Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (; Allemand: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 septembre 1826 – 20 juillet 1866) était un éminent mathématicien allemand qui fit progresser de manière significative les domaines de l'analyse, de la théorie des nombres et de la géométrie différentielle. Dans le domaine de l'analyse réelle, ses réalisations les plus remarquables incluent la formulation initiale rigoureuse de l'intégrale, maintenant connue sous le nom d'intégrale de Riemann, et ses travaux approfondis sur les séries de Fourier. Dans le domaine de l'analyse complexe, il est particulièrement reconnu pour avoir introduit les surfaces de Riemann, pionnières d'une approche naturelle et géométrique du sujet. Sa publication phare de 1859 concernant la fonction de comptage des nombres premiers, qui présentait la formulation initiale de l'hypothèse de Riemann, constitue la pierre angulaire de la théorie analytique des nombres. Les travaux révolutionnaires de Riemann en géométrie différentielle ont établi les fondements mathématiques de la théorie de la relativité générale. Il est largement considéré comme l'un des mathématiciens les plus influents de l'histoire.

Petite vie

Né le 17 septembre 1826, Riemann est originaire de Breselenz, un village situé près de Dannenberg dans le royaume de Hanovre. Son père, Friedrich Bernhard Riemann, était un pasteur luthérien pauvre à Breselenz et un vétéran des guerres napoléoniennes. Sa mère, Charlotte Ebell, est décédée en 1846. Il était le deuxième de six enfants. Dès son plus jeune âge, Riemann a fait preuve d'aptitudes mathématiques extraordinaires, en particulier en informatique, mais il a néanmoins dû faire face à une profonde timidité, à une glossophobie et à une santé fragile.

Poursuites académiques

En 1840, Riemann déménage à Hanovre pour résider avec sa grand-mère et s'inscrire dans un lycée, cet établissement d'enseignement n'étant pas disponible dans son village natal. Après le décès de sa grand-mère en 1842, il fut transféré au Johanneum Lüneburg, une école secondaire située à Lunebourg. Là-bas, Riemann s'est engagé dans des études bibliques intensives, même si son attention s'est souvent déplacée vers les mathématiques. Ses instructeurs étaient étonnés par sa capacité à effectuer des calculs mathématiques complexes, dépassant souvent leur propre expertise. À l'âge de 19 ans, en 1846, il commença des études de philologie et de théologie chrétienne, avec l'intention de devenir pasteur et de contribuer à la stabilité financière de sa famille.

Au printemps 1846, après que son père eut obtenu des fonds suffisants, Riemann fut envoyé à l'université de Göttingen avec l'intention de poursuivre des études en théologie. Néanmoins, dès son arrivée, il commence des études mathématiques auprès de Carl Friedrich Gauss, assistant notamment à des cours sur la méthode des moindres carrés. Gauss conseilla par la suite à Riemann d'abandonner la théologie pour les mathématiques ; avec le consentement de son père, Riemann fut transféré à l'Université de Berlin en 1847. Au cours de son mandat là-bas, les professeurs notables comprenaient Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner et Gotthold Eisenstein. Après deux ans à Berlin, il revient à Göttingen en 1849.

Carrière universitaire

En 1854, Riemann prononça ses leçons inaugurales, qui établirent les principes fondamentaux de la géométrie riemannienne, jetant ainsi les bases de la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. Une tentative visant à élever Riemann au poste de professeur extraordinaire à l'Université de Göttingen eut lieu en 1857. Même si cette promotion échoua, elle lui assura un salaire constant. Par la suite, en 1859, après le décès de Dirichlet, qui occupait la chaire estimée de Gauss à l'Université de Göttingen, Riemann fut nommé à la tête du département de mathématiques de l'université. De plus, il fut le premier à proposer l'utilisation de dimensions au-delà de trois ou quatre pour la description de la réalité physique.

En 1862, il épousa Elise Koch, et ils eurent par la suite une fille.

Vie ultérieure et décès

En 1866, Riemann quitta Göttingen au milieu du conflit entre les armées de Hanovre et de Prusse. Il succomba à la tuberculose au cours de son troisième voyage en Italie et décéda à Selasca, actuellement un hameau de Verbania sur le lac Majeur, où il fut enterré au cimetière de Biganzolo (Verbania).

Riemann était un fervent chrétien, fils d'un pasteur protestant, et considérait ses recherches mathématiques comme une forme de service divin. Il a maintenu une foi chrétienne inébranlable tout au long de sa vie, la considérant comme l'élément primordial de son existence. Il est décédé alors qu'il récitait le Notre Père avec sa femme, avant qu'il ne soit terminé. Au même moment, à Göttingen, sa gouvernante se débarrassait par inadvertance de nombreux documents de son bureau, comprenant un volume important de documents inédits. Étant donné la réticence de Riemann à publier un travail inachevé, il est plausible que certaines idées profondes aient été irrémédiablement perdues.

