David Hilbert

David Hilbert (; alemão: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 de janeiro de 1862 - 14 de fevereiro de 1943) foi um proeminente matemático e filósofo da matemática alemão, amplamente reconhecido como uma das figuras mais influentes na área durante sua época.

David Hilbert (; Alemão: [ˈdaːvɪtˈhɪlbɐt]; 23 de janeiro de 1862 - 14 de fevereiro de 1943) foi um matemático e filósofo da matemática alemão e um dos matemáticos mais influentes de sua época. tempo.

As contribuições de Hilbert abrangeram a descoberta e o desenvolvimento de vários conceitos fundamentais, incluindo a teoria invariante, o cálculo de variações, a álgebra comutativa, a teoria algébrica dos números, os fundamentos da geometria, a teoria espectral dos operadores com suas aplicações a equações integrais, a física matemática e os fundamentos da matemática, particularmente a teoria da prova. Ele foi um defensor ferrenho da teoria dos conjuntos e dos números transfinitos de Georg Cantor. Sua apresentação de uma coleção seminal de problemas em 1900 moldou significativamente a trajetória da pesquisa matemática ao longo do século XX. Juntamente com seus alunos, Hilbert desempenhou um papel crucial no estabelecimento do rigor matemático e na criação de ferramentas essenciais utilizadas na física matemática contemporânea. Ele também é reconhecido como cofundador da teoria da prova e da lógica matemática.

Vida

Primeira vida e educação

David Hilbert, o mais velho de dois filhos e único filho de Otto, juiz do condado, e Maria Therese Hilbert (nascida Erdtmann), filha de um comerciante, nasceu na província da Prússia, dentro do Reino da Prússia. Seu local de nascimento é registrado como Königsberg (atual Kaliningrado), com base no relato pessoal de Hilbert, ou Wehlau (conhecido como Znamensk desde 1946), localizado perto de Königsberg, onde seu pai trabalhava na época de seu nascimento. Seu avô paterno, também chamado David Hilbert, ocupou cargos como juiz e Geheimrat. Maria, sua mãe, cultivou interesses em filosofia, astronomia e números primos, enquanto seu pai, Otto, incutiu nele virtudes prussianas. Após a nomeação de seu pai como juiz municipal, a família mudou-se para Königsberg. Sua irmã, Elise, nasceu quando ele tinha seis anos. Hilbert iniciou sua educação formal aos oito anos de idade, dois anos além da idade típica de início.

No final de 1872, Hilbert matriculou-se no Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum), uma escola anteriormente frequentada por Immanuel Kant 140 anos antes. No entanto, após um período insatisfatório, ele foi transferido no final de 1879 e posteriormente se formou no início de 1880 no Wilhelm Gymnasium, que oferecia um currículo mais voltado para as ciências. Após sua formatura no outono de 1880, Hilbert matriculou-se na Universidade de Königsberg, conhecida como "Albertina". No início de 1882, Hermann Minkowski, dois anos mais novo que Hilbert e também natural de Königsberg (embora tivesse passado três semestres em Berlim), retornou à cidade e ingressou na universidade. Hilbert posteriormente formou uma amizade duradoura com o reservado, mas talentoso Minkowski.

Carreira

Em 1884, Adolf Hurwitz ingressou no corpo docente de Göttingen como Extraordinarius, equivalente a professor associado. Isto marcou o início de uma colaboração científica intensa e produtiva entre os três estudiosos, com Minkowski e Hilbert, em particular, exercendo influência mútua ao longo das suas respectivas carreiras científicas. Hilbert defendeu com sucesso sua tese de doutorado em 1885, orientada por Ferdinand von Lindemann. A tese foi intitulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen, que se traduz como "Sobre as propriedades invariantes de formas binárias especiais, em particular as funções harmônicas esféricas."

Hilbert atuou como Privatdozent (professor sênior) na Universidade de Königsberg de 1886 a 1895. Em 1895, por meio da defesa de Felix Klein, garantiu o cargo de professor de matemática na Universidade de Göttingen. O período durante o qual Klein e Hilbert estiveram ativos transformou Göttingen na instituição mais importante da comunidade matemática global. Ele continuou seu mandato lá pelo resto de sua vida.

