدوین کرد که متعاقباً بر تلاش‌های ریاضی آینده تأثیر گذاشت. به طور خاص، او یک نظریه کاملاً جدید از ایده آل ها در حلقه ها ایجاد کرد و کار بنیادی ریچارد ددکیند را گسترش داد. علاوه بر این، او برای معرفی شرایط زنجیره صعودی شناخته شده است - یک معیار تناهی ساده که به طور قابل توجهی در کاربردهای او موثر بود. این شرایط، همراه با نظریه آرمان‌ها، به نوتر این امکان را داد که یافته‌های قبلی متعدد را تعمیم دهد و به مسائل تثبیت‌شده از منظری بدیع، از جمله ثابت‌های جبری، موضوعی که قبلاً توسط پدرش بررسی شده بود، و نظریه حذف بپردازد.

مشارکت مهم نوتر در ریاضیات شامل پیشرفت حوزه نوپای انتزاعی

معاصران، رویکرد نوتر به انتزاع شامل تعمیم از مثال های خاص نبود. در عوض، او مستقیماً با مفاهیم انتزاعی درگیر شد. همانطور که ون در واردن در آگهی ترحیم خود بیان کرده است،

مقوله ای که امی نوتر در طول کارش بر اساس آن هدایت می شد را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد: "هر رابطه ای بین اعداد، توابع و عملیات تنها پس از جدا شدن از اشیاء خاص خود و فرمول بندی به عنوان مفاهیم معتبر جهانیquote، به طور کلی قابل اجرا و کاملاً سازنده می شود."

این رویکرد نمونه‌ای از begriffliche Mathematik (ریاضیات صرفا مفهومی) است، که مشخصه روش‌شناسی نوتر است. متعاقباً، این سبک ریاضی در میان دیگر ریاضیدانان، به ویژه در حوزه نوظهور جبر انتزاعی، مورد پذیرش قرار گرفت.

دوره اول (1908–1919)

نظریه ثابت جبری

بخش قابل توجهی از زندگی اولیه نوتر، در طول اولین دوره او، بر نظریه تغییر ناپذیر، به ویژه نظریه جبری ثابت تمرکز داشت. نظریه ثابت عبارات ریاضی را بررسی می کند که ارزش خود را حفظ می کنند (یعنی ثابت می مانند) تحت گروه های خاصی از تبدیل ها. به عنوان مثال، در یک قیاس فیزیکی رایج، چرخش یک متر سفت و سخت، مختصات نقاط انتهایی آن را تغییر می‌دهد، اما طول آن بدون تغییر باقی می‌ماند. یک تصویر پیچیده تر از یک نامغیر، تمایز B§56§ − 4AC از یک چند جمله ای درجه دوم همگن Ax§1314§ + Bxy است. Cy§1920§، که در آن x و y نشان دهنده موارد نامعین هستند. این تمایز به دلیل پایداری آن در زیر جایگزین‌های خطی x → ax + توسط و y → cx + dy، به شرط تعیین‌کننده x ax cx + dy نامیده می‌شود. برابر با 1 است. در مجموع، این جایگزین‌ها گروه خطی ویژه SL§5152§ را تشکیل می‌دهند.

بررسی می‌تواند به شناسایی همه چندجمله‌ای در A، B و C تحت عمل inv گسترش یابد. SL§910§؛ اینها در واقع چند جمله ای های ممیز هستند. به طور گسترده‌تر، می‌توان متغیرهای چندجمله‌ای همگن درجه بالاتر را جستجو کرد، مانند A§1516§x^ry§2526§ + ... + A_rx§3132§y^r، که به صورت چندجمله‌ای خاص در ضرایب A§4344§، ...، A _{ظاهر می‌شوند. این خط پرسش را می‌توان به چند جمله‌ای همگن که بیش از دو متغیر را شامل می‌شود، گسترش داد.}

هدف اولیه نظریه ثابت شامل حل "مشکل مبنا محدود است." این مسئله بررسی می‌کند که آیا همه متغیرها می‌توانند از مجموعه‌ای محدود از متغیرهای اولیه، که مولدها نامیده می‌شوند، از طریق جمع یا ضرب مکرر مشتق شوند، با توجه به اینکه مجموع یا حاصلضرب هر دو متغیر نیز یک متغیر را تشکیل می‌دهند. برای مثال، متمایزکننده یک مبنای متناهی، شامل یک عنصر واحد، برای متغیرهای یک چندجمله‌ای درجه دوم ارائه می‌کند.

