John von Neumann

John von Neumann ( von NOY-mən ; ungherese: Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒn ˈjaːnoʃ ˈlɒjoʃ] ; 28 dicembre 1903 - 8 febbraio 1957) è stato un eminente matematico, fisico, informatico e ingegnere ungherese-americano. La sua ampiezza intellettuale non aveva eguali tra i suoi contemporanei, comprendendo sia le scienze pure che quelle applicate, e diede contributi fondamentali in numerose discipline, come la matematica, la fisica, l'economia, l'informatica e la statistica. Ha aperto la strada ai fondamenti matematici della fisica quantistica, all'analisi funzionale avanzata e ha sviluppato in modo significativo la teoria dei giochi, introducendo o formalizzando concetti come gli automi cellulari, il costruttore universale e il computer digitale. In particolare, il suo lavoro teorico sull'autoreplicazione è anteriore alla delucidazione della struttura del DNA.

John von Neumann ( von NOY-mən; ungherese: Neumann János Lajos [ˈnɒjmɒnˈjaːnoʃˈlɒjoʃ]; dicembre 28, 1903 -8 febbraio 1957) è stato un matematico, fisico, informatico e ingegnere ungherese e americano. Von Neumann ebbe forse la più ampia copertura tra tutti i matematici del suo tempo, integrando scienze pure e applicate e apportando importanti contributi in molti campi, tra cui matematica, fisica, economia, informatica e statistica. Fu un pioniere nella costruzione della struttura matematica della fisica quantistica, nello sviluppo dell'analisi funzionale e nella teoria dei giochi, introducendo o codificando concetti tra cui gli automi cellulari, il costruttore universale e il computer digitale. La sua analisi della struttura dell'autoreplicazione ha preceduto la scoperta della struttura del DNA.

Durante la seconda guerra mondiale, von Neumann fu un contributore chiave al Progetto Manhattan. Ha formulato i modelli matematici alla base delle lenti esplosive fondamentali per le armi nucleari di tipo implosivo. I suoi ruoli consultivi, sia prima che dopo la guerra, si estesero a numerose organizzazioni, tra cui l'Ufficio per la ricerca scientifica e lo sviluppo, il Laboratorio di ricerca balistica dell'esercito degli Stati Uniti, il Progetto armi speciali delle forze armate e l'Oak Ridge National Laboratory. Negli anni '50, all'apice della sua influenza, presiedette diversi comitati del Dipartimento della Difesa, in particolare il Comitato di valutazione dei missili strategici e il Comitato consultivo scientifico dell'ICBM. Inoltre, è stato membro dell'influente Commissione per l'energia atomica, che ha supervisionato tutto lo sviluppo nazionale dell'energia atomica. Insieme a Bernard Schriever e Trevor Gardner, ha svolto un ruolo fondamentale nella progettazione e nello sviluppo dei programmi inaugurali dei missili balistici intercontinentali (ICBM) degli Stati Uniti. Durante questo periodo, fu riconosciuto come l'autorità preminente della nazione in materia di armi nucleari e il principale scienziato della difesa all'interno del Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti.

I profondi contributi e l'eccezionale abilità intellettuale di Von Neumann ottennero ampi consensi da parte dei suoi colleghi in fisica, matematica e altre discipline. I suoi illustri riconoscimenti includono la Medaglia della Libertà e l'intitolazione di un cratere lunare in suo riconoscimento.

Panoramica biografica e istruzione

lignaggio familiare

John von Neumann nacque il 28 dicembre 1903 a Budapest, Regno d'Ungheria (allora parte dell'Austria-Ungheria), in una famiglia ebrea benestante e laica. Il suo nome originale era Neumann János Lajos. Nella nomenclatura ungherese, il cognome precede i nomi dati, che in inglese si traducono in John Louis.

Era il maggiore di tre fratelli, con Mihály (Michael) e Miklós (Nicholas) come fratelli minori. Suo padre, Neumann Miksa (noto anche come Max von Neumann), era un banchiere che possedeva un dottorato in giurisprudenza. Miksa si era trasferito a Budapest da Pécs alla fine degli anni Ottanta dell'Ottocento. Il nonno paterno e il bisnonno erano originari di Ond (attualmente parte di Szerencs) nella contea di Zemplén, nel nord dell'Ungheria. La madre di John era Kann Margit (Margaret Kann), i cui genitori erano Kann Jákab e Meisels Katalin, membri della famiglia Meisels. Tre generazioni della famiglia Kann risiedevano in ampi appartamenti situati sopra gli uffici Kann-Heller a Budapest; I parenti stretti di von Neumann occupavano un appartamento di 18 stanze all'ultimo piano.

Il 20 febbraio 1913, l'imperatore Francesco Giuseppe conferì la nobiltà ungherese al padre di Giovanni in riconoscimento del suo distinto servizio all'Impero austro-ungarico. Di conseguenza la famiglia Neumann ricevette l'appellativo ereditario Margittai, che significa "di Margitta" (l'attuale Marghita, Romania). Nonostante nessun legame familiare con la città, questa denominazione fu scelta in omaggio a Margherita, un sentimento che riecheggiava nello stemma scelto, che raffigurava tre margherite. Neumann János adottò successivamente il nome margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), che in seguito germanizzò in Johann von Neumann.

Un bambino prodigio

John von Neumann ha dimostrato capacità prodigiose fin dalla tenera età. Lui, insieme ai suoi fratelli e cugini, ricevette istruzioni dalle governanti. Riconoscendo l'importanza del multilinguismo, il padre di von Neumann si assicurò che i bambini ricevessero lezioni di inglese, francese, tedesco e italiano, oltre alla lingua nativa ungherese. Resoconti aneddotici suggeriscono che all'età di otto anni von Neumann padroneggiava il calcolo differenziale e integrale, e a dodici avrebbe letto l'opera fondamentale di Borel, La Théorie des Fonctions. La sua curiosità intellettuale si estendeva anche alla storia, evidenziata dalla lettura della serie di storia mondiale in 46 volumi di Wilhelm Oncken, Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (Storia generale in monografie). Una stanza dedicata all'interno dell'appartamento familiare è stata trasformata in biblioteca e spazio lettura.

Nel 1914 von Neumann si iscrisse al luterano Fasori Evangélikus Gimnázium. Eugene Wigner, che aveva un anno più di lui presso l'istituto, divenne presto un suo caro conoscente.

Nonostante l'insistenza di suo padre affinché frequentasse la scuola a un livello adeguato all'età, von Neumann ricevette un'istruzione avanzata da tutor privati. All'età di 15 anni, iniziò a studiare calcolo avanzato sotto la guida dell'analista Gábor Szegő. Secondo quanto riferito, Szegő rimase così stupito dall'attitudine matematica e dalla rapida comprensione di von Neumann durante il loro primo incontro che, secondo la moglie di Szegő, tornò a casa visibilmente emozionato. All'età di 19 anni, von Neumann era autore di due importanti articoli matematici, il secondo dei quali offriva una definizione contemporanea di numeri ordinali che sostituiva la precedente formulazione di Georg Cantor. Dopo aver completato gli studi al ginnasio, ha fatto domanda con successo e gli è stato assegnato il Premio Eötvös, un prestigioso premio nazionale di matematica.

Studi universitari

Theodore von Kármán, un amico di von Neumann, raccontò che il padre di von Neumann desiderava che suo figlio intraprendesse una carriera nell'industria e chiese a von Kármán di dissuaderlo dalla matematica. Di conseguenza, von Neumann e suo padre stabilirono che l'ingegneria chimica rappresentava la traiettoria di carriera più adatta. In mancanza di una conoscenza approfondita in questo campo, von Neumann intraprese un corso di chimica non laureato di due anni presso l'Università di Berlino. Successivamente superò con successo l'esame di ammissione all'ETH di Zurigo nel settembre 1923. Contemporaneamente von Neumann si iscrisse all'Università Pázmány Péter, allora conosciuta come Università di Budapest, come dottorando in matematica. La sua tesi prevedeva un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi di Cantor. Nel 1926 completò la sua laurea in ingegneria chimica all'ETH di Zurigo e contemporaneamente superò gli esami finali di dottorato summa cum laude in matematica, con specializzazioni in fisica sperimentale e chimica, presso l'Università di Budapest.

Successivamente, von Neumann si recò all'Università di Göttingen, sostenuto da una borsa di studio della Fondazione Rockefeller, per proseguire gli studi di matematica con David Hilbert. Hermann Weyl ricordò che durante l'inverno 1926-1927, lui, von Neumann ed Emmy Noether camminavano spesso per le "strade fredde, umide e bagnate di pioggia di Gottinga" dopo le lezioni, impegnandosi in discussioni sui sistemi numerici ipercomplessi e sulle loro rappresentazioni.

Carriera e vita privata

L'abilitazione di Von Neumann fu completata il 13 dicembre 1927, portando alla sua nomina a Privatdozent presso l'Università di Berlino nel 1928, dove iniziò a insegnare. In particolare, è stato l'individuo più giovane mai eletto come Privatdozent nella storia dell'università. Durante questo periodo, mantenne una produzione prolifica, scrivendo circa un articolo di matematica significativo ogni mese. Nel 1929, ricoprì per un breve periodo una posizione Privatdozent presso l'Università di Amburgo, cercando migliori prospettive per una cattedra di ruolo, prima di trasferirsi all'Università di Princeton nell'ottobre dello stesso anno come docente in visita di fisica matematica.

Nel 1930, von Neumann fu battezzato nella fede cattolica. Poco dopo sposò Marietta Kövesi, una studentessa di economia dell'Università di Budapest. La loro figlia, Marina, è nata nel 1935 e in seguito ha intrapreso la carriera accademica come professoressa. Il matrimonio della coppia si concluse con un divorzio il 2 novembre 1937. Successivamente, il 17 novembre 1938, von Neumann sposò Klára Dán.

Nel 1933, von Neumann accettò una cattedra di ruolo presso l'Institute for Advanced Study nel New Jersey, in seguito all'apparente fallimento del piano dell'istituto di nominare Hermann Weyl. Successivamente anglicizzò il suo nome in John, pur mantenendo il cognome aristocratico tedesco von Neumann. Von Neumann divenne cittadino statunitense naturalizzato nel 1937 e cercò prontamente di unirsi al Corpo di riserva degli ufficiali dell'esercito americano come tenente. Nonostante abbia superato gli esami richiesti, la sua domanda è stata respinta a causa della sua età. Nel 1939, sua madre, i suoi fratelli e i suoceri emigrarono negli Stati Uniti per unirsi a lui.

Klára e John von Neumann mantennero una presenza sociale attiva all'interno della comunità accademica di Princeton. La loro residenza di assi bianche su Westcott Road era riconosciuta come una delle case private più importanti di Princeton. John von Neumann indossava costantemente abiti formali ed era noto per il suo apprezzamento per lo yiddish e l'umorismo "fuori colore". Spesso eseguiva i suoi lavori più significativi in ​​ambienti rumorosi e non strutturati. Mentre risiedeva a Princeton, avrebbe ricevuto lamentele riguardo alla sua pratica di suonare musica di marcia tedesca a volumi eccessivi. Churchill Eisenhart notò che von Neumann era in grado di partecipare a riunioni sociali fino alle prime ore del mattino e successivamente di tenere una conferenza alle 8:30.

Von Neumann era ampiamente riconosciuto per la sua volontà di offrire una guida scientifica e matematica a individui di tutti i livelli di competenza. Secondo Wigner, von Neumann supervisionò informalmente un volume di lavoro maggiore di qualsiasi altro matematico contemporaneo. Sua figlia notò la sua profonda preoccupazione per la sua eredità, che comprendeva sia la sua vita personale che l'impatto duraturo dei suoi contributi intellettuali.

Era ampiamente considerato un presidente di comitato eccezionale, dimostrando flessibilità su questioni personali o organizzative pur mantenendo fermezza su argomenti tecnici. Herbert York definì degni di nota sia per la loro metodologia operativa che per la loro produttività i numerosi "Comitati Von Neumann" ai quali partecipò. La diretta e stretta collaborazione tra i comitati guidati da von Neumann e le pertinenti organizzazioni militari o aziendali stabilì un modello fondamentale per tutte le iniziative missilistiche a lungo raggio dell'Aeronautica Militare. Numerosi conoscenti di von Neumann espressero sconcerto riguardo al suo impegno negli affari militari e nelle strutture di potere più ampie. Stanisław Ulam ipotizzò che von Neumann nutrisse un'ammirazione inconfessata per individui o entità capaci di plasmare le opinioni e le decisioni degli altri.

Von Neumann conservò diligentemente le sue competenze linguistiche acquisite durante i suoi anni di formazione. Parlava correntemente ungherese, francese, tedesco e inglese e possedeva competenze di conversazione in italiano, yiddish, latino e greco antico. La sua padronanza dello spagnolo era relativamente meno abile. Ha dimostrato una profonda passione e una comprensione enciclopedica della storia antica, traendo piacere dalla lettura degli storici della Grecia antica nella loro lingua originale. Ulam ha ipotizzato che questi interessi potrebbero aver influenzato le sue prospettive sulla traiettoria degli eventi futuri e sui meccanismi fondamentali della natura umana e della funzione sociale.

Negli Stati Uniti, il più stretto confidente di von Neumann era il matematico Stanisław Ulam. Von Neumann ipotizzò che una parte significativa del suo ragionamento matematico emergesse in modo intuitivo; spesso si ritirava con un problema irrisolto e si svegliava con la sua soluzione. Ulam osservò che il processo cognitivo di von Neumann sembrava essere più uditivo che visivo. Ulam ha raccontato: "Oltre alla sua inclinazione per lo spirito astratto, possedeva un profondo apprezzamento, al limite dell'appetito, per forme più concrete di commedia e umorismo".

