Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (; Almanca: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 Eylül 1826 - 20 Temmuz 1866), analiz, sayı teorisi ve diferansiyel geometri alanlarını önemli ölçüde geliştiren tanınmış bir Alman matematikçiydi. Gerçek analizde en dikkate değer başarıları arasında, günümüzde Riemann integrali olarak bilinen integralin ilk titiz formülasyonu ve Fourier serileri üzerine kapsamlı çalışması yer almaktadır. Karmaşık analizde, konuya doğal, geometrik bir yaklaşıma öncülük eden Riemann yüzeylerini tanıtmasıyla özellikle tanınmaktadır. Riemann hipotezinin ilk formülasyonunu sunan asal sayma işleviyle ilgili 1859 tarihli ufuk açıcı yayını, analitik sayılar teorisinin temel taşı olarak duruyor. Riemann'ın diferansiyel geometrideki çığır açan çalışması, genel görelilik teorisinin matematiksel temellerini oluşturdu. Kendisi birçok kişi tarafından tarihin en etkili matematikçilerinden biri olarak kabul edilmektedir.

Erken Dönem

17 Eylül 1826'da doğan Riemann, Hannover Krallığı'ndaki Dannenberg yakınlarındaki bir köy olan Breselenz'den doğmuştur. Babası Friedrich Bernhard Riemann, Breselenz'de yoksul bir Lutherci papaz olarak görev yaptı ve Napolyon Savaşları'nın gazisiydi. Annesi Charlotte Ebell 1846'da vefat etti. Altı çocuktan ikincisiydi. Riemann, erken yaşlardan itibaren, özellikle hesaplama becerilerinde olmak üzere olağanüstü matematik yeteneği sergiledi, ancak derin çekingenliği, anlam korkusu ve hassas sağlığıyla mücadele etti.

Akademik Takipler

1840 yılında Riemann, büyükannesinin yanında yaşamak ve bir liseye kaydolmak için Hannover'e taşındı, çünkü bu eğitim kurumu kendi köyünde mevcut değildi. Büyükannesinin 1842'deki ölümünün ardından Lüneburg'da bulunan Johanneum Lüneburg ortaokuluna transfer oldu. Riemann oradayken yoğun bir İncil çalışmasıyla meşgul oldu, ancak odak noktası sıklıkla matematiğe yöneldi. Eğitmenleri, çoğu zaman kendi uzmanlıklarını aşan karmaşık matematiksel hesaplamalar yapma kapasitesi karşısında hayrete düşmüşlerdi. 1846'da 19 yaşındayken, papaz olmak ve ailesinin mali istikrarına katkıda bulunmak amacıyla filoloji ve Hıristiyan teolojisi çalışmalarına başladı.

1846 baharında, babasının yeterli fonu sağlamasının ardından Riemann, teoloji diploması almak amacıyla Göttingen Üniversitesi'ne gönderildi. Bununla birlikte, vardığında Carl Friedrich Gauss'un yanında matematik çalışmalarına başladı, özellikle en küçük kareler yöntemi üzerine derslere katıldı. Gauss daha sonra Riemann'a teolojiyi bırakıp matematiğe yönelmesini tavsiye etti; Riemann, babasının izniyle 1847'de Berlin Üniversitesi'ne transfer oldu. Orada görev yaptığı süre boyunca, önemli öğretim üyeleri arasında Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner ve Gotthold Eisenstein vardı. Berlin'de iki yıl geçirdikten sonra 1849'da Göttingen'e döndü.

Akademik Kariyer

1854'te Riemann, Riemann geometrisinin temel ilkelerini oluşturan ve böylece Albert Einstein'ın genel görelilik teorisinin temelini oluşturan açılış derslerini verdi. 1857'de Riemann'ı Göttingen Üniversitesi'nde olağanüstü profesör pozisyonuna yükseltme girişimi gerçekleşti. Bu terfi başarısız olsa da ona tutarlı bir maaş sağladı. Daha sonra, 1859'da Gauss'un Göttingen Üniversitesi'ndeki saygın koltuğunu işgal eden Dirichlet'in vefatı üzerine Riemann, üniversitenin matematik bölümünün başına atandı. Üstelik fiziksel gerçekliğin tanımlanmasında üç veya dört boyutun ötesinde boyutların kullanılmasını öneren ilk kişi oydu.

1862'de Elise Koch ile evlendi ve daha sonra bir kızları oldu.

