Leonhard Euler

Leonhard Euler ( OY-lər ; 15 aprile 1707 – 18 settembre 1783) è stato un erudito svizzero le cui competenze spaziavano dalla matematica, alla fisica, all'astronomia, alla logica, alla geografia, alla teoria musicale e all'ingegneria. È stato pioniere nei campi della teoria dei grafi e della topologia e ha dato contributi significativi a numerose altre discipline matematiche, tra cui la teoria analitica dei numeri, l'analisi complessa e il calcolo infinitesimale. Inoltre, Eulero stabilì una parte sostanziale della terminologia e della notazione matematica contemporanea, in particolare concettualizzando la funzione matematica. Il suo vasto lavoro comprendeva anche meccanica, dinamica dei fluidi, ottica, astronomia e teoria musicale. Eulero è stato lodato come un "genio universale", in possesso di "poteri quasi illimitati di immaginazione, doti intellettuali e memoria straordinaria". Trascorse la maggior parte della sua vita adulta a San Pietroburgo, in Russia, e a Berlino, che all'epoca era la capitale della Prussia.

Leonhard Euler (OY-lər; 15 aprile 1707 - 18 settembre 1783) è stato un matematico svizzero attivo come matematico, fisico, astronomo, logico, geografo, teorico musicale e ingegnere. Fondò gli studi sulla teoria dei grafi e sulla topologia e fece scoperte influenti in molti altri rami della matematica, come la teoria analitica dei numeri, l'analisi complessa e il calcolo infinitesimale. Ha anche introdotto gran parte della terminologia e della notazione matematica moderna, inclusa la nozione di funzione matematica. È noto per il suo lavoro nel campo della meccanica, della dinamica dei fluidi, dell'ottica, dell'astronomia e della teoria musicale. Eulero è stato definito un "genio universale" che "era pienamente dotato di poteri quasi illimitati di immaginazione, doni intellettuali e memoria straordinaria". Trascorse gran parte della sua vita adulta a San Pietroburgo, in Russia, e a Berlino, allora capitale della Prussia.

Eulero è accreditato di aver reso popolare la lettera greca ${\displaystyle \pi }$ (pi minuscolo) per denotare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. È stato anche il pioniere dell'uso della notazione ${\displaystyle f(x)}$ per i valori delle funzioni, la lettera ${\displaystyle i}$ per l'unità immaginaria −<!-- − --> §6667§ {\displaystyle {\sqrt {-1}}} , la lettera greca ${\displaystyle \Sigma }$ (sigma maiuscolo) per le somme e la lettera greca ${\displaystyle \Delta }$ (delta capitale) per le differenze finite. Inoltre, stabilì la convenzione di utilizzare lettere minuscole per i lati del triangolo e lettere maiuscole per gli angoli. Ha anche fornito la definizione contemporanea della costante ${\displaystyle e}$, che funge da base del logaritmo naturale e ora viene chiamato numero di Eulero. I contributi di Eulero si estesero alla matematica applicata e all'ingegneria, in particolare attraverso le sue ricerche sulle navi, che aiutavano la navigazione; la sua opera in tre volumi sull'ottica, determinante nello sviluppo di microscopi e telescopi; e le sue indagini sulla flessione delle travi e sui carichi critici delle colonne.

Eulero è riconosciuto come il creatore della teoria dei grafi, un campo da lui in parte sviluppato per risolvere il problema dei sette ponti di Königsberg, che è anche considerato l'applicazione pratica inaugurale della topologia. Tra i suoi numerosi successi, divenne famoso per aver risolto diversi problemi precedentemente intrattabili nella teoria e nell'analisi dei numeri, in particolare il celebre problema di Basilea. Inoltre, a Eulero viene attribuita la scoperta che, per qualsiasi poliedro senza buchi, la somma dei suoi vertici e delle sue facce, meno i suoi bordi, è costantemente uguale a 2; questo valore è ora ampiamente riconosciuto come la caratteristica di Eulero. Nell'ambito della fisica, Eulero riarticolò le leggi del movimento di Isaac Newton in un nuovo insieme di principi nel suo trattato in due volumi, Mechanica, fornendo così una spiegazione più completa per la dinamica dei corpi rigidi. Ha inoltre avanzato lo studio delle deformazioni elastiche negli oggetti solidi. Inoltre, Eulero formulò le equazioni differenziali parziali che governano il movimento dei fluidi non viscosi e stabilì le basi matematiche della teoria del potenziale.

Eulero è ampiamente considerato probabilmente il contributore più prolifico negli annali della matematica e della scienza, ed è riconosciuto come il matematico preminente del XVIII secolo. La sua vasta opera, comprendente 866 pubblicazioni e la sua vasta corrispondenza, fu raccolta nell'Opera Omnia Leonhard Euler. Postumo, diversi eminenti matematici riconobbero il suo profondo significato nella disciplina: Pierre-Simon Laplace dichiarò notoriamente: "Leggi Eulero, leggi Eulero, è il maestro di tutti noi"; allo stesso modo, Carl Friedrich Gauss affermò: "Lo studio delle opere di Eulero rimarrà la migliore scuola per i diversi campi della matematica, e nient'altro potrà sostituirlo."

Primi anni

Nato a Basilea il 15 aprile 1707, Leonhard Euler era il figlio di Paolo III Euler, un pastore della Chiesa riformata, e Marguerite (nata Brucker), il cui lignaggio comprendeva diversi eminenti studiosi classici. Essendo il maggiore di quattro figli, aveva due sorelle più giovani, Anna Maria e Maria Magdalena, e un fratello minore, Johann Heinrich. Poco dopo la nascita di Eulero, la sua famiglia si trasferì da Basilea a Riehen, in Svizzera, dove suo padre divenne pastore della chiesa locale e Leonhard trascorse la maggior parte della sua infanzia.

La prima educazione matematica di Eulero fu impartita da suo padre, che aveva precedentemente studiato con Jacob Bernoulli all'Università di Basilea. All'età di circa otto anni Eulero si trasferì a casa della nonna materna e si iscrisse alla scuola di latino a Basilea. Allo stesso tempo, ricevette un'istruzione privata da Johannes Burckhardt, un giovane teologo con un profondo interesse per la matematica.

