Bernhard Riemann

گئورگ فردریش برنهارد ریمان (; آلمانی: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtman] 7 ʁs ۱۸۲۶ – ۲۰ ژوئیه ۱۸۶۶) یک ریاضی‌دان برجسته آلمانی بود که زمینه‌های تجزیه و تحلیل، تئوری اعداد و هندسه دیفرانسیل را به‌طور چشمگیری پیش برد. در تحلیل واقعی، برجسته‌ترین دستاوردهای او شامل فرمول‌بندی دقیق اولیه انتگرال، که اکنون به عنوان انتگرال ریمان شناخته می‌شود، و کار گسترده او روی سری فوریه است. در تجزیه و تحلیل پیچیده، او به ویژه برای معرفی سطوح ریمان، که پیشگام رویکرد طبیعی و هندسی به موضوع بود، شناخته شده است. انتشار اولیه او در سال 1859 در مورد تابع شمارش اول، که فرمول اولیه فرضیه ریمان را ارائه کرد، سنگ بنای نظریه اعداد تحلیلی است. کار پیشگامانه ریمان در هندسه دیفرانسیل، پایه های ریاضی نظریه نسبیت عام را ایجاد کرد. او به طور گسترده به عنوان یکی از تاثیرگذارترین ریاضیدانان تاریخ شناخته می شود.

زندگی اولیه

ریمان متولد 17 سپتامبر 1826، از برسلنز، روستایی در نزدیکی داننبرگ در پادشاهی هانوفر، سرچشمه گرفت. پدرش، فردریش برنهارد ریمان، به عنوان یک کشیش لوتری فقیر در برسلنز خدمت می کرد و از جانبازان جنگ های ناپلئونی بود. مادرش، شارلوت ایبل، در سال 1846 درگذشت. او دومین فرزند از شش فرزند بود. ریمان از سنین پایین، استعداد ریاضی خارق‌العاده‌ای به‌ویژه در مهارت‌های محاسباتی از خود نشان داد، با این حال او با ترسو، لفظ هراسی و سلامتی ظریف مبارزه می‌کرد.

تحصیلات آکادمیک

در سال 1840، ریمان به هانوفر نقل مکان کرد تا با مادربزرگش اقامت کند و در یک لیسه ثبت نام کند، زیرا این موسسه آموزشی در روستای زادگاهش در دسترس نبود. پس از مرگ مادربزرگش در سال 1842، او به مدرسه متوسطه ژوهانئوم لونبورگ در لونبورگ منتقل شد. زمانی که ریمان در آنجا بود، مشغول مطالعه فشرده کتاب مقدس بود، اگرچه تمرکز او اغلب به سمت ریاضیات تغییر می کرد. مربیان او از ظرفیت او برای محاسبات پیچیده ریاضی شگفت زده شدند، که اغلب از تخصص خود آنها فراتر می رفت. در 19 سالگی، در سال 1846، او تحصیلات خود را در فیلولوژی و الهیات مسیحی آغاز کرد و قصد داشت کشیش شود و به ثبات مالی خانواده اش کمک کند.

در بهار سال 1846، پس از اینکه پدرش بودجه کافی را به دست آورد، ریمان به قصد ادامه تحصیل در رشته الهیات به دانشگاه گوتینگن فرستاده شد. با این وجود، پس از ورود، او مطالعات ریاضی را زیر نظر کارل فردریش گاوس آغاز کرد، به ویژه در سخنرانی‌هایی درباره روش حداقل مربعات شرکت کرد. گاوس متعاقباً به ریمان توصیه کرد که الهیات را برای ریاضیات کنار بگذارد. با رضایت پدرش، ریمان در سال 1847 به دانشگاه برلین منتقل شد. در طول مدت تصدی وی در آنجا، اساتید برجسته ای شامل کارل گوستاو ژاکوب یاکوبی، پیتر گوستاو لژون دیریکله، یاکوب اشتاینر، و گوتولد آیزنشتاین بودند. پس از دو سال اقامت در برلین، در سال 1849 به گوتینگن بازگشت.