Escola de Göttingen

Indivíduos notáveis entre os alunos de Hilbert incluíam Hermann Weyl, o campeão de xadrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann serviu como seu assistente. Na Universidade de Göttingen, Hilbert fazia parte de uma comunidade intelectual distinta que incluía vários dos matemáticos mais importantes do século 20, incluindo Emmy Noether e Alonzo Church.

De seus 69 alunos de doutorado em Göttingen, muitos posteriormente alcançaram renome como matemáticos, incluindo (com ano de conclusão de tese): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) e Wilhelm Ackermann (1925). De 1902 a 1939, Hilbert ocupou o cargo de editor do Mathematische Annalen, que era então o principal periódico matemático. Em 1907, foi eleito Membro Internacional da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos.

Vida pessoal

Em 1892, Hilbert casou-se com Käthe Jerosch (1864–1945), filha de um comerciante de Königsberg, que foi caracterizada como "uma jovem franca com uma independência de espírito que combinava com a de Hilbert". Durante seu tempo em Königsberg, eles tiveram um filho, Franz Hilbert (1893–1969). Franz sofreu uma doença mental ao longo da vida e, após sua admissão em uma clínica psiquiátrica, Hilbert teria declarado: "De agora em diante, devo me considerar como não tendo um filho." Essa postura angustiava profundamente Käthe.

Hilbert considerava o matemático Hermann Minkowski seu amigo mais próximo e de maior confiança.

Hilbert foi batizado e criado como calvinista dentro da Igreja Evangélica Prussiana. Posteriormente, ele partiu da Igreja e adotou uma visão de mundo agnóstica. Ele argumentou ainda que a verdade matemática existia independentemente da existência divina ou de outras pressuposições a priori. Respondendo às críticas de Galileu Galilei por não defender as suas convicções heliocêntricas, Hilbert afirmou: "Mas [Galileu] não era um idiota. Só um idiota poderia acreditar que a verdade científica precisa do martírio; isso pode ser necessário na religião, mas os resultados científicos provam-se no devido tempo."

Vida mais avançada

Semelhante a Albert Einstein, Hilbert manteve associações estreitas com o Grupo de Berlim, cujos principais fundadores, incluindo Kurt Grelling, Hans Reichenbach e Walter Dubislav, foram seus alunos em Göttingen.

Aproximadamente em 1925, Hilbert contraiu anemia perniciosa, uma deficiência de vitaminas que era então intratável e se manifestava principalmente como exaustão. Seu assistente, Eugene Wigner, caracterizou Hilbert como experimentando "enorme fadiga" e parecendo "bastante velho". Wigner observou ainda que, mesmo após um diagnóstico e tratamento subsequente, Hilbert "dificilmente era um cientista depois de 1925, e certamente não era um Hilbert". Em 1932, Hilbert foi eleito membro da Sociedade Filosófica Americana. A cadeira de Hilbert após sua aposentadoria em 1930; Emmy Noether; e Edmundo Landau. Paul Bernays, outro indivíduo obrigado a deixar a Alemanha, colaborou com Hilbert na lógica matemática e foi coautor do significativo trabalho Grundlagen der Mathematik, que acabou sendo publicado em dois volumes em 1934 e 1939. Esta publicação serviu como uma continuação do volume de Hilbert-Ackermann, Principles of Mathematical Logic (1928). Helmut Hasse sucedeu Hermann Weyl.

Aproximadamente um ano após o expurgo, Hilbert participou de um banquete onde se sentou ao lado de Bernhard Rust, o recém-nomeado Ministro da Educação. Rust perguntou se “o Instituto de Matemática realmente sofreu tanto com a saída dos judeus”. A resposta comovente de Hilbert foi: "Sofreu? Não existe mais, não é?"

