Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (; alemán: Gauß; [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs]; latín: Carolus Fridericus Gauss; 30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán quien hizo contribuciones sustanciales en diversos dominios de las matemáticas y las ciencias. Sus esfuerzos matemáticos abarcaron teoría de números, álgebra, análisis, geometría, estadística y probabilidad. Desde 1807 hasta su muerte en 1855, Gauss ocupó el cargo de director del Observatorio de Göttingen en Alemania y se desempeñó como profesor de astronomía.

Johann Carl Friedrich Gauss ( ; alemán: Gauß; [kaʁlˈfʁiːdʁɪçˈɡaʊs] ; latín: Carolus Fridericus Gauss; 30 de abril de 1777 - 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán, que contribuyó a muchos campos de las matemáticas y la ciencia. Sus contribuciones matemáticas abarcaron las ramas de la teoría de números, álgebra, análisis, geometría, estadística y probabilidad. Gauss fue director del Observatorio de Göttingen en Alemania y profesor de astronomía desde 1807 hasta su muerte en 1855.

Desde temprana edad, Gauss fue reconocido como un niño prodigio de las matemáticas. Mientras cursaba sus estudios en la Universidad de Göttingen, propuso varios teoremas matemáticos. Como académico independiente, fue autor de las obras maestras Disquisitiones Arithmeticae y Theoria motus corporum coelestium. Gauss proporcionó la segunda y tercera pruebas completas del teorema fundamental del álgebra e introdujo el símbolo de triple barra (≡) para la congruencia. Sus numerosas contribuciones a la teoría de números incluyen la ley de composición, la ley de reciprocidad cuadrática y la demostración del caso triangular del teorema de los números poligonales de Fermat. También avanzó las teorías de las formas cuadráticas binarias y ternarias y de las series hipergeométricas. A la edad de 19 años, Gauss demostró la construcción del heptadecágono, lo que representó el primer avance en la construcción de polígonos regulares en más de 2000 años. Además, introdujo el concepto de curvatura gaussiana y demostró sus propiedades clave, particularmente con su Teorema Egregium. Gauss fue el primero en demostrar la desigualdad de Gauss y jugó un papel decisivo en el desarrollo de la media aritmético-geométrica. Debido a sus amplias y fundamentales contribuciones a la ciencia y las matemáticas, más de 100 conceptos matemáticos y científicos reciben su nombre.

Gauss jugó un papel decisivo en la identificación de Ceres como un planeta enano. Sus investigaciones sobre el movimiento de los planetoides perturbados por grandes planetas llevaron a la introducción de la constante gravitacional gaussiana y el método de mínimos cuadrados, técnica que descubrió antes de su publicación por Adrien-Marie Legendre. Gauss también introdujo el algoritmo conocido como mínimos cuadrados recursivos. De 1820 a 1844 dirigió el estudio geodésico del Reino de Hannover, junto con un proyecto de medición de arcos. Gauss es considerado uno de los fundadores de la geofísica y formuló los principios fundamentales del magnetismo. En 1832, proporcionó la primera medición absoluta del campo magnético de la Tierra, y luego aplicó su invención del análisis armónico esférico para demostrar que la mayor parte del campo magnético de la Tierra era interno. Fue el primero en descubrir y estudiar la geometría no euclidiana, campo al que también nombró. Gauss desarrolló una rápida transformada de Fourier aproximadamente 160 años antes que John Tukey y James Cooley. Su trabajo práctico dio como resultado la invención del heliotropo en 1821, un magnetómetro en 1833 y, en colaboración con Wilhelm Eduard Weber, el primer telégrafo electromagnético en 1833.

Gauss recibió el Premio Lalande en 1809 por su trabajo sobre teoría planetaria y determinación orbital, y la Medalla Copley en 1838 por su investigación matemática en magnetismo. Era conocido por su política de no publicar trabajos incompletos, lo que provocó que varios de sus descubrimientos se difundieran póstumamente y retrasaran su circulación más amplia. Gauss creía que el acto de aprender, más que la mera posesión de conocimientos, proporcionaba el mayor disfrute. Aunque no era un profesor comprometido ni entusiasta y generalmente prefería concentrarse en su propia investigación, algunos de sus alumnos, como Richard Dedekind y Bernhard Riemann, se convirtieron en matemáticos distinguidos e influyentes. Se casó dos veces y tuvo seis hijos, varios de los cuales luego emigraron a Estados Unidos.

Biografía

Juventud y educación

Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, dentro del Ducado de Brunswick-Wolfenbüttel, un territorio que ahora forma parte del estado alemán de Baja Sajonia. Su familia mantuvo una posición social modesta. Su padre, Gebhard Dietrich Gauss (1744-1808), ocupó diversas ocupaciones, incluidas las de carnicero, albañil, jardinero y tesorero de un fondo de prestaciones por fallecimiento. Gauss caracterizó a su padre como honorable y respetado, pero a la vez severo y autoritario en el plano interno. Si bien su padre dominaba la alfabetización y la aritmética, su segunda esposa, Dorothea, la madre de Carl Friedrich, era en gran medida analfabeta. Gauss también tenía un hermano mayor del matrimonio inicial de su padre.

Gauss demostró una aptitud matemática excepcional desde una edad temprana. Al reconocer sus capacidades intelectuales, sus maestros de escuela primaria notificaron al duque de Brunswick, quien posteriormente organizó su inscripción en el Collegium Carolinum local. Gauss asistió a esta institución de 1792 a 1795, donde Eberhard August Wilhelm von Zimmermann estuvo entre sus instructores. Después de esto, el duque financió sus estudios de matemáticas, ciencias y lenguas clásicas en la Universidad de Göttingen hasta 1798. Su profesor de matemáticas fue Abraham Gotthelf Kästner, a quien Gauss caracterizó como "el principal matemático entre los poetas y el principal poeta entre los matemáticos" debido a su estilo epigramático. Karl Felix Seyffer enseñó astronomía y Gauss mantuvo correspondencia con él después de graduarse, aunque Olbers y Gauss se burlaron en privado de Seyffer en sus intercambios. Por el contrario, Gauss tenía en alta estima a Georg Christoph Lichtenberg, su profesor de física, y a Christian Gottlob Heyne, a cuyas conferencias clásicas Gauss asistía con considerable placer. Entre sus compañeros de estudios notables durante este período se encuentran Johann Friedrich Benzenberg, Farkas Bolyai y Heinrich Wilhelm Brandes.

Gauss parece haber sido en gran medida autodidacta en matemáticas, como lo demuestra su derivación independiente de numerosos teoremas. En 1796, resolvió un problema geométrico que había desafiado a los matemáticos desde la antigüedad al determinar qué polígonos regulares se podían construir usando sólo un compás y una regla. Este descubrimiento fundamental fue decisivo en su decisión de dedicarse a las matemáticas en lugar de la filología como carrera. El diario matemático de Gauss, una recopilación de observaciones concisas sobre sus hallazgos de 1796 a 1814, indica que muchas ideas fundamentales para su obra maestra matemática, Disquisitiones Arithmeticae (1801), se originaron durante este período.

Un relato anecdótico sugiere que durante su educación primaria, Gauss y sus compañeros de clase fueron asignados por su instructor, J.G. Büttner, para calcular la suma de números enteros del 1 al 100. Para gran sorpresa de Büttner, Gauss proporcionó la respuesta correcta de 5050 en mucho menos tiempo de lo previsto. Evidentemente, Gauss había reconocido que la suma podía estructurarse en 50 pares, cada uno de los cuales sumaba 101 (por ejemplo, 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101). En consecuencia, simplemente multiplicó 50 por 101.

Académico privado

En 1799, Gauss obtuvo su título de Doctor en Filosofía en la Universidad de Helmstedt, la única universidad estatal del ducado, contrariamente a algunas afirmaciones que sitúan su graduación en Göttingen. Johann Friedrich Pfaff evaluó su tesis doctoral y Gauss obtuvo el título in absentia sin necesidad de defensa oral. Posteriormente, el duque le proporcionó un estipendio para cubrir sus gastos de manutención como académico privado en Brunswick. Gauss rechazó invitaciones tanto de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo como de la Universidad Landshut. Más tarde, en 1804, el duque se comprometió a establecer un observatorio en Brunswick. El arquitecto Peter Joseph Krahe desarrolló diseños preliminares, pero las guerras napoleónicas frustraron estos planes; el duque murió durante la batalla de Jena en 1806. El ducado se disolvió al año siguiente y cesó el patrocinio financiero de Gauss.

A principios del siglo XIX, mientras calculaba las órbitas de los asteroides, Gauss forjó conexiones con las comunidades astronómicas de Bremen y Lilienthal, en particular Wilhelm Olbers, Karl Ludwig Harding y Friedrich Wilhelm Bessel, convirtiéndose así en parte del colectivo astronómico informal conocido como la Policía Celestial. Un objetivo principal de este grupo era la identificación de planetas adicionales. Recopilaron datos sobre asteroides y cometas, que sirvieron de base para la investigación orbital de Gauss. Esta investigación fue publicada posteriormente en su obra maestra astronómica, Theoria motus corporum coelestium (1809).

Profesor en Göttingen

En noviembre de 1807, Carl Friedrich Gauss comenzó su mandato en la Universidad de Göttingen, entonces parte del recientemente establecido Reino de Westfalia bajo Jérôme Bonaparte. Fue nombrado profesor titular y director del observatorio astronómico, cargo que ocupó hasta su fallecimiento en 1855. Poco después, el gobierno de Westfalia impuso una contribución de guerra de dos mil francos, una suma que Gauss no pudo remitir. A pesar de las ofertas de ayuda financiera tanto de Olbers como de Laplace, Gauss rechazó su ayuda. Al final, un benefactor anónimo de Frankfurt, posteriormente identificado como el Príncipe Primado Dalberg, saldó la deuda.

Gauss asumió la dirección del observatorio de sesenta años de antigüedad, establecido originalmente en 1748 por el Príncipe Elector Jorge II dentro de una torre de fortificación reconvertida. La instalación poseía instrumentación funcional, aunque parcialmente anticuada. Aunque la construcción de un nuevo observatorio había recibido la aprobación principal del príncipe elector Jorge III ya en 1802, y la planificación continuó bajo el gobierno de Westfalia, Gauss no pudo trasladarse a las nuevas instalaciones hasta septiembre de 1816. Tras su reubicación, adquirió instrumentos modernos, en particular dos círculos de meridianos de Repsold y Reichenbach, y un heliómetro de Fraunhofer.

