Archimedes

Archimede di Siracusa (AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 a.C.), un erudito greco antico originario di Siracusa, in Sicilia, si distinse come matematico, fisico, ingegnere, astronomo e inventore. Nonostante la scarsità di informazioni biografiche, le sue opere esistenti lo confermano saldamente come uno scienziato eminente dell'antichità classica e uno dei matematici più significativi della storia. Archimede prefigurò in particolare il calcolo e l'analisi moderni attraverso la sua applicazione innovativa degli infinitesimi e del metodo di esaustione, che gli permise di derivare e dimostrare rigorosamente numerosi teoremi geometrici, tra cui l'area di un cerchio, l'area superficiale e il volume di una sfera, l'area di un'ellisse, l'area sotto una parabola, il volume di un segmento di paraboloide di rivoluzione, il volume di un segmento di rivoluzione iperboloide e l'area di una spirale.

Archimede di Siracusa (AR-kih-MEE-deez; c. 287 – c. 212 a.C.) è stato un matematico, fisico, ingegnere, astronomo e inventore dell'antica Grecia. città di Siracusa in Sicilia. Sebbene si conoscano pochi dettagli della sua vita, sulla base del suo lavoro sopravvissuto, è considerato uno dei principali scienziati dell'antichità classica e uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Archimede anticipò il calcolo e l'analisi moderni applicando il concetto degli infinitesimi e il metodo di esaustione per derivare e dimostrare rigorosamente molti teoremi geometrici, tra cui l'area di un cerchio, l'area superficiale e il volume di una sfera, l'area di un'ellisse, l'area sotto una parabola, il volume di un segmento di un paraboloide di rivoluzione, il volume di un segmento di un iperboloide di rivoluzione e l'area di una spirale.

Ulteriori risultati matematici di Archimede comprendono la derivazione di un'approssimazione per pi greco (π), la definizione e l'esplorazione della spirale di Archimede e la creazione di un sistema esponenziale per rappresentare numeri eccezionalmente grandi. Fu anche tra i primi studiosi ad applicare i principi matematici ai fenomeni fisici, in particolare nei campi della statica e dell'idrostatica. I suoi contributi in questo campo includono una dimostrazione rigorosa della legge della leva, l'adozione diffusa del concetto di baricentro e l'articolazione della legge di galleggiamento, notoriamente nota come principio di Archimede. In astronomia, effettuò misurazioni del diametro apparente del Sole e stime della scala dell'universo. La tradizione gli attribuisce anche la costruzione di un planetario che simulava i moti dei corpi celesti conosciuti, potenzialmente antecedente al meccanismo di Anticitera. Inoltre, gli viene attribuita la progettazione di dispositivi meccanici rivoluzionari, come la pompa a vite, le pulegge composte e le macchine da guerra difensive progettate per salvaguardare Siracusa dalle incursioni militari.

Archimede morì durante l'assedio di Siracusa, ucciso da un soldato romano nonostante le direttive esplicite volte a garantire la sua sicurezza. Cicerone in seguito raccontò le sue

In contrasto con la fama delle sue invenzioni, i trattati matematici di Archimede ricevettero un riconoscimento limitato durante l'antichità. Sebbene i matematici alessandrini si occupassero e citassero il suo lavoro, la compilazione completa iniziale non ebbe luogo fino al c. 530 d.C., intrapresa da Isidoro di Mileto nella Costantinopoli bizantina. Allo stesso tempo, i commenti di Eutocio alle opere di Archimede durante lo stesso secolo ne ampliarono significativamente l'accessibilità. Per tutto il Medioevo, i suoi scritti furono tradotti in arabo nel IX secolo e successivamente in latino nel XII secolo, diventando una risorsa intellettuale fondamentale per gli studiosi durante il Rinascimento e la Rivoluzione scientifica. La scoperta dei testi di Archimede all'interno del Palinsesto di Archimede nel 1906 ha offerto da allora spunti senza precedenti sulle sue metodologie per ottenere risultati matematici.

Biografia

I dettagli della vita di Archimede rimangono in gran parte enigmatici. Sebbene Eutocio abbia fatto riferimento a una biografia presumibilmente scritta dal socio di Archimede, Eraclide Lembus, quest'opera non esiste più e gli studi contemporanei mettono in dubbio la sua attribuzione originale a Eraclide.

Sulla base dell'affermazione dello studioso greco bizantino Giovanni Tzetzes secondo cui Archimede visse per 75 anni prima della sua morte nel 212 a.C., si stima che la sua nascita sia avvenuta ca. 287 a.C. a Siracusa, in Sicilia, allora colonia autonoma all'interno della Magna Grecia. Nel suo trattato Sand-Reckoner, Archimede identifica suo padre come Fidia, un astronomo sul quale non sono disponibili ulteriori informazioni. Mentre Plutarco, nelle sue Vite parallele, suggerisce un legame familiare tra Archimede e il re Gerone II di Siracusa, Cicerone e Silio Italico implicano un background più modesto. I dettagli riguardanti il ​​suo stato civile, la sua progenie o qualsiasi potenziale soggiorno ad Alessandria d'Egitto durante i suoi anni di formazione rimangono non confermati. Tuttavia, la sua corrispondenza esistente, indirizzata a Dositeo di Pelusio (un allievo dell'astronomo alessandrino Conone di Samo) e al capo bibliotecario Eratostene di Cirene, indica rapporti collegiali sostenuti con gli studiosi di Alessandria. Nello specifico, nella prefazione a On Spirals, dedicata a Dositeo, Archimede afferma che "sono trascorsi molti anni dalla morte di Conone", con Conone di Samo vissuto intorno al 280-220 a.C., suggerendo che Archimede potrebbe essere stato in età avanzata quando compose alcune opere.

