Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (; German: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17ê Îlona 1826 – 20ê Tîrmeha 1866) matematîkzanekî Alman ê navdar bû ku bi awayekî girîng qadên analîz, teoriya hejmaran, û geometriya dîferensiyel pêş xist. Di nav analîza rastîn de, destkeftiyên wî yên herî berbiçav formûlasyona destpêkê ya hişk a întegralê, ku niha wekî întegrala Riemann tê zanîn, û karê wî yê berfireh li ser rêzikên Fourier vedihewîne. Di analîza tevlihev de, ew bi taybetî ji ber danasîna rûberên Riemann tê naskirin, ku rêbazek xwezayî, geometrîkî ji bo kirde pêşengî kir. Weşana wî ya bingehîn a sala 1859-an derbarê fonksiyona jimartina hejmarên seretayî de, ku formûlasyona destpêkê ya hîpoteza Riemann pêşkêş kir, wekî bingehek teoriya hejmaran a analîtîk dimîne. Karê Riemann ê şoreşger di geometriya dîferensiyel de bingehên matematîkî ji bo teoriya îzafîyeta giştî danî. Ew bi berfirehî wekî yek ji matematîkzanên herî bibandor ên dîrokê tê hesibandin.

Jiyana Destpêkê

Di 17ê Îlona 1826an de ji dayik bû, Riemann ji Breselenzê bû, gundekî ku nêzî Dannenbergê ye di nav Qraliyeta Hanoverê de. Bavê wî, Friedrich Bernhard Riemann, li Breselenzê wekî keşîşekî Lûterî yê feqîr kar dikir û gaziyekî Şerên Napoleonî bû. Diya wî, Charlotte Ebell, di sala 1846an de çû ber dilovaniya Xwedê. Ew zarokê duyemîn ji şeş zarokan bû. Ji temenekî biçûk ve, Riemann jêhatiya matematîkî ya awarte nîşan da, bi taybetî di jêhatiyên hesabkirinê de, lêbelê wî bi şermokîbûnek kûr, glossofobî, û tenduristiyek nazik re têkoşîn kir.

Xebatên Akademîk

Di sala 1840an de, Riemann çû Hanoverê da ku bi dapîra xwe re bijî û li lîseyekê qeyd bibe, ji ber ku ev saziya perwerdehiyê di gundê wî yê Xwecihî de tune bû. Piştî mirina dapîra wî di sala 1842an de, ew çû Johanneum Lüneburgê, dibistanek navîn ku li Lüneburgê bû. Dema ku ew li wir bû, Riemann bi xwendina Incîlê ya kûr re mijûl bû, her çend bala wî gelek caran ber bi matematîkê ve diçû. Mamosteyên wî matmayî mabûn ji ber kapasîteya wî ya ji bo hesabên matematîkî yên tevlihev, ku gelek caran ji pisporiya wan bi xwe jî derbas dibû. Di temenê 19 saliyê de, di sala 1846an de, wî dest bi xwendina fîlolojî û teolojiya Xiristiyanî kir, bi mebesta ku bibe keşîş û beşdarî aramiya darayî ya malbata xwe bike.

Di bihara sala 1846an de, piştî ku bavê wî fonên têr peyda kir, Riemann ji Zanîngeha Göttingenê re hat şandin bi mebesta ku bawernameyek teolojiyê bişopîne. Lêbelê, piştî gihîştinê, wî dest bi xwendina matematîkê kir di bin çavdêriya Carl Friedrich Gauss de, bi taybetî beşdarî dersên li ser rêbaza çargoşeyên herî biçûk bû. Gauss paşê şîret li Riemann kir ku teolojiyê ji bo matematîkê berde; bi razîbûna bavê xwe, Riemann di sala 1847an de çû Zanîngeha Berlînê. Di dema karê wî yê li wir de, mamosteyên navdar Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner, û Gotthold Eisenstein di nav de bûn. Piştî du salan li Berlînê, ew di sala 1849an de vegeriya Göttingenê.

