Leonhard Euler

Leonhard Euler (OY-lər ; 15 avril 1707 – 18 septembre 1783) était un mathématicien suisse dont l'expertise couvrait les mathématiques, la physique, l'astronomie, la logique, la géographie, la théorie musicale et l'ingénierie. Il a été un pionnier dans les domaines de la théorie des graphes et de la topologie et a apporté des contributions significatives dans de nombreuses autres disciplines mathématiques, notamment la théorie analytique des nombres, l'analyse complexe et le calcul infinitésimal. De plus, Euler a établi une partie substantielle de la terminologie et de la notation mathématiques contemporaines, conceptualisant notamment la fonction mathématique. Son vaste travail englobait également la mécanique, la dynamique des fluides, l'optique, l'astronomie et la théorie musicale. Euler a été salué comme un « génie universel », possédant « des pouvoirs d’imagination presque illimités, des dons intellectuels et une mémoire extraordinaire ». La majeure partie de sa vie adulte s'est déroulée à Saint-Pétersbourg, en Russie, et à Berlin, qui était alors la capitale de la Prusse.

Leonhard Euler (OY-lər ; 15 avril 1707 - 18 septembre 1783) était un mathématicien suisse actif en tant que mathématicien, physicien, astronome, logicien, géographe, théoricien de la musique et ingénieur. Il a fondé les études sur la théorie des graphes et la topologie et a fait des découvertes influentes dans de nombreuses autres branches des mathématiques, telles que la théorie analytique des nombres, l'analyse complexe et le calcul infinitésimal. Il a également introduit une grande partie de la terminologie et de la notation mathématiques modernes, y compris la notion de fonction mathématique. Il est connu pour ses travaux en mécanique, dynamique des fluides, optique, astronomie et théorie musicale. Euler a été qualifié de « génie universel » qui « était entièrement doté de pouvoirs d'imagination presque illimités, de dons intellectuels et d'une mémoire extraordinaire ». Il a passé la majeure partie de sa vie adulte à Saint-Pétersbourg, en Russie, et à Berlin, alors capitale de la Prusse.

Euler est reconnu pour avoir popularisé la lettre grecque ${\displaystyle \pi }$ (pi minuscule) pour indiquer le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il a également été le pionnier de l'utilisation de la notation ${\displaystyle f(x)>$ pour les valeurs de fonction, la lettre ${\displaystyle i}$ pour l'unité imaginaire −<!-- − --> §6667§ {\displaystyle {\sqrt {-1}}} , la lettre grecque ${\displaystyle \Sigma }$ (sigma majuscule) pour les sommations, et la lettre grecque ${\displaystyle \Delta }$ (delta capital) pour les différences finies. De plus, il a établi la convention consistant à utiliser des lettres minuscules pour les côtés des triangles et des lettres majuscules pour les angles. Il a également fourni la définition contemporaine de la constante ${\displaystyle e}$, qui sert de base au logarithme népérien et est maintenant appelé nombre d'Euler. Les contributions d'Euler s'étendent aux mathématiques appliquées et à l'ingénierie, notamment à travers ses recherches sur les navires, qui facilitent la navigation ; son ouvrage en trois volumes sur l'optique, qui a joué un rôle déterminant dans le développement des microscopes et des télescopes ; et ses recherches sur la flexion des poutres et les charges critiques des colonnes.

Euler est reconnu comme l'initiateur de la théorie des graphes, un domaine qu'il a développé en partie pour résoudre le problème des Sept Ponts de Königsberg, qui est également considéré comme la première application pratique de la topologie. Parmi ses nombreuses réalisations, il s'est fait connaître pour avoir résolu plusieurs problèmes auparavant insolubles en théorie et en analyse des nombres, notamment le célèbre problème de Bâle. De plus, Euler est crédité de la découverte que, pour tout polyèdre sans trous, la somme de ses sommets et de ses faces, moins ses arêtes, est systématiquement égale à 2 ; cette valeur est désormais largement reconnue comme la caractéristique d'Euler. En physique, Euler a réarticulé les lois du mouvement d'Isaac Newton en un nouvel ensemble de principes dans son traité en deux volumes, Mechanica, fournissant ainsi une explication plus complète de la dynamique des corps rigides. Il a également fait progresser l'étude des déformations élastiques des objets solides. En outre, Euler a formulé les équations aux dérivées partielles régissant le mouvement des fluides non visqueux et a établi les fondements mathématiques de la théorie du potentiel.

Euler est largement considéré comme étant sans doute le contributeur le plus prolifique dans les annales des mathématiques et des sciences, et est reconnu comme le mathématicien prééminent du XVIIIe siècle. Son vaste œuvre, comprenant 866 publications et sa vaste correspondance, a été compilée dans l'Opera Omnia Leonhard Euler. À titre posthume, plusieurs mathématiciens éminents ont reconnu son importance profonde dans la discipline : Pierre-Simon Laplace a déclaré : « Lisez Euler, lisez Euler, il est le maître de nous tous » ; de même, Carl Friedrich Gauss affirmait : « L'étude des œuvres d'Euler restera la meilleure école pour les différents domaines des mathématiques, et rien d'autre ne pourra la remplacer. »

Petite vie

Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard Euler était le fils de Paul III Euler, pasteur de l'Église réformée, et de Marguerite (née Brucker), dont la lignée comprenait plusieurs éminents érudits classiques. Aîné de quatre enfants, il avait deux sœurs cadettes, Anna Maria et Maria Magdalena, et un frère cadet, Johann Heinrich. Peu de temps après la naissance d'Euler, sa famille a déménagé de Bâle à Riehen, en Suisse, où son père est devenu pasteur de l'église locale et Leonhard a passé la majeure partie de son enfance.

La première éducation mathématique d'Euler a été dispensée par son père, qui avait auparavant étudié sous la direction de Jacob Bernoulli à l'Université de Bâle. Vers l'âge de huit ans, Euler s'installe chez sa grand-mère maternelle et est inscrit à l'école latine de Bâle. Parallèlement, il reçoit un enseignement privé auprès de Johannes Burckhardt, un jeune théologien profondément intéressé par les mathématiques.