Más allá de sus contribuciones a las matemáticas puras, las contribuciones científicas de Gauss Sus esfuerzos se pueden clasificar en términos generales en tres períodos distintos: el enfoque principal durante las dos primeras décadas del siglo XIX fue la astronomía, seguida por la geodesia en la tercera década y, posteriormente, la física, particularmente el magnetismo, en la cuarta década.

Gauss expresó abiertamente su renuencia a dar conferencias académicas. Sin embargo, dio conferencias constantemente desde el comienzo de su carrera académica en Göttingen hasta 1854. Con frecuencia expresó su descontento con las exigencias de la enseñanza, percibiéndola como un uso ineficiente de su tiempo. Por el contrario, ocasionalmente reconocía el talento de ciertos estudiantes. La mayoría de sus conferencias se referían a astronomía, geodesia y matemáticas aplicadas, y sólo tres estaban dedicadas a temas de matemáticas puras. Posteriormente, varios de los estudiantes de Gauss alcanzaron prominencia como matemáticos, físicos y astrónomos, incluidos Moritz Cantor, Dedekind, Dirksen, Encke, Gould, Heine, Klinkerfues, Kupffer, Listing, Möbius, Nicolai, Riemann, Ritter, Schering, Scherk, Schumacher, von Staudt, Stern y Ursin. Además, Sartorius von Waltershausen y Wappäus se distinguieron como geocientíficos.

Gauss se abstuvo de escribir libros de texto y tenía aversión a la popularización de temas científicos. Sus únicas iniciativas de divulgación fueron sus tratados sobre el cálculo de la fecha de Pascua (1800/1802) y el ensayo de 1836 titulado Erdmagnetismus und Magnetometer. Gauss publicó exclusivamente sus artículos y libros académicos en latín o alemán. Si bien su prosa latina adhirió a un estilo clásico, incorporó ciertas modificaciones convencionales adoptadas por sus matemáticos contemporáneos.

Gauss pronunció su conferencia inaugural en la Universidad de Göttingen en 1808. Caracterizó su metodología astronómica como basada en observaciones confiables y cálculos precisos, evitando depender de meras creencias o hipótesis sin fundamento. En la universidad, su programa educativo se complementó con un grupo de profesores en disciplinas relacionadas, incluido el matemático Thibaut, el físico Mayer (famoso por sus libros de texto), su sucesor Weber (desde 1831) y Harding en el observatorio, quien principalmente impartió conferencias sobre astronomía práctica. Una vez finalizado el observatorio, Gauss ocupó su ala occidental, mientras que Harding residió en la sección oriental. Aunque inicialmente amistosa, su relación se deterioró con el tiempo, potencialmente debido al presunto deseo de Gauss de que Harding, a pesar de su igual rango, funcionara simplemente como su asistente u observador. Gauss utilizó los nuevos círculos de meridianos casi exclusivamente, restringiendo el acceso de Harding a ellos, salvo para observaciones colaborativas poco frecuentes.

Brendel clasifica cronológicamente los esfuerzos astronómicos de Gauss en siete períodos distintos, designando los años desde 1820 en adelante como un "período de menor actividad astronómica". A pesar de su moderno equipamiento, el nuevo observatorio no funcionó con la misma eficacia que instituciones comparables. La investigación astronómica de Gauss constituyó en gran medida una empresa solitaria, que carecía de un programa de observación sostenido, y la universidad no estableció un puesto de asistente hasta después de la muerte de Harding en 1834.

Gauss rechazó múltiples ofertas prestigiosas, incluida la membresía plena en la Academia Prusiana de Berlín en 1810 y 1825, lo que lo habría eximido de responsabilidades como profesor. También rechazó propuestas de la Universidad de Leipzig en 1810 y de la Universidad de Viena en 1842, posiblemente debido a las difíciles circunstancias de su familia. Su remuneración aumentó significativamente de 1000 Reichsthaler en 1810 a 2500 Reichsthaler en 1824, lo que lo posicionó entre los profesores universitarios mejor pagados de su carrera posterior.

En 1810, cuando su colega y amigo Friedrich Wilhelm Bessel enfrentó dificultades en la Universidad de Königsberg debido a la falta de un título académico, Gauss intervino. Dispuso que Bessel recibiera un doctorado honoris causa de la Facultad de Filosofía de Göttingen en marzo de 1811. Gauss también abogó por un título honorífico para Sophie Germain, aunque esta recomendación se produjo poco antes de su fallecimiento, lo que le impidió recibirlo. Además, apoyó con éxito al matemático Gotthold Eisenstein en Berlín.

Gauss mantuvo su lealtad a la Casa de Hannover. Tras la muerte del rey Guillermo IV en 1837, el nuevo monarca de Hannover, el rey Ernesto Augusto, derogó la constitución de 1833. Esta acción provocó una protesta de siete profesores, posteriormente conocidos como los "Siete de Göttingen", entre ellos el amigo y colaborador de Gauss, Wilhelm Weber, y su yerno, Heinrich Ewald. Los siete fueron destituidos de sus cargos y tres se enfrentaron a la expulsión, aunque a Ewald y Weber se les permitió permanecer en Göttingen. Gauss estaba profundamente angustiado por este conflicto, pero se vio incapaz de ayudarlos.

Gauss participó activamente en la gestión académica y sirvió tres mandatos como decano de la Facultad de Filosofía. Sus responsabilidades incluían la gestión del fondo de pensiones para viudas de la universidad, lo que implicaba aplicar la ciencia actuarial y redactar un informe sobre estrategias para la estabilización de beneficios. Además, ocupó la dirección de la Real Academia de Ciencias de Göttingen durante un período de nueve años.

Gauss mantuvo su agudeza intelectual durante su avanzada edad, a pesar de experimentar gota y una sensación generalizada de infelicidad. Falleció de un ataque al corazón en Gotinga el 23 de febrero de 1855 y posteriormente fue enterrado en el cementerio Albani. Los elogios en su funeral fueron pronunciados por Heinrich Ewald, su yerno, y Wolfgang Sartorius von Waltershausen, su amigo cercano y biógrafo.

Gauss demostró ser un inversor astuto, amasando una riqueza sustancial a través de acciones y valores, que superó los 150.000 Thaler. Tras su muerte, se descubrieron aproximadamente 18.000 táleros escondidos en sus habitaciones privadas.

Cerebro de Gauss

Al día siguiente de la muerte de Gauss, su cerebro fue extraído, preservado y posteriormente examinado por Rudolf Wagner, quien determinó que su masa estaba ligeramente por encima del promedio, 1.492 gramos (3,29 libras). Hermann Wagner, hijo de Rudolf y geógrafo, estimó el área cerebral en 219.588 milímetros cuadrados (340.362 pulgadas cuadradas) en su tesis doctoral. Sin embargo, en 2013, un neurobiólogo del Instituto Max Planck de Química Biofísica de Gotinga reveló que, poco después de los primeros exámenes, el cerebro de Gauss había sido intercambiado por error con el del médico Conrad Heinrich Fuchs, que también murió en Gotinga unos meses después de Gauss, debido a un etiquetado incorrecto. Investigaciones posteriores no encontraron anomalías significativas en ninguno de los cerebros. Por lo tanto, todos los estudios sobre el "cerebro de Gauss" realizados hasta 1998, excepto los análisis iniciales de Rudolf y Hermann Wagner, se refieren en realidad al cerebro de Fuchs.

Familia

Gauss se casó con Johanna Osthoff el 9 de octubre de 1805 en la iglesia de Santa Catalina en Brunswick. De su unión nacieron dos hijos y una hija: José (1806–1873), Guillermina (1808–1840) y Luis (1809–1810). Johanna falleció el 11 de octubre de 1809, apenas un mes después del nacimiento de Louis; El propio Luis murió varios meses después. Gauss seleccionó los nombres de pila de sus hijos en honor a Giuseppe Piazzi, Wilhelm Olbers y Karl Ludwig Harding, quienes fueron los descubridores de los primeros asteroides.

El 4 de agosto de 1810, Gauss contrajo un segundo matrimonio con Wilhelmine (Minna) Waldeck, una amiga de su primera esposa. Juntos tuvieron tres hijos más: Eugen (más tarde Eugene) (1811–1896), Wilhelm (más tarde William) (1813–1879) y Therese (1816–1864). Minna Gauss sucumbió a una enfermedad prolongada, que duró más de una década, el 12 de septiembre de 1831. Posteriormente, Therese asumió la responsabilidad de la casa y cuidó a Gauss durante los años que le quedaban; Tras la muerte de su padre, se casó con el actor Constantin Staufenau. Su hermana Guillermina se casó con el orientalista Heinrich Ewald. La madre de Gauss, Dorothea, residió en su casa desde 1817 hasta su fallecimiento en 1839.

Joseph, el hijo mayor, ayudó a su padre cuando era escolar durante una campaña de reconocimiento en el verano de 1821. Después de un breve período en la universidad, Joseph se alistó en el ejército de Hannover en 1824 y contribuyó nuevamente a los esfuerzos de reconocimiento en 1829. Durante la década de 1830, supervisó la expansión de la red de reconocimiento en las regiones occidentales del reino. Aprovechando su experiencia geodésica, posteriormente dejó el servicio militar para convertirse en director de los Ferrocarriles Estatales Reales de Hannover, donde participó en la construcción de la red ferroviaria. En 1836, pasó varios meses estudiando el sistema ferroviario en los Estados Unidos.

Eugen partió de Göttingen en septiembre de 1830 y emigró a los Estados Unidos, donde sirvió en el ejército durante cinco años. Posteriormente, trabajó en la American Fur Company en el Medio Oeste antes de trasladarse a Missouri y establecerse como un próspero hombre de negocios. Wilhelm se casó con una sobrina del astrónomo Bessel y luego se mudó a Missouri, inicialmente trabajó como agricultor antes de acumular riqueza en la industria del calzado en St. Louis durante sus últimos años. Si bien Eugen y William tienen numerosos descendientes en Estados Unidos, todos los descendientes de Gauss que quedan en Alemania trazan su linaje a través de Joseph, ya que las hijas no tuvieron hijos.

Personalidad

Contribuciones académicas

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX, Gauss fue el único matemático destacado de Alemania cuya estatura rivalizaba con la de los principales matemáticos franceses. Su obra fundamental, Disquisitiones Arithmeticae, marcó el primer tratado matemático originario de Alemania traducido al francés.