Malattia e morte

Nel 1955, una massa scoperta vicino alla clavicola di von Neumann fu diagnosticata come cancro, potenzialmente originato dallo scheletro, dal pancreas o dalla prostata. Sebbene vi sia consenso sul fatto che il tumore avesse metastatizzato, la posizione precisa del cancro primario rimane oggetto di diverse ipotesi. L'eziologia del tumore maligno potrebbe essere stata collegata all'esposizione alle radiazioni presso il Los Alamos National Laboratory. Avvicinandosi alla sua morte, chiese un prete; tuttavia, il sacerdote raccontò in seguito che von Neumann traeva un minimo conforto dall'amministrazione degli ultimi riti, rimanendo profondamente in apprensione per la morte e incapace di accettarla. Per quanto riguarda le sue prospettive religiose, si dice che von Neumann abbia affermato: "Dato il potenziale di dannazione eterna per i non credenti, è più razionale abbracciare la fede in definitiva", una dichiarazione che fa riferimento alla scommessa di Pascal. Confidò a sua madre: "Un'entità divina probabilmente esiste. Numerosi fenomeni sono più facilmente spiegabili con tale esistenza che senza di essa."

Morì come cattolico romano l'8 febbraio 1957, all'età di 53 anni, al Walter Reed Army Medical Hospital, e fu sepolto nel cimitero di Princeton.

Matematica

Teoria degli insiemi

I tentativi dell'inizio del XX secolo di fondare la matematica sulla teoria ingenua degli insiemi incontrarono un ostacolo significativo con il paradosso di Russell, che riguardava l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi. La sfida di formulare un’assiomatizzazione completa per la teoria degli insiemi fu implicitamente affrontata circa due decenni dopo da Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel. La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel ha introdotto una struttura di principi che facilitano la costruzione di insiemi comunemente impiegati nella pratica matematica, ma non ha esplicitamente precluso la potenziale esistenza di un insieme contenente se stesso. Nella sua tesi di dottorato del 1925, von Neumann presentò due metodologie per escludere tali insiemi: l'assioma di fondazione e il concetto di classe.

L'assioma di fondazione presuppone che tutti gli insiemi siano costruiti gerarchicamente, seguendo i principi Zermelo-Fraenkel. Ciò implica che se un insieme è elemento di un altro, deve precedere quest'ultimo nella gerarchia fondativa, impedendo così che un insieme sia elemento di se stesso. Per stabilire la coerenza di questo nuovo assioma con quelli esistenti, von Neumann sviluppò il metodo dei modelli interni, che successivamente divenne uno strumento cruciale nella teoria degli insiemi.

Una seconda strategia per affrontare il problema degli insiemi che contengono se stessi si basa sul concetto di classe. In questo contesto, un insieme è definito come una classe che è un elemento di altre classi, mentre una classe vera e propria è definita come una classe che non è un elemento di nessun'altra classe. All'interno del sistema assiomatico Zermelo-Fraenkel, la costruzione di un insieme contenente tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi è impedita dagli assiomi. Al contrario, la struttura di von Neumann consente la costruzione di una tale raccolta, ma è categorizzata come una classe propria piuttosto che un insieme.

Nel complesso, il risultato principale di von Neumann nella teoria degli insiemi ha comportato "l'assiomatizzazione della teoria degli insiemi e (connessa a questa) l'elegante teoria dei numeri ordinali e cardinali, nonché la prima rigorosa formulazione dei principi delle definizioni mediante l'induzione transfinita".

Il paradosso di Von Neumann

Espandendo il paradosso di Hausdorff del 1914 di Felix Hausdorff, Stefan Banach e Alfred Tarski dimostrarono nel 1924 come una palla tridimensionale potesse essere suddivisa in insiemi disgiunti, che potevano poi essere traslati e ruotati per costruire due copie identiche della palla originale; questo fenomeno è noto come paradosso Banach-Tarski. Stabilirono inoltre che un disco bidimensionale non ammette una decomposizione così paradossale. Tuttavia, nel 1929, von Neumann ottenne un risultato simile per un disco suddividendolo in un numero finito di pezzi e riassemblandoli in due dischi, impiegando trasformazioni affini che preservano l'area piuttosto che traslazioni e rotazioni. Questo risultato si basava sull'identificazione di gruppi liberi di trasformazioni affini, una metodologia significativa che von Neumann ha successivamente elaborato nella sua ricerca sulla teoria della misura.

Teoria della dimostrazione

I contributi di Von Neumann alla teoria degli insiemi hanno permesso al suo sistema assiomatico di superare le incoerenze presenti nei sistemi precedenti, stabilendolo così come un fondamento valido per la matematica, nonostante l'assenza di una prova di coerenza. La successiva indagine riguardava se questo sistema offrisse soluzioni conclusive a tutti i problemi matematici esprimibili nel suo quadro, o se potesse essere migliorato incorporando assiomi più robusti per facilitare la dimostrazione di una gamma più ampia di teoremi.

Nel 1927, von Neumann partecipò attivamente alle discussioni a Gottinga riguardanti la derivazione dell'aritmetica elementare dagli assiomi di Peano. Basandosi sulla ricerca di Ackermann, iniziò gli sforzi per dimostrare la coerenza dell'aritmetica del primo ordine, impiegando le metodologie finistiche caratteristiche della scuola di Hilbert. Ha stabilito con successo la coerenza di un frammento specifico dell'aritmetica dei numeri naturali imponendo restrizioni sull'induzione. Successivamente, perseguì una dimostrazione più completa della coerenza della matematica classica, utilizzando tecniche della teoria della dimostrazione.

Una risposta negativa definitiva alla questione della completezza emerse nel settembre 1930 alla Seconda Conferenza sull'epistemologia delle scienze esatte, dove Kurt Gödel presentò il suo primo teorema di incompletezza. Questo teorema affermava che i sistemi assiomatici convenzionali sono intrinsecamente incompleti, nel senso che non possono dimostrare ogni affermazione vera esprimibile nel loro linguaggio formale. Inoltre, qualsiasi estensione coerente di questi sistemi inevitabilmente conserva questa incompletezza. Durante la conferenza, von Neumann propose a Gödel di tentare di adattare le sue scoperte a proposizioni indecidibili riguardanti gli interi.

Nel giro di un mese, von Neumann informò Gödel di un'implicazione significativa del suo teorema: i sistemi assiomatici standard non hanno intrinsecamente la capacità di dimostrare la propria coerenza. Gödel rispose, affermando di aver identificato in modo indipendente questo risultato, ora riconosciuto come il suo secondo teorema di incompletezza, e che intendeva inviare una prestampa del suo prossimo articolo che comprendesse entrambi i risultati, sebbene questa pubblicazione non si materializzò mai. Successivamente von Neumann riconobbe la precedenza di Gödel nella loro corrispondenza. Tuttavia, l'approccio dimostrativo di von Neumann divergeva da quello di Gödel, e sosteneva che il secondo teorema di incompletezza aveva inflitto un impatto più profondo sul programma di Hilbert di quanto Gödel inizialmente avesse percepito. Questa rivelazione modificò radicalmente la prospettiva di von Neumann sul rigore matematico, spingendolo a interrompere la ricerca sugli aspetti fondamentali della matematica e della metamatematica, reindirizzando i suoi sforzi verso problemi applicati.

Teoria ergodica

Nel 1932, von Neumann pubblicò una serie di articoli che stabilivano contributi fondamentali alla teoria ergodica, una disciplina matematica interessata agli stati dei sistemi dinamici che possiedono una misura invariante. Riguardo a queste pubblicazioni del 1932 sulla teoria ergodica, Paul Halmos affermò che esse sole "sarebbero state sufficienti a garantirgli l'immortalità matematica", anche se von Neumann non avesse intrapreso nessun altro lavoro. A quel tempo, von Neumann aveva già scritto i suoi lavori fondamentali sulla teoria degli operatori, e i principi derivati ​​da questa ricerca si rivelarono cruciali nella formulazione del suo teorema ergodico medio.

Questo teorema riguarda i gruppi unitari arbitrari di un parametro ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$ e asserisce che per ogni vettore ${\displaystyle \phi }$ all'interno dello spazio di Hilbert, il limite lim T →<!-- → --> ∞<!-- ∞ --> §7475§ T ∫ §8586§ T V t ( ϕ ) d t {\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt} esiste secondo la metrica definita dalla norma di Hilbert. Questo limite è un vettore ${\displaystyle \psi }$ tale che ${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$ per tutti ${\displaystyle t}$. Questo risultato è stato stabilito nella pubblicazione iniziale. Nell'articolo successivo, von Neumann sostenne che questi risultati fornivano una base adeguata per applicazioni fisiche pertinenti all'ipotesi ergodica di Boltzmann. Inoltre, notò che l'ergodicità completa non era stata raggiunta e la identificò come un'area per la ricerca successiva.

Più tardi quell'anno pubblicò un altro articolo fondamentale, avviando l'indagine sistematica sull'ergodicità. In questo lavoro, ha presentato e dimostrato un teorema di decomposizione, illustrando che le azioni ergodiche di conservazione della misura sulla linea reale costituiscono gli elementi fondamentali da cui possono essere costruite tutte le azioni di conservazione della misura. Inoltre, furono introdotti e rigorosamente dimostrati molti altri teoremi cruciali. I risultati presentati in questo articolo, insieme a quelli di un altro lavoro svolto in collaborazione con Paul Halmos, possiedono implicazioni sostanziali in vari ambiti matematici.

Teoria della misura

Nella teoria della misura, il "problema della misura" per uno spazio euclideo n-dimensionale Rⁿ riguarda l'esistenza di una funzione di insieme positiva, normalizzata, invariante e additiva applicabile a tutti i sottoinsiemi di Rⁿ. La ricerca di Felix Hausdorff e Stefan Banach ha indicato una soluzione positiva a questo problema quando n = 1 o n = 2, ma negativa in tutti gli altri scenari, principalmente a causa del paradosso Banach-Tarski. Von Neumann sosteneva che "il problema ha essenzialmente carattere di teoria dei gruppi", suggerendo che l'esistenza di una misura potrebbe essere accertata esaminando le proprietà del gruppo di trasformazione associato allo spazio specifico. Il risultato positivo per spazi con al massimo due dimensioni e il risultato negativo per dimensioni superiori derivano dalla risolubilità del gruppo euclideo nel primo caso e dalla sua insolvibilità nel secondo. Di conseguenza, von Neumann ipotizzò che il fattore critico fosse l’alterazione del gruppo, piuttosto che la modificazione dello spazio stesso. Intorno al 1942, comunicò a Dorothy Maharam un metodo per dimostrare che ogni spazio di misura σ-finito completo possiede un sollevamento moltiplicativo; tuttavia, lui non pubblicò questa prova e lei successivamente sviluppò un'alternativa.

In molte pubblicazioni di von Neumann, le metodologie da lui utilizzate sono spesso considerate di maggiore impatto rispetto ai risultati effettivi. Prima delle sue successive indagini sulla teoria delle dimensioni all'interno delle algebre degli operatori, von Neumann applicò i principi di equivalenza attraverso la scomposizione finita, riformulando così il problema della misura in termini funzionali. Un contributo significativo di von Neumann alla teoria della misura ha avuto origine da un articolo che affrontava l'indagine di Haar sull'esistenza di un'algebra comprendente tutte le funzioni limitate sulla linea dei numeri reali, che costituirebbe "un sistema completo di rappresentanti delle classi di funzioni limitate misurabili quasi ovunque uguali". Dimostrò affermativamente questa esistenza e, nelle successive collaborazioni con Stone, esplorò varie generalizzazioni e aspetti algebrici del problema. Inoltre, ha stabilito l'esistenza di disintegrazioni per diversi tipi di misure generali utilizzando nuove metodologie. Von Neumann fornì inoltre una nuova prova dell'unicità delle misure di Haar, impiegando i valori medi delle funzioni; tuttavia, questo approccio era limitato ai gruppi compatti. Per estendere questo concetto ai gruppi localmente compatti, fu costretto a ideare tecniche completamente nuove. Ha anche presentato una dimostrazione innovativa e ingegnosa per il teorema Radon-Nikodym. I suoi appunti sulle lezioni sulla teoria della misura, tenuti presso l'Institute for Advanced Study, servirono come risorsa cruciale per la conoscenza sull'argomento in America in quell'epoca e furono successivamente pubblicati.

Gruppi topologici

Sfruttando le sue precedenti ricerche sulla teoria della misura, von Neumann fece avanzare in modo significativo la teoria dei gruppi topologici, iniziando con una pubblicazione sulle funzioni quasi periodiche sui gruppi, in cui ampliò la teoria di Bohr per comprendere gruppi arbitrari. Sviluppò ulteriormente quest'area attraverso un articolo in collaborazione con Bochner, che perfezionò la teoria della quasi periodicità per incorporare funzioni i cui valori erano elementi di spazi lineari, piuttosto che numeri scalari. Nel 1938 ricevette il Bôcher Memorial Prize in riconoscimento dei suoi contributi analitici relativi a queste pubblicazioni.

In una pubblicazione del 1933, von Neumann applicò la misura Haar recentemente introdotta per risolvere il quinto problema di Hilbert specificamente per i gruppi compatti. Il concetto fondamentale alla base di questa soluzione emerse diversi anni prima, quando l'articolo di von Neumann sulle proprietà analitiche dei gruppi di trasformazioni lineari rivelò che i sottogruppi chiusi di un gruppo lineare generale sono effettivamente gruppi di Lie. Questa scoperta è stata successivamente generalizzata da Cartan a gruppi di Lie arbitrari, formalizzati come teorema dei sottogruppi chiusi.

