Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (; alemão: Gauß; [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs]; latim: Carolus Fridericus Gauss; 30 de abril de 1777 - 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo, geodesista e físico alemão que fez contribuições substanciais em vários domínios da matemática e das ciências. Seus esforços matemáticos abrangeram teoria dos números, álgebra, análise, geometria, estatística e probabilidade. De 1807 até sua morte em 1855, Gauss ocupou o cargo de diretor do Observatório de Göttingen, na Alemanha, e atuou como professor de astronomia.

Johann Carl Friedrich Gauss ( ; alemão: Gauß; [kaʁlˈfʁiːdʁɪçˈɡaʊs] ; latim: Carolus Fridericus Gauss; 30 de abril de 1777 - 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo, geodesista e físico alemão, que contribuiu para muitos campos da matemática e das ciências. Suas contribuições matemáticas abrangeram os ramos da teoria dos números, álgebra, análise, geometria, estatística e probabilidade. Gauss foi diretor do Observatório de Göttingen, na Alemanha, e professor de astronomia de 1807 até sua morte em 1855.

Desde tenra idade, Gauss foi reconhecido como uma criança prodígio matemático. Enquanto prossegue os seus estudos na Universidade de Göttingen, ele propôs vários teoremas matemáticos. Como estudioso independente, foi autor das obras-primas Disquisitiones Arithmeticae e Theoria motus corporum coelestium. Gauss forneceu a segunda e a terceira provas completas do teorema fundamental da álgebra e introduziu o símbolo de barra tripla (≡) para congruência. Suas numerosas contribuições para a teoria dos números incluem a lei da composição, a lei da reciprocidade quadrática e a prova do caso triangular do teorema do número poligonal de Fermat. Ele também avançou nas teorias das formas quadráticas binárias e ternárias e das séries hipergeométricas. Aos 19 anos, Gauss comprovou a construção do heptadecágono, representando o primeiro progresso na construção de polígonos regulares em mais de 2.000 anos. Ele introduziu ainda o conceito de curvatura gaussiana e demonstrou suas propriedades principais, particularmente com seu Teorema Egregium. Gauss foi o primeiro a provar a desigualdade de Gauss e foi fundamental no desenvolvimento da média aritmético-geométrica. Devido às suas extensas e fundamentais contribuições para a ciência e a matemática, mais de 100 conceitos matemáticos e científicos são nomeados em sua homenagem.

Gauss foi fundamental na identificação de Ceres como um planeta anão. Suas investigações sobre o movimento de planetóides perturbados por grandes planetas levaram à introdução da constante gravitacional gaussiana e do método dos mínimos quadrados, uma técnica que ele descobriu antes de sua publicação por Adrien-Marie Legendre. Gauss também introduziu o algoritmo conhecido como mínimos quadrados recursivos. De 1820 a 1844, dirigiu o levantamento geodésico do Reino de Hanôver, juntamente com um projeto de medição de arco. Gauss é considerado um dos fundadores da geofísica e formulou os princípios fundamentais do magnetismo. Em 1832, ele forneceu a primeira medição absoluta do campo magnético da Terra, aplicando mais tarde a sua invenção da análise harmónica esférica para demonstrar que a maior parte do campo magnético da Terra era interno. Ele foi o primeiro a descobrir e estudar geometria não-euclidiana, campo que também nomeou. Gauss desenvolveu uma transformada rápida de Fourier aproximadamente 160 anos antes de John Tukey e James Cooley. Seu trabalho prático resultou na invenção do heliotrópio em 1821, do magnetômetro em 1833 e, em colaboração com Wilhelm Eduard Weber, do primeiro telégrafo eletromagnético em 1833.

Gauss recebeu o Prêmio Lalande em 1809 por seu trabalho sobre teoria planetária e determinação orbital, e a Medalha Copley em 1838 por sua pesquisa matemática em magnetismo. Ele era conhecido por sua política de não publicar trabalhos incompletos, o que resultou na divulgação postuma de várias de suas descobertas e atrasou sua circulação mais ampla. Gauss acreditava que o ato de aprender, e não a mera posse de conhecimento, proporcionava o maior prazer. Embora não fosse um professor comprometido ou entusiasmado, geralmente preferindo concentrar-se em suas próprias pesquisas, alguns de seus alunos, como Richard Dedekind e Bernhard Riemann, tornaram-se matemáticos ilustres e influentes. Casou-se duas vezes e teve seis filhos, vários dos quais emigraram posteriormente para os Estados Unidos.

Biografia

Juventude e educação

Carl Friedrich Gauss nasceu em 30 de abril de 1777, em Brunswick, no Ducado de Brunswick-Wolfenbüttel, um território que hoje faz parte do estado alemão da Baixa Saxônia. Sua família manteve uma posição social modesta. Seu pai, Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808), exerceu diversas ocupações, incluindo açougueiro, pedreiro, jardineiro e tesoureiro de um fundo de pensão por morte. Gauss caracterizou seu pai como honrado e respeitado, mas internamente severo e autoritário. Embora seu pai fosse proficiente em alfabetização e aritmética, sua segunda esposa, Dorothea, mãe de Carl Friedrich, era praticamente analfabeta. Gauss também tinha um irmão mais velho do casamento inicial de seu pai. Gauss demonstrou aptidão matemática excepcional desde tenra idade. Reconhecendo suas capacidades intelectuais, seus professores do ensino fundamental notificaram o duque de Brunswick, que posteriormente providenciou sua matrícula no Collegium Carolinum local. Gauss frequentou esta instituição de 1792 a 1795, onde Eberhard August Wilhelm von Zimmermann estava entre seus instrutores. Depois disso, o duque forneceu financiamento para seus estudos em matemática, ciências e línguas clássicas na Universidade de Göttingen até 1798. Seu professor de matemática foi Abraham Gotthelf Kästner, a quem Gauss caracterizou como "o principal matemático entre os poetas e o principal poeta entre os matemáticos" devido ao seu estilo epigramático. Karl Felix Seyffer ensinou astronomia, e Gauss manteve correspondência com ele na pós-graduação, embora Olbers e Gauss ridicularizassem Seyffer em particular em suas trocas. Por outro lado, Gauss tinha em alta estima Georg Christoph Lichtenberg, seu instrutor de física, e Christian Gottlob Heyne, cujas palestras clássicas Gauss assistia com considerável prazer. Colegas notáveis ​​durante este período incluíram Johann Friedrich Benzenberg, Farkas Bolyai e Heinrich Wilhelm Brandes.

Gauss parece ter sido em grande parte autodidata em matemática, como evidenciado por sua derivação independente de numerosos teoremas. Em 1796, ele resolveu um problema geométrico que desafiava os matemáticos desde a antiguidade, determinando quais polígonos regulares são construtíveis usando apenas um compasso e uma régua. Essa descoberta fundamental foi fundamental em sua decisão de seguir carreira na matemática em vez da filologia. O diário matemático de Gauss, uma compilação de observações concisas sobre suas descobertas de 1796 a 1814, indica que muitas ideias fundamentais para sua obra-prima matemática, Disquisitiones Arithmeticae (1801), se originaram durante esse período.

Um relato anedótico sugere que durante sua escolaridade primária, Gauss e seus colegas de classe foram designados por seu instrutor, J.G. Büttner, para calcular a soma de números inteiros de 1 a 100. Para grande espanto de Büttner, Gauss forneceu a resposta correta de 5.050 em um tempo significativamente menor do que o previsto. Gauss evidentemente reconheceu que a soma poderia ser estruturada como 50 pares, cada um totalizando 101 (por exemplo, 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101). Consequentemente, ele simplesmente multiplicou 50 por 101.

Estudioso particular

Em 1799, Gauss obteve o título de Doutor em Filosofia pela Universidade de Helmstedt, a única universidade estadual do ducado, contrariando algumas afirmações que colocam sua graduação em Göttingen. Johann Friedrich Pfaff avaliou sua tese de doutorado e Gauss obteve o diploma in absentia, sem necessidade de defesa oral. Posteriormente, o duque forneceu-lhe uma bolsa para despesas de subsistência como estudioso particular em Brunswick. Gauss recusou convites da Academia Russa de Ciências de São Petersburgo e da Universidade Landshut. Mais tarde, em 1804, o duque prometeu estabelecer um observatório em Brunswick. O arquiteto Peter Joseph Krahe desenvolveu projetos preliminares, mas as Guerras Napoleônicas frustraram esses planos; o duque morreu durante a Batalha de Jena em 1806. O ducado foi dissolvido no ano seguinte e o patrocínio financeiro de Gauss cessou. Durante o início do século 19, enquanto calculava as órbitas de asteróides, Gauss forjou conexões com as comunidades astronômicas de Bremen e Lilienthal, notadamente Wilhelm Olbers, Karl Ludwig Harding e Friedrich Wilhelm Bessel, tornando-se assim parte do coletivo astronômico informal conhecido como Polícia Celestial. Um objetivo principal deste grupo era a identificação de planetas adicionais. Eles compilaram dados sobre asteróides e cometas, que serviram de base para a pesquisa orbital de Gauss. Esta pesquisa foi posteriormente publicada em sua magnum opus astronômica, Theoria motus corporum coelestium (1809).

