Leonhard Euler

Leonhard Euler (OY-lər; 15 de abril de 1707 - 18 de setembro de 1783) foi um polímata suíço cuja especialização abrangia matemática, física, astronomia, lógica, geografia, teoria musical e engenharia. Ele foi pioneiro nos campos da teoria dos grafos e topologia e fez contribuições significativas em inúmeras outras disciplinas matemáticas, incluindo teoria analítica dos números, análise complexa e cálculo infinitesimal. Além disso, Euler estabeleceu uma parte substancial da terminologia e notação matemática contemporânea, conceituando notavelmente a função matemática. Seu extenso trabalho também abrangeu mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria musical. Euler foi elogiado como um "gênio universal", possuindo "poderes quase ilimitados de imaginação, dons intelectuais e memória extraordinária". A maior parte de sua vida adulta foi passada em São Petersburgo, na Rússia, e em Berlim, que na época era a capital da Prússia.

Leonhard Euler (OY-lər; 15 de abril de 1707 – 18 de setembro de 1783) foi um polímata suíço que atuou como matemático, físico, astrônomo, lógico, geógrafo, teórico musical e engenheiro. Ele fundou os estudos da teoria dos grafos e da topologia e fez descobertas influentes em muitos outros ramos da matemática, como a teoria analítica dos números, a análise complexa e o cálculo infinitesimal. Ele também introduziu grande parte da terminologia e notação matemática moderna, incluindo a noção de função matemática. Ele é conhecido por seu trabalho em mecânica, dinâmica de fluidos, óptica, astronomia e teoria musical. Euler foi chamado de "gênio universal" que "estava totalmente equipado com poderes quase ilimitados de imaginação, dons intelectuais e memória extraordinária". Ele passou a maior parte de sua vida adulta em São Petersburgo, na Rússia, e em Berlim, então capital da Prússia.

Euler é creditado por popularizar a letra grega ${\displaystyle \pi }$ (pi minúsculo) para denotar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Ele também foi pioneiro no uso da notação ${\displaystyle f(x)}$ para valores de função, a letra ${\displaystyle i}$ para a unidade imaginária −<!-- − --> §6667§ {\displaystyle {\sqrt {-1}}} , a letra grega ${\displaystyle \Sigma }$ (sigma maiúsculo) para somatórios e a letra grega ${\displaystyle \Delta }$ (delta maiúsculo) para diferenças finitas. Além disso, ele estabeleceu a convenção de usar letras minúsculas para os lados dos triângulos e letras maiúsculas para os ângulos. Ele também forneceu a definição contemporânea da constante ${\displaystyle e}$, que serve como base do logaritmo natural e agora é conhecido como número de Euler. As contribuições de Euler estenderam-se à matemática aplicada e à engenharia, nomeadamente através das suas pesquisas sobre navios, que auxiliaram a navegação; seu trabalho em três volumes sobre óptica, fundamental para o desenvolvimento de microscópios e telescópios; e suas investigações sobre flexão de vigas e cargas críticas de pilares.

Euler é reconhecido como o criador da teoria dos grafos, um campo que ele desenvolveu parcialmente para resolver o problema das Sete Pontes de Königsberg, que também é considerada a aplicação prática inaugural da topologia. Entre suas inúmeras realizações, ele ganhou renome por resolver vários problemas anteriormente intratáveis ​​na teoria e análise dos números, notadamente o célebre problema de Basileia. Além disso, Euler é creditado pela descoberta de que, para qualquer poliedro sem furos, a soma de seus vértices e faces, menos suas arestas, é consistentemente igual a 2; este valor é agora amplamente reconhecido como a característica de Euler. Dentro da física, Euler rearticulou as leis do movimento de Isaac Newton em um novo conjunto de princípios em seu tratado de dois volumes, Mechanica, fornecendo assim uma explicação mais abrangente para a dinâmica dos corpos rígidos. Ele também avançou no estudo das deformações elásticas em objetos sólidos. Além disso, Euler formulou as equações diferenciais parciais que governam o movimento de fluidos invíscidos e estabeleceu os fundamentos matemáticos da teoria do potencial.

Euler é amplamente considerado o contribuidor mais prolífico nos anais da matemática e da ciência, e é reconhecido como o matemático proeminente do século XVIII. Sua extensa obra, composta por 866 publicações e sua vasta correspondência, foi compilada na Opera Omnia Leonhard Euler. Postumamente, vários matemáticos eminentes reconheceram seu profundo significado na disciplina: Pierre-Simon Laplace declarou a famosa declaração: "Leia Euler, leia Euler, ele é o mestre de todos nós"; da mesma forma, Carl Friedrich Gauss afirmou: "O estudo das obras de Euler continuará a ser a melhor escola para os diferentes campos da matemática, e nada mais poderá substituí-lo."

Início da vida

Nascido em Basileia em 15 de abril de 1707, Leonhard Euler era filho de Paulo III Euler, um pastor da Igreja Reformada, e de Marguerite (nascida Brucker), cuja linhagem incluía vários estudiosos clássicos proeminentes. Sendo o mais velho de quatro filhos, ele tinha duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena, e um irmão mais novo, Johann Heinrich. Pouco depois do nascimento de Euler, sua família mudou-se de Basileia para Riehen, na Suíça, onde seu pai se tornou pastor da igreja local e Leonhard passou a maior parte de sua infância.

A educação matemática inicial de Euler foi fornecida por seu pai, que já havia estudado com Jacob Bernoulli na Universidade de Basileia. Com aproximadamente oito anos, Euler mudou-se para a residência da avó materna e foi matriculado na escola de latim em Basileia. Ao mesmo tempo, recebeu instrução particular de Johannes Burckhardt, um jovem teólogo com profundo interesse em matemática.

