Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (; Alemão: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 de setembro de 1826 – 20 de julho de 1866) foi um proeminente matemático alemão que avançou significativamente nos campos da análise, teoria dos números e geometria diferencial. Na análise real, suas realizações mais notáveis ​​incluem a formulação inicial rigorosa da integral, agora conhecida como integral de Riemann, e seu extenso trabalho sobre as séries de Fourier. Na análise complexa, ele é particularmente reconhecido por apresentar as superfícies de Riemann, que foram pioneiras em uma abordagem natural e geométrica do assunto. Sua publicação seminal de 1859 sobre a função de contagem de primos, que apresentou a formulação inicial da hipótese de Riemann, permanece como uma pedra angular da teoria analítica dos números. O trabalho inovador de Riemann em geometria diferencial estabeleceu os fundamentos matemáticos para a teoria da relatividade geral. Ele é amplamente considerado um dos matemáticos mais influentes da história.

Primeiros anos

Nascido em 17 de setembro de 1826, Riemann é originário de Breselenz, uma vila situada perto de Dannenberg, no Reino de Hanover. Seu pai, Friedrich Bernhard Riemann, serviu como pastor luterano empobrecido em Breselenz e era um veterano das Guerras Napoleônicas. Sua mãe, Charlotte Ebell, faleceu em 1846. Ele foi o segundo de seis filhos. Desde tenra idade, Riemann demonstrou extraordinária aptidão matemática, especialmente em habilidades computacionais, mas enfrentou profunda timidez, glossofobia e saúde delicada.

Atividades Acadêmicas

Em 1840, Riemann mudou-se para Hanover para residir com sua avó e matricular-se em um liceu, já que esta instituição educacional não estava disponível em sua aldeia natal. Após o falecimento de sua avó em 1842, ele se transferiu para a Johanneum Lüneburg, uma escola secundária localizada em Lüneburg. Enquanto estava lá, Riemann se envolveu em estudo bíblico intensivo, embora seu foco frequentemente mudasse para a matemática. Seus instrutores ficaram surpresos com sua capacidade para cálculos matemáticos complexos, muitas vezes superando seus próprios conhecimentos. Aos 19 anos, em 1846, iniciou estudos em filologia e teologia cristã, com a intenção de se tornar pastor e contribuir para a estabilidade financeira de sua família.

Na primavera de 1846, depois que seu pai conseguiu fundos suficientes, Riemann foi enviado para a Universidade de Göttingen com a intenção de cursar teologia. No entanto, ao chegar, ele iniciou estudos matemáticos com Carl Friedrich Gauss, participando principalmente de palestras sobre o método dos mínimos quadrados. Posteriormente, Gauss aconselhou Riemann a abandonar a teologia pela matemática; com o consentimento de seu pai, Riemann foi transferido para a Universidade de Berlim em 1847. Durante sua gestão lá, professores notáveis ​​​​incluíram Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner e Gotthold Eisenstein. Depois de dois anos em Berlim, regressou a Göttingen em 1849.

Carreira Acadêmica

Em 1854, Riemann proferiu suas palestras inaugurais, que estabeleceram os princípios fundamentais da geometria Riemanniana, estabelecendo assim as bases para a teoria geral da relatividade de Albert Einstein. Uma tentativa de elevar Riemann ao cargo de professor extraordinário na Universidade de Göttingen ocorreu em 1857. Embora esta promoção não tenha tido sucesso, garantiu-lhe um salário consistente. Posteriormente, em 1859, após o falecimento de Dirichlet, que ocupava a estimada cátedra de Gauss na Universidade de Göttingen, Riemann foi nomeado para liderar o departamento de matemática da universidade. Além disso, ele foi o primeiro a propor a utilização de dimensões além de três ou quatro para a descrição da realidade física.

Em 1862, casou-se com Elise Koch, e posteriormente tiveram uma filha.

Vida posterior e morte

Em 1866, Riemann partiu de Göttingen em meio ao conflito entre os exércitos de Hanover e da Prússia. Sucumbiu à tuberculose durante a sua terceira viagem à Itália, falecendo em Selasca, atualmente uma aldeia de Verbania no Lago Maggiore, onde foi sepultado no cemitério de Biganzolo (Verbania).

Riemann era um cristão devoto, filho de um ministro protestante, e via suas atividades matemáticas como uma forma de serviço divino. Ele manteve uma fé cristã inabalável ao longo de sua vida, considerando-a o elemento primordial de sua existência. Ele faleceu enquanto recitava o Pai Nosso com sua esposa, antes de seu término. Ao mesmo tempo, em Göttingen, a sua governanta descartou inadvertidamente numerosos documentos do seu escritório, abrangendo um volume significativo de material não publicado. Dada a relutância de Riemann em publicar trabalhos inacabados, é plausível que alguns insights profundos tenham sido irremediavelmente perdidos.