En 1720, à l'âge de treize ans, Euler s'inscrit à l'Université de Bâle, une inscription précoce qui n'est pas rare pour l'époque. Son cours de mathématiques élémentaires était enseigné par Johann Bernoulli, le frère cadet de feu Jacob Bernoulli, qui avait auparavant instruit le père d'Euler. Johann Bernoulli et Euler ont ensuite développé une connaissance plus étroite, Euler racontant plus tard dans son autobiographie :

Le célèbre professeur Johann Bernoulli [...] a trouvé une satisfaction particulière à guider mon avancement dans les sciences mathématiques. Il a cependant refusé les cours particuliers, invoquant son emploi du temps chargé. Néanmoins, il m'a donné des conseils bien plus utiles : me procurer de manière indépendante et travailler avec diligence sur des livres de mathématiques plus difficiles. Si je rencontrais des objections ou des difficultés, il m'offrait un accès libre tous les samedis après-midi, commentant gracieusement mes problèmes collectés. Cette approche a produit un tel avantage souhaité que, après avoir résolu une objection, dix autres se sont immédiatement dissipées, ce qui est certainement la méthode optimale pour réaliser des progrès réussis dans les sciences mathématiques.

Avec le soutien de Bernoulli, Euler obtint l'approbation de son père pour poursuivre une carrière de mathématicien plutôt que d'entrer dans le clergé.

En 1723, Euler obtint une maîtrise en philosophie pour une thèse comparant les principes philosophiques de René Descartes et d'Isaac Newton. Par la suite, il s'inscrit à la faculté de théologie de l'Université de Bâle.

En 1726, Euler termine sa thèse, intitulée De Sono, qui portait sur la propagation du son ; cependant, sa tentative d'obtenir un poste à l'Université de Bâle grâce à ce travail a échoué. L'année suivante, 1727, marque sa première participation au concours du prix de l'Académie de Paris, un événement annuel (plus tard biennal) créé en 1720. Le défi de cette année-là consistait à déterminer l'emplacement optimal des mâts des navires. Pierre Bouguer, reconnu par la suite comme « le père de l'architecture navale », remporte le premier prix, tandis qu'Euler obtient la deuxième place. Tout au long de sa carrière, Euler a participé à cette compétition quinze fois, remportant douze victoires.

Carrière

Première période de Saint-Pétersbourg (1727-1741)

En 1725, les fils de Johann Bernoulli, Daniel et Nicolas, commencèrent leur service à l'Académie impériale russe des sciences à Saint-Pétersbourg, après avoir assuré à Euler une recommandation pour un futur poste. Tragiquement, le 31 juillet 1726, Nicolas succomba à une appendicite après moins d'un an en Russie. Lorsque Daniel a repris le rôle de son frère dans la division mathématiques/physique, il a plaidé pour que son ami Euler occupe le poste de physiologie qu'il avait laissé vacant. Euler accepta rapidement l'offre en novembre 1726, bien qu'il reporta son voyage à Saint-Pétersbourg tout en poursuivant sans succès une chaire de physique à l'Université de Bâle.

Euler arriva à Saint-Pétersbourg en mai 1727. Il fut ensuite promu d'un poste junior dans le département de médecine de l'académie à un poste au sein du département de mathématiques. Résidant avec Daniel Bernoulli, il s'est engagé dans un travail en étroite collaboration. Euler a rapidement acquis la maîtrise du russe, s'est intégré à la vie à Saint-Pétersbourg et a assumé un rôle supplémentaire en tant que médecin dans la marine russe.

L'Académie de Saint-Pétersbourg, fondée par Pierre le Grand, avait pour objectif de faire progresser l'éducation russe et de combler les disparités scientifiques avec l'Europe occidentale. Par conséquent, il a suscité un attrait considérable auprès des chercheurs internationaux, dont Euler. Cependant, Catherine Ier, patronne de l'académie et successeur du programme progressiste de son mari, est décédée avant l'arrivée d'Euler à Saint-Pétersbourg. Par la suite, la noblesse conservatrice russe accéda au pouvoir avec Pierre II, douze ans. Cette noblesse, se méfiant des scientifiques étrangers de l'académie, réduisit le soutien financier à Euler et à ses associés, restreignant simultanément l'accès au gymnase et aux universités pour les étudiants étrangers et non aristocratiques.

Après la mort de Pierre II en 1730, les conditions connurent une légère amélioration lorsque Anna de Russie, sous influence allemande, accéda au trône. Euler progressa rapidement au sein de l'académie, obtenant une chaire de physique en 1731. Il démissionna également de la marine russe, refusant une promotion au grade de lieutenant. Deux ans plus tard, Daniel Bernoulli, frustré par la censure et les antagonismes rencontrés à Saint-Pétersbourg, part pour Bâle. Euler a ensuite pris la direction du département de mathématiques. En janvier 1734, il épousa Katharina Gsell (1707-1773), la fille de Georg Gsell. Frédéric II tenta de recruter Euler pour sa naissante Académie de Berlin en 1740, mais Euler préféra initialement rester à Saint-Pétersbourg. Cependant, après le décès de l'impératrice Anna et l'accord de Frédéric II d'égaler le salaire russe d'Euler de 1 600 écus, Euler consentit à déménager à Berlin. En 1741, il demanda officiellement l'autorisation de s'installer à Berlin, invoquant la nécessité d'un climat plus doux pour sa vue détériorée. L'académie russe a accédé à sa demande, acceptant de lui verser une compensation annuelle de 200 roubles en tant que membre actif.

