Georg Friedrich Bernhard Riemann (; tedesco: [ˈɡeːɔʁkˈfʁiːdʁɪçˈbɛʁnhaʁtˈʁiːman] ; 17 settembre 1826 - 20 luglio 1866) fu un eminente matematico tedesco che fece avanzare significativamente i campi dell'analisi, della teoria dei numeri e della geometria differenziale. Nell'ambito dell'analisi reale, i suoi risultati più notevoli includono la formulazione iniziale rigorosa dell'integrale, ora noto come integrale di Riemann, e il suo ampio lavoro sulle serie di Fourier. Nell'analisi complessa, è particolarmente riconosciuto per aver introdotto le superfici di Riemann, che hanno aperto la strada a un approccio naturale e geometrico all'argomento. La sua fondamentale pubblicazione del 1859 riguardante la funzione di conteggio dei primi, che presentò la formulazione iniziale dell'ipotesi di Riemann, costituisce una pietra angolare della teoria analitica dei numeri. Il lavoro rivoluzionario di Riemann sulla geometria differenziale stabilì le basi matematiche per la teoria della relatività generale. È ampiamente considerato uno dei matematici più influenti della storia.
Primi anni
Nato il 17 settembre 1826, Riemann era originario di Breselenz, un villaggio situato vicino a Dannenberg nel Regno di Hannover. Suo padre, Friedrich Bernhard Riemann, prestò servizio come pastore luterano impoverito a Breselenz ed era un veterano delle guerre napoleoniche. Sua madre, Charlotte Ebell, morì nel 1846. Era il secondo di sei figli. Fin dalla tenera età, Riemann mostrò una straordinaria attitudine matematica, in particolare nelle capacità di calcolo, ma dovette lottare con una profonda timidezza, glossofobia e una salute cagionevole.
Obiettivi accademici
Nel 1840, Riemann si trasferì ad Hannover per risiedere con sua nonna e iscriversi a un liceo, poiché questa istituzione educativa non era disponibile nel suo villaggio natale. Dopo la morte di sua nonna nel 1842, si trasferì alla Johanneum Lüneburg, una scuola secondaria situata a Lüneburg. Mentre era lì, Riemann si impegnò in un intenso studio biblico, anche se la sua attenzione si spostò spesso verso la matematica. I suoi istruttori erano stupiti dalla sua capacità di effettuare calcoli matematici complessi, spesso superando la loro stessa esperienza. All'età di 19 anni, nel 1846, iniziò gli studi di filologia e teologia cristiana, con l'intenzione di diventare pastore e contribuire alla stabilità finanziaria della sua famiglia.
Nella primavera del 1846, dopo che suo padre si assicurò fondi sufficienti, Riemann fu inviato all'Università di Gottinga con l'intenzione di conseguire una laurea in teologia. Tuttavia, al suo arrivo, iniziò gli studi matematici con Carl Friedrich Gauss, frequentando in particolare le lezioni sul metodo dei minimi quadrati. Successivamente Gauss consigliò a Riemann di abbandonare la teologia per la matematica; con il consenso di suo padre, Riemann si trasferì all'Università di Berlino nel 1847. Durante il suo mandato lì, docenti di rilievo includevano Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner e Gotthold Eisenstein. Dopo due anni a Berlino, tornò a Gottinga nel 1849.
Carriera accademica
Nel 1854, Riemann tenne le sue lezioni inaugurali, in cui stabilì i principi fondamentali della geometria riemanniana, ponendo così le basi per la teoria generale della relatività di Albert Einstein. Nel 1857 si tentò di elevare Riemann alla posizione di professore straordinario presso l'Università di Gottinga. Sebbene questa promozione non ebbe successo, gli assicurò uno stipendio consistente. Successivamente, nel 1859, alla morte di Dirichlet, che occupava la stimata cattedra di Gauss all'Università di Gottinga, Riemann fu nominato alla guida del dipartimento di matematica dell'università. Inoltre, fu il primo a proporre l'utilizzo di dimensioni oltre tre o quattro per la descrizione della realtà fisica.