Kariyera Akademîk

Di sala 1854an de, Riemann dersên xwe yên destpêkê pêşkêş kir, yên ku prensîbên bingehîn ên geometriya Riemannî damezrandin, bi vî awayî bingeha Teoriya îzafîyetê ya giştî ya Albert Einstein danî. Di sala 1857an de, hewldanek çêbû ku Riemann li Zanîngeha Göttingenê bibe profesorê awarte. Her çend ev pêşvebirin bêserkeftî bû jî, mûçeyek domdar jê re peyda kir. Dûv re, di sala 1859an de, piştî mirina Dirichlet, yê ku kursiya hêja ya Gauss li Zanîngeha Göttingenê dagir kiribû, Riemann ji bo rêvebirina beşa matematîkê ya zanîngehê hate tayînkirin. Herwiha, ew yekem bû ku ji bo danasîna Rastiya fîzîkî, bikaranîna pîvanên Wêdetirî sê an çar pêşniyar kir.

Di sala 1862an de, ew bi Elise Koch re zewicî, û dûv re keçek wan çêbû.

Jiyana Paşîn û Mirin

Di sala 1866an de, Riemann di nav pevçûna di navbera artêşên Hanover û Prûsyayê de ji Göttingenê derket. Di dema Rêwîtiya xwe ya sêyemîn a Îtalyayê de, ew ji ber tuberkulozê mir, li Selascayê, ku niha gundekî Verbania ye li ser Gola Maggiore, koça dawî kir, û li goristana Biganzolo (Verbania) hate veşartin.

Riemann Xirîstiyanekî dindar bû, kurê wezîrekî Protestan bû, û lêkolînên xwe yên matematîkî wekî Formek karê xwedayî didît. Wî di tevahiya jiyana xwe de baweriyek Xirîstiyanî ya domdar parast, wê wekî Elementa herî girîng a Hebûna xwe dihesiband. Dema ku bi jina xwe re Duaya Xudan dixwend, berî ku ew biqede, koça dawî kir. Di heman demê de, li Göttingenê, xizmetkara wî bi xeletî gelek kaxezên ji xebata wî avêtin, ku Qebareyek girîng ji materyalên neçapkirî dihewand. Ji ber dilnexwaziya Riemann a ji bo çapkirina Karên neqediyayî, mimkun e ku hin têgihiştinên kûr bi awayekî bêveger winda bûbin.

Geometriya Riemannî

Karên Riemann ên çapkirî li ser hevketina Analîz û geometriyê warên lêkolînê yên nû pêşengî kirin. Van beşdariyên bingehîn paşê bûn prensîbên navendî yên geometriya Riemannî, geometriya cebîrî, û Teoriya manifolda Tevlihev. Çarçoveya têgînî ya rûberên Riemann ji aliyê Felix Klein û, bi taybetî, Adolf Hurwitz ve zêdetir hate pêşxistin. Ev dîsîplîna matematîkî pêkhateyek Bingehîn a topolojiyê pêk tîne û di Fîzîka matematîkî de sepanên nûjen peyda dike.

Di sala 1853an de, Gauss xwendekarê xwe, Riemann, peywirdar kir ku Habilitationsschriftek binivîse ku prensîbên Bingehîn ên geometriyê destnîşan dike. Riemann çend meh terxan kir ji bo formulekirina Teoriya xwe ya pîvanên bilindtir, ku bi dersa ku di 10ê Hezîrana 1854an de li Göttingenê hate pêşkêşkirin, bi sernavê Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, bi dawî bû. Ev Karê bingehîn Heta sala 1868an, diwanzdeh sal şûnda, neçapkirî ma, dema ku ji aliyê Dedekind ve, du sal piştî mirina Riemann, hate weşandin. Her çend pêşwaziya wê ya destpêkê bi guman kêm bû jî, niha bi gerdûnî wekî yek ji beşdariyên herî girîng di warê geometriyê de tê pejirandin.

Ev risaleya bingehîn dîsîplîna bi navê geometriya Riemannî damezrand. Riemann bi serkeftî rêbazek pêş xist da ku geometriya dîferensiyel a rûxaran – konsepta ku Gauss bi xwe di theorema egregium xwe de ronî kiribû – berfireh bike bo n dimensiyonan. Pêkhateyên sereke yên vê çarçoveyê metrika Riemannî û tensora çemîbûna Riemannî di nav de ne. Di rewşa du-dimensiyonî ya rûxarekê de, çemîbûna li her xalek diyarkirî dikare bibe nirxek skaler, li cihê ku rûxarên ku çemîbûna pozîtîf an negatîf a berdewam nîşan didin, wek mînakên geometriyên ne-Euclideanî xizmet dikin.