La période berlinoise (1741-1766)

Motivé par l'instabilité politique persistante en Russie, Euler quitta Saint-Pétersbourg en juin 1741 pour accepter un poste à l'Académie de Berlin, une offre proposée par Frédéric le Grand de Prusse. Il a résidé à Berlin pendant 25 ans, au cours desquels il a rédigé des centaines d'articles scientifiques. Son ouvrage fondateur sur les fonctions, intitulé Introductio in analysin infinitorum, fut publié en 1748, suivi d'un traité sur le calcul différentiel, Institutiones calculi différentielis, en 1755. En 1755 également, il fut élu membre étranger de l'Académie royale des sciences de Suède et de l'Académie française des sciences. Parmi les étudiants distingués d'Euler à Berlin se trouvait Stepan Rumovsky, reconnu par la suite comme le premier astronome russe. En 1748, il déclina une invitation de l'Université de Bâle à succéder à Johann Bernoulli, récemment décédé. En 1753, il acquiert une résidence à Charlottenburg, où il vit avec sa famille et sa mère veuve.

Euler assume le rôle de tuteur de Friederike Charlotte de Brandebourg-Schwedt, princesse d'Anhalt-Dessau et nièce de Frédéric. Au début des années 1760, il composa pour elle plus de 200 lettres, compilées par la suite dans un volume intitulé Lettres d'Euler sur différents sujets de philosophie naturelle adressées à une princesse allemande. Cette publication présentait les éclaircissements d'Euler sur divers sujets de physique et de mathématiques, fournissant simultanément un aperçu significatif de son caractère et de ses convictions théologiques. L'ouvrage a été traduit dans de nombreuses langues, diffusé dans toute l'Europe et aux États-Unis, et a atteint un plus grand lectorat que n'importe lequel de ses traités purement mathématiques. L'attrait généralisé des Lettres souligne la capacité exceptionnelle d'Euler à transmettre des concepts scientifiques complexes au grand public, un attribut rare pour un chercheur engagé.

Malgré les contributions substantielles d'Euler à la réputation de l'académie et sa nomination à la présidence par Jean le Rond d'Alembert, Frédéric II s'est nommé à ce poste. Le monarque prussien, entouré d'un vaste cercle intellectuel à sa cour, considérait Euler comme un homme peu sophistiqué et insuffisamment informé sur des sujets dépassant les domaines numériques et mathématiques. Euler était un individu simple et profondément religieux qui soutenait constamment l'ordre social et les doctrines conventionnelles en vigueur. Son tempérament était, à bien des égards, antithétique à celui de Voltaire, qui jouissait d'un prestige considérable au sein de la cour de Frédéric. Euler manquait de maîtrise du débat et s'engageait fréquemment dans des discussions sur des sujets sur lesquels il possédait une connaissance limitée, ce qui en faisait un sujet récurrent des remarques satiriques de Voltaire. Frederick a également exprimé son mécontentement à l'égard des compétences pratiques d'ingénierie d'Euler, en faisant remarquer :

Frédéric le Grand aurait exprimé le désir de créer un jet d'eau de jardin, pour lequel Euler a calculé la force de roue requise pour élever l'eau jusqu'à un réservoir. De ce réservoir, l'eau était destinée à descendre par des canaux avant de finalement jaillir à Sanssouci. Cependant, le moulin de construction géométrique s'est avéré inefficace, ne parvenant pas à transporter l'eau à moins de cinquante pas du réservoir. Ce résultat conduisit à la lamentation du roi : "Vanité des vanités ! Vanité de la géométrie !"

Néanmoins, d'un point de vue technique, la déception était probablement infondée. Les calculs d'Euler semblent avoir été précis, malgré des interactions potentiellement problématiques entre Euler, Frederick et les constructeurs de la fontaine.

Pendant son mandat à Berlin, Euler a entretenu une solide affiliation avec l'Académie de Saint-Pétersbourg, publiant 109 articles en Russie. En outre, il a fourni son aide aux étudiants de l'Académie de Saint-Pétersbourg, accueillant occasionnellement des universitaires russes dans sa résidence berlinoise. En 1760, au milieu de la guerre de Sept Ans, la ferme d'Euler à Charlottenburg fut pillée par l'avancée des forces russes. À la suite de cet incident, le général Ivan Petrovitch Saltykov a remboursé les dommages causés aux biens d'Euler, somme augmentée plus tard par l'impératrice Elisabeth de Russie de 4 000 roubles supplémentaires, ce qui constituait une somme substantielle pour la période. Par conséquent, Euler décida de quitter Berlin en 1766 et de s'installer en Russie.

De 1741 à 1766, durant sa période à Berlin, Euler atteint l'apogée de sa productivité scientifique. Il est l'auteur de 380 ouvrages, dont 275 ont été publiés par la suite. Il s'agissait de 125 mémoires destinés à l'Académie de Berlin et de plus de 100 mémoires envoyés à l'Académie de Saint-Pétersbourg, qui maintenait son adhésion et lui versait une allocation annuelle. L'ouvrage fondateur d'Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, parut en deux volumes en 1748. Au-delà de ses efforts de recherche personnels, Euler supervisa la bibliothèque, l'observatoire, le jardin botanique de l'académie et la production de calendriers et de cartes, qui généraient des revenus pour l'institution. Il a également participé à la conception architecturale des fontaines d'eau de Sanssouci, la résidence d'été du monarque.

Deuxième mandat de Saint-Pétersbourg (1766-1783)

Après l'accession au trône de Catherine la Grande, le climat politique de la Russie s'est stabilisé, ce qui a incité Euler à accepter une invitation à rejoindre l'Académie de Saint-Pétersbourg en 1766. Ses conditions étaient particulièrement exigeantes, notamment un salaire annuel de 3 000 roubles, une pension pour sa femme et des assurances de postes importants pour ses fils. À l'université, il a reçu l'aide de son étudiant, Anders Johan Lexell. En 1771, alors qu'il résidait à Saint-Pétersbourg, un incendie consuma tragiquement sa maison.