Nel 1862 sposò Elise Koch, dalla quale successivamente ebbe una figlia.
Vita successiva e morte
Nel 1866 Riemann lasciò Gottinga nel mezzo del conflitto tra gli eserciti di Hannover e Prussia. Morì di tubercolosi durante il suo terzo viaggio in Italia, morendo a Selasca, attuale frazione di Verbania sul Lago Maggiore, dove fu sepolto nel cimitero di Biganzolo (Verbania).
Riemann era un devoto cristiano, figlio di un ministro protestante, e considerava le sue attività matematiche come una forma di servizio divino. Mantenne una salda fede cristiana per tutta la vita, considerandola l'elemento fondamentale della sua esistenza. Si è spento mentre recitava il Padre Nostro con la moglie, prima che fosse terminato. Allo stesso tempo, a Gottinga, la sua governante si sbarazzò inavvertitamente di numerose carte del suo studio, comprendenti un volume significativo di materiale inedito. Data la riluttanza di Riemann a pubblicare lavori incompiuti, è plausibile che alcune intuizioni profonde siano andate irrimediabilmente perdute.
Geometria riemanniana
I lavori pubblicati di Riemann hanno aperto la strada a nuovi ambiti di ricerca all'intersezione tra analisi e geometria. Questi contributi fondamentali si sono successivamente evoluti in principi centrali della geometria riemanniana, della geometria algebrica e della teoria delle varietà complesse. La struttura concettuale delle superfici di Riemann fu ulteriormente sviluppata da Felix Klein e, in particolare, da Adolf Hurwitz. Questa disciplina matematica costituisce una componente fondamentale della topologia e continua a trovare applicazioni innovative nella fisica matematica.
Nel 1853, Gauss incaricò il suo allievo Riemann di comporre un Habilitationsschrift che affrontasse i principi fondamentali della geometria. Riemann dedicò diversi mesi alla formulazione della sua teoria delle dimensioni superiori, culminando in una conferenza tenuta a Gottinga il 10 giugno 1854, intitolata Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Quest'opera fondamentale rimase inedita fino al 1868, dodici anni dopo, quando fu pubblicata da Dedekind, due anni dopo la morte di Riemann. Anche se, secondo quanto riferito, la sua accoglienza iniziale fu modesta, ora è universalmente riconosciuto come uno dei contributi più significativi nel campo della geometria.
Questo trattato fondamentale stabilì la disciplina nota come geometria riemanniana. Riemann ideò con successo un metodo per generalizzare la geometria differenziale delle superfici - un concetto che lo stesso Gauss aveva chiarito nel suo theorema egregium - a n dimensioni. I componenti chiave di questo quadro includono la metrica Riemanniana e il tensore di curvatura di Riemann. Nel caso bidimensionale di una superficie, la curvatura in ogni dato punto può essere semplificata a un valore scalare, dove le superfici che mostrano una curvatura positiva o negativa costante servono come esempi di geometrie non euclidee.
La metrica di Riemann, un tensore comprendente un insieme di numeri in ciascun punto spaziale, facilita la misurazione della velocità lungo qualsiasi traiettoria; il suo integrale dà la distanza tra i punti terminali della traiettoria. Ad esempio, Riemann ha dimostrato che in un contesto spaziale quadridimensionale, sono necessari dieci valori numerici distinti in ciascun punto per caratterizzare le distanze e le curvature su una varietà, indipendentemente dalla sua deformazione.
Analisi complessa
All'interno della sua tesi, Riemann pose le basi geometriche per l'analisi complessa utilizzando le superfici di Riemann, trasformando così funzioni multivalore, come il logaritmo (caratterizzato da infiniti fogli) o la radice quadrata (con due fogli), in funzioni a valore singolo. Su queste superfici, le funzioni complesse si manifestano come funzioni armoniche (cioè aderiscono all'equazione di Laplace e di conseguenza alle equazioni di Cauchy-Riemann), le loro proprietà definite dalle posizioni delle loro singolarità e dalla topologia intrinseca delle superfici. Il genere topologico delle superfici di Riemann è matematicamente espresso come , dove la superficie comprende lascia convergendo in punti di diramazione. Quando , la superficie di Riemann possiede parametri, noti come moduli.