Em 1720, aos treze anos de idade, Euler matriculou-se na Universidade de Basileia, uma matrícula antecipada não incomum para o período. Seu curso elementar de matemática foi ministrado por Johann Bernoulli, o irmão mais novo do falecido Jacob Bernoulli, que já havia instruído o pai de Euler. Johann Bernoulli e Euler posteriormente se conheceram mais de perto, com Euler contando mais tarde em sua autobiografia:

O célebre professor Johann Bernoulli [...] encontrou particular satisfação em orientar meu avanço nas ciências matemáticas. Ele recusou aulas particulares, no entanto, citando sua agenda lotada. No entanto, ele me deu um conselho muito mais benéfico: adquirir de forma independente e trabalhar diligentemente em livros matemáticos mais desafiadores. Caso eu encontrasse alguma objeção ou dificuldade, ele me oferecia acesso aberto todos os sábados à tarde, comentando gentilmente sobre meus problemas coletados. Esta abordagem rendeu uma vantagem tão desejada que, após a resolução de uma objeção, dez outras se dissiparam imediatamente, o que é certamente o método ideal para alcançar um progresso bem-sucedido nas ciências matemáticas.

Com o apoio de Bernoulli, Euler garantiu a aprovação de seu pai para seguir a carreira de matemático em vez de ingressar no clero.

Em 1723, Euler recebeu o título de Mestre em Filosofia por uma dissertação comparando os princípios filosóficos de René Descartes e Isaac Newton. Posteriormente, matriculou-se na faculdade de teologia da Universidade de Basileia.

Em 1726, Euler concluiu sua dissertação, intitulada De Sono, que enfocava a propagação do som; no entanto, sua tentativa de garantir uma posição na Universidade de Basileia com este trabalho não teve sucesso. O ano seguinte, 1727, marcou sua entrada inicial no concurso de prêmios da Academia de Paris, um evento anual (mais tarde bienal) estabelecido em 1720. O desafio daquele ano envolveu determinar o posicionamento ideal dos mastros dos navios. Pierre Bouguer, posteriormente reconhecido como "o pai da arquitetura naval", conquistou o primeiro prêmio, enquanto Euler garantiu o segundo lugar. Ao longo de sua carreira, Euler participou desta competição quinze vezes, alcançando a vitória em doze ocasiões.

Carreira

Primeiro Período de São Petersburgo (1727–1741)

Em 1725, os filhos de Johann Bernoulli, Daniel e Nicolaus, começaram a servir na Academia Imperial Russa de Ciências em São Petersburgo, tendo assegurado a Euler uma recomendação para um cargo futuro. Tragicamente, em 31 de julho de 1726, Nicolau sucumbiu à apendicite depois de menos de um ano na Rússia. Após Daniel assumir o papel de seu irmão na divisão de matemática/física, ele defendeu que seu amigo Euler ocupasse o cargo de fisiologia que ele havia deixado vago. Euler aceitou prontamente a oferta em novembro de 1726, embora tenha adiado sua viagem para São Petersburgo enquanto buscava, sem sucesso, um cargo de professor de física na Universidade de Basileia. Euler chegou a São Petersburgo em maio de 1727. Posteriormente, foi promovido de um cargo júnior no departamento médico da academia para um cargo no departamento de matemática. Residindo com Daniel Bernoulli, ele se envolveu em um trabalho colaborativo próximo. Euler rapidamente adquiriu proficiência em russo, assimilou-se à vida em São Petersburgo e assumiu uma função adicional como médico na Marinha Russa.

A Academia de São Petersburgo, fundada por Pedro, o Grande, tinha como objetivo promover a educação russa e colmatar a disparidade científica com a Europa Ocidental. Consequentemente, ofereceu um fascínio significativo a estudiosos internacionais, incluindo Euler. No entanto, Catarina I, patrona da academia e sucessora da agenda progressista do seu marido, faleceu antes da chegada de Euler a São Petersburgo. Posteriormente, a nobreza russa conservadora ascendeu ao poder com Pedro II, de 12 anos. Esta nobreza, cautelosa com os cientistas estrangeiros da academia, reduziu o apoio financeiro a Euler e seus associados, restringindo simultaneamente o acesso ao ginásio e às universidades para estudantes estrangeiros e não aristocráticos.

Após a morte de Pedro II em 1730, as condições sofreram uma melhoria modesta quando Ana da Rússia, de influência alemã, assumiu o trono. Euler avançou rapidamente na academia, garantindo o cargo de professor de física em 1731. Ele também renunciou à Marinha Russa, recusando uma promoção a tenente. Dois anos depois, Daniel Bernoulli, frustrado pela censura e pelo antagonismo encontrados em São Petersburgo, partiu para Basileia. Posteriormente, Euler assumiu a liderança do departamento de matemática. Em janeiro de 1734, casou-se com Katharina Gsell (1707–1773), filha de Georg Gsell. Frederico II tentou recrutar Euler para sua nascente Academia de Berlim em 1740, mas Euler inicialmente preferiu permanecer em São Petersburgo. No entanto, após a morte da Imperatriz Ana e o acordo de Frederico II em igualar o salário russo de Euler de 1.600 ecus, Euler consentiu em se mudar para Berlim. Em 1741, ele solicitou formalmente permissão para se mudar para Berlim, citando a necessidade de um clima mais ameno para a deterioração de sua visão. A academia russa atendeu ao seu pedido, concordando em compensá-lo anualmente em 200 rublos como membro ativo.