Analisi funzionale

John von Neumann ha aperto la strada alla definizione assiomatica di uno spazio di Hilbert astratto, caratterizzandolo come uno spazio vettoriale complesso dotato di un prodotto scalare hermitiano, dove la norma corrispondente mostra sia separabilità che completezza. Nelle stesse pubblicazioni stabilì anche la forma generale della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, che in precedenza era stata riconosciuta solo attraverso istanze specifiche. I suoi contributi si estesero allo sviluppo della teoria spettrale degli operatori nello spazio di Hilbert, dettagliato in tre influenti articoli pubblicati tra il 1929 e il 1932. Questo lavoro fondamentale culminò nel suo trattato, Fondamenti matematici della meccanica quantistica, che, insieme ai lavori contemporanei di Stone e Banach, rappresentò le monografie inaugurali sulla teoria spaziale di Hilbert. Riconoscendo i limiti delle sequenze nello sviluppo di una teoria delle topologie deboli, von Neumann ha avviato un programma per affrontare queste sfide, portando alle sue definizioni rivoluzionarie di spazi localmente convessi e spazi vettoriali topologici. Inoltre, molte altre proprietà topologiche da lui introdotte durante questo periodo, come la limitatezza e la limitatezza totale, che riflettono la sua prima applicazione dei concetti topologici di Hausdorff dagli spazi euclidei a quelli di Hilbert, rimangono fondamentali oggi. Per due decenni von Neumann fu considerato l’autorità preminente in questo campo. Questi progressi furono guidati principalmente dalle esigenze della meccanica quantistica, dove von Neumann identificò la necessità di estendere la teoria spettrale degli operatori hermitiani dai casi limitati a quelli illimitati. Altri risultati significativi dettagliati in questi articoli includono una delucidazione completa della teoria spettrale per operatori normali, la formulazione astratta iniziale della traccia di un operatore positivo, una generalizzazione della presentazione contemporanea di Riesz dei teoremi spettrali di Hilbert e la distinzione cruciale tra operatori hermitiani e autoaggiunti in uno spazio di Hilbert. Questa distinzione gli ha permesso di caratterizzare tutti gli operatori hermitiani che estendono un dato operatore hermitiano. È anche autore di un articolo in cui dimostra l'inadeguatezza delle matrici infinite, allora uno strumento comune nella teoria spettrale, per rappresentare gli operatori hermitiani. Il suo vasto lavoro sulla teoria degli operatori alla fine portò al suo contributo più profondo alla matematica pura: lo studio sistematico delle algebre di von Neumann e, più in generale, delle algebre degli operatori.

La successiva ricerca sugli anelli di operatori spinse von Neumann a riesaminare la sua teoria spettrale, introducendo un nuovo approccio per analizzarne gli aspetti geometrici attraverso l'applicazione degli integrali diretti degli spazi di Hilbert. Analogamente ai suoi contributi alla teoria della misura, stabilì diversi teoremi che rimasero inediti a causa di vincoli di tempo. Informò Nachman Aronszajn e K. T. Smith che, durante i primi anni '30, mentre era impegnato con il problema del sottospazio invariante, aveva dimostrato l'esistenza di sottospazi invarianti propri per operatori completamente continui all'interno di uno spazio di Hilbert.

In collaborazione con I. J. Schoenberg, von Neumann scrisse diversi lavori esplorando la metrica hilbertiana invariante per traslazione sulla linea numerica reale, culminando nella loro classificazione completa. L'impulso per questa ricerca è derivato da varie indagini riguardanti l'inclusione degli spazi metrici negli spazi di Hilbert.

Collaborando con Pascual Jordan, von Neumann è stato coautore di un articolo conciso che ha fornito la derivazione iniziale di una norma da un prodotto interno utilizzando l'identità del parallelogramma. La sua disuguaglianza di traccia costituisce un risultato fondamentale nella teoria delle matrici, spesso applicata nei problemi di approssimazione delle matrici. Inoltre, fu il primo a introdurre il concetto che il duale di una pre-norma costituisce una norma, presentato in un articolo fondamentale sulla teoria delle norme unitariamente invarianti e delle funzioni di calibro simmetriche, ora riconosciute come norme assolute simmetriche. Questa particolare pubblicazione ha naturalmente aperto la strada allo studio degli ideali degli operatori simmetrici e funge da testo fondamentale per la ricerca contemporanea sugli spazi degli operatori simmetrici.

In collaborazione con Robert Schatten, ha aperto la strada allo studio degli operatori nucleari all'interno degli spazi di Hilbert e dei prodotti tensoriali degli spazi di Banach. Il loro lavoro prevedeva l'introduzione e l'analisi degli operatori di classi traccia, i loro ideali associati e le loro relazioni duali con gli operatori compatti, nonché la loro predualità con gli operatori limitati. I primi successi di Alexander Grothendieck includevano l'estensione di questo concetto agli operatori nucleari negli spazi di Banach. In precedenza, nel 1937, von Neumann aveva già pubblicato scoperte significative in questo ambito, come la definizione di una scala di un parametro di norme incrociate distinte su ${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$ e dimostrando vari altri risultati pertinenti a quelli che ora sono riconosciuti come ideali di Schatten-von Neumann.

Algebre degli operatori

Von Neumann fondò il campo degli anelli degli operatori, in particolare attraverso lo sviluppo delle algebre di von Neumann, inizialmente chiamate W*-algebre. Sebbene i suoi concetti fondamentali per gli anelli degli operatori siano emersi nel 1930, la sua intensa ricerca su di essi iniziò solo dopo il suo successivo incontro con F. J. Murray. Un'algebra di von Neumann è formalmente definita come un'algebra * di operatori limitati su uno spazio di Hilbert, caratterizzata dalla sua chiusura nella topologia degli operatori deboli e dalla sua inclusione dell'operatore identità. Il teorema bicommutante di von Neumann dimostra l'equivalenza tra questa definizione analitica e una definizione puramente algebrica, affermando che è uguale al suo bicommutante. Dopo aver chiarito lo scenario dell'algebra commutativa, von Neumann, con la parziale collaborazione di Murray, iniziò lo studio del caso non commutativo nel 1936, concentrandosi sullo studio generale dei fattori e sulla classificazione delle algebre di von Neumann. I sei articoli fondamentali da lui scritti tra il 1936 e il 1940, che hanno elaborato questa teoria, sono considerati "capolavori dell'analisi del ventesimo secolo". Questi lavori hanno raccolto numerosi risultati fondamentali e inaugurato diversi programmi di ricerca sulla teoria dell'algebra degli operatori che hanno impegnato i matematici per molti decenni. Un esempio notevole è la classificazione dei fattori. Inoltre, nel 1938, dimostrò che ogni algebra di von Neumann su uno spazio di Hilbert separabile può essere espressa come integrale diretto di fattori; tuttavia, questa scoperta non fu pubblicata fino al 1949. Le algebre di Von Neumann sono intimamente connesse a una teoria dell'integrazione non commutativa, un concetto a cui von Neumann alludeva nel suo lavoro ma non formalizzò esplicitamente. Un altro contributo significativo, riguardante la decomposizione polare, fu pubblicato nel 1932.

Teoria del reticolo

Dal 1935 al 1937, von Neumann dedicò i suoi sforzi alla teoria del reticolo, che esamina insiemi parzialmente ordinati in cui due elementi qualsiasi possiedono sia un limite massimo inferiore che un limite minimo superiore. Garrett Birkhoff ha osservato in particolare che "la mente brillante di John von Neumann ardeva sulla teoria del reticolo come una meteora". Von Neumann ha integrato la geometria proiettiva classica con le strutture algebriche contemporanee, tra cui l'algebra lineare, la teoria degli anelli e la teoria dei reticoli. Questa sintesi ha consentito la reinterpretazione di numerosi risultati geometrici precedenti nel contesto di moduli generali sugli anelli. I suoi contributi furono fondamentali per i successivi sviluppi nella moderna geometria proiettiva.

Il suo contributo più significativo fu l'istituzione della geometria continua come campo matematico distinto. Questo sviluppo è emerso dalla sua ricerca pionieristica sugli anelli degli operatori. All'interno della matematica, la geometria continua funge da alternativa alla geometria proiettiva complessa. A differenza della geometria proiettiva complessa, dove la dimensione di un sottospazio appartiene a un insieme discreto, come §67§ , §1011§ , . . . , n {\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}} , nella geometria continua, la dimensione può essere qualsiasi elemento all'interno dell'intervallo unitario [ §4445§ , §4849§ ] {\displaystyle [0,1]} . In precedenza, Menger e Birkhoff avevano stabilito una struttura assiomatica per la geometria proiettiva complessa basata sulle caratteristiche del suo reticolo di sottospazi lineari. Basandosi sul suo lavoro sugli anelli di operatori, von Neumann successivamente perfezionò questi assiomi per delineare una categoria più ampia di reticoli, che chiamò geometrie continue.

In contrasto con le geometrie proiettive, dove le dimensioni del subspazio costituiscono un insieme discreto (in particolare, numeri interi non negativi), le dimensioni degli elementi all'interno di una geometria continua possono variare continuamente attraverso l'intervallo unitario [ §89§ , §1213§ ] {\displaystyle [0,1]} . La motivazione di Von Neumann derivava dalla sua identificazione delle algebre di von Neumann che possedevano una funzione dimensionale che produceva uno spettro continuo di dimensioni. In particolare, l'istanza iniziale di una geometria continua distinta dallo spazio proiettivo è stata osservata nelle proiezioni del fattore iperfinito di tipo II.

Nel suo lavoro più astratto sulla teoria del reticolo, von Neumann ha affrontato con successo la complessa sfida di definire la classe di ${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$. Questa classe rappresenta la geometria proiettiva a dimensione continua su un anello di divisione arbitrario ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$, articolato utilizzando il formalismo astratto della teoria dei reticoli. Ha inoltre presentato un'indagine astratta della dimensione all'interno di reticoli topologici modulari completati e complementari, che sono proprietà inerenti ai reticoli dei sottospazi degli spazi del prodotto interno.

La dimensione è definita in modo univoco, consentendo una trasformazione lineare positiva, da due proprietà fondamentali. Rimane invariante rispetto alle mappature prospettiche, note anche come prospettive, e mantiene l'ordine attraverso l'inclusione. L'aspetto più intricato della dimostrazione stabilisce l'equivalenza tra prospettività e "proiettività per scomposizione", da cui segue direttamente come corollario la transitività della prospettività.

Per qualsiasi numero intero ${\displaystyle n>3}$, ogni ${\displaystyle {\mathit {n}}}$la geometria proiettiva astratta bidimensionale è isomorfa al reticolo sottospaziale di un ${\displaystyle {\mathit {n}}}$spazio vettoriale bidimensionale ${\displaystyle V_{n}(F)}$ su un anello di divisione corrispondente univoco ${\displaystyle F}$. Questo principio è formalmente riconosciuto come il teorema di Veblen-Young. Successivamente, von Neumann ha ampliato questo risultato fondamentale nella geometria proiettiva per comprendere il dominio dimensionale continuo. Questo teorema di coordinazione ha fatto avanzare in modo significativo la ricerca sulla geometria proiettiva astratta e sulla teoria dei reticoli, con gran parte del lavoro successivo che impiega le metodologie di von Neumann. Birkhoff articolò questo teorema come segue:

Qualsiasi reticolo modulare complementare L che possieda una "base" di n ≥ 4 elementi prospettici a coppie è isomorfo al reticolo ℛ(R) comprendente tutti i principali ideali destri di un appropriato anello regolare R. Questo teorema rappresenta l'apice di 140 pagine di lavoro algebrico eccezionalmente brillante e penetrante, che ha introdotto fondamenti assiomatici del tutto nuovi. Per cogliere veramente la straordinaria acutezza intellettuale di von Neumann, basta tentare di seguire questa precisa progressione logica, considerando che spesso componeva cinque pagine di tale materiale prima di colazione, mentre era seduto allo scrittoio nel suo soggiorno.

Lo sviluppo di questa teoria ha reso necessaria l'introduzione di anelli regolari. Nello specifico, un anello regolare di von Neumann è definito come un anello in cui, per ogni elemento ${\displaystyle a}$, esiste un elemento ${\displaystyle x}$ che soddisfa la condizione ${\displaystyle axa=a}$. Questi anelli hanno avuto origine e sono intrinsecamente legati alle sue ricerche sulle algebre di von Neumann, oltre alle algebre AW* e a varie categorie di algebre C*.

Durante la formulazione e dimostrazione dei suddetti teoremi, furono stabiliti numerosi risultati tecnici accessori, in particolare riguardanti la distributività, inclusa la distributività infinita, che von Neumann sviluppò ad hoc. Inoltre, formulò una teoria delle valutazioni all'interno dei reticoli e contribuì al progresso della teoria generale dei reticoli metrici.

Birkhoff osservò nella sua pubblicazione postuma su von Neumann che la maggior parte di questi risultati emersero da un intenso periodo di ricerca di due anni. Sebbene von Neumann mantenne un interesse per la teoria del reticolo oltre il 1937, questo impegno divenne secondario, manifestandosi principalmente nella corrispondenza con altri matematici. Un contributo conclusivo nel 1940 coinvolse un seminario di collaborazione con Birkhoff presso l'Institute for Advanced Study, durante il quale von Neumann elaborò una teoria degli anelli ordinati su reticolo σ-completi. Tuttavia, questo lavoro non è mai stato formalmente preparato per la pubblicazione.

Statistica matematica

Von Neumann fece avanzare significativamente il campo della statistica matematica. Nel 1941 determinò con precisione la distribuzione del rapporto tra il quadrato medio delle differenze successive e la varianza campionaria per variabili indipendenti e identicamente distribuite normalmente. Questo rapporto specifico è stato successivamente applicato ai residui dei modelli di regressione ed è ora ampiamente riconosciuto come statistica di Durbin-Watson, utilizzata per valutare l'ipotesi nulla di errori serialmente indipendenti rispetto all'ipotesi alternativa di errori successivi a un'autoregressione stazionaria del primo ordine.

Successivamente, Denis Sargan e Alok Bhargava hanno ampliato questi risultati per sviluppare test che determinano se i termini di errore in un modello di regressione mostrano una passeggiata casuale gaussiana (cioè, che indica la presenza di una radice unitaria), in contrasto con l'ipotesi alternativa che essi costituiscano un processo autoregressivo stazionario del primo ordine.