Morte

Até a morte de Hilbert em 1943, o regime nazista havia substituído quase inteiramente o corpo docente da universidade, em grande parte devido à demissão de indivíduos que eram judeus ou casados ​​com judeus. Seu funeral teve pouca participação, com menos de uma dúzia de pessoas presentes, incluindo apenas dois colegas acadêmicos, um dos quais era Arnold Sommerfeld, físico teórico e nativo de Königsberg. A consciência pública de seu falecimento surgiu apenas vários meses após sua morte.

O epitáfio inscrito na lápide de Hilbert em Göttingen apresenta as famosas declarações que ele proferiu no culminar de seu discurso de aposentadoria à Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães em 8 de setembro de 1930. Essas palavras foram oferecidas como uma réplica à máxima latina: "Ignoramus et ignorabimus", que se traduz como "Não sabemos e não saberemos":

No dia anterior ao pronunciamento dessas frases por Hilbert na reunião anual de 1930 da Sociedade de Cientistas e Médicos Alemães, Kurt Gödel, durante uma mesa redonda na Conferência sobre Epistemologia realizada simultaneamente com as reuniões da Sociedade, apresentou provisoriamente a formulação inicial de seu teorema da incompletude. Os teoremas da incompletude de Gödel demonstram que mesmo sistemas axiomáticos fundamentais, como a aritmética de Peano, são inerentemente autocontraditórios ou abrangem proposições lógicas que não podem ser provadas ou refutadas dentro dos limites desse sistema.

Contribuições para a Matemática e a Física

Resolução do problema de Gordan

A pesquisa inicial de Hilbert sobre funções invariantes culminou em 1888 com a apresentação de seu renomado teorema da finitude. Duas décadas antes, Paul Gordan havia estabelecido o teorema relativo à finitude dos geradores para formas binárias, empregando uma metodologia computacional complexa. As tentativas de estender a abordagem de Gordan para funções envolvendo mais de duas variáveis ​​não tiveram sucesso devido à imensa complexidade computacional. Para abordar o que ficou conhecido em certos círculos acadêmicos como o Problema de Gordon, Hilbert reconheceu a necessidade de adotar uma estratégia totalmente diferente. Consequentemente, ele formulou o teorema da base de Hilbert, que demonstrou a existência de um conjunto finito de geradores para os invariantes da quântica em qualquer número de variáveis. Porém, esta prova foi abstrata, estabelecendo a existência sem fornecer um método construtivo para identificar tal conjunto; baseava-se na lei do terceiro excluído dentro de uma extensão infinita.

Hilbert submeteu suas descobertas à revista Mathematische Annalen. Gordan, que serviu como autoridade residente da revista em teoria invariante para o Mathematische Annalen, não conseguiu compreender a natureza inovadora do teorema de Hilbert e posteriormente rejeitou o manuscrito, citando uma exposição insuficientemente abrangente. Seu comentário afirmou:

Em contrapartida, Klein reconheceu a importância do trabalho e garantiu sua publicação sem quaisquer revisões. Encorajado por Klein, Hilbert expandiu a sua metodologia num artigo subsequente, oferecendo estimativas para o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e submeteu-a novamente aos Annalen. Ao revisar o manuscrito, Klein comunicou a Hilbert:

Sem dúvida este é o trabalho mais importante sobre álgebra geral que o Annalen já publicou.

Posteriormente, depois que a utilidade do método de Hilbert ganhou aceitação universal, o próprio Gordan comentou:

Eu me convenci de que até a teologia tem seus méritos.

Apesar de seus sucessos, a natureza inerente da prova de Hilbert gerou desafios imprevistos. Embora Kronecker eventualmente tenha cedido, Hilbert mais tarde abordou críticas semelhantes, afirmando que "muitas construções diferentes são subordinadas a uma ideia fundamental" - ou, como Reid articulou, "Através de uma prova de existência, Hilbert foi capaz de obter uma construção"; assim, “a prova” (ou seja, os símbolos escritos) era “o objeto”. Esta perspectiva não convenceu universalmente. Embora a morte de Kronecker tenha ocorrido logo depois, sua filosofia construtivista persistiu através da emergente "escola" intuicionista liderada pelo jovem Brouwer, causando considerável sofrimento a Hilbert em seus últimos anos. Na verdade, Hilbert testemunhou seu "aluno talentoso" Weyl abraçar o intuicionismo, um desenvolvimento que "perturbou Hilbert pelo fascínio de seu ex-aluno pelas ideias de Brouwer, que despertou em Hilbert a memória de Kronecker". Brouwer, como intuicionista, opôs-se especificamente à aplicação da Lei do Médio Excluído a conjuntos infinitos, um princípio que Hilbert empregou. A resposta de Hilbert foi:

Tirar o Princípio do Médio Excluído do matemático... é o mesmo que... proibir o boxeador de usar os punhos.

Nullstellensatz

Em álgebra, um corpo é definido como algebricamente fechado se todo polinômio definido sobre ele possui uma raiz dentro desse corpo. Com base nesse conceito, Hilbert estabeleceu um critério para determinar quando um conjunto de ${\displaystyle (p_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }}$ polinômios em ${\displaystyle n}$ compartilham uma raiz comum. Esta condição é válida precisamente quando não há polinômios ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{k}}$ e índices ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ satisfazendo a seguinte equação:

§67§ = ∑ j = §1920§ k p λ j ( x → ) q j ( x → ) {\displaystyle 1=\sum _{j=1}^{k}p_{\lambda _{j}}({\vec {x}})q_{j}({\vec {x}})} .

Esta descoberta significativa é formalmente reconhecida como o teorema da raiz de Hilbert, também conhecido pela sua designação alemã, "Hilberts Nullstellensatz". Além disso, Hilbert demonstrou uma correspondência bijetiva entre ideais evanescentes e seus conjuntos evanescentes associados, ligando especificamente variedades afins com ideais radicais dentro de ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.

Curva

Em 1890, Giuseppe Peano introduziu a primeira curva de preenchimento de espaço historicamente documentada em um artigo publicado no Mathematische Annalen. Posteriormente, Hilbert desenvolveu sua própria variante desta curva, que atualmente é conhecida como curva de Hilbert. Aproximações iterativas desta curva são geradas com base nas regras de substituição ilustradas na figura inicial desta seção. A própria curva é definida como o limite pontual dessas aproximações.

Axiomatização da Geometria

Em 1899, Hilbert publicou Grundlagen der Geometrie, traduzido como Fundamentos da Geometria, que propunha um conjunto formal de axiomas, conhecidos como axiomas de Hilbert, para substituir os postulados tradicionais de Euclides. Esses novos axiomas abordaram as fraquezas identificadas no trabalho de Euclides, que ainda era amplamente utilizado como livro didático na época. Definir com precisão os axiomas de Hilbert requer referência à história da publicação de Grundlagen, já que Hilbert os revisou e modificou várias vezes. A monografia inicial foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, à qual Hilbert anexou V.2, o Axioma da Completude. Uma tradução para o inglês, autorizada por Hilbert e protegida por direitos autorais em 1902 por E.J. Townsend incorporou as alterações da edição francesa e é, portanto, considerada uma tradução da segunda edição. Hilbert continuou a introduzir alterações no texto, resultando em várias edições alemãs, sendo a sétima a última publicada em vida. As edições subsequentes apareceram após a sétima, embora o texto central tenha permanecido praticamente sem revisão.

A metodologia de Hilbert marcou uma mudança fundamental em direção à abordagem axiomática moderna, um desenvolvimento antecipado pelo trabalho de Moritz Pasch em 1882. Sob este paradigma, os axiomas não são considerados verdades evidentes. Embora a geometria possa preocupar-se com coisas que evocam intuições fortes, não é essencial atribuir significado explícito a conceitos indefinidos. Elementos como pontos, linhas e planos, entre outros, poderiam, como Hilbert teria sugerido a Schoenflies e Kötter, ser substituídos por objetos como mesas, cadeiras ou copos de cerveja. O foco, em vez disso, está em seus relacionamentos definidos. Hilbert inicialmente enumerou os conceitos indefinidos: ponto, linha, plano, a relação de "deitar sobre" (que se aplica entre pontos e linhas, pontos e planos, e linhas e planos), intermediação, congruência de pares de pontos (segmentos de linha) e congruência de ângulos. Esses axiomas integram a geometria plana euclidiana e a geometria sólida em um sistema unificado.