Vie personnelle

Le 7 janvier 1734, Euler épousa Katharina Gsell, la fille de Georg Gsell, peintre affilié au gymnase de l'Académie de Saint-Pétersbourg. Le couple a ensuite acquis une résidence au bord de la rivière Neva. En 1776, trois ans après le décès de sa femme, Euler épousa sa demi-sœur, Salome Abigail Gsell. Cette union persista jusqu'à sa mort en 1783. De leurs treize enfants, cinq – trois fils et deux filles – survécurent jusqu'à l'âge adulte. Leur fils aîné, Johann Albrecht Euler, avait Christian Goldbach pour parrain. Le frère d'Euler, Johann Heinrich, s'est installé à Saint-Pétersbourg en 1735 et a obtenu un emploi de peintre à l'académie.

Dans sa jeunesse, Euler a mémorisé l'Énéide de Virgile et, dans ses dernières années, il était capable de réciter le poème épique et d'identifier les phrases d'ouverture et de conclusion sur chaque page de l'édition qu'il avait étudiée. Il possédait la connaissance des cent nombres premiers initiaux et pouvait articuler chacune de leurs puissances jusqu'au sixième degré. Euler était caractérisé comme un individu bienveillant et aimable, dépourvu des tendances névrotiques parfois observées chez les intellects prodigieux, conservant son tempérament sympathique même après avoir connu une cécité complète.

Progression de la déficience visuelle

La vision d'Euler s'est progressivement détériorée tout au long de sa carrière mathématique. En 1738, trois ans après une fièvre presque mortelle, il était devenu presque entièrement aveugle de l'œil droit. Euler a attribué cette déficience au travail cartographique qu'il a effectué pour l'Académie de Saint-Pétersbourg, bien que l'étiologie précise de sa cécité reste un sujet de conjectures scientifiques. Sa vision de cet œil a continué à se détériorer au cours de son mandat en Allemagne, ce qui a incité Frédéric II à l'appeler « Cyclope ». Euler aurait commenté sa déficience visuelle en déclarant : « Maintenant, j'aurai moins de distractions ». En 1766, une cataracte fut identifiée à son œil gauche. Bien qu'une procédure de couchage ait temporairement amélioré sa vue, les complications ultérieures ont également conduit à une cécité presque totale de cet œil. Remarquablement, cette profonde déficience visuelle a eu un impact minime perceptible sur sa productivité académique. Aidé par des scribes, la production d'Euler dans de nombreux domaines d'études s'est en fait intensifiée ; en 1775, il produisait en moyenne un article mathématique par semaine.

Mort

Leonhard Euler est décédé à Saint-Pétersbourg le 18 septembre 1783. Après un déjeuner en famille, il était engagé dans une discussion avec Anders Johan Lexell concernant la planète Uranus récemment découverte et sa mécanique orbitale lorsqu'il s'est soudainement effondré suite à une hémorragie cérébrale. Jacob von Staehlin a rédigé une nécrologie concise pour l'Académie russe des sciences, tandis que Nicolas Fuss, mathématicien russe et l'un des disciples d'Euler, a présenté un éloge funèbre plus complet lors d'une réunion commémorative. De plus, le mathématicien et philosophe français, marquis de Condorcet, a écrit un éloge funèbre pour l'Académie française, déclarant :

...il a cessé de calculer et de vivre.

...il a cessé de calculer et de vivre.

Euler a d'abord été enterré aux côtés de Katharina dans le cimetière luthérien de Smolensk sur l'île Vassilievski. En 1837, l'Académie russe des sciences érigea un nouveau monument, remplaçant sa pierre tombale auparavant envahie par la végétation. Par la suite, en 1957, pour commémorer le 250e anniversaire de sa naissance, sa dépouille a été transférée au cimetière Lazarevskoe, au sein du monastère Alexandre Nevski.

Contributions à la science

Les efforts intellectuels d'Euler couvraient presque tous les domaines des mathématiques, englobant la géométrie, le calcul infinitésimal, la trigonométrie, l'algèbre et la théorie des nombres, en plus de la physique du continu, de la théorie lunaire et de diverses autres branches de la physique. Il constitue une figure centrale dans les annales des mathématiques ; on estime que ses œuvres complètes, dont beaucoup possèdent une importance fondamentale, rempliraient entre 60 et 80 volumes in-quarto si elles étaient publiées. De 1725 à 1783, la production scientifique d'Euler était en moyenne de 800 pages par an. En outre, il est l'auteur de plus de 4 500 lettres et de centaines de manuscrits. Les estimations suggèrent que Leonhard Euler était responsable d'environ un quart de la production scientifique totale en mathématiques, physique, mécanique, astronomie et navigation au cours du XVIIIe siècle, certains chercheurs lui attribuant jusqu'à un tiers de la production mathématique à elle seule au cours de cette période.

Notation mathématique

Grâce à ses manuels détaillés et largement diffusés, Euler a joué un rôle déterminant dans l'introduction et la vulgarisation de nombreuses conventions de notation. Une contribution particulièrement significative a été sa formalisation du concept de fonction et son utilisation pionnière de la notation f(x) pour représenter la fonction f appliquée à l'argument x. De plus, il a établi la notation contemporaine pour les fonctions trigonométriques, a désigné la lettre e pour la base du logarithme naturel (maintenant fréquemment appelé nombre d'Euler), a utilisé la lettre grecque Σ pour les sommations et a introduit la lettre i pour signifier l'unité imaginaire. Alors que la lettre grecque π pour le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre a été initialement proposée par le mathématicien gallois William Jones, son adoption généralisée est largement attribuée à l'influence d'Euler.