پل گوردان، مشاور دانشگاهی نوتر، شهرت خود را به عنوان "پادشاه نظریه تغییر ناپذیر" به دست آورد، و سهم اصلی ریاضی او حل‌وفول همگنی مبنا در 1870 برای مسئله‌های چندجمله‌ای در متغیرهای محدود است. متغیرها اثبات گوردان یک روش سازنده برای شناسایی همه متغیرها و مولدهای مربوطه ارائه کرد. با این حال، او نمی‌توانست این رویکرد را به متغیرهایی که شامل سه یا چند متغیر است بسط دهد. متعاقباً، در سال 1890، دیوید هیلبرت یک قضیه مشابه برای متغیرهای چندجمله‌ای همگن در تعداد دلخواه متغیرها ایجاد کرد. قابل توجه است که روش شناسی هیلبرت نه تنها در مورد گروه خطی ویژه بلکه برای زیرگروه های مختلف آن، از جمله گروه متعامد خاص نیز به کار می رود.

با تقلید از مسیر علمی گوردان، نوتر پایان نامه دکترای خود و چندین انتشارات بعدی را به نظریه تغییر ناپذیر اختصاص داد. کار او بر یافته های گوردان گسترش یافت و تحقیقات هیلبرت را ادغام کرد. با این وجود، او بعداً نسبت به این کار اولیه ابراز انزجار کرد و آن را کم اهمیت دانست و اعتراف کرد که پیچیدگی های خاص آن را فراموش کرده است. هرمان ویل مشاهده کرد:

[[به سختی می توان تضاد بیشتری را نسبت به اولین مقاله، پایان نامه، و آثار بلوغ او تصور کرد. زیرا اولی یک مثال افراطی از محاسبات رسمی است و دومی نمونه افراطی و بزرگی از تفکر بدیهی مفهومی در ریاضیات است.

نظریه گالوا

نظریه گالوا تحولات درون فیلدهای عددی را بررسی می کند که ریشه های یک معادله را دوباره ترتیب می دهند. یک معادله چند جمله‌ای شامل یک متغیر x درجه n را در نظر بگیرید، جایی که ضرایب آن از یک میدان زمینی مشخص، مانند میدان اعداد واقعی، اعداد گویا، یا اعداد صحیح سرچشمه می‌گیرند. مدول 7. صفر را ریشه می نامند، اگرچه چنین راه حل هایی ممکن است همیشه در فیلد اولیه وجود نداشته باشند. به عنوان مثال، اگر چند جمله ای x§1516§ + 1 باشد و فیلد زمین اعداد واقعی باشد، هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا هر مقدار واقعی برای x باعث می شود که چند جمله ای بزرگتر یا مساوی یک باشد. با این حال، گسترش میدان می‌تواند ریشه‌ها را معرفی کند، و یک میدان به اندازه کافی گسترده همیشه حاوی تعدادی ریشه معادل درجه چندجمله‌ای خواهد بود.

با گسترش تصویر قبل، اگر میدان به گونه‌ای گسترش یابد که اعداد مختلط را در بر بگیرد، چند جمله‌ای دو ریشه به دست می‌آورد: +>i−i، که در آن i واحد خیالی را نشان می‌دهد که با i ² = −1 تعریف شده است. به طور کلی، فیلد پسوندی که در آن یک چند جمله‌ای می‌تواند به طور کامل به صورت چندجمله‌ای به‌عنوان فیلد تشکیل‌دهنده ریشه‌ای در نظر گرفته شود.

گروه Galois از یک چند جمله ای به عنوان مجموعه ای از تمام تبدیلات میدان شکاف آن تعریف می شود که هم میدان زمین و هم ریشه های چند جمله ای را حفظ می کند. (این تبدیل ها به طور خاص خودمورفیسم نامیده می شوند.) برای چند جمله ای x§45§ + 1، گروه Galois آن شامل دو عنصر است: تبدیل هویت، که هر عدد مختلط را به خود ترسیم می کند، و صرف مختلط، که + را تبدیل می کند. −i. همانطور که گروه گالوا میدان زمین را حفظ می کند، در نتیجه ضرایب چند جمله ای را بدون تغییر می گذارد و در نتیجه کل مجموعه ریشه ها را تغییر نمی دهد. هر ریشه ممکن است به ریشه دیگری نگاشت شود، به این معنی که هر تبدیل یک جایگشت در بین ریشه های n ایجاد می کند. اهمیت عمیق گروه گالوا ناشی از قضیه بنیادی نظریه گالوا است که مطابقت یک به یک را بین میدان‌های میانی واقع بین میدان زمین و میدان شکافنده و زیر گروه‌های گروه گالوا نشان می‌دهد.

