Bernhard Riemann

جورج فريدريش بيرنهارد ريمان (; الألمانية: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 سبتمبر 1826  - 20 يوليو 1866) كان عالم رياضيات ألمانيًا بارزًا، وحقق تقدمًا ملحوظًا في مجالات التحليل ونظرية الأعداد والهندسة التفاضلية. ضمن التحليل الحقيقي، تشمل أبرز إنجازاته الصياغة الدقيقة الأولية للتكامل، المعروف الآن باسم تكامل ريمان، وعمله المكثف على متسلسلة فورييه. في التحليل المعقد، اشتهر بشكل خاص بتقديمه أسطح ريمان، التي كانت رائدة في اتباع نهج هندسي طبيعي لهذا الموضوع. يعتبر منشوره الرائد عام 1859 بشأن وظيفة العد الأولي، والذي قدم الصياغة الأولية لفرضية ريمان، بمثابة حجر الزاوية في نظرية الأعداد التحليلية. أدى عمل ريمان الرائد في الهندسة التفاضلية إلى إرساء الأسس الرياضية لنظرية النسبية العامة. ويُنظر إليه على نطاق واسع على أنه أحد أكثر علماء الرياضيات تأثيرًا في التاريخ.

الحياة المبكرة

وُلِد ريمان في 17 سبتمبر 1826، ونشأ في بريسلينز، وهي قرية تقع بالقرب من دانينبيرج داخل مملكة هانوفر. كان والده، فريدريش برنهارد ريمان، قسًا لوثريًا فقيرًا في بريسيلينز وكان من قدامى المحاربين في الحروب النابليونية. توفيت والدته شارلوت إبيل عام 1846. وكان الثاني من بين ستة أطفال. منذ سن مبكرة، أظهر ريمان كفاءة رياضية غير عادية، وخاصة في المهارات الحسابية، ومع ذلك فقد كان يعاني من الخجل الشديد، ورهاب التكلم، والصحة الحساسة.

المهام الأكاديمية

في عام 1840، انتقل ريمان إلى هانوفر للإقامة مع جدته والتسجيل في مدرسة ثانوية، حيث لم تكن هذه المؤسسة التعليمية متوفرة في قريته الأصلية. بعد وفاة جدته في عام 1842، انتقل إلى يوهانيوم لونيبورغ، وهي مدرسة ثانوية تقع في لونيبورغ. أثناء وجوده هناك، انخرط ريمان في دراسة الكتاب المقدس المكثفة، على الرغم من تحول تركيزه في كثير من الأحيان نحو الرياضيات. لقد اندهش أساتذته من قدرته على إجراء العمليات الحسابية المعقدة، والتي غالبًا ما كانت تتجاوز خبراتهم الخاصة. في سن التاسعة عشرة، في عام 1846، بدأ دراسات في فقه اللغة واللاهوت المسيحي، وكان ينوي أن يصبح قسًا ويساهم في الاستقرار المالي لعائلته.

في ربيع عام 1846، بعد أن حصل والده على أموال كافية، تم إرسال ريمان إلى جامعة غوتنغن بهدف الحصول على شهادة في اللاهوت. ومع ذلك، عند وصوله، بدأ دراسات رياضية تحت إشراف كارل فريدريش غاوس، ولا سيما حضور المحاضرات حول طريقة المربعات الصغرى. بعد ذلك نصح غاوس ريمان بالتخلي عن اللاهوت والتوجه إلى الرياضيات. بموافقة والده، انتقل ريمان إلى جامعة برلين في عام 1847. خلال فترة عمله هناك، كان من بين أعضاء هيئة التدريس البارزين كارل جوستاف جاكوب جاكوبي، وبيتر جوستاف ليجون ديريشليت، وجاكوب شتاينر، وجوتولد آيزنشتاين. وبعد عامين في برلين، عاد إلى غوتنغن في عام 1849.