Metrika Riemannî, tensorek ku komek hejmaran li her xala fezayî dihewîne, pîvana lezê li ser her rêgehekê hêsan dike; întegrala wê dûrahiya di navbera xalên dawîn ên rêgehê de dide. Mînak, Riemann nîşan da ku di çarçoveya fezayî ya çar-dimensiyonî de, deh nirxên hejmarî yên cuda li her xalekê hewce ne da ku dûrahî û çemîbûnên li ser manîfoldekê diyar bike, bêyî ku deformasyona wê hebe.

Analîza tevlihev

Di dîsertasyona xwe de, Riemann bingehek geometrîk ji bo analîza tevlihev bi karanîna rûxarên Riemannî danî, bi vî awayî fonksiyonên pir-nirx – wek logarîtm (ku bi bêdawî pelan tê diyar kirin) an koka çargoşe (bi du pelan) – veguherand fonksiyonên yek-nirx. Li ser van rûxaran, fonksiyonên tevlihev wek fonksiyonên harmonîk derdikevin pêş (ango, ew li gorî hevkêşeya Laplace û wekî encam hevkêşeyên Cauchy–Riemann tevdigerin), taybetmendiyên wan ji hêla cîhên yekîtiyên wan û topolojiya xwerû ya rûxaran ve têne diyar kirin. Cinsa topolojîk a rûxarên Riemannî bi matematîkî wiha tê îfadekirin: ${\displaystyle g=w/2-n+1}$, li cihê ku rûxar ji ${\displaystyle n}$ pelan pêk tê ku li ${\displaystyle w}$ xalên şaxê dicivin. Dema ku 77 {\displaystyle g>1} be, rûxara Riemannî xwedî ${\displaystyle (3g-3)}$ parametreyan e, ku wekî modulî têne zanîn.

Fîzîknas Hermann von Helmholtz şevê alîkariya wî kir, û paşê got ku kar hem "xwezayî" û hem jî "pir têgihîştî" bû.

Beşdarîyên wî yên girîng ên din lêkolînên wî yên li ser fonksiyonên abelî û fonksiyonên theta, bi taybetî di Çarçoveya rûxarên Riemann de, dihewînin. Ji sala 1857an ve, Riemann bi Weierstrass re di pêşbaziyekê de bû ku pirsgirêkên berevajî yên Jacobian ji bo întegralên abelî, yên ku berfirehkirinek întegralên elîptîkî ne, çareser bike. Riemann bi bikaranîna fonksiyonên theta yên gelek guhêrbar nêzî vê pirsgirêkê bû, bi vî awayî pirsgirêkê kêm kir bo naskirina sifirên van fonksiyonan. Wî herwiha matrisên periyodê lêkolîn kirin û wan bi rêya "têkiliyên periyodê yên Riemannî" taybetmendî kirin, yên ku sîmetrî û beşek rastîn a neyînî destnîşan dikin. Ferdinand Georg Frobenius û Solomon Lefschetz paşê nîşan dan ku derbasdariya vê têkiliyê wekhev e bi Bicihkirin (Vektor)a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }$ —li cihê ku ${\displaystyle \Omega }$ tora matrisa periyodê destnîşan dike— nav feza projeksiyonî bi bikaranîna fonksiyonên theta. Ji bo nirxên taybetî yên ${\displaystyle n}$, ev avakirin cûrbecûriya Jacobian a rûxara Riemann peyda dike, ku mînakek manîfolda abelî ye.

Gelek matematîkzan, di nav de Alfred Clebsch, paşê Karê bingehîn ê Riemann li ser kêşeyên cebîrî pêş xistin. Van çarçoveyên teorîk li ser taybetmendiyên fonksiyonên ku li ser rûxarên Riemann hatibûn pênasekirin, hatibûn damezrandin. Mînak, teorema Riemann–Roch —ku beşek jê li ser navê Roch, xwendekarekî Riemann, hatiye binavkirin— hejmara diferansiyelên serbixwe yên xêzî yên li ser rûxareke Riemann diyar dike, li gorî şertên diyarkirî yên derbarê sifir û polên wan de.