Analyse

Les progrès du calcul infinitésimal constituaient un objectif principal de la recherche mathématique du XVIIIe siècle. La famille Bernoulli, proche d'Euler, a contribué de manière significative aux premiers progrès dans ce domaine. Leur influence a ensuite orienté les principaux efforts de recherche d'Euler vers l'étude du calcul. Bien que certaines des preuves d'Euler ne correspondent pas aux normes contemporaines de rigueur mathématique, notamment en raison de sa confiance dans le principe de généralité de l'algèbre, ses contributions conceptuelles ont facilité de nombreuses percées significatives.Dans le domaine de l'analyse, Euler est particulièrement reconnu pour son application et son développement approfondis des séries entières, qui représentent des fonctions comme des sommes infinies de termes, illustrées par : e x = ∑<!-- ∑ --> n = §2526§ ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( §7475§ §7778§ ! + x §9192§ ! + x §106107§ §111112§ ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}

L'application par Euler des séries entières a facilité la résolution du problème de Bâle en 1735, une tâche impliquant la sommation des réciproques des carrés de tous les nombres naturels. Une démonstration plus complète de cette solution fut ensuite présentée en 1741. Initialement formulé par Pietro Mengoli en 1644, le problème de Bâle était devenu un défi mathématique important non résolu dans les années 1730, gagnant une large reconnaissance grâce aux efforts de Jacob Bernoulli et résistant aux solutions de nombreux mathématiciens de premier plan de cette époque. Les conclusions d'Euler ont établi que :

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2627§ n §3233§ = lim n → ∞ ( §6061§ §6364§ §6667§ + §7677§ §7980§ §8283§ + §9293§ §9596§ §9899§ + ⋯ + §113114§ n §119120§ ) = π §138139§ §142143§ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Euler a introduit la constante, définie comme : γ<!-- γ --> = lim n →<!-- → --> ∞<!-- ∞ --> ( §2930§ + §3536§ §3738§ + §4546§ §4748§ + §5556§ §5758§ + ⋯ + §7071§ n − ln ⁡ ( n ) ) ≈ 0,5772 , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0,5772,> Cette constante, désormais désignée comme la constante d'Euler ou la La constante d'Euler-Mascheroni a ensuite été étudiée pour ses liens avec la série harmonique, la fonction gamma et les valeurs spécifiques de la fonction zêta de Riemann.

Euler a été le pionnier de l'intégration de fonctions exponentielles et de logarithmes dans les preuves analytiques. Il a développé des méthodes pour représenter diverses fonctions logarithmiques par le biais de séries entières et a réussi à étendre la définition des logarithmes pour englober les nombres négatifs et complexes, élargissant ainsi considérablement leur applicabilité mathématique. De plus, il a défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes et identifié sa relation avec les fonctions trigonométriques. Pour tout nombre réel φ, exprimé en radians, la formule d'Euler articule la fonction exponentielle complexe comme : $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

Cette équation a été caractérisée par Richard Feynman comme « la formule la plus remarquable en mathématiques ».

Un exemple spécifique de la formule susmentionnée est reconnu comme l'identité d'Euler : e je π<!-- π --> + §1920§ = §2324§ {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Euler a fait progresser la théorie des fonctions transcendantales supérieures grâce à l'introduction de la fonction gamma et a conçu une nouvelle approche pour résoudre les équations quartiques. Ses travaux sur le calcul d'intégrales aux limites complexes anticipaient l'émergence de l'analyse complexe contemporaine. De plus, il est à l'origine du calcul des variations et a établi l'équation d'Euler-Lagrange, qui transforme les problèmes d'optimisation dans ce domaine en solutions d'équations différentielles.

Euler a joué un rôle déterminant dans l'application de méthodes analytiques pour résoudre des problèmes de théorie des nombres. Cet effort a effectivement fusionné deux disciplines mathématiques distinctes et a inauguré un nouveau domaine : la théorie analytique des nombres. Ses contributions fondamentales dans ce domaine comprennent le développement de séries hypergéométriques, de séries q, de fonctions trigonométriques hyperboliques et de la théorie analytique des fractions continues. Par exemple, il a démontré l’infinitude des nombres premiers en exploitant la divergence des séries harmoniques et a utilisé des techniques analytiques pour élucider certains aspects de la distribution des nombres premiers. Les recherches d'Euler dans ce domaine ont finalement ouvert la voie au théorème des nombres premiers.

Théorie des nombres

L'engagement d'Euler dans la théorie des nombres trouve son origine dans l'influence de Christian Goldbach, un collègue de l'Académie de Saint-Pétersbourg. Une partie importante des recherches initiales d'Euler en théorie des nombres s'appuie sur les fondations posées par Pierre de Fermat. Euler a développé plusieurs concepts de Fermat et réfuté certaines conjectures, notamment l'affirmation selon laquelle tous les nombres étaient exprimés sous la forme §78§ §1112§ n + §2223§ {\textstyle 2^{2^{n}}+1} (appelés nombres de Fermat) sont premiers.

Euler a établi un lien entre la distribution des nombres premiers et les concepts analytiques. Il a démontré la divergence de la somme des réciproques des nombres premiers. Grâce à ce travail, il a identifié la relation entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers, une découverte désormais reconnue comme la formule du produit d'Euler pour la fonction zêta de Riemann.

Euler a développé la fonction totient, notée φ(n), qui quantifie le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à un entier n donné qui sont premiers à n. Tirant parti des caractéristiques de cette fonction, il a étendu le petit théorème de Fermat, aboutissant à ce qui est aujourd'hui reconnu comme le théorème d'Euler. Ses contributions à la théorie des nombres parfaits, un sujet d'intérêt mathématique depuis Euclide, furent substantielles. Il a établi une correspondance biunivoque entre les nombres même parfaits et les nombres premiers de Mersenne, une relation qu'il avait déjà démontrée, maintenant appelée théorème d'Euclide-Euler. En outre, Euler a proposé la loi de réciprocité quadratique, un concept considéré comme fondamental dans la théorie des nombres, et ses idées ont influencé de manière significative les travaux ultérieurs de Carl Friedrich Gauss, notamment dans Disquisitiones Arithmeticae. En 1772, Euler avait confirmé que 2³¹ − 1 = 2 147 483 647 constituait un nombre premier de Mersenne, restant potentiellement le plus grand nombre premier connu jusqu'en 1867.

Euler a également fait des progrès significatifs dans la théorie concernant les partitions d'un entier.