نشریه نوتر در سال 1918 به مسئله گالوا معکوس پرداخت. نوتر به جای تمرکز بر شناسایی گروه دگرگونی‌های گالوا برای یک میدان مشخص و گسترش آن، بررسی کرد که آیا بسط یک میدان مشخص می‌تواند همواره دارای یک گروه خاص به عنوان گروه گالوا باشد. این پرسش متعاقباً به «مشکل Noether» کاهش یافت، که سؤال می‌کند آیا میدان ثابت یک زیرگروه G در گروه جایگشت S_n، هنگام عمل در فیلد k(<1§5,x) x_n)، به طور پیوسته یک بسط استعلایی خالص از میدان k را تشکیل می دهد. نوتر در ابتدا این مشکل را در مقاله ای در سال 1913 ارائه کرد و منشأ آن را به همکارش فیشر نسبت داد. او اعتبار آن را برای مواردی که n برابر با 2، 3، یا 4 است نشان داد. با این حال، در سال 1969، ریچارد سوان یک مثال متقابل برای مشکل نوتر شناسایی کرد، که به طور خاص شامل n = 47 و 7 از این گروه به عنوان یک گروه است. گروه خاصی که به عنوان یک گروه گالوا از طریق ساخت های جایگزین قابل تحقق است. مسئله گالوا معکوس همچنان یک چالش ریاضی حل نشده است.

فیزیک

در سال 1915، دیوید هیلبرت و فلیکس کلاین نوتر را به گوتینگن دعوت کردند و به دنبال دانش تخصصی او در نظریه تغییر ناپذیر بودند تا به درک آنها از نسبیت عام کمک کند. هیلبرت به نقض آشکار بقای انرژی در نسبیت عام اشاره کرده بود و آن را به ظرفیت انرژی گرانشی برای اعمال نفوذ گرانشی خود نسبت می داد. نوتر این پارادوکس را حل کرد و ابزاری اساسی برای فیزیک نظری مدرن در سال 1918 معرفی کرد. این مقاله اصلی دو قضیه را معرفی می کند که اولین آنها به عنوان قضیه نوتر شناخته شده است. در مجموع، این قضایا نه تنها به این موضوع در نسبیت عام می پردازند، بلکه مقادیر حفظ شده را برای هر سیستم فیزیکی که با تقارن پیوسته مشخص می شود، ایجاد می کنند. انیشتین پس از بررسی آثار او، به هیلبرت گفت:

دیروز مقاله بسیار جذابی در مورد تغییرات ثابت از خانم نوتر دریافت کردم. من تحت تأثیر ظرفیت درک چنین مفاهیمی با چنین کلیتی هستم. دانشگاهیان مستقر در گوتینگن باید از خانم نوتر بیاموزند. تخصص او عمیق به نظر می رسد.

به عنوان مثال، اگر یک سیستم فیزیکی صرف نظر از جهت گیری فضایی خود رفتار یکسانی از خود نشان دهد، قوانین فیزیکی حاکم بر آن از نظر چرخشی متقارن در نظر گرفته می شوند. قضیه نوتر نشان می‌دهد که این تقارن، حفظ تکانه زاویه‌ای سیستم را ضروری می‌کند. خود سیستم فیزیکی به تقارن ذاتی نیاز ندارد. برای مثال، یک سیارک دندانه دار که در فضا می چرخد، علیرغم شکل نامنظمش، همچنان تکانه زاویه ای خود را حفظ می کند. در عوض، قانون بقا از تقارن ذاتی قوانین فیزیکی حاکم بر سیستم ناشی می شود. علاوه بر این، اگر یک آزمایش فیزیکی بدون توجه به مکان یا زمان آن نتایج ثابتی را به همراه داشته باشد، قوانین اساسی آن تحت ترجمه‌های مکانی و زمانی پیوسته دارای تقارن هستند. قضیه نوتر ثابت می‌کند که این تقارن‌ها به ترتیب با قوانین بقای تکانه و انرژی خطی در آن سیستم مطابقت دارند.

در زمان هم‌زمان، فیزیکدان‌ها با نظریه سوفوس لی در مورد گروه‌های پیوسته آشنا نبودند، که اساس کار نوتر را تشکیل می‌داد. تعداد قابل توجهی از فیزیکدانان در ابتدا از طریق مقاله ای از ادوارد لی هیل با قضیه نوتر مواجه شدند که با این حال، فقط یک نمونه تخصصی از این قضیه را ارائه کرد. در نتیجه، پیامدهای جامع یافته های او بلافاصله شناسایی نشد. با این وجود، در نیمه دوم قرن بیستم، قضیه نوتر به سنگ بنای فیزیک نظری مدرن تبدیل شد که هم به دلیل بینش عمیقش در مورد قوانین حفاظت و هم کاربرد آن به عنوان یک ابزار محاسباتی عملی ارزشمند بود. این قضیه محققان را قادر می‌سازد تا مقادیر حفظ‌شده را مستقیماً از تقارن‌های مشاهده‌شده ذاتی یک سیستم فیزیکی استنتاج کنند. برعکس، با ارجاع به دسته‌هایی از قوانین فیزیکی فرضی به توصیف یک سیستم فیزیکی کمک می‌کند. برای نشان دادن، کشف فرضی یک پدیده فیزیکی بدیع را در نظر بگیرید. قضیه نوتر آزمونی حیاتی برای مدل‌های نظری ارائه می‌دهد که چنین پدیده‌ای را توضیح می‌دهند: اگر یک نظریه دارای تقارن پیوسته باشد، قضیه وجود یک کمیت حفظ شده را تضمین می‌کند، و برای اینکه نظریه معتبر باشد، این بقای باید از طریق آزمایش به صورت تجربی قابل تأیید باشد.