Vinte e três problemas

No Congresso Internacional de Matemáticos em Paris, em 1900, Hilbert apresentou uma lista altamente influente de 23 problemas não resolvidos. Esta compilação é amplamente considerada como a coleção de problemas abertos mais bem-sucedida e profundamente considerada já formulada por um matemático individual.

Seguindo seu trabalho fundamental em geometria clássica, Hilbert poderia ter estendido sua abordagem para toda a matemática. Sua metodologia divergiu das perspectivas "fundacionistas" posteriores de Russell-Whitehead e da abordagem "enciclopedista" de Nicolas Bourbaki, bem como de seu contemporâneo Giuseppe Peano. Os problemas de Hilbert foram projetados para envolver a comunidade matemática mais ampla em aspectos cruciais de domínios matemáticos significativos.

O conjunto de problemas foi apresentado durante uma palestra intitulada "Os Problemas da Matemática", proferida no Segundo Congresso Internacional de Matemáticos em Paris. As observações introdutórias de Hilbert para este discurso afirmaram:

Quem de nós não ficaria feliz em levantar o véu atrás do qual o futuro está escondido; lançar um olhar sobre os próximos avanços da nossa ciência e sobre os segredos do seu desenvolvimento durante os séculos futuros? Quais serão os objetivos específicos pelos quais os principais espíritos matemáticos das gerações vindouras se esforçarão? Que novos métodos e novos fatos no amplo e rico campo do pensamento matemático os novos séculos revelarão?

Hilbert apresentou menos da metade desses problemas no Congresso, com sua publicação inicial aparecendo nos anais do Congresso. Numa publicação subsequente, ele expandiu esta visão geral, levando à formulação definitiva dos agora canônicos 23 Problemas de Hilbert. O texto completo permanece significativo, pois a interpretação destas questões ainda pode ser objeto de debate quanto ao número de problemas que foram definitivamente resolvidos.

Alguns destes problemas foram resolvidos de forma relativamente rápida. Outros têm sido objecto de ampla discussão ao longo do século XX, sendo alguns actualmente considerados demasiado abertos para alcançar um encerramento definitivo. Um subconjunto desses problemas continua a representar desafios significativos.

A seguir estão os títulos dos 23 problemas de Hilbert, conforme apareceram na tradução de 1902 publicada no Bulletin of the American Mathematical Society.

1. O problema de Cantor do número cardinal do continuum.

2. A compatibilidade dos axiomas aritméticos.

3. A igualdade dos volumes de dois tetraedros de bases iguais e altitudes iguais.

O quarto problema aborda o conceito de linha reta como a distância mais curta entre dois pontos.

O quinto problema diz respeito à teoria de Lie dos grupos de transformação contínua, especificamente sem presumir a diferenciabilidade das funções que definem esses grupos.

O sexto problema envolve a formalização matemática de axiomas físicos.

O sétimo problema investiga as propriedades de irracionalidade e transcendência de números específicos.

O oitavo problema centra-se na distribuição de números primos, abrangendo nomeadamente a hipótese de Riemann.

O nono problema procura estabelecer uma prova para a lei de reciprocidade mais generalizada dentro de qualquer corpo numérico.

O décimo problema visa determinar a solubilidade das equações diofantinas.

O décimo primeiro problema aborda formas quadráticas que incorporam coeficientes numéricos algébricos arbitrários.

O décimo segundo problema envolve estender o teorema de Kronecker, que pertence aos campos abelianos, para abranger qualquer domínio algébrico da racionalidade.

O décimo terceiro problema explora a impossibilidade de resolver a equação geral do sétimo grau usando funções restritas a apenas dois argumentos.

O décimo quarto problema requer a demonstração da finitude de sistemas completos de funções específicos.

O décimo quinto problema exige uma estrutura fundamental rigorosa para o cálculo enumerativo de Schubert.