Nel 1720, all'età di tredici anni, Eulero si iscrisse all'Università di Basilea, un'iscrizione anticipata non insolita per l'epoca. Il suo corso di matematica elementare fu tenuto da Johann Bernoulli, il fratello minore del defunto Jacob Bernoulli, che in precedenza aveva istruito il padre di Eulero. Johann Bernoulli ed Eulero svilupparono successivamente una conoscenza più stretta, ed Eulero raccontò in seguito nella sua autobiografia:

Il celebre professore Johann Bernoulli [...] trovò particolare soddisfazione nel guidare il mio progresso nelle scienze matematiche. Tuttavia ha rifiutato le lezioni private, citando il suo fitto programma. Tuttavia, mi ha fornito un consiglio molto più utile: procurarmi in modo indipendente e lavorare diligentemente su libri di matematica più impegnativi. Se avessi incontrato obiezioni o difficoltà, mi ha offerto libero accesso ogni sabato pomeriggio, commentando con gentilezza i problemi raccolti. Questo approccio ha prodotto un vantaggio così desiderato che, dopo aver risolto un'obiezione, altre dieci sono state immediatamente dissipate, il che è certamente il metodo ottimale per ottenere progressi di successo nelle scienze matematiche.

Con il sostegno di Bernoulli, Eulero ottenne l'approvazione di suo padre per intraprendere la carriera di matematico piuttosto che entrare nel clero.

Nel 1723, Eulero ottenne un master in filosofia per una tesi che metteva a confronto i principi filosofici di René Descartes e Isaac Newton. Successivamente si iscrisse alla facoltà di teologia dell'Università di Basilea.

Nel 1726 Eulero completò la sua dissertazione, intitolata De Sono, incentrata sulla propagazione del suono; tuttavia, il suo tentativo di assicurarsi un posto all'Università di Basilea con questo lavoro non ha avuto successo. L'anno successivo, il 1727, segnò il suo primo ingresso nel concorso a premi dell'Accademia di Parigi, un evento annuale (poi biennale) istituito nel 1720. La sfida di quell'anno prevedeva la determinazione del posizionamento ottimale degli alberi delle navi. Pierre Bouguer, successivamente riconosciuto come "il padre dell'architettura navale", vinse il primo premio, mentre Eulero si assicurò il secondo posto. Nel corso della sua carriera, Eulero partecipò a questa competizione quindici volte, ottenendo la vittoria in dodici occasioni.

Carriera

Primo periodo di San Pietroburgo (1727–1741)

Nel 1725, i figli di Johann Bernoulli, Daniel e Nicolaus, iniziarono il loro servizio presso l'Accademia Imperiale Russa delle Scienze a San Pietroburgo, dopo aver assicurato a Eulero una raccomandazione per una posizione futura. Tragicamente, il 31 luglio 1726, Nicolaus morì di appendicite dopo meno di un anno in Russia. Dopo aver assunto il ruolo di suo fratello nella divisione matematica/fisica, Daniel sostenne che il suo amico Eulero ricoprisse il posto di fisiologia che aveva lasciato vacante. Eulero accettò prontamente l'offerta nel novembre 1726, anche se rimandò il suo viaggio a San Pietroburgo mentre perseguiva senza successo una cattedra di fisica presso l'Università di Basilea.

Eulero arrivò a San Pietroburgo nel maggio 1727. Successivamente fu promosso da un ruolo junior nel dipartimento di medicina dell'accademia a una posizione all'interno del dipartimento di matematica. Residente con Daniel Bernoulli, si è impegnato in uno stretto lavoro di collaborazione. Euler acquisì rapidamente la padronanza del russo, si assimilò alla vita di San Pietroburgo e intraprese un ruolo aggiuntivo come medico nella Marina russa.

L'Accademia di San Pietroburgo, fondata da Pietro il Grande, mirava a promuovere l'istruzione russa e a colmare la disparità scientifica con l'Europa occidentale. Di conseguenza, offrì un fascino significativo agli studiosi internazionali, incluso Eulero. Tuttavia, Caterina I, mecenate dell'Accademia e successore del programma progressista del marito, morì prima dell'arrivo di Eulero a San Pietroburgo. Successivamente, la nobiltà russa conservatrice salì al potere con il dodicenne Pietro II. Questa nobiltà, diffidente nei confronti degli scienziati stranieri dell'accademia, ridusse il sostegno finanziario a Eulero e ai suoi associati, limitando contemporaneamente l'accesso al Ginnasio e alle università per gli studenti stranieri e non aristocratici.

Dopo la morte di Pietro II nel 1730, le condizioni videro un modesto miglioramento quando Anna di Russia, influenzata dai tedeschi, salì al trono. Eulero avanzò rapidamente all'interno dell'accademia, assicurandosi una cattedra di fisica nel 1731. Si dimise anche dalla Marina russa, rifiutando una promozione a tenente. Due anni dopo, Daniel Bernoulli, frustrato dalla censura e dall’antagonismo incontrati a San Pietroburgo, partì per Basilea. Successivamente Eulero assunse la guida del dipartimento di matematica. Nel gennaio 1734 sposò Katharina Gsell (1707–1773), la figlia di Georg Gsell. Federico II tentò di reclutare Eulero per la sua nascente Accademia di Berlino nel 1740, ma Eulero inizialmente preferì rimanere a San Pietroburgo. Tuttavia, dopo la morte dell'imperatrice Anna e l'accordo di Federico II di eguagliare lo stipendio russo di Eulero di 1600 scudi, Eulero acconsentì a trasferirsi a Berlino. Nel 1741 chiese formalmente il permesso di trasferirsi a Berlino, citando la necessità di un clima più mite per il suo peggioramento della vista. L'Accademia russa ha accolto la sua richiesta, accettando di ricompensarlo di 200 rubli all'anno come membro attivo.