Théorie des graphes

En 1735, Euler a résolu le célèbre problème des sept ponts de Königsberg. Ce problème provenait de la ville de Königsberg, en Prusse, située sur la rivière Pregel, où deux îles importantes étaient reliées entre elles et au continent par sept ponts. Le défi était de déterminer s’il existait un itinéraire traversant chaque pont une seule fois. Euler a démontré l'impossibilité d'une telle voie, concluant qu'aucune voie eulérienne n'existait. Cette solution particulière est largement considérée comme le théorème inaugural de la théorie des graphes.

Euler a également formulé l'équation ${\displaystyle V-E+F=2}$, qui établit une relation entre le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe, et par conséquent, d'un graphe plan. La constante dans cette formule est actuellement identifiée comme la caractéristique d'Euler pour le graphique ou une autre entité mathématique, et elle est en corrélation avec le genre de l'objet. L'investigation et l'application plus large de cette formule, notamment par Cauchy et L'Huilier, représentent un aspect fondamental de la topologie.

Physique, astronomie et ingénierie

Une partie importante des réalisations d'Euler impliquait la résolution analytique de problèmes pratiques et l'élucidation de diverses applications pour les nombres de Bernoulli, les séries de Fourier, les nombres d'Euler, les constantes e et π, les fractions continues et les intégrales. Il a synthétisé efficacement le calcul différentiel de Leibniz avec la méthode des fluxions de Newton, créant ainsi des méthodologies qui ont facilité l'application du calcul aux phénomènes physiques. Il a considérablement fait progresser l'approximation numérique des intégrales, techniques pionnières désormais reconnues comme approximations d'Euler, la méthode d'Euler et la formule d'Euler-Maclaurin étant particulièrement importantes.

Euler a joué un rôle central dans la formulation de l'équation des poutres d'Euler-Bernoulli, qui est ensuite devenue un principe fondamental en ingénierie. Au-delà de son application réussie des méthodes analytiques à la mécanique classique, Euler a étendu ces techniques aux défis astronomiques. Ses contributions à l'astronomie lui ont valu de nombreux prix de l'Académie de Paris tout au long de sa carrière. Les réalisations notables incluent la détermination très précise des orbites des comètes et d'autres corps célestes, la compréhension des caractéristiques fondamentales des comètes et le calcul de la parallaxe du Soleil. Son travail informatique a joué un rôle déterminant dans l'établissement de tables de longitude précises.

Euler a considérablement fait progresser le domaine de l'optique. Il a contesté la théorie corpusculaire de la lumière de Newton, qui était la vision scientifique prédominante de cette époque. Ses traités d'optique des années 1740 ont joué un rôle déterminant dans l'établissement de la théorie ondulatoire de la lumière de Christiaan Huygens comme paradigme dominant, une position qu'elle a maintenue jusqu'à l'émergence de la théorie quantique de la lumière.

Dans le domaine de la dynamique des fluides, Euler a été le premier à prévoir le phénomène de cavitation en 1754, avant sa première observation à la fin du XIXe siècle. Le nombre d'Euler, utilisé dans les calculs d'écoulement de fluide, provient de ses recherches associées sur l'efficacité des turbines. En 1757, il a publié un ensemble crucial d'équations pour l'écoulement non visqueux en dynamique des fluides, actuellement appelées équations d'Euler.

En ingénierie des structures, Euler est reconnu pour sa formule définissant la charge critique d'Euler, qui représente la charge critique de flambement pour une entretoise idéale, déterminée uniquement par sa longueur et sa rigidité en flexion.

Logique

On attribue à Euler l'utilisation de courbes fermées pour délimiter le raisonnement syllogistique en 1768, des diagrammes qui ont ensuite été désignés comme diagrammes d'Euler.

Un diagramme d'Euler constitue une méthodologie schématique pour représenter des ensembles et leurs interrelations. Ces diagrammes sont composés de simples courbes fermées, généralement des cercles, situées dans un plan pour représenter des ensembles. Chaque courbe d'Euler divise le plan en deux régions ou « zones » distinctes : une zone intérieure, qui désigne symboliquement les éléments appartenant à l'ensemble, et une zone extérieure, représentant tous les éléments non membres de cet ensemble. Les dimensions ou configurations de ces courbes sont sans conséquence ; la signification du diagramme réside dans la manière dont ils se chevauchent. Les relations spatiales entre les régions délimitées par chaque courbe (en particulier le chevauchement, le confinement ou l'exclusion mutuelle) correspondent directement aux relations fondamentales de la théorie des ensembles telles que l'intersection, le sous-ensemble et la disjonction. Les courbes dont les zones intérieures ne se coupent pas signifient des ensembles disjoints. A l’inverse, deux courbes dont les zones intérieures se croisent indiquent des ensembles possédant des éléments communs, la zone partagée représentant l’intersection de ces ensembles. Une courbe entièrement enfermée dans la zone intérieure d'une autre courbe signifie qu'elle est un sous-ensemble de l'ensemble contenant.

Les diagrammes d'Euler, ainsi que leur raffinement ultérieur en diagrammes de Venn, ont été intégrés dans les programmes pédagogiques de théorie des ensembles dans le cadre du mouvement des « nouvelles mathématiques » au cours des années 1960. Depuis cette période, ils ont été largement adoptés en tant qu'outil précieux pour visualiser des combinaisons de caractéristiques.

Démographie

Dans son traité de 1760, Une enquête générale sur la mortalité et la multiplication de l'espèce humaine, Euler a postulé un modèle démontrant comment une population caractérisée par des taux de fécondité et de mortalité constants pouvait présenter une progression géométrique grâce à l'application d'une équation de différence. Dans ce cadre de croissance géométrique, Euler a également élucidé les relations entre divers indices démographiques, illustrant leur utilité potentielle pour générer des estimations lorsque les données d'observation étaient incomplètes. Environ 150 ans plus tard, Alfred J. Lotka, dans trois articles distincts (1907, 1911 avec F.R. Sharpe et 1922), a adopté une méthodologie comparable à celle d'Euler, aboutissant au développement de son modèle de population stable. Ces contributions ont collectivement marqué la genèse de la modélisation démographique formelle au XXe siècle.