I suoi contributi a questo ambito sono estesi. Il famoso teorema della mappatura di Riemann presuppone che qualsiasi dominio semplicemente connesso all'interno del piano complesso sia biolomorficamente equivalente—il che significa che esiste una biiezione olomorfa con un inverso olomorfo—a o l'interno del cerchio unitario. La generalizzazione di questo teorema alle superfici di Riemann è nota come teorema di uniformazione, un risultato significativo stabilito nel XIX secolo da Henri Poincaré e Felix Klein. Allo stesso modo, prove rigorose di questa generalizzazione sono emerse solo dopo lo sviluppo di strumenti matematici più sofisticati, in particolare la topologia. Nel dimostrare l'esistenza di funzioni sulle superfici di Riemann, Riemann utilizzò una condizione di minimalità, che chiamò principio di Dirichlet. Tuttavia, Karl Weierstrass identificò un difetto critico in questa dimostrazione: Riemann aveva trascurato la potenziale invalidità del suo presupposto di base riguardo all'esistenza di un minimo, poiché lo spazio delle funzioni potrebbe non essere completo, precludendo così un minimo garantito. Alla fine, il principio di Dirichlet fu stabilito rigorosamente attraverso il successivo lavoro di David Hilbert nel Calcolo delle variazioni. Nonostante ciò, Weierstrass teneva in grande considerazione Riemann, ammirando in particolare la sua teoria delle funzioni abeliane. Dopo la pubblicazione del lavoro di Riemann, Weierstrass ritirò di conseguenza il proprio articolo dal Crelle's Journal, scegliendo di non pubblicarlo. Una forte comprensione reciproca sviluppata tra loro durante il Weierstrass di Riemann incoraggiò successivamente il suo studente, Hermann Amandus Schwarz, a sviluppare approcci alternativi al principio di Dirichlet all'interno dell'analisi complessa, uno sforzo in cui Schwarz ottenne successo. Un aneddoto raccontato da Arnold Sommerfeld illustra le sfide che i matematici contemporanei hanno dovuto affrontare nel comprendere i nuovi concetti di Riemann. Si dice che nel 1870 Weierstrass portò la dissertazione di Riemann in vacanza a Rigi, esprimendo difficoltà nella sua comprensione. Il fisico Hermann von Helmholtz lo assistette durante la notte, sottolineando successivamente che il lavoro era "naturale" e "molto comprensibile".
Ulteriori contributi significativi comprendono la sua ricerca sulle funzioni abeliane e sulle funzioni theta, in particolare nel contesto delle superfici di Riemann. Dal 1857, Riemann era stato impegnato in uno sforzo competitivo con Weierstrass per risolvere i problemi inversi Jacobiani per gli integrali abeliani, che rappresentano una generalizzazione degli integrali ellittici. Riemann affrontò questo problema impiegando funzioni theta di più variabili, riducendo così il problema all'identificazione degli zeri di queste funzioni. Ha anche studiato le matrici periodiche, caratterizzandole tramite le "relazioni periodiche riemanniane", che stabiliscono simmetria e una parte reale negativa. Ferdinand Georg Frobenius e Solomon Lefschetz dimostrarono successivamente che la validità di questa relazione è equivalente all'incorporamento di —dove denota il reticolo della matrice periodica, in uno spazio proiettivo utilizzando le funzioni theta. Per valori specifici di , questa costruzione produce la varietà Jacobiana della superficie di Riemann, che esemplifica una varietà abeliana.