Il periodo berlinese (1741–1766)

Motivato dalla continua instabilità politica in Russia, Eulero lasciò San Pietroburgo nel giugno 1741 per accettare un posto presso l'Accademia di Berlino, un'offerta estesa da Federico il Grande di Prussia. Ha risieduto a Berlino per 25 anni, durante i quali è autore di centinaia di articoli accademici. Il suo lavoro fondamentale sulle funzioni, intitolato Introductio in analysin infinitorum, fu pubblicato nel 1748, seguito da un trattato sul calcolo differenziale, Institutiones calculi differenzialis, nel 1755. Sempre nel 1755, ottenne l'elezione come membro straniero sia dell'Accademia reale svedese delle scienze che dell'Accademia francese delle scienze. Tra gli studenti illustri di Eulero a Berlino c'era Stepan Rumovsky, successivamente riconosciuto come l'astronomo inaugurale della Russia. Nel 1748 rifiutò l'invito dell'Università di Basilea a succedere al recentemente scomparso Johann Bernoulli. Nel 1753 acquistò una residenza a Charlottenburg, dove visse con la sua famiglia e la madre vedova.

Eulero assunse il ruolo di tutore di Friederike Charlotte di Brandeburgo-Schwedt, principessa di Anhalt-Dessau e nipote di Federico. Durante i primi anni Sessanta del Settecento, compose per lei oltre 200 lettere, successivamente raccolte in un volume intitolato Lettere di Eulero su diversi argomenti di filosofia naturale indirizzate a una principessa tedesca. Questa pubblicazione presentava le delucidazioni di Eulero su diversi argomenti di fisica e matematica, fornendo allo stesso tempo spunti significativi sul suo carattere e sulle sue convinzioni teologiche. L'opera fu tradotta in numerose lingue, diffusa in tutta Europa e negli Stati Uniti e ottenne un numero di lettori maggiore di qualsiasi altro dei suoi trattati puramente matematici. Il diffuso fascino delle Lettere sottolinea l'eccezionale capacità di Eulero di trasmettere concetti scientifici complessi a un pubblico generale, un attributo raro per un ricercatore impegnato.

Nonostante i sostanziali contributi di Eulero alla reputazione dell'Accademia e la sua nomina alla presidenza da parte di Jean le Rond d'Alembert, Federico II si autonominò alla carica. Il monarca prussiano, circondato da una vasta cerchia intellettuale alla sua corte, percepiva Eulero come un uomo poco sofisticato e inadeguatamente informato su argomenti che andavano oltre i domini numerici e matematici. Eulero era un individuo schietto e profondamente religioso che sosteneva costantemente l'ordine sociale prevalente e le dottrine convenzionali. Il suo temperamento era, per molti aspetti, antitetico a quello di Voltaire, che godeva di un notevole prestigio all'interno della corte di Federico. Eulero mancava di competenza nel dibattito e spesso era impegnato in discussioni su argomenti sui quali possedeva una conoscenza limitata, rendendolo un argomento ricorrente delle osservazioni satiriche di Voltaire. Frederick espresse anche l'insoddisfazione per le competenze pratiche di ingegneria di Eulero, osservando:

Si dice che Federico il Grande espresse il desiderio di un getto d'acqua da giardino, per il quale Eulero calcolò la forza della ruota necessaria per elevare l'acqua fino a un serbatoio. Da questo serbatoio, l'acqua doveva scendere attraverso canali prima di sgorgare infine a Sanssouci. Tuttavia, il mulino costruito geometricamente si rivelò inefficace, non riuscendo a trasportare l'acqua entro cinquanta passi dal serbatoio. Questo risultato portò al lamento del re: "Vanità delle vanità! Vanità della geometria!"

Tuttavia, dal punto di vista tecnico, la delusione era probabilmente infondata. I calcoli di Eulero sembrano essere accurati, nonostante le interazioni potenzialmente problematiche tra Eulero, Federico e i costruttori della fontana.

Durante il suo mandato a Berlino, Eulero mantenne una solida affiliazione con l'Accademia di San Pietroburgo, pubblicando 109 articoli in Russia. Inoltre, fornì assistenza agli studenti dell'Accademia di San Pietroburgo, ospitando occasionalmente studiosi russi nella sua residenza di Berlino. Nel 1760, nel mezzo della Guerra dei Sette Anni, la fattoria di Charlottenburg di Eulero fu saccheggiata dall'avanzata delle forze russe. In seguito a questo incidente, il generale Ivan Petrovich Saltykov fornì un risarcimento per i danni alle proprietà di Eulero, somma successivamente aumentata dall'imperatrice Elisabetta di Russia con ulteriori 4000 rubli, che costituirono una somma notevole per il periodo. Di conseguenza, Eulero decise di lasciare Berlino nel 1766 e di trasferirsi in Russia.

Dal 1741 al 1766, durante il suo periodo a Berlino, Eulero raggiunse l'apice della sua produttività accademica. È autore di 380 opere, di cui 275 successivamente pubblicate. Questi comprendevano 125 memorie per l'Accademia di Berlino e più di 100 memorie inviate all'Accademia di San Pietroburgo, che mantenne la sua appartenenza e fornì uno stipendio annuale. L'opera fondamentale di Eulero, Introductio in Analysin Infinitorum, apparve in due volumi nel 1748. Oltre ai suoi sforzi di ricerca personale, Eulero supervisionò la biblioteca dell'accademia, l'osservatorio, il giardino botanico e la produzione di calendari e mappe, che generarono entrate per l'istituzione. Partecipò anche alla progettazione architettonica delle fontane d'acqua di Sanssouci, residenza estiva del monarca.

Secondo mandato di San Pietroburgo (1766–1783)

Dopo l'ascensione al trono di Caterina la Grande, il clima politico della Russia si stabilizzò, spingendo Eulero ad accettare l'invito a rientrare nell'Accademia di San Pietroburgo nel 1766. I termini da lui stipulati erano particolarmente impegnativi, compreso uno stipendio annuo di 3000 rubli, una pensione per sua moglie e la garanzia di posizioni di rilievo per i suoi figli. All'università, ha ricevuto assistenza dal suo studente, Anders Johan Lexell. Nel 1771, durante la sua residenza a San Pietroburgo, un incendio consumò tragicamente la sua casa.