Professor em Göttingen

Em novembro de 1807, Carl Friedrich Gauss iniciou seu mandato na Universidade de Göttingen, então parte do recentemente estabelecido Reino da Vestfália sob Jérôme Bonaparte. Ele foi nomeado professor titular e diretor do observatório astronômico, cargo que ocupou até sua morte em 1855. Pouco depois, o governo da Vestefália cobrou uma contribuição de guerra de dois mil francos, uma quantia que Gauss não conseguiu remeter. Apesar das ofertas de assistência financeira de Olbers e Laplace, Gauss recusou a ajuda. No final das contas, um benfeitor anônimo de Frankfurt, posteriormente identificado como príncipe-primaz Dalberg, liquidou a dívida. Gauss assumiu a direção do observatório de sessenta anos, originalmente estabelecido em 1748 pelo príncipe-eleitor George II dentro de uma torre de fortificação convertida. A instalação possuía instrumentação funcional, embora parcialmente antiquada. Embora a construção de um novo observatório tenha recebido a aprovação principal do príncipe-eleitor George III já em 1802, e o planejamento tenha continuado sob o governo da Vestefália, Gauss não conseguiu se mudar para as novas instalações até setembro de 1816. Após sua mudança, ele adquiriu instrumentos modernos, notadamente dois círculos de meridianos de Repsold e Reichenbach, e um heliômetro de Fraunhofer. Os esforços podem ser amplamente categorizados em três períodos distintos: o foco principal durante as duas primeiras décadas do século XIX foi a astronomia, seguida pela geodésia na terceira década, e posteriormente pela física, particularmente o magnetismo, na quarta década.

Gauss expressou abertamente a sua relutância em ministrar palestras académicas. No entanto, ele lecionou consistentemente desde o início de sua carreira acadêmica em Göttingen até 1854. Ele frequentemente expressava insatisfação em relação às demandas do ensino, percebendo-o como um uso ineficiente de seu tempo. Por outro lado, ele ocasionalmente reconhecia o talento de certos alunos. A maioria de suas palestras referia-se à astronomia, geodésia e matemática aplicada, com apenas três dedicadas a tópicos de matemática pura. Vários alunos de Gauss posteriormente alcançaram destaque como matemáticos, físicos e astrônomos, incluindo Moritz Cantor, Dedekind, Dirksen, Encke, Gould, Heine, Klinkerfues, Kupffer, Listing, Möbius, Nicolai, Riemann, Ritter, Schering, Scherk, Schumacher, von Staudt, Stern e Ursin. Além disso, Sartorius von Waltershausen e Wappäus se destacaram como geocientistas.

Gauss absteve-se de escrever livros didáticos e tinha aversão à popularização de assuntos científicos. Seus únicos empreendimentos de popularização incluíram seus tratados sobre o cálculo da data da Páscoa (1800/1802) e o ensaio de 1836 intitulado Erdmagnetismus und Magnetometer. Gauss publicou exclusivamente seus artigos e livros acadêmicos em latim ou alemão. Embora sua prosa latina tenha aderido a um estilo clássico, ela incorporou certas modificações convencionais adotadas por seus matemáticos contemporâneos.

Gauss proferiu sua palestra inaugural na Universidade de Göttingen em 1808. Ele caracterizou sua metodologia astronômica como baseada em observações confiáveis e cálculos precisos, evitando a confiança em meras crenças ou hipóteses infundadas. Na universidade, seu programa educacional foi complementado por um grupo de professores em disciplinas afins, incluindo o matemático Thibaut, o físico Mayer (reconhecido por seus livros didáticos), seu sucessor Weber (a partir de 1831) e Harding no observatório, que ministrou principalmente palestras sobre astronomia prática. Após a conclusão do observatório, Gauss ocupou sua ala oeste, enquanto Harding residia na seção leste. Embora inicialmente amigável, o relacionamento deles se deteriorou com o tempo, potencialmente devido ao suposto desejo de Gauss de que Harding, apesar de sua posição igual, funcionasse apenas como seu assistente ou observador. Gauss utilizou os novos círculos meridianos quase exclusivamente, restringindo o acesso de Harding a eles, exceto para observações colaborativas pouco frequentes. Brendel categoriza cronologicamente os esforços astronômicos de Gauss em sete períodos distintos, designando os anos de 1820 em diante como um "período de menor atividade astronômica". Apesar do seu equipamento moderno, o novo observatório não funcionou com a mesma eficácia que instituições comparáveis. A pesquisa astronômica de Gauss constituiu em grande parte um empreendimento solitário, sem um programa de observação sustentado, e a universidade só estabeleceu uma posição de assistente depois da morte de Harding em 1834.

Gauss recusou diversas ofertas de prestígio, incluindo a adesão plena à Academia Prussiana de Berlim em 1810 e 1825, o que o teria isentado de responsabilidades como professor. Ele também rejeitou propostas da Universidade de Leipzig em 1810 e da Universidade de Viena em 1842, possivelmente devido às circunstâncias desafiadoras de sua família. Sua remuneração aumentou significativamente de 1.000 Reichsthaler em 1810 para 2.500 Reichsthaler em 1824, posicionando-o entre os professores universitários mais bem pagos em sua carreira posterior.

Em 1810, quando seu colega e amigo Friedrich Wilhelm Bessel enfrentou dificuldades na Universidade de Königsberg devido à ausência de um título acadêmico, Gauss interveio. Ele providenciou para que Bessel recebesse um doutorado honoris causa da Faculdade de Filosofia de Göttingen em março de 1811. Gauss também defendeu um título honorário para Sophie Germain, embora esta recomendação tenha ocorrido pouco antes de sua morte, impedindo-a de recebê-lo. Além disso, ele apoiou com sucesso o matemático Gotthold Eisenstein em Berlim.

Gauss manteve lealdade à Casa de Hanover. Após a morte do rei Guilherme IV em 1837, o novo monarca hanoveriano, o rei Ernesto Augusto, revogou a constituição de 1833. Esta ação gerou um protesto de sete professores, posteriormente conhecidos como os "Sete de Göttingen", incluindo o amigo e colaborador de Gauss, Wilhelm Weber, e seu genro, Heinrich Ewald. Todos os sete foram demitidos de seus cargos e três enfrentaram a expulsão, embora Ewald e Weber tenham sido autorizados a permanecer em Göttingen. Gauss ficou profundamente angustiado com este conflito, mas viu-se incapaz de ajudá-los.

Gauss participou ativamente na governança acadêmica, cumprindo três mandatos como reitor da Faculdade de Filosofia. Suas responsabilidades incluíam a gestão do fundo de pensão para viúvas da universidade, o que envolvia a aplicação da ciência atuarial e a elaboração de um relatório sobre estratégias para estabilização de benefícios. Além disso, ocupou o cargo de diretor da Academia Real de Ciências de Göttingen por um período de nove anos.

Gauss manteve a acuidade intelectual ao longo de sua idade avançada, apesar de sofrer de gota e de uma sensação generalizada de infelicidade. Ele faleceu de ataque cardíaco em Göttingen em 23 de fevereiro de 1855 e foi posteriormente enterrado no Cemitério Albani. Os elogios em seu funeral foram proferidos por Heinrich Ewald, seu genro, e Wolfgang Sartorius von Waltershausen, seu amigo íntimo e biógrafo. Gauss provou ser um investidor astuto, acumulando uma riqueza substancial por meio de ações e títulos, que ultrapassou 150.000 Thaler. Após sua morte, aproximadamente 18.000 Thaler foram descobertos escondidos em seus aposentos privados.

Cérebro de Gauss

No dia seguinte à morte de Gauss, seu cérebro foi extraído, preservado e posteriormente examinado por Rudolf Wagner, que determinou que sua massa estava ligeiramente acima da média, 1.492 gramas (3,29 lb). Hermann Wagner, filho de Rudolf e geógrafo, estimou a área cerebral em 219.588 milímetros quadrados (340.362 pol. quadradas) em sua tese de doutorado. No entanto, em 2013, um neurobiólogo do Instituto Max Planck de Química Biofísica em Göttingen revelou que, logo após os exames iniciais, o cérebro de Gauss havia sido erroneamente trocado pelo do médico Conrad Heinrich Fuchs, que também morreu em Göttingen alguns meses depois de Gauss, devido a rotulagem incorreta. Investigações subsequentes não encontraram anomalias significativas em nenhum dos cérebros. Consequentemente, todos os estudos do "cérebro de Gauss" realizados até 1998, com exceção das análises iniciais de Rudolf e Hermann Wagner, na verdade pertencem ao cérebro de Fuchs.

Família

Gauss casou-se com Johanna Osthoff em 9 de outubro de 1805, na igreja de Santa Catarina em Brunswick. A união deles produziu dois filhos e uma filha: Joseph (1806–1873), Wilhelmina (1808–1840) e Louis (1809–1810). Johanna faleceu em 11 de outubro de 1809, apenas um mês após o nascimento de Louis; O próprio Louis morreu vários meses depois. Gauss selecionou os nomes de seus filhos para homenagear Giuseppe Piazzi, Wilhelm Olbers e Karl Ludwig Harding, que foram os descobridores dos asteróides iniciais.

Em 4 de agosto de 1810, Gauss casou-se pela segunda vez com Wilhelmine (Minna) Waldeck, amiga de sua primeira esposa. Juntos, eles tiveram três filhos adicionais: Eugen (mais tarde Eugene) (1811–1896), Wilhelm (mais tarde William) (1813–1879) e Therese (1816–1864). Minna Gauss sucumbiu a uma doença prolongada, que durou mais de uma década, em 12 de setembro de 1831. Posteriormente, Therese assumiu a responsabilidade pela casa e cuidou de Gauss durante seus anos restantes; após a morte de seu pai, ela se casou com o ator Constantin Staufenau. Sua irmã Wilhelmina casou-se com o orientalista Heinrich Ewald. A mãe de Gauss, Dorothea, residiu na casa dele de 1817 até seu falecimento em 1839.

Joseph, o filho mais velho, ajudou seu pai quando era estudante durante uma campanha de pesquisa no verão de 1821. Após um breve período na universidade, Joseph se alistou no exército de Hanover em 1824 e contribuiu novamente para os esforços de pesquisa em 1829. Durante a década de 1830, ele supervisionou a expansão da rede de pesquisa nas regiões ocidentais do reino. Aproveitando sua experiência geodésica, ele posteriormente deixou o serviço militar para se tornar diretor da Royal Hanoverian State Railways, onde esteve envolvido na construção da rede ferroviária. Em 1836, passou vários meses estudando o sistema ferroviário nos Estados Unidos.