دوره دوم (1920–1926) ساعت

شرایط زنجیره صعودی و نزولی

در این دوره، نوتر به دلیل کاربرد ماهرانه اش از شرایط زنجیره صعودی (Teilerkettensatz) و نزولی (Vielfachenkettensatz) شناخته شد. دنباله صعودی از زیرمجموعه های غیر خالی، مانند A§78§، A§1112§، A§1516§، ...، در یک مجموعه SS

11§ ⊆ A §2122§ ⊆ A §32<معناشناسی>33§ ⊆ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots .}

برعکس، دنباله‌ای از زیرمجموعه‌ها در S نزولی نامیده می‌شوند که هر زیر مجموعه متوالی در مجموعه قبلی خود قرار گیرد.

11§ ⊇ A §2122§ ⊇ A §32<معناشناسی>33§ ⊇ ⋯ . {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots .}

اگر یک عدد صحیح n وجود داشته باشد که ${\displaystyle A_{n}=A_{m}}$ برای همه m ≥ n. شرط زنجیره صعودی با مجموعه ای از زیر مجموعه ها در یک مجموعه مشخص برآورده می شود اگر هر دنباله صعودی در نهایت تثبیت شود. به طور مشابه، شرط زنجیره نزولی برآورده می شود اگر هر دنباله نزولی نیز پس از تعداد محدودی از مراحل تثبیت شود. این شرایط زنجیره ای برای نشان دادن وجود عناصر حداکثر یا حداقل در هر مجموعه ای از اشیاء فرعی، یا در اثبات این که اشیاء پیچیده را می توان از تعداد کاهش یافته ای از عناصر تشکیل دهنده تولید کرد، بسیار مفید است.

ساختارهای جبری متعدد در جبر انتزاعی می توانند شرایط زنجیره ای را برآورده کنند. به طور معمول، کسانی که شرایط زنجیره صعودی را برآورده می کنند، به عنوان نوترین تعیین می شوند، که ادای احترام به مشارکت های اوست. به طور خاص، یک حلقه Noetherian با ارضای یک شرط زنجیره صعودی در هر دو ایده آل چپ و راست مشخص می شود. در مقابل، یک گروه نوتری به عنوان گروهی تعریف می‌شود که در آن هر زنجیره به شدت صعودی از زیر گروه‌ها محدود است. یک ماژول Noetherian ماژولی است که در آن هر زنجیره به شدت صعودی از زیر ماژول ها پس از تعداد محدودی از مراحل تثبیت می شود. علاوه بر این، فضای نوتری به فضای توپولوژیکی اشاره دارد که زیرمجموعه‌های باز آن به شرط زنجیره صعودی می‌پیوندند، بنابراین طیف یک حلقه نوتر را به عنوان فضای توپولوژیکی نوتری طبقه‌بندی می‌کند.

شرایط زنجیره اغلب یک ویژگی ارثی را در میان اشیاء فرعی نشان می‌دهد. به عنوان مثال، همه زیرفضاهای درون یک فضای نوتر، خودشان نوتر هستند. به طور مشابه، تمام زیر گروه ها و گروه های ضریب مشتق شده از یک گروه نوتری نیز نوتری هستند. به طور مشابه، mutatis mutandis، این اصل به زیر ماژول ها و ماژول های ضریب یک ماژول نوتری گسترش می یابد. علاوه بر این، شرایط زنجیره ای را می توان با ترکیبات یا پسوندهای مختلف یک شی نوتر به ارث برد. برای مثال، مجموع مستقیم محدود حلقه‌های نوتری، مانند حلقه سری‌های قدرت رسمی که بر روی یک حلقه نوتری ساخته شده‌اند، خاصیت نوتری را حفظ می‌کنند.