Ulteriori attività di ricerca

All'inizio della sua carriera, von Neumann è autore di numerose pubblicazioni riguardanti l'analisi reale della teoria degli insiemi e la teoria dei numeri. Un articolo del 1925 presentò la sua dimostrazione dimostrando che qualsiasi sequenza densa di punti all'interno dell'intervallo [ §89§ , §1213§ ] {\displaystyle [0,1]} potrebbe essere riorganizzato per ottenere una distribuzione uniforme. La sua unica pubblicazione nel 1926 si concentrò sulla teoria dei numeri algebrici ideali di Prüfer, dove introdusse un nuovo metodo di costruzione. Questo lavoro ha ampliato la teoria di Prüfer per comprendere l'intero campo dei numeri algebrici e ha chiarito la loro relazione con i numeri p-adici. Nel 1928 pubblicò altri due articoli che elaboravano questi concetti matematici. L'articolo iniziale affrontava il problema del partizionamento di un intervallo in una raccolta numerabile di sottoinsiemi congruenti. Questa ricerca ha risolto una domanda posta da Hugo Steinhaus, in particolare se un intervallo è ℵ<!-- ℵ --> §3536§ {\displaystyle \aleph _{0}} -divisibile. Von Neumann ha dimostrato in modo conclusivo che tutti i tipi di intervalli - semiaperti, aperti e chiusi - sono infatti ℵ<!-- ℵ --> §5859§ {\displaystyle \aleph _{0}} -divisibili attraverso le traduzioni, nel senso che possono essere scomposti in ℵ<!-- ℵ --> §8182§ {\displaystyle \aleph _{0}} sottoinsiemi congruente tramite traslazione. L'articolo successivo ha presentato una dimostrazione costruttiva, indipendente dall'assioma scelto, stabilendo l'esistenza di §100101§ ℵ<!-- ℵ --> §108109§ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} numeri reali algebricamente indipendenti.Ha dimostrato che i valori A r = ∑<!-- ∑ --> n = §148149§ ∞ §158159§ §162163§ [ n r ] / §188189§ §192193§ n §199200§ {\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}} sono algebricamente indipendenti quando 227§ {\displaystyle r>0} . Ciò implica l'esistenza di un insieme di numeri reali perfetto, algebricamente indipendente, equivalente in cardinalità al continuo. Ulteriori contributi meno importanti degli inizi della sua carriera comprendono la dimostrazione di un principio massimo per il gradiente di una funzione minimizzante all'interno del calcolo delle variazioni, insieme a una piccola semplificazione del teorema di Hermann Minkowski riguardante le forme lineari nella teoria geometrica dei numeri. Successivamente, in collaborazione con Pascual Jordan e Eugene Wigner, è stato coautore di un articolo fondamentale. Questo lavoro classificò tutte le algebre di Jordan formalmente reali di dimensione finita e portò alla scoperta delle algebre di Albert, emergenti dalla loro ricerca di un quadro matematico migliorato per la teoria quantistica. Nel 1936, von Neumann tentò di portare avanti l'iniziativa di sostituire gli assiomi del suo precedente programma spaziale Hilbert con quelli delle algebre di Jordan, come esplorato in un articolo che esaminava lo scenario a dimensione infinita. Sebbene avesse intenzione di pubblicare almeno un altro articolo su questo argomento, questo non è stato scritto. Tuttavia, questi assiomi fondamentali successivamente servirono come base per ulteriori ricerche sulla meccanica quantistica algebrica, avviate da Irving Segal.

Fisica

Meccanica quantistica

John von Neumann ha aperto la strada alla creazione di un rigoroso quadro matematico per la meccanica quantistica, formalizzato come assiomi di Dirac-von Neumann, nella sua fondamentale pubblicazione del 1932, Fondamenti matematici della meccanica quantistica. Dopo il suo lavoro sull'assiomatizzazione della teoria degli insiemi, von Neumann diresse i suoi sforzi verso l'assiomatizzazione della meccanica quantistica. Nel 1926 aveva concettualizzato che lo stato di un sistema quantistico poteva essere rappresentato come un punto all'interno di uno spazio di Hilbert complesso, che poteva avere dimensioni infinite anche per una particella solitaria. All'interno di questo formalismo della meccanica quantistica, le quantità osservabili, come la posizione o la quantità di moto, sono rappresentate come operatori lineari che agiscono sullo spazio di Hilbert collegato al sistema quantistico.

Di conseguenza, la fisica della meccanica quantistica è stata effettivamente trasformata nella matematica degli spazi di Hilbert e dei loro operatori lineari associati. Ad esempio, il principio di indeterminazione, che presuppone che la determinazione precisa della posizione di una particella preclude la determinazione simultanea e precisa della sua quantità di moto, e viceversa, è matematicamente espresso come la non commutatività dei rispettivi operatori. Questo quadro matematico innovativo comprendeva sia le formulazioni di Heisenberg che quelle di Schrödinger come istanze specifiche.

L'approccio astratto di Von Neumann gli ha permesso di affrontare il dibattito fondamentale tra determinismo e non determinismo. Nel suo libro presentò una prova affermando che i risultati statistici della meccanica quantistica non potevano derivare dalle medie di un insieme sottostante di determinate "variabili nascoste", a differenza della meccanica statistica classica. Tuttavia, nel 1935, Grete Hermann pubblicò un articolo in cui sosteneva che la dimostrazione di von Neumann conteneva un difetto concettuale, che la rendeva non valida. La critica di Hermann rimase in gran parte inosservata finché John S. Bell non avanzò in modo indipendente un argomento simile nel 1966. Più recentemente, nel 2010, Jeffrey Bub sostenne che Bell aveva interpretato male la dimostrazione originale di von Neumann, chiarendo che sebbene la dimostrazione potrebbe non invalidare tutte le teorie sulle variabili nascoste, di fatto esclude un sottoinsieme specifico e significativo. Bub ipotizzò inoltre che lo stesso von Neumann fosse consapevole di questa limitazione e non affermò che la sua dimostrazione confutasse universalmente le teorie delle variabili nascoste. Anche la veridicità dell'interpretazione di Bub, tuttavia, è oggetto di dibattito. Successivamente, il teorema di Gleason nel 1957 offrì un argomento alternativo contro le variabili nascoste, allineandosi con la direzione generale di von Neumann ma basata su presupposti considerati più robusti e fisicamente pertinenti.

La dimostrazione di von Neumann diede inizio a un significativo percorso di ricerca che, attraverso il successivo sviluppo del teorema di Bell e gli esperimenti di Alain Aspect nel 1982, dimostrò infine che la fisica quantistica necessita di una nozione di realtà fondamentalmente distinto dalla fisica classica o dall'inclusione della nonlocalità, che apparentemente contravviene alla relatività speciale.

All'interno di un capitolo di I fondamenti matematici della meccanica quantistica, von Neumann ha condotto un'analisi approfondita del problema della misurazione. Egli ipotizzò che l'intero universo fisico potesse essere racchiuso da una funzione d'onda universale. Data la necessità di un fattore esterno per indurre il collasso della funzione d'onda, von Neumann dedusse che questo collasso fosse istigato dalla coscienza dello sperimentatore. Sosteneva che la struttura matematica della meccanica quantistica permette la localizzazione del collasso della funzione d'onda in qualsiasi punto all'interno della sequenza causale, estendendosi dall'apparato di misurazione alla "coscienza soggettiva" dell'osservatore umano. In sostanza, mentre la demarcazione tra osservatore e osservato potrebbe essere posizionata in modo flessibile, la teoria mantiene coerenza solo se un osservatore è presente da qualche parte. Nonostante sia stata accettata da Eugene Wigner, questa interpretazione, che attribuisce il collasso alla coscienza, non ha ottenuto un consenso diffuso nella più ampia comunità dei fisici.

Mentre le teorie della meccanica quantistica continuano ad avanzare, il formalismo matematico fondamentale per affrontare i problemi della meccanica quantistica, che è alla base della maggior parte degli approcci contemporanei, ha origine dai formalismi e dalle tecniche introdotte da von Neumann. Di conseguenza, le discussioni in corso riguardanti l'interpretazione della teoria e le sue estensioni si basano in gran parte su presupposti matematici fondamentali condivisi.

Arthur Wightman, un fisico matematico, affermò nel 1974 che l'assiomizzazione della teoria quantistica di von Neumann, considerata un contributo alla risoluzione del sesto problema di Hilbert, rappresentava potenzialmente l'assiomizzazione più significativa di una teoria fisica raggiunta a quel tempo. Attraverso la sua pubblicazione del 1932, la meccanica quantistica si è evoluta in una teoria matura, caratterizzata da una precisa formulazione matematica che ha facilitato soluzioni inequivocabili alle sfide concettuali. Nonostante questi risultati, von Neumann in seguito espresse la percezione di un successo incompleto in questa impresa scientifica, sottolineando che, nonostante l'ampio apparato matematico da lui ideato, non aveva stabilito un quadro matematico completo e soddisfacente per la teoria quantistica nella sua interezza.

Entropia di Von Neumann

Nell'ambito della teoria dell'informazione quantistica, l'entropia di von Neumann trova ampia applicazione in varie formulazioni, tra cui l'entropia condizionale e l'entropia relativa. Le misure di entanglement derivano da quantità direttamente correlate con l'entropia di von Neumann. Per un insieme statistico di sistemi quantomeccanici caratterizzati dalla matrice di densità ${\displaystyle \rho }$, l'entropia di von Neumann è definita come ${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).\,}$ Numerose misure di entropia della teoria classica dell'informazione, come l'entropia di Holevo e l'entropia quantistica condizionale, sono adattabili al dominio quantistico. La teoria dell'informazione quantistica si concentra principalmente sull'interpretazione e sulle applicazioni dell'entropia di von Neumann, che funge da elemento fondamentale nella sua evoluzione, mentre l'entropia di Shannon riguarda la teoria dell'informazione classica.

Matrice di densità

Il formalismo che comprende operatori e matrici di densità è stato introdotto da von Neumann nel 1927 e, indipendentemente, anche se con uno sviluppo meno sistematico, da Lev Landau nel 1927 e Felix Bloch nel 1946. La matrice di densità consente la rappresentazione di sovrapposizioni probabilistiche di stati quantistici, noti come stati misti, a differenza delle funzioni d'onda, che si limitano a descrivere stati puri.

Schema di misurazione di Von Neumann

Lo schema di misurazione di von Neumann, riconosciuto come il precursore della teoria della decoerenza quantistica, concettualizza le misurazioni in modo proiettivo incorporando l'apparato di misurazione, che è esso stesso modellato come un'entità quantistica. Questo quadro di "misurazione proiettiva", inizialmente introdotto da von Neumann, ha successivamente favorito l'emergere delle teorie della decoerenza quantistica.

Logica quantistica

John von Neumann introdusse inizialmente il concetto di logica quantistica nel suo trattato del 1932, Fondamenti matematici della meccanica quantistica, dove ipotizzò che le proiezioni all'interno di uno spazio di Hilbert potessero rappresentare proposizioni riguardanti osservabili fisiche. La disciplina formale della logica quantistica fu successivamente stabilita in una pubblicazione del 1936 scritta da von Neumann e Garrett Birkhoff. Questo articolo fondamentale non solo ha introdotto la logica quantistica, ma ha anche fornito la prova iniziale e rigorosa che la meccanica quantistica necessita di un calcolo proposizionale fondamentalmente distinto dai sistemi logici classici, identificando così una nuova struttura algebrica per la logica quantistica. Mentre l'idea fondamentale per un calcolo proposizionale su misura per la logica quantistica fu brevemente presentata nella pubblicazione di von Neumann del 1932, il requisito convincente per questo nuovo calcolo fu suffragato da molteplici prove nel 1936. A titolo illustrativo, i fotoni non sono in grado di attraversare due filtri posizionati in sequenza polarizzati perpendicolarmente (ad esempio, orizzontalmente e verticalmente). Di conseguenza, a fortiori, non possono passare se prima o dopo questi due viene introdotto un terzo filtro polarizzato diagonalmente. Tuttavia, se questo terzo filtro viene inserito tra i due iniziali, i fotoni trasmettono con successo. Questa osservazione empirica si traduce logicamente nella non commutatività della congiunzione, espressa come ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$.Inoltre, è stato stabilito che le leggi distributive della logica classica, nello specifico ${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$ e ${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$, non sono vere nell'ambito della teoria quantistica.

Questa discrepanza nasce perché, a differenza delle disgiunzioni classiche, una disgiunzione quantistica può essere valida anche quando entrambe le disgiunzioni costituenti sono false. Questo fenomeno è spesso attribuito al fatto che nella meccanica quantistica un insieme di alternative possiede una determinatezza semantica, ma ogni alternativa individuale rimane intrinsecamente indeterminata. Di conseguenza, la classica legge logica distributiva deve essere sostituita da una condizione meno stringente. Piuttosto che formare un reticolo distributivo, le proposizioni relative a un sistema quantistico costituiscono un reticolo ortomodulare, che è isomorfo al reticolo dei sottospazi all'interno dello spazio di Hilbert corrispondente a quel sistema.

Nonostante questi contributi, von Neumann rimase insoddisfatto dei suoi progressi nella logica quantistica. La sua ambizione era quella di raggiungere una sintesi unificata di logica formale e teoria della probabilità. Tuttavia, quando tentò di preparare un articolo per la Henry Joseph Lecture, tenuta alla Washington Philosophical Society nel 1945, non fu in grado di completarlo, principalmente a causa del suo ampio coinvolgimento nella ricerca in tempo di guerra. Nel suo discorso al Congresso internazionale dei matematici del 1954, evidenziò questa particolare sfida come uno dei problemi irrisolti per la futura indagine matematica.

Fluidodinamica

Durante la seconda guerra mondiale, von Neumann contribuì in modo significativo alla dinamica dei fluidi, inclusa la soluzione del flusso seminale per le onde d'urto, ora denominata onda d'urto Taylor-von Neumann-Sedov, riconoscendo i tre scienziati che la svilupparono in modo indipendente, e la co-scoperta indipendente, insieme a Yakov Borisovich Zel'dovich e Werner Döring, del modello di detonazione ZND per gli esplosivi. Nel corso degli anni '30, von Neumann consolidò la sua esperienza nei principi matematici che governano le cariche modellate.

Successivamente, in collaborazione con Robert D. Richtmyer, von Neumann ideò un algoritmo che introdusse la viscosità artificiale, migliorando così la comprensione dei fenomeni delle onde d'urto. Le simulazioni computazionali di sfide idrodinamiche o aerodinamiche spesso assegnavano un numero eccessivo di punti della griglia ad aree caratterizzate da brusche discontinuità, come le onde d'urto. L'applicazione della viscosità artificiale ha mitigato matematicamente queste brusche transizioni d'urto preservando i principi fisici fondamentali.

Von Neumann estese rapidamente la modellazione computerizzata a questo dominio, creando software specifico per le sue indagini balistiche. Durante la seconda guerra mondiale, presentò a R. H. Kent, allora direttore del Laboratorio di ricerca balistica dell'esercito americano, un programma computazionale progettato per simulare un'onda d'urto utilizzando un modello unidimensionale di 100 molecole. Von Neumann successivamente tenne un seminario su questo programma davanti a un pubblico che includeva il suo collega Theodore von Kármán. Dopo la presentazione di von Neumann, von Kármán ha osservato: "Sei, ovviamente, consapevole che Lagrange ha utilizzato in modo simile modelli digitali per simulare la meccanica del continuo". Von Neumann, tuttavia, non aveva familiarità con la Mécanique analytique di Lagrange.