Gauss fue pionero en nuevos desarrollos, como lo demuestran sus investigaciones documentadas desde 1799, su prolífica generación de conceptos novedosos y su enfoque riguroso de la demostración. A diferencia de sus predecesores como Leonhard Euler, que a menudo guiaban a los lectores a través de su razonamiento, incluyendo desvíos erróneos ocasionales, Gauss estableció un estilo distinto caracterizado por una exposición directa y completa, omitiendo deliberadamente el proceso de pensamiento interno del autor.

Gauss jugó un papel decisivo en el restablecimiento del rigor de la demostración, una cualidad admirada en la erudición antigua, que había sido indebidamente marginada por la preocupación exclusiva de la era anterior por los nuevos avances.

Sin embargo, su filosofía personal, articulada en una carta a Farkas Bolyai, presentaba un ideal claramente diferente:

La satisfacción más profunda no surge del conocimiento en sí, sino del proceso de aprendizaje; no desde la posesión, sino desde el camino de la adquisición. Una vez que un tema ha sido completamente aclarado y agotado, invariablemente sigo adelante en busca de nuevos desafíos intelectuales.

Sus escritos póstumos, su diario científico y los márgenes de sus libros de texto revelan una dependencia significativa de los métodos empíricos. Gauss fue un calculador ferviente y perpetuamente activo durante toda su vida, ejecutando cálculos con notable velocidad y verificando resultados mediante estimaciones. A pesar de su diligencia, sus cálculos no estuvieron enteramente exentos de errores. Manejó su importante carga de trabajo empleando herramientas sofisticadas, incluidas numerosas tablas matemáticas, que examinó meticulosamente para determinar su precisión y complementó con nuevas tablas para aplicación personal en varios dominios. También ideó técnicas computacionales innovadoras, como la eliminación gaussiana. En particular, los cálculos de Gauss y las tablas que compiló con frecuencia superaban el nivel de precisión prácticamente requerido, una meticulosidad que probablemente le proporcionó datos complementarios para sus esfuerzos teóricos.

Gauss se adhirió a un estricto estándar de publicación, publicando el trabajo sólo cuando lo consideraba completo e impermeable a la crítica. Este compromiso con la perfección quedó resumido en el lema de su sello personal: Pauca sed Matura ("Pocos, pero maduros"). Si bien muchos colegas lo alentaron a difundir ideas novedosas y ocasionalmente lo reprendieron por los retrasos percibidos, Gauss sostuvo que la concepción inicial de las ideas era sencilla, mientras que elaborar una elaboración presentable resultó ser un desafío debido a limitaciones de tiempo o "serenidad mental". A pesar de esto, publicó numerosas comunicaciones concisas sobre temas urgentes en varias revistas, pero también legó un patrimonio literario sustancial. Gauss caracterizó las matemáticas como "la reina de las ciencias" y la aritmética como "la reina de las matemáticas", y se dice que una vez afirmó que una comprensión inmediata de la identidad de Euler servía como punto de referencia crucial para los aspirantes a matemáticos de primera clase.

Gauss ocasionalmente afirmó posesión previa de ideas atribuidas a otros eruditos. En consecuencia, su comprensión de la prioridad científica, definida como "el primero en descubrir, no el primero en publicar", divergía significativamente de la de sus contemporáneos. A pesar de su meticulosidad en la presentación matemática, sus prácticas de citación generaron críticas por su percepción de negligencia. Defendió este enfoque afirmando que sólo proporcionaría referencias exhaustivas de autores seminales cuyas contribuciones fueran universalmente reconocidas, argumentando que una práctica de citación más exhaustiva exigiría un conocimiento científico histórico y un compromiso de tiempo que no estaba dispuesto a dedicar.

Vida personal

Poco después de la muerte de Gauss, su amigo Sartorius publicó la biografía inaugural en 1856, caracterizada por un tono entusiasta. Sartorius describió a Gauss como un individuo sereno y progresista que poseía modestia infantil, pero también un "carácter de hierro" dotado de una fortaleza mental inquebrantable. Más allá de sus asociados inmediatos, Gauss era ampliamente percibido como reservado e inaccesible, comparado con "un olímpico sentado en el trono en la cumbre de la ciencia". Sus contemporáneos coincidieron en general en que Gauss poseía una personalidad desafiante. Con frecuencia rechazaba los elogios y sus visitantes a veces se molestaban por su comportamiento irritable; sin embargo, su carácter podría cambiar rápidamente, transformándolo en un anfitrión amable y afable. Gauss albergaba aversión a las personalidades polémicas; En particular, él y su colega Hausmann se opusieron al nombramiento de Justus Liebig para una cátedra en Göttingen, citando la perpetua participación de Liebig en polémicas.

La vida personal de Gauss se vio significativamente afectada por profundas dificultades familiares. La repentina muerte de su primera esposa, Johanna, poco después del nacimiento de su tercer hijo, lo impulsó a expresarle su profundo dolor en una última carta, compuesta al estilo de un antiguo trenodio, que permanece entre sus documentos más íntimos. Posteriormente, su segunda esposa y sus dos hijas contrajeron tuberculosis. En una carta de diciembre de 1831 a Bessel, Gauss aludió a su angustia, caracterizándose como "la víctima de los peores sufrimientos domésticos".

Debido a la enfermedad de su esposa, los dos hijos menores de Gauss recibieron su educación durante varios años en Celle, una ciudad distante de Gotinga. Su hijo mayor, Joseph, concluyó una carrera militar que duró más de dos décadas en el rango de primer teniente, insuficientemente remunerado, a pesar de haber acumulado una experiencia sustancial en geodesia. Necesitó ayuda económica de su padre incluso después del matrimonio. El segundo hijo, Eugen, heredó una parte importante de la aptitud de su padre para la computación y los idiomas, pero poseía una disposición enérgica y ocasionalmente desafiante. Deseaba estudiar filología, mientras que Gauss pretendía que se convirtiera en abogado. Después de contraer deudas y crear un escándalo público, Eugen abandonó abruptamente Göttingen en circunstancias dramáticas en septiembre de 1830 y emigró a los Estados Unidos a través de Bremen. Malgastó sus fondos iniciales, lo que llevó a su padre a retener más ayuda financiera. El hijo menor, Wilhelm, intentó estudiar administración agrícola, pero tuvo dificultades para conseguir una educación adecuada y finalmente también emigró. Sólo la hija menor de Gauss, Therese, permaneció con él durante sus últimos años.

Durante su vida posterior, Gauss habitualmente acumuló diversos datos numéricos, que abarcaban información tanto práctica como aparentemente trivial, como el recuento de rutas desde su residencia a lugares específicos en Göttingen o las edades de los individuos expresadas en días. En diciembre de 1851, felicitó especialmente a Humboldt por alcanzar la misma edad que Isaac Newton en el momento de su muerte, calculada en días.

Además de su profundo dominio del latín, Gauss dominaba las lenguas modernas. Se involucró con la literatura clásica y contemporánea, leyendo obras en inglés y francés en sus textos originales. Su autor inglés preferido era Walter Scott y su autor alemán favorito era Jean Paul. A los 62 años, comenzó a estudiar ruso por su cuenta, probablemente motivado por el deseo de comprender la literatura científica rusa, incluidas las obras de Lobachevsky sobre geometría no euclidiana. A Gauss le gustaba cantar y asistía a conciertos. Era un ávido lector de periódicos y en sus últimos años frecuentaba un salón de prensa académica en la universidad todos los mediodías. Gauss tenía poco respeto por la filosofía, a menudo burlándose de los "pelos finos de los llamados metafísicos", un término que aplicó a los defensores de la escuela de pensamiento Naturphilosophie contemporánea.

Gauss poseía una disposición inherentemente aristocrática y profundamente conservadora, mostrando un mínimo respeto por el intelecto y la moralidad de los demás, adhiriéndose a menudo a la máxima "mundus vult decipi" (el mundo quiere ser engañado). Albergaba aversión hacia Napoleón y su marco político, y expresaba un profundo horror ante todas las formas de violencia y revolución. En consecuencia, denunció las metodologías empleadas durante las Revoluciones de 1848, pese a coincidir con determinados objetivos, como la unificación de Alemania. Además, tenía una mala opinión del gobierno constitucional y frecuentemente criticaba a los parlamentarios contemporáneos por lo que percibía como su ignorancia y falacias lógicas.

Los biógrafos de Gauss se han involucrado en especulaciones sobre sus convicciones religiosas. De vez en cuando expresaba sentimientos como "Dios aritmetiza" y "Lo logré, no gracias a mis duros esfuerzos, sino por la gracia del Señor". Aunque Gauss estaba afiliado a la iglesia luterana, una práctica común entre la población del norte de Alemania, la evidencia sugiere que no suscribía completamente todos los dogmas luteranos ni interpretaba la Biblia de manera completamente literal. Sartorius postuló que las convicciones religiosas de Gauss sustentaban su notable tolerancia religiosa, su "sed insaciable de verdad" y su profundo sentido de la justicia.

Matemáticas

Álgebra y teoría de números

Teorema fundamental del álgebra

En su tesis doctoral de 1799, Gauss estableció una prueba del teorema fundamental del álgebra, que postula que todo polinomio no constante, de una sola variable y con coeficientes complejos posee al menos una raíz compleja. Antes de Gauss, los matemáticos, incluido Jean le Rond d'Alembert, habían presentado pruebas erróneas; La disertación de Gauss incluye en particular una crítica de las contribuciones de d'Alembert. Posteriormente, Gauss desarrolló tres pruebas adicionales, y la última, presentada en 1849, generalmente se considera rigurosa. Sus esfuerzos avanzaron significativamente en la comprensión conceptual de los números complejos.

Disquisiciones Arithmeticae

En el prefacio de las Disquisitiones, Gauss indica que su compromiso con la teoría de números comenzó en 1795. A través de un examen de los trabajos de sus predecesores como Fermat, Euler, Lagrange y Legendre, determinó que estos eruditos habían llegado de forma independiente a muchos de los descubrimientos que él había hecho. La obra fundamental, Disquisitiones Arithmeticae, escrita en 1798 y publicada en 1801, contribuyó decisivamente a establecer la teoría de números como una disciplina académica distinta, que abarca aspectos tanto elementales como algebraicos. En este tratado, Gauss introdujo el símbolo de la triple barra (≡) para denotar congruencia, empleándolo para proporcionar una exposición clara de la aritmética modular. El trabajo aborda el teorema de factorización única y el concepto de raíces primitivas módulo n. Además, en sus secciones principales, Gauss presenta las dos pruebas iniciales de la ley de reciprocidad cuadrática y profundiza en las teorías relativas a las formas cuadráticas binarias y ternarias.