حرفه تحصیلی

در سال 1854، ریمان سخنرانی های افتتاحیه خود را ارائه کرد، که اصول اساسی هندسه ریمانی را پایه گذاری کرد و بدین ترتیب، زمینه را برای نظریه نسبیت عام آلبرت انیشتین فراهم کرد. تلاشی برای ارتقای ریمان به سمت استادی فوق‌العاده در دانشگاه گوتینگن در سال 1857 انجام شد. در حالی که این ترفیع ناموفق بود، حقوق ثابتی را برای او تضمین کرد. متعاقباً، در سال 1859، پس از درگذشت دیریکله، که کرسی ارجمند گاوس را در دانشگاه گوتینگن اشغال کرد، ریمان به عنوان سرپرست بخش ریاضیات دانشگاه منصوب شد. علاوه بر این، او اولین کسی بود که استفاده از ابعاد فراتر از سه یا چهار را برای توصیف واقعیت فیزیکی پیشنهاد کرد.

در سال 1862، با الیز کخ ازدواج کرد و متعاقباً صاحب یک دختر شدند.

زندگی بعدی و مرگ

در سال 1866، ریمان گوتینگن را در میان درگیری بین ارتش هانوفر و پروس ترک کرد. او در سفر سوم ایتالیایی خود به بیماری سل تسلیم شد و در Selasca درگذشت، در حال حاضر دهکده Verbania در دریاچه Maggiore، جایی که او در قبرستان Biganzolo (وربانیا) به خاک سپرده شد.

ریمان یک مسیحی مؤمن، پسر یک وزیر پروتستان بود و به فعالیت های ریاضی خود به عنوان نوعی خدمت الهی می نگریست. او در طول زندگی خود ایمان مسیحی ثابتی داشت و آن را عنصر اصلی وجود خود می دانست. وی در حالی که دعای ربوبی را با همسرش می خواند، پیش از اتمام آن از دنیا رفت. همزمان، در گوتینگن، کارمند خانه او به طور ناخواسته مقالات متعددی از مطالعه او را که شامل حجم قابل توجهی از مطالب منتشر نشده بود، دور ریخت. با توجه به عدم تمایل ریمان به انتشار آثار ناتمام، قابل قبول است که برخی از بینش های عمیق به طور جبران ناپذیری از دست رفته باشد.

هندسه ریمانی

آثار منتشر شده ریمان پیشگام حوزه‌های تحقیقاتی جدیدی در تقاطع تحلیل و هندسه بود. این مشارکت‌های بنیادی بعداً به اصول اصلی هندسه ریمانی، هندسه جبری و نظریه چندگانه پیچیده تبدیل شدند. چارچوب مفهومی سطوح ریمان توسط فلیکس کلاین و به ویژه آدولف هورویتز توسعه داده شد. این رشته ریاضی یک جزء اساسی توپولوژی را تشکیل می دهد و همچنان به یافتن کاربردهای نوآورانه در فیزیک ریاضی ادامه می دهد.

در سال 1853، گاوس به شاگرد خود، ریمان، مأموریت داد تا یک Habilitationsschrift بنویسد که به اصول اساسی هندسه می پردازد. ریمان چندین ماه را به فرمول‌بندی نظریه‌ی ابعاد بالاتر خود اختصاص داد که در سخنرانی در گوتینگن در 10 ژوئن 1854 با عنوان Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen به اوج رسید. این اثر مهم تا سال 1868 منتشر نشد، دوازده سال بعد، زمانی که توسط ددکیند، دو سال پس از مرگ ریمان منتشر شد. اگرچه طبق گزارش‌ها، استقبال اولیه از آن کم‌رنگ بود، اما اکنون به‌عنوان یکی از مهم‌ترین کمک‌ها در زمینه هندسه شناخته می‌شود.