Géométrie riemannienne

Les travaux publiés de Riemann ont ouvert la voie à de nouveaux domaines de recherche à l'intersection de l'analyse et de la géométrie. Ces contributions fondamentales ont ensuite évolué vers les principes centraux de la géométrie riemannienne, de la géométrie algébrique et de la théorie des variétés complexes. Le cadre conceptuel des surfaces de Riemann a été développé par Felix Klein et, notamment, Adolf Hurwitz. Cette discipline mathématique constitue une composante fondamentale de la topologie et continue de trouver des applications innovantes en physique mathématique.

En 1853, Gauss chargea son élève, Riemann, de composer un Habilitationsschrift abordant les principes fondamentaux de la géométrie. Riemann a consacré plusieurs mois à formuler sa théorie des dimensions supérieures, aboutissant à une conférence prononcée à Göttingen le 10 juin 1854, intitulée Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Cet ouvrage fondateur resta inédit jusqu'en 1868, douze ans plus tard, date à laquelle il fut publié par Dedekind, deux ans après la disparition de Riemann. Bien que son accueil initial ait été mitigé, il est désormais universellement reconnu comme l'une des contributions les plus significatives au domaine de la géométrie.

Ce traité fondateur a établi la discipline connue sous le nom de géométrie riemannienne. Riemann a conçu avec succès une méthode pour généraliser la géométrie différentielle des surfaces - un concept que Gauss lui-même a élucidé dans son théorème egregium - à n dimensions. Les composants clés de ce cadre incluent la métrique riemannienne et le tenseur de courbure de Riemann. Dans le cas bidimensionnel d'une surface, la courbure en tout point donné peut être simplifiée en une valeur scalaire, où les surfaces présentant une courbure positive ou négative constante servent d'exemples de géométries non euclidiennes.

La métrique de Riemann, un tenseur comprenant un ensemble de nombres à chaque point spatial, facilite la mesure de la vitesse le long de n'importe quelle trajectoire ; son intégrale donne la distance entre les points terminaux de la trajectoire. Par exemple, Riemann a démontré que dans un contexte spatial à quatre dimensions, dix valeurs numériques distinctes sont nécessaires en chaque point pour caractériser les distances et les courbures sur une variété, quelle que soit sa déformation.

Analyse complexe

Dans sa thèse, Riemann a jeté les bases géométriques d'une analyse complexe utilisant les surfaces de Riemann, transformant ainsi des fonctions à valeurs multiples, telles que le logarithme (caractérisé par une infinité de feuilles) ou la racine carrée (avec deux feuilles), en fonctions à valeur unique. Sur ces surfaces, les fonctions complexes se manifestent sous forme de fonctions harmoniques (c'est-à-dire qu'elles adhèrent à l'équation de Laplace et par conséquent aux équations de Cauchy-Riemann), leurs propriétés étant définies par la position de leurs singularités et la topologie inhérente des surfaces. Le genre topologique des surfaces de Riemann est mathématiquement exprimé comme g = w / §1617§ −<!-- − --> n + §2526§ {\displaystyle g=w/2-n+1} , où la surface comprend ${\displaystyle n}$ feuilles convergeant vers ${\displaystyle w>$ points de branchement. Quand 78§ {\displaystyle g>1} , la surface de Riemann possède ${\displaystyle (3g-3)>$ paramètres, appelés modules.

Ses contributions dans ce domaine sont étendues. Le célèbre théorème de cartographie de Riemann postule que tout domaine simplement connecté dans le plan complexe est biholomorphiquement équivalent (ce qui signifie qu'il existe une bijection holomorphe avec un inverse holomorphe) soit à ${\displaystyle \mathbb {C} >$ ou l'intérieur du cercle unité. La généralisation de ce théorème aux surfaces de Riemann est connue sous le nom de théorème d'uniformisation, résultat important établi au XIXe siècle par Henri Poincaré et Félix Klein. De même, des preuves rigoureuses de cette généralisation n’ont émergé qu’après le développement d’outils mathématiques plus sophistiqués, notamment la topologie. En démontrant l'existence de fonctions sur les surfaces de Riemann, Riemann a utilisé une condition de minimalité, qu'il a appelée principe de Dirichlet. Cependant, Karl Weierstrass a identifié un défaut critique dans cette preuve : Riemann avait négligé l'invalidité potentielle de son hypothèse sous-jacente concernant l'existence d'un minimum, car l'espace des fonctions pourrait manquer d'exhaustivité, excluant ainsi un minimum garanti. En fin de compte, le principe de Dirichlet a été rigoureusement établi grâce aux travaux ultérieurs de David Hilbert sur le calcul des variations. Malgré cela, Weierstrass tenait Riemann en haute estime, admirant particulièrement sa théorie des fonctions abéliennes. Lors de la publication de l'ouvrage de Riemann, Weierstrass a par conséquent retiré son propre article du Crelle's Journal, choisissant de ne pas le publier. Une forte compréhension mutuelle développée entre eux lors du Weierstrass de Riemann a ensuite encouragé son élève, Hermann Amandus Schwarz, à développer des approches alternatives au principe de Dirichlet dans le cadre de l'analyse complexe, une entreprise dans laquelle Schwarz a réussi. Une anecdote racontée par Arnold Sommerfeld illustre les défis auxquels les mathématiciens contemporains ont été confrontés pour comprendre les nouveaux concepts de Riemann. En 1870, Weierstrass aurait emmené la thèse de Riemann en vacances au Rigi, exprimant des difficultés dans sa compréhension. Le physicien Hermann von Helmholtz l'a aidé pendant la nuit, remarquant par la suite que le travail était à la fois « naturel » et « très compréhensible ».

