Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel ( GUR-dəl; alemão: [ˈkʊʁt ˈɡøːdl̩]; 28 de abril de 1906 - 14 de janeiro de 1978) foi um proeminente lógico, matemático e filósofo. Ele é amplamente considerado um dos lógicos mais importantes da história, ao lado de figuras como Aristóteles e Gottlob Frege. As contribuições de Gödel moldaram profundamente o pensamento científico e filosófico do século XX, surgindo durante um período em que Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e David Hilbert exploravam ativamente os fundamentos da matemática através da lógica e da teoria dos conjuntos, com base nos esforços fundamentais de Frege, Richard Dedekind e Georg Cantor.

Kurt Friedrich Gödel ( GUR-dəl; Alemão: [ˈkʊʁtˈɡøːdl̩] ; 28 de abril de 1906 – 14 de janeiro de 1978) foi um lógico, matemático e filósofo. Considerado, juntamente com Aristóteles e Gottlob Frege, um dos lógicos mais importantes da história, Gödel influenciou profundamente o pensamento científico e filosófico no século 20 (numa época em que Bertrand Russell, Alfred North Whitehead e David Hilbert usavam a lógica e a teoria dos conjuntos para investigar os fundamentos da matemática), com base em trabalhos anteriores de Frege, Richard Dedekind e Georg Cantor. teorema da completude em 1929, apresentado como parte de sua tese de doutorado na Universidade de Viena. Isto foi seguido dois anos depois, em 1931, pela publicação de seus inovadores teoremas da incompletude. Esses teoremas da incompletude delineiam limitações fundamentais inerentes aos sistemas axiomáticos formais. Especificamente, demonstram que qualquer sistema axiomático formal que cumpra critérios técnicos específicos não pode determinar o valor de verdade de todas as afirmações relativas aos números naturais, nem pode estabelecer a sua própria consistência. Para fundamentar essas afirmações, Gödel desenvolveu uma técnica, agora chamada de numeração de Gödel, que traduz expressões formais em números naturais.

Gödel demonstrou ainda que, assumindo a consistência de seus axiomas, nem o axioma da escolha nem a hipótese do contínuo podem ser refutados dentro da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel estabelecida. Esta descoberta específica permitiu aos matemáticos incorporar o axioma da escolha nas suas provas. Além disso, ele contribuiu significativamente para a teoria da prova, elucidando as interconexões entre as lógicas clássica, intuicionista e modal.

Nascido em uma família rica de língua alemã em Brno, Gödel emigrou para os Estados Unidos em 1939, buscando refúgio da crescente influência da Alemanha nazista. Nos últimos anos, ele passou por uma doença mental; uma crença persistente de que sua comida estava envenenada o levou a recusar o sustento, resultando em sua morte por fome.

Primeira vida e educação

Infância

Kurt Gödel nasceu em 28 de abril de 1906, em Brünn, Áustria-Hungria (atual Brno, República Tcheca). Sua família falava alemão; seu pai, Rudolf Gödel, era diretor administrativo e coproprietário de uma importante empresa têxtil, e sua mãe era Marianne Gödel (nascida Handschuh). Seu pai era católico, enquanto sua mãe era protestante; os filhos foram criados dentro da fé protestante. Vários ancestrais de Kurt Gödel foram participantes notáveis ​​na esfera cultural de Brünn. Por exemplo, seu avô, Joseph Gödel, foi um cantor renomado durante sua época e serviu por vários anos como membro da Brünner Männergesangverein (União Coral Masculina de Brünn).

Aos 12 anos de idade, Gödel adquiriu automaticamente a cidadania checoslovaca após a dissolução do Império Austro-Húngaro após a sua derrota na Primeira Guerra Mundial. De acordo com seu colega de classe Klepetař, Gödel, como muitos habitantes dos Sudetenländer, predominantemente alemão, consistentemente se considerava austríaco e um exilado na Tchecoslováquia. Em fevereiro de 1929, ele foi libertado da cidadania tchecoslovaca, sendo posteriormente concedida a cidadania austríaca em abril do mesmo ano. Após a anexação da Áustria pela Alemanha em 1938, Gödel, então com 32 anos, tornou-se automaticamente cidadão alemão. Após a Segunda Guerra Mundial, em 1948, aos 42 anos, obteve a cidadania americana.