این رساله بنیادی رشته‌ای را که به هندسه ریمانی معروف است، تأسیس کرد. ریمان با موفقیت روشی را برای تعمیم هندسه دیفرانسیل سطوح ابداع کرد - مفهومی که خود گاوس در theorema egregium خود توضیح داد - به ابعاد n. اجزای کلیدی این چارچوب شامل متریک ریمانی و تانسور انحنای ریمان است. در حالت دو بعدی یک سطح، انحنا در هر نقطه مشخص را می توان به یک مقدار اسکالر ساده کرد، جایی که سطوحی که دارای انحنای مثبت یا منفی ثابت هستند به عنوان نمونه هایی از هندسه های غیر اقلیدسی عمل می کنند. انتگرال آن فاصله بین نقاط پایانی مسیر را نشان می دهد. برای مثال، ریمان نشان داد که در یک زمینه فضایی چهار بعدی، ده مقدار عددی متمایز در هر نقطه برای مشخص کردن فواصل و انحناهای یک منیفولد، صرف نظر از تغییر شکل آن، مورد نیاز است.

تحلیل پیچیده

ریمان در پایان نامه خود یک زمینه هندسی برای تجزیه و تحلیل پیچیده با استفاده از سطوح ریمان ایجاد کرد و بدین وسیله توابع چند ارزشی - مانند لگاریتم (که با صفحات بی نهایت مشخص می شود) یا ریشه مربع (با دو صفحه) - به توابع تک مقداری تبدیل شد. در این سطوح، توابع پیچیده به صورت توابع هارمونیک ظاهر می شوند (یعنی به معادله لاپلاس و در نتیجه معادلات کوشی-ریمان پایبند هستند)، ویژگی های آنها توسط موقعیت تکینگی های آنها و توپولوژی ذاتی سطوح تعریف می شود. جنس توپولوژیکی سطوح ریمان از نظر ریاضی به صورت 26§ {\displaystyle g=w/2-n+1} ، جایی که سطح از ${\displaystyle n}$ برگ‌ها در ${\displaystyle w}$ نقاط منشعب. وقتی 78§ {\displaystyle g>1} ، سطح ریمان دارای ${\displaystyle (3g-3)}$ که به عنوان مدول شناخته می شوند.

مشارکت او در این دامنه گسترده است. قضیه نگاشت مشهور ریمان بیان می‌کند که هر حوزه‌ای که به سادگی در صفحه مختلط متصل است، از نظر بیهولومورفیک معادل است - به این معنی که یک انشعاب هولومورفیک با یک معکوس هولومورف وجود دارد - با ${\displaystyle \mathbb {C} }$ یا داخل دایره واحد. تعمیم این قضیه به سطوح ریمان به عنوان قضیه یکنواخت سازی شناخته می شود، نتیجه قابل توجهی در قرن 19 توسط هانری پوانکاره و فلیکس کلاین ایجاد شد. به طور مشابه، شواهد دقیق برای این تعمیم تنها پس از توسعه ابزارهای ریاضی پیچیده تر، به ویژه توپولوژی پدیدار شد. در نشان دادن وجود توابع روی سطوح ریمان، ریمان از یک شرط حداقلی استفاده کرد که آن را اصل دیریکله نامید. با این حال، کارل وایرشتراس یک نقص مهم را در این اثبات شناسایی کرد: ریمان بی اعتباری احتمالی فرض اساسی خود را در مورد وجود یک حداقل نادیده گرفته بود، زیرا فضای تابع ممکن است کامل نباشد، در نتیجه حداقل تضمین شده را منع کرده بود. در نهایت، اصل دیریکله از طریق کار بعدی دیوید هیلبرت در حساب تغییرات ایجاد شد. با وجود این، وایرشتراس برای ریمان احترام زیادی قائل بود، به ویژه نظریه او در مورد توابع آبلی را تحسین می کرد. پس از انتشار کار ریمان، وایرشتراس مقاله خود را از ژورنال کرل پس گرفت و ترجیح داد آن را منتشر نکند. درک متقابل قوی بین آنها در وایرشتراس ریمان ایجاد شد و متعاقباً شاگردش هرمان آماندوس شوارتز را تشویق کرد تا رویکردهای جایگزینی را برای اصل دیریکله در تحلیل پیچیده ایجاد کند، تلاشی که در آن شوارتز به موفقیت دست یافت. حکایتی که توسط آرنولد سامرفلد بازگو شده است، چالش هایی را که ریاضیدانان معاصر در درک مفاهیم بدیع ریمان با آن مواجه بودند، نشان می دهد. گزارش شده است که در سال 1870، وایرشتراس پایان نامه ریمان را در تعطیلات به ریگی برد و در درک آن مشکل بیان کرد. هرمان فون هلمهولتز فیزیکدان یک شبه به او کمک کرد و متعاقباً گفت که کار هم "طبیعی" و هم "بسیار قابل درک" است.