Eugen partiu de Göttingen em setembro de 1830, emigrando para os Estados Unidos, onde serviu no exército por cinco anos. Posteriormente, ele foi contratado pela American Fur Company no Centro-Oeste antes de se mudar para o Missouri e se estabelecer como um empresário próspero. Wilhelm casou-se com uma sobrinha do astrônomo Bessel, depois mudou-se para o Missouri, inicialmente trabalhando como fazendeiro antes de acumular riqueza na indústria de calçados em St. Louis durante seus últimos anos. Embora Eugen e William tenham numerosos descendentes na América, todos os descendentes de Gauss restantes na Alemanha traçam sua linhagem através de Joseph, já que as filhas não tiveram filhos.

Personalidade

Contribuições acadêmicas

Durante as primeiras duas décadas do século XIX, Gauss permaneceu como o único matemático proeminente da Alemanha, cuja estatura rivalizava com a dos principais matemáticos franceses. Seu trabalho seminal, Disquisitiones Arithmeticae, marcou o primeiro tratado matemático originário da Alemanha a ser traduzido para o francês.

Gauss foi pioneiro em novos desenvolvimentos, evidenciados por sua pesquisa documentada de 1799, sua prolífica geração de novos conceitos e sua abordagem rigorosa à demonstração. Divergindo de antecessores como Leonhard Euler, que muitas vezes guiava os leitores através do seu raciocínio, incluindo desvios errôneos ocasionais, Gauss estabeleceu um estilo distinto caracterizado pela exposição direta e abrangente, omitindo deliberadamente o processo de pensamento interno do autor.

Gauss foi fundamental no restabelecimento do rigor da demonstração, uma qualidade admirada nos estudos antigos, que haviam sido indevidamente marginalizados pela preocupação exclusiva da era anterior com novos avanços.

No entanto, a sua filosofia pessoal, articulada numa carta a Farkas Bolyai, apresentava um ideal distintamente diferente:

A satisfação mais profunda não provém do conhecimento em si, mas do processo de aprendizagem; não da posse, mas da jornada de aquisição. Uma vez completamente elucidado e esgotado um assunto, invariavelmente sigo em frente, em busca de novos desafios intelectuais.

Seus escritos póstumos, diário científico e marginálias em seus livros revelam uma confiança significativa em métodos empíricos. Gauss foi um calculador perpetuamente ativo e fervoroso ao longo de sua vida, executando cálculos com velocidade notável e verificando resultados por meio de estimativas. Apesar de sua diligência, seus cálculos não estavam totalmente isentos de erros. Ele administrou sua carga de trabalho substancial empregando ferramentas sofisticadas, incluindo inúmeras tabelas matemáticas, que examinou meticulosamente quanto à precisão e complementou com novas tabelas para aplicação pessoal em vários domínios. Ele também desenvolveu técnicas computacionais inovadoras, como a eliminação gaussiana. Notavelmente, os cálculos de Gauss e as tabelas que ele compilou frequentemente ultrapassaram o nível de precisão praticamente exigido, uma meticulosidade que provavelmente lhe forneceu dados suplementares para os seus esforços teóricos.

Gauss aderiu a um rígido padrão de publicação, lançando trabalhos apenas quando os considerava completos e imunes a críticas. Esse compromisso com a perfeição foi resumido no lema de seu selo pessoal: Pauca sed Matura ("Poucos, mas Maduros"). Embora muitos colegas o encorajassem a disseminar ideias novas e ocasionalmente o advertissem por atrasos percebidos, Gauss afirmou que a concepção inicial das ideias era simples, enquanto a elaboração de uma elaboração apresentável revelou-se um desafio devido a restrições de tempo ou "serenidade mental". Apesar disso, ele publicou numerosas comunicações concisas sobre temas urgentes em vários periódicos, mas também legou um patrimônio literário substancial. Gauss caracterizou a matemática como "a rainha das ciências" e a aritmética como "a rainha da matemática", e tem a reputação de ter afirmado uma vez que uma compreensão imediata da identidade de Euler serviu como uma referência crucial para aspirantes a matemáticos de primeira classe.

Gauss ocasionalmente afirmava possuir anteriormente ideias atribuídas a outros estudiosos. Consequentemente, a sua compreensão da prioridade científica, definida como "o primeiro a descobrir, não o primeiro a publicar", divergia significativamente da dos seus contemporâneos. Apesar de sua meticulosidade na apresentação matemática, suas práticas de citação atraíram críticas por sua aparente negligência. Ele defendeu esta abordagem afirmando que forneceria apenas referências abrangentes para autores seminais cujas contribuições fossem universalmente reconhecidas, argumentando que uma prática de citação mais exaustiva exigiria um conhecimento científico histórico e um compromisso de tempo que ele não estava disposto a alocar.

Vida Pessoal

Pouco depois da morte de Gauss, seu amigo Sartorius publicou a biografia inaugural em 1856, caracterizada por um tom entusiasmado. Sartorius descreveu Gauss como um indivíduo composto e progressista, possuidor de modéstia infantil, mas também um "personagem de ferro" dotado de uma fortaleza mental inabalável. Além dos seus associados imediatos, Gauss era amplamente visto como reservado e inacessível, comparado a "um atleta olímpico entronizado no cume da ciência". Seus contemporâneos geralmente concordavam que Gauss possuía uma personalidade desafiadora. Ele frequentemente recusava elogios e seus visitantes às vezes ficavam irritados com seu comportamento irritado; no entanto, sua disposição poderia mudar rapidamente, transformando-o em um anfitrião gracioso e afável. Gauss nutria aversão a personalidades controversas; notavelmente, ele e seu colega Hausmann se opuseram à nomeação de Justus Liebig para um cargo de professor em Göttingen, citando o envolvimento perpétuo de Liebig em polêmicas.

A vida pessoal de Gauss foi significativamente impactada por profundas dificuldades familiares. A morte súbita da sua primeira esposa, Johanna, pouco depois do nascimento do seu terceiro filho, levou-o a expressar o seu profundo pesar numa carta final a ela, composta no estilo de uma antiga trenódia, que permanece entre os seus documentos mais íntimos que sobreviveram. Posteriormente, sua segunda esposa e duas filhas contraíram tuberculose. Numa carta a Bessel de dezembro de 1831, Gauss aludiu à sua angústia, caracterizando-se como "a vítima dos piores sofrimentos domésticos". Devido à doença de sua esposa, os dois filhos mais novos de Gauss foram educados durante vários anos em Celle, uma cidade distante de Göttingen. Seu filho mais velho, Joseph, concluiu uma carreira militar de mais de duas décadas no posto de primeiro-tenente, mal remunerado, apesar de ter acumulado experiência substancial em geodésia. Ele precisou de ajuda financeira de seu pai mesmo depois do casamento. O segundo filho, Eugen, herdou uma parte significativa da aptidão de seu pai para computação e línguas, mas possuía uma disposição espirituosa e ocasionalmente desafiadora. Ele desejava seguir a filologia, enquanto Gauss pretendia que ele se tornasse advogado. Depois de contrair dívidas e criar um escândalo público, Eugen partiu abruptamente de Göttingen em circunstâncias dramáticas em setembro de 1830, emigrando para os Estados Unidos via Bremen. Ele desperdiçou seus fundos iniciais, levando seu pai a reter mais ajuda financeira. O filho mais novo, Guilherme, procurou qualificar-se para a administração agrícola, mas encontrou dificuldades em obter uma educação adequada, acabando por emigrar também. Apenas a filha mais nova de Gauss, Therese, permaneceu com ele durante seus últimos anos. Durante sua vida posterior, Gauss habitualmente acumulou diversos dados numéricos, abrangendo informações práticas e aparentemente triviais, como a contagem de rotas de sua residência para locais específicos em Göttingen ou as idades dos indivíduos expressas em dias. Em dezembro de 1851, ele parabenizou Humboldt por atingir a mesma idade de Isaac Newton no momento da morte de Newton, calculada em dias. Além de seu profundo domínio do latim, Gauss possuía proficiência em línguas modernas. Ele se envolveu com literatura clássica e contemporânea, lendo obras inglesas e francesas em seus textos originais. Seu autor inglês preferido foi Walter Scott, e seu autor alemão favorito foi Jean Paul. Aos 62 anos, ele começou a estudar russo por conta própria, provavelmente motivado pelo desejo de compreender a literatura científica russa, incluindo as obras de Lobachevsky sobre geometria não euclidiana. Gauss gostava de cantar e assistia a concertos. Ele era um ávido leitor de jornais e, em seus últimos anos, frequentava um salão de imprensa acadêmica na universidade todo meio-dia. Gauss tinha pouca consideração pela filosofia, muitas vezes ridicularizando os "críticos dos chamados metafísicos", um termo que ele aplicou aos proponentes da escola de pensamento contemporânea Naturphilosophie.

Gauss possuía uma disposição inerentemente aristocrática e profundamente conservadora, exibindo uma consideração mínima pelo intelecto e pela moralidade dos outros, muitas vezes aderindo à máxima "mundus vult decipi" (o mundo quer ser enganado). Ele nutria aversão a Napoleão e à sua estrutura política, expressando profundo horror a todas as formas de violência e revolução. Consequentemente, denunciou as metodologias utilizadas durante as Revoluções de 1848, apesar de concordar com certos objectivos, como a unificação da Alemanha. Além disso, ele tinha uma opinião negativa sobre a governação constitucional e frequentemente criticava os parlamentares contemporâneos pelo que considerava a sua ignorância e falácias lógicas.