O décimo sexto problema diz respeito à topologia de curvas e superfícies algébricas.

O décimo sétimo problema envolve expressar formas definidas como somas de quadrados.

O décimo oitavo problema investiga a construção do espaço usando poliedros congruentes.

O décimo nono problema questiona se as soluções para problemas regulares no cálculo de variações são invariavelmente analíticas.

O vigésimo problema aborda a teoria geral dos valores de contorno, especificamente problemas de valores de contorno em equações diferenciais parciais.

O vigésimo primeiro problema procura provar a existência de equações diferenciais lineares possuindo um grupo de monodromia predefinido.

O vigésimo segundo problema envolve a uniformização das relações analíticas através da aplicação de funções automórficas.

O vigésimo terceiro problema propõe o avanço das metodologias no cálculo de variações.

Formalismo

Em meados do século, o influente conjunto de problemas de Hilbert foi amplamente reconhecido como um manifesto fundamental, abrindo caminho para o surgimento da escola formalista, uma filosofia matemática proeminente do século XX. Os formalistas postulam que a matemática constitui a manipulação de símbolos governados por regras formais estabelecidas, representando assim um esforço intelectual autônomo.

Programa

Em 1920, Hilbert introduziu uma iniciativa de pesquisa metamatemática, posteriormente denominada programa de Hilbert, que visava estabelecer a matemática sobre uma estrutura lógica robusta e abrangente. Ele teorizou que este objetivo poderia ser alcançado demonstrando dois princípios-chave:

1. Primeiro, que toda a matemática poderia ser derivada de um sistema axiomático finito precisamente selecionado; e
2. Em segundo lugar, que tal sistema axiomático poderia ser comprovadamente consistente através de métodos como o cálculo épsilon.

A formulação desta proposta por Hilbert parece ter sido motivada por considerações técnicas e filosóficas. Refletiu notavelmente a sua oposição ao conceito conhecido como "ignorabimus", um debate intelectual significativo no pensamento alemão contemporâneo, que se originou com Emil du Bois-Reymond.

Este programa permanece identificável dentro da filosofia predominante da matemática, comumente referida como formalismo. Por exemplo, o grupo Bourbaki implementou uma iteração modificada e selectiva deste programa, considerando-o adequado para os seus duplos objectivos: (a) compilar textos fundamentais abrangentes, e (b) defender o método axiomático como instrumento de investigação. Embora esta abordagem tenha se mostrado bem-sucedida e impactante em relação às contribuições de Hilbert para a álgebra e a análise funcional, ela não ressoou da mesma forma com seu envolvimento na física e na lógica.

Em 1919, Hilbert articulou:

Não estamos discutindo arbitrariedade em nenhum contexto. A matemática não se assemelha a um jogo onde as tarefas são definidas por regras estabelecidas arbitrariamente. Em vez disso, constitui um sistema conceptual dotado de uma necessidade inerente, que dita a sua natureza e exclui qualquer alternativa.

As perspectivas de Hilbert sobre os princípios fundamentais da matemática foram divulgadas em sua publicação de dois volumes, *Grundlagen der Mathematik*.

Contribuições de Gödel

Hilbert e seus colaboradores estavam profundamente comprometidos com este ambicioso empreendimento. No entanto, o seu esforço para sustentar a matemática axiomatizada com princípios conclusivos, destinados a eliminar ambiguidades teóricas, acabou por se revelar infrutífero. Gödel demonstrou conclusivamente que qualquer sistema formal consistente capaz de expressar a aritmética fundamental não pode estabelecer a sua própria completude apenas através dos seus axiomas intrínsecos e regras de inferência. Seu teorema da incompletude de 1931 revelou que o programa abrangente de Hilbert, conforme originalmente concebido, era inatingível. Especificamente, o segundo princípio do programa de Hilbert não pode ser integrado de forma coerente com o primeiro, desde que o sistema axiomático seja genuinamente finitário.