مشارکت‌های مهم دیگر شامل تحقیقات او در مورد توابع آبلی و توابع تتا، به ویژه در زمینه سطوح ریمان است. از سال 1857، ریمان درگیر یک تلاش رقابتی با وایرشتراس برای حل مسائل معکوس ژاکوبین برای انتگرال های آبلی بود، که بیانگر تعمیم انتگرال های بیضوی است. ریمان با استفاده از توابع تتا از متغیرهای چندگانه به این موضوع نزدیک شد و در نتیجه مشکل را به شناسایی صفرهای این توابع کاهش داد. او همچنین ماتریس های دوره را بررسی کرد و آنها را از طریق "روابط دوره ریمانی" مشخص کرد که تقارن و بخش واقعی منفی را مشخص می کند. فردیناند گئورگ فروبنیوس و سولومون لفشتز بعداً نشان دادند که اعتبار این رابطه معادل تعبیه ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }$—جایی که ${\displaystyle \Omega }$ شبکه ماتریس دوره را نشان می دهد - به فضای تصویری با استفاده از توابع تتا. برای مقادیر خاص ${\displaystyle n}$، این ساختار گونه‌های ژاکوبی سطح ریمان را به دست می‌دهد که نمونه‌ای از منیفولد آبلی است.

بسیاری از ریاضیدانان، از جمله آلفرد کلبش، متعاقباً کار بنیادی ریمان را در مورد منحنی‌های جبری پیش بردند. این چارچوب‌های نظری بر ویژگی‌های توابع تعریف‌شده بر روی سطوح ریمان مبتنی بودند. به عنوان مثال، قضیه ریمان-روخ - که تا حدی به نام راخ، شاگرد ریمان نامگذاری شده است - تعداد دیفرانسیل های مستقل خطی را بر روی سطح ریمان، مشروط به شرایط مشخصی در رابطه با صفرها و قطب های آنها، مشخص می کند.

دتلف لاگوویتز معتقد است که توابع خودکار به کار رفته در بار الکتریکی ظاهر شده در ابتدا ظاهر می شوند. سیلندرها با این حال، خود ریمان از این توابع برای نگاشتهای همسان استفاده کرد - برای مثال، تبدیل مثلث های توپولوژیکی به یک دایره - در سخنرانی خود در سال 1859 در مورد توابع فرا هندسی و در رساله خود در مورد سطوح حداقل.

تحلیل واقعی

در تجزیه و تحلیل واقعی، ریمان انتگرال ریمان را در حین تطبیق خود معرفی کرد و نشان داد که تمام توابع پیوسته تکه ای قابل ادغام هستند. انتگرال Stieltjes همچنین به ریاضیدان گوتینگن نسبت داده می شود، که منجر به نامگذاری ترکیبی آنها به عنوان انتگرال Riemann-Stieltjes می شود.