Em sua família, o jovem Gödel era carinhosamente conhecido como Herr Warum ("Sr. Por que"), um apelido que reflete sua curiosidade insaciável. Seu irmão Rudolf relatou que aos seis ou sete anos de idade Kurt contraiu febre reumática. Embora tenha se recuperado totalmente, Gödel permaneceu convencido durante toda a vida de que seu coração havia sofrido danos permanentes. A partir dos quatro anos de idade, Gödel experimentou "episódios frequentes de problemas de saúde", um padrão que persistiu ao longo de sua vida.

De 1912 a 1916, Gödel frequentou a Evangelische Volksschule, uma escola luterana em Brünn. Posteriormente, de 1916 a 1924, foi matriculado no Deutsches Staats-Realgymnasium, onde obteve honras em todas as disciplinas, demonstrando aptidão particular em matemática, línguas e religião. Inicialmente destacando-se em línguas, seus interesses mais tarde mudaram para história e matemática. Seu envolvimento com a matemática intensificou-se em 1920, coincidindo com a partida de seu irmão mais velho, Rudolf, para Viena para prosseguir estudos médicos na Universidade de Viena. Durante sua adolescência, Gödel mergulhou na taquigrafia de Gabelsberger, nas críticas de Isaac Newton e nas obras filosóficas de Immanuel Kant.

Estudos em Viena

Ao completar 18 anos, Gödel matriculou-se na Universidade de Viena, juntando-se ao irmão, já tendo obtido proficiência em matemática de nível universitário. Apesar de sua intenção inicial de seguir física teórica, ele também se dedicou a cursos de matemática e filosofia. Ao mesmo tempo, ele abraçou os princípios do realismo matemático. Seus estudos incluíram Fundamentos Metafísicos da Ciência Natural, e ele se tornou um participante ativo do Círculo de Viena ao lado de Moritz Schlick, Hans Hahn e Rudolf Carnap. Posteriormente, Gödel mergulhou na teoria dos números; no entanto, sua participação em um seminário liderado por Moritz Schlick, focado na Introdução à Filosofia Matemática de Bertrand Russell, despertou seu interesse pela lógica matemática. O próprio Gödel caracterizou a lógica matemática como "uma ciência anterior a todas as outras, que contém as ideias e princípios subjacentes a todas as ciências". A participação de Gödel numa palestra de David Hilbert em Bolonha, que abordou a completude e consistência dentro dos sistemas matemáticos, moldou potencialmente a sua futura trajetória académica. Em 1928, Hilbert e Wilhelm Ackermann foram coautores de Grundzüge der theoretischen Logik (Princípios de Lógica Matemática), um texto fundamental sobre lógica de primeira ordem que introduziu a questão crítica da completude: "Os axiomas de um sistema formal são suficientes para derivar cada afirmação que é verdadeira em todos os modelos do sistema?"

Este assunto específico tornou-se o foco da pesquisa de doutorado de Gödel. Em 1929, aos 23 anos, defendeu com sucesso sua tese de doutorado, orientada por Hans Hahn. Nesta dissertação, ele formulou e provou seu teorema de completude homônimo relativo à lógica de primeira ordem. Ele recebeu seu doutorado em 1930, e sua tese, juntamente com pesquisas complementares, foi posteriormente publicada pela Academia de Ciências de Viena.

Em 1929, Gödel encontrou Adele Nimbursky (nascida Porkert), uma divorciada que morava com os pais em frente à casa dele. Uma década depois, em setembro de 1938, eles se casaram em cerimônia civil. Adele, uma bailarina treinada, trabalhava como massagista quando se conheceram. Ela também já havia trabalhado como dançarina em uma boate no centro da cidade chamada Nachtfalter ("mariposa noturna"). Os pais de Gödel expressaram desaprovação do relacionamento devido à sua origem social e à idade, já que ela era seis anos mais velha que ele. Apesar das objeções familiares iniciais, o casamento é geralmente considerado contente. Adele forneceu um apoio crucial a Gödel, especialmente tendo em conta os seus desafios psicológicos que impactaram a sua existência quotidiana. Eles não tiveram filhos.