Vita personale

Il 7 gennaio 1734, Eulero sposò Katharina Gsell, la figlia di Georg Gsell, un pittore affiliato al Ginnasio dell'Accademia di San Pietroburgo. Successivamente la coppia acquistò una residenza adiacente al fiume Neva. Nel 1776, tre anni dopo la morte della moglie, Eulero sposò la sua sorellastra, Salome Abigail Gsell. Questa unione persistette fino alla sua morte nel 1783. Dei loro tredici figli, cinque - tre maschi e due femmine - sopravvissero fino all'età adulta. Il loro figlio maggiore, Johann Albrecht Euler, aveva Christian Goldbach come suo padrino. Il fratello di Eulero, Johann Heinrich, si stabilì a San Pietroburgo nel 1735 e ottenne un impiego come pittore presso l'accademia.

Da giovane, Eulero imparò a memoria l'Eneide di Virgilio e negli ultimi anni fu in grado di recitare il poema epico e di identificare le frasi di apertura e di conclusione su ogni pagina dell'edizione che aveva studiato. Possedeva la conoscenza dei primi cento numeri primi e poteva articolare ciascuno dei loro poteri fino al sesto grado. Eulero era caratterizzato come un individuo benevolo e amabile, privo delle tendenze nevrotiche talvolta osservate in intelletti prodigiosi, che manteneva il suo temperamento congeniale anche dopo aver sperimentato la completa cecità.

Progressione del deficit visivo

La visione di Eulero si deteriorò progressivamente nel corso della sua carriera matematica. Nel 1738, tre anni dopo una febbre quasi fatale, era diventato quasi completamente cieco dall'occhio destro. Eulero attribuì questo danno al lavoro cartografico che eseguì per l'Accademia di San Pietroburgo, sebbene l'eziologia precisa della sua cecità rimanga oggetto di congetture accademiche. La sua vista in quell'occhio continuò a peggiorare durante il suo mandato in Germania, spingendo Federico II a chiamarlo "Ciclope". Secondo quanto riferito, Eulero ha commentato il suo deficit visivo, affermando: "Ora avrò meno distrazioni". Nel 1766 gli fu identificata una cataratta all'occhio sinistro. Sebbene una procedura di sdraiamento abbia temporaneamente migliorato la sua vista, le complicazioni successive hanno portato alla cecità quasi totale anche in quell'occhio. Sorprendentemente, questo profondo deficit visivo ha avuto un impatto minimo percepibile sulla sua produttività accademica. Con l'aiuto degli scribi, la produzione di Eulero in numerosi campi di studio si intensificò effettivamente; nel 1775, secondo quanto riferito, produceva in media un articolo di matematica a settimana.

Morte

Leonhard Euler morì a San Pietroburgo il 18 settembre 1783. Dopo un pranzo in famiglia, era impegnato in una discussione con Anders Johan Lexell riguardo al pianeta Urano recentemente scoperto e alla sua meccanica orbitale quando improvvisamente collassò a causa di un'emorragia cerebrale. Jacob von Staehlin compose un conciso necrologio per l'Accademia russa delle scienze, mentre Nicolas Fuss, un matematico russo e uno dei discepoli di Eulero, presentò un elogio più completo in un incontro commemorativo. Inoltre, il matematico e filosofo francese Marchese de Condorcet scrisse un elogio per l'Accademia di Francia, affermando:

...cessò di calcolare e di vivere.

...cessò di calcolare e di vivere.

Eulero fu inizialmente sepolto insieme a Katharina nel cimitero luterano di Smolensk sull'isola Vasilievskij. Nel 1837, l'Accademia russa delle scienze eresse un nuovo monumento, sostituendo la lapide precedentemente ricoperta di vegetazione. Successivamente, nel 1957, per commemorare il 250° anniversario della sua nascita, le sue spoglie furono trasferite nel cimitero Lazarevskoe all'interno del Monastero di Alexander Nevsky.

Contributi alla scienza

Gli sforzi intellettuali di Eulero abbracciarono quasi tutti i campi della matematica, comprendendo la geometria, il calcolo infinitesimale, la trigonometria, l'algebra e la teoria dei numeri, oltre alla fisica del continuo, alla teoria lunare e vari altri rami della fisica. È una figura fondamentale negli annali della matematica; Si stima che la sua raccolta di opere, molte delle quali possiedono un significato fondamentale, riempirà tra i 60 e gli 80 volumi in quarto se pubblicate. Dal 1725 al 1783, la produzione accademica di Eulero fu in media di 800 pagine all'anno. Inoltre, è autore di oltre 4.500 lettere e centinaia di manoscritti. Le stime suggeriscono che Leonhard Euler fu responsabile di circa un quarto della produzione accademica totale in matematica, fisica, meccanica, astronomia e navigazione durante il XVIII secolo, con alcuni ricercatori che gli attribuiscono fino a un terzo della sola produzione matematica in quel periodo.

Notazione matematica

Attraverso i suoi libri di testo estesi e ampiamente diffusi, Eulero fu determinante nell'introduzione e nella divulgazione di numerose convenzioni notazionali. Un contributo particolarmente significativo fu la sua formalizzazione del concetto di funzione e il suo uso pionieristico della notazione f(x) per rappresentare la funzione f applicata all'argomento x. Inoltre, stabilì la notazione contemporanea per le funzioni trigonometriche, designò la lettera e come base del logaritmo naturale (ora spesso indicato come numero di Eulero), impiegò la lettera greca Σ per le somme e introdusse la lettera i per indicare l'unità immaginaria. Sebbene la lettera greca π per indicare il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro sia stata inizialmente proposta dal matematico gallese William Jones, la sua diffusa adozione è in gran parte attribuita all'influenza di Eulero.