Il problema della corona d'oro

Tra i problemi che Archimede ha risolto per Gerone II c'è il famoso "problema della ghirlanda". Vitruvio, scrivendo circa due secoli dopo la morte di Archimede, racconta che il re Gerone II di Siracusa commissionò una corona d'oro per un tempio divino, fornendo all'orafo l'oro puro per la sua creazione. Il re, tuttavia, cominciò a sospettare che l'orafo avesse illegalmente sostituito parte dell'oro con argento più economico e avesse trattenuto una parte del metallo puro. Incapace di ottenere una confessione, Gerone II incaricò Archimede delle indagini. Successivamente, entrando in un bagno, Archimede avrebbe osservato che il livello dell'acqua nella vasca aumentava proporzionalmente alla sua immersione. Riconoscendo che questo fenomeno poteva accertare il volume della corona d'oro, si dice che fosse così euforico che corse nudo per le strade, esclamando "Eureka!" (che significa "l'ho trovato!"), avendo dimenticato di vestirsi. Vitruvio afferma inoltre che Archimede procedette a prendere una massa d'oro e una massa d'argento, ciascuna equivalente in peso alla ghirlanda. Immergendoli ciascuno nella vasca da bagno, dimostrò che la corona spostava più acqua dell'oro puro ma meno dell'argento puro, dimostrando così che la corona era una lega di oro e argento.

Una narrazione alternativa appare nella Carmen de Ponderibus, un poema didattico latino anonimo del V secolo riguardante pesi e misure, precedentemente attribuito al grammatico Prisciano. Secondo questo poema, masse d'oro e d'argento venivano posizionate sui piatti di una bilancia, e l'intero insieme veniva poi immerso nell'acqua. La densità differenziale tra l'oro e l'argento, o tra l'oro e la corona, farebbe quindi inclinare la bilancia. In contrasto con il più noto aneddoto della vasca da bagno di Vitruvio, questa interpretazione poetica utilizza il principio idrostatico ora riconosciuto come principio di Archimede. Questo principio, dettagliato nel suo trattato Sui corpi galleggianti, presuppone che un corpo immerso in un fluido sperimenta una forza di galleggiamento verso l'alto equivalente al peso del fluido che sposta. Galileo Galilei, che nel 1586 ideò una bilancia idrostatica influenzata dai contributi di Archimede, ritenne "probabile che questo metodo sia lo stesso seguito da Archimede, poiché, oltre ad essere molto accurato, si basa su dimostrazioni trovate dallo stesso Archimede."

Lancio di Syracusia

Gran parte degli sforzi ingegneristici di Archimede probabilmente derivarono dalla risposta alle esigenze della sua città natale, Siracusa. Ateneo di Naucrati, nella sua opera Deipnosophistae, cita la descrizione di Moschione della commissione del re Gerone II per la progettazione di un'immensa nave, la Syracusia. Si ritiene che questa nave sia stata la più grande costruita nell'antichità classica e, secondo il racconto di Moschion, fu varata da Archimede. Plutarco presenta un resoconto alquanto divergente, raccontando il vanto di Archimede con Hiero di possedere la capacità di spostare qualsiasi peso sostanziale, spingendo Hiero a sfidarlo a spostare una nave. Queste narrazioni, tuttavia, incorporano numerosi dettagli fantastici e storicamente improbabili. Inoltre, gli autori offrono spiegazioni contrastanti su come questa impresa fu ottenuta: Plutarco afferma che Archimede ideò un sistema di carrucole blocca-e-paranco, mentre Eroe di Alessandria attribuì la stessa affermazione all'invenzione da parte di Archimede del baroulkos, un tipo di verricello. Pappo di Alessandria, al contrario, attribuì questo risultato all'applicazione da parte di Archimede del vantaggio meccanico, in particolare del principio della leva, per sollevare oggetti che altrimenti sarebbero stati inamovibilmente pesanti. Attribuì ad Archimede la dichiarazione spesso citata: "Dammi un posto su cui stare e sposterò la Terra."

Ateneo, forse interpretando erroneamente i dettagli della descrizione di Erone del baroulkos, registra anche l'uso da parte di Archimede di una "vite" per estrarre qualsiasi acqua potenzialmente fuoriuscita nello scafo della Syracusia. Sebbene questo apparato sia talvolta chiamato vite di Archimede, molto probabilmente lo precede notevolmente. In particolare, nessuno dei suoi contemporanei immediati che ne documentarono l'applicazione (inclusi Filone di Bisanzio, Strabone e Vitruvio) gli attribuisce l'invenzione o l'uso primario.

Macchine da guerra

La fama antica più significativa di Archimede derivava dal suo ruolo fondamentale nella difesa di Siracusa dalle forze romane durante il suo assedio. Plutarco racconta che Archimede aveva progettato formidabili macchine da guerra per Gerone II, sebbene questi dispositivi rimasero inutilizzati durante la vita di Gerone. Tuttavia, nel 214 a.C., nel mezzo della seconda guerra punica, Siracusa spostò la sua fedeltà da Roma a Cartagine. Quando l'esercito romano, guidato da Marco Claudio Marcello, tentò successivamente di catturare la città, Archimede, secondo quanto riferito, diresse lo spiegamento di queste macchine da guerra, impedendo sostanzialmente l'avanzata romana. La città alla fine cadde solo dopo un lungo assedio. I resoconti di tre storici distinti - Plutarco, Livio e Polibio - confermano l'esistenza di queste innovazioni militari, descrivendo in dettaglio catapulte e gru potenziate progettate per lanciare pesanti proiettili di piombo sulle navi romane o impiegare un artiglio di ferro per sollevare le navi dall'acqua prima di immergerle.