Contributi aggiuntivi alla ricerca

Sebbene la sua produzione in fisica non fosse così ampia come in matematica, von Neumann diede comunque diversi contributi significativi in ​​questo campo. I suoi fondamentali articoli in collaborazione con Subrahmanyan Chandrasekhar, che affrontavano le statistiche dei campi gravitazionali fluttuanti prodotti da stelle distribuite casualmente, furono considerati un tour de force. Nell'ambito di questi lavori formularono una teoria del rilassamento a due corpi e impiegarono la distribuzione di Holtsmark per modellare l'intricata dinamica dei sistemi stellari. Fu anche autore di numerosi altri manoscritti inediti riguardanti la struttura stellare, parti dei quali furono successivamente incorporati nelle pubblicazioni successive di Chandrasekhar. In ricerche precedenti, sotto la direzione di Oswald Veblen, von Neumann contribuì allo sviluppo di concetti fondamentali relativi agli spinori, che in seguito informarono la teoria dei twistor di Roger Penrose. Una parte sostanziale di questo lavoro ha avuto origine dai seminari tenuti presso l’Institute for Advanced Study (IAS) nel corso degli anni ’30. Frutto di questo sforzo di collaborazione, è coautore di un articolo con A. H. Taub e Veblen, che estende l'equazione di Dirac alla relatività proiettiva. Questa ricerca, condotta negli anni '30, si concentrò principalmente sulla preservazione dell'invarianza relativa alle trasformazioni di coordinate, spin e Gauge, rappresentando una prima esplorazione delle potenziali teorie della gravità quantistica. Allo stesso tempo, ha presentato diverse proposte ai suoi colleghi affrontando le sfide all'interno della nascente teoria quantistica dei campi e riguardanti la quantizzazione dello spaziotempo; tuttavia questi concetti non furono ritenuti produttivi né da lui né dai suoi collaboratori e di conseguenza non furono perseguiti. Tuttavia, mantenne un certo interesse, evidenziato da un manoscritto del 1940 da lui scritto sull'equazione di Dirac nello spazio di de Sitter.

Economia

Teoria del gioco

Von Neumann stabilì la teoria dei giochi come una disciplina matematica distinta. Nel 1928 dimostrò formalmente il suo fondamentale teorema del minimax. Questo teorema dimostra che nei giochi a somma zero caratterizzati da informazione perfetta (dove i giocatori possiedono la conoscenza completa di tutte le mosse precedenti in un dato momento), esiste una coppia di strategie per entrambi i partecipanti, consentendo a ciascuno di minimizzare le proprie perdite potenziali massime. Queste strategie sono designate come ottimali. Von Neumann dimostrò inoltre che i minimax di queste strategie sono equivalenti in valore assoluto ma opposti in segno. Successivamente perfezionò ed espanse il teorema minimax per comprendere i giochi con informazioni imperfette e quelli che coinvolgono più di due giocatori, pubblicando questi progressi nel suo lavoro del 1944, Teoria dei giochi e comportamento economico, scritto in collaborazione con Oskar Morgenstern. Il profondo interesse pubblico generato da questa pubblicazione è stato sottolineato da un articolo in prima pagina sul The New York Times. All'interno di questo trattato, von Neumann affermò che la teoria economica necessitava dell'applicazione dell'analisi funzionale, in particolare degli insiemi convessi e del teorema topologico del punto fisso, piuttosto che fare affidamento sul calcolo differenziale convenzionale, dato che l'operatore massimo non preserva intrinsecamente funzioni differenziabili.

Fin dalla loro introduzione, le metodologie analitiche funzionali di von Neumann, inclusa l'applicazione di accoppiamenti di dualità di spazi vettoriali reali per rappresentare prezzi e quantità, l'utilizzo di iperpiani di supporto e separazione e gli insiemi convessi e la teoria dei punti fissi sono rimasti strumenti fondamentali nell'economia matematica.

Economia matematica

John von Neumann ha fatto avanzare in modo significativo il rigore matematico dell'economia attraverso una serie di pubblicazioni influenti. Nel suo modello fondamentale di un'economia in espansione, stabilì l'esistenza e l'unicità di uno stato di equilibrio impiegando il suo teorema generalizzato del punto fisso di Brouwer. Questo modello incorporava la matita matrice A − λB, comprendente le matrici non negative A e B. L'obiettivo di Von Neumann era identificare i vettori di probabilità p e q, insieme a uno scalare positivo λ, che soddisfacessero l'equazione di complementarità p T ( A −<!-- − --> λ<!-- λ --> B ) q = §4849§ {\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0} , insieme a due sistemi di disuguaglianze che rappresentano l'efficienza economica. In questo quadro, il vettore di probabilità trasposto p denota i prezzi delle materie prime, mentre il vettore di probabilità q indica l'intensità operativa del processo produttivo. La soluzione singolare λ corrisponde al fattore di crescita, definito come uno più il tasso di crescita economica, dove questo tasso di crescita equivale al tasso di interesse.

Le scoperte di von Neumann sono spesso considerate un esempio specifico di programmazione lineare, soprattutto perché il suo modello impiega esclusivamente matrici non negative. Il suo modello di economia in espansione rimane oggetto di costante interesse tra gli economisti matematici. Numerosi studiosi hanno lodato questo particolare articolo come il contributo più significativo all’economia matematica, citando la sua introduzione pionieristica dei teoremi del punto fisso, delle disuguaglianze lineari, del rallentamento complementare e della dualità del punto di sella. Durante una conferenza dedicata al modello di crescita di von Neumann, Paul Samuelson osservò che mentre molti matematici avevano ideato metodologie vantaggiose per gli economisti, von Neumann si distinse fornendo contributi sostanziali direttamente alla teoria economica. Il significato duraturo di questo lavoro, in particolare per quanto riguarda gli equilibri generali e l’applicazione dei teoremi del punto fisso, è evidenziato dalla successiva assegnazione dei premi Nobel: Kenneth Arrow nel 1972, Gérard Debreu nel 1983 e John Nash nel 1994. Nash ha utilizzato in particolare i teoremi del punto fisso nella sua tesi di dottorato per definire gli equilibri per giochi non cooperativi e scenari di contrattazione. Sia Arrow che Debreu, insieme ai colleghi premi Nobel Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Wassily Leontief, Paul Samuelson, Robert Dorfman, Robert Solow e Leonid Hurwicz, incorporarono anche la programmazione lineare nelle loro ricerche.

L'impegno di John von Neumann con questo argomento ebbe origine durante le sue lezioni a Berlino tra il 1928 e il 1929. Durante le sue estati risiedeva a Budapest, dove incontrò l'economista Nicholas Kaldor. Successivamente Kaldor consigliò a von Neumann di consultare un'opera dell'economista matematico Léon Walras. Von Neumann osservò che la teoria dell'equilibrio generale di Walras e la legge di Walras, che si basavano su sistemi di equazioni lineari simultanee, potevano paradossalmente suggerire che la massimizzazione del profitto fosse ottenibile attraverso la produzione e la vendita di una quantità negativa di un bene. Di conseguenza, sostituì queste equazioni con disuguaglianze, incorporò equilibri dinamici, tra le altre innovazioni, culminate infine nella pubblicazione del suo articolo fondamentale.

Programmazione lineare

Sfruttando il suo lavoro precedente sui giochi a matrici e il suo modello di economia in espansione, von Neumann sviluppò la teoria della dualità nella programmazione lineare. Ciò avvenne quando George Dantzig presentò la sua ricerca in modo conciso, spingendo un impaziente von Neumann a richiedere una spiegazione più diretta. Dantzig ascoltò successivamente con stupore mentre von Neumann tenne un discorso di un'ora sugli insiemi convessi, sulla teoria dei punti fissi e sulla dualità, ipotizzando infine l'equivalenza fondamentale tra giochi di matrici e programmazione lineare.

Successivamente, von Neumann propose una metodologia innovativa di programmazione lineare, attingendo al sistema lineare omogeneo di Paul Gordan del 1873, un concetto successivamente ampiamente diffuso attraverso l'algoritmo di Karmarkar. Il suo approccio utilizzava un algoritmo pivotante che operava tra simplessi, dove il criterio pivotante era stabilito da un sottoproblema dei minimi quadrati non negativi soggetto a un vincolo di convessità (in particolare, proiettando il vettore zero sullo scafo convesso dell'attuale simplesso). In particolare, l'algoritmo di von Neumann rappresenta il metodo pionieristico del punto interno nella programmazione lineare.

Informatica

John von Neumann è stato una figura fondamentale nel campo dell'informatica, apportando contributi sostanziali in diversi ambiti, tra cui la progettazione hardware, l'informatica teorica, l'informatica scientifica e la filosofia dell'informatica.

Hardware

Von Neumann ha lavorato come consulente per il Laboratorio di ricerca balistica dell'esercito, contribuendo principalmente al progetto ENIAC come membro del suo comitato consultivo scientifico. Sebbene l'architettura a memoria singola e programma memorizzato sia ampiamente conosciuta come architettura di von Neumann, i suoi principi fondamentali hanno avuto origine dal lavoro di J. Presper Eckert e John Mauchly, che furono gli inventori di ENIAC e del suo modello successivo, EDVAC. Durante la sua consulenza per il progetto EDVAC presso l'Università della Pennsylvania, von Neumann ha scritto un documento incompiuto intitolato Prima bozza di un rapporto sull'EDVAC. La diffusione anticipata di questo documento invalidò le rivendicazioni di brevetto di Eckert e Mauchly. Descriveva dettagliatamente un progetto di computer in cui sia i dati che i programmi risiedevano all'interno di uno spazio di indirizzi unificato, una deviazione dai computer precedenti che memorizzavano i programmi separatamente su supporti come nastro di carta o schede plugboard. Questo paradigma architettonico successivamente costituì il fondamento per la maggior parte dei progetti contemporanei di computer digitali.

Successivamente, von Neumann intraprese la progettazione della macchina IAS presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New Jersey. Si assicurò il finanziamento e i componenti necessari furono sviluppati e fabbricati nell'adiacente laboratorio di ricerca RCA. Von Neumann sostenne l'inclusione di un tamburo magnetico nell'IBM 701, colloquialmente noto come il computer della difesa. Questa macchina rappresentava un'iterazione più rapida della macchina IAS e servì come base per l'IBM 704 commerciale di grande successo.

Algoritmi

Nel 1945, von Neumann sviluppò l'algoritmo Merge Sort, un metodo in cui un array viene diviso ricorsivamente in due metà, ciascuna ordinata in modo indipendente e quindi successivamente unita.

Nel contesto del suo lavoro sulla bomba all'idrogeno, von Neumann collaborò con Stanisław Ulam per creare simulazioni per calcoli idrodinamici. Inoltre, ha svolto un ruolo nel progresso del metodo Monte Carlo, un approccio che utilizza numeri casuali per stimare soluzioni a problemi complessi.

L'algoritmo di Von Neumann, progettato per simulare una moneta corretta utilizzandone una distorta, trova applicazione nella fase di "sbiancamento del software" di alcuni generatori hardware di numeri casuali. Riconoscendo l'impraticabilità di generare numeri "veramente" casuali, von Neumann ideò una forma di pseudocasualità attraverso il metodo del quadrato centrale. Razionalizzò questa tecnica rudimentale affermando la sua velocità superiore rispetto ad altri metodi disponibili, affermando notoriamente: "Chiunque consideri metodi aritmetici per produrre cifre casuali è, ovviamente, in uno stato di peccato". Ha inoltre osservato che i fallimenti in questo metodo erano evidentemente evidenti, in contrasto con altre tecniche in cui gli errori potevano essere sottilmente nascosti.

Von Neumann introdusse il calcolo stocastico nel 1953, sebbene la sua implementazione pratica non fosse fattibile finché non emersero i progressi computazionali negli anni '60. Intorno al 1950, fu anche un pioniere nella discussione sulla complessità temporale dei calcoli, un concetto che alla fine si sviluppò nella disciplina della teoria della complessità computazionale.

Gli automi cellulari, il DNA e il costruttore universale

Le indagini matematiche di Von Neumann sui meccanismi dell'autoreplicazione hanno preceduto la delucidazione della struttura del DNA. Stanisław Ulam e von Neumann sono ampiamente riconosciuti per aver stabilito il campo degli automi cellulari, a partire dagli anni '40, come quadro matematico semplificato per modellare i sistemi biologici.

Durante le lezioni tenute nel 1948 e 1949, von Neumann introdusse il concetto di un automa cinematico autoriproduttivo. Nel 1952, il suo approccio a questo problema era diventato più astratto. Ha ideato un intricato automa cellulare bidimensionale in grado di replicare autonomamente la sua configurazione cellulare iniziale. Il costruttore universale di Von Neumann, derivato dall'automa cellulare di von Neumann, è stato ampiamente dettagliato nel suo lavoro pubblicato postumo, Teoria degli automi autoriproduttivi. Il quartiere di von Neumann, che definisce ciascuna cella in una griglia bidimensionale come avente quattro celle della griglia ortogonalmente adiacenti come vicine, rimane una configurazione standard in vari altri automi cellulari.

Calcolo scientifico e analisi numerica

Ampiamente considerato potenzialmente "il ricercatore più influente di tutti i tempi nel campo dell'informatica scientifica", von Neumann ha contribuito in modo significativo al settore sia attraverso innovazioni tecniche che attraverso la leadership amministrativa. Ha ideato la procedura di analisi di stabilità di Von Neumann, un metodo ancora comunemente utilizzato per prevenire l'accumulo di errori nelle tecniche numeriche per equazioni alle derivate parziali lineari. Il suo articolo del 1947 con Herman Goldstine introdusse implicitamente l'analisi degli errori a ritroso, segnandone la prima descrizione. Inoltre, fu tra i pionieri nel documentare il metodo Jacobi. Mentre era a Los Alamos, von Neumann scrisse diversi rapporti riservati che descrivevano in dettaglio soluzioni numeriche per problemi di dinamica dei gas. Tuttavia, la sua frustrazione per il progresso limitato dei metodi analitici per queste sfide non lineari lo ha portato a orientarsi verso approcci computazionali. Di conseguenza, sotto la sua guida, Los Alamos emerse come un centro preminente per la scienza computazionale negli anni '50 e all'inizio degli anni '60.