D'autres contributions significatives incluent ses recherches sur les fonctions abéliennes et les fonctions thêta, en particulier dans le contexte des surfaces de Riemann. Depuis 1857, Riemann était engagé dans une entreprise concurrente avec Weierstrass pour résoudre les problèmes inverses jacobiens pour les intégrales abéliennes, qui représentent une généralisation des intégrales elliptiques. Riemann a abordé ce problème en employant des fonctions thêta de plusieurs variables, réduisant ainsi le problème à l'identification des zéros de ces fonctions. Il a également étudié les matrices de périodes, les caractérisant via les « relations de périodes riemanniennes », qui stipulent une symétrie et une partie réelle négative. Ferdinand Georg Frobenius et Solomon Lefschetz ont démontré plus tard que la validité de cette relation est équivalente à l'intégration de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega}$—où ${\displaystyle \Omega>$ désigne le réseau de la matrice de périodes — dans un espace projectif utilisant des fonctions thêta. Pour des valeurs spécifiques de ${\displaystyle n}$, cette construction donne la variété jacobienne de la surface de Riemann, qui illustre une variété abélienne.

De nombreux mathématiciens, dont Alfred Clebsch, ont ensuite fait progresser les travaux fondamentaux de Riemann sur les courbes algébriques. Ces cadres théoriques reposaient sur les propriétés des fonctions définies sur les surfaces de Riemann. Par exemple, le théorème de Riemann-Roch, nommé en partie d'après Roch, un élève de Riemann, délimite le nombre de différentielles linéairement indépendantes sur une surface de Riemann, sous réserve de conditions spécifiées concernant leurs zéros et leurs pôles.

Detlef Laugwitz postule que les fonctions automorphes ont initialement émergé dans un essai concernant l'équation de Laplace appliquée aux cylindres chargés électriquement. Cependant, Riemann lui-même a utilisé ces fonctions pour des mappages conformes (par exemple, pour transformer des triangles topologiques en cercle) dans sa conférence de 1859 sur les fonctions hypergéométriques et dans son traité sur les surfaces minimales.

Analyse réelle

En analyse réelle, Riemann a introduit l'intégrale de Riemann lors de son habilitation, démontrant que toutes les fonctions continues par morceaux sont intégrables. L'intégrale de Stieltjes est également attribuée au mathématicien de Göttingen, ce qui conduit à leur désignation combinée comme intégrale de Riemann-Stieltjes.

Dans sa thèse d'habilitation sur les séries de Fourier, s'appuyant sur les travaux de son mentor Dirichlet, Riemann a établi que les fonctions intégrables de Riemann peuvent être représentées par des séries de Fourier. Alors que Dirichlet avait démontré cela pour des fonctions continues différenciables par morceaux (caractérisées par un nombre dénombrable de points non différentiables), Riemann a étendu cela en fournissant un exemple de série de Fourier représentant une fonction continue, presque nulle part différentiable, un scénario non abordé par Dirichlet. En outre, il a prouvé le lemme de Riemann-Lebesgue, qui stipule que si une fonction est représentable par une série de Fourier, ses coefficients de Fourier se rapprochent de zéro lorsque n devient grand.

L'essai fondateur de Riemann a également servi de base fondamentale aux recherches de Georg Cantor sur les séries de Fourier, qui ont ensuite catalysé le développement de la théorie des ensembles.

En 1857, Riemann appliqua des méthodes analytiques complexes aux équations différentielles hypergéométriques, illustrant leurs solutions par le comportement de chemins fermés autour de singularités, caractérisés par la matrice de monodromie. La démonstration de l'existence de telles équations différentielles, étant donné des matrices de monodromie prédéfinies, constitue l'un des problèmes de Hilbert.