Analisi

Il progresso del calcolo infinitesimale costituì un obiettivo primario dell'indagine matematica del XVIII secolo. La famiglia Bernoulli, che era intima conoscenza di Eulero, contribuì in modo significativo ai primi progressi in questo campo. La loro influenza successivamente indirizzò gli sforzi di ricerca primari di Eulero verso lo studio del calcolo infinitesimale. Sebbene alcune delle dimostrazioni di Eulero non siano in linea con gli standard contemporanei di rigore matematico, in particolare a causa del suo affidamento al principio di generalità dell'algebra, i suoi contributi concettuali hanno facilitato numerose scoperte significative.Nel campo dell'analisi, Eulero è particolarmente riconosciuto per la sua vasta applicazione e sviluppo delle serie di potenze, che rappresentano le funzioni come somme infinite di termini, esemplificate da: e x = ∑<!-- ∑ --> n = §2526§ ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( §7475§ §7778§ ! + x §9192§ ! + x §106107§ §111112§ ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}

L'applicazione delle serie di potenze da parte di Eulero facilitò la risoluzione del problema di Basilea nel 1735, un compito che prevedeva la somma dei reciproci dei quadrati di tutti i numeri naturali. Una dimostrazione più completa di questa soluzione fu successivamente presentata nel 1741. Inizialmente formulato da Pietro Mengoli nel 1644, il problema di Basilea si era evoluto in un'importante sfida matematica irrisolta negli anni Trenta del Settecento, ottenendo un ampio riconoscimento grazie agli sforzi di Jacob Bernoulli e resistendo alle soluzioni di molti importanti matematici di quell'epoca. Le scoperte di Eulero stabilirono che:

∑<!-- ∑ --> n = §1516§ ∞ §2627§ n §3233§ = lim n → ∞ ( §6061§ §6364§ §6667§ + §7677§ §7980§ §8283§ + §9293§ §9596§ §98 §113114§ n §119120§ ) = π §138139§ §142143§ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Eulero introdusse la costante, definita come: γ<!-- γ --> = lim n →<!-- → --> ∞<!-- ∞ --> ( §2930§ + §3536§ §3738§ + §4546§ §4748§ + §5556§ §5758§ + ⋯ + §7071§ n − ln ⁡ ( n ) ) ≈ 0.5772 , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1} La costante di Eulero-Mascheroni è stata successivamente studiata per le sue connessioni con la serie armonica, la funzione gamma e i valori specifici della funzione zeta di Riemann.

Eulero fu il pioniere dell'integrazione delle funzioni esponenziali e dei logaritmi nelle dimostrazioni analitiche. Ha sviluppato metodi per rappresentare diverse funzioni logaritmiche attraverso serie di potenze e ha esteso con successo la definizione di logaritmi per comprendere numeri negativi e complessi, ampliando così in modo significativo la loro applicabilità matematica. Inoltre, definì la funzione esponenziale per i numeri complessi e identificò la sua relazione con le funzioni trigonometriche. Per ogni numero reale φ, espresso in radianti, la formula di Eulero articola la funzione esponenziale complessa come: $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

Questa equazione è stata notoriamente caratterizzata da Richard Feynman come "la formula più notevole della matematica."

Un esempio specifico della suddetta formula è riconosciuto come l'identità di Eulero: e io π<!-- π --> + §1920§ = §2324§ {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Eulero fece avanzare la teoria delle funzioni trascendenti superiori attraverso l'introduzione della funzione gamma e ideò un nuovo approccio per risolvere le equazioni quartiche. Il suo lavoro sul calcolo degli integrali con limiti complessi anticipò l'emergere dell'analisi complessa contemporanea. Inoltre, ha ideato il calcolo delle variazioni e stabilito l'equazione di Eulero-Lagrange, che trasforma i problemi di ottimizzazione all'interno di questo dominio in soluzioni di equazioni differenziali.

Eulero è stato determinante nell'applicazione di metodi analitici per affrontare i problemi della teoria dei numeri. Questo sforzo unì effettivamente due distinte discipline matematiche e inaugurò un nuovo campo: la teoria analitica dei numeri. I suoi contributi fondamentali in quest'area includono lo sviluppo delle serie ipergeometriche, della serie q, delle funzioni trigonometriche iperboliche e della teoria analitica delle frazioni continue. Ad esempio, dimostrò l'infinità dei numeri primi sfruttando la divergenza delle serie armoniche e impiegò tecniche analitiche per chiarire aspetti della distribuzione dei numeri primi. La ricerca di Eulero in questo campo alla fine aprì la strada al teorema dei numeri primi.

Teoria dei numeri

L'impegno di Eulero con la teoria dei numeri ebbe origine dall'influenza di Christian Goldbach, un collega dell'Accademia di San Pietroburgo. Una parte significativa della ricerca iniziale sulla teoria dei numeri di Eulero si basava sulle basi gettate da Pierre de Fermat. Eulero approfondì molti dei concetti di Fermat e confutò alcune congetture, in particolare l'affermazione secondo cui tutti i numeri erano espressi nella forma §78§ §1112§ n + §2223§ {\textstyle 2^{2^{n}}+1} (noti come numeri di Fermat) sono primi.

Eulero stabilì una connessione tra la distribuzione dei numeri primi e i concetti analitici. Dimostrò la divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi. Attraverso questo lavoro, ha identificato la relazione tra la funzione zeta di Riemann e i numeri primi, una scoperta ora riconosciuta come la formula del prodotto di Eulero per la funzione zeta di Riemann.

Eulero sviluppò la funzione totient, denotata φ(n), che quantifica il conteggio degli interi positivi minori o uguali a un dato intero n che sono coprimi con n. Sfruttando le caratteristiche di questa funzione, estese il piccolo teorema di Fermat, dando vita a quello che oggi è riconosciuto come il teorema di Eulero. I suoi contributi alla teoria dei numeri perfetti, argomento di interesse matematico fin dai tempi di Euclide, furono sostanziali. Stabilì una corrispondenza biunivoca tra i numeri perfetti pari e i numeri primi di Mersenne, una relazione che aveva precedentemente dimostrato, ora chiamata teorema di Euclide-Eulero. Inoltre, Eulero propose la legge della reciprocità quadratica, un concetto considerato fondamentale nella teoria dei numeri, e le sue intuizioni influenzarono in modo significativo il lavoro successivo di Carl Friedrich Gauss, in particolare in Disquisitiones Arithmeticae. Nel 1772, Eulero aveva confermato che 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 costituiva un primo di Mersenne, rimanendo potenzialmente il più grande numero primo conosciuto fino al 1867.