المهنة الأكاديمية

في عام 1854، ألقى ريمان محاضراته الافتتاحية، التي أرست المبادئ الأساسية للهندسة الريمانية، وبالتالي أرست الأساس للنظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين. جرت محاولة لرفع ريمان إلى منصب أستاذ استثنائي في جامعة غوتنغن في عام 1857. وعلى الرغم من أن هذه الترقية لم تنجح، إلا أنها ضمنت له راتبًا ثابتًا. بعد ذلك، في عام 1859، بعد وفاة ديريشليت، الذي شغل كرسي غاوس الموقر في جامعة غوتنغن، تم تعيين ريمان لقيادة قسم الرياضيات في الجامعة. علاوة على ذلك، كان أول من اقترح استخدام الأبعاد التي تتجاوز الثلاثة أو الأربعة لوصف الواقع المادي.

في عام 1862، تزوج من إليز كوخ، وأنجبا ابنة بعد ذلك.

الحياة المتأخرة والوفاة

في عام 1866، غادر ريمان غوتنغن وسط الصراع بين جيوش هانوفر وبروسيا. استسلم لمرض السل خلال رحلته الإيطالية الثالثة، حيث وافته المنية في سيلاسكا، وهي حاليًا قرية صغيرة تابعة لفيربانيا على بحيرة ماجيوري، حيث تم دفنه في مقبرة بيغانزولو (فيربانيا).

كان ريمان مسيحيًا متدينًا، وابنًا لقس بروتستانتي، وكان ينظر إلى مساعيه الرياضية كشكل من أشكال الخدمة الإلهية. لقد حافظ طوال حياته على الإيمان المسيحي الثابت، معتبراً إياه العنصر الأسمى في وجوده. توفي وهو يقرأ الصلاة الربانية مع زوجته قبل إتمامها. في الوقت نفسه، في غوتنغن، تخلصت مدبرة منزله عن غير قصد من العديد من الأوراق من مكتبه، والتي تشمل كمية كبيرة من المواد غير المنشورة. ونظرًا لإحجام ريمان عن نشر أعماله غير المكتملة، فمن المعقول أن تكون بعض الأفكار العميقة قد ضاعت إلى غير رجعة.

الهندسة الريمانية

كانت أعمال ريمان المنشورة رائدة في مجالات بحثية جديدة عند تقاطع التحليل والهندسة. تطورت هذه المساهمات التأسيسية لاحقًا إلى مبادئ مركزية في الهندسة الريمانية، والهندسة الجبرية، ونظرية المتشعبات المعقدة. تم تطوير الإطار المفاهيمي لأسطح ريمان بواسطة فيليكس كلاين، وعلى وجه الخصوص، أدولف هورويتز. يشكل هذا النظام الرياضي عنصرًا أساسيًا في الطوبولوجيا ويستمر في العثور على تطبيقات مبتكرة في الفيزياء الرياضية.

في عام 1853، كلف غاوس تلميذه ريمان بتأليف كتاب تأهيل يتناول المبادئ الأساسية للهندسة. خصص ريمان عدة أشهر لصياغة نظريته للأبعاد العليا، وبلغت ذروتها في محاضرة ألقاها في غوتنغن في 10 يونيو 1854، بعنوان Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. ظل هذا العمل الأساسي غير منشور حتى عام 1868، أي بعد اثني عشر عامًا، عندما أصدره ديديكيند، بعد عامين من وفاة ريمان. على الرغم من أن الاستقبال الأولي لها كان ضعيفًا، إلا أنها أصبحت الآن معترف بها عالميًا باعتبارها واحدة من أهم المساهمات في مجال الهندسة.