Carreira

Teoremas da Incompletude

A contribuição de Kurt Gödel para a lógica moderna é singular e monumental – na verdade, ela transcende um mero monumento, servindo como um marco destinado a permanecer discernível através de vastas extensões de espaço e tempo. ... A própria essência e potencial da lógica como disciplina foram inegavelmente transformados pelas realizações de Gödel.

Em 1930, Gödel participou da Segunda Conferência sobre Epistemologia das Ciências Exatas, que aconteceu em Königsberg de 5 a 7 de setembro. Durante esta conferência, ele apresentou formalmente seu teorema de completude para lógica de primeira ordem. Concluindo sua apresentação, ele observou que essa descoberta não se estendia à lógica de ordem superior, prenunciando assim seus inovadores teoremas de incompletude.

Os teoremas de incompletude de Gödel foram publicados em seu trabalho seminal, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, que se traduz como "Sobre Proposições Formalmente Indecidíveis de Principia Mathematica e Sistemas Relacionados." Neste artigo, ele demonstrou que para qualquer sistema axiomático computável suficientemente robusto para articular a aritmética dos números naturais (como os axiomas de Peano ou a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel incorporando o axioma da escolha), o seguinte é válido:

1. Se um sistema formal (seja lógico ou axiomático) exibe consistência ômega, ele é inerentemente incapaz de ser sintaticamente completo.
2. A consistência interna de um conjunto de axiomas não pode ser formalmente estabelecida a partir do mesmo sistema.

Esses teoremas concluíram definitivamente um esforço de cinquenta anos, iniciado pelo trabalho de Frege e culminando no Principia Mathematica e no programa de Hilbert, que buscava descobrir uma axiomatização não relativamente consistente, adequada para a teoria dos números, destinada a servir como base fundamental para outros domínios matemáticos.

Gödel concebeu uma fórmula que afirma a sua própria improbabilidade dentro de um sistema formal específico. Isto implicava que se a fórmula fosse demonstrável, seria inerentemente falsa, estabelecendo assim a existência de pelo menos uma afirmação que é verdadeira, mas improvável. Especificamente, para qualquer conjunto computavelmente enumerável de axiomas aritméticos - definido como um conjunto teoricamente imprimível por um computador idealizado com recursos infinitos - existe uma fórmula que é aritmeticamente verdadeira, mas não pode ser provada dentro desse sistema. Para alcançar essa precisão, Gödel desenvolveu uma metodologia para codificar declarações, provas e a noção de demonstrabilidade como números naturais, uma técnica chamada numeração de Gödel.

Em seu artigo conciso de 1932, Sobre o cálculo proposicional intuicionista, Gödel desafiou o valor finito da lógica intuicionista. Sua prova incorporou implicitamente princípios que posteriormente foram reconhecidos como lógica intermediária de Gödel-Dummett, também conhecida como lógica difusa de Gödel.

Meados da década de 1930: pesquisas subsequentes e compromissos dos Estados Unidos

Gödel completou sua habilitação em Viena em 1932, tornando-se posteriormente um Privatdozent (professor não remunerado) na instituição em 1933. O mesmo ano marcou a ascensão de Adolf Hitler ao poder na Alemanha, levando a uma crescente influência nazista na Áustria e dentro da comunidade matemática vienense nos anos seguintes. Um evento significativo ocorreu em junho de 1936, quando Moritz Schlick, cujos seminários inicialmente despertaram o interesse de Gödel pela lógica, foi assassinado por um ex-aluno, Johann Nelböck. Este incidente precipitou "uma grave crise nervosa" para Gödel, manifestando-se em sintomas paranóicos, nomeadamente uma fobia de envenenamento, que exigiu vários meses de tratamento num sanatório especializado em distúrbios nervosos.

A inicial de Gödel Ele também apresentou uma palestra na reunião anual da American Mathematical Society. Ao mesmo tempo, Gödel avançou seus conceitos de computabilidade e funções recursivas, culminando em uma palestra sobre funções recursivas gerais e a noção de verdade. Esta pesquisa foi baseada na teoria dos números e empregou a numeração de Gödel.