Las Disquisiciones incorporan la ley de composición de Gauss para las formas cuadráticas binarias y detallan la enumeración del número de formas en que se puede representar un número entero como la suma de tres cuadrados. Como corolario directo de su teorema sobre tres cuadrados, Gauss demuestra la instancia triangular del teorema del número poligonal de Fermat para n = 3. Con base en varios hallazgos analíticos sobre los números de clase, que Gauss presenta sin prueba formal cerca del final de la quinta sección, se infiere que ya conocía la fórmula del número de clase en 1801.

En la sección final, Gauss proporciona una prueba de la constructibilidad de un heptadecágono regular (un polígono de 17 lados) utilizando sólo una regla y un compás, lo que se logra transformando este desafío geométrico en uno algebraico. Esto representó el primer avance significativo en la construcción de polígonos regulares en más de dos milenios. Demuestra que un polígono regular es construible si su número de lados es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos. En la misma sección, presenta un hallazgo sobre el número de soluciones para polinomios cúbicos específicos con coeficientes en campos finitos, lo que equivale a enumerar puntos integrales en una curva elíptica. Posteriormente se descubrió entre sus documentos póstumos un capítulo incompleto, que comprende trabajos realizados entre 1797 y 1799.

Más investigaciones

Entre los hallazgos iniciales de Gauss se encontraba la conjetura derivada empíricamente de 1792, posteriormente denominada teorema de los números primos, que proporciona una estimación de la cantidad de números primos mediante la aplicación del logaritmo integral.

En 1816, Olbers instó a Gauss a competir por un premio de la Academia Francesa proporcionando una demostración del último teorema de Fermat; sin embargo, Gauss se negó, considerando que el tema no interesaba. Póstumamente, se descubrió un manuscrito sin fecha que contenía pruebas del teorema para los casos específicos en los que n = 3 y n = 5. Mientras que Leonhard Euler había demostrado previamente el caso de n = 3, Gauss ideó una prueba más elegante utilizando números enteros de Eisenstein. Este enfoque, a pesar de su mayor generalidad, ofrecía una solución más simple en comparación con los métodos que involucraban números enteros reales.

En 1831, Gauss avanzó en la resolución de la conjetura de Kepler demostrando que la máxima densidad de empaquetamiento de esferas en el espacio tridimensional se logra cuando sus centros forman una disposición cúbica centrada en las caras. Esta contribución surgió durante su reseña del libro de Ludwig August Seeber sobre la teoría de la reducción de formas cuadráticas ternarias positivas. Al identificar deficiencias en la prueba original de Seeber, Gauss simplificó numerosos argumentos, estableció la conjetura central y señaló su equivalencia con la conjetura de Kepler para configuraciones regulares.

A través de dos publicaciones sobre residuos bicuadráticos (1828, 1832), Gauss presentó el anillo de números enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Estableció su propiedad como un dominio de factorización único y amplió los principios aritméticos fundamentales, incluido el pequeño teorema de Fermat y el lema de Gauss. El principal impulso para introducir este anillo fue articular la ley de reciprocidad bicuadrática, ya que Gauss reconoció que los anillos de números enteros complejos proporcionan el marco inherente para leyes de reciprocidad tan avanzadas.

En el segundo artículo, Gauss articuló la ley general de reciprocidad bicuadrática y fundamentó varios casos específicos. Anteriormente, en una publicación de 1818 que presentaba sus demostraciones quinta y sexta de reciprocidad cuadrática, afirmó que las metodologías empleadas en estas pruebas, específicamente las sumas de Gauss, eran adaptables para establecer leyes de reciprocidad superiores.

Análisis

Entre los descubrimientos iniciales de Gauss se encontraba el concepto de media aritmético-geométrica (AGM) para dos números reales positivos. Entre 1798 y 1799, identificó su relación con las integrales elípticas mediante la transformación de Landen. Una entrada del diario documentó además el descubrimiento de un vínculo entre las funciones elípticas constantes y lemniscaticas de Gauss, un hallazgo que, según declaró, "seguramente abrirá un campo de análisis completamente nuevo". Además, inició exploraciones en los aspectos más rigurosos de los principios fundamentales del análisis complejo. La correspondencia con Bessel en 1811 revela su conocimiento del "teorema fundamental del análisis complejo", específicamente el teorema integral de Cauchy, y su comprensión de los residuos complejos durante la integración alrededor de los polos.

El teorema de los números pentagonales de Euler, junto con sus investigaciones sobre el AGM y las funciones lemniscaticas, guiaron a Gauss a numerosos hallazgos relacionados con las funciones theta de Jacobi. Esto culminó en su descubrimiento en 1808 de lo que más tarde se denominaría la identidad del triple producto de Jacobi, que abarca el teorema de Euler como un ejemplo específico. Sus escritos indican su familiaridad con las transformaciones modulares de órdenes 3, 5 y 7 para funciones elípticas desde 1808.

Varios fragmentos matemáticos encontrados en el Nachlass de Gauss sugieren su conocimiento de elementos de la teoría contemporánea de las formas modulares. A través de su investigación sobre la media aritmético-geométrica multivaluada (AGM) de dos números complejos, descubrió una relación profunda entre el conjunto infinito de valores de la AGM y sus dos "valores más simples". Sus manuscritos inéditos revelan su reconocimiento y descripción preliminar del concepto crucial de un dominio fundamental para el grupo modular. Un ejemplo de un boceto de este tipo de Gauss ilustra una teselación del disco unitario utilizando triángulos hiperbólicos "equiláteros", cada uno de los cuales posee ángulos equivalentes a π<!-- π --> / §1314§ {\displaystyle \pi /4}.

La perspicacia analítica de Gauss queda ejemplificada por su enigmática observación de que los principios que rigen la división de círculos mediante compás y regla también podrían aplicarse a la división de la curva de lemniscata, observación que posteriormente inspiró el teorema fundamental de Abel sobre la división de lemniscata. Otro ejemplo notable es su publicación de 1811, "Summatio quarundam serierum singularium", que abordó la determinación del signo de las sumas cuadráticas de Gauss. En este trabajo, resolvió el problema central introduciendo q-análogos de coeficientes binomiales y manipulándolos a través de varias identidades originales, que parecen originarse en su investigación en teoría de funciones elípticas. Sin embargo, Gauss presentó su argumento formalmente, sin revelar sus raíces en la teoría de la función elíptica; sólo investigaciones posteriores realizadas por matemáticos como Jacobi y Hermite dilucidaron completamente los principios subyacentes de su razonamiento.

En "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), Gauss proporcionó el primer tratamiento sistemático de la función hipergeométrica general F ( α<!-- α --> , β<!-- β --> , γ<!-- γ --> , x ) {\displaystyle F(\alpha,\beta,\gamma,x)}, lo que demuestra que numerosas funciones conocidas en ese momento eran ejemplos específicos de esta función más amplia. Este tratado representa la investigación rigurosa inicial sobre la convergencia de series infinitas en la historia de las matemáticas. Además, explora infinitas fracciones continuas derivadas de razones de funciones hipergeométricas, ahora reconocidas como fracciones continuas de Gauss.

En 1823, Gauss recibió el premio de la Sociedad Danesa por un ensayo sobre mapeos conformes, que contenía varios avances pertinentes al campo del análisis complejo. Gauss postuló que las asignaciones que preservan los ángulos dentro del plano complejo deben ser funciones analíticas complejas y utilizó lo que más tarde se denominó ecuación de Beltrami para establecer la existencia de coordenadas isotérmicas en superficies analíticas. El ensayo concluyó con ejemplos ilustrativos de asignaciones conformes en una esfera y un elipsoide de revolución.

Análisis numérico

Gauss con frecuencia derivó teoremas de forma inductiva a partir de datos numéricos empíricos. En consecuencia, la aplicación de algoritmos eficientes para facilitar los cálculos fue crucial para su investigación, lo que dio lugar a numerosas contribuciones al análisis numérico, como el método de la cuadratura gaussiana, publicado en 1816.

En una correspondencia privada con Gerling en 1823, Gauss describió una solución para un sistema de ecuaciones lineales 4x4 utilizando el método Gauss-Seidel (un enfoque iterativo "indirecto" para resolver sistemas lineales) y abogó por su uso sobre el método convencional de "eliminación directa" para sistemas que comprenden más de dos ecuaciones.

Gauss ideó un algoritmo para calcular lo que ahora se conoce como transformadas discretas de Fourier mientras calculaba las órbitas de Palas y Juno en 1805, anterior al algoritmo similar de Cooley-Tukey de Cooley y Tukey en 160 años. Desarrolló esto como un método de interpolación trigonométrica, pero el artículo Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata no se publicó hasta 1876, de forma póstuma, y significativamente después de la introducción del tema por parte de Joseph Fourier en 1807.

Geometría

Geometría diferencial

El estudio geodésico de Hannover estimuló el interés de Gauss por la geometría diferencial y la topología, disciplinas matemáticas relacionadas con curvas y superficies. Este compromiso culminó con su publicación de 1828, una obra que significa la génesis de la geometría diferencial de superficies moderna. Se apartó de los enfoques tradicionales que trataban las superficies como gráficos cartesianos de funciones de dos variables, iniciando la exploración de superficies desde la perspectiva "intrínseca" de una entidad bidimensional limitada a moverse sobre ellas. Como resultado, el Theorema Egregium (teorema notable) estableció una propiedad fundamental de la curvatura gaussiana. Informalmente, este teorema afirma que la curvatura de una superficie se puede determinar completamente midiendo ángulos y distancias exclusivamente en la superficie, independientemente de si está incrustada en un espacio tridimensional o bidimensional.

El Theorema Egregium facilita la conceptualización de superficies como variedades doblemente extendidas, aclarando así la diferenciación entre las propiedades intrínsecas de una variedad (su métrica) y su manifestación física dentro del espacio ambiental. Una implicación directa de este teorema es la imposibilidad de una transformación isométrica entre superficies que poseen curvaturas gaussianas distintas. En la práctica, esto significa que una esfera o un elipsoide no se puede proyectar en un plano sin incurrir en distorsión, un desafío fundamental para el diseño de proyecciones de mapas geográficos. Un segmento de este trabajo está dedicado a un examen en profundidad de las geodésicas. En particular, Gauss estableció el teorema local de Gauss-Bonnet sobre triángulos geodésicos y amplió el teorema de Legendre sobre triángulos esféricos para abarcar triángulos geodésicos en cualquier superficie que exhiba una curvatura continua. Observó que la desviación angular de un triángulo geodésico "suficientemente pequeño" de un triángulo plano de longitudes de lados idénticas depende únicamente de los valores de curvatura de la superficie en los vértices del triángulo, independientemente del comportamiento de la superficie dentro del interior del triángulo.