Théorie des nombres

Riemann a contribué de manière significative à la théorie analytique moderne des nombres. Dans sa seule et concise publication sur la théorie des nombres, il a exploré la fonction zêta, qui porte désormais son nom, établissant ainsi son rôle essentiel dans la compréhension de la distribution des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est apparue comme l'une des nombreuses conjectures qu'il a proposées concernant les caractéristiques de la fonction.

Les travaux de Riemann englobent de nombreuses autres avancées notables. Il a démontré l'équation fonctionnelle de la fonction zêta, une relation précédemment identifiée par Leonhard Euler, qui repose sur une fonction thêta. En additionnant cette fonction d'approximation sur les zéros non triviaux situés sur la ligne avec une partie réelle de 1/2, il a dérivé une "formule explicite" exacte pour ${\displaystyle \pi (x)>$.

Riemann était au courant des recherches de Pafnuty Chebyshev concernant le théorème des nombres premiers, puisque Chebyshev avait rendu visite à Dirichlet en 1852.

Publications

Les œuvres publiées de Riemann incluent :

• 1851 – Fondements d'une théorie générale des fonctions d'une quantité complexe variable (Fondements d'une théorie générale des fonctions d'une quantité complexe variable), thèse inaugurale, Göttingen, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Théorie des fonctions abéliennes), Journal de mathématiques pures et appliquées, Vol. 54, pp. 101-155.
• 1859 – À propos du nombre de nombres premiers sous une taille donnée (Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée), dans : Rapports mensuels de l'Académie prussienne des sciences. Berlin, novembre 1859, pp. 671ff. Ce travail inclut la conjecture de Riemann. À propos du nombre de nombres premiers sous une taille donnée. (Wikisource), fac-similé du manuscrit archivé le 03/03/2016 à la Wayback Machine avec Clay Mathematics.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Commentaire mathématique, dans lequel on tente de répondre à une question proposée par l'Illustre Académie de Paris), soumis à l'Académie de Paris pour un concours.
• 1867 – Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique (Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique), extrait du treizième volume des actes de la Royal Society of Sciences de Göttingen.
• 1868 – À propos des hypothèses sous-jacentes à la géométrie (Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie). Traités de la Royal Society of Sciences, Göttingen 1868. Une traduction anglaise, Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie, par W.K. Clifford, paru dans Nature 8 (1873) : 183, et a ensuite été réimprimé dans Clifford's Collected Mathematical Papers (Londres : MacMillan, 1882 ; New York : Chelsea, 1968). Ce travail est également inclus dans Ewald, William B., éd., 1996, « From Kant to Hilbert : A Source Book in the Foundations of Mathematics », 2 vols. (Oxford University Press : 652-61).
• 1876 – Collected Mathematical Works and Scientific Papers de Bernhard Riemann, édité par Heinrich Weber avec la collaboration de Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2e édition 1892, réimprimé par Dover 1953 (avec des contributions de Max Noether et Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Les éditions ultérieures incluent Les œuvres complètes de Bernhard Riemann : les textes allemands complets. Edité par Heinrich Weber ; Richard Dedekind ; M Noéther ; Wilhelm Wirtinger ; Hans Lewy. Mineola, New York : Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
• 1876 – Gravité, électricité et magnétisme, Hanovre : Karl Hattendorff.
• 1882 – Conférences sur les équations aux dérivées partielles, 3e édition. Brunswick 1882.
• 1901 – Les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique selon les conférences de Riemann. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (éd.). "Die partiellen différentiel-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". Friedrich Vieweg et Sohn.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected Papers, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Liste des entités nommées d'après Bernhard Riemann.
  • Liste des choses nommées d'après Bernhard Riemann
  • Géométrie non euclidienne.
  • Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée, article de Riemann de 1859 présentant la fonction zêta complexe.

  Références

  Derbyshire, John (2003), Prime Obsession : Bernhard Riemann et le plus grand problème non résolu en mathématiques, Washington, DC : John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.

  • Derbyshire, John (2003), Obsession primordiale : Bernhard Riemann et le plus grand problème non résolu en mathématiques, Washington, DC : John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topologie et physique, Boston, MA : Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen ; Papadopoulos, Athanese ; Yamada, Sumio, éd. (2017). De Riemann à la géométrie différentielle et à la relativité. Springer. ISBN 9783319600390.Lignée académique de Bernhard Riemann au Mathematics Genealogy Project.
    • Bernhard Riemann au projet de généalogie mathématique
    • Les articles mathématiques rassemblés par Georg Friedrich Bernhard Riemann.
    • Publications de Riemann.
    • O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", Archives d'histoire des mathématiques MacTutor, Université de St AndrewsWeisstein, Eric Wolfgang (éd.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.