أسست هذه الأطروحة التأسيسية النظام المعروف باسم الهندسة الريمانية. نجح ريمان في ابتكار طريقة لتعميم الهندسة التفاضلية للأسطح - وهو مفهوم أوضحه غاوس نفسه في نظرية إيريجيوم - إلى الأبعاد. تشمل المكونات الرئيسية لهذا الإطار مترية ريمان وموتر انحناء ريمان. في الحالة ثنائية الأبعاد لسطح ما، يمكن تبسيط الانحناء عند أي نقطة معينة إلى قيمة عددية، حيث تكون الأسطح التي تظهر انحناءًا إيجابيًا أو سلبيًا ثابتًا بمثابة نماذج للأشكال الهندسية غير الإقليدية.

يسهل مقياس ريمان، وهو موتر يشتمل على مجموعة من الأرقام عند كل نقطة مكانية، قياس السرعة على طول أي مسار؛ تكامله ينتج المسافة بين النقاط النهائية للمسار. على سبيل المثال، أثبت ريمان أنه في السياق المكاني رباعي الأبعاد، يلزم وجود عشر قيم رقمية متميزة في كل نقطة لوصف المسافات والانحناءات على المشعب، بغض النظر عن تشوهه.

التحليل المعقد

خلال أطروحته، وضع ريمان أساسًا هندسيًا للتحليل المعقد باستخدام أسطح ريمان، وبالتالي تحويل الدوال متعددة القيم - مثل اللوغاريتم (الذي يتميز بعدد لا نهائي من الأوراق) أو الجذر التربيعي (بصفحتين) - إلى دوال ذات قيمة واحدة. على هذه الأسطح، تظهر الدوال المعقدة كدوال توافقية (أي أنها تلتزم بمعادلة لابلاس وبالتالي معادلات كوشي-ريمان)، ويتم تحديد خصائصها من خلال مواقع تفرداتها والطوبولوجيا المتأصلة للأسطح. يتم التعبير عن الجنس الطوبولوجي لأسطح ريمان رياضيًا على النحو التالي: 26§ {\displaystyle g=w/2-n+1} ، حيث يتكون السطح من ${\displaystyle n}$ تتقارب الأوراق عند ${\displaystyle w}$ نقاط الفروع. عندما 78§ {\displaystyle g>1} ، يمتلك سطح ريمان ${\displaystyle (3g-3)}$ المعلمات، المعروفة باسم moduli.

مساهماته في هذا المجال واسعة النطاق. تفترض نظرية رسم خرائط ريمان الشهيرة أن أي مجال متصل ببساطة داخل المستوى المعقد يكون مكافئًا ثنائي الشكل - مما يعني وجود اقتران مجسم مع معكوس مجسم - إما ${\displaystyle \mathbb {C} }$ أو داخل دائرة الوحدة. يُعرف تعميم هذه النظرية على أسطح ريمان بنظرية التوحيد، وهي نتيجة مهمة تم تأسيسها في القرن التاسع عشر على يد هنري بوانكاريه وفيليكس كلاين. وبالمثل، لم تظهر البراهين الصارمة لهذا التعميم إلا بعد تطوير أدوات رياضية أكثر تطورا، وتحديدا الطوبولوجيا. في إثبات وجود وظائف على أسطح ريمان، استخدم ريمان شرط الحد الأدنى، والذي أطلق عليه اسم مبدأ ديريشليت. ومع ذلك، حدد كارل فايرستراس عيبًا خطيرًا في هذا الدليل: لقد تغاضى ريمان عن البطلان المحتمل لافتراضه الأساسي فيما يتعلق بوجود الحد الأدنى، حيث أن مساحة الوظيفة قد تفتقر إلى الاكتمال، وبالتالي تمنع الحد الأدنى المضمون. في النهاية، تم تأسيس مبدأ ديريشليت بدقة من خلال عمل ديفيد هيلبرت اللاحق في حساب التفاضل والتكامل للاختلافات. على الرغم من هذا، كان فايرستراس يكن احترامًا كبيرًا لريمان، ولا سيما إعجابه بنظريته حول الوظائف الأبيلية. عند نشر أعمال ريمان، سحب فايرشتراس ورقته البحثية من مجلة كريلي، واختار عدم نشرها. تطور تفاهم متبادل قوي بينهما أثناء كتاب فايرستراس لريمان، مما شجع تلميذه، هيرمان أماندوس شوارتز، على تطوير طرق بديلة لمبدأ ديريشليت ضمن التحليل المعقد، وهو المسعى الذي حقق فيه شوارتز النجاح. توضح إحدى الحكايات التي رواها أرنولد سومرفيلد التحديات التي واجهها علماء الرياضيات المعاصرون في فهم مفاهيم ريمان الجديدة. في عام 1870، ورد أن فايرشتراس أخذ أطروحة ريمان في عطلة إلى ريجي، معربًا عن صعوبة فهمها. وقد ساعده الفيزيائي هيرمان فون هيلمهولتز بين عشية وضحاها، ولاحظ لاحقًا أن العمل كان "طبيعيًا" و"مفهومًا جدًا".