Las memorias de Gauss de 1828 no incorporaron el concepto de curvatura geodésica. Sin embargo, en un manuscrito anterior, inédito, probablemente compuesto entre 1822 y 1825, acuñó el término "curvatura lateral" (en alemán: "Seitenkrümmung") y demostró su invariancia bajo transformaciones isométricas. Este hallazgo fue posteriormente derivado y publicado de forma independiente por Ferdinand Minding en 1830. Este artículo particular de Gauss contiene los elementos fundamentales de su lema sobre la curvatura total, junto con su generalización más amplia, que más tarde fue descubierta y probada por Pierre Ossian Bonnet en 1848 y ahora se reconoce como el teorema de Gauss-Bonnet.

Geometría no euclidiana

A lo largo de la vida de Gauss, el postulado paralelo de la geometría euclidiana fue tema de intenso debate académico. Si bien muchos esfuerzos se centraron en demostrar este postulado dentro del marco de los axiomas euclidianos, otros matemáticos exploraron el potencial de sistemas geométricos que prescindían de él. El propio Gauss contempló los principios fundamentales de la geometría a partir de la década de 1790, pero no fue hasta la década de 1810 que reconoció el potencial de una geometría no euclidiana, desprovista del postulado de las paralelas, para resolver esta cuestión de larga data. En una carta de 1824 a Franz Taurinus, Gauss proporcionó una descripción concisa y comprensible de lo que denominó "geometría no euclidiana", aunque prohibió explícitamente a Taurinus difundir o utilizar esta información. Gauss es ampliamente reconocido como la figura pionera que descubrió, investigó e incluso acuñó el término para la geometría no euclidiana.

Los trabajos iniciales publicados sobre geometría no euclidiana en la historia de las matemáticas fueron producidos por Nikolai Lobachevsky en 1829 y Janos Bolyai en 1832. En los años siguientes, Gauss documentó sus propias conceptualizaciones sobre este tema, pero se abstuvo de publicarlas, evitando así intencionalmente cualquier influencia en el desarrollo científico en curso. discurso de la época. Gauss expresó su admiración por las ideas de Janos Bolyai en una carta a su padre y colega universitario, Farkas Bolyai, afirmando que estos conceptos se alineaban con sus propias reflexiones de varias décadas antes. Sin embargo, el alcance preciso de la precedencia de Gauss sobre Lobachevsky y Bolyai sigue siendo ambiguo, dada la naturaleza vaga y oscura de sus observaciones escritas.

Sartorius inicialmente hizo referencia a las contribuciones de Gauss a la geometría no euclidiana en 1856. Sin embargo, las ideas integrales de Gauss sobre el tema no se revelaron completamente hasta la publicación póstuma de su Nachlass en el Volumen VIII de las Obras completas (1900). un período durante el cual la geometría no euclidiana continuó siendo un tema de considerable controversia académica.

Topología temprana

Gauss también surgió como uno de los primeros pioneros en el campo de la topología, o Geometria Situs, como se la conocía durante su época. Su prueba inaugural del teorema fundamental del álgebra en 1799 incorporó un argumento fundamentalmente topológico. Cinco décadas después, refinó aún más este razonamiento topológico en su cuarta demostración del mismo teorema.

Un compromiso posterior con conceptos topológicos surgió durante su investigación astronómica en 1804. En ese momento, Gauss delineó los límites de la región de la esfera celeste donde los cometas y asteroides podrían potencialmente manifestarse, una región que designó como el "Zodiaco". Descubrió que si las órbitas de la Tierra y de un cometa estuvieran topológicamente relacionadas, el Zodíaco abarcaría toda la esfera celeste. En 1848, impulsado por el descubrimiento del asteroide 7 Iris, difundió un análisis cualitativo adicional sobre el Zodíaco.

Gauss exploró extensamente temas relacionados con Geometria Situs entre 1820 y 1830, reconociendo progresivamente las complejidades semánticas inherentes a este dominio. Los fragmentos supervivientes de esta época indican sus esfuerzos por categorizar las "figuras de tracto", definidas como curvas planas cerradas que exhiben un número finito de autointersecciones transversales, que también pueden representar proyecciones planas de nudos. Para esta clasificación, desarrolló un sistema simbólico, conocido como código de Gauss, que encapsulaba efectivamente las características definitorias de estas figuras de tracto.

En un fragmento de 1833, Gauss estableció el número de enlace para dos curvas espaciales utilizando una integral doble específica, presentando así la formulación analítica inaugural de un fenómeno topológico. Al mismo tiempo, expresó su descontento con los avances limitados en Geometria Situs, señalando que un desafío principal implicaría "contar los entrelazamientos de dos curvas cerradas o infinitas". Sus cuadernos de notas contemporáneos indican además su contemplación de otras entidades topológicas, incluidas trenzas y enredos.

La influencia posterior de Gauss en el naciente campo de la topología, una disciplina que consideraba mucho, surgió principalmente de observaciones esporádicas e intercambios verbales con Möbius y Listing.

Contribuciones matemáticas menores

Gauss utilizó números complejos para resolver problemas matemáticos establecidos con una novedosa concisión. Por ejemplo, en una nota de 1836 que abordaba las propiedades geométricas de las formas ternarias y sus aplicaciones cristalográficas, articuló el teorema fundamental de la axonometría. Este teorema aclara la representación precisa de un cubo tridimensional en un plano bidimensional mediante la aplicación de números complejos. Caracterizó las rotaciones de esta esfera como el efecto de transformaciones fraccionarias lineales específicas en el plano complejo extendido y proporcionó una demostración del teorema geométrico que afirma que las altitudes de un triángulo invariablemente se cruzan en un solo ortocentro.

Durante varias décadas, Gauss investigó el "Pentagramma mirificum" de John Napier, un pentagrama esférico específico. Examinó esta entidad desde múltiples perspectivas, logrando progresivamente una comprensión integral de sus propiedades geométricas, algebraicas y analíticas. En particular, en 1843, formuló y demostró varios teoremas que interconectaban funciones elípticas, pentágonos esféricos de Napier y pentágonos de Poncelet en el dominio plano.

Además, proporcionó una solución al desafío de construir la elipse de área máxima dentro de un cuadrilátero específico y descubrió un hallazgo inesperado sobre el cálculo de áreas pentagonales.

Contribuciones científicas

Astronomía

El 1 de enero de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi identificó un nuevo cuerpo celeste, que supuso que sería el planeta largamente buscado situado entre Marte y Júpiter, de conformidad con la ley de Titius-Bode, y lo denominó Ceres. Piazzi sólo pudo observar el objeto durante un breve período antes de que quedara oscurecido por el resplandor solar. Los métodos matemáticos contemporáneos resultaron inadecuados para predecir el lugar de su reaparición basándose en los limitados datos disponibles. Gauss abordó este desafío, pronosticando una posible posición de redescubrimiento para diciembre de 1801. Esta predicción demostró una precisión de medio grado cuando Franz Xaver von Zach, el 7 y 31 de diciembre en Gotha, y de forma independiente Heinrich Olbers, el 1 y 2 de enero en Bremen, ubicaron el objeto cerca de las coordenadas anticipadas.

La metodología de Gauss produce una ecuación de octavo grado, una de cuyas soluciones corresponde a la órbita de la Tierra. Posteriormente, la solución deseada se aísla de las seis restantes aplicando restricciones físicas. Para este esfuerzo, Gauss desarrolló y empleó extensas técnicas de aproximación.

La identificación de Ceres impulsó a Gauss a formular una teoría sobre el movimiento de los planetoides perturbados por planetas más grandes, que finalmente se publicó en 1809 con el título Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum. Este trabajo también introdujo la constante gravitacional de Gauss.

Tras el descubrimiento de nuevos asteroides, Gauss dedicó sus esfuerzos a analizar las perturbaciones de sus elementos orbitales. Inicialmente, investigó a Ceres utilizando técnicas analíticas similares a las de Laplace. Sin embargo, Pallas se convirtió en su principal objetivo debido a su importante excentricidad e inclinación orbital, lo que hizo que la metodología de Laplace fuera ineficaz. En consecuencia, Gauss empleó sus instrumentos matemáticos únicos, incluida la media aritmético-geométrica, la función hipergeométrica y su método de interpolación. En 1812, identificó una resonancia orbital de 18:7 con Júpiter, hallazgo que Gauss presentó inicialmente en clave, revelando su significado explícito únicamente a través de la correspondencia con Olbers y Bessel. A pesar de años de dedicada investigación, concluyó este trabajo en 1816, considerando el resultado insatisfactorio. Este período marcó el cese de su compromiso con la astronomía teórica.

Un resultado significativo de las investigaciones de Gauss sobre las perturbaciones de Palas fue la publicación de 1818 Determinatio Appealis..., que detallaba un método astronómico teórico denominado posteriormente "método del anillo elíptico". Este método introdujo un concepto de promedio, en el que un planeta en órbita se sustituye por un anillo hipotético cuya densidad de masa es directamente proporcional al tiempo que el planeta pasa atravesando sus respectivos arcos orbitales. Gauss aclaró un procedimiento de varios pasos para evaluar la atracción gravitacional ejercida por dicho anillo elíptico, incorporando en particular una aplicación directa del algoritmo de media aritmético-geométrica (AGM) para el cálculo integral elíptico.

Aunque el compromiso de Gauss con la astronomía teórica concluyó, sus esfuerzos prácticos en astronomía observacional persistieron a lo largo de su carrera. En 1799, Gauss ya estaba abordando la determinación de la longitud mediante el paralaje lunar, ideando fórmulas que eran más prácticas que los métodos existentes. Tras su nombramiento como director del observatorio, destacó la importancia de las constantes astronómicas fundamentales en sus comunicaciones con Bessel. Gauss compiló personalmente tablas de nutación, aberración, coordenadas solares y refracción atmosférica. También hizo contribuciones sustanciales a la geometría esférica, aplicando este conocimiento para resolver desafíos prácticos en la navegación celeste. Además, publicó numerosas observaciones, principalmente sobre planetas menores y cometas, siendo su última observación registrada el eclipse solar del 28 de julio de 1851.