Os biógrafos de Gauss envolveram-se em especulações sobre as suas convicções religiosas. Ele ocasionalmente articulava sentimentos como "Deus aritmetiza" e "Consegui - não por causa de meus esforços, mas pela graça do Senhor". Embora Gauss fosse afiliado à igreja luterana, uma prática comum entre a população do norte da Alemanha, as evidências sugerem que ele não subscreveu totalmente todos os dogmas luteranos nem interpretou a Bíblia de forma inteiramente literal. Sartorius postulou que as convicções religiosas de Gauss sustentavam sua notável tolerância religiosa, "sede insaciável pela verdade" e profundo senso de justiça.

Matemática

Álgebra e Teoria dos Números

Teorema Fundamental da Álgebra

Em sua tese de doutorado de 1799, Gauss estabeleceu uma prova para o teorema fundamental da álgebra, que postula que todo polinômio não constante, de variável única e com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Antes de Gauss, os matemáticos, incluindo Jean le Rond d'Alembert, apresentaram provas erradas; A dissertação de Gauss inclui notavelmente uma crítica às contribuições de d'Alembert. Posteriormente, Gauss desenvolveu três provas adicionais, sendo a final, apresentada em 1849, geralmente considerada rigorosa. Seus esforços avançaram significativamente a compreensão conceitual dos números complexos.

Disquisitiones Arithmeticae

No prefácio das Disquisitiones, Gauss indica que seu envolvimento com a teoria dos números começou em 1795. Através de um exame dos trabalhos de predecessores como Fermat, Euler, Lagrange e Legendre, ele verificou que esses estudiosos haviam chegado independentemente a muitas das descobertas que ele havia feito. O trabalho seminal, Disquisitiones Arithmeticae, de autoria de 1798 e publicado em 1801, foi fundamental para estabelecer a teoria dos números como uma disciplina acadêmica distinta, abrangendo aspectos elementares e algébricos. Neste tratado, Gauss introduziu o símbolo da barra tripla (≡) para denotar congruência, empregando-o para fornecer uma exposição clara da aritmética modular. O trabalho aborda o teorema da fatoração única e o conceito de raízes primitivas módulo n. Além disso, em suas seções principais, Gauss apresenta as duas provas iniciais da lei da reciprocidade quadrática e discorre sobre as teorias relativas às formas quadráticas binárias e ternárias. As Disquisitiones incorporam a lei de composição de Gauss para formas quadráticas binárias e detalha a enumeração do número de maneiras pelas quais um número inteiro pode ser representado como a soma de três quadrados. Como corolário direto de seu teorema sobre três quadrados, Gauss demonstra a instância triangular do teorema do número poligonal de Fermat para n = 3. Com base em várias descobertas analíticas sobre números de classe, que Gauss apresenta sem prova formal perto da conclusão da quinta seção, infere-se que ele já conhecia a fórmula do número de classe em 1801.

Na seção final, Gauss fornece uma prova da construtibilidade de um heptadecágono regular (um polígono de 17 lados) usando apenas régua e compasso, conseguida ao transformar esse desafio geométrico em um desafio algébrico. Isto representou o primeiro avanço significativo na construção de polígonos regulares em mais de dois milênios. Ele demonstra que um polígono regular é construtível se o seu número de lados for uma potência de 2 ou o produto de uma potência de 2 e qualquer número de primos de Fermat distintos. Na mesma seção, ele apresenta uma constatação relativa ao número de soluções para polinômios cúbicos específicos com coeficientes em corpos finitos, o que equivale a enumerar pontos integrais em uma curva elíptica. Um capítulo incompleto, compreendendo trabalhos realizados entre 1797 e 1799, foi posteriormente descoberto entre seus documentos póstumos.

Investigações adicionais

Entre as descobertas iniciais de Gauss estava a conjectura derivada empiricamente de 1792, posteriormente denominada teorema dos números primos, que fornece uma estimativa da quantidade de números primos através da aplicação do logaritmo integral.

Em 1816, Olbers instou Gauss a concorrer a um prêmio da Academia Francesa, fornecendo uma prova para o Último Teorema de Fermat; no entanto, Gauss recusou, considerando o assunto pouco envolvente. Postumamente, um manuscrito sem data foi descoberto contendo provas do teorema para os casos específicos onde n = 3 e n = 5. Embora Leonhard Euler já tivesse demonstrado o caso de n = 3, Gauss desenvolveu uma prova mais elegante utilizando números inteiros de Eisenstein. Esta abordagem, apesar de sua maior generalidade, ofereceu uma solução mais simples em comparação com métodos envolvendo números inteiros reais.

Em 1831, Gauss avançou na resolução da conjectura de Kepler demonstrando que a densidade máxima de empacotamento de esferas no espaço tridimensional é alcançada quando seus centros formam um arranjo cúbico de face centrada. Esta contribuição surgiu durante sua revisão do livro de Ludwig August Seeber sobre a teoria da redução de formas quadráticas ternárias positivas. Identificando deficiências na prova original de Seeber, Gauss simplificou vários argumentos, estabeleceu a conjectura central e notou sua equivalência à conjectura de Kepler para configurações regulares.

Em duas publicações sobre resíduos biquadráticos (1828, 1832), Gauss apresentou o anel de inteiros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Ele estabeleceu sua propriedade como um domínio de fatoração único e estendeu princípios aritméticos fundamentais, incluindo o Pequeno Teorema de Fermat e o Lema de Gauss. O principal impulso para a introdução deste anel foi articular a lei da reciprocidade biquadrática, já que Gauss reconheceu que os anéis de inteiros complexos fornecem a estrutura inerente para tais leis avançadas de reciprocidade.

No segundo artigo, Gauss articulou a lei geral da reciprocidade biquadrática e fundamentou vários exemplos específicos. Anteriormente, numa publicação de 1818 apresentando a sua quinta e sexta demonstrações de reciprocidade quadrática, ele afirmou que as metodologias empregadas nestas provas, especificamente as somas de Gauss, eram adaptáveis para estabelecer leis de reciprocidade mais elevadas.

Análise

Entre as descobertas iniciais de Gauss estava o conceito de média aritmética-geométrica (AGM) para dois números reais positivos. Entre 1798 e 1799, ele identificou a sua relação com integrais elípticas através da transformação de Landen. Uma entrada no diário documentou ainda a descoberta de uma ligação entre as funções elípticas constantes e lemniscáticas de Gauss, uma descoberta que ele declarou "certamente abrirá um campo de análise inteiramente novo". Além disso, ele iniciou explorações nos aspectos mais rigorosos dos princípios fundamentais da análise complexa. A correspondência com Bessel em 1811 revela sua consciência do "teorema fundamental da análise complexa", especificamente o teorema integral de Cauchy, e sua compreensão de resíduos complexos durante a integração em torno dos pólos.

O teorema dos números pentagonais de Euler, juntamente com suas investigações sobre o AGM e as funções lemniscáticas, guiaram Gauss a inúmeras descobertas sobre as funções teta de Jacobi. Isso culminou em sua descoberta, em 1808, do que mais tarde seria chamado de identidade tripla do produto de Jacobi, que engloba o teorema de Euler como um exemplo específico. Seus escritos indicam sua familiaridade com transformações modulares de ordens 3, 5 e 7 para funções elípticas já em 1808. Vários fragmentos matemáticos encontrados no Nachlass de Gauss sugerem sua familiaridade com elementos da teoria contemporânea de formas modulares. Através de sua pesquisa sobre a média aritmética-geométrica multivalorada (AGM) de dois números complexos, ele descobriu uma relação profunda entre o conjunto infinito de valores do AGM e seus dois "valores mais simples". Seus manuscritos inéditos revelam seu reconhecimento e descrição preliminar do conceito crucial de domínio fundamental para o grupo modular. Um exemplo de tal esboço de Gauss ilustra um mosaico do disco unitário usando triângulos hiperbólicos "equiláteros", cada um possuindo ângulos equivalentes a ${\displaystyle \pi /4}$.

A perspicácia analítica de Gauss é exemplificada por sua observação enigmática de que os princípios que governam a divisão do círculo por compasso e régua também poderiam ser aplicados à divisão da curva da lemniscata, uma observação que posteriormente inspirou o teorema seminal de Abel sobre a divisão da lemniscata. Outro exemplo notável é sua publicação de 1811, "Summatio quarundam serierum singularium", que abordou a determinação do sinal das somas quadráticas de Gauss. Neste trabalho, ele resolveu o problema central introduzindo q-análogos de coeficientes binomiais e manipulando-os através de diversas identidades originais, que parecem originar-se de sua pesquisa em teoria da função elíptica. Contudo, Gauss apresentou seu argumento formalmente, sem revelar suas raízes na teoria da função elíptica; somente investigações posteriores de matemáticos como Jacobi e Hermite elucidaram completamente os princípios subjacentes de seu raciocínio.

Em "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), Gauss forneceu o primeiro tratamento sistemático da função hipergeométrica geral ${\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)}$, demonstrando que inúmeras funções conhecidas na época eram instâncias específicas desta função mais ampla. Este tratado representa a investigação inicial rigorosa sobre a convergência de séries infinitas na história da matemática. Além disso, explora frações contínuas infinitas derivadas de razões de funções hipergeométricas, agora reconhecidas como frações contínuas de Gauss.

Em 1823, Gauss recebeu o prêmio da Sociedade Dinamarquesa por um ensaio sobre mapeamentos conformes, que continha vários avanços pertinentes ao campo da análise complexa. Gauss postulou que os mapeamentos de preservação de ângulo dentro do plano complexo devem ser funções analíticas complexas e utilizou o que mais tarde foi denominado equação de Beltrami para estabelecer a existência de coordenadas isotérmicas em superfícies analíticas. O ensaio foi concluído com exemplos ilustrativos de mapeamentos conformes em uma esfera e um elipsóide de revolução.