Eulero inoltre fece progressi significativi nella teoria riguardante le partizioni di un numero intero.

Teoria dei grafici

Nel 1735 Eulero fornì una soluzione al famoso problema dei sette ponti di Königsberg. Questo problema ebbe origine nella città di Königsberg, in Prussia, situata sul fiume Pregel, dove due grandi isole erano collegate tra loro e alla terraferma da sette ponti. La sfida era determinare se esistesse un percorso che attraversasse ciascun ponte esattamente una volta. Eulero dimostrò l'impossibilità di un tale percorso, concludendo che non esisteva alcun percorso euleriano. Questa particolare soluzione è ampiamente considerata come il teorema inaugurale della teoria dei grafi.

Eulero formulò anche l'equazione ${\displaystyle V-E+F=2}$, che stabilisce una relazione tra il numero di vertici, spigoli e facce di un poliedro convesso e, di conseguenza, di un grafo planare. La costante all'interno di questa formula è attualmente identificata come la caratteristica di Eulero per il grafico o altra entità matematica ed è correlata al genere dell'oggetto. Lo studio e l'applicazione più ampia di questa formula, in particolare da parte di Cauchy e L'Huilier, rappresentano un aspetto fondamentale della topologia.

Fisica, astronomia e ingegneria

Una parte significativa dei risultati di Eulero riguardava la risoluzione analitica di problemi pratici e la delucidazione di varie applicazioni per i numeri di Bernoulli, le serie di Fourier, i numeri di Eulero, le costanti e e π, le frazioni continue e gli integrali. Ha efficacemente sintetizzato il calcolo differenziale di Leibniz con il Metodo delle Fluxioni di Newton, creando così metodologie che hanno facilitato l'applicazione del calcolo ai fenomeni fisici. Fece sostanzialmente avanzare l'approssimazione numerica degli integrali, tecniche pionieristiche ora riconosciute come approssimazioni di Eulero, con il metodo di Eulero e la formula di Eulero-Maclaurin particolarmente importanti.

Eulero giocò un ruolo fondamentale nella formulazione dell'equazione della trave di Eulero-Bernoulli, che successivamente divenne un principio fondamentale in ingegneria. Oltre ad applicare con successo i metodi analitici alla meccanica classica, Eulero estese queste tecniche alle sfide astronomiche. I suoi contributi all'astronomia gli sono valsi numerosi premi dell'Accademia di Parigi nel corso della sua carriera. Risultati degni di nota includono la determinazione estremamente accurata delle orbite delle comete e di altri corpi celesti, approfondimenti sulle caratteristiche fondamentali delle comete e il calcolo della parallasse del Sole. Il suo lavoro computazionale è stato determinante per stabilire precise tabelle di longitudine.

Eulero ha fatto avanzare significativamente il campo dell'ottica. Ha sfidato la teoria corpuscolare della luce di Newton, che era la visione scientifica predominante di quell'epoca. I suoi trattati di ottica degli anni Quaranta del Settecento furono determinanti nel stabilire la teoria ondulatoria della luce di Christiaan Huygens come paradigma prevalente, una posizione che mantenne fino all'emergere della teoria quantistica della luce.

Nell'ambito della dinamica dei fluidi, Eulero fu il primo a prevedere il fenomeno della cavitazione nel 1754, prima della sua osservazione iniziale alla fine del XIX secolo. Il numero di Eulero, impiegato nei calcoli del flusso dei fluidi, ha origine dalla sua ricerca associata sull'efficienza delle turbine. Nel 1757 pubblicò una serie cruciale di equazioni per il flusso non viscoso nella dinamica dei fluidi, attualmente denominate equazioni di Eulero.

Nell'ingegneria strutturale, Eulero è noto per la sua formula che definisce il carico critico di Eulero, che rappresenta il carico di punta critico per un puntone ideale, determinato esclusivamente dalla sua lunghezza e rigidità alla flessione.

Logica

A Eulero viene attribuito il merito di aver utilizzato curve chiuse per delineare il ragionamento sillogistico nel 1768, diagrammi che sono stati successivamente designati come diagrammi di Eulero.

Un diagramma di Eulero costituisce una metodologia diagrammatica per rappresentare gli insiemi e le loro interrelazioni. Questi diagrammi sono composti da semplici curve chiuse, tipicamente cerchi, situate su un piano per rappresentare insiemi. Ciascuna curva di Eulero suddivide il piano in due regioni distinte o "zone": una zona interna, che simbolicamente denota gli elementi appartenenti all'insieme, e una zona esterna, che rappresenta tutti gli elementi non membri di quell'insieme. Le dimensioni o configurazioni di queste curve sono irrilevanti; il significato del diagramma risiede nel modo in cui si sovrappongono. Le relazioni spaziali tra le regioni delimitate da ciascuna curva - in particolare, sovrapposizione, contenimento o mutua esclusione - corrispondono direttamente alle relazioni fondamentali della teoria degli insiemi come intersezione, sottoinsieme e disgiunzione. Le curve le cui zone interne non si intersecano indicano insiemi disgiunti. Al contrario, due curve con zone interne che si intersecano indicano insiemi che possiedono elementi comuni, con la zona condivisa che rappresenta l'intersezione di questi insiemi. Una curva interamente racchiusa nella zona interna di un'altra curva significa che si tratta di un sottoinsieme dell'insieme che la contiene.

I diagrammi di Eulero, insieme al loro successivo perfezionamento nei diagrammi di Venn, furono integrati nei programmi pedagogici per la teoria degli insiemi come parte del movimento della "nuova matematica" durante gli anni '60. Da quel periodo, hanno ottenuto un'adozione diffusa come strumento prezioso per visualizzare combinazioni di caratteristiche.