Una narrazione considerevolmente meno documentata, assente dai primi documenti storici di Plutarco, Polibio o Livio, postula che Archimede utilizzasse "specchi ustori" per concentrare i raggi solari sulle navi romane invasori, accendendole così. La menzione iniziale di navi date alle fiamme, attribuita allo scrittore satirico Luciano di Samosata del II secolo d.C., non fa riferimento agli specchi, ma si limita ad affermare che le navi furono incendiate con metodi artificiali, suggerendo potenzialmente l'uso di proiettili incendiari. Galeno, scrivendo più tardi nello stesso secolo, è il primo autore a menzionare esplicitamente gli specchi in questo contesto. Circa quattro secoli dopo Luciano e Galeno, Antemio, nonostante esprimesse scetticismo, tentò di ricostruire la geometria teorica del riflettore di Archimede. Questo presunto apparato, talvolta chiamato "raggio di calore di Archimede", è stato oggetto di un continuo dibattito accademico riguardo alla sua veridicità sin dal Rinascimento. René Descartes ha liquidato il racconto come fittizio, mentre i ricercatori contemporanei hanno tentato di replicare l'effetto utilizzando solo le tecnologie disponibili nell'era di Archimede, ottenendo risultati inconcludenti.

Morte

Le circostanze che circondano la morte di Archimede durante il sacco romano di Siracusa sono descritte in dettaglio in diversi resoconti storici disparati. La narrazione più antica, fornita da Tito Livio, afferma che Archimede fu ucciso da un soldato romano, ignaro della sua identità, mentre era intento a disegnare figure geometriche nella polvere. Plutarco offre due versioni distinte: in una, un soldato chiese ad Archimede di accompagnarlo, ma Archimede rifiutò, insistendo per completare il suo problema matematico, dopodiché il soldato lo uccise con la sua spada. Nel racconto alternativo di Plutarco, Archimede trasportava strumenti matematici quando fu ucciso da un soldato che li scambiò per beni di valore. Valerio Massimo, uno scrittore romano fiorente intorno al 30 d.C., registrò nella sua opera Memorable Doings and Sayings che l'ultima affermazione di Archimede, quando fu ucciso dal soldato, fu "... ma proteggendo la polvere con le mani, disse 'Ti prego, non disturbare questo.'" Questa affermazione ha somiglianza con le ultime parole ampiamente attribuite, sebbene storicamente infondate, "Non disturbare il mio cerchi."

Secondo quanto riferito, Marcello era irritato dalla morte di Archimede, avendolo considerato una risorsa scientifica inestimabile - definendolo addirittura "un Briareo geometrico" - e aveva emesso ordini espliciti per la sua protezione. Cicerone (106–43 a.C.) registra che Marcello trasportò a Roma due planetari, costruiti da Archimede. Questi dispositivi raffiguravano i movimenti del Sole, della Luna e di cinque pianeti; uno fu successivamente donato al Tempio della Virtù a Roma, mentre l'altro fu presumibilmente trattenuto da Marcello come suo unico acquisto personale da Siracusa. Pappo di Alessandria fa riferimento a un trattato ormai perduto di Archimede, intitolato Sulla costruzione delle sfere, che potrebbe aver dettagliato la costruzione di tali meccanismi. La progettazione di questi intricati dispositivi avrebbe richiesto una comprensione avanzata degli ingranaggi differenziali, una capacità un tempo ritenuta oltre la portata tecnologica dell'antichità. Tuttavia, la scoperta nel 1902 del meccanismo di Anticitera, un altro apparato costruito intorno al c. 100 a.C. con una funzione paragonabile, ha dimostrato che dispositivi così sofisticati erano effettivamente noti agli antichi greci, portando alcuni studiosi a considerare le creazioni di Archimede come precursori.

Durante il suo mandato come questore in Sicilia, Cicerone localizzò quella che si credeva fosse la tomba di Archimede vicino alla Porta Agrigentina a Siracusa, in stato di rovina e oscurata dalla vegetazione. Ha organizzato il restauro della tomba, che ha rivelato un'incisione e versi iscritti leggibili. In particolare, la tomba conteneva una scultura raffigurante la prova matematica preferita di Archimede: che il volume e l'area della superficie di una sfera costituiscono due terzi di un cilindro circostante, comprese le sue basi.

Matematica

Sebbene spesso riconosciuto per le sue invenzioni meccaniche, Archimede ha anche fatto avanzare in modo significativo il campo della matematica sia estendendo le metodologie dei suoi predecessori per ottenere nuovi risultati sia aprendo la strada ai propri approcci innovativi.