استقرای نوتری که به آن استقرای مستدل نیز می گویند، کاربرد بیشتری از این شرایط زنجیره ای را نشان می دهد و به عنوان تعمیم استقرای ریاضی عمل می کند. این روش اغلب برای ساده کردن ادعاهای کلی در مورد مجموعه های اشیاء به عباراتی در مورد اشیاء خاص در آن مجموعه ها استفاده می شود. S را به‌عنوان یک مجموعه جزئی مرتب شده در نظر بگیرید. یک رویکرد متداول برای ایجاد یک بیانیه در مورد عناصر در S شامل مطرح کردن وجود یک مثال متضاد و متعاقباً استخراج یک تناقض است، بنابراین مخالفت ادعای اولیه را نشان می‌دهد. اصل بنیادی استقرای نوتری بیان می کند که هر زیرمجموعه غیر خالی S باید دارای یک عنصر حداقلی باشد. به طور خاص، مجموعه همه نمونه‌های متقابل شامل یک عنصر حداقلی است که به آن مینیمال ضد مثال می‌گویند. در نتیجه، برای تأیید گزاره اصلی، کافی است یک شرط ظاهراً سخت‌گیرانه نشان دهیم: برای هر مثال متقابل، یک مثال کوچک‌تر وجود دارد.

حلقه ها، ایده آل ها و ماژول های جابجایی

نشریه اصلی نوتر در سال 1921، با عنوان تئوری ایده آل در Ringbereichen (نظریه ایده آل ها در دامنه های حلقه)، زمینه را برای نظریه حلقه جابجایی عمومی ایجاد کرد و یکی از اولین تعاریف جامع از حلقه جابجایی را ارائه کرد. قبل از کار او، اکثر یافته‌های جبر جابجایی به نمونه‌های خاصی از حلقه‌های جابجایی، از جمله حلقه‌های چندجمله‌ای روی میدان‌ها یا حلقه‌های اعداد صحیح جبری، محدود می‌شد. نوتر نشان داد که در هر حلقه ای که شرط زنجیره صعودی روی ایده آل ها را برآورده می کند، هر ایده آلی به طور متناهی تولید می شود. کلود شوالی، ریاضیدان فرانسوی، اصطلاح حلقه نوترین را در سال 1943 برای مشخص کردن این ویژگی خاص معرفی کرد. سهم قابل توجهی از مقاله نوتر در سال 1921، قضیه لاسکر-نوتر است، که قضیه اصلی لاسکر را در مورد تجزیه اولیه ایده آل ها در حلقه های چند جمله ای گسترش می دهد تا همه حلقه های نوتر را در بر بگیرد. این قضیه را می‌توان به‌عنوان بسط قضیه‌ی اساسی حساب در نظر گرفت، که فرض می‌کند هر عدد صحیح مثبت دارای یک عامل‌گذاری منحصربه‌فرد به اعداد اول است.

در انتشارات او در سال 1927، Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkory of the Str. از ایده‌آل‌ها در فیلدهای عددی و تابعی جبری)، نوتر ویژگی‌های حلقه‌هایی را که در آن ایده‌آل‌ها فاکتورگیری منحصربه‌فردی را به ایده‌آل‌های اول نشان می‌دهند، که اکنون به عنوان حوزه‌های Dedekind شناخته می‌شوند، مشخص کرد. او نشان داد که این حلقه ها با پنج معیار مشخص تعریف می شوند: آنها باید به هر دو شرایط زنجیره صعودی و نزولی پایبند باشند، دارای یک عنصر واحد در حالی که فاقد مقسوم علیه صفر باشند، و به طور یکپارچه در میدان کسرهای مربوطه خود بسته باشند. این مقاله علاوه بر این مواردی را که اکنون به عنوان قضایای هم‌شکلی شناخته می‌شود، ارائه می‌کند که هم‌شکل‌های طبیعی بنیادی را در کنار دیگر یافته‌های بنیادی در مورد مدول‌های نوتری و آرتینی توضیح می‌دهد.

نظریه حذف

بین سال‌های 1923 و 1924، نوتر نظریه ایده‌آل خود را به نظریه حذف گسترش داد و فرمولی را به کار برد که به شاگردش کرت هنتزلت نسبت داد. کار او نشان داد که قضایای هسته مربوط به عامل‌سازی چند جمله‌ای مستقیماً قابل انتقال به این زمینه هستند.

از نظر تاریخی، نظریه حذف بر فرآیند حذف یک یا چند متغیر از یک سیستم معادلات چند جمله‌ای متمرکز بوده و اغلب از روش برآیندها استفاده می‌کند. برای اهداف توضیحی، یک سیستم معادلات اغلب می تواند به شکل زیر بیان شود:

Mv = 0

در این نمایش، یک ماتریس (یا تبدیل خطی) M، مستقل از متغیر x، ضرب در بردار v (که فقط دارای توانهای غیر صفر x است)، بردار صفر، §9§8M باید برابر با صفر باشد، در نتیجه معادله جدیدی ارائه می شود که متغیر x با موفقیت حذف شده است.