Demografia

Nel suo trattato del 1760, Un'indagine generale sulla mortalità e la moltiplicazione della specie umana, Eulero postulò un modello che dimostrava come una popolazione caratterizzata da tassi di fertilità e mortalità costanti potesse mostrare una progressione geometrica attraverso l'applicazione di un'equazione alle differenze. All'interno di questo quadro di crescita geometrica, Eulero ha anche chiarito le interrelazioni tra i vari indici demografici, illustrando la loro potenziale utilità nel generare stime quando i dati osservativi erano incompleti. Circa 150 anni dopo, Alfred J. Lotka, in tre articoli distinti (1907, 1911 con FR Sharpe e 1922), adottò una metodologia paragonabile a quella di Eulero, culminando nello sviluppo del loro modello di popolazione stabile. Questi contributi hanno segnato collettivamente la genesi della modellizzazione demografica formale nel XX secolo.

Musica

Tra gli interessi più divergenti di Eulero c'era l'applicazione dei principi matematici alla musica. Nel 1739 scrisse il Tentamen novae theoriae musicae (Tentativo di una nuova teoria della musica), con l'aspirazione di integrare definitivamente la teoria musicale nel più ampio dominio della matematica. Questo particolare aspetto della sua vasta opera, tuttavia, ottenne un limitato riconoscimento da parte degli studiosi, essendo stato caratterizzato come eccessivamente matematico per i musicisti ed eccessivamente musicale per i matematici. Anche quando affrontava concetti musicali, l'approccio di Eulero rimase prevalentemente matematico, esemplificato dalla sua introduzione dei logaritmi binari come metodo per delineare numericamente la suddivisione delle ottave in componenti frazionarie. Anche se i suoi scritti sulla musica non sono particolarmente voluminosi (comprendono poche centinaia di pagine su una produzione totale di circa trentamila pagine), riflettono comunque una preoccupazione iniziale che persistette per tutta la sua vita.

Un principio fondamentale della teoria musicale di Eulero riguarda la definizione di "generi", che rappresentano possibili divisioni dell'ottava utilizzando i numeri primi 3 e 5. Eulero delinea 18 di questi generi, caratterizzati dalla formula generale 2^mA. Qui A indica l'"esponente" del genere, calcolato come somma degli esponenti di 3 e 5, mentre 2^m (dove "m è un numero indefinito, piccolo o grande, purché i suoni siano percepibili") significa che la relazione vale indipendentemente dal numero di ottave coinvolte. Il genere iniziale, con LA = 1, corrisponde all'ottava stessa o ai suoi duplicati. Il secondo genere, 2^m.3, rappresenta l'ottava divisa per la quinta (quinta + quarta, C–G–C). Il terzo genere è 2^m.5, che comprende una terza maggiore + sesta minore (C–E–C). La quarta è 2^m.3§10^{11§, composta da due quarti e un tono (C–F–B♭–C). La quinta è 2m.3.5 (C–E–G–B–C), e così via. I generi 12 (2m.3§20}21§.5), 13 (2^m.3§24^{25§.5§2627§) e 14 (2m.3.5§3031§) sono presentati come versioni corrette dell'antico diatonico, rispettivamente sistemi cromatici ed enarmonici. Il genere 18 (2m.3§34}35§.5§36^{37§) è identificato come il "diatonico-cromatico", descritto come "usato generalmente in tutte le composizioni", e risulta essere identico al sistema articolato da Johann Mattheson. Successivamente Eulero contemplò la possibilità di descrivere generi che incorporano il numero primo 7.}

Eulero sviluppò un grafico distinto, lo Speculum musicum, per esemplificare il genere diatonico-cromatico. All'interno di questo grafico, ha analizzato i percorsi corrispondenti a intervalli particolari, riflettendo il suo precedente impegno con il problema dei sette ponti di Königsberg. Questa rappresentazione grafica in seguito attirò rinnovata attenzione come Tonnetz all'interno della teoria neo-Riemanniana.

Eulero impiegò inoltre il principio dell'"esponente" per proporre un metodo per derivare il gradus suavitatis (grado di soavità o gradevolezza) di intervalli musicali e accordi in base ai loro fattori primi. È fondamentale notare che la sua analisi considerava esclusivamente solo l'intonazione, coinvolgendo specificamente i numeri primi 1, 3 e 5. Formule successive sono state sviluppate per estendere questo sistema e incorporare qualsiasi numero di fattori primi, esemplificati dalla seguente forma: $${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,}$$ dove p_i rappresenta i numeri primi e k_i indica i rispettivi esponenti.

Filosofia personale e convinzioni religiose

Eulero mantenne le sue convinzioni religiose per tutta la sua vita. Una parte sostanziale delle sue prospettive religiose può essere dedotta dalle sue Lettere a una principessa tedesca e da un trattato precedente, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Difesa della divina rivelazione contro le obiezioni dei liberi pensatori). Questi testi rivelano Eulero come un devoto cristiano che affermava l'ispirazione divina della Bibbia; il Rettung serviva specificatamente come difesa primaria per l'origine divina delle Scritture.

Eulero espresse opposizione sia al monadismo di Leibniz che ai principi filosofici di Christian Wolff. Affermava che la conoscenza si basa fondamentalmente, in parte, su precise leggi quantitative, un fondamento che né il monadismo né la scienza wolffiana potrebbero fornire adeguatamente. Di conseguenza, Eulero caratterizzò i concetti di Wolff come "pagani e atei".

Una leggenda ben nota, originata dai dibattiti di Eulero con filosofi secolari riguardo alla religione, è ambientata durante il suo secondo mandato all'Accademia di San Pietroburgo. Durante questo periodo, il filosofo francese Denis Diderot visitò la Russia su invito di Caterina la Grande. L'imperatrice cominciò a preoccuparsi che le argomentazioni atee di Diderot stessero influenzando i membri della sua corte, spingendola a chiedere a Eulero di sfidarlo. Diderot venne successivamente informato che un eminente matematico aveva formulato una prova dell'esistenza di Dio e acconsentì ad esaminare questa prova durante una presentazione in tribunale. Eulero si rivolse quindi a Diderot e, con assoluta convinzione, dichiarò il seguente non sequitur:

"Signore, ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$; quindi Dio esiste: rispondi!"