Metodo di esaurimento

In Quadratura della parabola, Archimede fa riferimento a una proposizione tratta dagli Elementi di Euclide, in cui si stabilisce che l'area di un cerchio è proporzionale al suo diametro. Questa proposizione fu dimostrata utilizzando un lemma ora chiamato proprietà di Archimede: “l’eccesso per cui la maggiore di due regioni disuguali supera la minore, se sommata a se stessa, può superare qualsiasi data regione delimitata”. Prima di Archimede, Eudosso di Cnido e altri matematici antichi utilizzavano questo lemma, una tecnica successivamente nota come "metodo di esaurimento", per determinare i volumi di vari solidi geometrici, tra cui il tetraedro, il cilindro, il cono e la sfera. Le dimostrazioni di questi calcoli sono dettagliate nel Libro XII degli Elementi di Euclide.

All'interno della Misura di un cerchio, Archimede ha utilizzato questo metodo per dimostrare che l'area di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo con una base uguale al raggio del cerchio e un'altezza uguale alla sua circonferenza. Successivamente approssimetò il rapporto tra il raggio e la circonferenza, rappresentato da π, inscrivendo un esagono regolare all'interno di un cerchio e circoscrivendo attorno ad esso un altro esagono regolare. Quindi raddoppiò ripetutamente il numero di lati di ciascun poligono regolare, calcolando meticolosamente la lunghezza del lato di ciascun poligono in ogni fase. Questo processo iterativo, aumentando il numero di lati, ha prodotto approssimazioni del cerchio progressivamente più accurate. Dopo quattro di tali iterazioni, quando i poligoni raggiunsero 96 lati, stabilì che il valore di π era compreso tra 3⁠§89§/§1213§⁠ (circa 3,1429) e 3⁠§1819§/71⁠ (circa 3,1408), un intervallo coerente con il valore effettivo di circa 3,1416. Inoltre, nello stesso lavoro, ha postulato che la radice quadrata di 3 sia compresa tra ⁠265/153⁠ (circa 1,7320261) e ⁠1351/780⁠ (circa 1,7320512), probabilmente derivato attraverso una metodologia analoga.

All'interno della quadratura della parabola, Archimede applicò questo metodo per dimostrare che l'area delimitata da una parabola e da una linea retta è ⁠4/§89§⁠ volte l'area di un triangolo inscritto equivalente, come illustrato nella figura allegata. Ha articolato questa soluzione come una serie geometrica infinita con un rapporto comune di ⁠§1415§/§1819§⁠:

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2526§ − n = §3738§ + §4243§ − §4849§ + §5556§ − §6162§ + §6869§ − §7475§ + ⋯ = §8788§ §8990§ . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.\;}

Il primo termine di questa serie rappresenta l'area del triangolo iniziale, mentre il secondo termine corrisponde alla somma delle aree di due triangoli più piccoli. Questi triangoli più piccoli hanno le basi formate dalle due rette secanti più piccole, e il loro terzo vertice si trova all'intersezione della parabola con una retta parallela al suo asse, passante per il punto medio della base. Questo processo iterativo continua. La dimostrazione utilizza una variazione della serie geometrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, che converge a ⁠§45§/§89§⁠.

Archimede applicò ulteriormente questa tecnica per determinare le aree superficiali di sfere e coni, calcolare l'area delle ellissi e accertare la regione racchiusa da una spirale di Archimede.

Metodo meccanico

È più pratico fornire una prova quando si possiede già una certa comprensione dell'argomento, acquisita attraverso il metodo, piuttosto che intraprendere un'indagine senza alcuna conoscenza preliminare.

Oltre a perfezionare il metodo di esaustione, che si basava sui contributi dei matematici precedenti, Archimede innovò una tecnica distinta che utilizzava il principio della leva per determinare fisicamente le aree e i volumi delle figure geometriche. Uno schema iniziale di questa dimostrazione appare in Quadratura della parabola, presentato insieme alla dimostrazione geometrica, ma un'esposizione più completa è fornita in Il metodo dei teoremi meccanici. Lo stesso Archimede affermò di aver inizialmente ricavato risultati nei suoi lavori matematici utilizzando questo metodo meccanico, successivamente lavorando al contrario per applicare il metodo di esaustione solo dopo che era stato stabilito un valore approssimativo per la soluzione.

Numeri grandi

Archimede ideò anche metodologie per la rappresentazione di numeri eccezionalmente grandi.

Nel suo trattato The Sand Reckoner, Archimede sviluppò un sistema numerico fondato sulla miriade (il termine greco per 10.000) per quantificare un numero superiore ai granelli di sabbia stimati necessari per riempire il cosmo. Egli ipotizzò un sistema numerico che impiegava potenze di una miriade di miriadi (equivalenti a 100 milioni, o 10.000 × 10.000) e stabilì che la quantità di granelli di sabbia necessari per riempire l'universo sarebbe stata di 8 vigintillion, o 8×10⁶³. Attraverso questo sforzo, ha efficacemente illustrato la capacità della matematica di rappresentare quantità arbitrariamente grandi.

Il Problema del bestiame presenta una sfida di Archimede ai matematici della Biblioteca di Alessandria, incaricandoli di enumerare il bestiame nella Mandria del Sole, un compito che richiede la soluzione di più equazioni diofantee simultanee. Una variante più complessa di questo problema impone che alcune soluzioni debbano essere quadrati perfetti, ottenendo una risposta numerica eccezionalmente grande, circa 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Solido di Archimede

In un trattato ormai perduto, documentato da Pappo di Alessandria, Archimede dimostrò l'esistenza di esattamente tredici poliedri semiregolari.

Scritti

Archimede diffuse le sue scoperte matematiche attraverso la corrispondenza con studiosi ad Alessandria, con queste comunicazioni originali composte in greco dorico, il dialetto prevalente nell'antica Siracusa.