Detlef Laugwitz dibêje ku fonksiyonên otomorfî Di destpêkê de di gotarekê de derketin holê ku derbarê hevkêşeya Laplace ya ku li silindirên bi elektrîkê barkirî hatibû sepandin bû. Lê belê, Riemann bi xwe van fonksiyonan ji bo nexşekêşiyên konformal —mînak, veguherandina sêgoşeyên topolojîk bo çemberekê— di dersa xwe ya sala 1859an de li ser fonksiyonên hîpergeometrîk û di pirtûka xwe ya li ser rûxarên mînîmal de bikar anî.

Analîza rastîn

Di Analîza rastîn de, Riemann Di dema habilitasyona xwe de întegrala Riemann destnîşan kir, nîşan da ku hemî fonksiyonên perçe-domdar întegralbar in. Întegrala Stieltjes jî ji matematîkzanê Göttingen re tê veqetandin, ku bû sedema binavkirina wan a hevbeş wekî întegrala Riemann–Stieltjes.

Di teza xwe ya habilitasyonê de li ser rêzefîlmên Fourier, li ser Karê mamosteyê xwe Dirichlet ava kir, Riemann destnîşan kir ku fonksiyonên Riemann-întegralbar dikarin bi rêzefîlmên Fourier werin temsîl kirin. Dema ku Dirichlet ev yek ji bo fonksiyonên domdar, perçe-dîferansiyelbar (ku bi hejmareke jimartî ya xalên ne-dîferansiyelbar têne taybetmendîkirin) nîşan dabû, Riemann ev yek berfireh kir bi pêşkêşkirina mînakek rêzefîlmek Fourier ku fonksiyonek domdar, hema hema li tu derê ne-dîferansiyelbar temsîl dike, senaryoyek ku ji hêla Dirichlet ve nehatibû çareser kirin. Herwiha, wî lemmaya Riemann–Lebesgue îsbat kir, ku dibêje heke fonksiyonek bi rêzefîlmek Fourier were temsîl kirin, hejmarên wê yên Fourier nêzî sifirê dibin dema ku n mezin dibe.

Gotara Riemann a bingehîn di heman demê de bû bingeha sereke ji bo lêkolînên Georg Cantor ên li ser rêzên Fourier, ku paşê pêşketina Teorîya komê lez kir.

Di sala 1857an de, Riemann rêbazên analîtîk ên Tevlihev li ser hevkêşeyên diferensiyel ên hîpergeometrîk sepand, çareseriyên wan bi tevgera rêyên girtî yên li dora yekîneyan nîşan da, ku bi matrisa monodromyê têne diyar kirin. Îspatkirina Hebûna van hevkêşeyên diferensiyel, bi matrisên monodromyê yên pêşwext hatine diyarkirin, yek ji pirsgirêkên Hilbert pêk tîne.

Teorîya Jimareyan

Riemann Bi awayekî girîng beşdarî Teorîya jimareyan a analîtîk a nûjen bû. Di weşana xwe ya yekane û kurt a li ser Teorîya jimareyan de, wî Fonksiyona zeta, ku niha bi navê wî ye, lêkolîn kir, bi vî awayî rola wê ya girîng di têgihîştina belavbûna jimareyên seretayî de saz kir. Hîpoteza Riemann wekî yek ji çend texmînên ku wî derbarê taybetmendiyên Fonksiyonê de pêşniyar kiribû derket holê.

Karê Riemann gelek pêşketinên din ên girîng dihewîne. Wî hevkêşeya Fonksiyonel ji bo Fonksiyona zeta îspat kir, têkiliyek ku berê ji hêla Leonhard Euler ve hatibû nasîn, ku ji hêla Fonksiyonek theta ve tê piştgirî kirin. Bi berhevkirina vê Fonksiyona nêzîkî li ser sifirên ne-trivial ên ku li ser Xêza bi beşa rastîn a 1/2 ne, wî formulayek rast, "eşkere" ji bo ${\displaystyle \pi (x)}$ derxist.

Riemann hay ji lêkolîna Pafnuty Chebyshev a derbarê Teorema Jimareya Seretayî de hebû, ji ber ku Chebyshev di sala 1852an de serdana Dirichlet kiribû.