Cronología

La publicación inicial de Gauss posterior a su tesis doctoral, publicada en 1800, abordó la determinación de la fecha de Pascua, un tema de matemáticas elementales. Su objetivo era proporcionar un algoritmo accesible para personas que carecían de experiencia en cronología eclesiástica o astronómica, omitiendo deliberadamente términos como número de oro, epact, ciclo solar, letra domenical y cualquier implicación religiosa asociada. Esta elección de tema en particular probablemente estuvo influenciada por factores históricos. La transición del calendario juliano al gregoriano había generado una considerable confusión dentro del Sacro Imperio Romano Germánico desde el siglo XVI, y su implementación en Alemania no finalizó hasta 1700, cuando se rectificó la discrepancia de once días. Posteriormente, la Pascua continuó observándose en distintas fechas en las regiones protestantes y católicas hasta que un acuerdo unificado en 1776 eliminó esta disparidad. En particular, en estados protestantes como el Ducado de Brunswick, la Pascua de 1777, que tuvo lugar cinco semanas antes del nacimiento de Gauss, representó el cálculo inaugural realizado según el método recién adoptado.

Teoría del error

Se presume que Gauss empleó el método de mínimos cuadrados para mitigar los efectos del error de medición durante el cálculo de la órbita de Ceres. Aunque Adrien-Marie Legendre publicó este método por primera vez en 1805, Gauss afirmó en su obra de 1809, Theoria motus, que lo había estado utilizando desde 1794 o 1795. Esta afirmación se reconoce en la historia de la estadística como la "disputa prioritaria sobre el descubrimiento del método de mínimos cuadrados". En su artículo de dos partes, Theoria combineis observeum erroribus minimis obnoxiae (1823), Gauss demostró que, bajo el supuesto de errores normalmente distribuidos, el método posee la varianza muestral más baja entre los estimadores lineales insesgados, un principio ahora conocido como teorema de Gauss-Markov.

En su publicación inicial, Gauss demostró la desigualdad de Gauss (una desigualdad de tipo Chebyshev) para distribuciones unimodales y presentó, sin prueba formal, una desigualdad adicional para momentos de cuarto orden (un ejemplo específico de la desigualdad de Gauss-Winckler). También estableció límites superiores e inferiores para la varianza de la varianza muestral. Posteriormente, en un segundo artículo, Gauss detalló los métodos recursivos de mínimos cuadrados que había desarrollado de forma independiente. Más tarde, el geodesista Friedrich Robert Helmert amplió el trabajo fundamental de Gauss sobre la teoría del error, lo que llevó al desarrollo del modelo Gauss-Helmert.

Más allá de sus contribuciones a la teoría del error, Gauss también abordó varios problemas de la teoría de la probabilidad. En particular, una entrada del diario revela su esfuerzo por caracterizar la distribución asintótica de términos dentro de la expansión fraccionaria continua de un número aleatorio distribuido uniformemente en el intervalo (0,1). Esta distribución, posteriormente denominada distribución de Gauss-Kuzmin, surgió como corolario de su descubrimiento sobre la ergodicidad del mapa de Gauss para fracciones continuas. La resolución de Gauss a este problema representa el logro inaugural en la teoría métrica de fracciones continuas.

Geodesia

El compromiso de Gauss con los problemas geodésicos comenzó en 1799, cuando ayudó a Karl Ludwig von Lecoq con tareas computacionales durante un estudio realizado en Westfalia. Posteriormente, a partir de 1804, adquirió de forma independiente habilidades geodésicas prácticas mientras residía en Brunswick y Göttingen.

A partir de 1816, Heinrich Christian Schumacher, un antiguo alumno de Gauss y luego profesor en Copenhague que dirigía un observatorio en Altona (Holstein), cerca de Hamburgo, emprendió un estudio de triangulación de la península de Jutlandia, que se extendía desde Skagen en el norte hasta Lauenburg en el sur. Esta iniciativa sirvió de base para la producción cartográfica y al mismo tiempo buscó determinar el arco geodésico que conecta los puntos terminales. Las mediciones derivadas de los arcos geodésicos fueron fundamentales para determinar las dimensiones del geoide de la Tierra, y las distancias de arco más largas produjeron una mayor precisión. Posteriormente, Schumacher solicitó a Gauss que extendiera este trabajo hacia el sur, hasta el Reino de Hannover, propuesta a la que Gauss aceptó después de una breve deliberación. Finalmente, en mayo de 1820, el rey Jorge IV encargó formalmente a Gauss esta tarea.

Las mediciones precisas del arco requieren la determinación astronómica precisa de al menos dos puntos dentro de la red geodésica. Gauss y Schumacher aprovecharon la alineación fortuita de que sus respectivos observatorios en Göttingen y Altona (ubicados en el jardín de Schumacher) compartían longitudes casi idénticas. Las mediciones latitudinales se realizaron utilizando su instrumentación combinada, complementada con un sector cenital de Ramsden que fue transportado entre ambos observatorios.

En octubre de 1818, Gauss y Schumacher habían establecido previamente varios ángulos entre Lüneburg, Hamburgo y Lauenburg para facilitar la conexión geodésica. Desde los veranos de 1821 a 1825, Gauss supervisó personalmente los esfuerzos de triangulación, que se extendían desde Turingia en el sur hasta el río Elba en el norte. El triángulo más grande medido por Gauss, que abarca Hoher Hagen, Großer Inselsberg en el bosque de Turingia y Brocken en las montañas de Harz, tenía una longitud de lado máxima de 107 km (66,5 millas). En la escasamente poblada Brezal de Lüneburg, que carecía de elevaciones naturales prominentes o estructuras artificiales, encontró dificultades para identificar puntos de triangulación apropiados, lo que en ocasiones requirió la limpieza de caminos a través de una densa vegetación.

Para facilitar la señalización de señales, Gauss ideó un novedoso instrumento, al que denominó heliotropo, que incluía espejos móviles y un pequeño telescopio diseñado para reflejar los rayos del sol hacia los puntos de triangulación. También desarrolló un dispositivo complementario para este propósito, un sextante aumentado con un espejo adicional, al que denominó vicio heliotropo. Gauss recibió ayuda de soldados del ejército de Hannover, incluido su hijo mayor, Joseph. En 1820, Gauss participó en la medición de la línea base de Schumacher (la línea base de Braak) en el pueblo de Braak, cerca de Hamburgo, y posteriormente utilizó estos hallazgos para la evaluación de la triangulación hannoveriana.

Un resultado adicional de este trabajo fue un valor refinado para el aplanamiento del elipsoide aproximado de la Tierra. Gauss también formuló la proyección universal transversal de Mercator para la Tierra elipsoidal, a la que se refirió como proyección conforme, para facilitar la representación de datos geodésicos en cartas planas.

Al finalizar la medición del arco, Gauss inició la expansión hacia el oeste de la red de triangulación para inspeccionar todo el Reino de Hannover, siguiendo un decreto real emitido el 25 de marzo de 1828. Tres oficiales del ejército, incluido el teniente Joseph Gauss, supervisaron la implementación práctica. Gauss dirigió personalmente la evaluación integral de los datos, empleando sus innovaciones matemáticas, como el método de mínimos cuadrados y el método de eliminación. El proyecto concluyó en 1844, cuando Gauss presentó un informe final al gobierno; sin embargo, su metodología de proyección no se publicó hasta 1866.

En 1828, mientras investigaba las variaciones en latitud, Gauss inicialmente propuso una aproximación física a la forma de la Tierra, caracterizándola como la superficie perpendicular a la dirección gravitacional, un concepto que más tarde denominó geoide por su estudiante de doctorado, Johann Benedict Listing.

Magnetismo y Telegrafía

Geomagnetismo

El interés de Gauss por el magnetismo se remonta a 1803. Después de la conferencia de Alexander von Humboldt de 1828 de la Sociedad de Científicos Naturales y Médicos Alemanes en Berlín, Gauss asistió como invitado de Humboldt, donde conoció al físico Wilhelm Weber.

En 1831, por recomendación de Gauss, Weber fue nombrado catedrático de física en Göttingen, sucediendo a Johann Tobías Mayer. Este nombramiento inició una colaboración productiva entre ellos, que avanzó en la comprensión del magnetismo y estableció una unidad de magnetismo definida por masa, carga y tiempo. Juntos, establecieron la Asociación Magnética (en alemán: Magnetischer Verein), un consorcio internacional de observatorios que realizó mediciones sincronizadas del campo magnético de la Tierra en numerosos lugares del mundo entre 1836 y 1841, empleando metodologías estandarizadas.

En 1836, Humboldt, en una carta al duque de Sussex, entonces presidente de la Royal Society, abogó por establecer una red global de estaciones geomagnéticas dentro de territorios británicos, proponiendo que las mediciones magnéticas se realizaran en condiciones estandarizadas utilizando sus metodologías. Esta iniciativa, junto con los esfuerzos de otros proponentes, culminó en una empresa mundial denominada "Cruzada Magnética", dirigida por Edward Sabine. Las fechas, horas e intervalos de observación estaban predeterminados, siendo el tiempo medio de Gotinga el estándar temporal. En este esfuerzo internacional participaron sesenta y una estaciones en los cinco continentes. Gauss y Weber cofundaron una serie de publicaciones para los resultados, produciendo seis volúmenes entre 1837 y 1843. Las operaciones de la Asociación Magnética cesaron en 1843, tras el traslado de Weber a Leipzig, como consecuencia del asunto Göttingen Seven.

Inspirado por Humboldt, Gauss encargó la construcción de un observatorio magnético dentro del jardín del observatorio existente; sin embargo, los científicos tenían puntos de vista diferentes sobre la instrumentación. Gauss favorecía los instrumentos estacionarios, creyendo que proporcionaban mayor precisión, mientras que Humboldt prefería los dispositivos portátiles. Gauss investigó las variaciones temporales y espaciales de la declinación, inclinación e intensidad magnéticas, distinguiendo, a diferencia de Humboldt, entre componentes de intensidad "horizontales" y "verticales". En colaboración con Weber, ideó metodologías para medir los componentes de intensidad del campo magnético y diseñó un magnetómetro capaz de determinar valores absolutos de la intensidad del campo magnético de la Tierra, yendo más allá de las mediciones relativas dependientes de aparatos. Este magnetómetro logró una precisión aproximadamente diez veces mayor en comparación con instrumentos anteriores. A través de esta investigación, Gauss se convirtió en el primero en derivar una cantidad física no mecánica utilizando cantidades mecánicas fundamentales. Desarrolló el análisis armónico esférico como técnica para describir campos potenciales, empleándolo para demostrar que la mayor parte del campo magnético de la Tierra se origina a partir de fuentes internas.