Lavori sopravvissuti

L'elenco successivo è disposto in ordine cronologico, aderendo ai criteri terminologici e storici aggiornati stabiliti da Knorr (1978) e Sato (1986).

Misura di un cerchio

Questo conciso trattato comprende tre proposizioni. Si struttura come una corrispondenza indirizzata a Dositeo di Pelusio, allievo di Conone di Samo. Nella Proposizione II, Archimede fornisce un'approssimazione per il valore di pi greco (π), dimostrando che è compreso tra ⁠223/71⁠ (circa 3,1408) e ⁠22/§1819§⁠ (circa 3,1428).

Il Sand Reckoner

All'interno di questo trattato, chiamato anche Psammiti, Archimede calcola un numero superiore alla quantità stimata di granelli di sabbia necessari per riempire l'universo. L'opera fa riferimento al modello eliocentrico del Sistema Solare, avanzato da Aristarco di Samo, insieme alle teorie prevalenti riguardanti le dimensioni della Terra, le distanze tra gli oggetti celesti e gli sforzi per accertare il diametro apparente del Sole. Utilizzando un sistema numerico fondato sulle potenze della miriade, Archimede deduce che il numero totale di granelli di sabbia necessari per riempire l'universo ammonta a 8×10⁶³ nella notazione scientifica contemporanea. L'epistola introduttiva identifica il padre di Archimede come Fidia, un astronomo. In particolare, The Sand Reckoner è l'unica opera esistente in cui Archimede articola le sue prospettive astronomiche.

Nel Sand-Reckoner, Archimede esamina le misurazioni astronomiche relative alla Terra, al Sole e alla Luna, insieme al modello eliocentrico dell'universo di Aristarco. In mancanza di trigonometria o di una tavola delle corde, Archimede accertò il diametro apparente del Sole descrivendo prima in dettaglio la metodologia e la strumentazione di osservazione (un'asta diritta con pioli o scanalature), successivamente applicando fattori correttivi a questi dati empirici e infine presentando il risultato come un intervallo definito da limiti superiori e inferiori, adattando così potenziali imprecisioni nell'osservazione.

Tolomeo, citando Ipparco, allude anche alle osservazioni del solstizio di Archimede in l'Almagesto. Di conseguenza, Archimede è riconosciuto come il primo studioso greco a documentare più date e orari di solstizio negli anni successivi.

Sull'equilibrio dei piani

Il trattato Sull'equilibrio dei piani è composto da due volumi: il volume iniziale presenta sette postulati e quindici proposizioni, mentre il volume successivo comprende dieci proposizioni. All'interno del primo volume Archimede dimostra rigorosamente la legge della leva, la quale afferma che:

Le magnitudini sono in equilibrio a distanze reciprocamente proporzionali ai loro pesi.

Le formulazioni precedenti del principio della leva compaiono in un'opera di Euclide e nei Problemi meccanici, un testo associato alla scuola peripatetica, seguaci di Aristotele, la cui paternità è occasionalmente attribuita ad Archita.

Archimede applica questi principi derivati per determinare le aree e i centri di gravità di diverse configurazioni geometriche, come triangoli, parallelogrammi e parabole.

Quadratura della Parabola

Composto da 24 proposizioni e dedicato a Dositeo, questo trattato dimostra attraverso due distinte metodologie che la regione delimitata da una parabola e da una linea secante costituisce i quattro terzi dell'area di un triangolo avente base e altezza equivalenti. Questo risultato si ottiene attraverso due approcci: inizialmente, utilizzando il principio della leva e, successivamente, calcolando la somma di una serie geometrica infinita con un rapporto comune di 1/4.

Sulla sfera e sul cilindro

All'interno di questo trattato in due volumi, anch'esso dedicato a Dositeo, Archimede trae la sua scoperta più celebre: il rapporto fondamentale tra una sfera e il suo cilindro circoscritto, a condizione che condividano altezza e diametro identici. Nello specifico, il volume della sfera è calcolato come ⁠4/§67§⁠πr§1617§, mentre il volume del cilindro è 2πr§2425§. L'area della superficie della sfera è determinata essere 4πr§3233§, e per il cilindro (comprese le sue due basi), è 6πr§4041§, dove r denota il raggio comune sia della sfera che del cilindro.

Sulle spirali

Composto da 28 proposizioni, questo trattato è analogamente dedicato a Dositeo. Introduce formalmente la curva oggi riconosciuta come spirale di Archimede. Questa spirale è caratterizzata come il luogo dei punti generati da un punto che si allontana uniformemente da un'origine fissa lungo una linea che ruota simultaneamente con una velocità angolare costante. Nelle coordinate polari contemporanee (r, θ), la sua rappresentazione matematica è data dall'equazione ${\displaystyle \,r=a+b\theta }$, dove a e b sono costanti reali.

Questo rappresenta un primo esempio di curva meccanica (definita come una curva generata da un punto in movimento) studiata da un matematico ellenico.

Su conoidi e sferoidi

Questo trattato, comprendente 32 proposizioni, è dedicato a Dositeo. All'interno di questo testo, Archimede calcola le aree superficiali e i volumi di varie sezioni derivate da coni, sfere e paraboloidi.

Sui corpi mobili

L'opera On Floating Bodies è divisa in due libri. Nel volume iniziale Archimede articola i principi che governano l'equilibrio dei fluidi e dimostra che l'acqua assume naturalmente una configurazione sferica attorno al suo baricentro.

