Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (; alemán: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 de septiembre de 1826 – 20 de julio de 1866) fue un destacado matemático alemán que avanzó significativamente en los campos del análisis, la teoría de números y la geometría diferencial. Dentro del análisis real, sus logros más notables incluyen la rigurosa formulación inicial de la integral, ahora conocida como integral de Riemann, y su extenso trabajo sobre las series de Fourier. En análisis complejos, es particularmente reconocido por introducir las superficies de Riemann, que fue pionera en un enfoque geométrico y natural del tema. Su publicación fundamental de 1859 sobre la función de conteo de primos, que presentó la formulación inicial de la hipótesis de Riemann, constituye una piedra angular de la teoría analítica de números. El innovador trabajo de Riemann en geometría diferencial sentó las bases matemáticas de la teoría de la relatividad general. Es ampliamente considerado como uno de los matemáticos más influyentes de la historia.

Vida temprana

Nacido el 17 de septiembre de 1826, Riemann era originario de Breselenz, un pueblo situado cerca de Dannenberg dentro del Reino de Hannover. Su padre, Friedrich Bernhard Riemann, sirvió como pastor luterano empobrecido en Breselenz y era un veterano de las guerras napoleónicas. Su madre, Charlotte Ebell, falleció en 1846. Fue el segundo de seis hijos. Desde temprana edad, Riemann mostró extraordinarias aptitudes matemáticas, particularmente en habilidades computacionales, pero tuvo que lidiar con una profunda timidez, glosofobia y una salud delicada.

Actividades académicas

En 1840, Riemann se trasladó a Hannover para residir con su abuela y matricularse en un liceo, ya que esta institución educativa no estaba disponible en su pueblo natal. Tras el fallecimiento de su abuela en 1842, se trasladó a Johanneum Lüneburg, una escuela secundaria ubicada en Lüneburg. Mientras estuvo allí, Riemann se dedicó a un estudio bíblico intensivo, aunque su atención se desplazó con frecuencia hacia las matemáticas. Sus instructores quedaron asombrados por su capacidad para realizar cálculos matemáticos complejos, que a menudo superaban su propia experiencia. A la edad de 19 años, en 1846, comenzó estudios de filología y teología cristiana, con la intención de convertirse en pastor y contribuir a la estabilidad financiera de su familia.

En la primavera de 1846, después de que su padre consiguió fondos suficientes, Riemann fue enviado a la Universidad de Göttingen con la intención de obtener una licenciatura en teología. Sin embargo, a su llegada, comenzó estudios matemáticos con Carl Friedrich Gauss, particularmente asistiendo a conferencias sobre el método de mínimos cuadrados. Posteriormente, Gauss aconsejó a Riemann que abandonara la teología por las matemáticas; Con el consentimiento de su padre, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín en 1847. Durante su estancia allí, entre los profesores destacados se encontraban Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner y Gotthold Eisenstein. Después de dos años en Berlín, regresó a Göttingen en 1849.

Carrera Académica

En 1854, Riemann pronunció sus conferencias inaugurales, en las que estableció los principios fundamentales de la geometría riemanniana, sentando así las bases para la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. En 1857 se intentó elevar a Riemann al puesto de profesor extraordinario en la Universidad de Göttingen. Si bien este ascenso no tuvo éxito, le aseguró un salario constante. Posteriormente, en 1859, tras el fallecimiento de Dirichlet, que ocupaba la estimada cátedra de Gauss en la Universidad de Göttingen, Riemann fue designado para dirigir el departamento de matemáticas de la universidad. Además, fue el primero en proponer la utilización de dimensiones superiores a tres o cuatro para la descripción de la realidad física.

En 1862 se casó con Elise Koch y posteriormente tuvieron una hija.

Vida posterior y fallecimiento

En 1866, Riemann partió de Göttingen en medio del conflicto entre los ejércitos de Hannover y Prusia. Sucumbió a la tuberculosis durante su tercer viaje a Italia, falleciendo en Selasca, actualmente aldea de Verbania en el lago Mayor, donde fue enterrado en el cementerio de Biganzolo (Verbania).

Riemann era un cristiano devoto, hijo de un ministro protestante, y veía sus actividades matemáticas como una forma de servicio divino. Mantuvo una firme fe cristiana durante toda su vida, considerándola como el elemento primordial de su existencia. Falleció mientras recitaba el Padrenuestro con su esposa, antes de su finalización. Al mismo tiempo, en Gotinga, su ama de llaves se deshizo por error de numerosos documentos de su estudio, entre los que se encontraba un importante volumen de material inédito. Dada la renuencia de Riemann a publicar trabajos inacabados, es posible que algunas ideas profundas se hayan perdido irremediablemente.