Musique

Parmi les intérêts les plus divergents d'Euler figurait l'application des principes mathématiques à la musique. En 1739, il écrit le Tentamen novae theoriae musicae (Tentative d'une nouvelle théorie de la musique), avec l'aspiration d'intégrer à terme la théorie musicale dans le domaine plus large des mathématiques. Cette facette particulière de son vaste travail a cependant reçu une reconnaissance scientifique limitée, ayant été qualifiée d'excessivement mathématique pour les musiciens et trop musicale pour les mathématiciens. Même lorsqu'il abordait des concepts musicaux, l'approche d'Euler restait principalement mathématique, illustrée par son introduction des logarithmes binaires comme méthode pour délimiter numériquement la subdivision des octaves en composantes fractionnaires. Même si ses écrits sur la musique ne sont pas particulièrement volumineux – quelques centaines de pages sur un total d'environ trente mille pages – ils reflètent néanmoins une préoccupation précoce qui a persisté tout au long de sa vie.

Un principe fondamental de la théorie musicale d'Euler implique la définition des « genres », qui représentent des divisions possibles de l'octave en utilisant les nombres premiers 3 et 5. Euler délimite 18 de ces genres, caractérisés par la formule générale 2^mA. Ici, A désigne « l'exposant » du genre, calculé comme la somme des exposants de 3 et 5, tandis que 2^m (où « m est un nombre indéfini, petit ou grand, tant que les sons sont perceptibles ») signifie que la relation est valable quel que soit le nombre d'octaves impliquées. Le genre initial, avec A = 1, correspond à l'octave elle-même ou à ses doublons. Le deuxième genre, 2^m.3, représente l'octave divisée par la quinte (quinte + quarte, C–G–C). Le troisième genre est 2^m.5, englobant une tierce majeure + une sixte mineure (C-E-C). Le quatrième est 2^m.3§10^{11§, comprenant les deux quarts et un ton (C–F–B♭–C). Le cinquième est 2m.3.5 (C–E–G–B–C), et ainsi de suite. Les genres 12 (2m.3§20}21§.5), 13 (2^m.3§24^{25§.5§2627§) et 14 (2m.3.5§3031§) sont présentés comme des versions corrigées de l'ancien diatonique, chromatique, et les systèmes enharmoniques, respectivement. Le genre 18 (2m.3§34}35§.5§36^{37§) est identifié comme le « diatonico-chromatique », décrit comme « utilisé généralement dans toutes les compositions » et se révèle identique au système articulé par Johann Mattheson. Euler a ensuite envisagé la possibilité de décrire des genres intégrant le nombre premier 7.}

Euler a développé un graphe distinct, le Speculum musicum, pour illustrer le genre diatonico-chromatique. Dans ce graphique, il a analysé des chemins correspondant à des intervalles particuliers, reflétant son engagement antérieur dans le problème des Sept Ponts de Königsberg. Cette représentation graphique a ensuite suscité une attention renouvelée sous le nom de Tonnetz dans la théorie néo-riemannienne.

Euler a également utilisé le principe de « l'exposant » pour proposer une méthode permettant de dériver le gradus suavitatis (degré de suavité ou d'agrément) des intervalles et accords musicaux en fonction de leurs facteurs premiers. Il est crucial de noter que son analyse a exclusivement porté sur l'intonation juste, impliquant spécifiquement les nombres premiers 1, 3 et 5. Des formules ultérieures ont été développées pour étendre ce système afin d'incorporer un nombre quelconque de facteurs premiers, illustrés par la forme suivante : $${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,}$$ où p_i représente les nombres premiers et k_i désigne leurs exposants respectifs.

Philosophie personnelle et convictions religieuses

Euler a maintenu ses convictions religieuses tout au long de sa vie. Une partie substantielle de ses perspectives religieuses peut être déduite de ses Lettres à une princesse allemande et d'un traité antérieur, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Défense de la révélation divine contre les objections des libres-penseurs). Ces textes révèlent Euler comme un fervent chrétien qui affirmait l'inspiration divine de la Bible ; la Rettung a spécifiquement servi de défense principale pour l'origine divine des Écritures.

Euler a exprimé son opposition à la fois au monadisme de Leibniz et aux principes philosophiques de Christian Wolff. Il affirmait que la connaissance repose fondamentalement, en partie, sur des lois quantitatives précises, fondement que ni le monadisme ni la science wolffienne ne pourraient fournir de manière adéquate. Par conséquent, Euler a qualifié les concepts de Wolff de « païens et athées ».

Une légende bien connue, issue des débats d'Euler avec des philosophes laïques concernant la religion, se situe pendant son deuxième mandat à l'Académie de Saint-Pétersbourg. A cette époque, le philosophe français Denis Diderot se rendait en Russie à l'invitation de Catherine la Grande. L'Impératrice s'inquiétait du fait que les arguments athées de Diderot n'influencent les membres de sa cour, la poussant à demander à Euler de le défier. Diderot fut informé par la suite qu'un éminent mathématicien avait formulé une preuve de l'existence de Dieu et consentit à examiner cette preuve lors d'une comparution devant le tribunal. Euler s'approche alors de Diderot et, avec une conviction absolue, déclare le non-sequitur suivant :

"Monsieur, ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$ ; donc, Dieu existe – répondez ! »

Selon le récit, Diderot, qui considérait prétendument toutes les mathématiques comme incompréhensibles, est resté sans voix alors que la cour éclatait de rire. Mortifié, il demanda la permission de quitter la Russie, ce que Catherine lui accorda par la suite. Malgré son caractère ludique, cette anecdote est considérée comme apocryphe, d'autant plus que Diderot lui-même a mené des recherches mathématiques. La légende aurait été racontée pour la première fois par Dieudonné Thiébault, avec des embellissements ultérieurs ajoutés par Augustus De Morgan.