Questo trattato presenta il principio di galleggiabilità di Archimede, articolato come segue:

Qualsiasi corpo immerso completamente o parzialmente in un fluido subisce una spinta verso l'alto uguale, ma opposta nella direzione, al peso del fluido spostato.

La seconda parte prevede il calcolo delle posizioni di equilibrio per varie sezioni di paraboloidi. Questa analisi probabilmente è servita come idealizzazione per le forme degli scafi delle navi. Alcune sezioni sono raffigurate mentre galleggiano con la base sommersa e l'apice sopra l'acqua, in modo analogo alla galleggiabilità osservata negli iceberg.

Stomachio

Chiamato anche Loculo di Archimede o Scatola di Archimede, costituisce un puzzle di dissezione simile a un Tangram. Il trattato associato è stato scoperto in uno stato più completo all'interno del Palinsesto di Archimede. Archimede calcolò le aree dei 14 pezzi costituenti, che possono essere disposti per costruire un quadrato. Nel 2003, Reviel Netz dell'Università di Stanford ipotizzò che l'obiettivo di Archimede fosse quello di accertare il numero totale di configurazioni in cui questi pezzi potevano essere assemblati per formare un quadrato. I calcoli di Netz indicano che 17.152 disposizioni distinte dei pezzi possono dare come risultato un quadrato. Escludendo le soluzioni ritenute equivalenti attraverso rotazione e riflessione, il numero totale di disposizioni uniche è 536. Questo puzzle esemplifica una delle prime sfide nel campo della combinatoria.

L'etimologia della designazione del puzzle rimane ambigua; tuttavia, è stato proposto che la sua derivazione derivi dal termine greco antico per "gola" o "esofago", stomachos (στόμαχος). Ausonio si riferiva al puzzle come Ostomachion, un termine greco composto costruito dalle radici lessicali di osteon (ὀστέον, 'osso') e machē (μάχη, 'combatti').

Il problema del bestiame

All'interno di questo trattato, rivolto a Eratostene e ai matematici alessandrini, Archimede presentò loro la sfida di enumerare il bestiame all'interno della Mandria del Sole, un compito che richiedeva la risoluzione di più equazioni diofantee simultanee. Nel 1773, Gotthold Ephraim Lessing identificò quest'opera all'interno di un manoscritto greco, comprendente un poema di 44 versi, conservato nella Biblioteca Herzog August a Wolfenbüttel, in Germania. Esiste una variante più complessa del problema, in cui alcune soluzioni devono essere quadrati perfetti. A. Amthor fornì la soluzione iniziale a questa particolare versione del problema nel 1880, ottenendo un risultato numerico eccezionalmente grande, circa 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

Il metodo dei teoremi meccanici

Simile a Il problema del bestiame, Il metodo dei teoremi meccanici fu composto come comunicazione epistolare indirizzata a Eratostene ad Alessandria.

All'interno di questo trattato, Archimede utilizza una metodologia innovativa, una manifestazione incipiente del principio di Cavalieri, per ristabilire i risultati dei trattati inviati a Dositeo (Quadratura della parabola, Sulla sfera e sul cilindro, Sulle spirali, Sui conoidi e sferoidi), che aveva precedentemente documentato utilizzando il metodo dell'esaurimento. Ciò comportava l'applicazione della legge della leva, come dettagliato in Sull'equilibrio dei piani, inizialmente per determinare il centro di gravità di un oggetto e successivamente impiegare ragionamenti geometrici per facilitare la derivazione del suo volume. Archimede indica esplicitamente di aver utilizzato questo approccio per dedurre i risultati presentati nei trattati inviati a Dositeo prima della loro dimostrazione più rigorosa tramite il metodo dell'esaurimento, affermando l'utilità di conoscere la veridicità di un risultato prima di intraprenderne la dimostrazione rigorosa. Ciò è analogo al modo in cui Eudosso di Cnido fu aiutato a dimostrare che il volume di un cono è un terzo di quello di un cilindro, in virtù del fatto che Democrito aveva precedentemente affermato questa verità, basandosi sull'argomentazione che il volume di una piramide è un terzo di quello di un prisma rettangolare con base identica.

Questo trattato si presumeva perduto fino alla scoperta del 1906 del Palinsesto di Archimede.

Opere apocrife

Il Libro dei Lemmi di Archimede, noto anche come Liber Assumptorum, comprende un trattato contenente 15 proposizioni riguardanti le proprietà dei cerchi. Il primo manoscritto esistente di questo testo è in arabo. TL Heath e Marshall Clagett hanno sostenuto che la sua forma attuale preclude la paternità di Archimede, dato che cita Archimede, implicando così una successiva modifica da parte di un autore diverso. È plausibile che i Lemmi derivino da un'opera precedente di Archimede, ormai perduta.

Ulteriori opere di dubbia attribuzione ad Archimede comprendono il poema latino del IV o V secolo Carmen de ponderibus et mensuris, che descrive in dettaglio l'applicazione di una bilancia idrostatica per risolvere il problema della corona, e il testo del XII secolo Mappae clavicula, che fornisce istruzioni per saggiare i metalli attraverso il calcolo del loro peso specifico.

Opere perdute

Molte delle opere scritte di Archimede non sono sopravvissute o esistono esclusivamente come frammenti pesantemente modificati. Ad esempio, Pappo di Alessandria fa riferimento a Sulla creazione della sfera, un trattato sui poliedri semiregolari e un altro sulle spirali. Allo stesso modo, Teone di Alessandria cita un commento sulla rifrazione dall'opera attualmente perduta, Catoptrica. Il trattato Principi, dedicato a Zeuxippus, chiarisce il sistema numerico impiegato in The Sand Reckoner. Altre opere degne di nota includono Sugli equilibri e Sui centri di gravità.