Geometria Riemanniana

Os trabalhos publicados de Riemann foram pioneiros em novos domínios de pesquisa na intersecção da análise e da geometria. Essas contribuições fundamentais evoluíram mais tarde para princípios centrais da geometria Riemanniana, da geometria algébrica e da teoria das variedades complexas. A estrutura conceitual das superfícies de Riemann foi desenvolvida por Felix Klein e, notavelmente, por Adolf Hurwitz. Esta disciplina matemática constitui um componente fundamental da topologia e continua a encontrar aplicações inovadoras na física matemática.

Em 1853, Gauss encarregou seu aluno, Riemann, de redigir um Habilitationsschrift abordando os princípios fundamentais da geometria. Riemann dedicou vários meses à formulação de sua teoria de dimensões superiores, culminando em uma palestra proferida em Göttingen em 10 de junho de 1854, intitulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Esta obra seminal permaneceu inédita até 1868, doze anos depois, quando foi lançada pela Dedekind, dois anos após a morte de Riemann. Embora a sua recepção inicial tenha sido supostamente moderada, é agora universalmente reconhecido como uma das contribuições mais significativas para o campo da geometria.

Este tratado fundamental estabeleceu a disciplina conhecida como geometria Riemanniana. Riemann desenvolveu com sucesso um método para generalizar a geometria diferencial de superfícies - um conceito que o próprio Gauss elucidou em seu theorema egregium - para n dimensões. Os principais componentes desta estrutura incluem a métrica Riemanniana e o tensor de curvatura Riemann. No caso bidimensional de uma superfície, a curvatura em qualquer ponto pode ser simplificada para um valor escalar, onde superfícies exibindo curvatura positiva ou negativa constante servem como exemplos de geometrias não euclidianas.

A métrica de Riemann, um tensor que compreende um conjunto de números em cada ponto espacial, facilita a medição da velocidade ao longo de qualquer trajetória; sua integral produz a distância entre os pontos terminais da trajetória. Por exemplo, Riemann demonstrou que num contexto espacial quadridimensional, são necessários dez valores numéricos distintos em cada ponto para caracterizar distâncias e curvaturas numa variedade, independentemente da sua deformação.

Análise complexa

Em sua dissertação, Riemann estabeleceu uma base geométrica para análises complexas utilizando superfícies de Riemann, transformando assim funções de valores múltiplos - como o logaritmo (caracterizado por um número infinito de folhas) ou a raiz quadrada (com duas folhas) - em funções de valor único. Nessas superfícies, funções complexas manifestam-se como funções harmônicas (ou seja, aderem à equação de Laplace e consequentemente às equações de Cauchy-Riemann), suas propriedades definidas pelas posições de suas singularidades e pela topologia inerente das superfícies. O gênero topológico das superfícies de Riemann é expresso matematicamente como g = o / §1617§ −<!-- − --> n + §2526§ {\displaystyle g=w/2-n+1} , onde a superfície compreende ${\displaystyle n}$ deixa convergindo em ${\displaystyle w}$ pontos de ramificação. Quando 78§ {\displaystyle g>1} , a superfície de Riemann possui ${\displaystyle (3g-3)}$ parâmetros, conhecidos como módulos.

Suas contribuições para este domínio são extensas. O renomado teorema de mapeamento de Riemann postula que qualquer domínio simplesmente conectado dentro do plano complexo é biholomorficamente equivalente - o que significa que existe uma bijeção holomórfica com um inverso holomórfico - para ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ou o interior do círculo unitário. A generalização deste teorema para superfícies de Riemann é conhecida como teorema da uniformização, um resultado significativo estabelecido no século XIX por Henri Poincaré e Felix Klein. Da mesma forma, provas rigorosas para esta generalização surgiram somente após o desenvolvimento de ferramentas matemáticas mais sofisticadas, especificamente a topologia. Ao demonstrar a existência de funções nas superfícies de Riemann, Riemann empregou uma condição de minimalidade, que chamou de princípio de Dirichlet. No entanto, Karl Weierstrass identificou uma falha crítica nesta prova: Riemann tinha ignorado a potencial invalidade da sua suposição subjacente relativamente à existência de um mínimo, uma vez que o espaço funcional pode não ser completo, impedindo assim um mínimo garantido. Em última análise, o princípio de Dirichlet foi rigorosamente estabelecido através do trabalho subsequente de David Hilbert no Cálculo das Variações. Apesar disso, Weierstrass tinha Riemann em alta conta, admirando particularmente sua teoria das funções abelianas. Após a publicação do trabalho de Riemann, Weierstrass retirou seu próprio artigo do Crelle's Journal, optando por não publicá-lo. Um forte entendimento mútuo desenvolvido entre eles durante o Weierstrass de Riemann posteriormente encorajou seu aluno, Hermann Amandus Schwarz, a desenvolver abordagens alternativas ao princípio de Dirichlet dentro da análise complexa, um empreendimento no qual Schwarz alcançou sucesso. Uma anedota contada por Arnold Sommerfeld ilustra os desafios que os matemáticos contemporâneos enfrentaram na compreensão dos novos conceitos de Riemann. Em 1870, Weierstrass supostamente levou a dissertação de Riemann de férias para Rigi, expressando dificuldade em sua compreensão. O físico Hermann von Helmholtz ajudou-o durante a noite, comentando posteriormente que o trabalho era "natural" e "muito compreensível".