در پایان نامه تطبیقی ​​خود در مورد سری فوریه، ریمان بر اساس کار مربی خود دیریکله نشان داد که توابع انتگرال پذیر Riemann را می توان با سری های Fourier انتگرال پذیر نشان داد. در حالی که دیریکله این را برای توابع متمایز پیوسته و تکه تکه نشان داده بود (که با تعداد قابل شمارش نقاط غیر قابل تمایز مشخص می شود)، ریمان این را با ارائه نمونه ای از یک سری فوریه که نشان دهنده یک تابع پیوسته و تقریباً هیچ جا تمایزپذیر است، گسترش داد، سناریویی که دیریکله به آن پرداخته نبود. علاوه بر این، او لم ریمان-لبگ را ثابت کرد که بیان می‌کند اگر تابعی با سری فوریه قابل نمایش باشد، ضرایب فوریه آن با بزرگ شدن n به صفر نزدیک می‌شود. نظریه.

در سال 1857، ریمان روش‌های تحلیلی پیچیده‌ای را برای معادلات دیفرانسیل ابرهندسی به کار برد و راه‌حل‌های آنها را از طریق رفتار مسیرهای بسته در اطراف تکینگی‌ها، که با ماتریس monodromy مشخص می‌شود، نشان داد. نشان دادن وجود چنین معادلات دیفرانسیل، با توجه به ماتریس های مونودرومی از پیش تعریف شده، یکی از مسائل هیلبرت را تشکیل می دهد.

تئوری اعداد

ریمان به طور قابل توجهی به نظریه اعداد تحلیلی مدرن کمک کرد. او در انتشار مختصر و انحصاری خود در مورد نظریه اعداد، تابع زتا را که اکنون به نام او نامگذاری شده است، بررسی کرد و بدین ترتیب نقش حیاتی آن را در درک توزیع اعداد اول مشخص کرد. فرضیه ریمان به عنوان یکی از چندین حدس او در مورد ویژگی های تابع مطرح شد.

کار ریمان شامل بسیاری از پیشرفت های قابل توجه دیگر است. او معادله تابعی را برای تابع زتا نشان داد، رابطه ای که قبلا توسط لئونارد اویلر شناسایی شده بود، که زیربنای آن تابع تتا است. با جمع کردن این تابع تقریب بر روی صفرهای غیر پیش پا افتاده واقع در خط با قسمت واقعی 1/2، او یک "فرمول صریح" دقیق برای ${\displaystyle \pi (x)}$.

ریمان از تحقیقات پافنوتی چبیشف در مورد قضیه اعداد اول آگاه بود، زیرا چبیشف در سال 1852 از دیریکله بازدید کرده بود.

انتشارات

آثار منتشر شده ریمان عبارتند از:

• 1851 - مبانی برای یک نظریه عمومی توابع کمیت مختلط متغیر (مبانی برای یک نظریه عمومی توابع یک کمیت مختلط متغیر)، پایان نامه افتتاحیه، گوتینگن، 1851.
• 1857 - Theorie der Abelschen Functionen (نظریه توابع آبلی)، مجله ریاضیات محض و کاربردی، جلد. 54، صص 101-155.
• 1859 - درباره تعداد اعداد اول تحت اندازه معین (درباره تعداد اعداد اول کمتر از مقدار معین)، در: گزارش‌های ماهانه آکادمی علوم پروس. برلین، نوامبر 1859، صفحات 671 به بعد. این اثر شامل حدس ریمان است. درباره تعداد اعداد اول در اندازه معین. (ویکی منبع)، فکس نسخه خطی بایگانی شده 03-03-2016 در Wayback Machine with Clay Mathematics.
• 1861 - Commentatio Mathematica, qua Responere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (تفسیر ریاضی، که در آن سعی شده است به یک سوال پیشنهاد شده توسط آکادمی برجسته پاسخ داده شود)، جایزه مسابقه آکادمی پاریس را برای یک مسابقه آکادمی پاریسلی>
• 1867 - درباره نمایش پذیری یک تابع توسط یک سری مثلثاتی (درباره نمایش پذیری یک تابع توسط یک سری مثلثاتی)، از جلد سیزدهم مجموعه مقالات انجمن سلطنتی علوم در گوتینگن.
• 1868 - درباره فرضیه های زیربنایی هندسه (درباره فرضیه هایی که در پایه هندسه قرار دارند). رساله های انجمن سلطنتی علوم، گوتینگن 1868. ترجمه انگلیسی، درباره فرضیه هایی که در پایه هندسه قرار دارند، توسط W.K. کلیفورد، در Nature 8 (1873): 183 ظاهر شد و متعاقباً در مقالات ریاضی جمع آوری شده کلیفورد تجدید چاپ شد (لندن: مک میلان، 1882؛ نیویورک: چلسی، 1968). این اثر همچنین در Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Baseds of Mathematics" 2 vol. (انتشارات دانشگاه آکسفورد: 652-61).
• 1876 - کارهای ریاضی جمع آوری شده برنهارد ریمان و مقالات علمی، ویرایش شده توسط هاینریش وبر با همکاری ریچارد ددکیند، لایپزیگ، بی. جی. ویرتینگر، توبنر 1902). ویرایش های بعدی عبارتند از کارهای گردآوری شده برنهارد ریمان: متون کامل آلمانی. ویرایش شده توسط هاینریش وبر. ریچارد ددکیند؛ M Noether; ویلهلم ویرتینگر؛ هانس لوی. Mineola، نیویورک: انتشارات دوور، شرکت، 1953، 1981، 2017.
• 1876 - گرانش، الکتریسیته و مغناطیس، هانوفر: کارل هاتندورف.
• 1882 - سخنرانی در معادلات دیفرانسیل جزئی، ویرایش سوم. براونشوایگ 1882.
• 1901 - معادلات دیفرانسیل جزئی فیزیک ریاضی بر اساس سخنرانی های ریمان. ریمان، برنهارد (1901). وبر، هاینریش مارتین (ویرایشگر). "Die partiellen differential-gleichungen der mathematischen physik nach Riemann's Vorlesungen". Friedrich Vieweg und Sohn.
• 2004 - ریمان، برنهارد (2004)، مقالات گردآوری شده، مطبوعات کندریک، شهر هیبر، UT، ISBN 978-0-7-97404، M. 2121437فهرست موجودیت‌هایی که به نام برنهارد ریمان نامگذاری شده‌اند.
  • فهرست چیزهایی که به نام برنهارد ریمان نامگذاری شده است
  • هندسه غیر اقلیدسی.
  • درباره تعداد اعداد اول کمتر از قدر معین، مقاله ریمان در سال 1859 که تابع زتای مختلط را معرفی می کند.

  مراجع

  دربی شایر، جان (2003)، وسواس اولیه: برنهارد ریمان و بزرگترین مسئله حل نشده در ریاضیات، واشنگتن، دی سی: چاپ جان هنری، ISBN 0-309-08549-7.

  • دربی‌شایر، جان (2003)، وسواس اول: برنهارد ریمان و بزرگترین مسئله حل‌نشده در ریاضیات، واشنگتن دی سی: چاپ جان هنری، ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topology and Physics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). از ریمان تا هندسه دیفرانسیل و نسبیت. Springer. ISBN 9783319600039"sexternal="sternal. title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=از+ریمان+به+دیفرانسیل+ژئوم try+and+Relativity&rft.pub=Springer&rft.date=2017&rft.isbn=9783319600390𝔯_id=info%3Asid%2Fen..
  <

  اوکانر، جان جی. رابرتسون، ادموند اف.، "برنهارد ریمان"، آرشیو تاریخچه ریاضیات MacTutor، دانشگاه سنت اندروزوایسشتاین، اریک ولفگانگ (ویرایشگر). "ریمان، برنهارد (1826–1866)". ScienceWorld.