Análise numérica

Gauss frequentemente derivou teoremas indutivamente a partir de dados numéricos empíricos. Consequentemente, a aplicação de algoritmos eficientes para facilitar os cálculos foi crucial para sua pesquisa, levando a inúmeras contribuições para a análise numérica, como o método da quadratura gaussiana, publicado em 1816.

Em uma correspondência privada com Gerling em 1823, Gauss descreveu uma solução para um sistema 4x4 de equações lineares usando o método Gauss-Seidel - uma abordagem iterativa "indireta" para resolver sistemas lineares - e defendeu seu uso em vez do método "direto" convencional. método de eliminação "para sistemas que compreendem mais de duas equações. Gauss desenvolveu um algoritmo para calcular o que hoje é conhecido como transformadas discretas de Fourier ao calcular as órbitas de Pallas e Juno em 1805, antecedendo o algoritmo semelhante de Cooley e Tukey de Cooley-Tukey em 160 anos. Ele desenvolveu isso como um método de interpolação trigonométrica, mas o artigo Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata não foi publicado até 1876, postumamente, e significativamente após a introdução do assunto por Joseph Fourier em 1807.

Geometria

Geometria diferencial

O levantamento geodésico de Hanover estimulou o interesse de Gauss pela geometria diferencial e topologia, disciplinas matemáticas preocupadas com curvas e superfícies. Este compromisso culminou na sua publicação de 1828, uma obra que significa a génese da moderna geometria diferencial de superfícies. Divergiu das abordagens tradicionais que tratavam as superfícies como gráficos cartesianos de funções de duas variáveis, iniciando a exploração de superfícies a partir da perspectiva "intrínseca" de uma entidade bidimensional confinada a mover-se sobre elas. Como resultado, o Teorema Egregium (teorema notável) estabeleceu uma propriedade fundamental da curvatura gaussiana. Informalmente, este teorema afirma que a curvatura de uma superfície pode ser inteiramente determinada medindo ângulos e distâncias exclusivamente na superfície, independentemente da sua incorporação no espaço tridimensional ou bidimensional.

O Teorema Egregium facilita a conceituação de superfícies como variedades duplamente estendidas, elucidando assim a diferenciação entre as propriedades intrínsecas de uma variedade (sua métrica) e sua manifestação física no espaço ambiente. Uma implicação direta deste teorema é a impossibilidade de uma transformação isométrica entre superfícies que possuem curvaturas gaussianas distintas. Na prática, isso significa que uma esfera ou um elipsóide não pode ser projetado em um plano sem incorrer em distorção, um desafio fundamental para o desenho de projeções de mapas geográficos. Um segmento deste trabalho é dedicado a um exame aprofundado da geodésica. Notavelmente, Gauss estabeleceu o teorema local de Gauss-Bonnet relativo aos triângulos geodésicos e estendeu o teorema de Legendre sobre triângulos esféricos para abranger triângulos geodésicos em qualquer superfície que exiba curvatura contínua. Ele observou que o desvio angular de um triângulo geodésico "suficientemente pequeno" de um triângulo plano de comprimentos laterais idênticos depende exclusivamente dos valores da curvatura da superfície nos vértices do triângulo, independentemente do comportamento da superfície dentro do interior do triângulo.

As memórias de Gauss de 1828 não incorporaram o conceito de curvatura geodésica. No entanto, num manuscrito anterior não publicado, provavelmente composto entre 1822 e 1825, ele cunhou o termo "curvatura lateral" (alemão: "Seitenkrümmung") e demonstrou a sua invariância sob transformações isométricas. Esta descoberta foi posteriormente derivada e publicada de forma independente por Ferdinand Minding em 1830. Este artigo específico de Gauss contém os elementos fundamentais de seu lema sobre a curvatura total, juntamente com sua generalização mais ampla, que mais tarde foi descoberta e provada por Pierre Ossian Bonnet em 1848 e agora é reconhecida como o teorema de Gauss-Bonnet.

Geometria Não Euclidiana

Ao longo da vida de Gauss, o postulado das paralelas da geometria euclidiana foi tema de intenso debate acadêmico. Embora muitos esforços se concentrassem em provar este postulado no âmbito dos axiomas euclidianos, outros matemáticos exploraram o potencial dos sistemas geométricos que o dispensavam. O próprio Gauss contemplou os princípios fundamentais da geometria a partir da década de 1790, mas foi só na década de 1810 que reconheceu o potencial de uma geometria não-euclidiana, desprovida do postulado das paralelas, para resolver esta questão de longa data. Numa carta de 1824 a Franz Taurinus, Gauss forneceu uma visão geral concisa e compreensível do que chamou de "geometria não-euclidiana", embora tenha proibido explicitamente Taurinus de disseminar ou utilizar esta informação. Gauss é amplamente reconhecido como a figura pioneira que primeiro descobriu, investigou e até cunhou o termo para geometria não-euclidiana.

Os primeiros trabalhos publicados sobre geometria não-euclidiana na história da matemática foram produzidos por Nikolai Lobachevsky em 1829 e Janos Bolyai em 1832. Nos anos seguintes, Gauss documentou suas próprias conceituações sobre este assunto, mas absteve-se de publicá-las, evitando assim intencionalmente qualquer influência no discurso científico em curso do tempo. Gauss expressou admiração pelas ideias de Janos Bolyai numa carta ao seu pai e colega de universidade, Farkas Bolyai, afirmando que estes conceitos estavam alinhados com as suas próprias reflexões de várias décadas anteriores. No entanto, a extensão precisa da precedência de Gauss sobre Lobachevsky e Bolyai permanece ambígua, dada a natureza vaga e obscura de suas observações escritas. Sartorius inicialmente fez referência às contribuições de Gauss para a geometria não-euclidiana em 1856. No entanto, as ideias abrangentes de Gauss sobre o assunto não foram totalmente reveladas até a publicação póstuma de seu Nachlass no Volume VIII das Obras Coletadas (1900), um período durante qual a geometria não-euclidiana continuou a ser um tema de considerável controvérsia acadêmica.

Topologia inicial

Gauss também emergiu como um pioneiro no campo da topologia, ou Geometria Situs, como era conhecida em sua época. Sua prova inaugural do teorema fundamental da álgebra em 1799 incorporou um argumento fundamentalmente topológico. Cinco décadas depois, ele refinou ainda mais esse raciocínio topológico em sua quarta demonstração do mesmo teorema.

Um envolvimento subsequente com conceitos topológicos surgiu durante sua pesquisa astronômica em 1804. Nessa época, Gauss delineou os limites da região na esfera celeste onde cometas e asteróides poderiam potencialmente se manifestar, uma região que ele designou como o "Zodíaco". Ele verificou que se as órbitas da Terra e de um cometa estivessem topologicamente ligadas, o Zodíaco abrangeria então a totalidade da esfera celeste. Em 1848, motivado pela descoberta do asteróide 7 Iris, ele divulgou uma análise qualitativa adicional sobre o Zodíaco.

Gauss explorou extensivamente assuntos relacionados à Geometria Situs entre 1820 e 1830, reconhecendo progressivamente as complexidades semânticas inerentes a este domínio. Fragmentos sobreviventes desta época indicam seus esforços para categorizar "figuras de trato", definidas como curvas planares fechadas exibindo um número finito de auto-interseções transversais, que também podem representar projeções planares de nós. Para esta classificação, ele desenvolveu um sistema simbólico, conhecido como código de Gauss, que encapsulava efetivamente as características definidoras dessas figuras de trato.

Em um fragmento de 1833, Gauss estabeleceu o número de ligação para duas curvas espaciais usando uma integral dupla específica, apresentando assim a formulação analítica inaugural de um fenômeno topológico. Ao mesmo tempo, ele expressou insatisfação com os avanços limitados na Geometria Situs, observando que um desafio primário envolveria “contar os entrelaçamentos de duas curvas fechadas ou infinitas”. Seus cadernos contemporâneos indicam ainda sua contemplação de outras entidades topológicas, incluindo tranças e emaranhados.

A influência subsequente de Gauss no campo nascente da topologia, uma disciplina que ele considerava altamente, resultou principalmente de observações esporádicas e trocas verbais com Möbius e Listing.

Contribuições matemáticas menores

Gauss utilizou números complexos para resolver problemas matemáticos estabelecidos com uma nova concisão. Por exemplo, numa nota de 1836 abordando as propriedades geométricas das formas ternárias e suas aplicações cristalográficas, ele articulou o teorema fundamental da axonometria. Este teorema elucida a representação precisa de um cubo tridimensional em um plano bidimensional através da aplicação de números complexos. Ele caracterizou as rotações desta esfera como o efeito de transformações fracionárias lineares específicas no plano complexo estendido e forneceu uma demonstração para o teorema geométrico afirmando que as altitudes de um triângulo invariavelmente se cruzam em um único ortocentro.

Por várias décadas, Gauss investigou o "Pentagramma mirificum" de John Napier, um pentagrama esférico específico. Ele examinou esta entidade de múltiplas perspectivas, alcançando progressivamente uma compreensão abrangente de suas propriedades geométricas, algébricas e analíticas. Notavelmente, em 1843, ele formulou e demonstrou vários teoremas que interconectavam funções elípticas, pentágonos esféricos de Napier e pentágonos de Poncelet no domínio planar.

Além disso, ele forneceu uma solução para o desafio de construir a elipse de área máxima dentro de um quadrilátero especificado e descobriu uma descoberta inesperada sobre o cálculo de áreas pentagonais.