Sonraki Yaşam ve Ölüm

1866'da Riemann, Hannover ve Prusya orduları arasındaki çatışmanın ortasında Göttingen'den ayrıldı. Üçüncü İtalya yolculuğu sırasında tüberküloza yenik düştü ve şu anda Maggiore Gölü kıyısındaki bir Verbania mezrası olan Selasca'da vefat etti ve burada Biganzolo mezarlığına (Verbania) defnedildi.

Riemann dindar bir Hıristiyandı ve Protestan bir papazın oğluydu ve matematik çalışmalarını bir tür ilahi hizmet olarak görüyordu. Hayatı boyunca sadık bir Hıristiyan inancını sürdürdü ve bunu varlığının en önemli unsuru olarak gördü. Rabbin Duasını eşiyle birlikte okurken, tamamlanmadan vefat etti. Aynı zamanda, Göttingen'de hizmetçisi, önemli miktarda yayınlanmamış materyali kapsayan, çalışma odasındaki çok sayıda makaleyi yanlışlıkla elden çıkardı. Riemann'ın bitmemiş çalışmayı yayınlama konusundaki isteksizliği göz önüne alındığında, bazı derin içgörülerin geri alınamayacak şekilde kaybolmuş olması mantıklıdır.

Riemann geometrisi

Riemann'ın yayınlanmış çalışmaları, analiz ve geometrinin kesiştiği noktada yeni araştırma alanlarına öncülük etti. Bu temel katkılar daha sonra Riemann geometrisi, cebirsel geometri ve karmaşık manifold teorisinin temel ilkelerine dönüştü. Riemann yüzeylerinin kavramsal çerçevesi Felix Klein ve özellikle Adolf Hurwitz tarafından daha da geliştirildi. Bu matematiksel disiplin, topolojinin temel bir bileşenini oluşturur ve matematiksel fizikte yenilikçi uygulamalar bulmaya devam eder.

1853'te Gauss, öğrencisi Riemann'ı geometrinin temel ilkelerini ele alan bir Habilitationsschrift oluşturması için görevlendirdi. Riemann birkaç ayını yüksek boyutlar teorisini formüle etmeye adadı ve bu, 10 Haziran 1854'te Göttingen'de Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen başlıklı bir konferansla sonuçlandı. Bu ufuk açıcı çalışma, on iki yıl sonra, Riemann'ın ölümünden iki yıl sonra Dedekind tarafından yayımlandığı 1868 yılına kadar yayınlanmadan kaldı. Her ne kadar başlangıçtaki kabulü zayıf olsa da, artık evrensel olarak geometri alanına yapılan en önemli katkılardan biri olarak kabul edilmektedir.

Bu temel bilimsel inceleme, Riemann geometrisi olarak bilinen disiplini kurmuştur. Riemann, yüzeylerin diferansiyel geometrisini (Gauss'un teorema egregium'unda) bizzat açıkladığı bir kavram) n boyutlara genelleştirmek için bir yöntemi başarıyla tasarladı. Bu çerçevenin temel bileşenleri arasında Riemann metriği ve Riemann eğrilik tensörü bulunur. Bir yüzeyin iki boyutlu durumunda, herhangi bir noktadaki eğrilik, sabit pozitif veya negatif eğrilik sergileyen yüzeylerin Öklid dışı geometrilerin örnekleri olarak hizmet ettiği skaler bir değere basitleştirilebilir.

Her uzaysal noktada bir dizi sayı içeren bir tensör olan Riemann metriği, herhangi bir yörünge boyunca hızın ölçülmesini kolaylaştırır; integrali yörüngenin uç noktaları arasındaki mesafeyi verir. Örneğin Riemann, dört boyutlu bir uzaysal bağlamda, deformasyonuna bakılmaksızın bir manifold üzerindeki mesafeleri ve eğrilikleri karakterize etmek için her noktada on farklı sayısal değerin gerekli olduğunu gösterdi.

Karmaşık analiz

Tezinde Riemann, Riemann yüzeylerini kullanan karmaşık analiz için geometrik bir temel oluşturdu ve böylece logaritma (sonsuz sayıda sayfayla karakterize edilen) veya karekök (iki sayfayla karakterize edilen) gibi çok değerli fonksiyonları tek değerli fonksiyonlara dönüştürdü. Bu yüzeylerde, karmaşık fonksiyonlar harmonik fonksiyonlar olarak ortaya çıkar (yani Laplace denklemine ve dolayısıyla Cauchy-Riemann denklemlerine uyarlar), özellikleri tekilliklerinin konumları ve yüzeylerin doğasında olan topoloji ile tanımlanır. Riemann yüzeylerinin topolojik cinsi matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: g = w / §1617§ −<!-- − --> n + §2526§ {\displaystyle g=w/2-n+1 , burada yüzey ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w$ dallanma noktaları. 78§ {\displaystyle g>1} , Riemann yüzeyi ${\displaystyle (3g-3)$ modül olarak bilinen parametreler.