Geometría de Riemann

Los trabajos publicados de Riemann fueron pioneros en nuevos campos de investigación en la intersección del análisis y la geometría. Estas contribuciones fundamentales evolucionaron más tarde hasta convertirse en principios centrales de la geometría de Riemann, la geometría algebraica y la teoría de variedades complejas. El marco conceptual de las superficies de Riemann fue desarrollado aún más por Felix Klein y, en particular, Adolf Hurwitz. Esta disciplina matemática constituye un componente fundamental de la topología y continúa encontrando aplicaciones innovadoras en la física matemática.

En 1853, Gauss encargó a su alumno, Riemann, que compusiera un Habilitationsschrift que abordara los principios fundamentales de la geometría. Riemann dedicó varios meses a formular su teoría de las dimensiones superiores, que culminó con una conferencia pronunciada en Gotinga el 10 de junio de 1854, titulada Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Esta obra fundamental permaneció inédita hasta 1868, doce años después, cuando fue publicada por Dedekind, dos años después de la muerte de Riemann. Aunque, según se informa, su recepción inicial fue moderada, ahora se reconoce universalmente como una de las contribuciones más importantes al campo de la geometría.

Este tratado fundacional estableció la disciplina conocida como geometría de Riemann. Riemann ideó con éxito un método para generalizar la geometría diferencial de superficies (un concepto que el propio Gauss aclaró en su theorema egregium) a n dimensiones. Los componentes clave de este marco incluyen la métrica de Riemann y el tensor de curvatura de Riemann. En el caso bidimensional de una superficie, la curvatura en cualquier punto dado se puede simplificar a un valor escalar, donde las superficies que exhiben una curvatura positiva o negativa constante sirven como ejemplos de geometrías no euclidianas.

La métrica de Riemann, un tensor que comprende un conjunto de números en cada punto espacial, facilita la medición de la velocidad a lo largo de cualquier trayectoria; su integral produce la distancia entre los puntos terminales de la trayectoria. Por ejemplo, Riemann demostró que en un contexto espacial de cuatro dimensiones, se requieren diez valores numéricos distintos en cada punto para caracterizar distancias y curvaturas en una variedad, independientemente de su deformación.

Análisis complejo

En su disertación, Riemann sentó las bases geométricas para el análisis complejo utilizando superficies de Riemann, transformando así funciones de múltiples valores, como el logaritmo (caracterizado por infinitas hojas) o la raíz cuadrada (con dos hojas), en funciones de un solo valor. En estas superficies, las funciones complejas se manifiestan como funciones armónicas (es decir, se adhieren a la ecuación de Laplace y, en consecuencia, a las ecuaciones de Cauchy-Riemann), sus propiedades definidas por las posiciones de sus singularidades y la topología inherente de las superficies. El género topológico de las superficies de Riemann se expresa matemáticamente como g = w / §1617§ −<!-- − --> n + §2526§ {\displaystyle g=w/2-n+1} , donde la superficie comprende n {\displaystyle n} sale convergiendo en w {\displaystyle w} puntos de bifurcación. Cuando 78§ {\displaystyle g>1} , la superficie de Riemann posee ( §9596§ g −<!-- − --> §102103§ ) {\displaystyle (3g-3)} parámetros, conocidos como módulos.