No entanto, os avanços subsequentes na teoria da prova clarificaram significativamente o conceito de consistência, particularmente no que diz respeito às teorias centrais para a investigação matemática. O trabalho fundamental de Hilbert iniciou esta trajetória de esclarecimento na lógica. Posteriormente, a necessidade de compreender as contribuições de Gödel estimulou a evolução da teoria da recursão, que então estabeleceu a lógica matemática como uma disciplina acadêmica autônoma na década de 1930. Além disso, os princípios fundamentais para a ciência da computação teórica posterior, nomeadamente através das contribuições de Alonzo Church e Alan Turing, emergiram diretamente deste discurso intelectual.

Análise Funcional

Aproximadamente em 1909, Hilbert dedicou seus esforços à investigação de equações diferenciais e integrais, produzindo implicações diretas em áreas significativas da análise funcional moderna. Para facilitar essas investigações, Hilbert conceituou um espaço euclidiano de dimensão infinita, posteriormente designado como espaço de Hilbert. Os seus esforços neste domínio analítico forneceram uma base crucial para contribuições substanciais para a matemática da física ao longo das duas décadas seguintes, embora a partir de uma perspectiva imprevista. Mais tarde, Stefan Banach expandiu este conceito definindo espaços de Banach. Os espaços de Hilbert constituem uma classe central de entidades dentro da análise funcional, particularmente relevante para a teoria espectral de operadores lineares autoadjuntos, um campo que se desenvolveu em torno deles ao longo do século XX.

Física

Antes de 1912, Hilbert atuava principalmente como um matemático puro. Quando Hermann Minkowski, um colega matemático e amigo, planejou um Even, Minkowski parece ter sido fundamental na maioria das explorações físicas de Hilbert antes de 1912, incluindo o seminário colaborativo sobre o assunto em 1905.

Em 1912, três anos após a morte de Minkowski, Hilbert mudou seu foco acadêmico quase exclusivamente para a física. Ele conseguiu um "tutor de física" pessoal e iniciou estudos em teoria cinética dos gases, progredindo para a teoria elementar da radiação e a teoria molecular da matéria. Mesmo após a eclosão da guerra em 1914, ele manteve seminários e aulas que examinaram meticulosamente os trabalhos de Albert Einstein e de outros físicos contemporâneos.

Em 1907, Einstein já havia articulado os princípios fundamentais da teoria da gravidade, mas posteriormente trabalhou durante quase oito anos para finalizar sua formulação completa. O seu encontro com Emmy Noether em Göttingen revelou-se fundamental para este avanço. No início do verão de 1915, o interesse de Hilbert pela física convergiu para a relatividade geral, o que o levou a convidar Einstein a Göttingen para uma série de palestras de uma semana sobre o tema. Einstein foi recebido com entusiasmo. Durante o verão, Einstein tomou conhecimento do trabalho paralelo de Hilbert nas equações de campo, o que intensificou seus próprios esforços de pesquisa. Em novembro de 1915, Einstein publicou vários artigos culminando em As Equações de Campo da Gravitação. Quase simultaneamente, Hilbert publicou "The Foundations of Physics", que apresentava uma derivação axiomática das equações de campo. Hilbert reconheceu consistentemente Einstein como o conceitualizador original da teoria, e nenhuma disputa pública sobre a prioridade das equações de campo jamais surgiu entre os dois estudiosos durante suas vidas. Além disso, a pesquisa de Hilbert antecipou e facilitou vários avanços na formalização matemática da mecânica quântica. Suas contribuições foram fundamentais para o trabalho de Hermann Weyl e John von Neumann na demonstração da equivalência matemática entre a mecânica matricial de Werner Heisenberg e a equação de onda de Erwin Schrödinger. Além disso, o espaço de Hilbert de mesmo nome desempenha um papel significativo na teoria quântica. Em 1926, von Neumann demonstrou conclusivamente que se os estados quânticos fossem conceituados como vetores dentro do espaço de Hilbert, eles se alinhariam tanto com a teoria da função de onda de Schrödinger quanto com as matrizes de Heisenberg.