Héritage

Reconnaissance

Euler est largement reconnu comme l'un des mathématiciens les plus importants de l'histoire et est sans doute le contributeur le plus prolifique dans les domaines des mathématiques et des sciences. John von Neumann, un éminent mathématicien et physicien, a qualifié Euler de « le plus grand virtuose de l'époque ». François Arago, un autre mathématicien, remarquait qu'« Euler calculait sans effort apparent, tout comme les hommes respirent et comme les aigles se soutiennent dans l'air ». Il est généralement placé juste au-dessous de Carl Friedrich Gauss, Isaac Newton et Archimède parmi les mathématiciens les plus éminents de tous les temps, bien que certains chercheurs le considèrent comme leur égal. Henri Poincaré, physicien et mathématicien, a qualifié Euler de « dieu des mathématiques ».

Le mathématicien français André Weil a observé qu'Euler a surpassé ses contemporains, s'imposant comme la figure mathématique prééminente de son époque :

Aucun mathématicien n'a jamais atteint une position de leadership aussi incontestée dans toutes les branches des mathématiques, pures et appliquées, comme Euler l'a fait pour la meilleure partie. du XVIIIe siècle.

Le mathématicien suisse Nicolas Fuss a souligné la mémoire exceptionnelle et les connaissances approfondies d'Euler, en déclarant :

La connaissance que nous appelons érudition ne lui était pas hostile. Il avait lu tous les meilleurs écrivains romains, connaissait parfaitement l'histoire ancienne des mathématiques, gardait en mémoire les événements historiques de tous les temps et de tous les peuples, et pouvait sans hésitation citer à titre d'exemples les événements historiques les plus insignifiants. Il en savait plus sur la médecine, la botanique et la chimie que ce que l'on pourrait attendre de quelqu'un qui n'avait pas travaillé spécifiquement dans ces sciences.

Commémorations

L'image d'Euler est apparue sur les sixième et septième séries du billet suisse de 10 francs, ainsi que sur divers timbres-poste émis par la Suisse, l'Allemagne et la Russie. En 1782, il fut intronisé membre honoraire étranger de l’Académie américaine des arts et des sciences. L'astéroïde 2002 Euler a ensuite été nommé en son honneur.

Bibliographie sélectionnée

La vaste bibliographie d'Euler comprend les ouvrages suivants :

• Mécanique (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) (Une méthode pour trouver des lignes courbes possédant des propriétés de maximum ou de minimum, ou une solution de problèmes isopérimétriques dans le sens le plus large accepté)
• Introductio in analysin infinitorum (1748) (Introduction à l'analyse de l'infini)
• Institutions calculi différentielis (1755) (Fondements du calcul différentiel)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) (Éléments d'algèbre)
• Institutions calculi Integralis (1768-1770) (Fondements du calcul intégral)
• Lettres à une princesse allemande (1768-1772)
• Dioptrica, publié en trois volumes à partir de 1769

La majorité des œuvres posthumes d'Euler n'ont été publiées individuellement qu'en 1830. Par la suite, une collection supplémentaire de 61 œuvres inédites a été découverte par Paul Heinrich von Fuss, arrière-petit-fils d'Euler et fils de Nicolas Fuss, et publiée en 1862. Un catalogue chronologique de l'œuvre complète d'Euler a été compilé par le mathématicien suédois Gustaf Eneström et publié entre 1910 et 1913. Ce catalogue, désigné sous le nom d'index Eneström, attribue des numéros aux œuvres d'Euler allant de E1 à E866. Les archives Euler sont originaires du Dartmouth College, puis transférées à la Mathematical Association of America, et plus récemment transférées à l'Université du Pacifique en 2017.

En 1907, l'Académie suisse des sciences scientifiques a créé la Commission Euler, chargée de la publication complète des œuvres complètes d'Euler. Après plusieurs reports au cours du XIXe siècle, le volume inaugural de l'Opera Omnia fut publié en 1911. Néanmoins, la découverte continue de manuscrits supplémentaires n'a cessé d'élargir la portée de cette entreprise. Il est remarquable que la publication de l'Opera Omnia d'Euler ait progressé de manière constante, avec plus de 70 volumes, chacun d'une moyenne de 426 pages, publiés en 2006, et un total de 80 volumes publiés en 2022. Ces volumes sont systématiquement classés en quatre séries distinctes. La première série comprend des ouvrages sur l'analyse, l'algèbre et la théorie des nombres, comprenant 29 volumes et plus de 14 000 pages. La série II, composée de 31 volumes et totalisant 10 660 pages, comprend des contributions à la mécanique, à l'astronomie et à l'ingénierie. La série III comprend 12 volumes dédiés à la physique. La série IV, qui compile la vaste correspondance d'Euler, des manuscrits inédits et diverses notes, n'a commencé sa compilation qu'en 1967. Suite à la publication de 8 volumes imprimés au sein de la série IV, le projet a décidé en 2022 de publier tous les volumes projetés à venir de la série IV exclusivement dans un format en ligne.

Références

• Leonhard Euler au projet de généalogie mathématique
• Opéra-Bernoulli-Euler (œuvres compilées d'Euler, de la famille Bernoulli et de ses pairs contemporains)
• La Société Euler
• Arbre généalogique d'Euler
• Œuvres de Leonhard Euler sur LibriVox (livres audio du domaine public)
• O'Connor, John J. et Robertson, Edmund F. "Leonhard Euler." Archives d'histoire des mathématiques MacTutor, Université de St Andrews.Dunham, William (24 septembre 2009). "Une soirée avec Leonhard Euler." YouTube. Muhlenberg College : philoctetesctr (publié le 9 novembre 2009).Dunham, William (14 octobre 2008). "Un hommage à Euler – William Dunham." YouTube. Muhlenberg College : PoincareDuality (publié le 23 novembre 2011).Çavkanî: Arşîva TORÎma Akademî

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