تشمل المساهمات المهمة الأخرى أبحاثه حول الدوال الأبيلية ووظائف ثيتا، خاصة في سياق أسطح ريمان. منذ عام 1857، شارك ريمان في مسعى تنافسي مع فايرستراس لحل المسائل العكسية اليعقوبية للتكاملات الأبيلية، والتي تمثل تعميمًا للتكاملات الإهليلجية. اقترب ريمان من هذا من خلال استخدام دوال ثيتا لمتغيرات متعددة، وبالتالي اختزال المشكلة في تحديد أصفار هذه الدوال. كما قام بالتحقيق في مصفوفات الفترة، ووصفها من خلال "علاقات الفترة الريمانية"، والتي تنص على التماثل والجزء الحقيقي السلبي. أثبت فرديناند جورج فروبينيوس وسولومون ليفشيتز لاحقًا أن صحة هذه العلاقة تعادل تضمين ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }$ — حيث ${\displaystyle \Omega }$ يشير إلى شبكة مصفوفة الفترة—في مساحة إسقاطية باستخدام وظائف ثيتا. بالنسبة لقيم محددة ${\displaystyle n}$، ينتج عن هذا البناء التنوع اليعقوبي لسطح ريمان، والذي يمثل متشعبًا أبيليًا.

قام العديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك ألفريد كليبش، بتطوير عمل ريمان التأسيسي في المنحنيات الجبرية. استندت هذه الأطر النظرية إلى خصائص الوظائف المحددة على أسطح ريمان. على سبيل المثال، تحدد نظرية ريمان-روش - التي سميت جزئيًا باسم روش، وهو أحد طلاب ريمان - عدد التفاضلات المستقلة خطيًا على سطح ريمان، مع مراعاة شروط محددة فيما يتعلق بأصفارها وأقطابها.

يفترض ديتليف لاوغويتز أن الدوال الذاتية ظهرت في البداية في مقال يتعلق بمعادلة لابلاس المطبقة على الأسطوانات المشحونة كهربائيًا. ومع ذلك، استخدم ريمان نفسه هذه الوظائف للتخطيطات المطابقة - على سبيل المثال، تحويل المثلثات الطوبولوجية إلى دائرة - في محاضرته عام 1859 حول الدوال الهندسية الفائقة وفي أطروحته حول الأسطح البسيطة.

التحليل الحقيقي

في التحليل الحقيقي، قدم ريمان تكامل ريمان أثناء تأهيله، موضحًا أن جميع الدوال المستمرة المتعددة التعريف قابلة للتكامل. يُنسب تكامل ستيلتجيس أيضًا إلى عالم الرياضيات في غوتنغن، مما يؤدي إلى تسميتهما مجتمعة باسم تكامل ريمان-ستيلتجيس.