Questo lavoro portò von Neumann a riconoscere che il calcolo trascendeva il suo ruolo di mero strumento per risolvere numericamente problemi attraverso la forza bruta; potrebbe anche fornire spunti analitici. Capì inoltre che un'ampia gamma di problemi scientifici e ingegneristici, in particolare quelli non lineari, potevano trarre vantaggio dall'applicazione informatica. Nel giugno 1945, al Primo Congresso matematico canadese, tenne la sua presentazione inaugurale sulle strategie generali per la risoluzione dei problemi, con un focus specifico sugli aspetti numerici della dinamica dei fluidi. Ha anche spiegato come le gallerie del vento funzionavano come computer analogici e ha predetto che i computer digitali le avrebbero sostituite, inaugurando una nuova era per la dinamica dei fluidi. Garrett Birkhoff ha definito questa presentazione "un'indimenticabile presentazione di vendita". Successivamente, von Neumann espanse questo discorso con Goldstine nel manoscritto "Sui principi delle macchine informatiche su larga scala", che utilizzò per sostenere il progresso dell'informatica scientifica. Le sue pubblicazioni hanno inoltre avanzato concetti come l'inversione di matrice, le matrici casuali e i metodi di rilassamento automatizzato per affrontare i problemi dei valori al contorno ellittici.

Sistemi meteorologici e riscaldamento globale

Nell'ambito della sua esplorazione delle potenziali applicazioni informatiche, von Neumann sviluppò un interesse per le previsioni meteorologiche, osservando parallelismi tra le sfide in questo ambito e quelle incontrate durante il Progetto Manhattan. Nel 1946, von Neumann istituì il "Progetto Meteorologico" presso l'Institute for Advanced Study, ottenendo finanziamenti dal Weather Bureau, dall'aeronautica americana e dai servizi meteorologici della marina americana. Collaborando con Carl-Gustaf Rossby, allora considerato il principale meteorologo teorico, riunì un team di venti meteorologi per affrontare varie questioni sul campo. Tuttavia, a causa degli altri impegni del dopoguerra, non fu in grado di dedicare tempo sufficiente per guidare efficacemente il progetto, con risultati limitati.

Questa situazione cambiò quando Jule Gregory Charney assunse la co-direzione del progetto da Rossby. Nel 1950, von Neumann e Charney svilupparono insieme il primo software di modellazione climatica al mondo, che successivamente impiegarono per generare le prime previsioni meteorologiche numeriche a livello globale, utilizzando il computer ENIAC a cui von Neumann aveva ottenuto l'accesso. Von Neumann e il suo team hanno pubblicato questi risultati come Integrazione numerica dell'equazione della vorticità barotropica. Insieme, hanno svolto un ruolo fondamentale nell’integrazione dell’energia dell’aria marina e degli scambi di umidità negli studi sul clima. Nonostante la loro natura primitiva, le notizie sulle previsioni ENIAC si diffusero rapidamente in tutto il mondo, spingendo all'avvio di numerosi progetti paralleli in altre località.

Nel 1955, von Neumann, Charney e i loro collaboratori convinsero con successo i loro finanziatori a istituire la Joint Numerical Weather Prediction Unit (JNWPU) a Suitland, nel Maryland, che successivamente iniziò le operazioni di routine di previsione meteorologica in tempo reale. In seguito, von Neumann ha proposto un programma di ricerca completo per la modellazione climatica:

La metodologia prevede inizialmente il perseguimento di previsioni a breve termine, seguite da previsioni a lungo termine di quelle proprietà circolatorie capaci di auto-perpetuarsi per periodi arbitrariamente estesi. Solo allora si tenterà di fare previsioni su intervalli di tempo medio-lunghi, che sono troppo lunghi per essere trattati dalla semplice teoria idrodinamica ma troppo brevi per essere analizzati utilizzando il principio generale della teoria dell'equilibrio.

I risultati favorevoli riportati da Norman A. Phillips nel 1955 stimolarono una risposta immediata, portando von Neumann a organizzare una conferenza a Princeton sull'"Applicazione delle tecniche di integrazione numerica al problema della circolazione generale". Ha strutturato strategicamente il programma con un orientamento predittivo per garantire il sostegno duraturo del Weather Bureau e delle forze armate. Questa iniziativa è culminata nella creazione della Sezione di ricerca sulla circolazione generale (attualmente nota come Laboratorio di fluidodinamica geofisica) adiacente al JNWPU. Von Neumann si impegnò costantemente sia nelle complessità tecniche della modellazione che nel compito fondamentale di garantire un sostegno finanziario continuo per questi progetti. Alla fine del XIX secolo, Svante Arrhenius propose che le attività antropiche potessero indurre il riscaldamento globale attraverso l’introduzione di anidride carbonica nell’atmosfera. Nel 1955, von Neumann notò che questo processo potrebbe essere già in corso, affermando: "L'anidride carbonica rilasciata nell'atmosfera dalla combustione di carbone e petrolio da parte dell'industria - più della metà durante l'ultima generazione - potrebbe aver cambiato la composizione dell'atmosfera sufficientemente da giustificare un riscaldamento generale del mondo di circa un grado Fahrenheit". Le sue indagini sui sistemi meteorologici e sulle previsioni meteorologiche lo hanno spinto a suggerire la manipolazione ambientale, in particolare diffondendo coloranti sulle calotte polari per aumentare l'assorbimento della radiazione solare, riducendo così l'albedo. Tuttavia, ha fortemente consigliato la prudenza riguardo a qualsiasi programma di modificazione atmosferica:

Ciò che si potrebbe essere fatto, ovviamente, non è un indice di ciò che dovrebbe essere fatto... In effetti, valutare le conseguenze ultime di un raffreddamento generale o di un riscaldamento generale sarebbe una questione complessa. I cambiamenti influenzerebbero il livello dei mari, e quindi l’abitabilità delle piattaforme costiere continentali; l'evaporazione dei mari, e quindi i livelli generali delle precipitazioni e delle glaciazioni; e così via... Ma non c'è dubbio che si potrebbero effettuare le analisi necessarie per prevedere i risultati, intervenire su qualsiasi scala desiderata e, alla fine, ottenere risultati piuttosto fantastici.

Von Neumann avvertì inoltre che la manipolazione del tempo e del clima potrebbe essere sfruttata per scopi militari, informando il Congresso nel 1956 che tali capacità potrebbero presentare un rischio maggiore rispetto ai missili balistici intercontinentali (ICBM).

Ipotesi della singolarità tecnologica

L'applicazione iniziale del concetto di singolarità all'interno di un quadro tecnologico è attribuita a von Neumann. Secondo Ulam, von Neumann ha riflettuto sul "progresso sempre accelerato della tecnologia e sui cambiamenti nel modo di vivere umano, che danno l'impressione di avvicinarsi a una singolarità essenziale nella storia della razza oltre la quale gli affari umani, come li conosciamo, non potrebbero continuare." Questo concetto fu successivamente elaborato nella pubblicazione di Alvin Toffler del 1970, Future Shock.

Contributi alla difesa

Il Progetto Manhattan

A partire dalla fine degli anni '30, von Neumann coltivò conoscenze specializzate sulle esplosioni, che sono fenomeni intrinsecamente difficili da modellare matematicamente. Durante quest'epoca emerse come la massima autorità nel campo della matematica delle cariche sagomate. Questa esperienza portò a numerose consulenze militari e, successivamente, alla sua partecipazione al Progetto Manhattan. Il suo impegno comprendeva visite regolari alle installazioni di ricerca clandestine del progetto presso il laboratorio di Los Alamos nel Nuovo Messico.

Il contributo principale di Von Neumann alla bomba atomica coinvolse la concettualizzazione e la progettazione delle lenti esplosive essenziali per comprimere il nucleo di plutonio dell'arma Fat Man, che fu successivamente schierata su Nagasaki. Sebbene von Neumann non abbia ideato il concetto di "implosione", fu tra i suoi più risoluti sostenitori, promuovendone il continuo perfezionamento nonostante le riserve di molti colleghi che ritenevano un tale progetto poco pratico. Inoltre, alla fine concepì la strategia di impiegare cariche sagomate più potenti e quantità ridotte di materiale fissile per accelerare significativamente il processo di "assemblaggio".

La scarsità di uranio-235 per bombe multiple e l'inadeguatezza del plutonio-239 per il progetto "Thin Man" hanno reso necessaria la significativa espansione del progetto della lente implosiva, portando all'implementazione del concetto di von Neumann. L'implosione è emersa come l'unico metodo praticabile per utilizzare il plutonio-239 procurato dal sito di Hanford. Von Neumann definì il design della lente esplosiva richiesta, nonostante le persistenti preoccupazioni riguardanti gli "effetti bordo" e le imperfezioni del materiale esplosivo. I suoi calcoli indicavano che l'implosione avrebbe avuto successo purché avesse mantenuto la simmetria sferica entro una deviazione del 5%. Dopo diverse prove su modelli infruttuose, George Kistiakowsky raggiunse questa svolta fondamentale, culminata con il completamento della costruzione della bomba Trinity nel luglio 1945.

Durante un settembre 1944, di conseguenza, questa scoperta stabilì che la detonazione di una bomba atomica diversi chilometri sopra un bersaglio, piuttosto che a livello del suolo, ne avrebbe aumentato significativamente l'efficacia distruttiva.

Von Neumann partecipò al comitato di selezione degli obiettivi incaricato di identificare Hiroshima e Nagasaki come le prime città giapponesi per lo spiegamento della bomba atomica. Ha supervisionato i calcoli relativi all'entità prevista delle esplosioni delle bombe, alle vittime previste e all'altitudine di detonazione ottimale per massimizzare la propagazione delle onde d'urto. Kyoto, un importante centro culturale, fu la scelta preferita di von Neumann, una selezione sostenuta dal generale Leslie Groves, il leader del Progetto Manhattan. Tuttavia, il ministro della Guerra Henry L. Stimson alla fine rifiutò questo obiettivo.

Il 16 luglio 1945, von Neumann, insieme a numerosi altri membri del personale del Progetto Manhattan, fu testimone del test inaugurale di detonazione della bomba atomica, nome in codice Trinity. Questo evento, progettato per valutare il dispositivo con metodo di implosione, si è verificato presso il poligono di bombardamento di Alamogordo nel New Mexico. Basandosi esclusivamente sulle sue osservazioni, von Neumann stimò la resa dell'esplosione a 5 kilotoni di TNT (21 TJ). Enrico Fermi, invece, ricavò una stima più precisa di 10 kilotoni osservando la dispersione di frammenti di carta strappati mentre l'onda d'urto attraversava la sua posizione. La potenza esplosiva effettiva variava tra 20 e 22 kilotoni. In particolare, il termine "kilotons" fu introdotto per la prima volta negli articoli di von Neumann del 1944.

Von Neumann perseguì con fermezza la sua ricerca, diventando, insieme a Edward Teller, una figura fondamentale nel portare avanti il ​​progetto della bomba all'idrogeno. Insieme a Klaus Fuchs contribuì al successivo sviluppo della bomba. Nel 1946, depositarono congiuntamente un brevetto classificato che descriveva in dettaglio un meccanismo per impiegare una bomba a fissione per comprimere il combustibile di fusione, avviando così la fusione nucleare. Sebbene il brevetto Fuchs-von Neumann incorporasse l'implosione delle radiazioni, la sua metodologia differiva da quella adottata alla fine nel progetto finale della bomba all'idrogeno Teller-Ulam. Tuttavia, la loro ricerca è stata integrata nella ripresa di "George" dell'Operazione Serra, fornendo spunti cruciali per il progetto definitivo. Fuchs successivamente trasmise il lavoro di Fuchs-von Neumann all'Unione Sovietica come parte delle sue attività di spionaggio nucleare; tuttavia, non fu utilizzato nello sviluppo sovietico indipendente del progetto Teller-Ulam. Lo storico Jeremy Bernstein osservò l'ironia del fatto che "John von Neumann e Klaus Fuchs produssero una brillante invenzione nel 1946 che avrebbe potuto cambiare l'intero corso dello sviluppo della bomba all'idrogeno, ma non fu pienamente compresa fino a quando la bomba non fu realizzata con successo."

In riconoscimento dei suoi contributi in tempo di guerra, von Neumann ricevette il Navy Distinguished Civilian Service Award nel luglio 1946, seguito dalla medaglia al merito nell'ottobre 1946.

Imprese del dopoguerra.

Nel 1950, von Neumann iniziò il suo ruolo di consulente per il Weapons Systems Evaluation Group, un'entità incaricata di consigliare i capi di stato maggiore congiunti e il Segretario alla Difesa degli Stati Uniti riguardo al progresso e all'applicazione delle tecnologie emergenti. Allo stesso tempo, ha servito come consulente per il Progetto sulle armi speciali delle forze armate, che ha supervisionato le dimensioni militari degli armamenti nucleari. Nel corso dei due anni successivi, le sue attività di consulenza si espansero in vari rami del governo degli Stati Uniti. Questi incarichi comprendevano ruoli con la Central Intelligence Agency (CIA), appartenenza all'influente comitato consultivo generale della Commissione per l'energia atomica, consulenza per il Lawrence Livermore National Laboratory di recente costituzione e partecipazione al gruppo consultivo scientifico dell'aeronautica degli Stati Uniti. Durante questo periodo, raggiunse lo status di eminente scienziato della difesa all'interno del Pentagono, con la sua competenza considerata ineccepibile dalle più alte sfere del governo e dell'esercito degli Stati Uniti.