Em 1934, Gödel proferiu uma série de palestras no Instituto de Estudos Avançados (IAS) em Princeton, Nova Jersey, sob o título Sobre proposições indecidíveis de sistemas matemáticos formais. Stephen Kleene, que recentemente obteve seu doutorado em Princeton, documentou meticulosamente essas palestras, e suas notas foram posteriormente publicadas.

Gödel revisitou o IAS no outono de 1935. O esforço cumulativo de viagens e trabalho intensivo levou à sua exaustão, levando-o a tirar um ano sabático no ano seguinte para se recuperar de um episódio depressivo. Ele retomou suas funções de professor em 1937. Durante esse período, ele se concentrou em demonstrar a consistência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo, provando em última análise que essas hipóteses não são refutáveis dentro do sistema axiomático padrão da teoria dos conjuntos.

Após seu casamento com Adele Nimbursky em 1938, Gödel empreendeu outro. e da hipótese do continuum generalizado com os axiomas da teoria dos conjuntos, um trabalho seminal na matemática moderna. Nesta publicação, ele introduziu o universo construtível, um modelo de teoria dos conjuntos onde a existência é limitada a conjuntos deriváveis ​​de conjuntos mais simples. Gödel demonstrou que tanto o axioma da escolha (AC) quanto a hipótese do contínuo generalizado (GCH) são verdadeiros dentro do universo construtível, estabelecendo assim sua consistência com os axiomas de Zermelo-Fraenkel para a teoria dos conjuntos (ZF). Esta descoberta traz implicações significativas para os matemáticos, permitindo a suposição do axioma da escolha em provas como o teorema de Hahn-Banach. Posteriormente, Paul Cohen desenvolveu um modelo ZF no qual AC e GCH são falsos, indicando coletivamente que AC e GCH são independentes dos axiomas ZF para a teoria dos conjuntos.

Na primavera de 1939, Gödel foi afiliado à Universidade de Notre Dame.

Princeton, Einstein e a cidadania dos Estados Unidos

Após o Anschluss em 12 de março de 1938, a Áustria foi incorporada à Alemanha nazista. O regime alemão aboliu posteriormente o título académico Privatdozent, obrigando Gödel a procurar uma nomeação académica alternativa dentro da nova estrutura administrativa. Suas afiliações anteriores com membros judeus do Círculo de Viena, particularmente Hahn, impactaram negativamente suas perspectivas. Consequentemente, a Universidade de Viena rejeitou o seu pedido.

A sua situação deteriorou-se ainda mais quando o exército alemão o considerou elegível para o recrutamento militar. Com a eclosão da Segunda Guerra Mundial em setembro de 1939, Gödel e sua esposa partiram de Viena para Princeton no final daquele ano. Para contornar os desafios de uma viagem ao Atlântico, os Gödel embarcaram na Ferrovia Transiberiana para o Pacífico, navegando posteriormente do Japão para São Francisco, onde chegaram em 4 de março de 1940, antes de completarem a viagem de trem para Princeton. Durante o trânsito, Gödel teria recebido uma carta confidencial para Einstein do físico vienense Hans Thirring, destinada a informar o presidente Franklin D. Roosevelt sobre o potencial do regime de Hitler para desenvolver uma bomba atômica. Apesar de conhecer Einstein, Gödel nunca entregou a carta, pois duvidava da capacidade de Hitler de alcançar tal feito tecnológico. No entanto, Leo Szilard já havia comunicado essa preocupação a Einstein, que posteriormente alertou o presidente Roosevelt.

Ao chegar a Princeton, Gödel garantiu um cargo no Instituto de Estudos Avançados (IAS), instituição que havia visitado anteriormente entre 1933 e 1934.