O Período de Berlim (1741–1766)

Motivado pela contínua instabilidade política na Rússia, Euler partiu de São Petersburgo em junho de 1741 para aceitar um cargo na Academia de Berlim, uma oferta feita por Frederico, o Grande, da Prússia. Residiu em Berlim durante 25 anos, durante os quais foi autor de centenas de artigos acadêmicos. Seu trabalho seminal sobre funções, intitulado Introductio in analysin infinitorum, foi publicado em 1748, seguido por um tratado sobre cálculo diferencial, Institutiones calculi diferencialis, em 1755. Também em 1755, ele foi eleito como membro estrangeiro da Real Academia Sueca de Ciências e da Academia Francesa de Ciências. Entre os ilustres alunos de Euler em Berlim estava Stepan Rumovsky, posteriormente reconhecido como o primeiro astrônomo da Rússia. Em 1748, ele recusou um convite da Universidade de Basileia para suceder o recentemente falecido Johann Bernoulli. Em 1753, adquiriu residência em Charlottenburg, onde viveu com a família e a mãe viúva.

Euler assumiu o papel de tutor de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt, princesa de Anhalt-Dessau e sobrinha de Frederico. Durante o início da década de 1760, ele compôs mais de 200 cartas para ela, posteriormente compiladas em um volume intitulado Cartas de Euler sobre diferentes assuntos de filosofia natural endereçadas a uma princesa alemã. Esta publicação apresentou as elucidações de Euler sobre diversos tópicos da física e da matemática, fornecendo simultaneamente insights significativos sobre seu caráter e convicções teológicas. A obra foi traduzida para vários idiomas, divulgada pela Europa e pelos Estados Unidos e alcançou maior número de leitores do que qualquer um de seus tratados puramente matemáticos. O apelo generalizado das Cartas sublinha a capacidade excepcional de Euler de transmitir conceitos científicos complexos a um público geral, um atributo raro para um cientista investigador empenhado.

Não obstante as contribuições substanciais de Euler para a reputação da academia e a sua nomeação para a sua presidência por Jean le Rond d'Alembert, Frederico II nomeou-se para o cargo. O monarca prussiano, rodeado por um vasto círculo intelectual na sua corte, via Euler como pouco sofisticado e inadequadamente informado sobre assuntos além dos domínios numéricos e matemáticos. Euler era um indivíduo direto e profundamente religioso que defendia consistentemente a ordem social prevalecente e as doutrinas convencionais. Seu temperamento era, em muitos aspectos, antitético ao de Voltaire, que gozava de considerável prestígio na corte de Frederico. Euler carecia de proficiência no debate e frequentemente se envolvia em discussões sobre temas sobre os quais possuía conhecimento limitado, o que o tornava um tema recorrente nas observações satíricas de Voltaire. Frederick também articulou insatisfação com as competências práticas de engenharia de Euler, comentando:

Frederico, o Grande, supostamente expressou o desejo de um jato de água para jardim, para o qual Euler calculou a força necessária da roda para elevar a água até um reservatório. Deste reservatório, a água deveria descer através de canais antes de finalmente jorrar em Sanssouci. No entanto, o moinho construído geometricamente revelou-se ineficaz, não conseguindo transportar água a menos de cinquenta passos do reservatório. Este resultado levou ao lamento do rei: "Vaidade das vaidades! Vaidade da geometria!"

No entanto, do ponto de vista técnico, a decepção provavelmente foi infundada. Os cálculos de Euler parecem ter sido precisos, apesar das interações potencialmente problemáticas entre Euler, Frederick e os construtores da fonte.

Durante seu mandato em Berlim, Euler manteve uma forte afiliação à Academia de São Petersburgo, publicando 109 artigos na Rússia. Além disso, prestou assistência a estudantes da Academia de São Petersburgo, hospedando ocasionalmente estudiosos russos em sua residência em Berlim. Em 1760, em meio à Guerra dos Sete Anos, a fazenda Charlottenburg de Euler foi saqueada pelo avanço das forças russas. Após este incidente, o general Ivan Petrovich Saltykov restituiu os danos à propriedade de Euler, uma quantia posteriormente aumentada pela Imperatriz Isabel da Rússia com mais 4.000 rublos, o que constituiu uma quantia substancial para o período. Consequentemente, Euler decidiu partir de Berlim em 1766 e mudar-se para a Rússia.

De 1741 a 1766, durante seu período em Berlim, Euler atingiu o auge de sua produtividade acadêmica. Ele é autor de 380 obras, com 275 publicadas posteriormente. Estes compreendiam 125 memórias para a Academia de Berlim e mais de 100 memórias enviadas para a Academia de São Petersburgo, que manteve sua filiação e forneceu uma bolsa anual. O trabalho seminal de Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, apareceu em dois volumes em 1748. Além de seus esforços de pesquisa pessoal, Euler supervisionou a biblioteca, o observatório, o jardim botânico da academia e a produção de calendários e mapas, que geraram receitas para a instituição. Participou também no planejamento arquitetônico das fontes de água de Sanssouci, residência de verão do monarca.

Segundo mandato em São Petersburgo (1766–1783)

Após a ascensão de Catarina, a Grande ao trono, o clima político da Rússia estabilizou-se, levando Euler a aceitar um convite para voltar a integrar a Academia de São Petersburgo em 1766. Os seus termos estipulados eram notavelmente exigentes, incluindo um salário anual de 3.000 rublos, uma pensão para a sua esposa e garantias de posições de destaque para os seus filhos. Na universidade, recebeu assistência de seu aluno, Anders Johan Lexell. Em 1771, durante sua residência em São Petersburgo, um incêndio consumiu tragicamente sua casa.