Sus contribuciones a este ámbito son extensas. El renombrado teorema de mapeo de Riemann postula que cualquier dominio simplemente conectado dentro del plano complejo es biholomórficamente equivalente (lo que significa que existe una biyección holomorfa con una inversa holomorfa) a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ o el interior del círculo unitario. La generalización de este teorema a superficies de Riemann se conoce como teorema de uniformización, un resultado significativo establecido en el siglo XIX por Henri Poincaré y Felix Klein. De manera similar, las pruebas rigurosas de esta generalización surgieron sólo después del desarrollo de herramientas matemáticas más sofisticadas, específicamente la topología. Al demostrar la existencia de funciones en las superficies de Riemann, Riemann empleó una condición de minimalidad, a la que denominó principio de Dirichlet. Sin embargo, Karl Weierstrass identificó un error crítico en esta prueba: Riemann había pasado por alto la posible invalidez de su suposición subyacente con respecto a la existencia de un mínimo, ya que el espacio funcional podría carecer de integridad, excluyendo así un mínimo garantizado. En última instancia, el principio de Dirichlet se estableció rigurosamente a través del trabajo posterior de David Hilbert en el Cálculo de variaciones. A pesar de esto, Weierstrass tenía en alta estima a Riemann, admirando particularmente su teoría de las funciones abelianas. Tras la publicación del trabajo de Riemann, Weierstrass retiró su propio artículo del Crelle's Journal y optó por no publicarlo. Un fuerte entendimiento mutuo desarrollado entre ellos durante Weierstrass de Riemann animó posteriormente a su alumno, Hermann Amandus Schwarz, a desarrollar enfoques alternativos al principio de Dirichlet dentro del análisis complejo, un esfuerzo en el que Schwarz logró el éxito. Una anécdota contada por Arnold Sommerfeld ilustra los desafíos que enfrentaron los matemáticos contemporáneos para comprender los novedosos conceptos de Riemann. En 1870, Weierstrass supuestamente se llevó la disertación de Riemann de vacaciones a Rigi, expresando dificultades en su comprensión. El físico Hermann von Helmholtz le ayudó durante la noche y posteriormente comentó que el trabajo era "natural" y "muy comprensible".

Otras contribuciones significativas abarcan su investigación sobre funciones abelianas y funciones theta, particularmente en el contexto de las superficies de Riemann. Desde 1857, Riemann había estado involucrado en un esfuerzo competitivo con Weierstrass para resolver los problemas inversos jacobianos para integrales abelianas, que representan una generalización de integrales elípticas. Riemann abordó esto empleando funciones theta de múltiples variables, reduciendo así el problema a identificar los ceros de estas funciones. También investigó las matrices de período, caracterizándolas mediante las "relaciones de período de Riemann", que estipulan simetría y una parte real negativa. Ferdinand Georg Frobenius y Solomon Lefschetz demostraron más tarde que la validez de esta relación es equivalente a la incorporación de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }$: donde Ω<!-- Ω --> {\displaystyle \Omega } denota la red de la matriz de período, en un espacio proyectivo usando funciones theta. Para valores específicos de n {\displaystyle n}, esta construcción produce la variedad jacobiana de la superficie de Riemann, que ejemplifica una variedad abeliana.

Numerosos matemáticos, incluido Alfred Clebsch, avanzaron posteriormente en el trabajo fundamental de Riemann sobre curvas algebraicas. Estos marcos teóricos se basaron en las propiedades de funciones definidas sobre superficies de Riemann. Por ejemplo, el teorema de Riemann-Roch (llamado en parte así por Roch, un estudiante de Riemann) delinea el número de diferenciales linealmente independientes en una superficie de Riemann, sujeto a condiciones específicas con respecto a sus ceros y polos.

Detlef Laugwitz postula que las funciones automórficas surgieron inicialmente en un ensayo sobre la ecuación de Laplace aplicada a cilindros cargados eléctricamente. Sin embargo, el propio Riemann empleó estas funciones para mapeos conformes (por ejemplo, transformando triángulos topológicos en un círculo) en su conferencia de 1859 sobre funciones hipergeométricas y en su tratado sobre superficies mínimas.

Análisis real

En un análisis real, Riemann introdujo la integral de Riemann durante su habilitación, demostrando que todas las funciones continuas por partes son integrables. La integral de Stieltjes también se atribuye al matemático de Gotinga, lo que llevó a su designación combinada como integral de Riemann-Stieltjes.

En su tesis de habilitación sobre series de Fourier, basándose en el trabajo de su mentor Dirichlet, Riemann estableció que las funciones integrables de Riemann pueden representarse mediante series de Fourier. Si bien Dirichlet había demostrado esto para funciones continuas, diferenciables por partes (caracterizadas por un número contable de puntos no diferenciables), Riemann amplió esto proporcionando un ejemplo de una serie de Fourier que representa una función continua, casi no diferenciable en ninguna parte, un escenario que no abordó Dirichlet. Además, demostró el lema de Riemann-Lebesgue, que establece que si una función es representable mediante una serie de Fourier, sus coeficientes de Fourier se aproximan a cero a medida que n se hace grande.

El ensayo fundamental de Riemann también sirvió como base fundamental para las investigaciones de Georg Cantor sobre las series de Fourier, que posteriormente catalizaron el desarrollo de la teoría de conjuntos.

En 1857, Riemann aplicó métodos analíticos complejos a ecuaciones diferenciales hipergeométricas, ilustrando sus soluciones a través del comportamiento de caminos cerrados alrededor de singularidades, caracterizados por la matriz monodromía. La demostración de la existencia de tales ecuaciones diferenciales, dadas matrices monodromías predefinidas, constituye uno de los problemas de Hilbert.