Numerosi matematici, tra cui Alfred Clebsch, successivamente portarono avanti il lavoro fondamentale di Riemann sulle curve algebriche. Questi quadri teorici erano basati sulle proprietà delle funzioni definite sulle superfici di Riemann. Ad esempio, il teorema di Riemann-Roch, che prende il nome in parte da Roch, uno studente di Riemann, delinea il numero di differenziali linearmente indipendenti su una superficie di Riemann, soggetti a condizioni specificate riguardanti i loro zeri e poli.
Detlef Laugwitz postula che le funzioni automorfe siano inizialmente emerse in un saggio riguardante l'equazione di Laplace applicata ai cilindri elettricamente carichi. Tuttavia, lo stesso Riemann utilizzò queste funzioni per mappature conformi, ad esempio trasformando i triangoli topologici in un cerchio, nella sua conferenza del 1859 sulle funzioni ipergeometriche e nel suo trattato sulle superfici minime.
Analisi reale
Nell'analisi reale, Riemann ha introdotto l'integrale di Riemann durante la sua abilitazione, dimostrando che tutte le funzioni continue a tratti sono integrabili. Anche l'integrale di Stieltjes è attribuito al matematico di Göttingen, il che porta alla loro designazione combinata come integrale di Riemann-Stieltjes.
Nella sua tesi di abilitazione sulle serie di Fourier, basandosi sul lavoro del suo mentore Dirichlet, Riemann stabilì che le funzioni integrabili di Riemann possono essere rappresentate dalle serie di Fourier. Mentre Dirichlet lo aveva dimostrato per funzioni continue, differenziabili a tratti (caratterizzate da un numero numerabile di punti non differenziabili), Riemann lo estese fornendo un esempio di una serie di Fourier che rappresenta una funzione continua, quasi indifferenziabile da nessuna parte, uno scenario non affrontato da Dirichlet. Inoltre, dimostrò il lemma di Riemann-Lebesgue, che afferma che se una funzione è rappresentabile da una serie di Fourier, i suoi coefficienti di Fourier si avvicinano allo zero quando n diventa grande.
Il saggio fondamentale di Riemann servì anche come base fondamentale per le indagini di Georg Cantor sulle serie di Fourier, che successivamente catalizzarono lo sviluppo della teoria degli insiemi.
Nel 1857 Riemann applicò metodi analitici complessi alle equazioni differenziali ipergeometriche, illustrandone le soluzioni attraverso il comportamento di cammini chiusi attorno a singolarità, caratterizzati dalla matrice monodromia. La dimostrazione dell'esistenza di tali equazioni differenziali, date matrici monodromiche predefinite, costituisce uno dei problemi di Hilbert.
Teoria dei numeri
Riemann ha contribuito in modo significativo alla moderna teoria analitica dei numeri. Nella sua unica e concisa pubblicazione sulla teoria dei numeri, esplorò la funzione zeta, che ora porta il suo nome, stabilendo così il suo ruolo fondamentale nella comprensione della distribuzione dei numeri primi. L'ipotesi di Riemann è emersa come una delle numerose congetture da lui proposte riguardo alle caratteristiche della funzione.
Il lavoro di Riemann comprende numerosi altri notevoli progressi. Ha dimostrato l'equazione funzionale per la funzione zeta, una relazione precedentemente identificata da Leonhard Euler, che è sostenuta da una funzione theta. Sommando questa funzione di approssimazione sugli zeri non banali situati sulla linea con una parte reale pari a 1/2, ha derivato una "formula esplicita" esatta per .
Riemann era a conoscenza delle ricerche di Pafnuty Chebyshev sul teorema dei numeri primi, poiché Chebyshev aveva visitato Dirichlet nel 1852.
Pubblicazioni
Le opere pubblicate di Riemann includono:
- 1851 – Fondamenti per una teoria generale delle funzioni di una quantità complessa variabile (Fondamenti per una teoria generale delle funzioni di una quantità complessa variabile), dissertazione inaugurale, Gottinga, 1851.
- 1857 – Theorie der Abelschen Functionen (Teoria delle funzioni abeliane), Giornale di matematica pura e applicata, vol. 54, pp. 101–155.