Vida Pessoal

Em 7 de janeiro de 1734, Euler casou-se com Katharina Gsell, filha de Georg Gsell, um pintor afiliado ao Ginásio da Academia de São Petersburgo. O casal posteriormente adquiriu uma residência adjacente ao rio Neva. Em 1776, três anos após o falecimento de sua esposa, Euler casou-se com sua meia-irmã, Salome Abigail Gsell. Essa união persistiu até sua morte em 1783. Dos treze filhos, cinco – três filhos e duas filhas – sobreviveram até a idade adulta. O filho mais velho, Johann Albrecht Euler, teve Christian Goldbach como padrinho. O irmão de Euler, Johann Heinrich, estabeleceu-se em São Petersburgo em 1735 e conseguiu emprego como pintor na academia. Em sua juventude, Euler memorizou a Eneida de Virgílio e, nos últimos anos, ele era capaz de recitar o poema épico e identificar as frases de abertura e conclusão em cada página da edição que havia estudado. Ele possuía conhecimento dos cem números primos iniciais e conseguia articular cada um de seus poderes até o sexto grau. Euler foi caracterizado como um indivíduo benevolente e amável, desprovido das tendências neuróticas às vezes observadas em intelectos prodigiosos, mantendo seu temperamento agradável mesmo depois de experimentar a cegueira completa.

Progressão da deficiência visual

A visão de Euler deteriorou-se progressivamente ao longo de sua carreira matemática. Em 1738, três anos depois de uma febre quase fatal, ele ficou quase totalmente cego do olho direito. Euler atribuiu essa deficiência ao trabalho cartográfico que realizou para a Academia de São Petersburgo, embora a etiologia precisa de sua cegueira continue sendo objeto de conjecturas acadêmicas. Sua visão naquele olho continuou a piorar durante seu mandato na Alemanha, o que levou Frederico II a se referir a ele como “Ciclope”. Euler teria comentado sobre sua deficiência visual, afirmando: “Agora terei menos distrações”. Em 1766, uma catarata foi identificada no olho esquerdo. Embora um procedimento de colocação tenha melhorado temporariamente sua visão, complicações subsequentes também levaram à cegueira quase total daquele olho. Notavelmente, esta profunda deficiência visual teve um impacto mínimo discernível na sua produtividade académica. Auxiliado por escribas, a produção de Euler em vários campos de estudo realmente se intensificou; em 1775, ele estava gerando uma média de um artigo matemático por semana.

Morte

Leonhard Euler faleceu em São Petersburgo em 18 de setembro de 1783. Após um almoço em família, ele estava envolvido em uma discussão com Anders Johan Lexell sobre o planeta recentemente descoberto Urano e sua mecânica orbital quando ele desmaiou repentinamente devido a uma hemorragia cerebral. Jacob von Staehlin compôs um obituário conciso para a Academia Russa de Ciências, enquanto Nicolas Fuss, um matemático russo e um dos discípulos de Euler, apresentou um elogio mais abrangente numa reunião comemorativa. Além disso, o matemático e filósofo francês Marquês de Condorcet escreveu um elogio à Academia Francesa, afirmando:

...ele deixou de calcular e de viver.

...ele deixou de calcular e de viver.

Euler foi inicialmente enterrado ao lado de Katharina no Cemitério Luterano de Smolensk, na Ilha Vasilievsky. Em 1837, a Academia Russa de Ciências ergueu um novo monumento, substituindo sua lápide anteriormente coberta de mato. Posteriormente, em 1957, para comemorar o 250º aniversário do seu nascimento, os seus restos mortais foram transferidos para o Cemitério Lazarevskoe, no Mosteiro Alexander Nevsky.

Contribuições para a ciência

Os esforços intelectuais de Euler abrangeram quase todos os domínios da matemática, abrangendo geometria, cálculo infinitesimal, trigonometria, álgebra e teoria dos números, além da física do contínuo, teoria lunar e vários outros ramos da física. Ele é uma figura central nos anais da matemática; estima-se que suas obras coletadas, muitas das quais possuem significado fundamental, preencham entre 60 e 80 volumes in-quarto, se publicadas. De 1725 a 1783, a produção acadêmica de Euler foi em média de 800 páginas anuais. Além disso, ele escreveu mais de 4.500 cartas e centenas de manuscritos. As estimativas sugerem que Leonhard Euler foi responsável por aproximadamente um quarto da produção acadêmica total em matemática, física, mecânica, astronomia e navegação durante o século XVIII, com alguns pesquisadores atribuindo a ele até um terço da produção matemática somente nesse período.

Notação Matemática

Através de seus extensos e amplamente divulgados livros, Euler foi fundamental na introdução e popularização de inúmeras convenções de notação. Uma contribuição particularmente significativa foi a formalização do conceito de função e o uso pioneiro da notação f(x) para representar a função f aplicada ao argumento x. Além disso, ele estabeleceu a notação contemporânea para funções trigonométricas, designou a letra e para a base do logaritmo natural (agora frequentemente referido como número de Euler), empregou a letra grega Σ para somatórios e introduziu a letra i para significar a unidade imaginária. Embora a letra grega π para a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro tenha sido inicialmente proposta pelo matemático galês William Jones, sua adoção generalizada é em grande parte atribuída à influência de Euler.