Bu alana yaptığı katkılar oldukça kapsamlıdır. Ünlü Riemann haritalama teoremi, karmaşık düzlem içindeki herhangi bir basit bağlantılı alanın biholomorfik olarak eşdeğer olduğunu, yani holomorfik tersi olan holomorfik bir eşleşmenin var olduğunu, ${\displaystyle \mathbb {C}$ veya birim çemberin içi. Bu teoremin Riemann yüzeylerine genelleştirilmesi, tekdüzeleştirme teoremi olarak bilinir; bu, 19. yüzyılda Henri Poincaré ve Felix Klein tarafından oluşturulan önemli bir sonuçtur. Benzer şekilde, bu genellemenin kesin kanıtları ancak daha karmaşık matematiksel araçların, özellikle de topolojinin geliştirilmesinden sonra ortaya çıktı. Riemann yüzeylerinde fonksiyonların varlığını gösterirken Riemann, Dirichlet ilkesi adını verdiği bir minimallik koşulunu kullandı. Ancak Karl Weierstrass bu kanıtta kritik bir kusur tespit etti: Riemann, bir minimumun varlığına ilişkin temel varsayımının potansiyel geçersizliğini gözden kaçırmıştı, çünkü fonksiyon alanı tamlıktan yoksun olabilir ve dolayısıyla garanti edilmiş bir minimumu imkansız hale getirebilirdi. Nihayetinde Dirichlet ilkesi, David Hilbert'in Varyasyonlar Hesabı'ndaki sonraki çalışmasıyla titizlikle oluşturuldu. Buna rağmen Weierstrass, Riemann'a büyük saygı duyuyordu, özellikle de değişmeli fonksiyonlar teorisine hayranlık duyuyordu. Riemann'ın çalışmasının yayınlanmasının ardından Weierstrass, yayınlamamayı tercih ederek kendi makalesini Crelle's Journal'den çekti. Riemann'ın Weierstrass'ı sırasında aralarında gelişen güçlü bir karşılıklı anlayış, daha sonra öğrencisi Hermann Amandus Schwarz'ı, Schwarz'ın başarıya ulaştığı karmaşık analiz dahilinde Dirichlet ilkesine alternatif yaklaşımlar geliştirmeye teşvik etti. Arnold Sommerfeld'in anlattığı bir anekdot, çağdaş matematikçilerin Riemann'ın yeni kavramlarını anlamada karşılaştıkları zorlukları gösteriyor. 1870 yılında Weierstrass'ın Riemann'ın tezini bir tatilde Rigi'ye götürdüğü ve tezin anlaşılmasında zorluk çektiği bildirildi. Fizikçi Hermann von Helmholtz gece boyunca ona yardım etti ve ardından çalışmanın hem "doğal" hem de "çok anlaşılır" olduğunu belirtti.

Diğer önemli katkıları arasında, özellikle Riemann yüzeyleri bağlamında değişmeli fonksiyonlar ve teta fonksiyonları üzerine yaptığı araştırmalar yer almaktadır. 1857'den beri Riemann, eliptik integrallerin bir genellemesini temsil eden değişmeli integraller için Jacobian ters problemlerini çözmek için Weierstrass ile rekabetçi bir çaba içindeydi. Riemann buna birden fazla değişkenin teta fonksiyonlarını kullanarak yaklaştı ve böylece sorunu bu fonksiyonların sıfırlarını belirlemeye indirgedi. Ayrıca dönem matrislerini de araştırdı ve bunları simetriyi ve negatif gerçek kısmı şart koşan "Riemann dönemi ilişkileri" aracılığıyla karakterize etti. Ferdinand Georg Frobenius ve Solomon Lefschetz daha sonra bu ilişkinin geçerliliğinin ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega$—burada ${\displaystyle \Omega$ periyot matrisinin kafesini teta fonksiyonlarını kullanarak yansıtmalı bir uzaya belirtir. Belirli ${\displaystyle n}$, bu yapı, değişmeli manifoldu örnekleyen Riemann yüzeyinin Jacobian çeşitliliğini verir.