- 1859 – Sul numero dei numeri primi sotto una determinata dimensione (On the Number of Primes Less Than a Give Magnitude), in: Rapporti mensili dell'Accademia delle scienze prussiana. Berlino, novembre 1859, pp. 671ss. Questo lavoro include la congettura di Riemann. Informazioni sul numero di numeri primi sotto una data dimensione. (Wikisource), facsimile del manoscritto Archiviato il 03-03-2016 presso Wayback Machine con Clay Mathematics.
- 1861 – Commentatio mathematica, qua rispondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositae (Commento matematico, in cui si tenta di rispondere a una domanda proposta dall'illustre Accademia di Parigi), presentato all'Accademia di Parigi per un concorso a premi.
- 1867 – Sulla rappresentabilità di una funzione mediante una serie trigonometrica (On the Representability of a Function by a Trigonometric Series), dal tredicesimo volume degli Atti della Royal Society of Sciences di Göttingen.
- 1868 – Sulle ipotesi alla base della geometria (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria). Trattati della Royal Society of Sciences, Göttingen 1868. Una traduzione inglese, Sulle ipotesi che giacciono alla base della geometria, di W.K. Clifford, apparve in Nature 8 (1873): 183, e fu successivamente ristampato in Collected Mathematical Papers di Clifford (Londra: MacMillan, 1882; New York: Chelsea, 1968). Questo lavoro è incluso anche in Ewald, William B., ed., 1996, "From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics", 2 voll. (Oxford University Press: 652–61).
- 1876 – Raccolta di opere matematiche e articoli scientifici di Bernhard Riemann, a cura di Heinrich Weber con la collaborazione di Richard Dedekind, Lipsia, B. G. Teubner 1876, 2a edizione 1892, ristampato da Dover 1953 (con contributi di Max Noether e Wilhelm Wirtinger, Teubner 1902). Le edizioni successive includono The Collected Works of Bernhard Riemann: The Complete German Texts. A cura di Heinrich Weber; Richard Dedekind; M Niente; Guglielmo Wirtinger; Hans Lewy. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1953, 1981, 2017.
- 1876 – Gravità, elettricità e magnetismo, Hannover: Karl Hattendorff.
- 1882 – Lezioni sulle equazioni alle derivate parziali, 3a edizione. Braunschweig 1882.
- 1901 – Le equazioni alle derivate parziali della fisica matematica secondo le lezioni di Riemann. Riemann, Bernhard (1901). Weber, Heinrich Martin (a cura di). "Die partiellen differenziale-gleichungen der mathematischen physk nach Vorlesungen di Riemann". Friedrich Vieweg und Sohn.
- 2004 – Riemann, Bernhard (2004), Collected Papers, Kendrick Press, Heber City, UT, ISBN 978-0-9740427-2-5, MR 2121437Elenco delle entità che prendono il nome da Bernhard Riemann.
- Elenco delle cose che portano il nome di Bernhard Riemann
- Geometria non euclidea.
- Sul numero di numeri primi inferiori a una determinata grandezza, articolo di Riemann del 1859 che introduce la complessa funzione zeta.
Riferimenti
Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann e il più grande problema irrisolto in matematica, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.
- Derbyshire, John (2003), Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: John Henry Press, ISBN 0-309-08549-7Monastyrsky, Michael (1999), Riemann, Topology and Physics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3789-3Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanese; Yamada, Sumio, eds. (2017). Da Riemann alla geometria differenziale e alla relatività. Springer. ISBN 9783319600390.Il lignaggio accademico di Bernhard Riemann al Mathematics Genealogy Project.
- Bernhard Riemann al progetto di genealogia matematica
- La raccolta di articoli matematici di Georg Friedrich Bernhard Riemann.
- Pubblicazioni di Riemann.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Bernhard Riemann", Archivio di storia della matematica MacTutor, Università di St AndrewsWeisstein, Eric Wolfgang (a cura di). "Riemann, Bernhard (1826–1866)". ScienceWorld.