Durante diverse sessioni del comitato consultivo dell'aeronautica americana, von Neumann, insieme a Edward Teller, prevedeva che entro il 1960 gli Stati Uniti avrebbero posseduto la capacità di costruire una bomba all'idrogeno sufficientemente compatta per il dispiegamento di missili. Nel 1953, Bernard Schriever, che aveva partecipato a questi incontri, visitò personalmente von Neumann a Princeton per corroborare questo potenziale. Schriever successivamente ingaggiò Trevor Gardner, il quale, diverse settimane dopo, consultò anche von Neumann per cogliere a fondo le potenziali implicazioni prima di iniziare la sua difesa di un simile sistema d'arma a Washington. In questo frangente, von Neumann, presiedendo o partecipando a numerosi comitati focalizzati sui missili strategici e sugli armamenti nucleari, incorporò strategicamente nei rapporti governativi argomenti critici riguardanti il ​​potenziale progresso sovietico in questi settori e nelle difese strategiche contro i bombardieri americani. Questi rapporti sono serviti a rafforzare la causa dello sviluppo di missili balistici intercontinentali (ICBM). Gardner ha spesso facilitato la partecipazione di von Neumann agli incontri con il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti, dove ha presentato le sue scoperte a vari alti funzionari. Gli elementi chiave di progettazione delineati in questi rapporti, come i meccanismi di guida inerziale, sono successivamente diventati fondamentali per tutti i futuri missili balistici intercontinentali. Nel 1954, von Neumann fornì costantemente testimonianze a varie sottocommissioni militari del Congresso, con l'obiettivo di garantire un sostegno duraturo al programma ICBM.

Nonostante questi sforzi, si ritenne necessario un ulteriore impulso. Per accelerare il programma ICBM al suo massimo potenziale, è stato cercato l’intervento presidenziale diretto. Un incontro diretto nel luglio 1955 convinse con successo il presidente Eisenhower, culminando in una direttiva presidenziale emessa il 13 settembre 1955. Questa direttiva affermava che lo sviluppo di un missile balistico intercontinentale da parte dell'Unione Sovietica prima degli Stati Uniti avrebbe comportato "le più gravi ripercussioni sulla sicurezza nazionale e sulla coesione del mondo libero". Di conseguenza, il progetto ICBM è stato designato "un programma di ricerca e sviluppo della massima priorità rispetto a tutti gli altri" e il Segretario alla Difesa è stato incaricato di avviarlo con "la massima urgenza". Prove successive confermarono che i sovietici stavano già conducendo test sui propri missili balistici a raggio intermedio durante questo periodo. Von Neumann mantenne il suo ruolo di consigliere fondamentale sui missili balistici intercontinentali, continuando a incontrare il presidente, anche nella sua residenza di Gettysburg, in Pennsylvania, e altri alti funzionari governativi fino alla sua scomparsa.

Commissione per l'energia atomica

Nel 1955, von Neumann fu nominato commissario della Commissione per l'energia atomica (AEC), allora considerata la posizione ufficiale più anziana accessibile agli scienziati all'interno del governo. Sebbene questa nomina richiedesse tipicamente la risoluzione di tutti gli altri accordi di consulenza, fu concessa un'eccezione affinché von Neumann persistesse nel suo lavoro con diversi comitati militari cruciali, a seguito delle preoccupazioni sollevate dall'Aeronautica Militare e dai senatori chiave. Ha sfruttato questo ruolo influente per promuovere la produzione di bombe compatte all’idrogeno, progettate specificamente per il dispiegamento tramite missili balistici intercontinentali (ICBM). I suoi sforzi includevano la lotta alla scarsità critica di trizio e litio-6, componenti essenziali per queste armi. Inoltre, si oppose attivamente all'adozione di missili a raggio intermedio favoriti dall'esercito, sostenendo invece la superiore efficacia delle bombe H lanciate in profondità nel territorio avversario dai missili balistici intercontinentali. Sosteneva che l’imprecisione intrinseca di tali missili sarebbe stata mitigata dal potere distruttivo di una bomba H. Von Neumann ipotizzò anche che l’Unione Sovietica stesse probabilmente sviluppando un sistema d’arma comparabile, una previsione che successivamente si rivelò accurata. Durante l'assenza di Lewis Strauss nella seconda metà del 1955, von Neumann assunse la responsabilità di presidente ad interim della commissione.

Durante i suoi ultimi anni, prima della sua morte per cancro, von Neumann presiedette il comitato altamente classificato sui missili balistici intercontinentali (ICBM) del governo degli Stati Uniti, che occasionalmente si riuniva nella sua residenza. Il mandato del comitato era valutare la fattibilità dello sviluppo di un missile balistico intercontinentale in grado di fornire un'arma termonucleare. Von Neumann sosteneva costantemente che, nonostante le significative sfide tecniche, queste potevano essere superate. L'SM-65 Atlas completò con successo il suo primo test pienamente funzionale nel 1959, due anni dopo la sua scomparsa. Successivamente, i razzi Titan più avanzati furono schierati nel 1962. Entrambi i sistemi erano stati inizialmente proposti all'interno dei comitati ICBM presieduti da von Neumann. Il successo dello sviluppo dei missili balistici intercontinentali era attribuibile non solo ai progressi nel campo della missilistica, ma anche alla creazione di testate miniaturizzate migliorate che mitigavano i problemi di guida e resistenza al calore; La profonda comprensione di von Neumann di queste tecnologie delle testate rese i suoi consigli indispensabili.

L'impegno di von Neumann nel servizio governativo derivava principalmente dalla sua convinzione che la preservazione della libertà e della civiltà richiedesse il trionfo degli Stati Uniti sulle ideologie totalitarie, in particolare il nazismo, il fascismo e il comunismo sovietico. Durante un'audizione in commissione al Senato, ha definito la sua posizione politica "violentemente anticomunista e molto più militarista della norma".

Caratteristiche personali

Pratiche professionali

Herman Goldstine osservò la straordinaria capacità di von Neumann di identificare intuitivamente gli errori latenti e di ricordare in modo impeccabile le informazioni precedentemente acquisite. Di fronte a problemi complessi, si asteneva da una lotta prolungata; invece, si disimpegnava, spesso tornando più tardi con una decisione dopo un periodo di riposo. Questo approccio, caratterizzato come "prendere la via della minor resistenza", lo portò occasionalmente a perseguire linee di indagine tangenziali. Inoltre, se un problema presentasse sfide iniziali significative, si orienterebbe prontamente verso un compito alternativo piuttosto che tentare di identificare le vulnerabilità per una svolta. Di tanto in tanto, dimostrava scarsa familiarità con la letteratura matematica standard, preferendo ricavare nuovamente le informazioni fondamentali secondo necessità piuttosto che consultare i riferimenti esistenti.

Dopo lo scoppio della seconda guerra mondiale, il programma di von Neumann divenne eccezionalmente impegnativo a causa dei vasti obblighi accademici e militari. La sua tendenza a trascurare la documentazione formale delle presentazioni e la pubblicazione dei risultati della ricerca si intensificò. Trovava difficile articolare formalmente un argomento per iscritto a meno che il concetto non fosse completamente sviluppato nei suoi pensieri; in caso contrario, ha ammesso che "svilupperebbe i peggiori tratti di pedantismo e inefficienza".

Ampiezza matematica

Il matematico Jean Dieudonné ipotizzò che von Neumann "potrebbe essere stato l'ultimo rappresentante di un gruppo un tempo fiorente e numeroso, i grandi matematici che erano ugualmente a loro agio nella matematica pura e applicata e che durante tutta la loro carriera mantennero una produzione costante in entrambe le direzioni". Dieudonné affermò inoltre che il particolare genio di von Neumann risiedeva nell'analisi e nella "combinatoria", interpretando quest'ultima in modo ampio per comprendere la sua capacità di organizzare e assiomatizzare intricati corpi di lavoro precedentemente percepiti come di minima rilevanza matematica. La sua metodologia analitica aderiva alla scuola tedesca, fondata sui principi dell'algebra lineare e della topologia generale. Sebbene von Neumann possedesse una base intellettuale enciclopedica, la sua portata nell'ambito della matematica pura non rivaleggiava con quella di Poincaré, Hilbert o persino Weyl; in particolare, non ha dato contributi significativi alla teoria dei numeri, alla topologia algebrica, alla geometria algebrica o alla geometria differenziale. Al contrario, i suoi risultati nella matematica applicata erano paragonabili a quelli di Gauss, Cauchy o Poincaré.

Eugene Wigner ha affermato: "Nessuno conosce tutta la scienza, nemmeno von Neumann. Ma per quanto riguarda la matematica, ha contribuito a ogni parte di essa tranne che alla teoria dei numeri e alla topologia. Questo è, penso, qualcosa di unico." Paul Halmos osservò che, nonostante la vasta conoscenza matematica di von Neumann, esistevano lacune significative nella topologia algebrica e nella teoria dei numeri; Halmos ha raccontato un caso in cui von Neumann non ha identificato la definizione topologica di toro. Von Neumann confessò a Herman Goldstine la sua completa mancanza di attitudine per la topologia e il suo persistente disagio con l'argomento. Goldstine fece successivamente riferimento a questa ammissione confrontando von Neumann con Hermann Weyl, che considerava dotato di maggiore profondità e ampiezza.

Salomon Bochner, nel suo resoconto biografico di von Neumann, osservò che una parte significativa dei contributi di von Neumann alla matematica pura era incentrata sugli spazi vettoriali a dimensione finita e infinita, un dominio che costituiva un segmento sostanziale del campo matematico di quell'epoca. Tuttavia, Bochner ha sottolineato che questa attenzione ha omesso aree cruciali del panorama matematico, in particolare quelle che comprendono la "geometria globale", come la topologia, la geometria differenziale, gli integrali armonici e la geometria algebrica. Von Neumann si impegnava raramente in queste particolari discipline e, secondo la valutazione di Bochner, dimostrava un'inclinazione limitata nei loro confronti.

In una pubblicazione successiva, von Neumann espresse preoccupazione per il fatto che i matematici puri fossero sempre più incapaci di acquisire competenze approfondite anche in un piccolo segmento della loro disciplina. Durante i primi anni Quaranta, Ulam concepì un finto esame di dottorato per von Neumann per identificare le lacune nella sua comprensione matematica; von Neumann ha lottato per fornire risposte soddisfacenti a domande di geometria differenziale, teoria dei numeri e algebra. Questa esperienza li ha portati a concludere che gli esami di dottorato potrebbero avere "poco significato permanente". Al contrario, quando Weyl declinò l'invito a scrivere una storia della matematica del XX secolo, citando l'impossibilità per un singolo individuo di intraprendere un simile compito, Ulam ipotizzò che von Neumann avrebbe potuto essere capace di un simile sforzo.

Metodologie preferite per la risoluzione dei problemi

Ulam ha osservato che mentre molti matematici si specializzavano e applicavano ripetutamente un'unica tecnica, von Neumann si distinse padroneggiando tre approcci distinti:

1. Competenza nella manipolazione simbolica di operatori lineari;
2. Una comprensione intuitiva dell'architettura logica inerente alle nuove teorie matematiche;
3. Una comprensione intuitiva del quadro combinatorio alla base delle teorie emergenti.

Sebbene spesso caratterizzato come analista, von Neumann una volta si identificò come un algebrista e il suo approccio metodologico spesso integrava tecniche algebriche con l'intuizione della teoria degli insiemi. Ha mostrato una predilezione per i dettagli meticolosi, imperturbabile da estese ripetizioni o notazioni eccessivamente esplicite. Un notevole esempio di questa caratteristica si trova nel suo articolo sugli anelli di operatori, dove ha ampliato la notazione funzionale standard, ${\displaystyle \phi (x)}$, a ${\displaystyle \phi ((x))}$. Questa espansione della notazione è stata applicata in modo iterativo, culminando in espressioni come ${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$. Di conseguenza, questa pubblicazione del 1936 divenne colloquialmente nota tra gli studenti come "cipolla di von Neumann", il che implica che le sue equazioni richiedevano "sbucciare" per essere comprese. Nonostante la loro chiarezza e forza intellettuale, le sue opere scritte non erano caratterizzate da concisione o eleganza estetica. Sebbene tecnicamente formidabile, il suo obiettivo principale era l'articolazione precisa e attuabile di problemi e indagini scientifiche fondamentali, piuttosto che limitarsi a risolvere enigmi matematici isolati.

Ulam raccontò che von Neumann spesso stupiva i fisici eseguendo mentalmente complesse stime dimensionali e calcoli algebrici, con una facilità paragonabile a giocare a scacchi alla cieca. La percezione di Ulam era che von Neumann si avvicinasse all'analisi dei fenomeni fisici principalmente attraverso la deduzione logica astratta, in contrapposizione alla rappresentazione visiva concreta.

Stile lezione

Herman Goldstine definì le lezioni di von Neumann "fluide e lucide", contrapponendole ai suoi articoli scientifici, che percepiva come "più duri" e privi di intuizioni comparabili. Allo stesso modo Paul Halmos descrisse le lezioni come "abbaglianti", notando il discorso chiaro, rapido, preciso e completo di von Neumann. Sia Goldstine che Halmos hanno osservato che, sebbene il materiale apparisse "così facile e naturale" durante le lezioni, spesso diventava sconcertante dopo una riflessione successiva. Il ritmo rapido del discorso di Von Neumann ha posto sfide al suo pubblico; Banesh Hoffmann faticava a prendere appunti anche in stenografia, e Albert Tucker ricordava che gli ascoltatori spesso lo interrompevano con domande per indurlo a rallentare, permettendo loro di elaborare le sue idee complesse. Riconoscendo ciò, von Neumann apprezzava quando il suo pubblico indicava che stava parlando troppo velocemente. Nonostante si preparasse per le lezioni, raramente faceva affidamento su appunti estesi, preferendo delineare i punti chiave di discussione e la loro durata assegnata.

Memoria eidetica

Von Neumann era rinomato per la sua memoria eidetica, in particolare per la sua manifestazione simbolica. Herman Goldstine ha osservato:

Una delle sue straordinarie abilità era il suo potere di richiamo assoluto. Per quanto ne so, von Neumann una volta leggendo un libro o un articolo riuscì a citarlo parola per parola; inoltre, avrebbe potuto farlo anni dopo senza esitazione. Poteva anche tradurlo senza alcuna diminuzione di velocità dalla lingua originale all'inglese. In un'occasione ho messo alla prova la sua abilità chiedendogli di raccontarmi come è iniziato A Tale of Two Cities. Dopodiché, senza alcuna pausa, iniziò immediatamente a recitare il primo capitolo e continuò finché non gli venne chiesto di fermarsi dopo circa dieci o quindici minuti.