Análise

O avanço do cálculo infinitesimal constituiu o foco principal da investigação matemática do século XVIII. A família Bernoulli, que era familiar próxima de Euler, contribuiu significativamente para o progresso inicial neste domínio. Sua influência posteriormente direcionou os esforços de pesquisa primária de Euler para o estudo do cálculo. Embora algumas das provas de Euler não se alinhem com os padrões contemporâneos de rigor matemático, particularmente devido à sua confiança no princípio da generalidade da álgebra, as suas contribuições conceituais facilitaram numerosos avanços significativos.No campo da análise, Euler é particularmente reconhecido por sua extensa aplicação e desenvolvimento de séries de potências, que representam funções como somas infinitas de termos, exemplificadas por: e x = ∑<!-- ∑ --> n = §2526§ ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( §7475§ §7778§ ! + x §9192§ ! + x §106107§ §111112§ ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}

A aplicação de séries de potências por Euler facilitou a resolução do problema de Basileia em 1735, uma tarefa que envolvia a soma dos recíprocos dos quadrados de todos os números naturais. Uma demonstração mais abrangente desta solução foi posteriormente apresentada em 1741. Inicialmente formulado por Pietro Mengoli em 1644, o problema de Basileia evoluiu para um importante desafio matemático não resolvido na década de 1730, ganhando amplo reconhecimento através dos esforços de Jacob Bernoulli e resistindo às soluções de muitos dos principais matemáticos daquela época. As descobertas de Euler estabeleceram que:

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2627§ n §3233§ = lim n → ∞ ( §6061§ §6364§ §6667§ + §7677§ §7980§ §8283§ + §9293§ §9596§ §98 {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}">99§ + ⋯ + §113114§ n §119120§ ) = π §138 {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}">139§ §142143§ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Euler introduziu a constante, definida como: γ<!-- γ --> = lim n →<!-- → --> ∞<!-- ∞ --> ( §2930§ + §3536§ §3738§ + §4546§ §4748§ + §5556§ §5758§ + ⋯ + §7071§ n − ln ⁡ ( n ) ) ≈ 0,5772 , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0,5772,} Esta constante, agora designada como constante de Euler ou constante de Euler-Mascheroni, foi posteriormente investigada por suas conexões com a série harmônica, a função gama e valores específicos da função zeta de Riemann.

Euler foi pioneiro na integração de funções exponenciais e logaritmos em provas analíticas. Ele desenvolveu métodos para representar diversas funções logarítmicas através de séries de potências e estendeu com sucesso a definição de logaritmos para abranger números negativos e complexos, ampliando significativamente sua aplicabilidade matemática. Além disso, definiu a função exponencial para números complexos e identificou sua relação com funções trigonométricas. Para qualquer número real φ, expresso em radianos, a fórmula de Euler articula a função exponencial complexa como: $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

Esta equação foi notoriamente caracterizada por Richard Feynman como "a fórmula mais notável da matemática."

Um exemplo específico da fórmula acima mencionada é reconhecido como a identidade de Euler: e eu π<!-- π --> + §1920§ = §2324§ {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Euler avançou a teoria das funções transcendentais superiores através da introdução da função gama e desenvolveu uma nova abordagem para resolver equações quárticas. Seu trabalho no cálculo de integrais com limites complexos antecipou o surgimento da análise complexa contemporânea. Além disso, ele originou o cálculo de variações e estabeleceu a equação de Euler-Lagrange, que transforma problemas de otimização dentro deste domínio em soluções de equações diferenciais.

Euler foi fundamental na aplicação de métodos analíticos para resolver problemas na teoria dos números. Este esforço fundiu efetivamente duas disciplinas matemáticas distintas e inaugurou um novo campo: a teoria analítica dos números. Suas contribuições fundamentais para esta área incluem o desenvolvimento de séries hipergeométricas, séries q, funções trigonométricas hiperbólicas e a teoria analítica de frações contínuas. Por exemplo, ele demonstrou a infinidade dos números primos aproveitando a divergência das séries harmônicas e empregou técnicas analíticas para elucidar aspectos da distribuição dos números primos. A pesquisa de Euler neste domínio abriu caminho para o teorema dos números primos.

Teoria dos Números

O envolvimento de Euler com a teoria dos números originou-se da influência de Christian Goldbach, um colega da Academia de São Petersburgo. Uma parte significativa da pesquisa inicial da teoria dos números de Euler foi construída sobre as bases estabelecidas por Pierre de Fermat. Euler expandiu vários conceitos de Fermat e refutou certas conjecturas, notadamente a afirmação de que todos os números expressos na forma §78§ §1112§ n + §2223§ {\textstyle 2^{2^{n}}+1} (conhecidos como números de Fermat) são primos.

Euler estabeleceu uma conexão entre a distribuição de números primos e conceitos analíticos. Ele demonstrou a divergência da soma dos recíprocos dos números primos. Através deste trabalho, ele identificou a relação entre a função zeta de Riemann e os números primos, uma descoberta agora reconhecida como a fórmula do produto de Euler para a função zeta de Riemann.

Euler desenvolveu a função totient, denotada φ(n), que quantifica a contagem de inteiros positivos menores ou iguais a um determinado inteiro n que são coprimos com n. Aproveitando as características desta função, ele estendeu o pequeno teorema de Fermat, resultando no que hoje é reconhecido como teorema de Euler. Suas contribuições para a teoria dos números perfeitos, assunto de interesse matemático desde Euclides, foram substanciais. Ele estabeleceu uma correspondência biunívoca entre números pares perfeitos e primos de Mersenne, uma relação que ele havia demonstrado anteriormente, agora denominada teorema de Euclides-Euler. Além disso, Euler propôs a lei da reciprocidade quadrática, um conceito considerado fundamental na teoria dos números, e as suas ideias influenciaram significativamente o trabalho subsequente de Carl Friedrich Gauss, nomeadamente em Disquisitiones Arithmeticae. Em 1772, Euler confirmou que 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 constituía um primo de Mersenne, permanecendo potencialmente o maior número primo conhecido até 1867.

Euler também fez avanços significativos na teoria relativa às partições de um número inteiro.