Ao mesmo tempo, Albert Einstein residia em Princeton. Gödel e Einstein cultivaram uma amizade profunda, frequentemente observada em longas caminhadas de e para o IAS. A substância das suas discussões permaneceu enigmática para os seus colegas do Instituto. O economista Oskar Morgenstern documentou que, em seus últimos anos, Einstein confessou que seu próprio trabalho havia diminuído de importância, afirmando que ele frequentou o Instituto principalmente "para ter o privilégio de voltar para casa com Gödel". No verão de 1942, Gödel e sua esposa residiam em Blue Hill, Maine, hospedando-se no Blue Hill Inn, situado na cabeceira da baía. Este período revelou-se excepcionalmente produtivo para a pesquisa de Gödel. Baseando-se no Heft 15 (volume 15) dos então não publicados Arbeitshefte (cadernos de trabalho), John W. Dawson Jr. teoria dos tipos finitos - uma forma menos rigorosa de teoria dos conjuntos - durante sua estada em Blue Hill em 1942. Esta hipótese é corroborada pelo colaborador próximo de Gödel, Hao Wang, que observou que os cadernos Blue Hill de Gödel apresentam a sua exploração mais abrangente deste problema específico.

Em 5 de dezembro de 1947, Einstein e Morgenstern serviram como testemunhas de Gödel durante o seu exame de cidadania nos Estados Unidos. Gödel já lhes tinha revelado a sua descoberta de uma inconsistência constitucional que, na sua opinião, poderia potencialmente permitir aos EUA a transição para uma ditadura - um conceito posteriormente denominado Brecha de Gödel. Tanto Einstein como Morgenstern nutriam preocupações de que o comportamento idiossincrático de Gödel pudesse pôr em perigo o seu pedido de cidadania. O juiz presidente foi Phillip Forman, que conhecia Einstein e já havia administrado o juramento durante a audiência de naturalização de Einstein. O processo prosseguiu sem incidentes até que Forman perguntou se Gödel acreditava que uma ditadura semelhante ao regime nazista poderia surgir nos Estados Unidos. Gödel prontamente começou a elaborar sua descoberta constitucional ao juiz Forman. Percebendo a situação, Forman interveio, redirecionando a audiência para perguntas padrão e concluindo o processo rotineiramente.

Em 1946, Gödel tornou-se membro permanente do Instituto de Estudos Avançados de Princeton. Posteriormente, foi nomeado professor titular do Instituto em 1953, alcançando o status de emérito em 1976.

Enquanto estava no Instituto, as atividades intelectuais de Gödel se expandiram para abranger a filosofia e a física. Em 1949, ele demonstrou notavelmente a existência de soluções para as equações de campo de Einstein na relatividade geral que incorporavam curvas fechadas semelhantes ao tempo. Este significativo desenvolvimento teórico teria sido apresentado a Einstein como um presente em seu 70º aniversário. Esses “universos giratórios”, que teoricamente permitem viagens no tempo ao passado, levaram Einstein a reavaliar aspectos de sua própria teoria. Estas soluções são agora reconhecidas como a métrica de Gödel, uma solução exata para a equação de campo de Einstein.

Gödel estudou meticulosamente e admirava muito o trabalho de Gottfried Leibniz, embora eventualmente tenha desenvolvido a convicção de que uma conspiração malévola levou à supressão de alguns dos escritos de Leibniz. Ele também se envolveu, embora de forma menos extensiva, com as filosofias de Immanuel Kant e Edmund Husserl. Durante o início da década de 1970, Gödel divulgou entre seus conhecidos uma formulação ampliada da interpretação de Leibniz do argumento ontológico de Anselmo de Canterbury para a existência de Deus. Esta formulação é agora amplamente reconhecida como a prova ontológica de Gödel.

Prêmios e homenagens

Gödel recebeu o primeiro Prêmio Albert Einstein em 1951, compartilhando-o com Julian Schwinger, e mais tarde foi homenageado com a Medalha Nacional de Ciência em 1974. Suas distinções acadêmicas incluem a eleição como membro residente da Sociedade Filosófica Americana em 1961 e como Membro Estrangeiro da Royal Society (ForMemRS) em 1968. Ele também proferiu um discurso plenário no Congresso Internacional de Matemáticos (ICM) em Cambridge, Massachusetts, em 1950.

Vida pessoal e morte

Em 1938, Gödel casou-se com Adele Nimbursky em Viena, e o casal posteriormente se mudou para os Estados Unidos um ano depois.