Contribuições científicas

Astronomia

Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo italiano Giuseppe Piazzi identificou um novo corpo celeste, que ele supôs ser o planeta há muito procurado situado entre Marte e Júpiter, consistente com a lei de Titius-Bode, e o designou como Ceres. Piazzi só pôde observar o objeto por um breve período antes de ser obscurecido pelo brilho solar. Os métodos matemáticos contemporâneos revelaram-se inadequados para prever a localização do seu reaparecimento com base nos dados limitados disponíveis. Gauss enfrentou esse desafio, prevendo uma posição potencial de redescoberta para dezembro de 1801. Essa previsão demonstrou precisão de meio grau quando Franz Xaver von Zach, em 7 e 31 de dezembro em Gotha, e independentemente Heinrich Olbers, em 1 e 2 de janeiro em Bremen, localizaram o objeto próximo às coordenadas previstas.

A metodologia de Gauss produz uma equação de oitavo grau, cuja solução corresponde à órbita da Terra. A solução desejada é posteriormente isolada das seis restantes através da aplicação de restrições físicas. Para este empreendimento, Gauss desenvolveu e empregou extensas técnicas de aproximação.

A identificação de Ceres levou Gauss a formular uma teoria sobre o movimento de planetóides perturbados por planetas maiores, que foi finalmente publicada em 1809 sob o título Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum. Este trabalho também introduziu a constante gravitacional gaussiana.

Após a descoberta de novos asteroides, Gauss dedicou seus esforços à análise das perturbações de seus elementos orbitais. Inicialmente, ele investigou Ceres usando técnicas analíticas semelhantes às de Laplace. No entanto, Pallas tornou-se seu foco principal devido à sua significativa excentricidade e inclinação orbital, o que tornou a metodologia de Laplace ineficaz. Consequentemente, Gauss empregou seus instrumentos matemáticos únicos, incluindo a média aritmético-geométrica, a função hipergeométrica e seu método de interpolação. Em 1812, ele identificou uma ressonância orbital 18:7 com Júpiter, uma descoberta que Gauss apresentou inicialmente em cifra, revelando o seu significado explícito apenas através da correspondência com Olbers e Bessel. Apesar de anos de pesquisas dedicadas, ele concluiu este trabalho em 1816, considerando o resultado insatisfatório. Este período marcou o fim do seu envolvimento na astronomia teórica.

Um resultado significativo das investigações de Gauss sobre as perturbações de Pallas foi a publicação de 1818 Determinatio Attractionis..., que detalhou um método teórico de astronomia posteriormente denominado "método do anel elíptico". Este método introduziu um conceito de média, em que um planeta em órbita é substituído por um anel hipotético cuja densidade de massa é diretamente proporcional ao tempo que o planeta passa percorrendo seus respectivos arcos orbitais. Gauss elucidou um procedimento de várias etapas para avaliar a atração gravitacional exercida por tal anel elíptico, incorporando notavelmente uma aplicação direta do algoritmo de média aritmética-geométrica (AGM) para cálculo integral elíptico. Embora o envolvimento de Gauss com a astronomia teórica tenha sido concluído, seus esforços práticos na astronomia observacional persistiram ao longo de sua carreira. Em 1799, Gauss já abordava a determinação da longitude através da paralaxe lunar, elaborando fórmulas que eram mais práticas do que os métodos existentes. Após a sua nomeação como diretor do observatório, ele enfatizou a importância das constantes astronômicas fundamentais nas suas comunicações com Bessel. Gauss compilou pessoalmente tabelas para nutação, aberração, coordenadas solares e refração atmosférica. Ele também fez contribuições substanciais à geometria esférica, aplicando esse conhecimento para resolver desafios práticos na navegação astronômica. Além disso, ele publicou numerosas observações, principalmente sobre planetas menores e cometas, sendo sua última observação registrada o eclipse solar de 28 de julho de 1851.

Cronologia

A publicação inicial de Gauss posterior à sua tese de doutorado, emitida em 1800, abordou a determinação da data da Páscoa, tema da matemática elementar. Seu objetivo era fornecer um algoritmo acessível para indivíduos sem experiência em cronologia eclesiástica ou astronômica, omitindo deliberadamente termos como número dourado, epacto, ciclo solar, carta domenical e quaisquer implicações religiosas associadas. Esta escolha específica do assunto provavelmente foi influenciada por fatores históricos. A transição do calendário Juliano para o Gregoriano gerou considerável confusão dentro do Sacro Império Romano desde o século XVI, com a sua implementação na Alemanha só sendo finalizada em 1700, quando a discrepância de onze dias foi corrigida. Posteriormente, a Páscoa continuou a ser observada em datas variadas nas regiões protestantes e católicas até que um acordo unificado em 1776 eliminou esta disparidade. Notavelmente, em estados protestantes como o Ducado de Brunswick, a Páscoa de 1777, ocorrida cinco semanas antes do nascimento de Gauss, representou o cálculo inaugural realizado sob o método recentemente adotado.

Teoria do erro

Presume-se que Gauss tenha empregado o método dos mínimos quadrados para mitigar os efeitos do erro de medição durante o cálculo da órbita de Ceres. Embora Adrien-Marie Legendre tenha publicado este método pela primeira vez em 1805, Gauss afirmou em seu trabalho de 1809, Theoria motus, que o utilizava desde 1794 ou 1795. Esta afirmação é reconhecida na história da estatística como a "disputa de prioridade sobre a descoberta do método dos mínimos quadrados". Em seu artigo de duas partes, Theoria combinationis observeum erroribus minimis obnoxiae (1823), Gauss demonstrou que, sob a suposição de erros normalmente distribuídos, o método possui a menor variância amostral entre os estimadores lineares imparciais, um princípio agora conhecido como teorema de Gauss-Markov.

Na sua publicação inicial, Gauss demonstrou a desigualdade de Gauss (uma desigualdade do tipo Chebyshev) para distribuições unimodais, e apresentou, sem prova formal, uma desigualdade adicional para momentos de quarta ordem (um exemplo específico da desigualdade de Gauss-Winckler). Ele também estabeleceu limites inferiores e superiores para a variância da variância da amostra. Posteriormente, em um segundo artigo, Gauss detalhou os métodos recursivos de mínimos quadrados que desenvolveu de forma independente. O geodesista Friedrich Robert Helmert posteriormente expandiu o trabalho fundamental de Gauss sobre a teoria do erro, levando ao desenvolvimento do modelo de Gauss-Helmert.

Além de suas contribuições para a teoria do erro, Gauss também abordou vários problemas na teoria das probabilidades. Notavelmente, uma anotação de diário revela seu esforço para caracterizar a distribuição assintótica de termos dentro da expansão fracionária contínua de um número aleatório distribuído uniformemente ao longo do intervalo (0,1). Esta distribuição, posteriormente denominada distribuição de Gauss-Kuzmin, surgiu como corolário de sua descoberta a respeito da ergodicidade do mapa de Gauss para frações contínuas. A resolução deste problema por Gauss representa a conquista inaugural na teoria métrica das frações contínuas.

Geodésia

O envolvimento de Gauss com problemas geodésicos começou em 1799, quando ele ajudou Karl Ludwig von Lecoq em tarefas computacionais durante uma pesquisa realizada na Vestfália. Posteriormente, a partir de 1804, ele adquiriu de forma independente habilidades geodésicas práticas enquanto residia em Brunswick e Göttingen.

A partir de 1816, Heinrich Christian Schumacher, um ex-aluno de Gauss e depois professor em Copenhague que dirigiu um observatório em Altona (Holstein), perto de Hamburgo, empreendeu um levantamento de triangulação da península da Jutlândia, estendendo-se de Skagen, no norte, até Lauenburg, no sul. Esta iniciativa serviu de base à produção cartográfica e ao mesmo tempo procurou apurar o arco geodésico que liga os pontos terminais. As medições derivadas de arcos geodésicos foram fundamentais na determinação das dimensões do geóide da Terra, com distâncias de arco mais longas proporcionando maior precisão. Schumacher posteriormente solicitou a Gauss que estendesse este trabalho para o sul, até o Reino de Hanover, uma proposta com a qual Gauss concordou após breve deliberação. Por fim, em maio de 1820, o rei George IV encomendou formalmente a Gauss esse empreendimento.

Medições precisas de arco exigem a determinação astronômica precisa de pelo menos dois pontos dentro da rede geodésica. Gauss e Schumacher aproveitaram o alinhamento fortuito de que os seus respectivos observatórios em Göttingen e Altona (localizados no jardim de Schumacher) partilhavam longitudes quase idênticas. As medições latitudinais foram realizadas usando sua instrumentação combinada, complementada por um setor zenital Ramsden que foi transportado entre os dois observatórios.

Em outubro de 1818, Gauss e Schumacher já haviam estabelecido vários ângulos entre Lüneburg, Hamburgo e Lauenburg para facilitar a conexão geodésica. Dos verões de 1821 a 1825, Gauss supervisionou pessoalmente os esforços de triangulação, estendendo-se da Turíngia, no sul, até o rio Elba, no norte. O maior triângulo medido por Gauss, abrangendo Hoher Hagen, Großer Inselsberg na Floresta da Turíngia e Brocken nas montanhas Harz, media um comprimento lateral máximo de 107 km (66,5 milhas). Dentro da escassamente povoada Charneca de Lüneburg, que não possuía elevações naturais proeminentes ou estruturas artificiais, ele encontrou desafios na identificação de pontos de triangulação apropriados, ocasionalmente necessitando de limpeza de caminhos através da vegetação densa.

Para facilitar o apontamento de sinais, Gauss desenvolveu um novo instrumento, que ele chamou de heliotrópio, com espelhos móveis e um pequeno telescópio projetado para refletir os raios solares em direção a pontos de triangulação. Ele também desenvolveu um dispositivo complementar para esse fim, um sextante acrescido de um espelho adicional, que designou de vice-heliotrópio. Gauss recebeu assistência de soldados do exército de Hanover, incluindo seu filho mais velho, Joseph. Em 1820, Gauss participou da medição da linha de base de Schumacher (a Linha de Base de Braak) na vila de Braak, perto de Hamburgo, posteriormente utilizando essas descobertas para a avaliação da triangulação de Hanover.