Teoria dos Grafos

Em 1735, Euler apresentou uma solução para o famoso problema das Sete Pontes de Königsberg. Este problema teve origem na cidade de Königsberg, na Prússia, situada às margens do rio Pregel, onde duas ilhas importantes estavam ligadas entre si e ao continente por sete pontes. O desafio era determinar se existia uma rota que atravessasse cada ponte precisamente uma vez. Euler demonstrou a impossibilidade de tal caminho, concluindo que não existia nenhum caminho euleriano. Esta solução específica é amplamente considerada o teorema inaugural da teoria dos grafos.

Euler também formulou a equação ${\displaystyle V-E+F=2}$, que estabelece uma relação entre o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, consequentemente, de um grafo plano. A constante nesta fórmula é atualmente identificada como a característica de Euler para o gráfico ou outra entidade matemática e se correlaciona com o gênero do objeto. A investigação e a aplicação mais ampla desta fórmula, particularmente por Cauchy e L'Huilier, representam um aspecto fundamental da topologia.

Física, Astronomia e Engenharia

Uma parte significativa das realizações de Euler envolveu a resolução analítica de problemas práticos e a elucidação de várias aplicações para números de Bernoulli, séries de Fourier, números de Euler, as constantes e e π, frações contínuas e integrais. Ele sintetizou efetivamente o cálculo diferencial de Leibniz com o Método das Fluxões de Newton, criando assim metodologias que facilitaram a aplicação do cálculo aos fenômenos físicos. Ele avançou substancialmente na aproximação numérica de integrais, técnicas pioneiras agora reconhecidas como aproximações de Euler, com o método de Euler e a fórmula de Euler-Maclaurin sendo particularmente proeminentes.

Euler desempenhou um papel fundamental na formulação da equação do feixe de Euler-Bernoulli, que posteriormente se tornou um princípio fundamental na engenharia. Além da aplicação bem-sucedida de métodos analíticos à mecânica clássica, Euler estendeu essas técnicas a desafios astronômicos. Suas contribuições para a astronomia lhe renderam vários prêmios da Academia de Paris ao longo de sua carreira. Realizações notáveis ​​incluem a determinação altamente precisa das órbitas de cometas e outros corpos celestes, insights sobre as características fundamentais dos cometas e o cálculo da paralaxe do Sol. Seu trabalho computacional foi fundamental no estabelecimento de tabelas precisas de longitude.

Euler avançou significativamente no campo da óptica. Ele desafiou a teoria corpuscular da luz de Newton, que era a visão científica predominante daquela época. Seus tratados ópticos da década de 1740 foram fundamentais para estabelecer a teoria ondulatória da luz de Christiaan Huygens como o paradigma predominante, posição que manteve até o surgimento da teoria quântica da luz.

No domínio da dinâmica dos fluidos, Euler foi o primeiro a prever o fenômeno da cavitação em 1754, anterior à sua observação inicial no final do século XIX. O número de Euler, empregado em cálculos de fluxo de fluidos, origina-se de sua pesquisa associada sobre eficiência de turbinas. Em 1757, ele publicou um conjunto crucial de equações para fluxo invíscido em dinâmica de fluidos, que são atualmente chamadas de equações de Euler.

Na engenharia estrutural, Euler é reconhecido por sua fórmula que define a carga crítica de Euler, que representa a carga crítica de flambagem para uma biela ideal, determinada apenas por seu comprimento e rigidez à flexão.

Lógica

Euler é creditado por empregar curvas fechadas para delinear o raciocínio silogístico em 1768, diagramas que foram posteriormente designados como diagramas de Euler.

Um diagrama de Euler constitui uma metodologia diagramática para representar conjuntos e suas inter-relações. Esses diagramas são compostos de curvas fechadas simples, normalmente círculos, situadas em um plano para representar conjuntos. Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou "zonas" distintas: uma zona interior, que denota simbolicamente os elementos pertencentes ao conjunto, e uma zona exterior, representando todos os elementos não membros desse conjunto. As dimensões ou configurações destas curvas são irrelevantes; o significado do diagrama reside na maneira como se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva - especificamente, sobreposição, contenção ou exclusão mútua - correspondem diretamente às relações fundamentais da teoria dos conjuntos, como interseção, subconjunto e disjunção. Curvas cujas zonas interiores não se cruzam significam conjuntos disjuntos. Por outro lado, duas curvas com zonas interiores que se cruzam indicam conjuntos que possuem elementos comuns, com a zona compartilhada representando a intersecção desses conjuntos. Uma curva inteiramente incluída na zona interior de outra curva significa que é um subconjunto do conjunto que a contém. Os diagramas de Euler, juntamente com o seu subsequente refinamento em diagramas de Venn, foram integrados nos currículos pedagógicos para a teoria dos conjuntos como parte do movimento da "nova matemática" durante a década de 1960. Desde esse período, eles alcançaram ampla adoção como uma ferramenta valiosa para visualizar combinações de características.

Demografia

Em seu tratado de 1760, Uma Investigação Geral sobre a Mortalidade e Multiplicação das Espécies Humanas, Euler postulou um modelo que demonstra como uma população caracterizada por taxas constantes de fertilidade e mortalidade poderia exibir progressão geométrica através da aplicação de uma equação de diferença. Neste quadro de crescimento geométrico, Euler também elucidou as inter-relações entre vários índices demográficos, ilustrando a sua utilidade potencial na geração de estimativas quando os dados observacionais estavam incompletos. Aproximadamente 150 anos depois, Alfred J. Lotka, em três artigos distintos (1907, 1911 com FR Sharpe e 1922), adotou uma metodologia comparável à de Euler, culminando no desenvolvimento de seu Modelo de População Estável. Essas contribuições marcaram coletivamente a gênese da modelagem demográfica formal no século XX.