Durante seus últimos anos, Gödel passou por episódios de instabilidade mental e doença. Certos estudiosos propuseram diagnósticos como síndrome de Asperger e transtorno obsessivo-compulsivo. Após o assassinato de seu amigo Moritz Schlick, Gödel desenvolveu uma intensa fobia de envenenamento, consumindo consequentemente apenas refeições preparadas por sua esposa, Adele. Quando Adele foi hospitalizada devido a um derrame no final de 1977, Gödel, na sua ausência, parou de comer. Ele pesava 29 kg (65 lb) no momento de sua morte, em 14 de janeiro de 1978, no Hospital de Princeton, com a causa oficialmente registrada como "desnutrição e inanição causada por distúrbios de personalidade". Seu enterro ocorreu no Cemitério de Princeton. Adele faleceu em 1981, legando os documentos coletados por Gödel ao Instituto de Estudos Avançados.

Perspectivas Religiosas

Gödel tinha a convicção de que Deus possuía uma natureza pessoal, caracterizando sua perspectiva filosófica como "racionalista, idealista, otimista e teológica". Ele desenvolveu uma prova formal preliminar para a existência de Deus, que ficou conhecida como a prova ontológica de Gödel. Gödel subscreveu o conceito de vida após a morte, afirmando: "É claro que isso supõe que existem muitas relações das quais a ciência de hoje e a sabedoria recebida não têm qualquer ideia. Mas estou convencido disso [a vida após a morte], independentemente de qualquer teologia." Afirmou ainda que “hoje é possível perceber, por puro raciocínio” que “é inteiramente consistente com os fatos conhecidos”. Ele concluiu: "Se o mundo é construído racionalmente e tem significado, então deve existir algo [como uma vida após a morte]." Além disso, ele explorou extensivamente outros assuntos paranormais, como telepatia, reencarnação e fantasmas.

Em uma resposta ao questionário que não foi enviada, Gödel caracterizou sua afiliação religiosa como "luterana batizada (mas não membro de nenhuma congregação religiosa). Minha crença é teísta, não panteísta, seguindo Leibniz em vez de Spinoza". Com relação à religião em geral, ele observou: “As religiões são em sua maioria ruins, mas não a religião em si”. Sua esposa, Adele, contou que "Gödel, embora não fosse à igreja, era religioso e lia a Bíblia na cama todos os domingos de manhã". Ao expressar sua opinião sobre o Islã, ele afirmou: "Gosto do Islã: é uma ideia consistente [ou consequente] de religião e de mente aberta."

Legado duradouro

A publicação de Douglas Hofstadter de 1979, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, integra as obras e conceitos de Gödel, M. C. Escher e Johann Sebastian Bach. O livro investiga parcialmente as implicações decorrentes do fato de que o teorema da incompletude de Gödel é aplicável a qualquer sistema computacional completo de Turing, abrangendo potencialmente o cérebro humano. Em 2005, John W. Dawson Jr. escreveu um trabalho biográfico intitulado Dilemas lógicos: a vida e a obra de Kurt Gödel. Durante o mesmo ano, Rebecca Goldstein lançou Incompletude: A Prova e Paradoxo de Kurt Gödel como um capítulo da série Grandes Descobertas. O relato biográfico de Stephen Budiansky sobre Gödel, Journey to the Edge of Reason: The Life of Kurt Gödel, foi reconhecido como o livro mais importante da crítica do New York Times de 2021. Gödel estava entre os quatro matemáticos apresentados no documentário de David Malone da BBC de 2008, Dangerous Knowledge.

Estabelecido em 1987, o A Sociedade Kurt Gödel funciona como uma organização internacional dedicada ao avanço da pesquisa em lógica, filosofia e história da matemática. A Universidade de Viena abriga o Centro de Pesquisa Kurt Gödel para Lógica Matemática. A Association for Symbolic Logic apresenta uma Palestra Gödel anual desde 1990. O Prêmio Gödel é concedido anualmente a um artigo excepcional em ciência da computação teórica. Os cadernos filosóficos de Gödel estão atualmente em revisão editorial no Centro de Pesquisa Kurt Gödel, situado na Academia de Ciências e Humanidades de Berlim-Brandenburg. Uma compilação em cinco volumes das obras coletadas de Gödel foi lançada. Os dois volumes iniciais compreendem suas obras publicadas; o terceiro contém manuscritos inéditos de seu Nachlass; e os dois volumes finais apresentam sua correspondência.