نظریه ثابت گروه های محدود

روش‌های قبلی، مانند راه‌حل غیر سازنده هیلبرت برای مسئله پایه محدود، فاقد ظرفیت ارائه داده‌های کمی در مورد متغیرهای یک کنش گروهی بودند و به طور کلی برای همه اقدامات گروهی قابل استفاده نبودند. نوتر در انتشارات خود در سال 1915 راه‌حلی برای مسئله پایه محدود برای گروه محدودی از تبدیل‌ها ارائه کرد که بر روی یک فضای برداری با بعد محدود بر روی میدانی با مشخصه صفر عمل می‌کنند. یافته‌های او نشان داد که حلقه ثابت‌ها توسط متغیرهای همگن ایجاد می‌شود که درجه آنها از ترتیب گروه محدود تجاوز نمی‌کند، اصلی که به عنوان کران نوتر شناخته می‌شود. مقاله او دو اثبات برای کران نوتر ارائه کرد، که هر دوی آنها زمانی معتبر هستند که مشخصه فیلد همزمان با ${\displaystyle \left|G\tation|!$ (فاکتوریل ترتیب گروه ${\displaystyle \left|G\right|}$). با این حال، درجات مولدها ممکن است به کران Noether پایبند نباشند اگر مشخصه میدان عدد را تقسیم کند ${\displaystyle \left|G\right|}$ ${\displaystyle \left|G\right|!><>$ ${\displaystyle \left|G\right|}$. این سناریوی خاص، که به عنوان «شکاف نوتر» شناخته می‌شود، برای سال‌ها یک مشکل حل‌نشده باقی ماند تا اینکه به‌طور مستقل توسط فلیشمن در سال 2000 و فوگارتی در سال 2001 حل‌وفصل شد، که هر دو نشان‌دهنده اعتبار مستمر کران بود.

نشریه نوتر در سال 1926، به‌طور مستقل گروه‌های هیلبرت را در حوزه‌های مختلف حوزه‌های مختلف بازنمایی کرد. پرداختن به سناریوی بدیع که در آن ویژگی میدان نظم گروه را تقسیم می کند، موردی که توسط کار اصلی هیلبرت پوشش داده نمی شود. ویلیام هابوش متعاقباً یافته‌های نوتر را گسترش داد تا از طریق اثبات حدس مامفورد، همه گروه‌های تقلیل‌دهنده را شامل شود. در همین مقاله، Noether همچنین لم عادی سازی Noether را ارائه کرد، که نشان می دهد یک دامنه به طور محدود تولید شده A در یک فیلد k حاوی مجموعه ای {x§1314§، ...، x_n} از عناصر جبری مستقل، به گونه‌ای که A یکپارچه بر k[x§3132§، ...، x

توپولوژی

هرمان ویل، در آگهی ترحیم خود برای نوتر، سهم قابل توجهی از او در توپولوژی را برجسته کرد و بر سخاوت فکری او و تأثیر دگرگون‌کننده بینش‌های او در رشته‌های مختلف ریاضی تأکید کرد. توپولوژی شامل بررسی خصوصیات جسمی است که با وجود تغییر شکل بدون تغییر باقی می مانند، مانند اتصال. یک تصویر طنز متداول بیان می کند که "توپولوژیست نمی تواند دونات را از لیوان قهوه تشخیص دهد"، با توجه به تغییر شکل پیوسته آنها به یکدیگر.

Noether برای مفاهیم بنیادی پیشگامی که تکامل توپولوژی جبری را از سلف خود، به ویژه از طریق گروه های مقدماتی، تسهیل کرد، شناخته شده است. الکساندروف می گوید که نوتر در طی سخنرانی هایی که او و هاینز هاپف در سال های 1926 و 1927 ایراد کردند، "مستمر مشاهداتی انجام می داد که اغلب عمیق و ظریف بودند."

پس از مواجهه با چارچوب سیستماتیک توپولوژی ترکیبی،

او به سرعت ارزش بررسی مستقیم گروه‌های مجتمع‌ها و چرخه‌های جبری را در یک چندوجهی معین، در کنار زیرگروه چرخه‌های همولوگ با صفر، تشخیص داد. او به جای پایبندی به تعریف مرسوم اعداد بتی، تعریف گروه بتی را به عنوان گروه ضریب تشکیل شده توسط گروه همه چرخه ها و زیر گروه چرخه های همولوگ با صفر پیشنهاد کرد. در حالی که امروزه این بینش بدیهی به نظر می رسد، دیدگاهی اساساً بدیع را در طول دوره 1925-1928 نشان می دهد.