Música

Entre os interesses mais divergentes de Euler estava a aplicação de princípios matemáticos à música. Em 1739, ele escreveu o Tentamen novae theoriae musicae (Tentativa de uma Nova Teoria da Música), com a aspiração de integrar a teoria musical no domínio mais amplo da matemática. Esta faceta particular do seu extenso trabalho, no entanto, obteve um reconhecimento académico limitado, tendo sido caracterizada como excessivamente matemática para os músicos e excessivamente musical para os matemáticos. Mesmo ao abordar conceitos musicais, a abordagem de Euler permaneceu predominantemente matemática, exemplificada pela sua introdução de logaritmos binários como método para delinear numericamente a subdivisão de oitavas em componentes fracionários. Embora os seus escritos sobre música não sejam particularmente volumosos – compreendendo algumas centenas de páginas de uma produção total de aproximadamente trinta mil páginas – reflectem, no entanto, uma preocupação inicial que persistiu ao longo da sua vida.

Um princípio fundamental da teoria musical de Euler envolve a definição de "gêneros", que representam possíveis divisões da oitava utilizando os números primos 3 e 5. Euler delineia 18 desses gêneros, caracterizados pela fórmula geral 2^mA. Aqui, A denota o "expoente" do gênero, calculado como a soma dos expoentes de 3 e 5, enquanto 2^m (onde "m é um número indefinido, pequeno ou grande, desde que os sons sejam perceptíveis") significa que a relação se mantém independentemente do número de oitavas envolvidas. O gênero inicial, com A = 1, corresponde à própria oitava ou às suas duplicatas. O segundo gênero, 2^m.3, representa a oitava dividida pela quinta (quinta + quarta, C – G – C). O terceiro gênero é 2^m.5, abrangendo uma terça maior + sexta menor (C – E – C). O quarto é 2^m.3§10^{11§, compreendendo dois quartos e um tom (C–F–B♭–C). O quinto é 2m.3,5 (C–E–G–B–C) e assim por diante. Os gêneros 12 (2m.3§20}21§.5), 13 (2^m.3§24^{25§.5§2627§) e 14 (2m.3.5§3031§) são apresentados como versões corrigidas dos antigos diatônicos, cromáticos, e sistemas enarmônicos, respectivamente. O gênero 18 (2m.3§34}35§.5§36^{37§) é identificado como o "diatônico-cromático", descrito como "usado geralmente em todas as composições" e é considerado idêntico ao sistema articulado por Johann Mattheson. Posteriormente, Euler contemplou a possibilidade de descrever gêneros que incorporassem o número primo 7.}

Euler desenvolveu um gráfico distinto, o Speculum musicum, para exemplificar o gênero diatônico-cromático. Neste gráfico, ele analisou caminhos correspondentes a intervalos específicos, refletindo seu envolvimento anterior com o problema das Sete Pontes de Königsberg. Esta representação gráfica mais tarde atraiu atenção renovada como o Tonnetz dentro da teoria neo-riemanniana.

Euler também empregou o princípio do "expoente" para propor um método para derivar o gradus suavitatis (grau de suavidade ou agradabilidade) de intervalos musicais e acordes com base em seus fatores principais. É crucial notar que sua análise considerou exclusivamente apenas a entonação, envolvendo especificamente os números primos 1, 3 e 5. Fórmulas subsequentes foram desenvolvidas para estender este sistema para incorporar qualquer número de fatores primos, exemplificados pela seguinte forma: $${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,}$$ onde p_i representa números primos e k_i denota seus respectivos expoentes.

Filosofia pessoal e convicções religiosas

Euler manteve convicções religiosas durante toda a sua vida. Uma parte substancial de suas perspectivas religiosas pode ser inferida de suas Cartas a uma Princesa Alemã e de um tratado anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Defesa da Revelação Divina contra as Objeções dos Livres-pensadores). Estes textos revelam Euler como um cristão devoto que afirmou a inspiração divina da Bíblia; a Rettung serviu especificamente como uma defesa primária para a origem divina das escrituras.

Euler expressou oposição tanto ao monadismo de Leibniz quanto aos princípios filosóficos de Christian Wolff. Ele afirmou que o conhecimento depende fundamentalmente, em parte, de leis quantitativas precisas, uma base que nem o monadismo nem a ciência wolffiana poderiam fornecer adequadamente. Conseqüentemente, Euler caracterizou os conceitos de Wolff como "pagãos e ateus". Uma lenda bem conhecida, originada dos debates de Euler com filósofos seculares a respeito da religião, está situada durante seu segundo mandato na Academia de São Petersburgo. Durante este período, o filósofo francês Denis Diderot visitou a Rússia a convite de Catarina, a Grande. A Imperatriz ficou preocupada com o facto de os argumentos ateístas de Diderot estarem a influenciar os membros da sua corte, levando-a a pedir a Euler que o desafiasse. Diderot foi posteriormente informado de que um eminente matemático havia formulado uma prova para a existência de Deus e consentido em examinar essa prova durante uma apresentação no tribunal. Euler então abordou Diderot e, com absoluta convicção, declarou o seguinte non sequitur:

"Senhor, ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$; portanto, Deus existe - responda!"

De acordo com a narrativa, Diderot, que supostamente considerava toda a matemática incompreensível, permaneceu sem palavras enquanto o tribunal explodia em gargalhadas. Mortificado, ele solicitou permissão para partir da Rússia, o que Catarina posteriormente concedeu. Apesar de sua natureza divertida, esta anedota é considerada apócrifa, principalmente porque o próprio Diderot conduziu pesquisas matemáticas. A lenda foi contada pela primeira vez por Dieudonné Thiébault, com enfeites subsequentes adicionados por Augustus De Morgan.