Weşan

Karên Riemann ên hatine weşandin ev in:

• 1851 – Bingehên ji bo Teorîyek giştî ya Fonksiyonên Pîvanek Tevlihev a Guherbar (Bingehên ji bo Teorîyek Giştî ya Fonksiyonên Pîvanek Tevlihev a Guherbar), Teza destpêkê, Göttingen, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Teorîya Fonksiyonên Abelî), Kovara ji bo matematîka paqij û sepandî, Cild 54, rûpel 101–155.
• 1859 – Derbarê hejmara jimareyên seretayî yên di bin Mezinahîyek diyarkirî de (Derbarê Hejmara Jimareyên Seretayî yên Ji Mezinahîyek Diyarkirî Kêmtir), di: Raporên mehane yên Akademiya Zanistî ya Prûsyayê. Berlîn, Mijdar 1859, rûpel 671ff. Ev Kar texmîna Riemann dihewîne. Derbarê hejmara jimareyên seretayî yên di bin Mezinahîyek diyarkirî de. (Wikisource), Faksîmîleya Destnivîsê.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Şîroveya Matematîkî, ku tê de hewldanek tê kirin ji bo bersivdana pirsek ku ji hêla Akademiya Parîsê ya Navdar ve hatî pêşniyar kirin), ji bo pêşbaziyek xelatê ji Akademiya Parîsê re hate pêşkêş kirin.
• 1867 – On the representability of a function by a trigonometric series (Derbarê Temsîlkirina Fonksiyonekê bi Rêzek Trigonometrîk), ji Cilda Sêzdehemîn a Rêznameyên Civaka Zanistî ya Qraliyetê li Göttingen.
• 1868 – Derbarê hîpotezên ku di bin geometriyê de ne (Li ser Hîpotezên ku bingeha Geometriyê pêk tînin). Gotarên Civata Zanistî ya Qraliyetê, Göttingen 1868. Wergera îngilîzî, Li ser hîpotezên ku bingeha geometriyê pêk tînin, ji hêla W.K. Clifford ve, di Nature 8 (1873): 183 de derket, û paşê di Berhevoka Gotarên Matematîkî yên Clifford de (London: MacMillan, 1882; New York: Chelsea, 1968) ji nû ve hate çapkirin. Ev kar di Ewald, William B., ed., 1996, "Ji Kant heta Hilbert: Pirtûkek Çavkanî di Bingehên Matematîkê de", 2 cild. (Oxford University Press: 652–61) de jî cih digire.
• 1876 – Berhemên Matematîkî yên Berhevkirî û Gotarên Zanistî yên Bernhard Riemann, ji hêla Heinrich Weber ve bi hevkariya Richard Dedekind ve hatî edîtekirin, Leipzig, B. G. Teubner 1876, çapa 2yemîn 1892, ji hêla Dover 1953 ve ji nû ve hatî çapkirin (bi beşdariyên Max Noether û Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Çapên paşîn Berhemên Berhevkirî yên Bernhard Riemann: Nivîsên Tevahî yên Almanî. Edîtor: Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
• 1876 – Kêşana Erdê, Elektrîk, û Manyetîzma, Hannover: Karl Hattendorff.
• 1882 – Gotarên li ser Hevkêşeyên Diferensiyel ên Parçeyî, çapa 3yemîn. Braunschweig 1882.
• 1901 – Hevkêşeyên Diferensiyel ên Parçeyî yên Fîzîka Matematîkî Li gorî Gotarên Riemann. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). "Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". Friedrich Vieweg und Sohn.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Gotarên Berhevkirî, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437
• Geometriya Ne-Euclidean.
• Li ser Hejmara Hejmarên Seretayî yên Ji Mezinahiyek Diyarkirî Kêmtir, gotara Riemann ya sala 1859an ku fonksiyona zeta ya tevlihev destnîşan dike.

Çavkanî

Derbyshire, John (2003), Obsesyona Seretayî: Bernhard Riemann û Pirsgirêka Herî Mezin a Çaresernebûyî di Matematîkê de, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.

• Derbyshire, John (2003), Obsesyona Seretayî: Bernhard Riemann û Pirsgirêka Herî Mezin a Çaresernebûyî di Matematîkê de, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topolojî û Fîzîk, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, ed. (2017). Ji Riemann heta Geometriya Diferensiyel û Îzafîyetê. Springer. ISBN 9783319600390.
• Gotarên matematîkî yên berhevkirî yên Georg Friedrich Bernhard Riemann.
• Weşanên Riemann.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", Arşîva Dîroka Matematîkê ya MacTutor, Zanîngeha St AndrewsWeisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.