Um resultado adicional deste trabalho foi um valor refinado para o achatamento do elipsóide aproximado da Terra. Gauss também formulou a projeção transversal universal de Mercator para a Terra elipsoidal, à qual ele se referiu como uma projeção conforme, para facilitar a representação de dados geodésicos em cartas planares.

Após a conclusão da medição do arco, Gauss iniciou a expansão para oeste da rede de triangulação para pesquisar todo o Reino de Hanover, seguindo um decreto real emitido em 25 de março de 1828. Três oficiais do exército, incluindo o tenente Joseph Gauss, supervisionaram a implementação prática. Gauss administrou pessoalmente a avaliação abrangente dos dados, empregando suas inovações matemáticas, como o método dos mínimos quadrados e o método de eliminação. O projeto foi concluído em 1844, com Gauss apresentando um relatório final ao governo; no entanto, sua metodologia de projeção não foi publicada até 1866.

Em 1828, enquanto investigava variações na latitude, Gauss propôs inicialmente uma aproximação física para a forma da Terra, caracterizando-a como a superfície em qualquer lugar perpendicular à direção gravitacional, um conceito mais tarde denominado geóide por seu aluno de doutorado, Johann Benedict Listing.

Magnetismo e Telegrafia

Geomagnetismo

O interesse de Gauss pelo magnetismo remonta a 1803. Seguindo a conferência de Alexander von Humboldt Durante a conferência de 1828 da Sociedade de Cientistas Naturais e Médicos Alemães em Berlim, Gauss compareceu como convidado de Humboldt, onde conheceu o físico Wilhelm Weber.

Em 1831, por recomendação de Gauss, Weber foi nomeado para a cátedra de física em Göttingen, sucedendo Johann Tobias Mayer. Esta nomeação iniciou uma colaboração produtiva entre eles, que avançou a compreensão do magnetismo e estabeleceu uma unidade de magnetismo definida por massa, carga e tempo. Juntos, eles estabeleceram a Associação Magnética (alemão: Magnetischer Verein), um consórcio internacional de observatórios que realizou medições sincronizadas do campo magnético da Terra em vários locais do mundo entre 1836 e 1841, empregando metodologias padronizadas.

Em 1836, Humboldt, numa carta ao Duque de Sussex, então presidente da Royal Society, defendeu o estabelecimento de uma rede global de estações geomagnéticas dentro dos territórios britânicos, propondo que as medições magnéticas fossem realizadas sob condições padronizadas usando as suas metodologias. Esta iniciativa, juntamente com os esforços de outros proponentes, culminou num empreendimento mundial denominado "Cruzada Magnética", dirigido por Edward Sabine. As datas, horários e intervalos de observação foram predeterminados, com o horário médio de Göttingen servindo como padrão temporal. Sessenta e uma estações em todos os cinco continentes participaram neste esforço internacional. Gauss e Weber co-fundaram uma série de publicações para os resultados, produzindo seis volumes entre 1837 e 1843. As operações da Associação Magnética cessaram em 1843, após a mudança de Weber para Leipzig, uma consequência do caso Göttingen Seven.

Inspirado por Humboldt, Gauss encomendou a construção de um observatório magnético dentro do jardim do observatório existente; no entanto, os cientistas tinham opiniões diferentes sobre a instrumentação. Gauss preferia instrumentos estacionários, acreditando que proporcionavam maior precisão, enquanto Humboldt preferia dispositivos portáteis. Gauss investigou as variações temporais e espaciais da declinação, inclinação e intensidade magnética, distinguindo, ao contrário de Humboldt, entre componentes de intensidade "horizontais" e "verticais". Colaborando com Weber, ele desenvolveu metodologias para medir os componentes de intensidade do campo magnético e projetou um magnetômetro capaz de determinar valores absolutos da intensidade do campo magnético da Terra, indo além das medições relativas dependentes de aparelhos. Este magnetômetro alcançou uma precisão aproximadamente dez vezes maior em comparação com instrumentos anteriores. Através desta pesquisa, Gauss tornou-se o primeiro a derivar uma quantidade física não mecânica usando quantidades mecânicas fundamentais. Ele desenvolveu a análise harmônica esférica como uma técnica para descrever campos potenciais, empregando-a para demonstrar que a maior parte do campo magnético da Terra se origina de fontes internas.

Gauss publicou uma Teoria Geral do Magnetismo Terrestre (1839), que ele considerou uma descrição da natureza fundamental da força magnética. No entanto, Felix Klein caracterizou este trabalho como uma representação esférica harmônica de observações, em vez de uma teoria física abrangente. Esta teoria postulou a existência de precisamente dois pólos magnéticos na Terra, tornando obsoleto o conceito de Hansteen de quatro pólos magnéticos, e permitiu a determinação de suas localizações com considerável precisão.

Gauss influenciou significativamente o campo nascente da geofísica na Rússia, como evidenciado pelo seu ex-aluno Adolph Theodor Kupffer estabelecendo um observatório magnético em São Petersburgo, inspirado no observatório de Göttingen. Ao mesmo tempo, Ivan Simonov iniciou um esforço semelhante em Kazan.

Eletromagnetismo

O interesse de Gauss pelo eletromagnetismo foi despertado pelas descobertas de Hans Christian Ørsted sobre o eletromagnetismo e pelo trabalho de Michael Faraday sobre indução eletromagnética. Colaborando com Weber, Gauss formulou princípios para circuitos elétricos ramificados, que Gustav Kirchhoff mais tarde descobriu, publicou e nomeou de forma independente como leis de circuito de Kirchhoff. Suas investigações conjuntas sobre o eletromagnetismo levaram à construção do primeiro telégrafo eletromecânico em 1833. Weber posteriormente estabeleceu uma conexão entre o observatório e o instituto central de física de Göttingen usando este dispositivo, embora nenhuma outra aplicação comercial tenha sido buscada.

O principal envolvimento teórico de Gauss com o eletromagnetismo manifestou-se em seus esforços para estabelecer leis quantitativas para a indução eletromagnética. Seus cadernos desse período contêm várias formulações pioneiras, incluindo a descoberta da função potencial vetorial, que Franz Ernst Neumann redescobriu independentemente em 1845. Além disso, em janeiro de 1835, Gauss documentou uma "lei de indução" que era equivalente à lei de Faraday, afirmando que a força eletromotriz em um ponto espacial específico corresponde à taxa temporal instantânea de mudança desta função.

Gauss se esforçou para identificar uma lei unificadora para os efeitos de longo alcance da eletrostática, eletrodinâmica, eletromagnetismo e indução, análoga à lei da gravitação de Newton; no entanto, este empreendimento ambicioso terminou no que ele chamou de "fracasso trágico".

Teoria do Potencial

Após a demonstração teórica de Isaac Newton de que a Terra e as estrelas em rotação adotam configurações não esféricas, o problema da atração elipsoidal tornou-se uma área significativa de investigação na astronomia matemática. Em sua publicação inaugural sobre a teoria do potencial, "Theoriatractionis..." (1813), Gauss apresentou uma expressão de forma fechada para a atração gravitacional exercida por um elipsóide triaxial homogêneo em qualquer ponto espacial. Ao contrário das investigações anteriores de Maclaurin, Laplace e Lagrange, a nova solução de Gauss abordou a atração mais diretamente através de uma integral elíptica. Durante este trabalho, ele também estabeleceu e aplicou instâncias específicas do que hoje é conhecido como teorema de Gauss na análise vetorial.

Em seu trabalho de 1840, Teoremas gerais sobre as forças atrativas e repulsivas agindo em proporções recíprocas de distâncias quadráticas, Gauss desenvolveu uma teoria fundamental do potencial magnético, valendo-se das contribuições de Lagrange, Laplace e Poisson. É improvável que ele estivesse ciente das pesquisas anteriores de George Green sobre este tema. No entanto, Gauss foi incapaz de fornecer uma explicação fundamental para o magnetismo ou uma teoria abrangente do magnetismo comparável ao trabalho gravitacional de Newton, que teria permitido a previsão de fenómenos geomagnéticos futuros.

Óptica

Os cálculos de Gauss facilitaram a criação de um novo sistema de lentes acromáticas pelo fabricante de instrumentos Johann Georg Repsold em Hamburgo em 1810. Um desafio significativo, entre outros, foi o conhecimento impreciso do índice de refração e das propriedades de dispersão do vidro empregado. Em um artigo conciso de 1817, Gauss abordou a questão da eliminação da aberração cromática em lentes duplas, calculando os ajustes necessários no formato da lente e nos coeficientes de refração para minimização. Suas contribuições foram reconhecidas pelo oculista Carl August von Steinheil, que, em 1860, introduziu o gibão Steinheil acromático, parcialmente derivado dos cálculos de Gauss. Numerosas descobertas em óptica geométrica estão dispersas pela correspondência e notas pessoais de Gauss.

Em sua publicação de 1840, Dioptrical Investigations, Gauss apresentou a análise sistemática inaugural da formação de imagens dentro de uma aproximação paraxial, um campo agora conhecido como óptica gaussiana. Ele caracterizou os sistemas ópticos sob esta aproximação apenas pelos seus pontos cardeais e derivou a fórmula da lente gaussiana, que permanece aplicável independentemente da espessura da lente.

Mecânica

O trabalho inicial de Gauss em mecânica focou na rotação da Terra. Em 1802, quando o seu colega de universidade Benzenberg conduziu experiências para determinar o desvio perpendicular das massas em queda – um fenómeno agora reconhecido como força de Coriolis – ele solicitou a Gauss que fornecesse cálculos teóricos para estes valores para facilitar a comparação com as suas descobertas empíricas. Posteriormente, Gauss desenvolveu um sistema de equações fundamentais que descreve o movimento, e os resultados derivados demonstraram concordância suficiente com os dados de Benzenberg. Consequentemente, Benzenberg incluiu as considerações teóricas de Gauss como um apêndice na sua publicação detalhando as experiências de queda.