Legado

Reconhecimento

Euler é amplamente reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da história e é indiscutivelmente o contribuidor mais prolífico nos campos da matemática e das ciências. John von Neumann, um proeminente matemático e físico, caracterizou Euler como "o maior virtuoso do período". François Arago, outro matemático, observou que “Euler calculou sem qualquer esforço aparente, tal como os homens respiram e como as águias se sustentam no ar”. Ele é comumente posicionado logo abaixo de Carl Friedrich Gauss, Isaac Newton e Arquimedes entre os matemáticos mais proeminentes de todos os tempos, embora alguns estudiosos o considerem igual. Henri Poincaré, um físico e matemático, referiu-se a Euler como o "deus da matemática."

O matemático francês André Weil observou que Euler superou seus contemporâneos, estabelecendo-se como a figura matemática proeminente de sua época:

Nenhum matemático jamais alcançou tal posição de liderança indiscutível em todos os ramos da matemática, pura e aplicada, como Euler alcançou para a melhor parte do século XVIII.

O matemático suíço Nicolas Fuss destacou a memória excepcional e o amplo conhecimento de Euler, afirmando:

O conhecimento que chamamos de erudição não era inimigo dele. Ele havia lido todos os melhores escritores romanos, conhecia perfeitamente a história antiga da matemática, guardava na memória os acontecimentos históricos de todos os tempos e povos e podia, sem hesitação, citar, a título de exemplos, os acontecimentos históricos mais insignificantes. Ele sabia mais sobre medicina, botânica e química do que se poderia esperar de alguém que não tivesse trabalhado especialmente nessas ciências.

Comemorações

A imagem de Euler apareceu na sexta e na sétima série da nota suíça de 10 francos, bem como em vários selos postais emitidos pela Suíça, Alemanha e Rússia. Em 1782, ele foi empossado como Membro Honorário Estrangeiro da Academia Americana de Artes e Ciências. O asteróide 2002 Euler foi posteriormente nomeado em sua homenagem.

Bibliografia selecionada

A extensa bibliografia de Euler inclui as seguintes obras:

• Mecânica (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) (Um método para encontrar linhas curvas com propriedades de máximo ou mínimo, ou solução de problemas isoperimétricos no sentido mais amplo aceito)
• Introductio in analysin infinitorum (1748) (Introdução à Análise do Infinito)
• Institutiones calculi diferencialis (1755) (Fundamentos do cálculo diferencial)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) (Elementos de Álgebra)
• Institutiones calculi integralis (1768–1770) (Fundamentos do cálculo integral)
• Cartas a uma princesa alemã (1768–1772)
• Dioptrica, publicado em três volumes começando em 1769

A maioria das obras póstumas de Euler não foram publicadas individualmente até 1830. Posteriormente, uma coleção adicional de 61 obras inéditas foi descoberta por Paul Heinrich von Fuss, bisneto de Euler e filho de Nicolas Fuss, e lançada em 1862. Um catálogo cronológico da obra completa de Euler foi compilado pelo matemático sueco Gustaf Eneström e publicado entre 1910 e 1913. Este catálogo, designado como índice Eneström, atribui números às obras de Euler que vão de E1 a E866. O Arquivo Euler teve origem no Dartmouth College, posteriormente transferido para a Mathematical Association of America e, mais recentemente, transferido para a University of the Pacific em 2017.

Em 1907, a Academia Suíça de Ciências criou a Comissão Euler, incumbindo-a da publicação abrangente das obras completas de Euler. Após vários adiamentos durante o século XIX, o volume inaugural da Opera Omnia foi lançado em 1911. No entanto, a descoberta contínua de manuscritos adicionais expandiu consistentemente o âmbito deste empreendimento. Notavelmente, a publicação da Opera Omnia de Euler avançou consistentemente, com mais de 70 volumes, cada um com uma média de 426 páginas, publicados em 2006, e um total de 80 volumes publicados até 2022. Estes volumes são sistematicamente categorizados em quatro séries distintas. A primeira série abrange trabalhos sobre análise, álgebra e teoria dos números, compreendendo 29 volumes e ultrapassando 14.000 páginas. A Série II, composta por 31 volumes e totalizando 10.660 páginas, inclui contribuições para mecânica, astronomia e engenharia. A Série III compreende 12 volumes dedicados à física. A Série IV, que compila a extensa correspondência de Euler, manuscritos inéditos e várias notas, começou a ser compilada apenas em 1967. Após a publicação de 8 volumes impressos da Série IV, o projeto determinou em 2022 lançar todos os próximos volumes projetados da Série IV exclusivamente em formato online.

Referências

• Leonhard Euler no Projeto Genealogia da Matemática
• Opera-Bernoulli-Euler (obras compiladas de Euler, família Bernoulli e pares contemporâneos)
• A Sociedade Euler
• Árvore genealógica de Euler
• Obras de Leonhard Euler no LibriVox (audiolivros de domínio público)
• O'Connor, John J., e Robertson, Edmund F. "Leonhard Euler." Arquivo de História da Matemática MacTutor, Universidade de St Andrews.Dunham, William (24 de setembro de 2009). "Uma noite com Leonhard Euler." YouTube. Muhlenberg College: philoctetesctr (publicado em 9 de novembro de 2009).Dunham, William (14 de outubro de 2008). "Uma homenagem a Euler - William Dunham." YouTube. Muhlenberg College: PoincareDuality (publicado em 23 de novembro de 2011).Çavkanî: Arşîva TORÎma Akademî

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