Secondo il racconto, Diderot, che presumibilmente considerava tutta la matematica incomprensibile, rimase senza parole mentre la corte scoppiava a ridere. Mortificato, chiese il permesso di lasciare la Russia, cosa che Caterina successivamente concesse. Nonostante la sua natura divertente, questo aneddoto è considerato apocrifo, soprattutto perché lo stesso Diderot condusse ricerche matematiche. Si dice che la leggenda sia stata raccontata per la prima volta da Dieudonné Thiébault, con successivi abbellimenti aggiunti da Augustus De Morgan.

Legacy

Riconoscimento

Eulero è ampiamente riconosciuto come uno dei matematici più importanti della storia ed è probabilmente il contributore più prolifico ai campi della matematica e delle scienze. John von Neumann, un eminente matematico e fisico, definì Eulero "il più grande virtuoso del periodo". François Arago, un altro matematico, osservò che "Eulero calcolava senza alcuno sforzo apparente, proprio come gli uomini respirano e come le aquile si sostengono nell'aria". È comunemente posizionato appena sotto Carl Friedrich Gauss, Isaac Newton e Archimede tra i matematici più eminenti di tutti i tempi, sebbene alcuni studiosi lo considerino loro pari. Henri Poincaré, fisico e matematico, si riferiva a Eulero come al "dio della matematica".

Il matematico francese André Weil osservò che Eulero superò i suoi contemporanei, affermandosi come la figura matematica preminente della sua epoca:

Nessun matematico ha mai raggiunto una posizione di leadership indiscussa in tutti i rami della matematica, pura e applicata, come fece Eulero per il meglio. parte del XVIII secolo.

Il matematico svizzero Nicolas Fuss ha sottolineato l'eccezionale memoria e la vasta conoscenza di Eulero, affermando:

La conoscenza che chiamiamo erudizione non gli era nemica. Aveva letto tutti i migliori scrittori romani, conosceva perfettamente la storia antica della matematica, serbava nella sua memoria gli avvenimenti storici di tutti i tempi e di tutti i popoli, e sapeva senza esitazione addurre come esempi gli avvenimenti storici più insignificanti. Sapeva di medicina, botanica e chimica più di quanto ci si potrebbe aspettare da qualcuno che non aveva lavorato soprattutto in quelle scienze.

Commemorazioni

L'immagine di Eulero è apparsa sia sulla sesta che sulla settima serie delle banconote svizzere da 10 franchi, nonché su vari francobolli emessi da Svizzera, Germania e Russia. Nel 1782 fu nominato membro onorario straniero dell'American Academy of Arts and Sciences. L'asteroide 2002 Eulero è stato successivamente nominato in suo onore.

Bibliografia selezionata

L'ampia bibliografia di Eulero comprende le seguenti opere:

• Meccanica (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (1744) (Un metodo per trovare linee curve che godono di proprietà di massimo o minimo, o soluzione di problemi isoperimetrici nel senso più ampio accettato)
• Introductio in analysin infinitorum (1748) (Introduzione all'analisi dell'infinito)
• Institutiones calculi differenzialis (1755) (Fondamenti del calcolo differenziale)
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) (Elementi di algebra)
• Institutiones calculi integralis (1768–1770) (Fondamenti del calcolo integrale)
• Lettere a una principessa tedesca (1768–1772)
• Dioptrica, pubblicata in tre volumi a partire dal 1769

La maggior parte delle opere postume di Eulero non furono pubblicate individualmente fino al 1830. Successivamente, un'ulteriore raccolta di 61 opere inedite fu scoperta da Paul Heinrich von Fuss, pronipote di Eulero e figlio di Nicolas Fuss, e pubblicata nel 1862. Un catalogo cronologico dell'opera completa di Eulero fu compilato dal matematico svedese Gustaf Eneström e pubblicato tra 1910 e 1913. Questo catalogo, denominato indice Eneström, assegna numeri alle opere di Eulero che vanno da E1 a E866. L'Archivio Eulero è nato al Dartmouth College, successivamente è stato trasferito alla Mathematical Association of America e più recentemente all'Università del Pacifico nel 2017.

Nel 1907, l'Accademia svizzera delle scienze istituì la Commissione Eulero, incaricandola della pubblicazione completa delle opere complete di Eulero. Dopo diversi rinvii nel corso del XIX secolo, il volume inaugurale dell'Opera Omnia fu pubblicato nel 1911. Tuttavia, la continua scoperta di ulteriori manoscritti ampliò costantemente la portata di questa impresa. Sorprendentemente, la pubblicazione dell'Opera Omnia di Eulero è progredita costantemente, con più di 70 volumi, ciascuno di 426 pagine in media, pubblicati entro il 2006, e un totale di 80 volumi pubblicati entro il 2022. Questi volumi sono sistematicamente classificati in quattro serie distinte. La prima serie comprende opere di analisi, algebra e teoria dei numeri, composta da 29 volumi e oltre 14.000 pagine. La serie II, composta da 31 volumi e un totale di 10.660 pagine, comprende contributi alla meccanica, all'astronomia e all'ingegneria. La Serie III comprende 12 volumi dedicati alla fisica. La Serie IV, che raccoglie l'ampia corrispondenza di Eulero, manoscritti inediti e varie note, iniziò la compilazione solo nel 1967. In seguito alla pubblicazione di 8 volumi cartacei all'interno della Serie IV, il progetto decise nel 2022 di pubblicare tutti i prossimi volumi previsti della Serie IV esclusivamente in formato online.

Riferimenti

• Leonhard Euler al progetto di genealogia matematica
• Opera-Bernoulli-Eulero (compilazione di opere di Eulero, della famiglia Bernoulli e di colleghi contemporanei)
• La Società di Eulero
• Albero genealogico di Eulero
• Opere di Leonhard Euler su LibriVox (audiolibri di pubblico dominio)
• O'Connor, John J. e Robertson, Edmund F. "Leonhard Euler." Archivio di storia della matematica MacTutor, Università di St Andrews.Dunham, William (24 settembre 2009). "Una serata con Leonhard Euler." YouTube. Muhlenberg College: philoctetesctr (pubblicato il 9 novembre 2009).Dunham, William (14 ottobre 2008). "Un omaggio a Eulero - William Dunham." YouTube. Muhlenberg College: PoincareDuality (pubblicato il 23 novembre 2011).Çavkanî: Arşîva TORÎma Akademî

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