Gli studiosi islamici medievali attribuirono ad Archimede una formula per determinare l'area di un triangolo in base alle sue lunghezze dei lati. Questa formula è ora riconosciuta come la formula di Erone, attribuita alla sua prima apparizione documentata negli scritti del I secolo d.C. di Erone di Alessandria. Si ipotizza che Archimede possa aver dimostrato questa formula in un trattato ormai perduto.

Il Palinsesto di Archimede

Nel 1906, il professore danese Johan Ludvig Heiberg si recò a Costantinopoli per ispezionare una pergamena di pelle di capra di 174 pagine contenente preghiere del XIII secolo. Il suo Heiberg verificò che il documento era un palinsesto, caratterizzato da un testo iscritto sopra un'opera precedente cancellata. La creazione di palinsesti, che comportava la raschiatura dell'inchiostro dai manoscritti esistenti per il riutilizzo, era una pratica prevalente durante il Medioevo a causa dell'alto costo della pergamena. Gli studiosi hanno successivamente identificato i testi sottostanti all'interno di questo palinsesto come copie del X secolo dei trattati di Archimede precedentemente perduti. Il palinsesto contiene sette trattati, tra cui in particolare l'unica copia esistente di Sui corpi galleggianti nel suo originale greco. Inoltre, rappresenta l'unica fonte conosciuta per Il metodo dei teoremi meccanici, opera citata da Suida e precedentemente ritenuta irrevocabilmente perduta. All'interno del palinsesto è stato trovato anche lo Stomachio, offrendo un'analisi più completa del puzzle rispetto alle precedenti scoperte testuali.

Il Palinsesto di Archimede contiene i seguenti trattati:

• Sull'equilibrio dei piani
• Sulle spirali
• Misura di un cerchio
• Sulla sfera e sul cilindro
• Sui corpi fluttuanti
• Il metodo dei teoremi meccanici
• Stomachio
• Orazioni del politico Ipereide del IV secolo a.C.
• Un commento critico alle Categorie
di Aristotele
• Lavori aggiuntivi

La pergamena rimase per secoli nella biblioteca monastica di Costantinopoli prima di essere acquisita da un collezionista privato negli anni '20. Il 29 ottobre 1998 fu venduto all'asta a un acquirente sconosciuto per 2,2 milioni di dollari. Successivamente, il palinsesto è stato ospitato presso il Walters Art Museum di Baltimora, nel Maryland, dove è stato sottoposto a vari esami avanzati, tra cui l'imaging a raggi ultravioletti e a raggi X, per decifrare il testo sottostante. Da allora è stato restituito al suo proprietario anonimo.

Legacy

Spesso definito il progenitore della matematica e della fisica matematica, Archimede è quasi universalmente riconosciuto dagli storici della scienza e della matematica come il principale matematico dell'antichità.

Antichità classica

La fama di Archimede per le innovazioni meccaniche durante l'antichità classica è ampiamente documentata. Ateneo, nel suo Deipnosophistae, descrive in dettaglio la supervisione di Archimede sulla costruzione della Syracusia, la più grande nave conosciuta dell'antichità, mentre Apuleio discute i suoi contributi alla catottrica. Sebbene Plutarco affermasse che Archimede disprezzava la meccanica, dando priorità alla geometria pura, gli studi contemporanei in gran parte respingono questo come un travisamento. Si ritiene che questa prospettiva sia stata costruita per rafforzare i principi filosofici platonici di Plutarco piuttosto che per ritrarre accuratamente Archimede. Inoltre, a differenza delle sue invenzioni, i trattati matematici di Archimede ricevettero un riconoscimento limitato nell'antichità al di fuori dei circoli dei matematici alessandrini. La prima compilazione completa delle sue opere fu intrapresa solo intorno al c. 530 d.C. da Isidoro di Mileto nella Costantinopoli bizantina. Allo stesso tempo, i commenti di Eutocio agli scritti di Archimede, prodotti all'inizio dello stesso secolo, ampliarono significativamente la loro accessibilità a un pubblico più vasto.

Medioevo

Il corpus di Archimede fu tradotto in arabo da Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.) e successivamente in latino dall'arabo da Gerardo da Cremona (1114–1187 circa). Successivamente, traduzioni dirette dal greco al latino furono eseguite da Guglielmo di Moerbeke (1215–1286 circa) e Iacobus Cremonensis (1400–1453 circa).

Rinascimento e prima Europa moderna

L'Editio Princeps (Prima edizione) delle opere di Archimede, pubblicata a Basilea nel 1544 da Johann Herwagen, presentava i suoi scritti sia in greco che in latino. Questa pubblicazione fu un'importante risorsa intellettuale per gli scienziati durante tutto il Rinascimento e fino al XVII secolo.

Leonardo da Vinci espresse spesso la sua ammirazione per Archimede, attribuendogli addirittura l'invenzione dell'Architonnerre. Galileo Galilei lodò Archimede definendolo "sovrumano" e "mio maestro", mentre Christiaan Huygens dichiarò: "Penso che Archimede non sia paragonabile a nessuno", modellando deliberatamente i suoi primi sforzi su di lui. Gottfried Wilhelm Leibniz osservò: "Chi comprende Archimede e Apollonio ammirerà meno le conquiste degli uomini più importanti dei tempi successivi."