Outras contribuições significativas abrangem sua pesquisa sobre funções abelianas e funções teta, particularmente no contexto das superfícies de Riemann. Desde 1857, Riemann estava envolvido em um esforço competitivo com Weierstrass para resolver os problemas inversos jacobianos para integrais abelianas, que representam uma generalização de integrais elípticas. Riemann abordou isso empregando funções teta de múltiplas variáveis, reduzindo assim o problema à identificação dos zeros dessas funções. Ele também investigou matrizes de período, caracterizando-as por meio das "relações de período Riemannianas", que estipulam simetria e parte real negativa. Ferdinand Georg Frobenius e Solomon Lefschetz demonstraram mais tarde que a validade desta relação é equivalente à incorporação de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }$—onde ${\displaystyle \Omega }$ denota a rede da matriz de período - em um espaço projetivo usando funções teta. Para valores específicos de ${\displaystyle n}$, esta construção produz a variedade Jacobiana da superfície de Riemann, que exemplifica uma variedade abeliana.

Numerosos matemáticos, incluindo Alfred Clebsch, posteriormente avançaram no trabalho fundamental de Riemann sobre curvas algébricas. Essas estruturas teóricas baseavam-se nas propriedades de funções definidas sobre superfícies de Riemann. Por exemplo, o teorema de Riemann-Roch - nomeado em parte em homenagem a Roch, um aluno de Riemann - delineia o número de diferenciais linearmente independentes em uma superfície de Riemann, sujeito a condições específicas em relação aos seus zeros e pólos.

Detlef Laugwitz postula que as funções automórficas surgiram inicialmente em um ensaio sobre a equação de Laplace aplicada a cilindros eletricamente carregados. No entanto, o próprio Riemann empregou estas funções para mapeamentos conformes - por exemplo, transformando triângulos topológicos em círculos - na sua palestra de 1859 sobre funções hipergeométricas e no seu tratado sobre superfícies mínimas.

Análise real

Na análise real, Riemann introduziu a integral de Riemann durante sua habilitação, demonstrando que todas as funções contínuas por partes são integráveis. A integral de Stieltjes também é atribuída ao matemático de Göttingen, levando à sua designação combinada como integral de Riemann-Stieltjes.

Em sua tese de habilitação sobre séries de Fourier, com base no trabalho de seu mentor Dirichlet, Riemann estabeleceu que funções integráveis ​​de Riemann podem ser representadas por séries de Fourier. Embora Dirichlet tenha demonstrado isso para funções contínuas diferenciáveis ​​por partes (caracterizadas por um número contável de pontos não diferenciáveis), Riemann estendeu isso fornecendo um exemplo de uma série de Fourier representando uma função contínua quase diferenciável em nenhum lugar, um cenário não abordado por Dirichlet. Além disso, ele provou o lema de Riemann-Lebesgue, que afirma que se uma função é representável por uma série de Fourier, seus coeficientes de Fourier se aproximam de zero à medida que n se torna grande.

O ensaio seminal de Riemann também serviu como base fundamental para as investigações de Georg Cantor sobre as séries de Fourier, que posteriormente catalisou o desenvolvimento da teoria dos conjuntos.

Em 1857, Riemann aplicou métodos analíticos complexos a equações diferenciais hipergeométricas, ilustrando suas soluções através do comportamento de caminhos fechados em torno de singularidades, caracterizados pela matriz monodromia. A demonstração da existência de tais equações diferenciais, dadas matrizes de monodromia pré-definidas, constitui um dos problemas de Hilbert.