Teoría de los números

Riemann contribuyó significativamente a la teoría analítica de números moderna. En su única y concisa publicación sobre teoría de números, exploró la función zeta, que ahora lleva su nombre, estableciendo así su papel fundamental en la comprensión de la distribución de los números primos. La hipótesis de Riemann surgió como una de varias conjeturas que propuso sobre las características de la función.

El trabajo de Riemann abarca muchos otros avances notables. Demostró la ecuación funcional de la función zeta, una relación previamente identificada por Leonhard Euler, que está sustentada por una función theta. Al sumar esta función de aproximación sobre los ceros no triviales ubicados en la línea con una parte real de 1/2, derivó una "fórmula explícita" exacta para π<!-- π --> ( x ) {\displaystyle \pi (x)}.

Riemann estaba al tanto de la investigación de Pafnuty Chebyshev sobre el teorema de los números primos, ya que Chebyshev había visitado a Dirichlet en 1852.

Publicaciones

Los trabajos publicados de Riemann incluyen:

• 1851 – Fundamentos de una teoría general de las funciones de una cantidad compleja variable (Fundamentos de una teoría general de las funciones de una cantidad compleja variable), disertación inaugural, Gotinga, 1851.
• 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Teoría de las funciones abelianas), Revista de matemáticas puras y aplicadas, vol. 54, págs. 101-155.
• 1859 – Sobre el número de números primos bajo un tamaño determinado (Sobre el número de primos menores que una magnitud dada), en: Informes mensuales de la Academia de Ciencias de Prusia. Berlín, noviembre de 1859, págs. 671 y siguientes. Este trabajo incluye la conjetura de Riemann. Acerca del número de números primos bajo un tamaño determinado. (Wikisource), facsímil del manuscrito Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine con Clay Mathematics.
• 1861 – Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Comentario matemático en el que se intenta responder a una pregunta propuesta por la ilustre Academia de París), presentado a la Academia de París para un concurso de premios.
• 1867 – Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica (Sobre la representabilidad de una función mediante una serie trigonométrica), del decimotercer volumen de las Actas de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen.
• 1868 – Acerca de las hipótesis que subyacen a la geometría (Sobre las hipótesis que se encuentran en la base de la geometría). Tratados de la Real Sociedad de Ciencias, Göttingen 1868. Una traducción al inglés, Sobre las hipótesis que constituyen la base de la geometría, de W.K. Clifford, apareció en Nature 8 (1873): 183, y posteriormente fue reimpreso en Clifford's Collected Mathematical Papers (Londres: MacMillan, 1882; Nueva York: Chelsea, 1968). Este trabajo también se incluye en Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics", 2 vols. (Prensa de la Universidad de Oxford: 652–61).
• 1876 – Obras matemáticas y artículos científicos completos de Bernhard Riemann, editado por Heinrich Weber con la colaboración de Richard Dedekind, Leipzig, B. G. Teubner 1876, segunda edición 1892, reimpreso por Dover 1953 (con contribuciones de Max Noether y Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Las ediciones posteriores incluyen Las obras completas de Bernhard Riemann: los textos alemanes completos. Editado por Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Noether; Guillermo Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
• 1876 – Gravedad, electricidad y magnetismo, Hannover: Karl Hattendorff.
• 1882 – Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales, 3.ª edición. Braunschweig 1882.
• 1901 – Las ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática según las conferencias de Riemann. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martín (ed.). "Die partiellen diferencial-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". Friedrich Vieweg y Sohn.
• 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Artículos recopilados, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Lista de entidades que llevan el nombre de Bernhard Riemann.
  • Lista de cosas que llevan el nombre de Bernhard Riemann
  • Geometría no euclidiana.
  • Sobre el número de primos menores que una magnitud dada, artículo de Riemann de 1859 que presenta la función zeta compleja.

  Referencias

  Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.

  • Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver en matemáticas, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topology and Physics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). De Riemann a la geometría diferencial y la relatividad. Springer. ISBN 9783319600390.Linaje académico de Bernhard Riemann en el Proyecto de Genealogía de Matemáticas.
    • Bernhard Riemann en el Proyecto Genealogía de Matemáticas
    • Los artículos matemáticos recopilados de Georg Friedrich Bernhard Riemann.
    • Publicaciones de Riemann.
    • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas, Universidad de St AndrewsWeisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.