Hilbert dedicou-se a incutir o rigor matemático no campo da física. Apesar da forte dependência da física na matemática avançada, os profissionais muitas vezes exibiam falta de precisão na sua aplicação. Para um matemático puro como Hilbert, esta imprecisão era ao mesmo tempo esteticamente desagradável e intelectualmente opaca. À medida que aprofundou sua compreensão da física e dos métodos matemáticos empregados pelos físicos, ele formulou uma teoria matemática coesa para suas observações, particularmente no domínio das equações integrais. Quando seu colega Richard Courant foi o autor do trabalho seminal Methoden der mathematischen Physik (Métodos de Física Matemática), incorporando alguns dos conceitos de Hilbert, ele incluiu o nome de Hilbert como co-autor, apesar da falta de contribuição direta de Hilbert para o manuscrito. Hilbert observou a famosa observação: "A física é muito difícil para os físicos", o que implica que a sofisticação matemática necessária muitas vezes excedia seu alcance; a publicação Courant–Hilbert posteriormente facilitou seu envolvimento com essas ferramentas matemáticas complexas.

Teoria dos Números

Hilbert avançou significativamente na unificação da teoria algébrica dos números através de seu tratado de 1897, Zahlbericht (literalmente, "relatório sobre números"). Ele também resolveu com sucesso um problema substancial de teoria dos números inicialmente colocado por Waring em 1770. Semelhante ao seu teorema da finitude, Hilbert empregou uma prova de existência, demonstrando a certeza das soluções sem fornecer um método construtivo para sua derivação. Depois disso, suas publicações subsequentes sobre o assunto foram limitadas; no entanto, o surgimento de formas modulares de Hilbert na dissertação de um estudante associou ainda mais seu nome a uma área proeminente de pesquisa.

Ele propôs uma série de conjecturas relativas à teoria de campos de classe. Esses conceitos provaram ser profundamente influentes, e as contribuições duradouras de Hilbert são reconhecidas através da nomenclatura do campo de classe de Hilbert e do símbolo de Hilbert dentro da teoria do campo de classe local. A maioria desses resultados foi fundamentada em 1930, em grande parte devido ao trabalho de Teiji Takagi.

Embora Hilbert não se concentrasse nas áreas centrais da teoria analítica dos números, seu nome está associado à conjectura de Hilbert-Pólya, uma conexão enraizada em origens anedóticas. Ernst Hellinger, um ex-aluno de Hilbert, certa vez contou a André Weil que Hilbert havia declarado em um seminário durante o início de 1900 sua expectativa de que a prova da hipótese de Riemann emergiria como consequência da pesquisa de Fredholm sobre equações integrais apresentando um núcleo simétrico.

Funciona

Seus trabalhos acadêmicos coletados, intitulados Gesammelte Abhandlungen, foram submetidos a diversas publicações. As versões iniciais de seus artigos continham inúmeras imprecisões técnicas de gravidade variável. Na primeira publicação da coleção, esses erros foram corrigidos e foi determinado que tais correções poderiam ser implementadas sem a necessidade de grandes alterações nas declarações dos teoremas, com a singular exceção de uma suposta prova para a hipótese do contínuo. No entanto, os erros eram suficientemente difundidos e significativos que Olga Taussky-Todd precisou de três anos para concluir as revisões necessárias.

Conceitos

Citações

Literatura Primária em Tradução para o Inglês

Literatura primária traduzida para o inglês

• Ewald, William B., ed. (1996). De Kant a Hilbert: um livro fonte sobre os fundamentos da matemática. Oxford, Reino Unido: Oxford University Press.
• 1922. "Os Novos Fundamentos da Matemática: Primeiro Relatório", 1115–1133.
• 1923. "Os fundamentos lógicos da matemática", 1134–1147.
• 1930. "Lógica e o Conhecimento da Natureza", 1157–1165.
• 1931. "Os Fundamentos da Teoria Elementar dos Números", 1148–1156.
• 1904. "Sobre os fundamentos da lógica e da aritmética", 129–138.
• 1925. "No Infinito", 367–392.
• 1927. "The Foundations of Mathematics", com comentários de Weyl e um apêndice de Bernays, 464–489.