Alfred Clebsch'in de aralarında bulunduğu çok sayıda matematikçi daha sonra Riemann'ın cebirsel eğriler üzerine temel çalışmasını geliştirdi. Bu teorik çerçeveler, Riemann yüzeyleri üzerinden tanımlanan fonksiyonların özelliklerine dayanıyordu. Örneğin, adını kısmen Riemann'ın öğrencisi Roch'tan alan Riemann-Roch teoremi, sıfırları ve kutuplarıyla ilgili belirli koşullara tabi olarak bir Riemann yüzeyindeki doğrusal bağımsız diferansiyellerin sayısını tanımlar.

Detlef Laugwitz, otomorfik fonksiyonların ilk olarak elektrik yüklü silindirlere uygulanan Laplace denklemiyle ilgili bir makalede ortaya çıktığını öne sürüyor. Ancak Riemann, 1859'da hipergeometrik fonksiyonlar üzerine verdiği konferansta ve minimal yüzeyler üzerine incelemesinde bu fonksiyonları konformal haritalamalar için (örneğin, topolojik üçgenleri daireye dönüştürmek) kullandı.

Gerçek analiz

Gerçek analizde Riemann, habilitasyonu sırasında Riemann integralini tanıttı ve tüm parçalı sürekli fonksiyonların integrallenebilir olduğunu gösterdi. Stieltjes integrali aynı zamanda Göttingen'li matematikçiye de atfedilir ve bu da onların birleşik olarak Riemann-Stieltjes integrali olarak adlandırılmasına yol açar.

Fourier serisi üzerine yaptığı habilitasyon tezinde, akıl hocası Dirichlet'in çalışmasına dayanan Riemann, Riemann ile integrallenebilir fonksiyonların Fourier serileri ile temsil edilebileceğini tespit etti. Dirichlet bunu sürekli, parçalı türevlenebilir fonksiyonlar (sayılabilir sayıda türevlenemeyen noktalarla karakterize edilen) için göstermiş olsa da, Riemann bunu sürekli, neredeyse hiçbir yerde türevlenemeyen bir işlevi temsil eden bir Fourier serisi örneği sağlayarak genişletti; bu, Dirichlet tarafından ele alınmayan bir senaryo. Ayrıca, bir fonksiyonun bir Fourier serisiyle temsil edilebilmesi durumunda, n büyüdükçe Fourier katsayılarının sıfıra yaklaşacağını belirten Riemann-Lebesgue lemmasını kanıtladı.

Riemann'ın ufuk açıcı makalesi aynı zamanda Georg Cantor'un Fourier serisine ilişkin araştırmalarının temel temelini oluşturdu ve bu daha sonra küme teorisinin gelişimini hızlandırdı.

1857'de Riemann, hipergeometrik diferansiyel denklemlere karmaşık analitik yöntemler uyguladı ve bunların çözümlerini, monodromi matrisi ile karakterize edilen tekillikler etrafındaki kapalı yolların davranışı aracılığıyla gösterdi. Önceden tanımlanmış monodromi matrisleri verildiğinde bu tür diferansiyel denklemlerin varlığının gösterilmesi Hilbert'in problemlerinden birini oluşturur.

Sayı Teorisi

Riemann modern analitik sayı teorisine önemli katkılarda bulundu. Sayı teorisi üzerine yazdığı tek kısa yayında, şimdi kendi adıyla anılan zeta fonksiyonunu araştırdı ve böylece asal sayıların dağılımını anlamadaki kritik rolünü ortaya koydu. Riemann hipotezi, fonksiyonun özelliklerine ilişkin olarak öne sürdüğü çeşitli varsayımlardan biri olarak ortaya çıktı.

Riemann'ın çalışması diğer birçok dikkate değer ilerlemeyi de kapsıyor. Daha önce Leonhard Euler tarafından tanımlanan ve bir teta fonksiyonuyla desteklenen bir ilişki olan zeta fonksiyonu için fonksiyonel denklemi gösterdi. Bu yaklaşım fonksiyonunu, gerçel kısmı 1/2 olan çizgi üzerinde bulunan önemsiz olmayan sıfırlar üzerinde toplayarak, ${\displaystyle \pi (x)$.

Chebyshev 1852'de Dirichlet'i ziyaret ettiğinden Riemann, Pafnuty Chebyshev'in Asal Sayı Teoremi ile ilgili araştırmasından haberdardı.