Após a demonstração pública de Foucault da rotação da Terra usando a sua experiência de pêndulo em 1851, Gerling procurou explicações adicionais de Gauss. Esta investigação levou Gauss a projetar um novo aparelho de demonstração apresentando um pêndulo significativamente mais curto que o de Foucault. As oscilações do pêndulo foram monitoradas por meio de um telescópio de leitura, que incorporava uma escala vertical e um espelho fixado ao pêndulo. Este aparelho está documentado na correspondência Gauss-Gerling, e Weber conduziu experiências com ele em 1853, embora nenhum dado destes ensaios tenha sido publicado posteriormente.

O princípio da menor restrição de Gauss, formulado em 1829, foi estabelecido como uma estrutura conceitual geral projetada para integrar os distintos campos da estática e da dinâmica dentro da mecânica. Este princípio sintetizou o princípio de D'Alembert com o princípio do trabalho virtual de Lagrange e exibiu analogias metodológicas com o método dos mínimos quadrados.

Metrologia

Em 1828, Gauss foi nomeado chefe do conselho de pesos e medidas do Reino de Hanôver. Nessa função, ele desenvolveu padrões fundamentais para comprimento e medição. Gauss supervisionou pessoalmente as medições complexas e demoradas e emitiu diretrizes precisas para a construção mecânica dos instrumentos. Sua correspondência com Schumacher, que também atuava em trabalhos metrológicos, revela seus conceitos inovadores para balanças de alta precisão. Em 1841, ele apresentou ao governo os relatórios conclusivos sobre o pé e libra de Hanover. Este esforço ganhou importância internacional após um ato legislativo de 1836 que vinculou formalmente as medições hanoverianas aos padrões ingleses.

Honras e prêmios

A primeira adesão de Gauss a uma sociedade científica foi na Academia Russa de Ciências em 1802. Posteriormente, ele recebeu vários outros membros (categorizados como correspondentes, estrangeiros ou plenos) de instituições de prestígio, incluindo: a Academia de Ciências de Göttingen (1802/1807), a Academia Francesa de Ciências (1804/1820), a Royal Society de Londres (1804), a Real Academia Prussiana de Berlim. (1810); Academia de Ciências, Letras e Belas Artes da Bélgica (1841/1845), a Real Sociedade de Ciências de Uppsala (1843), a Real Academia Irlandesa de Dublin (1843), o Instituto Real dos Países Baixos (1845/1851), a Real Academia Espanhola de Ciências de Madrid (1850), a Sociedade Geográfica Russa (1851), a Academia Imperial de Ciências de Viena (1848), a Sociedade Filosófica Americana (1853), a Cambridge Philosophical Society e a Royal Hollandish Society of Sciences em Haarlem.

Em 1848, tanto a Universidade de Kazan quanto a Faculdade de Filosofia da Universidade de Praga conferiram-lhe a distinção de membro honorário.

Gauss recebeu vários elogios significativos, incluindo o Prêmio Lalande da Academia Francesa de Ciências em 1809 por sua teoria dos planetas e métodos para determinar suas órbitas apenas três observações. Em 1823, recebeu o prêmio da Academia Dinamarquesa de Ciências por suas memórias sobre projeção conforme. Posteriormente, em 1838, a Royal Society concedeu-lhe a Medalha Copley em reconhecimento às "suas invenções e pesquisas matemáticas em magnetismo". Em 1837, Gauss foi designado Cavaleiro da Legião de Honra Francesa. Além disso, após a sua criação em 1842, tornou-se um dos membros inaugurais da Ordem Prussiana Pour le Mérite (classe Civil). Suas outras distinções incluíram a Ordem da Coroa da Vestfália (1810), a Ordem Dinamarquesa de Dannebrog (1817), a Ordem Real Guelfa de Hanover (1815), a Ordem Sueca da Estrela Polar (1844), a Ordem de Henrique, o Leão (1849) e a Ordem Maximiliana da Baviera para Ciência e Arte (1853).

Os Reis de Hanover concederam-lhe os títulos honorários "Hofrath" (1816) e "Geheimer Hofrath" (1845). Em 1949, comemorando seu jubileu de ouro como médico, ele recebeu cidadania honorária de Brunswick e Göttingen. Após sua morte, o rei George V de Hanover encomendou uma medalha com a inscrição "ao Príncipe dos Matemáticos" no verso.

A "Gauss-Gesellschaft Göttingen" (Göttingen Gauss Society) foi criada em 1964 para facilitar a pesquisa sobre a vida e as contribuições de Carl Friedrich Gauss e figuras associadas. Esta sociedade publica a Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft (Comunicações da Sociedade Gauss).

Nomes e comemorações

• Lista de coisas com o nome de Carl Friedrich Gauss

Escritos Selecionados

Matemática e Astronomia

• 1799: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolve posse [Nova prova do teorema de que toda função algébrica integral de uma variável pode ser resolvida em fatores reais de primeiro ou segundo grau]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen."Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolve posse". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 107–134."Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática. 3: 135–142."Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen". Tratados da Sociedade Real de Ciências de Göttingen. 4: 34–35.As quatro provas gaussianas para a decomposição de funções algébricas inteiras em fatores reais de primeiro e segundo graus. (1799–1849) [As quatro provas gaussianas do teorema fundamental da álgebra]. Traduzido por Netto. Leipzig: Wilhelm Engelmann.1890."Berechnung des Osterfestes" [Cálculo da Páscoa]. Correspondência mensal para o avanço da geografia e das ciências celestes (Publicado em alemão). §34§: 121–130.Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun.Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithmeticae e outros artigos sobre teoria dos números. Traduzido por Clarke, Arthur A. (2ª edição corrigida). Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-96254-2."Cálculo da Páscoa Judaica". Correspondência mensal para o avanço da geografia e das ciências celestes (publicada em alemão). 5: 435–437."Sobre os limites dos lugares geocêntricos dos planetas". Correspondência mensal para o avanço da geografia e da ciência celestial (Publicado em alemão).10: 171–193."Theorematis arithmetici demonstratio nova". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math. 16: 69–74.Methodus peculiaris elevationem poli determinandi (Publicado em latim). Göttingen.Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Publicado em latim). Hamburgo: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser.Teoria do movimento dos corpos celestes movendo-se ao redor do Sol em seções cônicas. Traduzido por Davis, Charles Henry. Pequeno, Marrom & Co. 1857.Teoria do movimento dos corpos celestes movendo-se ao redor do Sol em seções cônicas. Reimpressão do original de 1809. (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.) (Latim). Cambridge Library Collection - Mathematics. Cambridge University Press. 2011. ISBN 978-1-108-14311-0.Zbl 1234.01016."Disquisitio de elementis ellipticis Palladis expositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808, 1809". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Math. §34§: 1–26."Summatio quarundam serierum singularium". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática. §34§: 1–40."Disquisitiones generales circa seriem infinitam §78§ + α β γ .1 + etc. {\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma .1}}+{\mbox{etc.}}} ". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math.§4849§: 1–42."Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 39–76."Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrations et ampliationes novae". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática. 4: 3–20."Determinatio atrativo, quam in punctum positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totamorbitam, ratione temporis, quo singulae partes describuntur, uniformiter esset dispertita". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 4: 21–48."Teoria combinaç˜aois observaç˜aoum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática.5: 33–62."Teoria combinaç˜aois observaç˜aoum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 5: 63–90."Solução geral para a tarefa de representar as partes de uma determinada superfície em outra determinada superfície, de tal forma que a imagem se torne semelhante às menores partes do que é representado." Tratados Astronômicos. 3. Altona.Determinação da diferença de latitude entre os observatórios de Göttingen e Altona através de observações no setor zenital de Ramsden [Determinação da diferença de latitude entre os observatórios de Göttingen e Altona por observações com o setor zenital de Ramsden] (em alemão). Göttingen: Vandenhoeck e Ruprecht 1828.Gauss, Carl Friedrich (1828). "Supplementum theoriae combinationis observeum erroribus minimis obnoxiae" [Suplemento à Teoria da Combinação de Observações Menos Sujeitas a Erros]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática [Comentários recentes da Royal Society of Sciences de Göttingen. Aula de matemática.]. 6: 57–98.Bibcode:1828stco.book.....G.Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. (1995). Teoria da combinação de observações menos sujeita a erros. Parte Um, Parte Dois, Suplemento (Clássicos em Matemática Aplicada). Traduzido por G. W. Stewart. Filadélfia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 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  • 1804: Equações fundamentais para o movimento de corpos pesados na Terra (publicado no livro original: Benzenberg, Johann Friedrich. Experiências sobre a lei da queda, sobre a resistência do ar e sobre a rotação da terra [Experiências sobre a lei dos corpos em queda, sobre a resistência do ar e sobre a rotação da terra Terra]. Dortmund: irmãos Mallinckrodt pp. title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book& rft.btitle=Versuche+%C3%BCber+das+Gesetz+des+Falls%2C+%C3%BCber+den+Widerstand+der+Luft+und+%C3%BCber+d ou seja,+Umdrehung+der+Erde&rft.place=Dortmund&rft.pages=363-371&rft.pub=Gebr%C3%BCder+Mallinckr odt&rft.aulast=Benzenberg&rft.aufirst=Johann+Friedrich&rfr_id=info%3Asid%2Fen.</span> Publicação original)</li> <li>1813: <cite class=">"Theoria atraiis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata" [Teoria da atração de corpos esferoidais elípticos homogêneos tratados por um novo método]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Aula. Matemática [Comentários recentes da Royal Society of Sciences de Göttingen. Aula de matemática.]. §3