Gauss publicó una Teoría general del magnetismo terrestre (1839), que consideraba una descripción de la naturaleza fundamental de la fuerza magnética. Sin embargo, Felix Klein caracterizó este trabajo como una representación armónica esférica de observaciones más que como una teoría física integral. Esta teoría postulaba la existencia precisamente de dos polos magnéticos en la Tierra, dejando obsoleto el concepto de Hansteen de cuatro polos magnéticos, y permitió determinar sus ubicaciones con considerable precisión.

Gauss influyó significativamente en el naciente campo de la geofísica en Rusia, como lo demuestra el hecho de que su antiguo alumno Adolph Theodor Kupffer estableciera un observatorio magnético en San Petersburgo, inspirado en el observatorio de Gotinga. Al mismo tiempo, Ivan Simonov inició una iniciativa similar en Kazán.

Electromagnetismo

El interés de Gauss por el electromagnetismo se despertó con los descubrimientos de Hans Christian Ørsted sobre el electromagnetismo y el trabajo de Michael Faraday sobre la inducción electromagnética. En colaboración con Weber, Gauss formuló principios para circuitos eléctricos ramificados, que Gustav Kirchhoff más tarde descubrió, publicó y denominó de forma independiente leyes de circuitos de Kirchhoff. Sus investigaciones conjuntas sobre el electromagnetismo llevaron a la construcción del primer telégrafo electromecánico en 1833. Posteriormente, Weber estableció una conexión entre el observatorio y el instituto central de física de Göttingen utilizando este dispositivo, aunque no se buscaron más aplicaciones comerciales.

El principal compromiso teórico de Gauss con el electromagnetismo se manifestó en sus esfuerzos por establecer leyes cuantitativas para la inducción electromagnética. Sus cuadernos de notas de este período contienen varias formulaciones pioneras, incluido el descubrimiento de la función de potencial vectorial, que Franz Ernst Neumann redescubrió de forma independiente en 1845. Además, en enero de 1835, Gauss documentó una "ley de inducción" equivalente a la ley de Faraday, afirmando que la fuerza electromotriz en un punto espacial específico corresponde a la tasa de cambio temporal instantánea de esta función.

Gauss se esforzó por identificar una ley unificadora para los efectos de largo alcance de la electrostática, la electrodinámica, el electromagnetismo y la inducción, análoga a la ley de gravitación de Newton; sin embargo, esta ambiciosa empresa finalmente concluyó en lo que él denominó un "trágico fracaso".

Teoría del potencial

Tras la demostración teórica de Isaac Newton de que la Tierra y las estrellas en rotación adoptan configuraciones no esféricas, el problema de la atracción elipsoidal se convirtió en un área importante de investigación en la astronomía matemática. En su publicación inaugural sobre teoría potencial, "Theoria Appealis..." (1813), Gauss presentó una expresión cerrada para la atracción gravitacional ejercida por un elipsoide triaxial homogéneo en cualquier punto espacial. A diferencia de las investigaciones anteriores de Maclaurin, Laplace y Lagrange, la novedosa solución de Gauss abordó la atracción más directamente a través de una integral elíptica. Durante este trabajo, también estableció y aplicó casos específicos de lo que ahora se conoce como teorema de Gauss en el análisis vectorial.

En su trabajo de 1840, Teoremas generales sobre las fuerzas atractivas y repulsivas que actúan en proporciones recíprocas de distancias cuadráticas, Gauss desarrolló una teoría fundamental del potencial magnético, basándose en las contribuciones de Lagrange, Laplace y Poisson. Es improbable que estuviera al tanto de las investigaciones anteriores de George Green sobre este tema. Sin embargo, Gauss no pudo proporcionar una explicación fundamental para el magnetismo o una teoría integral del magnetismo comparable al trabajo gravitacional de Newton, que hubiera permitido la predicción de futuros fenómenos geomagnéticos.

Óptica

Los cálculos de Gauss facilitaron la creación de un novedoso sistema de lentes acromáticas por parte del fabricante de instrumentos Johann Georg Repsold en Hamburgo en 1810. Un desafío importante, entre otros, fue el conocimiento impreciso del índice de refracción y las propiedades de dispersión del vidrio empleado. En un conciso artículo de 1817, Gauss abordó la cuestión de la eliminación de la aberración cromática en lentes dobles, calculando los ajustes necesarios en la forma de la lente y los coeficientes de refracción para minimizarla. Sus contribuciones fueron reconocidas por el óptico Carl August von Steinheil, quien, en 1860, introdujo el doblete acromático Steinheil, parcialmente derivado de los cálculos de Gauss. Numerosos hallazgos en óptica geométrica se encuentran dispersos a lo largo de la correspondencia y notas personales de Gauss.

En su publicación de 1840, Investigaciones Dioptricas, Gauss presentó el análisis sistemático inaugural de la formación de imágenes dentro de una aproximación paraxial, un campo ahora conocido como óptica gaussiana. Caracterizó los sistemas ópticos bajo esta aproximación únicamente por sus puntos cardinales y derivó la fórmula de la lente gaussiana, que sigue siendo aplicable independientemente del espesor de la lente.

Mecánica

El trabajo inicial de Gauss en mecánica se centró en la rotación de la Tierra. En 1802, cuando su colega de la universidad Benzenberg realizó experimentos para determinar la desviación perpendicular de masas que caen (fenómeno ahora reconocido como fuerza de Coriolis), pidió a Gauss que le proporcionara cálculos teóricos de estos valores para facilitar la comparación con sus hallazgos empíricos. Posteriormente, Gauss desarrolló un sistema de ecuaciones fundamentales que describen el movimiento y los resultados derivados demostraron una concordancia suficiente con los datos de Benzenberg. En consecuencia, Benzenberg incluyó las consideraciones teóricas de Gauss como un apéndice en su publicación que detalla los experimentos de caída.

Tras la demostración pública de Foucault de la rotación de la Tierra utilizando su experimento del péndulo en 1851, Gerling buscó explicaciones adicionales de Gauss. Esta investigación llevó a Gauss a diseñar un novedoso aparato de demostración que presentaba un péndulo significativamente más corto que el de Foucault. Las oscilaciones del péndulo se controlaron mediante un telescopio de lectura, que incorporaba una escala vertical y un espejo acoplado al péndulo. Este aparato está documentado en la correspondencia Gauss-Gerling, y Weber realizó experimentos con él en 1853, aunque posteriormente no se publicaron datos de estos ensayos.

El principio de mínima restricción de Gauss, formulado en 1829, se estableció como un marco conceptual general diseñado para integrar los distintos campos de la estática y la dinámica dentro de la mecánica. Este principio sintetizó el principio de D'Alembert con el principio de trabajo virtual de Lagrange y exhibió analogías metodológicas con el método de mínimos cuadrados.

Metrología

En 1828, Gauss fue nombrado jefe de la junta de pesas y medidas dentro del Reino de Hannover. En esta capacidad, desarrolló estándares fundamentales para la longitud y la medición. Gauss supervisó personalmente las complejas y costosas mediciones y dio instrucciones precisas para la construcción mecánica de los instrumentos. Su correspondencia con Schumacher, que también se dedicaba al trabajo metrológico, revela sus conceptos innovadores para básculas de alta precisión. En 1841, había presentado al gobierno los informes concluyentes sobre el pie y la libra de Hannover. Este esfuerzo adquirió importancia internacional tras un acto legislativo de 1836 que vinculaba formalmente las medidas hannoverianas con los estándares ingleses.

Honores y premios

La membresía inaugural de Gauss en una sociedad científica fue en la Academia de Ciencias de Rusia en 1802. Posteriormente, instituciones prestigiosas le concedieron numerosas otras membresías (categorizadas como correspondientes, extranjeras o de pleno derecho), entre ellas: la Academia de Ciencias de Göttingen (1802/1807), la Academia Francesa de Ciencias (1804/1820), la Royal Society de Londres (1804), la Real Academia Prusiana de Berlín. (1810), la Academia Nacional de Ciencias de Verona (1810), la Real Sociedad de Edimburgo (1820), la Academia Bávara de Ciencias de Múnich (1820), la Real Academia Danesa de Copenhague (1821), la Real Sociedad Astronómica de Londres (1821), la Real Academia Sueca de Ciencias (1821), la Academia Americana de Artes y Ciencias de Boston (1822), la Real Sociedad Bohemia de Ciencias de Praga (1833), la Real Academia de Ciencias, Letras y Bellas Artes de Bélgica (1841/1845), Real Sociedad de Ciencias de Uppsala (1843), Real Academia Irlandesa de Dublín (1843), Real Instituto de los Países Bajos (1845/1851), Real Academia Española de Ciencias de Madrid (1850), Sociedad Geográfica Rusa (1851), Academia Imperial de Ciencias de Viena (1848), Sociedad Filosófica Americana (1853), la Sociedad Filosófica de Cambridge y la Sociedad Real Holandesa de Ciencias en Haarlem.

En 1848, tanto la Universidad de Kazán como la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga le confirieron la distinción de miembro honorario.

Gauss recibió varios galardones importantes, incluido el Premio Lalande de la Academia Francesa de Ciencias en 1809 por su teoría de los planetas y sus métodos para determinar sus órbitas desde Sólo tres observaciones. En 1823 recibió el premio de la Academia Danesa de Ciencias por sus memorias sobre la proyección conforme. Posteriormente, en 1838, la Royal Society le concedió la Medalla Copley en reconocimiento a "sus invenciones e investigaciones matemáticas en el magnetismo".

En 1837, Gauss fue designado Caballero de la Legión de Honor francesa. Además, tras su creación en 1842, se convirtió en uno de los miembros inaugurales de la Orden Prusiana Pour le Mérite (clase civil). Sus otras distinciones incluyeron la Orden de la Corona de Westfalia (1810), la Orden danesa de Dannebrog (1817), la Real Orden Güelfica de Hannover (1815), la Orden sueca de la Estrella Polar (1844), la Orden de Enrique el León (1849) y la Orden Maximiliana de Ciencia y Arte de Baviera (1853).

Los reyes de Hannover le otorgaron los títulos honoríficos de "Hofrath" (1816) y "Geheimer Hofrath" (1845). En 1949, en conmemoración de sus bodas de oro como médico, Brunswick y Gotinga le concedieron la ciudadanía honoraria. Tras su fallecimiento, el rey Jorge V de Hannover encargó una medalla con la inscripción "al Príncipe de los Matemáticos" en el reverso.

La "Gauss-Gesellschaft Göttingen" (Sociedad Gauss de Göttingen) se creó en 1964 para facilitar la investigación sobre la vida y las contribuciones de Carl Friedrich Gauss y figuras asociadas. Esta sociedad publica las Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft (Comunicaciones de la Sociedad Gauss).