گزاره نوتر برای رویکرد جبری به توپولوژی به سرعت توسط ریاضیدانانی مانند هاپف و الکساندروف مورد استقبال قرار گرفت و به موضوعی برجسته در میان جامعه ریاضی گوتینگن تبدیل شد. او اشاره کرد که مفهوم او از گروه بتی درک فرمول اویلر-پوانکاره را ساده کرده است و مشارکت های بعدی هاپف در این زمینه تأثیر او را منعکس می کند. خود نوتر تنها به طور مختصر به بینش های توپولوژیکی خود در انتشارات 1926 اشاره کرد و آنها را به عنوان کاربرد نظریه گروه ارائه کرد.

همزمان، این روش جبری برای توپولوژی به طور مستقل در اتریش پدیدار شد. لئوپولد ویتوریس در طول دوره آموزشی 1926-1927 که در وین ارائه شد، مفهوم گروه همسانی را معرفی کرد که متعاقباً والتر مایر در سال 1928 آن را به یک تعریف بدیهی تبدیل کرد.

دوره سوم (1927–1935)

اعداد ابرمجموعه و نظریه نمایش

تحقیقات گسترده در مورد اعداد ابرمختلط و نمایش‌های گروهی در طول قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم انجام شد، اما این تلاش‌ها عمدتاً فاقد انسجام بودند. نوتر این یافته‌های قبلی را ترکیب کرد و نظریه بازنمایی کلی را برای گروه‌ها و جبرها ایجاد کرد. این سهم منحصر به فرد توسط نوتر با آغاز دوران جدیدی در جبر مدرن و اثبات بنیادی برای تکامل بعدی آن شناخته می‌شود.

در اصل، نوتر نظریه ساختار جبرهای انجمنی و نظریه نمایش گروه‌ها را در یک نظریه حسابی یکپارچه با محوریت مدول‌ها و شرایط ایده‌آل ادغام کرد.

جبر غیر جابجایی

Noether همچنین چندین پیشرفت دیگر در جبر را رهبری کرد. او با همکاری امیل آرتین، ریچارد برائر و هلموت هاسه، نظریه جبرهای ساده مرکزی را پایه گذاری کرد.

یک نشریه مشترک توسط نوتر، هاس و برائر به جبرهای تقسیم می پردازد، که ساختارهای جبری اجازه تقسیم را می دهند. آنها دو قضیه مهم را نشان دادند: اول، یک قضیه محلی-جهانی که ادعا می کند یک جبر تقسیم مرکزی محدود بعدی بر روی یک میدان عددی، اگر به صورت محلی در همه جا تقسیم شود، در سطح جهانی نیز تقسیم می شود (در نتیجه بی اهمیت می شود). و از اینجا Hauptsatz ("قضیه اصلی") خود را استخراج کردند:

هر جبر تقسیم مرکزی محدود بعدی بر روی یک میدان عدد جبری F بر روی یک پسوند سیکلوتومیک چرخه ای تقسیم می شود.

این قضایا طبقه بندی تمام جبرهای تقسیم مرکزی با بعد محدود را در یک فیلد عددی مشخص تسهیل می کند. انتشار بعدی توسط نوتر، به عنوان نمونه ای خاص از یک قضیه گسترده تر، نشان داد که تمام زیرشاخه های حداکثر یک جبر تقسیم D میدان های تقسیم را تشکیل می دهند. این مقاله علاوه بر این، قضیه Skolem-Noether را ارائه می‌کند، که فرض می‌کند هر دو جاسازی یک پسوند میدان k در یک جبر ساده مرکزی محدود بعدی بر روی k مزدوج هستند. قضیه Brauer-Noether توصیفی از میدان های تقسیم را برای جبر تقسیم مرکزی بر روی یک میدان ارائه می دهد.

میراث

کمک های نوتر همچنان به پیشرفت فیزیک نظری و ریاضیات مربوط می شود و موقعیت او را به عنوان یکی از برجسته ترین ریاضیدانان قرن بیستم تثبیت می کند. در طول زندگی خود و تا به امروز، ریاضیدانان برجسته ای از جمله پاول الکساندروف، هرمان ویل و ژان دیودونه، نوتر را به عنوان استثنایی ترین زن ریاضیدان تاریخ ثبت شده تحسین کرده اند.