No filme I.Q. de 1994, Lou Jacobi retratou Gödel. No filme Oppenheimer de 2023, Gödel, interpretado por James Urbaniak, faz uma breve aparição caminhando ao lado de Einstein nos jardins de Princeton.

Bibliografia

Publicações em língua alemã

• 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls." Monatshefte für Matemática e Física 37: 349–60.
• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
• 1932, "Sobre o Cálculo Proposicional Intuicionista", Boletim da Academia de Ciências de Viena 69: 65–66.

1940. A Consistência do Axioma da Escolha e da Hipótese do Continuum Generalizado com os Axiomas da Teoria dos Conjuntos. Imprensa da Universidade de Princeton.

• 1940. A consistência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo generalizado com os axiomas da teoria dos conjuntos. Princeton University Press.
• 1947. "Qual é o problema do contínuo de Cantor?" The American Mathematical Monthly 54: 515–25. Uma versão revisada aparece em Paul Benacerraf e Hilary Putnam, editores, 1984 (originalmente 1964). Filosofia da Matemática: Leituras Selecionadas. Imprensa da Universidade de Cambridge: 470–85.
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• Kurt Gödel, 1992. Sobre Proposições Formalmente Indecidíveis de Principia Mathematica e Sistemas Relacionados, tr. B. Meltzer, com uma introdução abrangente de Richard Braithwaite. Reimpressão de Dover da edição Basic Books de 1962.
• Kurt Gödel, 2000. Sobre Proposições Formalmente Indecidíveis de Principia Mathematica e Sistemas Relacionados, traduzido por Martin Hirzel.
• Jean van Heijenoort, 1967. Um livro fonte em lógica matemática, 1879–1931. Imprensa da Universidade de Harvard.
  • 1930. "A completude dos axiomas do cálculo funcional da lógica", 582–91.
  • 1930. "Alguns resultados metamatemáticos sobre integridade e consistência", 595–96. Isto serve como resumo para a publicação de 1931.
  • 1931. "Sobre proposições formalmente indecidíveis de Principia Mathematica e sistemas relacionados", 596–616.
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• Obras Coletadas: Oxford University Press, Nova York. Editor-chefe: Solomon Feferman.
• Gödel, Kurt. Obras Coletadas. Nova York: Oxford University Press.— (1986). (PDF). Vol. I. ISBN 978-0-19-503964-1.— (1990). Feferman, Salomão; Dawson, Jr., John W.; Kleene, Stephen C.; Moore, Gregory H.; Solovay, Robert M.; Van Heijenoort, Jean (editores). Publicações 1938–1974 (PDF). Vol. II. Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-503972-6.— (1995). Feferman, Salomão; Dawson Jr., John W.; Goldfarb, Warren; Parsons, Charles; Solovay, Robert M. (editores). Ensaios e palestras não publicados (PDF). Vol. III. ISBN 978-0-19-507255-6.— (2003). Feferman, Salomão; Dawson Jr., John W.; Goldfarb, Warren; Parsons, Charles; Sieg, Wilfried (editores). Correspondência A–G (PDF). Vol. 4. Imprensa Clarendon. ISBN 978-0-19-850073-5.— (2003). Feferman, Salomão; Dawson, Jr., John W.; Goldfarb, Warren; Parsons, Charles; Sieg, Wilfried (editores). Correspondência H–Z (PDF). Vol. V. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850075-9.
  • Lógica difusa de Gödel
  • Prêmio Gödel
  • A prova ontológica de Gödel
  • Lógica de valor infinito
  • Lista dos pioneiros da ciência da computação
  • Prova original do teorema da completude de Gödel
  • Lógica de Gödel-Löb
  • Loop estranho
  • Teorema da Indefinibilidade de Tarski
  • Dia Global da Lógica

  Notas

  Referências

  Fontes

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    • Galeria de fotos de Gödel. (arquivado)
    • Memórias biográficas da Academia Nacional de Ciências