Nombres y conmemoraciones

• Lista de cosas que llevan el nombre de Carl Friedrich Gauss

Escritos seleccionados

Matemáticas y Astronomía

• 1799: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in reales primi vel secundi gradus resolvi posse [Nueva prueba del teorema de que toda función algebraica integral de una variable puede resolverse en factores reales de primer o segundo grado]. Helmstedt: C. G. Fleckeisen."Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam racionalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 3: 107–134."Teorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Clase. Matemáticas. 3: 135–142."Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen". Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. 4: 34–35.Las cuatro pruebas gaussianas para la descomposición de funciones algebraicas completas en factores reales de primer y segundo grado. (1799–1849) [Las cuatro demostraciones gaussianas del teorema fundamental del álgebra]. Traducido por Netto. Leipzig: Wilhelm Engelmann.1890."Berechnung des Osterfestes" [Cálculo de la Pascua]. Correspondencia mensual para el avance de la geografía y las ciencias celestes (publicada en alemán). §34§: 121–130.Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerh. Fleischer jun.Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithmeticae & otros artículos sobre teoría de números. Traducido por Clarke, Arthur A. (segunda edición, corregida). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96254-2."Cálculo de la Pascua judía". Correspondencia mensual para el avance de la geografía y las ciencias celestes (Publicado en alemán). 5: 435–437."Sobre los límites de los lugares geocéntricos de los planetas". Correspondencia mensual para el avance de la geografía y las ciencias celestes (Publicado en alemán).10: 171–193."Theorematis arithmetici demonstratio nova". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis. Comm. Math. 16: 69–74.Methodus peculiaris elevaem poli determinantedi (Publicado en latín). Gotinga.Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium (Publicado en latín). Hamburgo: Friedrich Perthes & Johann Heinrich Besser.Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas. Traducido por Davis, Charles Henry. Pequeño, marrón y amp; Co. 1857.Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas. Reimpresión del original de 1809. (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.) (Latín). Colección de la Biblioteca de Cambridge - Matemáticas. Cambridge University Press. 2011. 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Matemáticas. 4: 3–20."Determinatio atracciónis, quam in punctum positionis datae exerceret planeta, si eius massa per totamorbitam, ratione temporis, quo singulae partes describuntur, uniformiter esset dispertita". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Matemáticas 4: 21–48."Theoria combinaciónis observacionum erroribus minimis obnoxiae. Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Clase. Matemáticas.5: 33–62."Theoria combinaciónis observacionum erroribus minimis obnoxiae. Pars Posterior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Comm. Class. Math. 5: 63–90."Solución general a la tarea de representar las partes de una superficie dada sobre otra superficie dada de tal manera que la imagen se vuelva similar a las partes más pequeñas de lo que se representa." Tratados de Astronomía. 3. Altona.Determinación de la diferencia de latitud entre los observatorios de Göttingen y Altona mediante observaciones en el sector cenital de Ramsden [Determinación de la diferencia de latitud entre los observatorios de Göttingen y Altona mediante observaciones con el sector cenital de Ramsden] (en alemán). Göttingen: Vandenhoeck y Ruprecht 1828.Gauss, Carl Friedrich (1828). "Supplementum theoriae combineis observeum erroribus minimis obnoxiae" [Suplemento a la Teoría de la combinación de observaciones menos sujetas a errores]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Clase. Matemáticas [Comentarios recientes de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. Clase de Matemáticas.]. 6: 57–98.Bibcode:1828stco.book.....G.Gauss, Carl Friedrich; Stewart, G. W. (1995). Teoría de la combinación de observaciones menos sujetas a errores. Primera parte, segunda parte, Suplemento (Clásicos de matemáticas aplicadas). Traducido por G. W. Stewart. 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Math [Comentarios recientes de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. Clase de matemáticas.]. 7: 89–148."Investigaciones sobre temas de geodesia superior. Primer Tratado" [Investigaciones sobre Temas de Geodesia Superior. Primer Tratado]. Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen [Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen]. Volumen dos, de los años 1842–1844: 3–46."Investigaciones sobre temas de geodesia superior. Second Treatise" [Investigaciones sobre temas de geodesia superior. Segundo tratado]. Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen [Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen]. Volumen tres, de los años 1845–1847: 3–44.Gauss (1848). "Schreiben des Herrn Geheimen Hofrathes Gauss an den Herausgeber" [Carta del señor Consejero Secreto de la Corte Gauss al editor].Noticias Astronómicas [Notas Astronómicas] (en alemán). 27: 1–3. Bibcode:1848AN.....27....1G.Klein, Felix, ed. (1903). "Gauß' wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814" [Diario científico de Gauss 1796–1814]. Mathematische Annalen [Anales de matemáticas] (en latín y alemán). 57: 1–34.Jeremy Gray (1984). "Un comentario sobre el diario matemático de Gauss, 1796-1814". Exposiciones Mathematicae. §1516§: 97–130.Física
  • 1804: Ecuaciones fundamentales para el movimiento de cuerpos pesados en la Tierra (publicado en el libro original: Benzenberg, Johann Friedrich. Experimentos sobre la ley de caída, sobre la resistencia del aire y sobre la rotación de la tierra [Experimentos sobre la ley de caída de los cuerpos, sobre la resistencia del aire y sobre la rotación de la Tierra]. Dortmund: hermanos Mallinckrodt págs. 363–371."Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo nova tractata" [Teoría de la atracción de cuerpos esferoidales elípticos homogéneos tratados mediante un nuevo método]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. Com. Clase. Matemáticas [Comentarios recientes de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. Clase de Matemáticas.]. §3
  4§: 1–24."Sobre lentes dobles acromáticas con especial atención a una dispersión más completa de los colores". Journal of Astronomy and Allied Sciences [Revista de Astronomía y Ciencias Afines] (en alemán). IV: 345–351."Sobre una nueva Ley Fundamental General de la Mecánica". Revista de Matemática Pura y Aplicada [Revista de Matemática Pura y Aplicada]. 1829 (4): 232–235. 1829."Principios generales de la teoría de la figura de los fluidos en estado de equilibrio". Comentarios recientes de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. 7: 39–88."La intensidad de la fuerza magnética de la Tierra reducida a una medida absoluta". Comentarios recientes de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. 8: 3–44.Schumacher, H.C. (ed.). Anuario de 1836.vol. 1836. Tubinga: J.G. Librería de Cotta. págs. 1–47.Teoremas generales sobre las fuerzas atractivas y repulsivas que actúan en proporciones recíprocas de distancias cuadráticas. Leipzig: Librería Weidmann. 1840."Investigaciones dioptrías". Tratados de la Real Sociedad de Ciencias de Göttingen. Primer volumen: 1–34.Colaboraciones con Wilhelm Weber
  • 1837–1839: Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultados de las observaciones de la unión magnética en los años 1836-1838. Gotinga: librería de Dieterich. págs. 6 v.Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Resultados de las observaciones de la unión magnética en los años 1839-1841. Leipzig: Librería editorial Weidmann. págs. 6 v.Weber, Wilhelm Eduard; Gauss, Carl Friedrich. Atlas del magnetismo terrestre diseñado según los elementos de la teoría. Suplemento a los resultados de las observaciones de la unión magnética. Leipzig: Librería editorial Weidmann. págs.6v.Recopilaciones de obras
    • Real Academia Prusiana de Ciencias, ed. (1863-1933). Carl Friedrich Gauss. Funciona. vol. 1–12. Göttingen: (varios editores).Correspondencia
      • Real Academia Prusiana de Ciencias, ed. (1880). Correspondencia entre Gauss y Bessel. Leipzig: Wilhelm Engelmann.Schoenberg, Erich; Perlick, Alfons (1955). Cartas desconocidas de C. F. Gauss y del P. W. Bessel. Tratados de la Academia de Ciencias de Baviera, clase de Matemáticas nacionales, nueva serie, n.° 71. Múnich: Editorial de la Academia de Ciencias de Baviera. págs. 5–21.Schwemin, Friedhelm, ed. (2014). La correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Johann Elert Bode. Acta Histórica Astronómica. vol. 53. Leipzig: Editorial académica. ISBN 978-3-944913-43-8.Schmidt, Franz; Stäckel, Paul, ed. (1899). Correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Wolfgang Bolyai. Leipzig: B.G.Teubner.Wittmann, Axel, ed. (2018). Aunque y mientras tanto. La correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Johann Franz Encke. Remagen: Editorial Kessel. ISBN 978-3945941379.Schaefer, Clemens, ed. (1927). Correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Christian Ludwig Gerling. Berlín: Otto Elsner.Bruhns, Karl Christian, ed. (1877). Cartas entre A. v. Humboldt y Gauss. Leipzig: Wilhelm Engelmann.Reich, Karin; Roussanova, Elena (2018). Karl Kreil y el magnetismo terrestre: su correspondencia con Carl Friedrich Gauss en un contexto histórico. Publicaciones de la Comisión de Historia de las Ciencias Naturales, Matemáticas y Medicina, núm. 68. Viena: Editorial de la Academia de Ciencias de Austria.Gerardy, Theo, ed. (1959). Correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Carl Ludwig von Lecoq. Tratados de la Academia de Ciencias de Göttingen, clase de física-matemática, n.° 4. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. págs.37–63.Forbes, Eric G. (1971). "La correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y el reverendo Nevil Maskelyne (1802–05)". Annals of Science. 27 (3): 213–237. doi:10.1080/00033797100203767.Cunningham, Clifford (2004). "Descubrimiento de la correspondencia perdida entre Carl Friedrich Gauss y el reverendo Nevil Maskelyne (1802-05)". Anales de la ciencia. 61 (4): 469–481. doi:10.1080/00033790310001660164.Schilling, Carl, ed. (1900). Correspondencia entre Olbers y Gauss: primera sección. Wilhelm Olbers: su vida y sus obras. Segundo volumen. Berlín: Julius Springer.Schilling, Carl, ed. (1909). Correspondencia entre Olbers y Gauss: Segunda Sección. Wilhelm Olbers: su vida y sus obras. Segundo Volumen. Berlín: Julius Springer.Peters, Christian August Friedrich, ed. (1860–1865). Correspondencia entre C. F. Gauss y H. C. Schumacher.Altona: Gustav Esch.Poser, Hans, ed. (1987). Correspondencia entre Carl Friedrich Gauss y Eberhard August Zimmermann. Tratados de la Academia de Ciencias de Göttingen, Clase de Física Matemática, Serie 3, No. 39. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. ISBN 978-3525821169.

        Notas

        Fuentes