Yayınlar

Riemann'ın yayınlanmış çalışmaları şunları içerir:

• 1851 – Değişken karmaşık niceliğin fonksiyonlarının genel teorisinin temelleri (Değişken Karmaşık Büyüklüğün Fonksiyonlarının Genel Teorisinin Temelleri), Açılış tezi, Göttingen, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Abelian Fonksiyonlar Teorisi), Journal for pure and application math, Cilt. 54, s. 101–155.
• 1859 – Belirli bir boyutun altındaki asal sayıların sayısı hakkında (Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asal Sayıların Sayısı Üzerine), şurada: Prusya Bilimler Akademisi'nin aylık raporları. Berlin, Kasım 1859, s. 671ff. Bu çalışma Riemann'ın varsayımını içermektedir. Belirli bir boyutun altındaki asal sayıların sayısı hakkında. (Wikisource), Clay Math ile Wayback Machine'de 2016-03-03'te Arşivlenen metnin kopyası.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua answerere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Şanlı Paris Akademisi Tarafından Önerilen Bir Soruyu Yanıtlamaya Çalışılan Matematiksel Yorum), bir ödüllü yarışma için Paris Akademisi'ne sunuldu.
• 1867 – Bir fonksiyonun trigonometrik bir seriyle temsil edilebilirliği üzerine (Bir Fonksiyonun Trigonometrik Bir Seriyle Temsil Edilebilirliği Üzerine), Göttingen'deki Kraliyet Bilimler Topluluğu Bildirilerinin On Üçüncü Cildinden.
• 1868 – Geometrinin altında yatan hipotezler hakkında (Geometrinin Temelinde Yatan Hipotezler Üzerine). Kraliyet Bilimler Topluluğu İncelemeleri, Göttingen 1868. İngilizce çevirisi, Geometrinin temelinde yatan hipotezler üzerine, W.K. Clifford, Nature 8 (1873): 183'te ortaya çıktı ve daha sonra Clifford's Collected Mathematical Papers'da (Londra: MacMillan, 1882; New York: Chelsea, 1968) yeniden basıldı. Bu çalışma aynı zamanda Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics", 2 ciltte de yer almaktadır. (Oxford University Press: 652–61).
• 1876 – Bernhard Riemann'ın Toplu Matematik Çalışmaları ve Bilimsel Makaleleri, Heinrich Weber tarafından Richard Dedekind'in işbirliğiyle düzenlendi, Leipzig, B. G. Teubner 1876, 2. baskı 1892, Dover tarafından yeniden basıldı 1953 (Max Noether ve Wilhelm Wirtinger'in katkılarıyla, Teubner 1902). Sonraki basımlar arasında Bernhard Riemann'ın Toplu Eserleri: Almanca Metinlerin Tamamı. yer almaktadır. Düzenleyen: Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Wilhelm Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
• 1876 – Yerçekimi, Elektrik ve Manyetizma, Hannover: Karl Hattendorff.
• 1882 – Kısmi Diferansiyel Denklemler Üzerine Dersler, 3. baskı. Braunschweig 1882.
• 1901 – Riemann'ın Derslerine Göre Matematiksel Fiziğin Kısmi Diferansiyel Denklemleri. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (ed.). "Die partellen diferansiyel-gleichungen der mathematischen fiziği ve Riemann'ın Vorlesungen'i". Friedrich Vieweg und Sohn.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Toplu Makaleler, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Bernhard Riemann'ın adını taşıyan varlıkların listesi.
  • Bernhard Riemann'ın adını taşıyan şeylerin listesi
  • Öklid dışı geometri.
  • Belirli Bir Büyüklükten Küçük Asalların Sayısı Üzerine, Riemann'ın karmaşık zeta fonksiyonunu tanıtan 1859 tarihli makalesi.

  Referanslar

  Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann ve Matematikte En Büyük Çözülmemiş Problem, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.

  • Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topoloji ve Fizik, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). Riemann'dan Diferansiyel Geometri ve Göreliliğe. Springer. ISBN 9783319600390.Bernhard Riemann'ın Matematik Şecere Projesi'ndeki akademik geçmişi.
    • Bernhard Riemann Matematik Şecere Projesinde
    • Georg Friedrich Bernhard Riemann'ın derlenmiş matematik makaleleri.
    • Riemann'ın yayınları.
    • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", MacTutor Matematik Tarihi Arşivi, St Andrews ÜniversitesiWeisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.