Il numismatico e archeologo italiano Filippo Paruta (1552–1629), insieme a Leonardo Agostini (1593–1676), documentarono una moneta di bronzo scoperta in Sicilia. Questa moneta presentava un ritratto di Archimede sul dritto e un cilindro e una sfera, accompagnati dal monogramma latino ARMD, sul rovescio. Sebbene l'attuale ubicazione della moneta sia sconosciuta e la sua precisa data di conio rimanga non stabilita, Ivo Schneider ha caratterizzato l'immagine del rovescio come "una sfera appoggiata su una base - probabilmente un'immagine approssimativa di uno dei planetari creati da Archimede". Schneider ipotizzò inoltre che la moneta potesse essere stata coniata a Roma per Marcello, il quale, "secondo antichi resoconti, portò con sé a Roma due sfere di Archimede".

Nella matematica moderna

Carl Friedrich Gauss teneva in grande stima Archimede e Isaac Newton; Moritz Cantor, uno studente di Gauss all'Università di Gottinga, raccontò l'osservazione di Gauss secondo cui "c'erano stati solo tre matematici che fecero epoca: Archimede, Newton ed Eisenstein". Allo stesso modo, Alfred North Whitehead affermò che "nell'anno 1500 l'Europa sapeva meno di Archimede che morì nell'anno 212 aC". Reviel Netz, uno storico della matematica, fece eco alla famosa affermazione di Whitehead riguardo a Platone e alla filosofia dichiarando che "la scienza occidentale non è altro che una serie di note a piè di pagina di Archimede", designandolo inoltre "lo scienziato più importante che sia mai vissuto". Eric Temple Bell ha anche osservato che "Qualsiasi elenco dei tre 'più grandi' matematici di tutta la storia includerebbe il nome di Archimede. Gli altri due solitamente associati a lui sono Newton e Gauss. Alcuni, considerando la relativa ricchezza - o povertà - della matematica e delle scienze fisiche nelle rispettive epoche in cui vissero questi giganti, e stimando i loro risultati rispetto allo sfondo dei loro tempi, metterebbero Archimede al primo posto. "

La scoperta nel 1906 delle opere di Archimede precedentemente perdute. all'interno del Palinsesto di Archimede ha fornito nuove intuizioni sui suoi metodi per derivare risultati matematici.

La Medaglia Fields, assegnata per risultati eccezionali in matematica, presenta un ritratto di Archimede accanto a un'incisione raffigurante la sua dimostrazione riguardante la sfera e il cilindro. Intorno alla testa di Archimede c'è un'iscrizione latina, attribuita al poeta Manilio del I secolo d.C., che afferma: Transire suum pectus mundoque potiri ("Alzarsi sopra se stessi e afferrare il mondo").

Influenza culturale

La SS Archimedes, varata nel 1839, detiene il primato di essere la prima nave a vapore marittima al mondo dotata di un'elica a elica, così chiamata in omaggio ad Archimede e ai suoi contributi alla comprensione del meccanismo a vite.

Archimede è apparso su francobolli emessi da varie nazioni, tra cui Germania dell'Est (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) e Spagna (1963).

L'esclamazione "Eureka!", notoriamente attribuita ad Archimede, funge da motto dello stato della California. In questo contesto specifico, il termine indica la scoperta dell'oro vicino a Sutter's Mill nel 1848, un evento che fece precipitare la corsa all'oro in California.

Un cratere lunare, Archimedes (29,7°N 4,0°O / 29,7; -4.0) e una catena montuosa lunare, i Montes Archimedes (25.3°N 4.6°W / 25.3; -4.6), sono chiamati in suo onore sulla Luna.

Arbelos

• Arbelos
• Punto di Archimede
• Numero di Archimede
• Paradosso di Archimede
• Metodi per il calcolo delle radici quadrate
• Salinon
• Cannone a vapore
• Cerchi gemelli
• Zhang Heng

Note

Note a piè di pagina

Citazioni

Riferimenti

Antica testimonianza

• Plutarco, *Vita di Marcello*
• "Ateneo, Deipnosophistae". . Estratto il 7 marzo, 2023.Fonti moderne
  • Acerbi, Fabio (2018). "Matematica ellenistica". In Keyser, Paul T; Scarborough, John (a cura di). Manuale Oxford di scienza e medicina nel mondo classico. pp. 268–292. doi:10.1093/oxfordhb/9780199734146.013.69. ISBN 978-0-19-973414-6. Estratto 26 maggio 2021.Dijksterhuis, E. J. (Eduard Jan) (1987). Archimede. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08421-3. Estratto il 30 aprile 2025.Netz, Reviel (2022). A New History of Greek Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83384-4.Clagett, Marshall. 1964–1984. Archimede nel Medioevo, 5 volumi. Madison, WI: University of Wisconsin Press.
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    • Stein, Sherman. 1999. Archimede: cosa ha fatto oltre a piangere Eureka?. Associazione Matematica d'America. ISBN 978-0-88385-718-2.
    • Edizione di Archimede di Heiberg. Testi in greco classico, con alcuni in inglese.
    • Opere di Archimede al Progetto Gutenberg
    • Archimede all'Indiana Philosophy Ontology Project
    • Il progetto Archimedes Palimpsest al Walters Art Museum di Baltimora, Maryland
    • "Archimede sulle sfere e sui cilindri". MathPages.com.Fonte: Archivio TORIma Accademia