في أطروحته التأهيلية حول متسلسلة فورييه، بناءً على عمل معلمه ديريشليت، أثبت ريمان أن وظائف ريمان القابلة للتكامل يمكن تمثيلها بمتسلسلة فورييه. في حين أن ديريشليت قد أثبت ذلك بالنسبة للدوال المستمرة القابلة للتفاضل متعدد الحكمة (التي تتميز بعدد لا يحصى من النقاط غير القابلة للتفاضل)، فقد وسع ريمان هذا من خلال تقديم مثال لسلسلة فورييه التي تمثل دالة مستمرة غير قابلة للتفاضل في أي مكان تقريبًا، وهو سيناريو لم يتناوله ديريشليت. علاوة على ذلك، أثبت نظرية ريمان-ليبيغ، التي تنص على أنه إذا كانت الدالة قابلة للتمثيل بمتسلسلة فورييه، فإن معاملات فورييه الخاصة بها تقترب من الصفر عندما يصبح n كبيرًا.

كانت مقالة ريمان الأساسية أيضًا بمثابة الأساس التأسيسي لتحقيقات جورج كانتور في متسلسلة فورييه، والتي حفزت لاحقًا تطوير نظرية المجموعات.

في عام 1857، طبق ريمان طرقًا تحليلية معقدة على المعادلات التفاضلية الهندسية المفرطة، موضحًا حلولها من خلال سلوك المسارات المغلقة حول المتفردات، التي تتميز بمصفوفة أحادية اللون. إن إثبات وجود مثل هذه المعادلات التفاضلية، في ضوء مصفوفات أحادية محددة مسبقًا، يشكل إحدى مشاكل هيلبرت.

نظرية الأعداد

ساهم ريمان بشكل كبير في نظرية الأعداد التحليلية الحديثة. في منشوره الوحيد والموجز عن نظرية الأعداد، استكشف دالة زيتا، التي سُميت الآن باسمه، وبالتالي أسس دورها الحاسم في فهم توزيع الأعداد الأولية. ظهرت فرضية ريمان كواحدة من التخمينات العديدة التي اقترحها فيما يتعلق بخصائص الوظيفة.

يشمل عمل ريمان العديد من التطورات البارزة الأخرى. لقد أظهر المعادلة الوظيفية لدالة زيتا، وهي العلاقة التي حددها ليونارد أويلر سابقًا، والتي تدعمها دالة ثيتا. من خلال جمع دالة التقريب هذه على الأصفار غير التافهة الموجودة على السطر مع الجزء الحقيقي من 1/2، استنتج "صيغة صريحة" دقيقة لـ ${\displaystyle \pi (x)}$.

كان ريمان على علم بأبحاث بافنوتي تشيبيشيف فيما يتعلق بنظرية الأعداد الأولية، حيث زار تشيبيشيف ديريشليت في عام 1852.

المنشورات

تشمل أعمال ريمان المنشورة ما يلي:

• 1851 – أسس النظرية العامة لدوال الكمية المعقدة المتغيرة (أسس النظرية العامة لدوال الكمية المركبة المتغيرة)، الأطروحة الافتتاحية، غوتنغن، 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (نظرية الدوال الأبيلية)، مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد. 54، ص 101-155.
• 1859 – حول عدد الأعداد الأولية تحت حجم معين (حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين)، في: التقارير الشهرية للأكاديمية البروسية للعلوم. برلين، نوفمبر 1859، ص 671 وما يليها. يتضمن هذا العمل تخمين ريمان. حول عدد الأعداد الأولية تحت حجم معين. (ويكي مصدر)، نسخة طبق الأصل من المخطوطة أرشفة 2016-03-03 في آلة Wayback. مع Clay Mathematics.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua Responsere Tentur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (تعليق رياضي، تتم فيه محاولة للإجابة على سؤال مقترح من أكاديمية باريس اللامعة)، تم تقديمه إلى أكاديمية باريس للحصول على جائزة مسابقة.
• 1867 – حول إمكانية تمثيل دالة بواسطة سلسلة مثلثية (حول إمكانية تمثيل دالة بواسطة سلسلة مثلثية)، من المجلد الثالث عشر من وقائع الجمعية الملكية للعلوم في غوتنغن.
• 1868 – حول الفرضيات التي تقوم عليها الهندسة (حول الفرضيات التي تشكل أساس الهندسة). أطروحات الجمعية الملكية للعلوم، غوتنغن 1868. ترجمة إنجليزية، حول الفرضيات التي تكمن في أساس الهندسة، بقلم و.ك. ظهر كليفورد في Nature 8 (1873): 183، وأعيد طبعه لاحقًا في أوراق كليفورد الرياضية المجمعة (لندن: ماكميلان، 1882؛ نيويورك: تشيلسي، 1968). تم تضمين هذا العمل أيضًا في Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics"، مجلدين. (مطبعة جامعة أكسفورد: 652–61).
• 1876 – مجموعة الأعمال الرياضية والأوراق العلمية لبرنهارد ريمان، حرره هاينريش فيبر بالتعاون مع ريتشارد ديديكيند، لايبزيغ، بي. جي. تيوبنر 1876، الطبعة الثانية 1892، وأعيد طبعه في دوفر 1953 (مع مساهمات من ماكس نويثر وويلهلم فيرتينغر، تيوبنر 1902). تشمل الإصدارات اللاحقة الأعمال المجمعة لبرنهارد ريمان: النصوص الألمانية الكاملة. حرره هاينريش فيبر؛ ريتشارد ديديكند؛ م نويثر؛ فيلهلم فيرتينغر؛ هانز ليوي. مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر، Inc.، 1953، 1981، 2017.
• 1876 – الجاذبية والكهرباء والمغناطيسية، هانوفر: كارل هاتندورف.
• 1882 – محاضرات عن المعادلات التفاضلية الجزئية، الطبعة الثالثة. براونشفايغ 1882.
• 1901 – المعادلات التفاضلية الجزئية للفيزياء الرياضية وفقًا لمحاضرات ريمان. ريمان، بيرنهارد (1901). ويبر، هاينريش مارتن (محرر). “Die Partiellen Differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann’s Vorlesungen”. فريدريش فيويج وسون.
• 2004 – ريمان، بيرنهارد (2004)، الأوراق المجمعة، مطبعة كيندريك، هيبر سيتي، يوتا، ISBN 978-0-9740427-2-5، MR 2121437قائمة الكيانات التي تحمل اسم بيرنهارد ريمان.
  • قائمة الأشياء التي تحمل اسم بيرنهارد ريمان
  • الهندسة غير الإقليدية.
  • حول عدد الأعداد الأولية الأقل من حجم معين، ورقة بحثية لريمان عام 1859 تقدم دالة زيتا المعقدة.

  المراجع

  ديربيشاير، جون (2003)، الهوس الرئيسي: برنهارد ريمان وأكبر مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات، واشنطن العاصمة: مطبعة جون هنري، ISBN 0-309-08549-7.

  • جون ديربيشاير (2003)، الهوس الرئيسي: برنهارد ريمان وأكبر مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات، واشنطن العاصمة: مطبعة جون هنري، ISBN0-309-08549-7موناستيرسكي، مايكل (1999)، ريمان، الطوبولوجيا والفيزياء، بوسطن، ماساتشوستس: Birkhäuser، ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). من ريمان إلى الهندسة التفاضلية والنسبية. Springer. ISBN 9783319600390.النسب الأكاديمي لبيرنهارد ريمان في مشروع علم الأنساب للرياضيات.
    • برنهارد ريمان في مشروع علم الأنساب في الرياضيات
    • الأوراق الرياضية المجمعة لجورج فريدريش بيرنهارد ريمان.
    • منشورات ريمان.
    • أوكونور، جون جيه.؛ روبرتسون، إدموند إف.، "بيرنهارد ريمان"، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات، جامعة سانت أندروزWeisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.