در نامه ای خطاب به نیویورک تایمز، آلبرت انیشتین آرتیست:

در قضاوت ماهرترین ریاضیدانان زنده، فرولین نوتر مهمترین نابغه ریاضی خلاق بود که از زمان شروع تحصیلات عالی زنان تاکنون تولید شده است. در قلمرو جبر، که بااستعدادترین ریاضیدانان قرن‌ها در آن مشغول بوده‌اند، او روش‌هایی را کشف کرد که اهمیت بسیار زیادی در توسعه نسل جوان‌تر ریاضیدانان امروزی داشته است.

در مراسم ترحیم خود، B.L. van der Waerden، جبرشناس همکار خود، اصالت ریاضی او را "بیشتر از مقایسه مطلق" ستود، در حالی که هرمان ویل اظهار داشت که مشارکت های نوتر "وجهه جبر [انتزاعی] را تغییر داد." جرمی گری، ریاضیدان و مورخ، مشاهده کرد که تأثیر نوتر در هر کتاب درسی جبر انتزاعی مشهود است و اظهار داشت که «ریاضی‌دانان به سادگی نظریه حلقه را به روش خود انجام می‌دهند». نام او پس از مرگ به موجودات ریاضی متعدد و سیارک 7001 نوتر نسبت داده شده است. در سال 2019، مجله Time با ایجاد 89 جلد جدید، با انتخاب Noether برای سال 1921، یاد زنان سال از سال 1920 را گرامی داشت.

• زمان‌بندی زنان در علم
• یادداشت‌ها

یادداشت ها

مراجع

منابع

آثار منتخب امی نوتر

کتابهای

کتاب‌ها

• فیلیپس، لی (2024)، مدرس انیشتین: داستان امی نوتر و اختراع فیزیک مدرن، PublicAffairs، ISBN 9781541702974هاس، هلموت؛ نوتر، امی (2006)، لمر مایر، فرانتس; Roquette, Peter (ویرایشگران)، Helmut Hasse und Emmy Noether – Die Korrespondenz 1925–1935 [Helmut Hasse and Emmy Noether – Their Correspondence 1925–1935] (PDF), Götting accessible">10.17875/gup2006-49، ISBN 978-3-938616-35-2مقالات

• انژیر، ناتالی (26 مارس 2012)، "ریاضیدان توانا که هرگز از آن نشنیده اید"، نیویورک تایمز، بازیابی شده 27 ژانویه ><2ci title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rf t.jtitle=The+New+York+Times&rft.atitle=ریاضیدان+توانا+شما%27+هرگز+از&rft.date=2012-0 نشنیده اید 3-26&rft.aulast=انجیر&rft.aufirst=ناتالی&rft_id=https%3A%2F%2Fcom%2F2012%2F03%2F27%2Fscience%2Fem my-noether-the-significant-mathematician-youve-ever-hard-of.html&rfr_id=info%3Asid%2Fen.
• بلو، مردیث (2001)، نظریه گالوا و مسئله نوتر (PDF)، سی و چهارمین نشست سالانه انجمن اصلی ریاضیات فلوریدا از آمریکا، MAA (PDF) در 29 مه 2008، بازیابی 9 ژوئن 2018فیلیپس، لی (26 مه 2015)، "ریاضیدان زنی که درس فیزیک را تغییر داد - اما نتوانست شغلی پیدا کند"، Ars Technica، کالیفرنیا: Condé Nastrieveژانویه "مسئله ویژه در مورد زنان در ریاضیات" (PDF)، اطلاعیه‌های انجمن ریاضی آمریکا، 38 (7)، پراویدنس، RI: انجمن ریاضی آمریکا: 01–1999 سپتامبر ISSN 0002-9920شن، کینا (سپتامبر 2019)، "یک محقق پناهنده از آلمان نازی: کالج امی نوتر و براین ماور"، هوشمند ریاضی، 5-41 doi:10.1007/s00283-018-9852-0, S2CID 128009850بیوگرافی های آنلاین
  • Byers، Nina (16 مارس 2001)، "Emmy Noether"، Contributions of 20th Century Women to Physics، UCLA، بایگانی شده از نسخه اصلی در 12 فوریه <20span.
  • تیلور، مندی (22 فوریه 2023)، "امی نوتر"، زندگینامه زنان ریاضیدان، کالج اگنس اسکاتچون، مارکوس (5 مارس 2025)، "امی نوتر: نابغه‌ای که به انیشتین آموزش داد"، دیدگاه
    • امی نوتر در پروژه تبارشناسی ریاضیات
    • درخواست نوتر برای پذیرش در دانشگاه ارلانگن-نورنبرگ و سه رزومه او از وب سایت مورخ کوردولا تولمین

    رسانه

    • عکس Noether توسط Hanna Kunsch - مجموعه های ویژه کتابخانه کالج Bryn Mawr
    • عکسهای همکاران و آشنایان نوتر از وب سایت کلارک کیمبرلینگ