Si dice che von Neumann possedesse la capacità di memorizzare interi elenchi telefonici. Diverteva i conoscenti chiedendo loro di selezionare casualmente i numeri di pagina, recitando successivamente i nomi, gli indirizzi e i numeri di telefono elencati su quelle pagine. Stanisław Ulam ha ipotizzato che la memoria di von Neumann fosse principalmente uditiva, piuttosto che visiva.

Acuità matematica

I colleghi di Von Neumann spesso riconoscevano la sua eccezionale fluidità matematica, la rapida velocità di calcolo e l'attitudine generale alla risoluzione dei problemi. Paul Halmos ha definito la sua velocità "impressionante", mentre Lothar Wolfgang Nordheim lo ha dichiarato "la mente più veloce che abbia mai incontrato". Enrico Fermi ha notoriamente osservato il fisico Herbert L. Anderson: "Sai, Herb, Johnny può fare calcoli nella sua testa dieci volte più velocemente che posso! E io posso farli dieci volte più velocemente che puoi, Herb, così puoi vedere quanto è impressionante Johnny!" Edward Teller confessò che "non sarebbe mai riuscito a stargli dietro" e Israel Halperin paragonò il tentativo di stare al passo con von Neumann a "un triciclo che insegue un'auto da corsa".

La sua capacità di risolvere rapidamente nuovi problemi era eccezionale. George Pólya, con il quale von Neumann studiò all'ETH di Zurigo, raccontò: "Johnny era l'unico studente di cui avevo paura. Se durante una lezione esponevo un problema irrisolto, c'erano buone probabilità che alla fine della lezione venisse da me con la soluzione completa scarabocchiata su un foglietto di carta." Allo stesso modo, George Dantzig presentò a von Neumann un problema di programmazione lineare irrisolto, che egli affrontò "come farei con un comune mortale", notando l'assenza di letteratura pubblicata in precedenza sull'argomento. Dantzig rimase stupito quando von Neumann, dopo aver sentito il problema, esclamò: "Oh, quello!", e poi tenne una conferenza improvvisata di oltre un'ora, chiarendo la sua soluzione attraverso la teoria della dualità precedentemente inarticolata.

Un aneddoto riguardante la risoluzione di von Neumann del famoso "puzzle della mosca" è diventato parte del folklore matematico. Il puzzle descrive due biciclette che partono a 20 miglia di distanza l'una dall'altra, viaggiando ciascuna verso l'altra a 10 miglia all'ora finché non si scontrano. Allo stesso tempo, una mosca viaggia continuamente avanti e indietro tra le biciclette a 15 miglia all'ora finché non viene schiacciata nella collisione. La query è la distanza totale percorsa dalla mosca. Il "trucco" convenzionale per una soluzione rapida consiste nel riconoscere che i singoli segmenti del viaggio della mosca sono irrilevanti; conta solo il suo movimento continuo a 15 miglia orarie per la durata del viaggio delle biciclette (un'ora). Secondo Eugene Wigner, Max Born presentò questo enigma a von Neumann. Altri scienziati ai quali Born aveva posto il puzzle avevano calcolato scrupolosamente la distanza. Così, quando von Neumann fornì prontamente la risposta corretta di 15 miglia, Born ipotizzò di aver dedotto il "trucco". Secondo quanto riferito, Von Neumann rispose: "Che trucco? Tutto quello che ho fatto è stato sommare le serie geometriche."

Dubbi su se stessi

Gian-Carlo Rota ha notato i "dubbi profondi e ricorrenti su se stesso" di von Neumann. John L. Kelley, riflettendo nel 1989, ricordò l'affermazione di von Neumann secondo cui sarebbe stato dimenticato mentre Kurt Gödel sarebbe stato ricordato insieme a Pitagora, un sentimento contrastato dal diffuso timore reverenziale in cui lo tenevano i suoi coetanei. Stanisław Ulam ha ipotizzato che parte dell'insicurezza creativa di von Neumann potrebbe essere derivata dalla sua incapacità di originare diversi concetti significativi, come i teoremi di incompletezza e il teorema ergodico puntuale di Birkhoff, nonostante la sua evidente capacità di farlo. Sebbene von Neumann possedesse un'abilità eccezionale nel ragionamento intricato e intuizioni profonde, potrebbe aver percepito una mancanza di attitudine per dimostrazioni, teoremi o scoperte intuitive apparentemente irrazionali. Ulam raccontò che durante un periodo a Princeton in cui von Neumann era impegnato con gli anelli degli operatori, le geometrie continue e la logica quantistica, sembrava non convinto del significato del suo lavoro, trovando soddisfazione solo dopo aver scoperto una soluzione tecnica ingegnosa o un approccio nuovo. Tuttavia, Rota sosteneva che von Neumann possedesse una "tecnica incomparabilmente più forte" di Ulam, nonostante riconoscesse Ulam come il matematico più creativo.

Legacy

Riconoscimenti

Il premio Nobel Hans Bethe una volta si chiese se una mente come quella di von Neumann potesse significare una specie superiore all'umanità. Edward Teller osservò la capacità di von Neumann di conversare con suo figlio di tre anni da pari a pari, spingendo Teller a chiedersi se applicasse lo stesso principio agli altri. Peter Lax ha caratterizzato von Neumann come "dipendente dal pensiero, e in particolare dal pensiero sulla matematica". Eugene Wigner ha sottolineato la comprensione globale di von Neumann dei problemi matematici, cogliendoli "non solo nel loro aspetto iniziale, ma nella loro piena complessità". Claude Shannon, facendo eco a un sentimento comune, lo ha dichiarato "la persona più intelligente che abbia mai incontrato". Jacob Bronowski lo descrisse come "l'uomo più intelligente che abbia mai conosciuto, senza eccezioni", definendo il genio come un individuo con due idee profonde. Nel 2006, Tom Siegfried affermò che von Neumann incarnava il termine eclettico nel secolo precedente e che i suoi contributi alla fisica, alla matematica, all'informatica e all'economia lo resero una delle figure intellettuali preminenti in ogni ambito.

Wigner sottolineò lo straordinario intelletto di von Neumann, descrivendo la sua mente come più veloce di chiunque avesse mai incontrato, affermando:

Ho conosciuto moltissime persone intelligenti nella mia vita. Conoscevo Max Planck, Max von Laue e Werner Heisenberg. Paul Dirac era mio cognato; Leo Szilard e Edward Teller sono stati tra i miei amici più cari; e anche Albert Einstein era un buon amico. E ho conosciuto molti degli scienziati più giovani e brillanti. Ma nessuno di loro aveva una mente rapida e acuta come Jancsi von Neumann. L'ho rimarcato spesso in presenza di quegli uomini, e nessuno mi ha mai contestato.

Miklós Rédei ha ipotizzato che "se l'influenza di uno scienziato viene interpretata in modo sufficientemente ampio da includere l'impatto su campi oltre la scienza vera e propria, allora John von Neumann è stato probabilmente il matematico più influente che sia mai vissuto." Lax suggerì che von Neumann avrebbe ricevuto un premio Nobel per l'economia se fosse vissuto più a lungo, e che sarebbe stato ugualmente onorato con premi Nobel per l'informatica e la matematica, se tali premi fossero esistiti. Gian-Carlo Rota ha attribuito a von Neumann il merito di essere "il primo ad avere una visione delle infinite possibilità dell'informatica" e di possedere "la determinazione di raccogliere le considerevoli risorse intellettuali e ingegneristiche che hanno portato alla costruzione del primo grande computer", concludendo che "nessun altro matematico in questo secolo ha avuto un'influenza così profonda e duratura sul corso della civiltà". È ampiamente riconosciuto come uno dei matematici e scienziati più importanti e influenti del XX secolo e i suoi ampi contributi in numerosi campi hanno consolidato la sua reputazione di uomo eclettico.

Similmente il neurofisiologo Leon Harmon definì von Neumann l'unico "vero genio" che avesse incontrato, anche tra luminari come Einstein, Teller e J. Robert Oppenheimer. Harmon osservò: "la mente di von Neumann era onnicomprensiva. Poteva risolvere problemi in qualsiasi dominio. ... E la sua mente era sempre al lavoro, sempre irrequieta". Nei suoi ruoli di consulenza per attività non accademiche, l'eccezionale miscela di abilità scientifica e applicazione pragmatica di von Neumann gli valse una credibilità senza precedenti tra ufficiali militari, ingegneri e industriali. Herbert York notò che nel campo dei missili nucleari, von Neumann era considerato "la figura consultiva chiaramente dominante". L'economista Nicholas Kaldor ha affermato che von Neumann era "senza dubbio la cosa più vicina a un genio che abbia mai incontrato". Allo stesso modo, Paul Samuelson ha affermato: "Noi economisti siamo grati per il genio di von Neumann. Non spetta a noi calcolare se fosse un Gauss, un Poincaré o un Hilbert. Era l'incomparabile Johnny von Neumann. Ha fatto un breve salto nel nostro dominio e da allora non è più stato lo stesso."

Onori e premi

In riconoscimento dei contributi di von Neumann, sono stati istituiti numerosi riconoscimenti e premi, tra cui il premio annuale John von Neumann per la teoria dell'Institute for Operations Research and the Management Sciences, la medaglia John von Neumann dell'IEEE e il premio John von Neumann assegnato dalla Society for Industrial and Applied Mathematics. Inoltre, sia il cratere lunare von Neumann che l'asteroide 22824 von Neumann portano il suo nome.

Von Neumann ha ricevuto numerosi riconoscimenti, come la Medaglia al Merito nel 1947, la Medaglia della Libertà nel 1956 e il Premio Enrico Fermi, conferito anch'esso nel 1956. I suoi riconoscimenti includevano inoltre l'elezione a numerose società onorarie, in particolare l'American Academy of Arts and Sciences e la National Academy of Sciences, accanto al conferimento di otto dottorati onorari. Il 4 maggio 2005, il servizio postale degli Stati Uniti ha pubblicato la serie di francobolli commemorativi American Scientists, disegnata dall'artista Victor Stabin e raffigurante von Neumann, Barbara McClintock, Josiah Willard Gibbs e Richard Feynman.

L'Università John von Neumann è stata fondata a Kecskemét, in Ungheria, nel 2016, succedendo al Kecskemét College.

Opere selezionate

L'articolo inaugurale pubblicato da Von Neumann, Sulla posizione degli zeri di alcuni polinomi minimi, è stato scritto in collaborazione con Michael Fekete ed è apparso quando von Neumann aveva 18 anni. All'età di 19 anni fu pubblicata la sua opera solista, Sull'introduzione dei numeri transfiniti. La sua tesi di dottorato è stata sviluppata da un'espansione del suo secondo articolo solista, Un'assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Nel 1932 fu pubblicato il suo primo libro, Fondamenti matematici della meccanica quantistica. Successivamente von Neumann passò dal tedesco all'inglese per le sue pubblicazioni, che divennero più selettive e diversificate oltre l'ambito della matematica pura. Il suo trattato del 1942, Teoria delle onde di detonazione, contribuì in modo significativo alla ricerca militare. Il suo lavoro pionieristico nel campo dell'informatica iniziò con il manoscritto inedito del 1946, Sui principi delle macchine computazionali su larga scala, e i suoi contributi alla previsione meteorologica iniziarono con la pubblicazione del 1950, Integrazione numerica dell'equazione della vorticità barotropica. Oltre ai suoi articoli formali, è autore di saggi informali destinati sia ai colleghi che al pubblico in generale, tra cui il suo pezzo del 1947, The Mathematician, caratterizzato come un "addio alla matematica pura", e il suo saggio del 1955, Possiamo sopravvivere alla tecnologia?, che esplorava un futuro cupo che comprendeva la guerra nucleare e la modificazione intenzionale del clima. Il suo vasto corpus di lavori è stato raccolto in una raccolta di sei volumi.

Vita personale

Si sposò con Mariette Kövesi nel 1930; il loro matrimonio si concluse con un divorzio nel 1937. Insieme ebbero una figlia, Marina von Neumann Whitman. Marina von Neumann Whitman divenne un'economista accademica, prestando servizio come prima donna nel Consiglio dei consulenti economici del presidente (1972-1973) e successivamente come vicepresidente degli affari pubblici presso la General Motors (1979-1992), una posizione che la rese la donna di più alto rango nell'industria automobilistica statunitense in quel periodo. Inoltre, ottenne il titolo di Professore Emerita presso l'Università del Michigan.

Successivamente sposò Klara Dan (1938–1957), che contribuì alla programmazione dei computer ENIAC e MANIAC.

• Elenco dei pionieri dell'informatica
• Il MANIAC, libro del 2023 su von Neumann
• Note

Note

Riferimenti

• È disponibile una bibliografia completa delle pubblicazioni di John von Neumann compilata da Nelson H. F. Beebe.
• O'Connor, John J. e Edmund F. Robertson. "Giovanni von Neumann." Archivio di storia della matematica MacTutor. Università di St Andrews.
• Le interviste di storia orale condotte dal Charles Babbage Institute presso l'Università del Minnesota includono discussioni con Alice R. Burks, Arthur W. Burks, Eugene P. Wigner e Nicholas C. Metropolis.
• È disponibile un profilo zbMATH.
• L'archivio digitale dell'Institute for Advanced Study contiene materiali relativi a John von Neumann.
• Un'analisi delle prospettive di Von Neumann e Dirac sulla teoria quantistica e il rigore matematico è presentata nella Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Discussioni sulla logica quantistica e sulla teoria della probabilità sono presenti nella Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• I file dell'FBI relativi a John von Neumann sono stati rilasciati attraverso il Freedom of Information Act.
• Un video biografico su John von Neumann è stato prodotto da David Brailsford, professore emerito di informatica di John Dunford presso l'Università di Nottingham.
• Il documentario Arte del 2013, "John von Neumann: Prophet of the 21st Century", esamina la sua profonda influenza sul mondo moderno ed è disponibile in tedesco e francese con sottotitoli in inglese.
• Un documentario dettagliato del 1966 della Mathematical Association of America, intitolato "John von Neumann - A Documentary", include osservazioni di molti dei suoi colleghi, tra cui Ulam, Wigner, Halmos, Morgenstern, Bethe, Goldstine, Strauss e Teller.