Teoria dos Números

Riemann contribuiu significativamente para a moderna teoria analítica dos números. Em sua única e concisa publicação sobre teoria dos números, ele explorou a função zeta, agora batizada em sua homenagem, estabelecendo assim seu papel crítico na compreensão da distribuição dos números primos. A hipótese de Riemann surgiu como uma das várias conjecturas que ele propôs em relação às características da função.

O trabalho de Riemann abrange vários outros avanços notáveis. Ele demonstrou a equação funcional para a função zeta, uma relação previamente identificada por Leonhard Euler, que é sustentada por uma função teta. Ao somar essa função de aproximação sobre os zeros não triviais localizados na linha com uma parte real de 1/2, ele derivou uma "fórmula explícita" exata para ${\displaystyle \pi (x)}$.

Riemann estava ciente da pesquisa de Pafnuty Chebyshev sobre o Teorema dos Números Primos, pois Chebyshev visitou Dirichlet em 1852.

Publicações

Os trabalhos publicados de Riemann incluem:

• 1851 – Fundamentos para uma teoria geral das funções de uma quantidade complexa variável (Fundamentos para uma teoria geral das funções de uma quantidade complexa variável), Dissertação inaugural, Göttingen, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Teoria das Funções Abelianas), Revista de matemática pura e aplicada, Vol. 54, pp. 101–155.
• 1859 – Sobre o número de números primos sob um determinado tamanho (Sobre o número de primos menores que uma determinada magnitude), em: Relatórios mensais da Academia Prussiana de Ciências. Berlim, novembro de 1859, pp. Este trabalho inclui a conjectura de Riemann. Sobre o número de números primos em um determinado tamanho. (Wikisource), Fac-símile do manuscrito Arquivado em 03/03/2016 na Wayback Machine com Clay Mathematics.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Comentário matemático, no qual é feita uma tentativa de responder a uma pergunta proposta pela Ilustre Academia de Paris), submetido à Academia de Paris para um concurso de prêmios.
• 1867 – Sobre a representabilidade de uma função por uma série trigonométrica (Sobre a representabilidade de uma função por uma série trigonométrica), do Décimo Terceiro Volume dos Anais da Royal Society of Sciences em Göttingen.
• 1868 – Sobre as hipóteses subjacentes à geometria (Sobre as hipóteses que estão na base da geometria). Tratados da Royal Society of Sciences, Göttingen 1868. Uma tradução para o inglês, Sobre as hipóteses que estão na base da geometria, de W.K. Clifford, apareceu em Nature 8 (1873): 183, e foi posteriormente reimpresso em Clifford's Collected Mathematical Papers (Londres: MacMillan, 1882; Nova York: Chelsea, 1968). Este trabalho também está incluído em Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics", 2 vols. (Imprensa da Universidade de Oxford: 652–61).
• 1876 – Collected Mathematical Works and Scientific Papers de Bernhard Riemann, editado por Heinrich Weber com a colaboração de Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2ª edição 1892, reimpresso por Dover 1953 (com contribuições de Max Noether e Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). As edições posteriores incluem As Obras Completas de Bernhard Riemann: Os Textos Completos em Alemão. Editado por Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Guilherme Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, Nova York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
• 1876 – Gravidade, Eletricidade e Magnetismo, Hannover: Karl Hattendorff.
• 1882 – Palestras sobre Equações Diferenciais Parciais, 3ª edição. Braunschweig 1882.
• 1901 – As equações diferenciais parciais da física matemática de acordo com as palestras de Riemann. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). "Die partiellen diferencial-gleichungen der mathematischen Physik nach Riemann's Vorlesungen". Friedrich Vieweg e Sohn.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected Papers, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Lista de entidades com o nome de Bernhard Riemann.
  • Lista de coisas com o nome de Bernhard Riemann
  • Geometria não euclidiana.
  • Sobre o número de primos menores que uma determinada magnitude, artigo de Riemann de 1859 que introduz a complexa função zeta.

  Referências

  Derbyshire, John (2003), Obsessão principal: Bernhard Riemann e o maior problema não resolvido em matemática, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.

  • Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann e o maior problema não resolvido em matemática, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topologia e Física, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). De Riemann à geometria diferencial e à relatividade. Springer. ISBN 9783319600390.Linhagem acadêmica de Bernhard Riemann no Mathematics Genealogy Project.
    • Bernhard Riemann no Projeto Genealogia da Matemática
    • Os artigos matemáticos coletados de Georg Friedrich Bernhard Riemann.
    • Publicações de Riemann.
    • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", Arquivo de História da Matemática MacTutor, Universidade de St AndrewsWeisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.